Матричное представление свободных абелевых расширений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ

§ 1. Свободные абелевы расширения групп, ассоциативных и лиевых алгебр.

§ 2. Представление Магнуса в конгруэнц-модулярных многообразиях.

§ 3. Необходимые понятия.

ГЛАВА И. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАГНУСА ДЛЯ МУЛЬ-ТИОПЕРАТОРНЫХ АЛГЕБР

§ 4. Свойства касательных колец.

§ 5. Ядро представления.

§ 6. Образ представления.

§ 7. Некоторые приложения.

Теория алгебраических систем или универсальная алгебра, берущая свое начало с классической статьи Биркгофа [23], к настоящему времени сформировалась в самостоятельный раздел общей алгебры. В развитии этой теории можно выделить (весьма условно) два основных направления. Первое из них связано с изучением наиболее общих, то есть не зависящих от сигнатуры, свойств многообразий, а второе — с изучением конкретных классов алгебраических систем. На важность исследования многообразий групп, колец, решеток, линейных алгебр и других классических- многообразий указывал А. И. Мальцев на Международном конгрессе математиков (Москва, 1966). В настоящее время известно большое количество глубоких и интересных результатов в этой области.

Помимо двух указанных направлений в теории алгебраических систем большой интерес представляет широкий круг вопросов, связанных с обобщением известных свойств конкретных многообразий на многообразия значительно более широкого класса. К важным и крупным успехам в этом направлении универсальной алгебры следует отнести возникшую в восьмидесятых годах теорию коммутаторов конгруэнций алгебр1, в которой вводится и изучается операция коммутирования конгруэнций, обобщающая известную из классической теории групп операцию коммутирования нормальных подв подобном контексте алгебра (более точно, универсальная алгебра) — то же, что и алгебраическая система групп. В действительности содержательная теория коммутаторов получается для конгруэнций алгебр лишь конгруэнц-мо-дулярных многообразий, но к счастью большинство многообразий алгебр, представляющих научный интерес, конгруэнц-модулярны. Систематическое изложение теории коммутаторов для конгруэнц-модулярных многообразий содержится в [24].

Среди прочего, теория коммутаторов позволяет развивать структурную теорию разрешимых алгебр в конгруэнц-модулярных и, в частности, в конгруэнц-перестановочных многообразиях алгебр. Описанию разрешимых алгебр в конгруэнц-модулярном многообразии посвящена работа [19]. Общий подход, позволяющий вести индукцию по ступени разрешимости, предложен В.А.Артамоновым в работе [3] и состоит в обобщении на алгебры конгруэнц-модулярных многообразий еще одной классической теоретико-групповой конструкции — представления Магнуса (различные аспекты этой конструкции с разной степенью подробности изложены в [16], гл. 15, [15, 26]). К сожалению, для общего конгруэнц-модулярного многообразия вопрос о ядре представления Магнуса не удается решить однозначно, как это делается для многообразия всех групп, поэтому представляет интерес изучение представления Магнуса для конкретных многообразий. Отметим, что еще до появления этого общего подхода аналог представления Магнуса для алгебр Ли был построен и изучен в работе [18], а для ассоциативных алгебр — в работе [28]. Недавно в диссертации [1] было построено и применено для исследования ряда алгоритмических вопросов представление Магнуса для алгебр Лейбница.

С технической стороны представление Магнуса непосредственно связано с дифференциальным исчислением в соответствующих многообразиях. Среди других важных приложений дифференциального исчисления к свободным алгебрам различных многообразий отметим исследование автоморфных орбит элементов, теоремы о ранге и алгоритмы распознавания примитивности системы элементов — см., например, [20, 29].

Предлагаемая диссертация также посвящена изучению представления Магнуса, но в применении к общему многообразию мультиоператорных групп, а также к некоторым частным случаям таких многообразий, в числе которых многообразия всех неассоциативных, коммутативных неассоциативных и антикоммутативных неассоциативных линейных алгебр. Последние многообразия занимают важное место в современных алгебраических исследованиях благодаря своей общности, и особенно после того, как в работах [10, 17] для них было доказано интересное свойство шрейеровости (то есть доказано, что подалгебры свободных алгебр этих многообразий сами свободны). Объединяя для краткости коммутативный и антикоммутативный случай, будем говорить об е-алгебрах, то есть алгебрах с тождеством ху = еух, где е = ±1. Объединяя их еще и со случаем многообразия всех неассоциативных алгебр, будем говорить о неассоциативных (е-)алгебрах.

Приведем необходимые определения.

Многообразие — это класс всех алгебраических систем данной сигнатуры, в которых выполнен некоторый фиксированный набор тождеств. Согласно классической теореме Бирк-гофа [23], многообразия — это в точности те классы алгебраических систем, которые замкнуты относительно взятия гомоморфных образов, подсистем и прямых произведений. Конгруэнции (то есть эквивалентности, согласованные с операциями) алгебраической системы образуют решетку (структуру) по включению, то есть у любых двух конгруэнций а, (3 имеется точная верхняя грань а V /3, называемая их объединением, и точная нижняя грань а Л/3, называемая (и являющаяся) их пересечением. Кроме того, определена операция умножения конгруэнций: х(а(3)у Вг : хаг/Зу, где х, у, г — элементы алгебраической системы.

Многообразие алгебр называется конгруэнц-перестано-вочным, если любые две конгруэнции а, (3 любой его алгебры перестановочны, то есть а(3 = (За. Согласно классической теореме А. И. Мальцева [13], многообразие V конгруэнц-пе-рестановочно тогда и только тогда, когда существует такой тернарный терм р, что в V выполнены тождества

Р{х,у,у) =р(у,у,х) = х. Примерами конгруэнц-перестановочных многообразий служат многообразия групп, колец, модулей (вообще, любых мультио-ператорных групп), квазигрупп и булевых алгебр. Действительно, в мультиоператорных группах можно положить р(х, у, г) — х — у + г (или ху~1х при мультипликативной записи), в квазигруппах р(х,у,г) = {х/(у\у))(у\г), в булевых алгебрах р(х, у, г) — хг + ху'г' + х'у'г.

Многообразие алгебр называется конгруэнц-дистрибутив-ным, если решетка конгруэнций любой его алгебры дистрибутивна, то есть удовлетворяет одному из двух эквивалентных тождеств дистрибутивности аУ(£Л7) = (аУ/?)Л(аУ7) (1) а Л (/3 V 7) = (а Л (3) V (а Л 7).

Согласно теореме Йонссона [14], многообразие V конгруэнц-дистрибутивно тогда и только тогда, когда существует такое п ^ 2 и тернарные термы --^п» что в V выполнены тождества к(х,У,г) = х, = и(х,у,х) = х, и(х,х,у) = и+\(х,х,у), где г < п четно, и(х, у, у) = и+\(х, у, у), где { < п нечетно.

Примерами конгруэнц-дистрибутивных многообразий служат многообразия решеток. Действительно, для них можно положить п = 2 и р0(х,у,г) = х, р2{х,у,г) = г, р\(х,у,г) = (х V у) Л {х V г) Л (уУ г).

Многообразие называется конгруэнц-модулярным, если решетка конгруэнций любой его алгебры модулярна, то есть в ней тождество (1) выполнено при условии а ^ р. В [12], гл. IV показано, что это условное тождество эквивалентно тождеству модулярности а А 0) V (Р А 7) = Р А ((а А Р) V 7).

Согласно теореме Гумма [14], многообразие V конгруэнц-мо-дулярно тогда и только тогда, когда существует такое п ^ 0 и тернарные термы р, £о^ъ что в V выполнены тождества о = ¿п(х,у,у) =р(х,у,у), р(х,х,у) = у, и(х,у,х) = х, и(х, х, у) = и+\(х, х, у), где г < п четно, и(х,у,у) = и+1(х,у,у), где г < п нечетно.

Конгруэнц-модулярность следует и из конгруэнц-перестаново-чности, и, очевидно, из конгруэнц-дистрибутивности. Поэтому примеры конгруэнц-перестановочных и конгруэнц-дистрибутивных многообразий также служат примерами конгруэнц-модулярных многообразий. Примером многообразия, не являющегося конгруэнц-модулярным, служит многообразие всех полугрупп.

Перечислим основные результаты диссертации.

1) Специальный вариант представления Магнуса для многообразий мультиоператорных групп и алгебр. Матричное представление Магнуса для линейных алгебр.

2) Матричное представление свободного абелева расширения факторалгебры свободной неассоциативной (е-)алгебры по мономиальному идеалу.

3) Невложимость свободной разрешимой алгебры большего ранга в свободную разрешимую алгебру меньшего ранга, свойство хопфовости свободной разрешимой алгебры конечного ранга, нильпотентная аппроксимируемость свободной разрешимой алгебры.

Необходимо отметить, что близкие вопросы изучались в работах [8, 9, 32], посвященных так называемым (р, ¿^-алгебрам — алгебрам с тернарной мальцевской операцией р, являющимся полигонами над моноидом 5.

Перейдем к изложению содержания настоящей диссертации.

Диссертация состоит из введения и семи параграфов, которые объединены в две главы.

1. Абдыхалыков А. Т. Вложение Магнуса и некоторые алгоритмические вопросы алгебр Лейбница. Алматы, 2002. (дисс. канд. физ.-мат. наук)

2. Артамонов В. А. Проективные метабелевы группы и алгебры Ли // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. 42, №2. 226-236.

3. Артамонов В. А. Представление Магнуса в конгруэнц-мо-дулярных многообразиях // Сиб. матем. журн. 1997. 38, №5. 978-995.

4. Данилов А. Н. О касательных кольцах к многообразиям мультиоператорных групп // Успехи матем. наук. 2000. 55, №. 175, 176.

5. Данилов А. Н. Представление Магнуса для мультиоператорных алгебр // Чебышевский сборник. 2002. 3, №1. 3540.

6. Данилов А. Н. О представлении Магнуса для неассоциативных алгебр // Вестник МГУ, сер. 1. 2003. №2. 50-52.

7. Данилов А. Н. Матричное представление свободных абе-левых расширений // Чебышевский сборник. 2003. 4, №1. 68-73.

8. Курош А. Г. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр // Матем. сб. 1947. 20. 239-262.

9. Курош А. Г. Мультиоператорные кольца и тела // Успехи матем. наук. 1969. 24, №1. 3-15.

10. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

11. Мальцев А. И. Избранные труды. Т. 2. Математическая логика и общая теория алгебраических систем. М.: Наука, 1976.г 14. Пинус А. Г. Конгруэнц-модулярные многообразия. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1986.

12. Ремесленников В. Н., Соколов В. Г. Некоторые свойства вложения Магнуса // Алгебра и логика. 1970. 9, №5. 566578.

13. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1982.

14. Ширшов А. И. Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикоммутативных алгебр // Матем. сб. 1954. 34. 81-88.

15. Шмелькин А. Л. Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп // Труды Моск. матем. общества 1973. 29. 247-260.

16. Artamonov V. A., Chakrabarti S. Free solvable algebra in a general congruence modular variety // Comm. Algebra. 1996. 24, №5. 1723-1735.

17. Artamonov V. A., Mikhalev A. A., Mikhalev A. V. Combinatorial properties of free algebras of Schreier variétés // Lecture Notes in pure and appl. Math. 2003. 235. 47-99.

18. Bachmuth S. Automorphisms of free metabelian groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. 118. 93-104.

19. Bergman G. M., Dicks W. On universal derivations //J. Algebra. 1975. 36, №2. 193-211.

20. Birkhoff G. On the structure of abstract algebras // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1935. 31. 433-454.

21. Freese R., McKenzie R. Commutator theory for congruence modular varieties // London Math. Soc. Lecture Notes Ser. 1987. 125.

22. Gruenberg K. W. Relation modules of finite groups. // Regional conference series in mathematics. 1976. 25.

23. Gupta N. Free group rings // Contemp. Math. 1987. 66.

24. Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras. // Colloq. Publ. Amer. Math. Soc. 1968. 39.

25. Lewin J. A matrix representation for associative algebras. I, II // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. 188. 293-308; 309-317.-7229. Mikhalev A. A., Umirbaev U., Yu J.-T. Automorphic orbits in free non-associative algebras // J. Algebra. 2001. 243.198— 223.

26. Roggenkamp K. W. Integral representations of finite groups, generalizations and applications to group theory // Lecture Notes Math. 1979. 744. 145-275.

27. Ushakov P. V. On embeddings of Bachmuth type // Comm. Algebra. 2003. 31, №3. 1059-1084.

28. Zhdanovich P. Free Abelian extensions in the congruence permutable varieties // Discussiones Mathematicae General Algebra and Applications. 2002. 2, №22. 199-216.