Свободные абелевы расширения Sp-перестановочных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава I. Коммутаторы и абелевы конгруэнции в конгруэнцмодулярных многообразиях

§1. Коммутаторы конгруэнций и абелевы алгебры.

§2. Абелевы расширения и разрешимые алгебры.

§3. Клоны операций.

Глава II. Свободные абелевы расширения в конгруэнц-перестановочных многообразиях

§1. Свободные абелевы расширения.

§2. Свободная разрешимая алгебра.

Глава III.Конструкция свободных абелевых расширений Spперестановочных алгебр

§1. Построение свободного абелева расширения.

§2. Свободные абелевы алгебры.

Глава IV.Свойства свободных абелевых расширений Sp-neрестановочных алгебр

§1. Свободные абелевы расширения р-алгебр.

§2. Элементы свободных абелевых расширений.

§3. Свободные абелевы расширения как модули над предаддитивными категориями.

§4. Равенства слов в свободных абелевых расширениях

Глава V. Разрешимые ^-перестановочные алгебры

§1. Тождества на многообразиях разрешимых алгебр

§2. Гомоморфизмы свободных разрешимых алгебр.

§3. Свойство Хопфа.

В настоящее время активно развивается одно из важных направлений в универсальной алгебре, в рамках которого изучается связь решеток конгруэнций алгебр данного многообразия с термальными операциями на алгебрах. Начало этих исследований связано с известной теоремой А.И. Мальцева [7], утверждающей, что многообразие является конгруэнц-перестановочным тогда и только тогда, когда существует тернарный терм р от основных операций, такой, что на данном многообразии выполнены тождества р(х, х, у) = р(у,х,х) = у. Дальнейшее развитие в этом направлении связано с работами Дея [23], Ионссона [28], Пиксли [39], в которых найдены аналогичные условия, характеризующие конгруэнц-модулярные, конгруэнц-дистрибутивные и арифметические многообразия, а также с целым рядом других работ.

В конце прошлого века, благодаря результатам Гумма, Маккензи, Смита, Фриза, Геррманна, Хагеманна и других исследователей, возникла теория коммутаторов, которая нашла важное применение при изучении конгруэнц-модулярных многообразий. Систематическое изложение этой теории можно найти в книге [25], а также в монографиях [11], [2]. Понятие коммутатора конгруэнций обобщает соответствующее понятие в группах и кольцах. В терминах коммутаторов дается определение центра алгебры, которое совпадает в группах с классическим определением центра. Обобщены также понятия абелевой, разрешимой и нильпотент-ной алгебр. В любом конгруэнц-модулярном многообразии класс абеле-вых алгебр, а также класс разрешимых (нильпотентных) алгебр степени не более к для фиксированного натурального числа к являются многообразиями. Свойства этих многообразий и отдельных алгебр активно изучаются в настоящее время. Разрешимые алгебры играют важную роль в исследовании конечных алгебр [27].

В. А. Артамонов в работе [1] перенес представление Магнуса для групп на случай произвольного конгруэнц-модулярного многообразия, обобщив тем самым понятие свободного абелева расширения. При этом вводится важный аналог целочисленного группового кольца - касательное кольцо. В этой же работе строится дифференциальное исчисление для конгруэнц-модулярных многообразий. Тем самым обобщается дифференциальное исчисление Фокса [24] для групповых колец, которое применяется для решения многих задач в свободных метабелевых группах и алгебрах Ли. Так, например, оно используется при решении задачи о примитивном элементе [31], [32], [33], [9], [35], [37], [14], помогает в некоторых случаях установить, является ли данное многообразие алгебр над полем шрейеровым [15]. Результаты, связанные с дифференцированием Фокса, можно также найти в работах [34], [36], [13], [41], а также в обзоре [21].

Представление Магнуса в конгруэнц-модулярных многообразиях дает возможность изучения разрешимых алгебр. Абелевым расширениям в конгруэнц-модулярных многообразиях посвящена также работа [40].

Теория коммутаторов также находит широкое применение при исследовании конгруэнц-перестановочных многообразий, составляющих важный класс конгруэнц-модулярных многообразий. Интерес к этим многообразиям является вполне естественным в силу того, что конгруэнц-пе-рестановочными являются, например, многообразия групп, колец, квазигрупп. С.Чакрабарти в работе [18] изучает свободные разрешимые алгебры в многообразии с одной тернарной мальцевской операцией (ралгебры). Описана конструкция свободной разрешимой алгебры, и, в частности, абелевой алгебры. Показано, что никакая свободная разрешимая алгебра конечного ранга не вложима в другую свободную разрешимую алгебру меньшего ранга. Доказывается, что любой эпи-эндомор-физм свободной разрешимой р-алгебры является автоморфизмом (свойство Хопфа). В работе [20] эти результаты были перенесены на случай общих конгруэнц-модулярных многообразий.

Конгруэнц-перестановочные многообразия привлекают внимание исследователей во многих областях алгебры, в частности, в теории унарных алгебр. В работе В.К.Карташова [3] указано правило, по которому на каждом унаре (алгебре с одной унарной операцией) можно определить тернарную мальцевскую операцию, перестановочную с унарной. Свойства полученных алгебр рассматриваются в [16].

Пусть 5 - моноид унарных функциональных символов, и р - тернарный функциональный символ. Алгебра G сигнатуры (р, S) называется (р, S)-алгеброй, если она удовлетворяет тождествам Мальцева для операции р, а также тождествам sis2(x) = s2(si(x)), lx = х для всех ж,у е G, где si,s2 £ S, и 1 - единица S. Отметим, что G является, таким образом, полигоном над моноидом S.

В настоящей работе изучаются свободные абелевы расширения в многообразии (р, 5)-алгебр. Оказалось, что изучение конструкции свободного абелева расширения произвольной алгебры в любом конгруэнц-перестановочном многообразии сводится к изучению свободного абелева расширения некоторой подходящей (р, 5)-алгебры.

Отметим, что теория полигонов над моноидами активно развивается благодаря работам Л.А.Скорнякова [12], А.В.Михалева [30], У.Кнауэра, М.Килпа, И.Б. Кожухова [4] и других авторов. Помимо того, что полигоны представляют самостоятельный интерес, они изучаются и как обобщения унаров, а также находят важное применение в теории модулей.

Настоящая работа состоит из пяти глав. В первой главе приводятся необходимые сведения из теории коммутаторов в конгруэнц-модулярных и перестановочных многообразиях. В частности, дается определение свободного абелева расширения и разрешимой алгебры. Там же изложены необходимые понятия теории клонов.

Во второй главе рассматривается проблема построения свободных абелевых расширений в произвольных конгруэнц-перестановочных многообразиях. Показано, что на любой алгебре А с порождающим множеством X, принадлежащей данному конгруэнц-перестановочному многообразию ф сигнатуры Q с мальцевским термом р можно определить структуру (р, S)-алгебры, построив моноид S, элементами которого являются всевозможные классы полиномиально определимых унарных операций, действующих одинаково на данной алгебре. Пусть D - свободное абелево расширение (р, 5)-алгебры А, порожденное X. Тогда существует конгруэнция а;, такая, что на £)/ш можно полиномиально определить операции из Q, причем полученная алгебра принадлежит многообразию ф. Ее подалгебра, порожденная X, является свободным абелевым расширением исходной алгебры А. Конгруэнция и задается своими порождающими.

Во втором параграфе та же техника применяется для построения свободной разрешимой алгебры многообразия ф. Сначала приводится конструкция свободной абелевой алгебры (разрешимой алгебры степени 1). При этом соответствующий моноид S полностью определяется тождествами многообразия ф. В качестве алгебры D в этом случае берется свободная абелева (р, 5")-алгебра. В теореме 2.2.3 показывается, что свободная разрешимая алгебра степени k +1 является свободным абелевым расширением свободной разрешимой алгебры степени к для любого натурального к. Отсюда вытекает, что, используя конструкцию свободной абелевой алгебры, можно последовательно строить свободные разрешимые алгебры любой степени. Тем самым, получено описание свободных разрешимых алгебр произвольного конгруэнц-перестановочного многообразия в терминах (р, 5)-алгебр. Далее мы будем использовать обозначение АЕ{А) для свободного абелева расширения алгебры А.

Глава третья посвящена описанию конструкции свободных абелевых расширений 5р-перестановочных алгебр, то есть таких (р, 5)-алгебр, у которых полугруппа S \ {1} является свободным произведением некоторых полугрупп Sq и Sp, причем элементы из Sp перестановочны с мальцевской операцией р. Зафиксируем полугруппы Sq и Sp и обозначим через V многообразие всех ^-перестановочных алгебр.

В первом параграфе дается описание свободного абелева расширения произвольной У-алгебры А в терминах модуля U(Л) над кольцом .R(A) со многими объектами в смысле [38]. Общий подход к построению таких конструкций в конгруэнц-модулярном многообразии описан в [1]. Его применение можно также найти в [18] и в [20]. Далее доказывается Теорема 3.1.8. Пусть В - свободное абелево расширение алгебры А € V Тогда ядро I абелева гомоморфизма из В на А есть наибольшая абелева конгруэнция на В.

Во втором параграфе излагается конструкция свободной абелевой Sp-перестановочной алгебры с базой X. Рассмотрим для этого свободный ZS-модуль Н(Х) с базой X. Положим р(х, y,z) = х — у + z и s(x) — sx для любых x,y,z G Н(Х) и для каждого s € S. В полученной 5р-пе-рестановочной алгебре выделим подалгебру Fi, порожденную множеством X.

Теорема 3.2.7. F\ является свободной абелевой Sp-перестановочной алгеброй с базой X.

Пусть е - тривиализация полу группового кольца ZS, то есть отображение ZS —> Z, Через £н обозначим продолжение е до

МОДУЛЬНОГО ГОМОМОрфиЗМа ИЗ Н(Х) в Z, При КОТОРОМ Г{Х{ J2 £{ri)

Теорема 3.2.4. Элемент т € Н(Х) принадлежит тогда и только тогда, когда £#(ra) = 1.

Конструкция свободной абелевой алгебры служит основой для построения всех свободных разрешимых 5р-перестановочных алгебр.

В четвертой главе изучаются свойства свободных абелевых расширений 5р-перестановочных алгебр.

Если S - единичный моноид, то мы получаем многообразие алгебр б одной тернарной мальцевской операцией, которое рассмотрено в [18]. Это обстоятельство позволяет изучать р-алгебры с позиций теории (р, S)-алгебр. Так, если F - свободная разрешимая 5р-перестановочная алгебра, и Fp - ее подалгебра, порожденная ее базой относительно операции р, то справедлива

Теорема 4.1.2. Fp является свободной разрешимой р-алгеброй степени к с базой X.

Второй параграф содержит полезный критерий принадлежности элемента модуля U(А) свободному абелеву расширению алгебры А.

В третьем параграфе свободные абелевы расширения и свободные разрешимые 5р-перестановочные алгебры рассматриваются с точки зрения модулей над предаддитивными категориями (кольцами с несколькими объектами). В частности, показывается, что каждый класс по ядру гомоморфизма из АЕ(А) на А является свободной абелевой группой. Доказано, что на свободной абелевой алгебре с базой X полиномиально определима структура модуля над целочисленным полугрупповым кольцом ZS, изоморфного подмодулю

Н0 = {h € Яр0 | eH(h) = 0} свободного ZS-модуля Н(Х).

При изучении многообразий универсальных алгебр большое внимание уделяется решению алгоритмических проблем. Одной из важнейших является проблема равенства слов, разрешимость (или неразрешимость) которой весьма часто помогает установить разрешимость других проблем [29]. Конструкция свободных абелевых расширений помогает решать в них проблему равенства слов.

Теорема 4.4.13. Если в Sp, в So и в А алгоритмически разрешима проблема равенства слов, то она разрешима и в АЕ(А).

Пусть свободное абелево расширение АЕ(А) некоторой ^-перестановочной алгебры А порождено множеством X.

Теорема 4.4.9. Подалгебра, порожденная в АЕ(А) множеством X относительно операций из S, является свободным S-полигоном.

Содержание пятой главы составляет исследование свободных разрешимых 5р-перестановочных алгебр. Обозначим через V* многообразие всех разрешимых 5р-перестановочных алгебр степени не выше фиксированного числа к. В силу теоремы 2.2.3, конструкция свободной абеле-вой алгебры дает возможность по индукции получить конструкцию свободной разрешимой алгебры многообразия Vk для произвольного к. Из построения свободной абелевой алгебры следует, что в ней разрешима проблема равенства слов (при условии ее разрешимости в S). Отсюда, а также из теоремы 4.4.13, вытекает

Следствие 5.1.1. Проблема равенства слов разрешима в Fn тогда и только тогда, когда она разрешима в свободных сомножителях Sp, So полугруппы S \ {1}.

Тем самым показывается, что, при условии разрешимости проблемы равенства в S, в многообразии Vk имеет решение проблема распознавания тождеств. Дальнейшее изучение выполнимости тождеств на многообразиях разрешимых 5р-перестановочных алгебр приводит к следующему результату.

Теорема 5.1.4. Никакое нетривиальное тождество сигнатуры (p,S) (за исключением тождеств, которые определяют многообразие V) не выполняется на всей совокупности разрешимых Sp-перестановочных алгебр.

Последняя теорема верна и для р-алгебр, то есть, для любого положительного целого числа к можно привести примеры тождеств сигнатуры {р}, которые истинны на 14, но не выполняются на Vk+\. В первом параграфе приводится алгоритм построения таких тождеств: пусть ui, vi е X; un+i = p(un,vn,p(vn, un,vn)), vn+i = р(ип,р(ип, vn, u„),w„); n= 1,2,.

Тогда тождества

V-n+l = vn, Vn+1 = Vn истинны на V^, но не на Vn+\.

В последних двух параграфах изучаются гомоморфизмы свободных разрешимых алгебр и рассматриваются некоторые проблемы, решенные в работе [18] для р-алгебр. Так, например, в этой работе показано, что никакая свободная разрешимая алгебра конечного ранга не вложима в свободную разрешимую алгебру меньшего ранга той же степени разрешимости. Выполнимость этого свойства для 5р-перестановочных алгебр зависит от моноида S. Как и в случае р-алгебр, показано, что если указанное свойство выполнено для свободных абелевых алгебр конечного ранга г, то оно выполняется для всех свободных разрешимых алгебр ранга г. В частности, это свойство р-алгебр обобщается на случай, когда S является произвольным конечным моноидом. Однако, это уже неверно для двупорожденного свободного моноида S.

Говорят, что алгебра обладает свойством Хопфа, если каждый ее сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом. Этим свойством обладают свободные разрешимые р-алгебры конечного ранга. В настоящей работе данный результат удается обобщить на случай произвольного конечного моноида S. Если свойством Хопфа обладает свободная 5р-перестановочная абелева алгебра конечного ранга г, то этим свойством обладает любая свободная разрешимая Sp-перестановочная алгебра ранга г. При этом, если свободный й5-модуль Н ранга г обладает свойством Хопфа, то F* также хопфова. Справедлива Теорема 5.3.4. Если пересечение всех степеней фундаментального идеала кольца ЪБ нулевое, то свободная абелева Sp-перестановочная алгебра конечного ранга хопфова.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах автора [43]-[46]. О них докладывалось на Международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения "памяти JI.A. Скорнякова (Волгоград, 1999), на Третьей международной алгебраической конференции в г. Сумы (2001), на семинаре "Кольца и модули "кафедры высшей алгебры МГУ (Москва, 2002), на V международной алгебраической конференции в Туле (2003), на Региональном семинаре "Алгебра, теория чисел и их приложения"(Волгоград, 2003), межвузовской конференции молодых ученых Волгоградской области (Волгоград, 2001), научных конференциях Волгоградского государственного педагогического университета, расширенных научно-исследовательских семинарах кафедры алгебры, геометрии и информатики ВГПУ.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Вячеславу Александровичу Артамонову за постановку и плодотворное обсуждение задач, а также за постоянное внимание к работе.

1. Артамонов В.А. Представление Магнуса в конгруэнц-модулярных многообразиях// Сиб. мат. журнал. 1997. Т.38. N 5. С.978-995.

2. Замятин А.П. Многообразия с ограничениями на решетку конгру-энций,Свердловск: УрГУ, 1987.

3. Карташов В.К. Об унарах с малъцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. между нар. семинара, по-свящ. памяти проф. JI. А. Скорнякова, Волгоград, 6-11 сент. 1999 г., Волгоград, 1999, С. 31-32.

4. Кожухов И.Б. Полугруппы, над которыми все полигоны резидуаль-но конечны. // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, Т.4, е 4, С. 1335-1344.

5. Кон П. Универсальная алгебра, М.: Мир, 1968.

6. Мальцев А.И. Алгебраические системы, М.: Наука, 1970.

7. Мальцев А.И. К общей теории алгебраических систем // Мат. сб., 1954, Т.35. N1, С 3-20.

8. Михалев А.А. О правых идеалах свободной ассоциативной алгебры, порожденных свободными цветными (Р-)супералгебрами Ли //Успехи мат.наук, 1992, Т.47, N.5, с. 187-188.

9. Михалев А.А., Золотых А.А. Эндоморфизм свободной алгебры Ли, сохраняющий свойство примитивности элементов, является автоморфизмом // Успехи мат. наук, 1993, Т.48, N 6, с. 149-150.

10. Общая алгебра (Под общей ред. Л.А.Скорнякова). М.: Наука, 1990, Т.1, 1991, Т.2.

11. Пинус А.Г. Конгруэнц-модулярные многообразия, Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1986.

12. Скорняков JI.A. Обобщения модулей //Модули III. Препринт. Новосибирск, 1973, с.22-27.

13. Умирбаев У. У. Частные производные и эндоморфизмы некоторых относительно свободных алгебр Ли // Сиб. мат. журнал, 1993, Т. 34, N 6, с. 179 188.

14. Умирбаев У. У. Примитивные элементы свободных групп // Успехи мат. наук, 1994, Т.49, N 2, с. 175-176.

15. Умирбаев У.У. О шрейеровых многообразиях алгебр // Алгебра и логика, 1994, 33, N 3, с.317Ц340.

16. Усольцев В. JI. О решетках конгруэнций унаров с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. меж-дунар. семинара, посвящ. памяти проф. JI. А. Скорнякова, Волгоград, 6-11 сент. 1999 г., Волгоград, 1999, С. 70-71.

17. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: Мир, 1977, Т.1.

18. Чакрабарти С.Гомоморфизмы свободных разрешимых алгебр с одной тернарной мальцевской операцией // УМН, 48, N 3 (1993), С. 207-208.

19. Anderson F.W., Fuller K.R. Rings and categories of modules, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1992.

20. Artamonov V.A., Chakrabarti S. Free solvable algebra in a general congruence modular variety // Commun. Algebra, 24(1996), N 5, 17231735.

21. Artamonov V.A., Mikhalev A.A., Mikhalev A.V. Combinatorial properties of free algebras of Schreier varieties // Macel Dekker Series of Lecture Notes in Pure and Applied Math, vol.235, 2003, p. 47-99.

22. Burris St., Sankappanavar H.P. A course in universal algebra // Grad. Tex. Math, 1981, V.78, XVI.

23. Day A. A characterization of modularity for congruence lattices of algebras// Canad. Math. Bull, 1969, V.12, N1, P.167-173.

24. Fox R.H. Free differential calculus. I. Derivations in free group rings // Ann. of Math. (2) 57 (1953), p.547-560.

25. Freese R, McKenzie R. Commutator theory for congruence modular varieties// London Math. Soc. Lecture Notes Ser, 1987, V.125.

26. Gilmer R. Commutative Semigroup Rings, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1984.

27. Hobby D, McKenzie R. The structure of finite algebras // Amer. Math. Soc, 1988, (Contem. Math. V.76).

28. Jonsson В. Algebras whose congruence lattices are distributive// Math. Scand., 1969, V.21, N1, P.110-121

29. Kharlampovich O., Sapir M. Algorithmic problems in varieties// a survey, International Journal of Algebra and Computation, (1995), N12, 379-602.

30. Kilp Mati, Knauer Ulrich, Mikhalev A. V. Monoides, Acts and Categories with applications to wreath products and Graphs, Walter de Gruyter, Berlin New York, 2000.

31. Mikhalev A. A., Primitive elements and automorphisms of free algebras of Schreier varieties // J. Math. Sci. 102 (2000), N 6, p. 4628-4640.

32. Mikhalev A.A., Umirbaev U.U. and J.-T. Yu. Generic, almost primitive and test elements of free Lie algebras. // Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002), p. 1303-1310.

33. Mikhalev A.A. and J.-T. Yu. Primitive, almost primitive, test, and A-primitive elements of free algebras with the Niels en-Schreier property. // J. Algebra 228 (2000), p. 603-623.

34. Mikhalev A. A. and J.-T. Yu. Automorphic orbits of elements of free algebras with the Niels en-Schreier property. / / Contemp. Math. 264 (2000), p. 95-110.

35. Mikhalev A.A. and Zolotykh A.A. Automorphisms and primitive elements of free Lie superalgebras. // Commun. Algebra 22 (1994), p. 5889-5901.

36. Mikhalev A.A. and Zolotykh A.A. Applications of Fox differential calculus to free Lie superalgebras. In Non-Associative Algebra and Its Applications, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1994, p. 285-290.

37. Mikhalev A.A. and Zolotykh A. A. Algorithms for primitive elements of free Lie algebras and superalgebras. Proc. ISSAC-96, ACM Press, New York, 1996, p. 161-169.

38. Mitchell B. Rings with several objects // Advances in Mathematics, 1972, V8, N1.

39. Pixley A.F. Distributivity and permutability of congruence relations in equationall classes of algebras// Proc. Amer. Math. Soc., 1963, V.14, N1, P.105-109.

40. Rowan W. Abelian extensions of algebras in congruence modular wane£zes//arXiv:Math.RA/0005134vl 13 May 2000.

41. Umirbaev U.U., Universal derivations and subalgebras of free algebras. In Algebra (Krasnoyarsk, 1993). Walter de Gruyter, Berlin, 1996, p. 255-271.

42. Vasconcelos W.V. On Finitely generated modules// Transactions of the AMS, 138, 505-512, 1966.Работы автора по теме диссертации

43. Жданович П.Б. Свободные разрешимые алгебры типа (3,1) // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. JI. А. Скорнякова, Волгоград, 6-11 сент. 1999 г., Волгоград, 1999, С. 29.

44. Жданович П.Б. Свободные абелевы расширения (р, S)-алгебр// Универсальная алгебра и ее приложения: сб. трудов между нар. сем. памяти JI.A. Скорнякова. Волгоград, 2000, С.73-80.

45. Жданович П.Б. Свободные абелевы расширения Sp-перестано-вочных алгебр // Чебышевский сборник, 3(2002), N1(3), С. 49-71.

46. Zhdanovich P. Free Abelian extensions in the congruence-permutable varieties / / Discussiones Mathematicae General Algebra and Applications, (2002), N 22(2), P. 199-216.

47. Жданович П.Б. О некоторых свойствах свободных разрешимых Sp-перестановочных алгебр // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тез. докл. V международной конференции, Тула, 19-24 мая 2003 г., С. 107.