О максимальных абелевых подгруппах группы треугольных матриц над произвольным полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ШШШМЖШ АЕЕЛЕВОЙ ПОДГРУППЫ к ГРУППЫ I- ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ НАД ПОЛЕМ И РАЗЛОЖЕНИЕ ГРУППЫ А НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОДГРУПП

2. МАКСИМАЛЬНЫЕ АЕЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ I- ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ, ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОМ ОДНОЙ МАТРИЦЫ

2.1. Максимальные абелевы подгруппы, сопряженные в полной линейной группе с диагональной подгруппой D

2.2. Описание всех максимальных абелевых подгрупп, являющихся централизатором одной матрицы

2.3. Инварианты Подгрупп Z(A) над конечным полем

3. ДРУГИЕ ТИПЫ МЖСИМАЛЬНЫХ АЕЕЛЕВЫХ ПОДГРУПП,

ПОЛУЧЕННЫЕ С ПОМОШО ПОДГРУПП Z ( А)

3.1. Максимальные абелевы подгруппы группы GJ полученные путем параметризации сопряженных с Z(A) подгрупп

3.2. Максимальные абелевы подгруппы, полученные с помощью операции над подгруппами Z(A) для подпространств

4. МЖСИМАЛЬНЫЕ АЕЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ, ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ

4.1. Максимальные абелевы подгруппы типа пачек

4.2. Инварианты подгрупп типа пачек для случая конечного поля

4.3. Другие типы максимальных абелевых подгрупп, примыкающих к подгруппам типа пачек

4.4. Другие типы максимальных абелевых подгрупп группы Qn

Работа посвящена исследованию максимальных абелевых подгрупп группы Qп верхних I - треугольных матриц порядка ть над произ-вольным полем К.

Если К - конечное поле, то группа Q является универсальной р - группой в том смысле, что любая конечная р - группа изоморфна некоторой подгруппе группы Q (при подходящем 71 ).«I»Изучение абелевых подгрупп группы Q представляет самосто• t»ятельный интерес для теории линейных групп, оно важно также для построения теории представлений абелевых р - групп над полем характеристики р.

Абелевы подгруппы группы QL(Ti, К) изучались в работах И.Щура /I /, М.Ф.Кравчука /2, 3/, Д.А.Супруненко /4 /. Модернизированное изложение результатов М.Ф.Кравчука содержится в работе /4/.

В случае простого конечного поля К в/5 / и/6 / описаны все абелевы подгруппы максимального порядка группы Q в /7 / -абелевы подгруппы максимального порядка в группах Шевалле типаAn, Сп t D^ над конечным полем К а в /8/ - абелевыунипотентные подгруппы максимального порядка конечных ортогональных групп.

Мы рассматриваем конструктивные методы построения максимальных абелевых подгрупп группы G опирающиеся на характеризацию одного экстремального класса абелевых подгрупп в Q - групп, являющихся централизатором одной матрицы. Полное описание этогокласса максимальных абелевых подгрупп группы G дается в главеft2, которая занимает центральное место в этой работе.

Заметим, что задача об абелевых подгруппах группы которые в Qn являются централизатором одной матрицы, не эквивалентна такой же задаче для группы QL(Tl,K) t для элементов которой имеется каноническая форма Фробениуса. Действительно, централизатор в Q матрицы может быть абелевым и тогда, когда71 TLцентрализатор этой матрицы в неабелев (соответствующиепримеры легко указать уже для 71 = 3).

Пусть (i f i ) - первая из клеток (i,j>) (t,j-) >(i таких, что функция а^ (%) не является линейной комбинацией функцийа. (9)=^,. а. С^) =oi.

Тогда полагаем об = OL. (а).* ' H+iТеорема I.I. Цусть А - максимальная абелева подгруппа группы Qft над простым полем It из р элементов ( р - простое).

Пусть. - множество указанных выше клеток, где расположены независимые параметрыоб о^ (L< > г > ' ' ' •» i 'Будем говорить, что клетка подчинена клетке, если t £ 2 и для некоторой степени pm имеем 6 () =t.

Подмножество(3)<. < ъ ) множества ^ назовем базовым, если одновременно выполняются два условия:1) Каждая из клеток Wl подчинена по крайней мере одной из клетокт.

2) В любой паре различных клеток из Ш! ни одна из них не подчинена другой.

Теорема 2.1. Цусть Ш1 - базовое подмножество клеток для фиксированных элементов ^., £ в (2 ).

ТогдаА- (»,)•.•(#, )•-I ч>Теорема 3.1. позволяет получить прямое разложение ряда классов максимальных абелевых подгрупп группы G над конечным полем.

Следующая теорема, относящаяся уже к конечномерным алгебрам над полем Ж примыкает к теореме I.I.

Образуем множество Q ={ 1 + эс} х е V. Тогда Q - группа порядка рт.

Теорема 4.1. Существует такое прямое разложение группыmiчто элементыт4 тг{в,.д }образуют It - базис радикала 1/ алгебры А.

Как уже отмечалось, 2-ая глава занимает центральное место в диссертации. Здесь описан важный экстремальный класс максимальных абелевых подгрупп группы (ц - абелевы группы, являющиеся в Qn централизатором одной матрицы.

Доказаны следующие теоремы и предложения: Предложение 1.2. Централизатор Z(A) абелев тогда и только тогда, когда матрица А сопряжена в (5 с матрицей В= IIб.II вида:TL Ъф

1. Sckur 0. Zur iheorie der vertauschBaren Matrizen. 2. Qreee, Band 130, 1905, 66-75.

2. Кравчук М.Ф. 0 группах перестановочных матриц. Сообщ. Харьк. матем. об-ва, сер. 2, т. 14, 1914, с. 169-176.

3. Кравчук М.Ф., Гольдбаум Я.С. Про групи комутативних мат-риць. Тр. KAI, т. 5, 1936, с. 12-23.

4. Супруненко Д.А., Тышкевич Р.И. Перестановочные матрицы. Минск, Наука и техника, 1966.

5. Qooze-ff С/.Т kBeiian р-би&дгоирь о/ the genera? Bineer group, д. Huitrae MatH. Soc., 1970, 11, p.257-259.

6. Thuiltes Q.N. The. АВеС^сип p-swBgroicps QL,(n,K) o>f maximcLe rctnk. Виве. London V\atk. Soc., 1972,4, p. 313-320.

7. Barry "З.Э. Large aBeticun subgroups о/ CHevaeEey groups. 2. kubtrai Mat&.Soc., 1979, 27, p. 59-87.

8. V/ощ W. C7. ABetian unipotent mByroupi о/ orthogonat groups. VAubtrcLt MaifL. Soc., 1982,32, p. 223-245.

9. Князева В.Ф. 0 максимальных абелевых подгруппах группы треугольных матриц. № 1850-78. Деп. от 8.06.78.

10. Князева В.Ф. Об одном типе максимальных абелевых подгрупп группы треугольных матриц. J& 937-79. Деп, от 16.03.79.

11. Князева В.Ф. 0 максимальных абелевых подгруппах группы I- треугольных матриц над произвольным полем. Доклады АН УССР, сер. А, 1984, № 12, с. 14-16.

12. Князева В.Ф. 0 максимальных абелевых подгруппах группы I- треугольных матриц над произвольным полем. гё 391 Ук-84. Деп. от 2.03.84.