Нормальное строение и большие абелевы подгруппы унипотентной подгруппы групп лиева типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи Сулейманова Галина Сафиуллановна

НОРМАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ И БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ УНИПОТЕНТНОЙ ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИЕВА ТИПА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск - 2013

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО "Сибирский федеральный университет"

Научный консультант:

д-р фиэ.-мат. наук, профессор Левчук Владимир Михайлович

Официальные оппоненты:

Бардаков Валерий Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, доцент, Институт математики СО РАН, лаборатория обратных задач математической фтики, недущий научный сотрудник

Кондратьев Анатолий Семенович, д-р физ.-мат. наук, профессор, Институт математики и механики УрО РАН, отдел алгебры и топологии, заведующий сектором

Нужин Яков Нифантьевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, Сибирский федеральный университет,

кафедра "Математическое обеспечение дискретных устройств и систем", профессор

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 18 ноября 2013 года о 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при ФГАОУ ВПО "Сибирский федеральный университет" по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан октября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Фсдчспко Дмитрий Петрович

РОССИЙСКАЯ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ

БИБЛИОТЕКА

0 3 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1

Актуальность темы. К главным в диссертационной работе относятся следующие две, исследуемые взаимосвязано, задачи:

(А) Описать максимальные нормальные абелевы подгруппы унипотентно-го радикала V подгруппы Бореля группы С? лиева типа над полем;

(Б) Описать большие абелевы подгруппы группы (7 лиева типа над конечным полем.

Задачу (А), по-видимому, первой изучала А. Уир. В 1955 г. она описала автоморфизмы унитреугольной группы 17Т(п, К) (т.е. II типа над конеч-

ным полем К нечетного порядка, основываясь на решении задачи (А) для этой группы [28, Теорема 7]. В 70-80-х гг. В.М. Левчук решил эту задачу для унит-реугольных групп над любым полем (даже телом) К. Автоморфизмы он описал в большей общности, представив 11Т(п, К) присоединенной группой кольца МТ(п, К) нильтреугольных матриц (с нулями на главной диагонали и над ней) и установив соответствие: нормальные подгруппы присоединенной группы кольца МТ(п, К) - это, в точности, идеалы ассоциированного кольца Ли.

Большой V-подгруппой конечной группы для любого теоретико-группового свойства V называют всякую Р-подгруппу наивысшего порядка. Изучаемая с 1970-х годов задача описания больших абелевых подгрупп конечных групп лиева типа восходит к А.И. Мальцеву, выделившему задачу о нахождении абелевых подгрупп максимальной размерности в комплексных простых группах Ли, [11].

Для одной серии классических комплексных групп Ли решение его задачи было известно: И. Шур в начале прошлого века указал наивысшую размерность абелевых подгрупп групп БЬ{п, С) и доказал, что абелевы подгруппы этой размерности при п > 2 переводятся друг в друга автоморфизмами.

Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексной алгебре Ли Ьс, ассоциированной с соответствующей системой корней Ф, и последующей редукцией к задаче нахождения абелевых подалгебр наивысшей размерности, все элементы которых нильпотентны; автоморфизмами они переводятся в нилъпо-тентную подалгебру ЛГФ(С) с базисом {ег | г € Ф+} алгебры Шевалле, [15].

Требуемые подалгебры перечислены в [11], с точностью до автоморфизмов алгебры Ьс, вместе с найденным перечислением "больших коммутативных" множеств корней в Ф+. Подмножество Ф в Ф+ названо А.И. Мальцевым коммутативным (или абелевым), если г + з Ф для всех г, 5 € Ф.

'Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01-00968).

Подобно схеме из [11] задача (Б) о больших абелевых подгруппах групп лиева типа редуцируется к аналогичной задаче для групп U. Более точно, большая абелева подгруппа конечной группы G лиева типа совпадает с большой абелевой унипотентной подгруппой или с одним из максимальных торов в G; последние в 1978 - 1984 гт. перечислили Р. Картер и Д. Дериэиотис.

В 70-80-е гг. М. Барри и В. Вонг в серии работ описали для классических типов множество A(U) больших абелевых подгрупп группы U вместе с подмножеством An(U) нормальных в U подгрупп, множество AC(U) больших элементарных абелевых подгрупп в U, а также подгруппы Томпсона

J{U) = (А\ А е A(U)), UU) = {А\А€ Ae{U)).

В 1986 г. в обзоре A.C. Кондратьева [3] записана, как проблема (1.6),

Проблема (В). Описать множества A(U), AC(U), AN(U) и подгруппы Томпсона J(U), JC{U) для оставшихся случаев G.

Подход к этой задаче, связанный с предварительным решением задачи (А), начинал разрабатываться с 90-х годов и анонсировался в [10], [23] и [19].

В 1999 - 2001 г. порядки больших абелевых подгрупп в U и подгруппы Томпсона находил Е.П. Вдовин, развивая метод А.И. Мальцева [11] и используя компьютерные вычисления. В его же работах и ранее (для классических типов) в работах М. Барри, В. Вонга показано, что An(U) — непустое множество.

К. Паркер и П. Раули [24] называют нормальную абелеву подгруппу А группы U = UG(K) экстремальной, если А г (2-й член стандартного центрального ряда в U). Это означает, что А имеет простой угол, т.е. существует простой корень г такой, что хотя бы один элемент из А имеет в каноническом разложении сомножитель вида хT(t), t ф 0. С целью приложений, в первую очередь, в ревизии ККПГ (классификации конечных простых групп) в [24] - [27] изучается

Задача Паркера - Раули: Выявить группы U, имеющие экстремальные подгруппы, и простые углы в таких подгруппах.

Тесно связанной с решениями этой задачи и (А) является задача

(Г) Изучить нормальное строение U и соответствие нормальных подгрупп в U = 11Ф(К) над полем и идеалов ассоциированного кольца Ли ЫФ(К).

С 90-х годов известно, что классы нормальных подгрупп группы 1/Ф(К) и идеалов ассоциированного кольца Ли ЫФ{К) при р(Ф)\К = К совпадают, исключая при 2К = 0 тип Dn и Еп. Вопросы характеризации радикальных колец с таким соответствием записаны в Коуровской тетради [4], вопрос 6.19 (см. там же комментарий Е.И. Хухро к этому вопросу) и вопрос 10.19.

Нормальное строение и автоморфизмы классических линейных групп, а затем и групп Шевалле вызывают традиционный интерес (Д.А. Супруненко, Ю.И. Мерзляков, A.B. Михалев, В.М. Петечух, И.З. Голубчик, Е.И. Зельма-нов, Э. Абэ и др.). Проблему описания автоморфизмов групп U над полем К решили Дж. Гиббс, 1970 (при скат К ф 2,3), и В.М. Левчук, 1990.

Автоморфизмы и теоретико-модельные вопросы взаимосвязано изучали A.B. Михалев, Б.И. Бунина и др. для групп Шевалле над локальными кольца^ ми, а для унипотентных подгрупп U групп Шевалле и ассоциированных колец - К. Видела, О.В. Велеградек, В.М. Левчук, Ф. Кузучуоглу, Е.В. Минакова.

С 90-х годов стали систематически изучаться локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр. Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцирования. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил Р. Крист [16]. Естественно возникает задача

(Д) Построить примеры нетривиальных локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований алгебр N$(K).

Группы Шевалле классических типов, их унипотентные подгруппы UG(K) и ассоциированные с ними кольца допускают финитарные обобщения. Пусть Г — произвольная цепь (линейно упорядоченное множество) с отношением порядка < В 1994 г. подгруппы с разными аномальными свойствами Ю.И. Мерзляков выявил в мультипликативной группе GL(Г, К) обратимых финитарных Г-матриц. Ранее обобщенная унитреугольная группа UT(T, К) изучалась как присоединенная группа кольца NT(V, К) финитарных матриц 7 =|| 7« II»jer (с ту = 0 при i < j и 7ü = 1). На этом пути естественно интерпретируются известные примеры р-группы, совпадающей с коммутантом (И.Д. Адо, 1943 г.), и.характеристически простой р-группы (Д. Маклейн, 1954 г.).

Другое обобщение подгруппы U группы G(K) лиева типа над кольцом К с кваэирегулярным идеалом J дает ее произведение на конгруэнц-подгруппу G(K,J), то есть G(K,J)U. Известно, что такое представление с J, равным радикалу Джекобсона, имеет силовская р-подгруппа Р группы Шевалле Ф{К) над кольцом К вычетов целых чисел по р-примарному модулю; С.Г. Колесников решил вопрос 12.42, описав Aut Р. Для типа А^ естественно приходим к изучению присоединенной группы радикального кольца Rn(K, J) всех п х n-матриц с коэффициентами из ассоциативного кольца К с единицей и элементами из его идеала J на главной диагонали и над ней, [21]. Вопросы, связанные с перечислениями идеалов в Rn{K, J) изучаются с начала 2000-х гг.

Целью работы является решение задач (А) - (Д).

Основные методы исследования. Используются общие методы теории групп, колец и алгебр Ли и некоторые методы работ А. И. Мальцева и Е. П. Вдо-вина. Введенные фреймы и специальное представление группы U позволяют использовать в исследовании ее нормального строения линейные методы.

В решении проблемы (В) развивается подход, связанный с решением проблемы (А) и следующих задач (В1) и (В2).

(В1) Верно ли, что большая нормальная абелева подгруппа в U всегда есть большая абелева подгруппа?

(В2) Выявить группы U, в которых любая большая абелева подгруппа G-сопряжена подгруппе из Ajv(f/)i и описать исключительные подгруппы.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в ревизии классификации конечных простых групп, в исследованиях групп, колец и алгебр, а также при чтении спецкурсов.

Апробация диссертации. Результаты диссертации апробировались на алгебраических семинарах в МГУ (2007), ИМ СФУ (2012). Они были представлены на Международных алгебраических конференциях (Москва, 2004, 2008), Всероссийском симпозиуме "Абелевы группы"(Бийск, 2005, 2006), Международной конференции "Классы групп, алгебр и их приложения "(Гомель, 2007), Международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2007), Международном российско-китайском семинаре "Алгебра и логика" (Иркутск, 2007), Международной конференции "Antalya Algebra Days IX"(Ankara, 2007), Международной школе-конференции (Челябинск, 2008), Международной алгебраической конференции (Киев, 2012), Международных конференциях "Algebra and Logic, Theory and Applications" (Красноярск, 2010, 2013), на "Мальцевских чтениях"(Новосибирск, 2004, 2006, 2009, 2011, 2012).

Основные публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [29] - [54], из которых 16 статей [29] - [44] опубликованы в рецензируемых журналах, включая 12 статей [29] - [40] в изданиях перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 136 страницах. Она состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 119 наименований. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации следующие.

1. Описаны максимальные абелевы нормальные подгруппы радикала и подгруппы Бореля группы С лиева типа над полем (решение задачи (А)).

2. Перечислены большие нормальные абелевы подгруппы конечных групп С/ и показано, что они есть большие абелевы; вместе с тем, завершено вычисление (для типов бг, 3/)4 и 2Ед) порядков больших абелевых подгрупп в Ы.

3. Доказало, что в группе (7 лиева типа либо любая большая абелева унипо-тентная подгруппа сопряжена с нормальной подгруппой в £/, либо б типа (?2,

ЭЛ4, 2Р4 или 2Ев\ полностью описаны исключительные подгруппы из А(и).

4. Завершено вычисление подгрупп Томпсона в С/ (для типов С?2, 3П4,

2Ев и Е&) и, в целом, решение проблем о больших абелевых подгруппах в II и (3.

5. Найдены критерии нормальности подгрупп в I/ над полем в терминах введенных фреймов и соответствие нормальных подгрупп группы С1 = УФ (К) для классических типов и типа Еп и идеалов ассоциированного кольца Ли; для типа Ап соответствие обобщается на случай колец.

Как приложения, получены следующие результаты:

- дано новое решение задачи Паркера - Раули об экстремальных подгруппах;

- для любой цепи Г построены финитарные унипотентные группы II над полем типа В г, Сг, £>г, 2-Аг, 2£*г и описаны их автоморфизмы;

- найдены новые примеры нетривиальных локальных автоморфизмов лиевых алгебр ЛГФ{К) классических типов;

- обобщены на некоммутативное кольцо К известные перечислительные теоремы об идеалах кольца Нп(К^).

Используемая терминология (см. § 1.1 главы 1), связанная с группами лиева типа, в основном, берется из известных монографий Ж-П. Серра [13], Р. Картера [15] и Р. Стейнберга [14]; специальные обозначения касаются, как правило, скрученных групп. Группу Шевалле Ф(К) над полем К, ассоциированную с системой корней Ф, порождают корневые элементы хт(Ь) (г € Ф, { £ К). Ее унипотентную подгруппу 17 порождают корневые подгруппы Хт = хт(К), соответствующие корням г из положительной системы корней Ф+, [15]. Полагаем

р(Ф) = тах{(г, г)/(з, а) | г, а е Ф}, П = П(Ф) С ф+ - множество {а^, а^. • • • , <*»} простых корней системы Ф.

Графом Кокстера системы Ф называют (Ж.-П. Серр [13, Гл. V, § 12]) граф с вершинами, соответствующими простым корням, причем вершины, соответствующие корням г, в 6 П, соединены 4(г, а)а/(И • |«|)2 ребрами. Граф Кокстера дает схему Дынкина, если приписать число р(Ф) или 1 вершине, соответствующей длинному или короткому корню г € П, соответственно, [13, Гл. V, § 15]. (Р. Картер [15, § 3.4] использует термин "схема Дынкина" в другом смысле.)

Скрученная группа тФ(АГ) есть централизатор в группе Ф(К) ее скручивающего автоморфизма в 6 Аи1 Ф(К) порядка тп = 2 или 3. Согласно [14, § 11], в является композицией графового автоморфизма г и нетривиального автоморфизма сг : < —► < (€ е АГ) поля К с условием р(Ф) ■ сгт = 1. Через ~ будем также обозначать симметрию графа Кокстера. Для продолжения " симметрии графа Кокстера до подстановки на системе корней Ф, имеем

в{хТ) = Т(ХГ) = х,{те ф, хг = ХТ{К)).

Как ив [б], отображение одной системы корней в другую назовем гомоморфизмом, если оно продолжаемо до гомоморфизма решеток корней этих систем корней. Согласно [6, Лемма 7], при р(Ф) = 1 существует гомоморфизм £ решетки корней системы Ф на решетку такой системы корней, что ((г) = £(в) ^ г = в или г = з или а = г. Если (тп, Ф) = (3, £>4) или тп = 2 и Ф типа Е6, £>„+1, А2п-1, то С(Ф) есть система корней, соответственно, типа Вп, Сп, ВСп [13].

Корневые элементы группы тФ(К) обычно выбирают в подгруппах

= тФ(АГ) П (Хг | г е 5)

для определенных классов эквивалентности 5 в Ф, [15, Предложения 13.6.3], [14, Лемма 63]. Мы сопоставим корневые множества "-орбитам. Если 5 есть " -орбита в Ф, то 5 типа А\, х Аг или А\ х Аг х Аъ [15]; тогда Х§ = хз(^) ~ F+, где ^ - подполе е К \ I = = кег(1 — о), .Г = К и .Г = К, соответственно, а - аддитивная группа поля Р. Если 5 = {г, т, г + г} имеет тип А2, то

XI = и) | и) = хг(1)хг(Т)хг+г(и), и, Ь € К, и + й = ±Ы }

и Ф типа Л2п. Для "-орбит {г + г} и {г,?1} полагаем Д = ((г), 2Я := С(г + г), Хц - система представителей смежных классов подгруппы Х2л = (кег(1 + ег)) в Х^. В остальных случаях 5 имеет тип В2 или (см. [15, Предложение 13.6.4]), и тФ(К) имеет тип 2С?2,2В2 или Тогда 5 является объединением "-орбит с представителями г, г + г, а для типа (72 еще 2г -I- т. Будем использовать также корневые подмножества а (К) = Хл, (3{К) = Х2Л и 7 (К) = Хщ из [15].

Итак, " -орбита а любого корня г е Ф однозначно определяет корневое множество Ха скрученной группы тФ(К). Множество всех таких а обозначаем

через тФ. Скажем, что о: первого типа, если порядок орбиты равен 1. Выбирая все а с г 6 П(Ф), получаем базу П(тФ) системы тФ. При р(Ф) = 1 имеем тФ = С(Ф) и П(тФ) = С(П(Ф)). Так, для типа 3D4 система корней £(Ф) имеет тип G2, г, g 6 П(Ф), g = g, и

Ха = ха{К), а = С(г) (xa(t) '.= xr(t)x,(t)x,(t), t е К),

Хь = х,(кег(1 - (т)), 6 = C(g) (xb(i) := x,(t), t = t).

Далее, как и в [8], через G (К) обозначаем группу лиева типа, ассоциированную с системой G = тФ или G = Ф. Через G+ обозначаем множество положительных корней относительно фиксированной базы П = n(G) в G. Через U будем обозначать унипотентную подгруппу (см. [15], [14], [8])

U = UG{K) := {X, | s eG+).

В § 1.2 приводится специальное представление группы UG(K) из [8], [9]. Известно [15], что любой элемент -у € U однозначно записывается как произведение корневых элементов xr(lr) (г е Ф+), расположенных согласно фиксированному произвольно упорядочению корней (каноническое разложение). Коэффициент 7Г называем г-проекцией элемента у. Их совокупность при всех 7 е H дает г-проекцию множества H С U. Выбирая в алгебре Шевалле подалгебру NФ(K) с базисом {еТ | г G Ф+} и полагая

*ы = j2 jrer (7 € иф(к)), ао 0 = ^-»тт1^)) (a,/j 6 ^ф(аг)),

г6«+

мы определяем присоединенную группу (N$(K),o), изоморфную группе 1/Ф(К). Аналогично рассматривается представление групп U скрученных типов (леммы 1.2.2 и 1.2.3). Когда сомножители не зависят от выбранного упорядочения, используем в записи вместо присоединенного умножения о сложение.

Пусть {г}+ при г 6 G есть совокупность s 6 G+ с неотрицательными коэффициентами в линейном выражении s — т через базу П. Положим

Т(т) = (X, I s € {r}+), Q(r) = (X, I s е \ {г},

а при L С G+ также Q(L) = (X, | s е Ur6t{r}+ \ L).

Если Я С Т(п)Т(т2)... Т(гт) и включение нарушается при любой замене Т(т\) на Q(ri), то назовем {ri,r2,--- ,rm} = С(Н) множеством углов для Н. Когда s-проекция любого элемента из H равна произведению r-проекции на фиксированный скаляр ф 0, назовем г и s связанными в Н; при р, г + р, s + р 6 G+ их называем также р-связанными.

Основные результаты главы 1 посвящены нормальному строению 1Ю{К). Ключевым для них является понятие фрейма подмножества в £/, вводимое в § 1.3. Замечаем, что если в произвольной группе й зафиксировать систему 5 представителей смежных классов по нормальной подгруппе Я, то при любом А С С однозначно определено подмножество Т(А) С 5 такое, что А = Т(А) тоё Я. Фреймом для Н С и назовем множество Т(Н) такое, что

Г{Н)С П Х„ Т{Н) = Н той П

зес(н) 16 £(я)

Ясно, что элементы из Я дают фрейм Т(Н), если в их канонических разложениях отбросить все сомножители с г £ £(#).

Критерий нормальности подгрупп групп [/ классического типа и Еп дает Теорема 1.3.1. Пусть Н - подгруппа группы 1Ю(К) классического типа или типа Еп над полем К. Если 2 К = К или и в (К) типа Ап или 2 Ап, то Я < 1№(К) в том и только том случае, когда ^([Н,ХР]) С Я для каждого р 6 П(С). Для типа £>„ (или 2С„), если Я < иО(К) и .Г([Я,ЛГР]) % Н для некоторого р 6 П(<3), то существуют простые углы г, г (соответственно, ((г)) ир-свяэанный с ними угол в Н, проекции Я на которые имеют порядок 2. Нормальное строение групп II некоторых классических типов описывает Теорема 1.3.8. Пусть 1Ю(К) - группа типа Вп, Сп при 2К = К или типа Ап, 2Ап. Подгруппа Н нормальна тогда и только тогда, когда для любого угла г подгруппы Н и любого р 6 11(6) с условием г + р 6 <3 имеем

(A) Т([Н,ХРШг + р)СН,

или (7 = Вп и выполнено условие

(B) в [Я, Хр] найдутся два д-связанных угла для некоторого д 6 Щб), в [Я, Л",] найдутся два связанных угла и Р{[Н, Хр})!Р([Н, + р, т + р + д) С Я.

На исключительные группы иСп(К), 2К = 0 теорема 1.3.8 переносится в § 1.4 с помощью модификации понятий углов и фреймов. Подмножество 5 в Ф+ назовем 2-нормальным, если включения а 6 3 и а + и + ^ е Ф+ при нечетной константе (г,] > 0) из коммутаторной формулы Шевалле всегда дают включение гв + ^ е 5. Через {г}^ обозначим минимальное 2-нормальное подмножество в Ф+, содержащее г. По аналогии с Т(г) и <Э(Ь) вводим

Г{г} = (X, 15 € {г}2+>, = (Х,\зе иг6ь{г}2+ \ Ь), Ь С Ф+.

Назовем {г1,г2,--- ,гт} множеством 2-углов с обозначением А (Я) в Я С Т{т\}Т{тъ} . • .Т{гт}, если при любой замене Т{г<} на <2{?\} включение нарушается. Заменив в определении фрейма Т(Н) множеств на <2{з} и С(Н) на Сг(Н), приходим к понятию 2-фрейма (Я). Основной в § 1.4 является

Теорема 1.4.1. Подгруппа Н группы UCn[K) над полем К порядка >2 и характеристики 2 нормальна тогда и только тогда, когда для любого ее В-угла г и любого простого корня р такого, что т + р - короткий корень, выполнено одно из следующих условий:

(Л2) Ti{[H,Xv})Q{t + р] С Н ипри |г| ф |р| также Q{r + р + s} С Н для короткого корня s е {г,р};

(В2) е [Н, Хр] найдутся два q-связанных 2-угла для некоторого простого корня q, в [Н, Xq] найдутся два связанных 2-угла, причем

ХР])Т2([Н, X9])Q{г + p,r + p + q}cH.

Нормальное строение группы UCn(2) более громоздкое (теорема 1.4.2). Теоремы 1.5.1, 1.5.2 и 1.5.3 в § 1.5 показывают существенность ограничения 2К = К в теореме 1.3.1 для групп U типа Dn, 2Dn и Еп, соответственно, и выявляют нормальное строение указанных исключительных групп. Заметим, что в группах U типа Dn и 2Dn существуют максимальные абелевы нормальные подгруппы М такие, что вес коммутаторов [[• • • [[М, U], U] ■ ■ ■ ], U], не порождаемых корневыми подгруппами, неограничено растет вместе с п.

Теоремы 1.3.1,1.3.8,1.5.1, 1.5.2 опубликованы в совместных работах [36], [30], [37] (соавтор В.М. Левчук) в нераздельном соавторстве. Теорема 1.5.3 опубликована в работе [44], совместной с дипломником В.В. Якоби; ему принадлежат компьютерные перечисления в двух леммах к теореме. Теоремы 1.4.1 и 1.4.2, вместе с понятиями 2-угла и 2-фрейма, опубликованы автором в [42].

В главе 2 полностью решается проблема (А). Для групп U = UG(K) исключительного типа лиева ранга < 2 ее решает, основная в § 2.1,

Теорема 2.1.1. В группе UG(K) ранга < 2 все максимальные абелевы нормальные подгруппы исчерпываются следующими подгруппами:

a) W* (7 eU\ U2) при G = 2В2;

b) U2 при G2, ЗК = 0, или G = 2G2;

c)U3 при G = G2, если 6К = К, и, кроме того, ßc(K) иА(с€ К), если 2К = 0, а при \К\ = 2 также (а) х (ßi(l)), где

a = i0(l)i2<1+b(l), ßc(t) = xa+h(t)x2a+b(tc) (t e К);

d) U3 при G = 3 Di и, если 2К = 0, с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, подгруппы ßc(Ka)x2a+b{K1+(r) ■ f/4 (с е К), а при \Ка\ = 2 также

(а) х (Ml)) х х2а+ь{К1+°).

Для классических типов проблема решена в § 2.2, с использованием описания из [9] централизаторов С[Т(г)) в U подгрупп Т(г). Вначале приведем известное решение проблемы (А) для типа Ап из [5]. Группа U типа An (или группа UAnlK)) изоморфна унитреугольной группе UT(n+ 1, К). Из [5, Теорема 3] (частный случай см. А. Уир [28, Теорема 7]) вытекает

Лемма 2.2.1 С точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, всякая максимальная абелева нормальная подгруппа группы UA„(K) есть Т(р) или подгруппа (1) или при 2К = 0, п > 3, подгруппа (2) для подходящих г, т' 6 Ф+, простого корня р и с е К:

а(К)(С(Т(г)) Л С(Т(г'))), где a(t) = xT(t)xTi(t) (t е К), r + r' = p; (1) 0(К)(С(Т(г)) П C(T(r'))){xr(i)*,'(i) Wrt) 11 е К}, (2)

где P(t) = xr+p(t)xrl+p(t), r + r' + р = p.

Далее нам потребуются понятия, связанные с нормальностью и абелевостью подгрупп в U. Подмножество Ф в Ф+ называем нормальным, если {s}+ С ф для всех s 6 Ф и, следовательно, Ху = (Хт | г € Ф) < иФ(К). Подмножество Ф в Ф+ называется, согласно А.И. Мальцеву [11], коммутативным или абелевым, если г + s & Ф для всех г, s е Ф. В этом случае Ху есть прямое произведение корневых подгрупп. В следующей теореме 2.2.2 при Я С UG(K) полагаем

Ф(Н) = {г 6 G+ | Я П ХТ ф 1}.

Совокупность углов каждого элемента из Я, не лежащих в Ф(Я), и сумм таких углов в G+ обозначаем через Ф(Я). Для подгрупп Я вида (1) или (2) имеем Ф(Я) = {г, г', р} или {г, г', г + р,г'+р, р}, соответственно.

Нормальное замыкание Mo в группе UDn(K) подгруппы а (К) с простыми углами г и г7 = f абелево при 2К = 0 и Ф(М0) = {г}+ U {т-'}"1". Когда п = 4, существуют р, q € П(Ф) такие, что Mo имеет вид

а(КЩК)(С(Т(т)) П <7(T(r'))){ir+P+,(t)xr-+p+,(t) 11 6 К}. (3)

Теорема 2.2.2. Пусть M — максимальная абелева нормальная подгруппа группы U = иФ(К), р(Ф)\К = К. Тогда Ф = Ф(М) - абелево нормальное подмножество и Ху С M. При M ф Ху, с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, либо

(г) UT{3, К) и M вида (1), либо

(И) 2К = 0, р(Ф) = 1 и Хц П M имеет р-связанные углы для некоторого простого р.

Кроме того, в случае (и) выполнено одно из следующих утверждений:

a) М имеет вид (2) и ХРХ$ ~ С/Т(4,ЙГ),

b) и = иИ4(2) =

c) II - группа типа £>„ или Ет, и х X, ~ ¡иВ4(К), иИ^К)} для некоторого в 6 Ф,

(I) М имеет вид М0 для типа или (3) ¿ля типа Вт.

Список максимальных абелевых нормальных подгрупп групп С/ классических типов приведен в теореме 2.2.4, использующей язык специального матричного представления из § 1.3. Для групп II типа Еп проблема (А) решена в § 2.3 (Таблицы 2 - 4 и теорема 2.3.1).

Группам I/ типа 2Е6, /4,аЯ| посвящен § 2.4. Используем представления из [8] системы корней типа F^ и группы 1/2Р4(К). Обозначим через Ка подполе поля К, неподвижное относительно автоморфизма сг. В группах 11Р4{К) и игЕ%(К) выделим следующие подгруппы, где Р = К и .Р = К„, соответственно:

Т(д4з)Ув, Г(р4,-1)Г(9э.-2), Т(р4,_1){хи .а(0х,„^) | « е Р}; (4)

т(р42)лг,43, т(р«)хР43> т(р3,-2), т(рз,-2)т, т(дз.-2)хР41л:рз1_1; (5)

{!„._, (*)®Р4, (о i t в АГ}5, 5 = Т(94з)Т(р41) или т(д3,-г)*,«; (6)

— ХРЛЗХРЛ1 или ; (7)

(*и,(1)*«з(<*)> Г(р42) («£ 6 К'); (8)

[<*и.-.(Фя«№ I « е АГ> х ^.„(Оа^Л) | « 6 *)] Т(р4.-1)ХР41. (9)

Теорема 2.4.1. Максимальные абелевы нормальные подгруппы в группах иР^К) и Ц2Ев(К), с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, исчерпываются подгруппами (4) при2К - К. Если2К = 0, то они исчерпываются подгруппами (5) - (9), и, соответственно, (4), (Т(рз-3)Г\Е6(Ка))и7, а также

{*р„(ф*.-,(/<) I * 6 (к.)Т(Я43)и7 V е к\к„).

В группе 1РРА{К) их исчерпывают подгруппы

(Я4з(1))Я«(ВД, {Яз,-2МД42И | г е ВД (с е К).

Результаты второй главы опубликованы в совместных работах [30] и [37] (соавтор В.М. Левчук); из них результаты, относящиеся к классическим типам и к случаям лиева ранга < 2 получены в нераздельном соавторстве, остальные результаты принадлежат диссертанту.

Главы 3 и 4 направлены на решение проблем (Б) и (В).

В § 3.1 вводится понятие большой 'Р-подгруппы и там же, как следствие результатов главы 2, приводится описание больших абелевых нормальных подгрупп групп и = 1Ю(К) над конечным полем К (теоремы 3.1.1 и 3.1.2). В § 3.2 отражается развитие исследований по проблеме (Б), а проблема (В) редуцируется к гипотезе (В1) и задаче (В2). Гипотезу (В1) в § 3.3 подтверждает

Теорема 3.3.1. В группе II = 1Ю(К) над конечным полем К большие нормальные абелевы подгруппы и только они являются нормальными большими абелевыми подгруппами.

Далее исследуем (В2). В § 3.4 доказала

Теорема 3.4.1. Всякая большая абелева подгруппа группы II в (К) классического типа над конечным полем К сопряжена в в (К) с нормальной подгруппой из иС{К).

С другой стороны, справедливо

Предложение 3.4.2. Пусть II есть группа 1Ю(К) над конечным полем К, где й = 3Л|, 2К = К, или <3 = С2, 6К = К. Тогда в и существует большая абелева подгруппа, не сопряженная в группе С(К) ни с какой нормальной подгруппой из II.

Решение задачи (В2) для классических типов указывает теорема 3.4.1, а ее редукцию к группам II исключительных типов лиева ранга < 4 дает

Теорема 3.5.1. В группе С (К) лиева типа Еп (п = 6,7,8) над конечным полем каждая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы II является С(К)-сопряженной подгруппе из А^(11).

Теорема 3.5.1 опубликована автором в [35]. Теорема 3.1.1 опубликована в совместных работах [30], [37] (соавтор - В.М. Левчук) и принадлежит автору, кроме случаев лиева ранга < 2, полученных в нераздельном соавторстве. Теоремы 3.1.2, 3.3.1, 3.4.1 (классические типы) опубликована в совместных работах [30] и [31] в нераздельном соавторстве (соавтор - В.М. Левчук).

Для групп II типа 2В2 и гС?2 решение проблемы (В) легко следует из известных результатов. Таким образом, проблема (В) о больших абелевых подгруппах в II редуцирована в главе 3 к задаче (В2) для групп II исключительных типов лиева ранга < 4, то есть к группам II типа (?2, 3£>4, 2.Р4 и 2Е6.

Основные теоремы главы 4 показывают, с одной стороны, что для групп II всех указанных исключительных типов существуют исключительные большие абелевы подгруппы, то есть не являющиеся С-сопряженными с подгруппой из Ан(11), а с другой стороны, описывают все исключения.

В § 4.1 задача (В2) решается для групп U типа Gi и 3D4. Как и в § 1.1, в записи корневых элементов xr(t) групп U типа G2 и 3D4 будем использовать корни системы G2. Выбирая простые корни а и 6 так, что |а| < |Ь|, используем гиперцентральный автоморфизм ^ (d е К) группы U (см. [8]), для которого fi(xj(t)) = xh(t)x3a+i(2dt) mod Us (t e К). Полагаем

a := Xa(l)l2o+|,(l), &(t) := X0+|,(i)X2a+l>(tc).

Теорема 4.1.1. Каждая большая абелева подгруппа группы U — UGi(K) является Gi(K)-сопряженной с одной из следующих подгрупп:

a) с нормальной большой абелевой подгруппой в U;

b) с образом относительно автоморфизма c<i (d 6 К) подгруппы, которая (Хапа)-сопряжена с t/3 или Ха+Ьи4 при 6К = К;

c) {xb(t)x3a+b(t) | t <= K}Pd(K)U5 (d e К) для четного \К\ > 2;

d) (в,Л(1))^« при |АГ|= 4.

Аналогично рассматриваются группы U типа 3£)4. Результаты § 4.1 опубликованы [39] в нераздельном соавторстве (соавтор В.М. Левчук).

В § 4.2 приводится решение задачи (В2) для групп U типа Для системы корней Ф типа Ft через abed обозначим, как и в [1], корень aai + ba2+ca3 + da4, где ai, аз, 0:4 - простые корни. Основная теорема использует в группе U типа J*4 подгруппы

(xoon(i)xi22i(cit) | t е А"}{х0111(4)х1121(^) 11 е К}

{xml(i)x0i2i(c3i) 11 е K}XU31T{0122) (d, с2, c3 € К). (10)

Теорема 4.2.1. В группе Шевалле G{K) типа над конечным полем К каждая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы U сопряжена в G(K) либо с нормальной подгруппой в U, либо, когда 2К = 0, с подгруппой (10) или ее образом относительно графового автоморфизма. Подгруппа (10) не сопряжена в G(K) с нормальной в U подгруппой.

Теорема 4.2.1 опубликована автором в [32] и [34]. Случай групп U типа 2Е6 рассмотрен в теореме 4.3.1, опубликован в [38] и совместной работе [39] и принадлежит автору.

Таким образом, получаем решение задачи (В2) и завершаем описание множества A(U). В § 4.4, наряду с описанием множества Ae(U), в теореме 4.4.1 завершено описание (для типов G2, 3D4, 2Fit 2Е6 и Eg) подгрупп Томпсона J(U) и Je(U). Используем обозначение из [15]: UT = (ХТ \ г € G+ \ {г}), г е 11(G). Для

систем корней типов Еп и F4 простые корни обозначаются через ai, a2, • • • , как в [1, таблицы V-VIII],

Теорема 4.4.1. Пусть U = UG{K) - исключительного типа. Тогда:

a) J(U) = Je(U) -- ПЦТ^) для типа Ец

b) A(U) = An{U) = Ae{U) для типа Ев и Я7;

c) J{U) = Je{U) = Uai в группе UF4{K) при 2К = К и в U2Ee{K);

d) J{U) = Je{U) = U в группе UF4(K) при 2К = 0;

e) J{U) = Т(а), Je(U) = U в группе U3D4{8) и J{U) = JC{U) = U в группах U3Di{K) при \К„\ >2 и UG2{K) при \К\ > 2;

}) (Л^)} = An (У) и MU) = U для группы UG2( 2);

g) J{U) = U, Je(U) = U2e группе U2B2(K);

h) J(U) = R2^{K)U3, Jt(U) = R32{K)U2 в группе U2F<(K).

Тем самым, завершено решение проблемы (В) A.C. Кондратьева.

В конце § 4.4 также отражаются исследования по проблеме (Б). Уточнение в § 3.3 известных порядков а(¡7) для типов 2£в) G2 и 3D4 приводит к уточнению порядков a(G) или их оценок для больших абелевых подгрупп соответствующих конечных групп G лиева типа. Теорема 4.4.1 опубликована в работе [40].

В главе 5 рассматриваются некоторые приложения.

§ 5.1 посвящен задаче Паркера - Раули об экстремальных подгруппах, исследовавшейся в работах [24] - [26] с целью приложений в ревизии классификации конечных простых групп (и к симплектическим амальгамам [27]).

Решение этой задачи (за исключением групп U типа G2) они устанавливают в работах [24] - [26]. Новое решение задачи К. Паркера и П. Раули, очевидно, дает найденное в главе 2 решение задачи (А) - описание максимальных абелевых нормальных подгрупп группы U.

В то же время, уточняются результаты из [24] и [25] для групп U типа и 2D4. Экстремальную подгруппу группы UD4(K) над любым полем К характеристики 2, имеющую три простых угла, дают пример [24, стр. 396 - 397] и теорема 1.3 там же. Согласно [25, Теорема 1.2], если группа lßD4(K) имеет экстремальную подгруппу с двумя простыми углами, то 2К = 0.

Теорема 5.1.1 в § 5.1 показывает, что для указанных групп имеем |ЛГ| = 2 и \К\ = 4, соответственно. Зафиксируем симметрию ~ порядка 3 графа Кокстера системы корней Ф типа D4, простые корни q = q, г, г, г и общий для групп UDi(K) и U2Di{K) элемент

■д = 1,(1)1, (1)ад(1)1._г(1)1._,(1)1,_,(1) (s = q + r + f + r). (11)

Теорема 5.1.1. Нормальное замыкание элемента (11) в группах С/£)4(2) и является экстремальной подгруппой с тремя или двумя простыми углами, соответственно. Группы \К\ > 2 и, аналогично, II2 О ¿(К),

\К\ > 4 не содержат экстремальных подгрупп, имеющих > 3 или > 2 простых углов, соответственно.

Теорема 5.1.1 опубликована в совместных работах [30] и [37] (соавтор В.М. Левчук) в нераздельном соавторстве.

В § 5.2 строятся финитарные обобщения унипотентных подгрупп классических групп скрученных типов, по аналогии с обобщением 1/Т(Г, К) (с произвольной цепью Г) в [7]. Для них определены стандартные автоморфизмы и переносится понятие гиперцентрального автоморфизма из [8]. Согласно Ю. М. Горчакову [2], автоморфизм группы ¿7 называется локально внутренним, если на всякое конечное подмножество в О он действует как подходящий внутренний автоморфизм группы С. Доказана

Теорема 5.2.4. Всякий автоморфизм финитарной унипотентной группы 1№(К) над полем К типа б = Ар, Вг, Сг, £>г, 2Ар или 2£>г равен произведению центральных, графовых, полевых, локально внутренних и обобщенных диагональных автоморфизмов, а также гиперцентрального автоморфизма высоты < 5, а когда 2 К = 0 и й = В г или Сг, еще специального гиперцентрального автоморфизма.

Локальным автоморфизмом произвольной алгебры А называют любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент а 6 А как некоторый автоморфизм алгебры А, зависящий, вообще говоря, от выбора а. Тривиальные локальные автоморфизмы - это автоморфизмы. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил Р. Крист [16] для алгебры треугольных 3 х 3-матриц с попарно равными элементами на каждой диагонали. Аналогично вводят локальные дифференцирования.

Новые примеры нетривиальных локальных автоморфизмов и дифференцирований в § 5.2 указывает теорема 5.2.5 для алгебр Ли ЫФ(К) классического типа; она принадлежит автору и опубликована в совместной работе [33]. Теорема 5.2.4 опубликована в совместной работе [31] (соавтор В.М. Левчук) в нераздельном соавторстве.

В § 5.3 устанавливается соответствие соответствие нормальных подгрупп группы II = иФ(К) для классических типов и типа Еп и идеалов ассоциированного кольца Ли. Согласно работам В.М. Левчука и Л.А. Мартыновой 1990-х гг., классы нормальных подгрупп присоединенной группы и лиевых идеалов в МФ(К) при р(Ф)!Аг = К совпадают, исключая при 2К = 0 тип Д, и Еп. В § 5.1

завершают исследование исключительных случаев теорема 5.3.1 для типа Оп и теорема 5.3.4 для типа Еп.

Результаты § 5.3 опубликованы для типа Б„ в совместной работе [30] (соавтор В.М. Левчук) в неразделимом соавторстве, а для типа Еп в совместной работе [44] с соавтором дипломником В.В. Якоби, обеспечившим лемму с компьютерным перечислением.

Как показали В.М. Левчук [22] и Л.А. Мартынова [12], класс идеалов кольца Ли ТУФ (К) и класс нормальных подгрупп присоединенной группы (она изоморфна группе и = иФ(К)) совпадают при р(Ф)\К - К, исключая при 2К = 0 тип £>„ и Еп. Исследование соответствия в исключительных случаях завершают в § 5.3 теорема 5.3.1 для типа Вп, опубликованная в совместной работе [30] (соавтор В.М. Левчук) в неразделимом соавторстве, и теорема 5.3.4 для типа Еп, опубликованная в [44] совместно с дипломником В.В. Якоби; ему принадлежит лемма с компьютерным перечислением.

Вопросы о радикальных кольцах с аналогичной связью присоединенной группы и ассоциированного кольца Ли ставились в "Коуровской тетради" ([4], см. вопрос 6.19 с комментарием Е.И. Хухро и вопрос 10.19).

Условие радикальности кольца ДП(А', 7) (п > 2) равносильно квазирегулярности идеала 7. Однако, для него случай 7 = 0 является единственным, когда нормальные подгруппы присоединенной группы есть, в точности, идеалы ассоциированного кольца Ли. Это показывает пример 5.4.1 в § 5.4, опубликованный автором в [29, Пример 1.3].

Тем не менее, найдены условия на К, 7, когда существуют взаимосвязанные алгоритмы построения нормальных подгрупп присоединенной группы кольца Ил{К, 7) и идеалов ассоциированного кольца Ли.

Идеал 7 ассоциативно-коммутативного кольца К с единицей в [20] назван сильно максимальным, если любой идеал, заключенный между произвольным 7-подмодулем Ь кольца К и 7совпадает либо с Ь, либо с Л,. Для этого случая в [20] явно описаны идеалы кольца Яп{К, 7), п > 2 в терминах введенных Т-границ. Результаты § 5.4, опубликованные в [43] и [29], обобщают теоремы о лиевых идеалах из [5] и [20] с помощью введенных лиевых Т-границ и нормальных Т-границ кольца Яп(К, 7). Когда 7 - нильпотентный сильно максимальный идеал, найдены взимосвязанные алгоритмы построения нормальных подгрупп присоединенной группы кольца Яп(К, 7) и лиевых идеалов.

Найденные описания применялись к перечислениям методами интегрального представления комбинаторных сумм классов ©-инвариантных (или инвариантных относительно подгруппы V диагональных автоморфизмов) подгрупп в II, идеалов в кольцах ЛГТ(п, К) = ЛП(А', 0) и ЫФ{К), [17]. В [18] доказана

Теорема. Пусть К - локальное кольцо с главным максимальным идеалом J ступени нильпотентности s и \K/J\ > 2. Тогда число всех D-инвариантных идеалов кольца Rn(K, J) (п > 2) есть функция П(п, s) такая, что

П(п,1) = (1/п)^1),

П(п, s) = (2зп - s - Зп + 1) (2П "Я - - ( 2М + 22"-\ a > 2.

\ п — 1 j п \п — 2/

Идеал J некоммутативного кольца К называется сильно максимальным, если JL = LJ для любого J-подмодуля L кольца К, и любой односторонний идеал кольца К, заключенный между L и JL, совпадает с L или JL. Теорема 5.4.2 в § 5.4, опубликованная автором в [41], обобщает на случай некоммутативного кольца К описание из [20] идеалов кольца Rn(K, J) и, как следствие, переносит предыдущую теорему о числе идеалов.

Список литературы

[1] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы IV-VI). - М.: Мир, 1972.

[2] Горчаков Ю. М. Группы с конечными классами сопряженных элементов. М.: Наука, 1978.

[3] Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи математических наук, т. 41 (1986), № 1 (247), с. 57-96.

[4] Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 17-е изд., ИМ СО РАН, Новосибирск, 2010.

[5] Левчук В. М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами // Алгебра и логика, т. 15 (1976), № 5, с. 558-578.

[6] Левчук В. М., Параболические подгруппы некоторых АВА-грутш // Мат. заметки, т. 31(1982), вып. 4, с. 509-525.

[7] Левчук В. М. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединенные группы // Мат. заметки, т. 42 (1987), вып. 5, с. 631-641.

[8] Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика, т. 29 (1990), № 2, с. 141-161.

[9] Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика, т. 29 (1990), № 3, с. 315-338.

[10] Левчук В. М. Обобщенные унипотентные подгруппы классических линейных групп // Фунд. и прикл. математика, т. 2 (1996), № 2, с. 625-627.

[11] Мальцев А. И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли // Известия АН СССР, сер. матем., т. 9 (1945), № 4, с. 291-300.

[12] Мартынова Л.А. Нормальное строение и автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиевых типов. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук — М., МГУ, 1994.

[13] Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.

[14] Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир,1975.

[15] Carter R. Simple groups of Lie type. - New York: Wiley and Sons, 1972.

[16] Crist R. Local automorphisms // Proc. AMS, vol. 128 (2000), p. ;1409-1414.

[17] Egorychev G.P. and Levchuk V.M. Enumeration in the Chevalley algebras // ACM SIGSAM Bull, vol. 35 (2001), p. 20-34.

[18] Egorychev G.P, Kuzucuoglu F. and Levchuk V.M. Enumeration of ideals of some nilpotent matrix rings // Journal of Algebra and its Applications, vol. 12 (2013), no.l.

[19] Gupta C.K, Levchuk V.M. and Ushakov Yu.Yu. Hypercentral and monic automorphisms of classical algebras, rings and groups // Journal of Siberian Federal University, Mathematics & Physics, vol. 1 (2008), no. 4, p. 280-290.

[20] Kuzucuoglu F, Levchuk V. M. Ideals of some matrix rings // Commun.Algebra, vol. 28 (2000), no. 7, p. 3503-3513.

[21] Kuzucuoglu F, Levchuk V.M. Isomorphism of certain locally nilpotent finitary groups and associated rings // Acta Appl. Math, vol. 82 (2004), no. 2, p. 169181.

[22] Levchuk V.M. Chevalley groups and their unipotent subgroups // Contemp. Math, vol. 131 (1992), part 1, p. 227-242.

[23] Levchuk V.M, Suleimanova G.S. and Voitenko T.Yu. Some questions for the unipotent subgroup of the Chevalley group // "Алгебра и ее приложе-ния"(Межд. Конф.) - Красноярск, СФУ, 2007. - С. 168-169.

[24] Parker С. and Rowley P. Extremal subgroups in Chevalley groups // J. London Math. Soc, vol. 55 (1997), no. 2, p. 387-399.

[25] Parker С. and Rowley P. Extremal subgroups in twisted Lie type groups //J. Reiene Angew. Math, no. 498 (1998), p. 135-152.

[26] Parker C. and Rowley P. Unique node extremal subgroups in Chevalley groups // Comm. Algebra, vol. 31 (2003), no. 7, p. 3471-3486.

[27] Parker C. and Rowley P. Symplectic Amalgams, Springer Monographs in Mathematics, London. Springer-Verlag London, Ltd. 2002.

[28] Weir A.J. Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristic p // Proc. Amer. Math. Soc, vol. 6 (1955), no. 3, p. 454-464.

Работы автора по теме диссертации

Издания из перечня ВАК

[29] Левчук В. М, Сулейманова Г. С. Нормальное строение присоединенной группы в радикальных кольцах Rn(K,J) // Сибирский математический журнал, т. 43 (2002), № 2, с. 419-437.

[30] Левчук В. М, Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Доклады РАН, т. 419 (2008), № 5, с. 595-598.

[31] Левчук В. М, Сулейманова Г. С. Автоморфизмы и нормальное строение унипотентных подгрупп финитарных групп Шевалле / / Труды института математики и механики УрО РАН, т. 15 (2009), № 2, с. 133-142.

[32] Сулейманова Г. С. О сопряженности в группе Шевалле больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы / / Фундаментальная и прикладная математика, т. 15 (2009), № 7, с. 205-216.

[33] Елисова А. П, Зотов И. Н, Левчук В. М, Сулейманова Г. С. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика", т. 4 (2011), № 1, с.9-19.

[34] Сулейманова Г. С. Классы сопряженных в группе Шевалле типа FA больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы / / Владикавказский маг тематический журнал, т. 13 (2011), вып. 2, с. 45-55.

[35] Сулейманова Г. С. Сопряженность в конечной группе Шевалле типа Eg больших абелевых унипотентных подгрупп // Journal of Siberian Federal University. Mathematics k, Physics, vol. 4 (2011), no. 4, p. 536-540.

[36] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы групп лиева типа и её экстремальные подгруппы // Фундаментальная и прикладная математика, т. 17 (2012), № 1, с. 155-169.

[37] Levchuk V. М., Suleimanova G. S. Extremal and maximal normal abelian subgroups of a maximal unipotent subgroup in groups of Lie type // Journal of Algebra, vol. 349 (2012), iss. 1, no.l, p. 98-116.

[38] Сулейманова Г. С. Исключительные большие унипотентные абелевы подгруппы групп лиева типа // Вестник СибГАУ, т. 44 (2012), № 4, с. 61-64.

[39] Levchuk V. М., Suleimanova G. S. Thompson subgroups and large abelian unipotent subgroups of Lie-type groups // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, vol. 6 (2013), no.l, p. 63-73.

[40] Сулейманова Г. С. Большие элементарные абелевы унипотентные подгруппы групп лиева типа // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика", т. 6 (2013), № 2, с. 70-77.

Другие публикации в рецензируемых журналах

[41] Suleimanova G. S. Ideals of Some Matrix Rings // Acta Applicandae Mathematicae, 85, 2005. - P. 291-296.

[42] Сулейманова Г. С. Нормальное строение и абелевы нормальные подгруппы унипотентной подгруппы симплектической группы // Владикавказский математический журнал, т. 10 (2008), N» 1. с. 79-83.

[43] Сулейманова Г. С. Об идеалах некоторых матричных лиевых колец // Абелевы группы и модули. Вып. 15. - Томск: ТГУ, 2000. - С. 89-97.

[44] Suleimanova G. S. and Yakobi V. V. The normal structure of the unipotent subgroup of a Chevalley group of type E7, Ee // Journal of Siberian Federal University, Mathematics it Physics, vol. 1 (2008), no. 2, p. 51-55.

Прочие работы автора по теме диссертации

[45] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы Стейнберга над полем // Вестник КГТУ. Вып. 16. - Красноярск: КГТУ, 1999. - С. 44-48.

[46] Сулейманова Г. С. Нормальное строение максимальной унипотентной подгруппы унитарной группы над полем // Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды Международной конференции. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 206-209.

[47] Suleimanova G. S. On ideals of some matrix rings // Международная конференция "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. - Красноярск: КрасГУ, 2002. - С.146-147.

[48] Suleimanova G. S. On some matrix rings // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. Тезисы докладов. - М: Изд-во мех.-мат. фак-та МГУ, 2004. - С. 286-288.

[49] Suleimanova G. S. Abelian normal subgroups of unipotent subgroups of Chevalley groups // Proceed. Int. Conf - 2007 "Antalya Algebra Days IX". Ankara. METU, 2007. - P. 30-31.

[50] Левчук В. M., Сулейманова Г. С. Нормальное строение и абелевы нормальные подгруппы унипотентной подгруппы группы Шевалле // Международная конференция "Классы групп, алгебр и их приложения". Тезисы докладов - Гомель, ГГУ, 2007. - С. 98-99.

[51] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы / / Международная алгебраическая конференция. Тезисы докладов. - М., 2008. - С.154-155.

[52] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Автоморфизмы и нормальное строение унипотентных подгрупп финитарных групп Шевалле // Теория групп. Тезисы сообщений седьмой Международной школы-конференции (3-9 августа, 2008 г.). - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. - С.57-58.

[53] Suleimanova, G. S. Large abelian unipotent subgroups in finite Lie-type groups // Book of abstracts of Intern. Conference on Algebra. - Kiev, 2012. - P. 153.

[54] Сулейманова Г. С. Большие элементарные абелевы унипотентные подгруппы групп лиева типа // Международная конференция "Algebra and Logic; Theory and Applications". Тезисы докладов. - Красноярск, 2013.

1 3- 1 3 9 9 б

Подписано в печать 13.09.2013. Печать плоская Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,3 Тираж 100 экз. Заказ № 3171 Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а, тел.: +7(391) 206-26-49, 206-26-67 E-mail: print_sfu@mail.ru

2012343649

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

05201450030

На правах рукописи

Сулейманова Галина Сафиуллановна

НОРМАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ И БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ УНИПОТЕНТНОЙ ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИЕВА ТИПА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Научный консультант: доктор физ. - мат. наук, профессор

Левчук В. М.

Красноярск-2013

Содержание

Введение 3

Глава 1. Нормальное строение унипотентных подгрупп II 15

1.1. Основные элементы и подгруппы групп лиева типа..................16

1.2. Специальные представления унипотентных подгрупп................19

1.3. Фреймы и критерии нормальности подгрупп в и...........23

1.4. Нормальное строение группы иСп(К) при 2К = 0....................26

1.5. Случаи групп и типа £>п, 2£>п и Еп ..................31

Глава 2. Максимальные абелевы нормальные подгруппы 35

2.1. Группы лиева типа ранга <2......................36

2.2. Группы и классических типов.....................38

2.3. Группы и типа Еп........................................................42

2.4. Группы и типа 2£6, и 2РА..............................................51

Глава 3. Большие Р-подгруппы 56

3.1. Следствие о больших нормальных абелевых подгруппах в II ... . 57

3.2. Проблема (В) о больших абелевых подгруппах группы V .....58

3.3. Завершение вычисления порядков и множество Ар/{и) .......60

3.4. С-сопряженность больших абелевых подгрупп в II к подгруппам

из Ар/(и) для классических типов...................62

3.5. Редукция проблемы (В) к лиеву рангу <4..............65

Глава 4. Завершение решения проблемы (В) 77

4.1. Исключительные подгруппы из А{11) для малых рангов ......78

4.2. Случай групп и типа ^......................... 84

4.3. Случай групп V типа 2Е§........................101

4.4. Подгруппы Томпсона и завершение решения проблемы (В) .... 109

Глава 5. Некоторые приложения 112

5.1. Новое решение задачи Паркера - Раули................113

5.2. Финитарные унипотентные группы и их автоморфизмы.......115

5.3. Соответствия нормальных подгрупп в £/ и идеалов ассоциирован-

ного кольца Ли..............................119

5.4. Перечисления в кольцах Ип(К. ^ ...................121

Список литературы

127

Введение

К главным в диссертационной работе относятся следующие две, исследуемые взаимосвязано, задачи:

(А) Описать максимальные нормальные абелевы подгруппы унипотентно-го радикала и подгруппы Бореля группы С лиева типа над полем;

(Б) Описать большие абелевы подгруппы группы С лиева типа над конечным полем.

По-видимому, первой задачу (А) изучала А. Уир. В 1955 г. она описала автоморфизмы унитреугольной группы 17Т(п,К) (т.е. группы и типа Ап_1) над конечным полем К нечетного порядка, основываясь на решении задачи (А) для этого случая [84, Теорема 7|. Для унитреугольных групп над любым полем (даже телом) эту задачу решил в 70-80-х гг. В.М. Левчук [19, Теорема 3]. Автоморфизмы он описал в большей общности, представив [/Т(п, К) присоединенной группой кольца ЫТ(п, К) нильтреугольных матриц (с нулями на главной диагонали и над ней) и установив соответствие:

Нормальные подгруппы присоединенной группы кольца АтТ(п, К) - это, в •точности, идеалы, ассоциировавшего ■кольца, Ли.

Большой V-подгруппой конечной группы для любого теоретико-группового свойства V называют всякую Р-подгруппу наивысшего порядка. Изучаемая с 1970-х годов задача описания больших абелевых подгрупп конечных групп лиева типа восходит к А.И. Мальцеву, выделившему задачу о нахождении абелевых подгрупп максимальной размерности в комплексных простых группах Ли, [29].

Для одной серии классических комплексных групп Ли решение задачи было известно: И. Шур в начале прошлого века указал наивысшую размерность абелевых подгрупп групп ЗЬ(п. С) и доказал, что абелевы подгруппы этой размерности при п > 2 переводятся друг в друга автоморфизмами [77].

Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексной алгебре Ли Ьс, ассоциированной с соответствующей системой корней Ф, и последующей редукцией к задаче нахождения абелевых подалгебр наивысшей размерности, все элементы которых нильпотентны: автоморфизмами они переводятся в нильпо-тентную подалгебру ТУФ (С) с базисом {ег | г € Ф+} алгебры Шевалле, [48].

Требуемые подалгебры в [29] перечислены, с точностью до автоморфизмов алгебры Ьс, вместе с найденным перечислением "больших коммутативных" множеств корней в Ф+. Подмножество Ф в Ф+ названо А.И. Мальцевым коммутативным (или абелевым), если г + в £ Ф для всех г, 5 е Ф.

Подобно схеме Мальцева задача (Б) для групп лиева типа редуцируется к аналогичной задаче для групп и. Более точно, большая абелева подгруппа

группы G лиева типа над конечным полем совпадает с большой абелевой уни-потентной подгруппой или с одним из максимальных торов в G\ последние в 1978 - 1984 гг. перечислили Р. Картер |49|, |50| и Д. Деризиотис |52|, |53|.

К середине 80-х гг. М. Барри и В. Вонг в серии работ [41], [42], [85], [86], обобщая результаты Дж. Гузефа [59] и Г. Твейтса [81], описали для классических типов множество A(U) больших абелевых подгрупп группы U вместе с подмножеством A^{U) нормальных в U подгрупп, множество Ae(U) больших элементарных абелевых подгрупп в U, а также подгруппы Томпсона

J(U) = (А \ А £ A(U)), Je(U) = {А \ А £ Ae(U)).

В 1986 г. в обзоре A.C. Кондратьева [16] записана, как проблема (1.6).

Проблема (В). Описать множества A(U), Ae(U), AN(U) и подгруппы Томпсона J(U), Je(U) для оставшихся случаев G.

Подход к этой задаче, связанный с решением задачи (А), начинал разрабатываться с 90-х годов, см. анонс [25], [102] и [60]. В 1999 - 2001 г. порядки больших абелевых подгрупп в U и подгруппы Томпсона находил Е.П. Вдовин [5], [7], [6], модифицируя метод А.И. Мальцева [29] и используя компьютерные вычисления.

К. Паркер и П. Раули [72] называют нормальную абелеву подгруппу А группы U = UG(K) экстремальной, если A^U2 (2-й член стандартного центрального ряда в U). Это означает, что А имеет простой угол, т.е. существует простой корень г такой, что хотя бы один элемент из А имеет в каноническом разложении сомножитель вида xr(t), t ф 0. С целью приложений, в первую очередь, в ревизии ККПГ (классификации конечных простых групп) в |72| - |74| изучается

Задача Паркера — Раули: Выявить группы U, имеющие экстремальные подгруппы, и простые углы в таких подгруппах.

Тесно связана с этой задачей и (А) следующая задача

(Г) Изучить нормальное строение U и соответствие нормальных подгрупп в U — иФ(К) над полем и идеалов ассоциированного кольца Ли А^Ф(К).

Нормальное строение и автоморфизмы классических линейных групп [1], [12], [61], [76], а затем и групп Шевалле вызывали традиционный интерес (Д.А. Супруненко [37], Ю.И. Мерзляков [31], A.B. Михалев [18], [43], В.М. Пе-течук [33], [34], И.З. Голубчик [8], Е.И. Зельманов [13], Э. Абэ [39], [40] и др.).

Соответствие нормальных подгрупп группы 11Ф(К) и идеалов ассоциированного кольца Ли А^Ф(К) изучалось с 90-х годов. Вопросы характеризации радикальных колец с таким соответствием записаны в Коуровской тетради [17], см. вопрос 6.19 с комментарием Е.И. Хухро и вопрос 10.19.

Проблему описания автоморфизмов групп U над полем К решили Дж. Гиббс [58J (при charK ф 2, 3) и В.М. Левчук |22|, |23|. Автоморфизмы и теоретико-модельные вопросы взаимосвязано изучали A.B. Михалев, Е.И. Бунина |3], |46|, [47], [45] и др. для групп Шевалле над локальными кольцами, а для унипо-тентных подгрупп U групп Шевалле и ассоциированных колец - В. Вилер |83|, К. Видела [82], О.В. Белеградек [44], В.М. Левчук, Ф. Кузучуоглу [66], [65], Е.В. Минакова [28|.

С 90-х годов стали систематически изучаться локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр. Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил Р. Крист [51|. Естественно возникает задача

(Д) Построить примеры нетривиальных локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований алгебр NQ(K).

Группы Шевалле классических типов, их унипотентные подгруппы UG(K) и ассоциированные с ними кольца допускают финитарные обобщения. Пусть Г - произвольная цепь (линейно упорядоченное множество) с отношением порядка <. В.М. Левчук изучал обобщенную упитреугольиую группу UT(T,K) [21, 69, 70] как присоединенную группу кольца NT(T, К) финитарных матриц 7 =|| ||г,.?ег (с "iij = 0 при г < j и 7n = 1). На этом пути естественно интерпретируются известные примеры р-группы. совпадающей с коммутантом (И.Д. Адо [2]), и характеристически простой р-группы (Д. Маклейн [71]). В 1994 г. Ю.И. Мерзляков [32] выявил подгруппы с разными аномальными свойствами в мультипликативной группе GL(T, К) обратимых финитарных Г-матриц.

Другое обобщение подгруппы U группы G{K) лиева типа над кольцом К с квазирегулярным идеалом J дает ее произведение на конгруэнц-подгруппу G(K, J), то есть G(K, J)U. Известно, что такое представление с J, равным радикалу Джекобсона, имеет силовская р-подгруппа Р группы Шевалле Ф(К) над кольцом К вычетов целых чисел по р-примарному модулю. С.Г. Колесников [15] решил вопрос 12.42, описав Aut Р. Для типа Ап естественно приходим к изучению присоединенной группы радикального кольца Rn(K, J) всех п х тг-матриц с коэффициентами из ассоциативного кольца К с единицей и элементами из его идеала J на главной диагонали и над ней, [66]. Вопросы, связанные с перечислениями идеалов в Rn(K,J) изучаются с начала 2000-х гг.

Диссертация посвящена решению задач (А) - (Д) и некоторым приложениям. Она состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Номер теоремы, леммы и др. включает номер главы, параграфа и порядковый номер.

Основные результаты диссертации следующие.

1. Описаны максимальные абелевы нормальные подгруппы радикала II подгруппы Бореля группы С лиева типа над полем (решение задачи (А)).

2. Перечислены большие нормальные абелевы подгруппы конечных групп II и показано, что они есть большие абелевы; вместе с тем, завершено вычисление (для типов 3-Е>4 и 2Е&) порядков больших абелевых подгрупп в II.

3. Доказано, что в группе С лиева типа либо любая большая абелева унипо-тентная подгруппа сопряжена с нормальной подгруппой в II, либо б типа Сг,

2-^4 или 2Еб, перечислены все исключительные подгруппы из А(11).

4. Завершено вычисление подгрупп Томпсона в II (для типов Сг, 304, 2Е4,

2 Ее и Е%) и, в целом, решение проблем о больших абелевых подгруппах в[/иС.

5. Найдены критерии нормальности подгрупп в и над полем в терминах введенных фреймов и соответствие нормальных подгрупп группы [/ = IIФ(К) для классических типов и типа Еп и идеалов ассоциированного кольца Ли; для типа. Ап соответствие обобщается на случай колец коэффициентов.

Как приложения, получены следующие результаты:

- дано новое решение задачи Паркера - Раули об экстремальных подгруппах;

- для любой цепи Г построены финитарные унипотентные группы [I над полем типа Вг, Ср, -Сг; 2-Ог и описаны их автоморфизмы;

- найдены новые примеры нетривиальных локальных автоморфизмов лиевых алгебр ТУФ (К) классических типов;

- обобщены на некоммутативное кольцо К коэффициентов известные перечислительные теоремы об идеалах кольца Яп(К, </).

В § 1.1 главы 1 приводится используемая из известных монографий Р. Картера [48], Ж-П. Серра [35] и Р. Стейнберга [36] терминология, связанная с группами лиева типа; особо оговариваются случаи расхождения терминологии. В § 1.2 вводятся специальные представления группы \JGiK) из [22], [23]. Основные результаты главы 1 посвящены нормальному строению иС(К). Ключевым для них является понятие фрейма подмножества в II (см. § 1.3). Пусть С = Ф или С =т Ф. Через {г}+ при г £ С обозначим совокупность

3 £ с неотрицательными коэффициентами в линейном выражении з — г через базу П. Положим

Т(г) = (х, 15 е м+), <3(г) = {х3\ зе {г}+ \ {г},

а при Ь С также С^{Ь) = (Х3 | я е иге£,{?,}+ \ Ь).

Если Н С Т{ )Т(г2) ■. .Т(гт) и включение нарушается при любой замене Т(гг) на С^(гг), то назовем {г^гг,--- , ?*т} = £{Н) множеством углов для Н.

Когда s-проекция любого элемента из H равна произведению r-проекции на фиксированный скаляр ф 0, назовем г и s связанными в Н; при р, г + р, s + р G G+ их называем также р-связа,нпым:и,.

Замечаем, что если в произвольной группе G зафиксировать систему S представителей смежных классов по нормальной подгруппе H, то при любом А С. G однозначно определено подмножество Т(А) Ç S такое, что А = Т(А) mod H.

Фреймом, для, H С. U назовем множество Т{Н) такое, что

П Xa, Т{Н) = Н mod Ц Q(s).

seC(H) seC(H)

Ясно, что элементы из H дают фрейм Т(Н), если в их канонических разложениях отбросить все сомножители xr(t) с г ^ £(Н).

Критерий нормальности подгрупп групп U классического типа и Еп дает

Теорема 1.3.1. Пусть H - подгруппа группы UG(K) классического типа или типа Еп над полем К. Если 2К = К или UG(K) типа Ап или 2Ап, то H < U G {К) в том и только том случае, когда J-"([H, Хр]) Ç H для каждого р G П(С). Для типа Dn (или 2Dn), если H < UG(K) и !F([H,XP]) g H для некоторого р G П(С), то существуют простые углы г, г (соответственно, С(г)) и р-связанный с ними угол в H, проекции H на которые имеют порядок 2.

Нормальное строение групп U некоторых классических типов описывает

Теорема 1.3.8. Пусть UG(K) - группа типа Вп, Сп при 2К = К или типа Ап, 2Ап. Подгруппа H нормальна тогда и только тогда, когда для любого угла г подгруппы H и любого р G П(С) с условием г + р G G имеем

(Л) T([H,Xp})Q(r+p)ÇH,

или G = Вп и выполнено условие

(В) в [Н, Хр] найдутся два q-связанных угла для некоторого q G П(С), в [H, Xq] найдутся два связанных угла и XP})J-([H, Xq])Q(r + p,r + p + q) С H.

На исключительные группы UCn(K), 2К = 0 теорема 1.3.8 переносится в § 1.4 с помощью модификации понятий углов и фреймов. Подмножество S в Ф+ назовем 2-норм,а,льн:ым,, если включения s G S и t, s + t. is + jt G Ф+ при нечетной константе Cl3ySt (i,j > 0) из коммутаторной формулы Шевалле всегда дают включение is + jt G S. Через {r}^ обозначим минимальное 2-нормальное подмножество в Ф+, содержащее г. По аналогии с Т(г) и Q(L) вводим

T{r} = (Xs | s G {r}2+>, Q{L} = (Xs | s G UreL{r}+ \ L), L С Ф+.

Назовем {ri,?^,-- - ,rm} множеством 2-углов с обозначением С2(Н) в H Ç T{ri}T{r2} .. .Т{гт}, если при любой замене Т{гг} на Q{rt} включение нарушается. Заменив в определении фрейма Т(Н) множеств Q(s) на Qfs} и С(Н) на С2{Н), приходим к понятию 2-фрейма H). Основной в § 1.4 является

Теорема 1.4.1. Подгруппа Я группы 11Сп(К) над полем К порядка > 2 у характеристик а 2 нормальна тогда и только тогда, "когда дня /чобого ее 2-угла г и любого простого корня р такого, 'что г + р - короткий корень, выполнено одно из следующих условий

(.А2) Т2([Н,Хр})(3{г + р] С Я и при |? | ф \р\ также <^){г + р + й} С Н для короткого корня з € {г, р},

(В2) в [Я, АГР] найдутся два д-связанных 2-угла для некоторого простого корня в [Я, найдутся два связанных 2-угла, причем

Т2([Н, ХР])Ъ([Я, Хч])Я{г + р,г + р + Я} С Я

Нормальное строение группы 1/Сп(2) более громоздкое (теорема 14 2) Теоремы 151,152и153в§15 показывают существенность ограничения 2К = К в теореме 13 1 для групп и типа 2Бп и Еп, соответственно, и выявляют нормальное строение указанных исключительных групп Заметим, что в группах и типа и 2£)п существуют максимальные абслевы нормальные подгруппы М такие, что вес коммутаторов [[ [[М, II], Щ ], [/], не порождаемых корневыми подгруппами, неограничено растет вместе с п

Теоремы 131, 13 8, 151, 152 опубликованы в совместных работах [113], [104], [114] (соавтор В М Лсвчук) в нераздельном соавторстве Теорема 15 3 (см также теорему 5 3 4 из § 5 3) опубликована в работе [105], совместной с дипломником В В Якоби, ему принадлежат компьютерные перечисления в доказательстве теоремы 15 3 Теоремы 1 4 1 и 1 4 2, вместе с понятиями 2-угла и 2-фрейма, опубликованы автором в [103]

В главе 2 полностью решена проблема (А) Для групп [I исключительного типа лиева ранга < 2 ее решение приведено в § 2 1 (теорема 2 11)

Для классических типов решение проблемы (А) устанавливается в § 2 2 (теоремы 2 2 2 и 2 2 4) Для типа Ап она была решена ранее в [19] (см лемму 2 2 1) Для остальных классических типов ее решают теорема 2 2 2 и теорема 2 2 4, использующая язык специального матричного представления из § 1 3 Для групп и типа Еп проблема (А) решена в § 2 3 (таблицы 2 - 4 и теорема 2 3 1)

Явное описание максимальных абелевых нормальных подгрупп в группах иРА(К), и2Е6(К) и и2Е4(К) дает в § 24 теорема 2 4 1, опирающаяся на их представление из [22]

Результаты второй главы опубликовали совместно автор и В М Левчук [104] и [114] результаты, относящиеся к классическим типам и к случаям лиева ранга < 2, получены в нераздельном соавторстве остальные результаты принадлежат диссертанту

Главы 3 и 4 посвящены решению проблемы (В). Развивается подход, связанный с гипотезой:

(В1) Верно ли, что большая нормальная абелева подгруппа в U всегда есть большая абелева подгруппа?

В общем случае большая нормальная Р-подгруппа конечной группы не обязана быть большой Р-подгруппой, как показывают примеры в § 3.2. Описание в §3.1 больших абелевых нормальных подгрупп групп U = UG(K) над конечным полем К найдено как следствие результатов главы 2 (теоремы 3.1.1 и 3.1.2). В §3.3 гипотезу подтверждает

Теорема 3.3.1. В группе U = UG(K) над конечным полем К большие нормальные абелевы подгруппы и только они являются нормальными большими абелевыми подгруппами.

Таким образом, найденное в § 3.1 описание больших нормальных абелевых подгрупп в U дает также явное описание множества AN(U). Одновременно получаем и порядки a(U) больших абелевых подгрупп в U; известные ранее формулы Е.П. Вдовина [7] порядков a(U) уточняются для типов G2, 3D4 и 2Е&.

Далее проблема (В) редуцируется к задаче

(В2) Выявить группы U, в к