Нормальное строение и автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиевых типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ^ ^ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

. " Ч Механико-математический факультет

На (трапа* рукописи УДК 512.5

МАРТЫНОВА ЛАРИСА АЛЕКСАНДРОВНА

НОР&ЯАЛЬйОЕ СТРОЕНИЕ И АВТОМОРФИЗМЫ УНШПОТ ЕНТНЫХ ПОДГРУПП ГРУПП ПЫЕВЫХ типов

и 1.01.Св - математическая логика, алгебра и теория чисол

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фяэико-мате.'.ютическик наук

Москва * 1994.

Работа выполнена на кафедре пысиюй алгебры механико-ма тематического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научные руководители:

доктор фиэико-ма тематических наук, профессор Б.М.Лсвчук

доктор физико-математических наук, профессор А.В.Мнхалео

Официальные оппоненты:

доктор фиэико-математичоских наук профессор С.П.Струнксш

доктор физико-математических нлук, профессор Тюкаонин Д.В.

Ведущая организация: Московский

государственный

педагогический

университет.

Защита состоится "16" декабря 1994 г. в 16 часов 05 минут

на заседании диссертационного Совета Д 0S3.0S.05 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Моек» и Ленинские Горы, МГУ, мехдннко-млтематический факуг рт, суд-114-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факулы'гга МГУ (14 этаж).

Аятолефе; к разослан ¿¡4994 года.

Ученым секратирь диссертационного Совета

Д 65.105.05 при МГУ, доктор физике-*«! еретических наук, профессор В.Н.Чубарикоа

Актуальность темы. Вопросы описания автоморфизмов алгебраических систем, описания нормального строения групп и решетки идеалов колец и алгебр всегда относились к числу центральных в исследованиях клг.ссических алгебраических систем C1.2:.

В диссертации взаимосвязанно изучаются нормальные подгруппы уйипотентной подгруппы

иФ(К] = гр {xjtíl геФ,4:еК \

группы Щ®валле типа Ф над полем К ( Ф - неразложимая система корней) и идеалы ассоциированного кольца'Ли, а также автоморфизмы обобщенных унипотентных подгрупп.

Иэё*>стно, что группа, типа изоморфна присоединенной

группе (относительно присоединенного умножкшы

о<« £ = oí + jb — о< ) кольца NT(n,K) нильтуеуголышч

матриц Степени п над К. В 1951 году Двбит и Перлис СЭ i описали идеалы алгебры NT(n,K) над полем К. Идеалы ассоциированного кольца Ли образуют существенно более вироки£ класс. В 1976 году В.М.Левчук доказал, что кпаог нормальных подгрупп присоединенной группы кольца NT(n.K) совпадает с классом идеалов ассоциированного кольца Ли C'j . Там же дано явное описание этих классоз. Вопрос описания нормальних подгрупп уннтреугольноЯ группы рассматривали также Уир, 1955 год ( максимальные абелеви нормальные подгруппы) и С.Д.Берман, 1969 год.

Возможность установления аналогичных связей для унипотентных подгрупп UÍ>(K) и их ассоциированных колец Ли выска-

1. Супрунекко Д.А. Группы матриц. - М.-: Наука, 1972, 351 с.

2. Hahn A.J., James D.G., Weisfelier В. Ilomoinorphisms of algebraic and classical groups: a survey. - Can. Math. Soc., 1984, No 4, p. 249-296

3. Dubish Я., Perlis S. On total nilpotent groups. - Amer. J. Math., 1951 73, No 3, p. 439-452. -

4. Левчук 3 M. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоедннййЯйв группы. - Мат. заметки, 1987, 42,.К 5, с. 631-641.

зывалась 3.М.Леачукои в 1979 году. Установ/№КИ> этих сзяэей началось в совместной работе С53.

Близким направлением является исследовин'.ю предельных групп. На этом пути были построены первые п*;ичары р-группы, совпадающей с коммутантом (И.Д.Адо, 19'.3) и пример характеристически простой р-группы (Д.Маклейн,1954). Результаты работ о нормальных подгруппах и автоморфизмах

унитреугольной группы 1)Т(п,К) переносились Ё.Г.Косманок СВ} на предельные унитреугольные группы над конечным полем. В 1987 году В.М.Левчук [4] исслецовал нормальное строение и автоморфизмы в более общей ситуации - для кольца №Г(Г,К) и его присоединенной группы, где строки и столбцы нумеруются не конечным, а произвольным линейно упорядоченным множеством Г. (Группе, рабсматривюшейся Е.Г.Коспешом, здлсь соответствует случай цепи Г натуральных чисел).

Традиционно вал нов направление в теории классических групп, а затем и групп Шевалле - изучение автоморфизмов и гомоморфизмов. В последние десятилетия <десъ достигнуты успехи в рассмотрении самых общих ситуаций ( О'Кира, В.М.Левчук, В.М.Петечук, И.3.Голубчик и А.В.Михалев, Е.И.Зельманов, В.Н.Герасимов, Л.К.Васерптейн, Е.Абв).

В [7,4] были описаны автоморфизмы лиева кольца ИТ(Г,К) и ого присоедиенной группы для произвольной цепи Г и кольца К £гэ делителей нуля. Более частные результаты в случае конечной цепи Г и конечного поля характеристики ¿2, получили ра-

5. Левчук В.К., Ма Л.А. Нормальное строение унипстенткых подг> пл групп Севаплв и идеалы ассоциированного кольца Ли. - В сб.. Конструкции в алгебре и логике. Тверь: ТГУ, 1990, с. 60-'-(|.

6. Левчук В.М. ' <;группы унитреугольной группы. - Изв. АН СССР, сер. мат'К . 1974, 38, N 6, с. 1202-1220, '

Левчук В.М Автоморфизмы некоторых нильлотентных матричных групп и колец. - ДАН СССР, 1975, 222, N 6, с. 1279-1282.

8. Косиам Б.Г. О силовских р-подгруппах предельной полной линейной группы над конечным полем. - Вопросы теории групп и гомол. алгебры. Ярославль: 1982, с. 38-47.

нее П«П.Паалов сад и Уир ПОЗ. Позднее Гиббс ин и В.М.Левчук 021 описали автоморфизмы унипотен юй группы ЧФ(К) над произвольным полек К других типов Ф.

Отметим, что а [5] построены обобщении э лиевы кольца NG(K) типов Г,»ВГ,СГ ,Dr.

Цель работы: изучение нормального строэиия унипогентных групп типов ,Dn,Е^,1=6,7,8, и автоморфизмов предельной присоединенной группы NDr(K), К - поле, Г - цепь натуральных чисел.

Научная новизна'. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методика исследования. Б работе использовались обца« методы исследования теории групп, колец, алгебр Ли, использовалось специальное представление уннпотентных подгрупп типа D„, которое позволяет естественно рассматривать обобщенные (предельные) унипотетнтые подгруппы.

Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп, в теории холяц, в различных вопросах, связанных со строен-ем групп лиевих типов.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах Московского государственного университета им. Н.В.Ломоносова, Красноярского государственного университета, на III Международной конференции по алгебре ( Красноярск, 1993), на XI симпозиуме по теории групп в Свердловске, на IV Бсесомзной школ«

9. Павлов П.П. Силовские р-подгруппы полной линейной группы над простим полем характеристики р. - Изв. АН СССР, сер. Натем. 1952, 16, N 5, с. 437-458.

10. Weir A.J. Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristic p. - Proc. Amer. Soc. , 1955, 6. No 3, p.454-464.

11. Gibbs J.A. Automorphisms of certain unipotent groups. -J. Algebra, 1970, 14, No 2. p. 203-220.

12. Левчук В.И. Автоморфизмы уннпотентных подгрупп.групп Шевалле - Ллгвбра и логика, 1990,29, N 3, с. 315-338.

-ti-

no применению лиевых алгебр в физике и математике (Казань. 1990). ' '

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2,3,4] , приведенных в г.онц<$ aere реферата.

Структура и объем диссертации. Работа «»стоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащого 21 наименование, Обьим диссертации 68 машинописных страниц.

Содержание диссертации.

В лиевой алгебре с базисом Шоваллв [вх , (rf Ф)] над полей К ct-ii выделим подалгебру N4>(K) с базисом {е%, г£Ф*}. Всякий элемент Aé 1Ф(К) единственным способон разложим в произведение корневых элементов ?<г(1х_), (г£Ф ). расположенных в соответствии с фиксирован«.!« (произвольно) упорядочением корней, половим

Л(А) - Z , Ф.

»

Очевидно, что fí' есть иэ^орфизи группы иФ(К) на группу Níi(K) (относительно операции «/ • =: *7¡> {^-'^fei) .

которую будем иазыпат> присояринеыной группой.

Одним из главных результатов диссертации является Теорема 1. Пусть К - поле характеристики /2, а в случае с=0'2, так ве ^3. Идеалы лиена кольца МФ(К) и только они являются нормальными подгруппами присоединенной группы.

В главе X £5 '',3,4 ддно доказательство теоремы 1 для типов <Í>=F^ , , 1=6. . , а, В этих^же параграфах явно описаны идеалы лиева кольца !м}>(К) для указанных случаев. В главе II áf 5,6 теорема 1 доказывается для Ф=1>п .Как отмечалось выше, случай Ф-А п рассматривался ранее сю . Случаи Ф=В„,Сл , D„ ,Сг теоремы устанны в совместной работе [5); в случае Ф=0Л теорема, вне т* с доказательством принадлежит диссертанту.

13 Carter R.W. Simple groups of Lie type. - London et al: J. .Wiley, ¡972.

14. B.M. Связи унитреугольной группы с некоторыми

кольцами. " Алгебра и логика, 1976, 15, N 5, с. 5.5.J--578.

s -

.Описание идеа тов для Ф«ЕС дает теорема 3, приведенная нияе. Предварительно введен некотгрые определения.

В соответствии с {5] определим Т(г) и Q(r). Если ri®, то совокупность корней s £ Д"4 которых s-г-линейная комбинация простых корней с негтрицательными коэффициентами, обозначается через {г}+ . Корень s называется углом подмножества H С N4>(K), ест и совокупность H(s) всех s-координат из H отлична от ну» я и Н(г)»0 при sétr}*.

Положим так *е

T<r%J=<K^ÎI5éjti+>> QM'MeiUselti+s+tï;

для удобства половим е.=р;5), 5€4,

5 .

Теорема 3. Пусть К - поле характеристики Аддитивная

подгруппа Н#0 лиева ко ;ьца НЕ^(К), является его идеалом тогда и только тогда, /согда для любого ее угла г и простого корня р при г+р€ Е^ , Т(г-+р)<д^Н, всегда существует угол я и ненулевой элемент <1€К, для которых 5-я координата любого элемента из К совпадччт с произведением г-й координаты на <1 и хотя бы одного 1*0,1,2 выполняется условие: а^) существуют простые корни рв"р, р ,...',р. такие, что

И'= рв + ...+р. , Г+Ш.,5+В.(Ев г ^ ч 1

Н7>(...((Н*К'=(Р,)),'Ке(р/))*...)Ке{р.), j-0.....1;

Аналогичные описания идеалов лиева кольца КФ(К) для типов ф=р*''с■1™7,8, указывают теоремы 2, 4 главы I.

В-1 второй главе диссертации устанавливается соответствие межд' идеалами лиева кольца и нормальными "'подгруппами присо-едт енной группы типа > дается их явное описание.

Назовем О -матрицей таблицу вида

аг-<

V/

а а л а .. ,

л-г П-1 т пг

а

/И-л

а.ц£К, К - поле. -матрицу, у которой на месте (1,.)) стоит единица, на остальное пестах нули ^ назовем элементарной ^-матрицей и обозначим £ I^

Можно показать, что множество РЛ(К) всех Рл-матриц над К является лиевым кольцом относительно по-координатного сложения и билинейного умножения, определенного правилом

ке ке V

' ¿¿г. 1>К , ) = К,

- , 4Лии. ь> К, </=-)<, . О' , ¿еа/А. ь'-кС

Более того, есть лиева алгебра (с обычным умноже-

нием матриц на скаляры), изоморфная алгебре №П(К), причем элементарные матрицы соответствуют элементам е^,,' г'РЦ" i = 8 (г£Ф) базиса Шеваллв. Поэтому естественно считать, что отображение определено на множестве 0^(К). Ему соответствует присоединенное умножение на 0П(К) такое, что есть изоморфизм группы иРп(К) на группу<Б„ (К);'}.

По аналогии с [3 ] будем использовать понятие матричной лестницы.

Определение, Матричной лестницей с углами {if.it ).....

(), <...<!.£; называется линия [,, которая

проходит ь патрице следующим образом: по строке от (1-

)-го столбца до позиции (1| от нее по з, -му столбцу до

^-й строки и по ней до поэнциии (¿¿.Лг.) и та'с далее, от позиции ПО "У столбцу до п-ой строки.

Можно сопоставить с каидым ненулевым множеством НСОл(К) лестницу 1,(11), выше которой все матрицы из Н имеют нули, а в каждой угловой позиции хотя бы одна матрица из Н имеет ненулевой элемент.

Теорема 5. Пусть К - поле характеристики ¿2. Аддитивная подгруппа 11^0 кольца К0Л(К) является ого идеалом тогда и

только тогда, когда Юк£щ/ для любой позиции (u.v), лежащий на или под лестницей L(H); исключения могут быть в следующих случаях:

1) (u.v) - угол L(H) ;

2) (r,-t>, (s,t-l), если (s,t), (r.l-t) - углы 1(11). Тогда существует с^О, céK тактЛ, что для гаядой Рп-матрицы Il a^yll из И имеем

o-si = ca<4-t ,

3) (t.l). (s,t-l), если <s,t), (t-1,1) - углы L(K). тогда существует cf0, cfК такой, что для каждой Ол-катрицы

Il а ц |1С H имеем

4) (t,l-t), (s.t-2) если (s,t), (t-l,2-t) - углы L(H), тогда существует c£K, с^П такой, что для каждой ¡¡a^jll H имеем

5) (т,-1), (т,1) или С s, — 1, (m>s), если (s,l) - угол L(H). Тогда (m,j) - позиция H равна нул», jM и сущестиует с^О, С'еК та*ой, что для каждой матрицы ||а Я <£ H инеем

at4~-6asi > Но +

t -

Доказательство теоремы I для случая Dn заключается в том, что нормальные подгруппы присоединенной группы допускают аналогичное описание (Лемма 13).

Основным результатом $ 7 второй главы диссертации является теорема б, которая дает описание автокорфизноз обобщенной унипотентной группы UD(-(K), где К - попе характеристики Г - цепь натуральных чисел.

Стандартными автоморфизмами присоединенной группы .\Dp(K) называются диагеналььый, кольцеэой, графовый и локально в «утренний.

Творена 6. Веяний автоморфизм присоединенной группы КСр (К} над полем к разложим в произведение стандартных автоморфизмов.

Работы автора по теме диссертации

1. Левчук В.М., Мартынова Л. А. Нормальное строение унипотвнтних подгрупп групп Шевалле и идеалы ассоциированного ксльца Ли. - В сб.: Конструкции в алгебре и логике. Тверь: ТП. 1990. с. 60-66. у

2. Левчук В.И., Мартынова Л.А. Нормальные подгруппы унипотентной подгруппы классической линейной группы. - В сб. : XI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. Свердловбк: У0 АН СССР, 1989, с. 71. с.

3. Мартынова Л.?.. Автоморфизмы унипотентной подгруппы предельной группы Иевалле типа Dj.. - В сб.: III Международная конференция по алгебре. Красноярск: КГУ, ИМ СО РАН, 1993, с. 225.

4. Мартынова "Л.А. Нормальное строение унипотентных подгрупп групп Шевалле типов Е^ ,i»6,7.8, над полем. - В сб.: IV Всесоюзн. школа алгебры Ли и их применения в математике и физике. Казань: MI СССР, МГУ, МИ им. В.А. Ствклова, КГУ, 1990, с. 56.

5. Мартынова Л,А. Нормальные подгруппы унипотентных подгрупп групп Шевалле тияив Е£ ,1=6.7,8. - Вестник МГУ. сер. I, математика, механика.

•Подписано б печать 02.11.1994.. Формат 60x90/16. Бумага для мнохительных аппаратов. Печать офсетная

Заказ 486. Тираж 100 экз. Красноярский государственный технический университет,

Квсноярск, ул. Киренского, 36