Унары с тернарной мальцевской операцией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

УСОЛЬЦЕВ Вадим Леонидович УНАРЫ С ТЕРНАРНОЙ МАЛЬЦЕВСКОЙ ОПЕРАЦИЕЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009 003474664

003474664

Работа выполнена на кафедре алгебры, геометрии и информатики Волгоградского государственного педагогического университета

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Артамонов Вячеслав Александрович,

кандидат физико-математических наук, профессор Карташов Владимир Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожухов Игорь Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент Тронин Сергей Николаевич

Ведущая организация: Саратовский государственный университет им, Н.Г.Чернышевского.

Защита состоится ^" 2009 г. в ^ часов на за-

седании Диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д.14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1, МПГУ.

Автореферат разослан " ^"_2009 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета

О.В.Муравьева

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В монографии [10] А.Г.Курош обращает внимание на необходимость изучения универсальных алгебр с операторами ([10], §13), то есть алгебр с дополнительной системой унарных операций, действующих как эндоморфизмы относительно основных операций. Эти операции называются перестановочными с основными операциями.

В настоящей диссертации алгебры с операторами изучаются в терминах их унарных редуктов. Если / — унарная операция из сигнатуры Г2, то унарным редуктом алгебры {А, П) называется унар {А, /).

Унарные алгебры и, в частности, унары (алгебры с одной унарной операцией) образуют важный класс универсальных алгебр. Унары можно рассматривать как автоматы без выхода, имеющие единственный входной сигнал. Обзор результатов по унарам можно найти в [19], [14], [21]. Каждая унарная алгебра является полигоном над свободным моноидом, порожденным множеством унарных операций. Теория полигонов над моноидами активно развивается благодаря работам Л.А.Скорнякова [13], А.В.Михалева [21], У.Кнауэра, М.Кильпа, И.Б.Кожухова [9] и других авторов.

Исследования унаров можно условно разбить на ряд направлений. К первому из них относятся работы, в которых изучаются классы унаров, обладающие заданными свойствами, и исследуются различные теории унаров. Эти исследования восходят к монографии А.И.Мальцева [11]. В [15], [18] изучаются многообразия унарных алгебр. В работах В.К.Кар-ташова [6]-[8] исследуются квазимногообразия унаров и решетки квазимногообразий унаров; в [24] описаны подпрямо неразложимые и эквацио-нально компактные унары.

В рамках второго направления рассматриваются алгебры, производные от унаров: решетки конгруэнций, решетки подалгебр, моноиды эндоморфизмов, группы автоморфизмов и другие. Проблематика работ этого направления рассмотрена Л.А.Скорняковым в докладе [14]. Важное место среди работ данного направления занимают исследования решеток конгруэнций унаров. Значительный вклад в них внесли Д. Берман [17], Д.П.Егорова и Л.А.Скорняков [2], [3], А.П.Бощенко [1]. В работе [20]

А.В.Карташозой изучены решетки топологий унаров.

Исследования третьего направления посвящены изучению алгебраических систем различных сигнатур с использованием унаров. К этому направлению относится изучение универсальных алгебр с операторами в терминах их унарных редуктов. Такой подход перекликается с проблемой, поставленной Л.А.Скорняковым в [14]: для данного унара {А, /) определить на множестве А операции таким образом, чтобы полученная алгебра принадлежала к заданному классу и операция / была ее эндоморфизмом. Алгебры с операторами, имеющие произвольную сигнатуру, изучались в [22]. Внимание исследователей привлекают также алгебры с операторами, имеющие конкретные сигнатуры. В частности, в работе [16] автора были описаны алгебры (А, /, д) с двумя унарными операциями, удовлетворяющими тождеству /(д(х)) = д{1{х)), каждая собственная подалгебра которых изоморфна самой алгебре.

К этому же направлению близка работа [4], в которой изучаются свободные абелевы расширения в многообразии (р, 51)-алгебр, сигнатура которых состоит из унарных операций и одной тернарной операции р, удовлетворяющей тождествам Мальцева

р(х,х,у)=р{у,х,х)=у. (0.1)

Интерес исследователей к тернарной мальцевской операции обусловлен ее ролью в изучении связей решеток конгруэнций алгебр данного многообразия с термальными операциями на этих алгебрах. Начало этих исследований было положено работой А.И.Мальцева [12], где доказано, что многообразие конгруэнц-перестановочно тогда и только тогда, когда существует тернарный терм р от основных операций, такой, что на данном многообразии выполнены тождества (0.1).

Интерес исследователей вызывают также арифметические, то есть конгруэнц-перестановочные и конгруэнц-дистрибутивные многообразия. Арифметичность многообразия эквивалентна [23] существованию такого тернарного терма;? (терма Пиксли) от основных операций, что на данном многообразии выполнены тождества р(х, х, у) = р(у, х, х) = р(у, х, у) = у (тождества Пиксли). Арифметическими будут, например, многообразие булевых алгебр и любое многообразие ассоциативных колец, порож-

денное конечным полем. Ряд результатов диссертации посвящен унарам с мальцевской операцией в арифметических многообразиях.

В работе В.К.Карташова [5] вводится понятие унара с мальцевской операцией (или мальцевского унара), как алгебры с одной унарной и одной тернарной операциями, где операции перестановочны, а для тернарной операции выполняются тождества Мальцева (0.1). В [5] указано правило, по которому на любом унаре можно определить тернарную операцию р, перестановочную с унарной и удовлетворяющую тождествам Мальцева и Пиксли. а также тождествам

Эта конструкция дает широкий класс примеров унаров с мальцевской операцией. Операция р определяется в [5] следующим образом. Пусть (Л, /) — произвольный унар и х,у £ А. Для любого элемента х унара (Л,/) через fn(x) обозначается результатn-кратного применения операции / к элементу х; при этом /°(х) = х. Положим Мх<у = {тг G NU {0} | fn(x) — fn(y)}, а также к(х, у) — min MXtV, если Мх<у ^фп к(х,у) = оо, если MXiV = 0. Положим далее

Для краткости будем всюду далее называть данный способ задания операции стандартным.

В диссертации изучаются унары со стандартной мальцевской операцией и многообразия, содержащие этот класс алгебр, а также доказываются некоторые утверждения, справедливые для произвольных универсальных алгебр с операторами.

Цель работы. 1. Изучить свойства конгруэнций произвольных универсальных алгебр с операторами и, в частности, унаров со стандартной мальцевской операцией.

2. Дать описание конструкции свободных алгебр многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тождествами Пиксли и исследовать их свойства, в частности, охарактеризовать свободные базисы.

p(p(x,y,z),y,z) = p(i,y,p(a:,y)z)) =p{x,y,z). (0.2)

если к(х,у) ^ k(y,z) если к{х, у) > к(у, z).

(0.3)

3. Изучить свойства алгебр многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тождествами Пиксли в терминах их унарных редуктов.

Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. К основным результатам можно отнести следующие:

1. Найдены необходимые условия конгруэнц-простоты и псевдопростоты произвольной универсальной алгебры с фиксированным оператором.

2. Для унаров со стандартной мальцввехой операцией найдены нвоб~ ходимые и достаточные условия конгруэнц-простоты, псевдопростоты и подпрямой неразложимости. Получено полное описание унаров со стандартной мальцевской операцией, решетка конгруэнций которых будет цепью, а также алгебр, для которых каждая конгруэнция унарного редукта будет конгруэнцией самой алгебры.

3. Дано описание конструкции свободной алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тождествами Пиксли, а также его подмногообразия, которое задано тождествамир(х, у, г) = р(р(х,у, г), у, г) — р(х,у,р(х, у, z)). Доказано, что в свободных алгебрах этих многообразий разрешима проблема равенства слов, а свободный базис определен однозначно. Описаны группы автоморфизмов свободных алгебр. Показано, что свободные алгебры конечного ранга данных многообразий обладают свойством Хопфа.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследованиях, связанных с изучением решеток конгруэнций универсальных алгебр, а также при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Результаты докладывались на международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" памяти Л.А. Ск-орнякова (Волгоград, 1999), на III международной алгебраической конференции (Сумы, 2001), на V международной алгебраической конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"

(Тула, 2003), на VI международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию Н.Г.Чудакова (Саратов, 2004), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина (Екатеринбург, 2005), на II международном семинаре "Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения" (Волгоград, 2005), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2007), на III международном семинаре "Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения" (Волгоград, 2007), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша (Москва, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце автореферата. Три из них опубликованы в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 61 наименование. Полный объем диссертации 99 страниц машинописного текста.

Содержание диссертации. Введение содержит обзор литературы, посвященной теории унаров и исследованиям алгебр с операторами и конгруэнц-модулярных многообразий алгебр, обоснование актуальности решаемых в диссертации задач, а также краткое изложение содержания диссертации. ■

В первой главе приводятся необходимые сведения из теории унаров и теории коммутаторов в конгруэнц-модулярных многообразиях, изложены основные понятия и доказаны некоторые результаты, относящиеся к у нарам с мальцевской операцией.

Приведем определения и обозначения, необходимые для формулировки основных результатов. Для любых целых чисел п > 0, т ^ 0 определим унар С™ как унар, порождаемый элементом о с определяющим соотношением fm{a) = fm+n(a). Унар называется циклом длины п. Через обозначается объединение возрастающей последовательности унаров С С ..., где U ^ 0, ^ < t2 < ... . Элемент а унара

называется периодическим, если /'(а) = Р+п{а) для некоторых ¿^Ои п ^ 1, и непериодическим, в противном случае. Унар называется периодическим, если все его элементы периодические, и непериодическим, если все его элементы непериодические. Если а — периодический элемент, то наименьшее из чисел для которых /г(а) = /г+п(а) при некоторых п ^ 1, называется глубиной элемента а и обозначается через £(а). Глубиной Ь(А) утра А называются наибольшая из глубин его периодических элементов, если Т(А) ^ 0, и нуль, если Т(А) = 0. Если множество {¿(а) | о е не ограничено, глубина унара принимается равной

бесконечности.

Объединение двух непересекающихся унаров В и С называется их суммой и обозначается через В + С. Унар {А, /) называется связным, если для любых х,у € А выполняется условие /п(х) = /ш(у) для некоторых п, тп > 0. Максимальный по включению связный подуиар унара А называется компонентой связности унара А.

Элемент х унара {А, /) называется минимальным, если не существует такого у 6 А, что /(у) = ж, то есть, х ^ /(Л). Элемент унара называется циклическим, если подунар, порожденный этим элементом, является циклом. Элемент а унара называется узловым, если найдутся такие различные элементы Ь и с, отличные от а, что f{b) = а = /(с). Понятие узлового элемента трактуется несколько шире, чем в [6], а именно, среди элементов бис могут быть циклические. Элемент а унара (А, /) называется неподвижным, если /(а) = а. Связный унар с неподвижным элементом называется корнем [19]. Корнем специального вида называется корень, либо не имеющий узловых элементов, либо имеющий единственный узловой элемент, являющийся неподвижным.

Заключительная часть первой главы посвящена изучению конгруэн-ций произвольных универсальных алгебр (А, Г2) с фиксированным оператором / € П. Для таких алгебр построено семейство конгруэнций, определенных в терминах унарной операции /, а также найдены связи между строением унарного редукта алгебры (А,О,) и свойствами этих конгруэнций. Изучены условия, которым должен удовлетворять унарный редукт алгебры {А, П), необходимые для ее конгруэнц-простоты.

Предложение 1.4.9. Пусть (А, П) — произвольная неодноэлеметпиая алгебра с оператором то есть, унарная операция / 6 (I перестановочна со всеми операциями из Г2. Если алгебра {А, О.) является конгруэпц-простой, то либо утр {А,/} является корнем глубины 1, либо операция / инъективна.

Далее изучаются условия, которым должен удовлетворять унар (А, /), чтобы любая его конгруэнция была конгруэнцией алгебры (Д Г2). Предложение 1.4.12. Пусть (А, П) — произвольная алгебра с оператором /, то есть, унарная операция / € П перестановочна со всеми операциями из П. Если унар {А, /) изоморфен унару С[, £ € N0 и {оо}, то любая его конгруэнция является конгруэнцией алгебры {А, П).

Неодноэлементная алгебра А называется псевдопростой, если для любой ее неединичной конгруэнции в выполнено условие А/в = А. Предложение 1.4.14. Пусть {А, — произвольная алгебра с оператором то есть, унарная операция fE.fl перестановочна со всеми операциями из П. Если (Л, /) = С)0, то алгебра (А, П) является псевдопростой.

Теорема 1.4.18. Пусть (А,П) — произвольная неодноэлементная универсальная алгебра с оператором /, то есть, унарная операция / € П перестановочна со всеми операциями из П. Если алгебра (А, О) псев-допроста, то либо (Л, /} является корнем глубины 1, либо операция / инъективна, либо (А,/) = С^, либо унар {А,/) является корнем бесконечной глубины, в котором неподвижный элемент будет узловым. В последнем случае либо {А, /) не содержит минимальных элементов, либо множество глубин всех минимальных элементов (А, /) неогра-ничено.

Вторая глава посвящена изучению унаров со стандартной маль-цевской операцией. В ней доказывается ряд теорем. Теорема 2.1.3. Пусть (А, /,р) — унар с мальцевской операциейр, определенной по правилу (0.3). Каждая конгруэнция унара (А,/) является конгруэнцией алгебры (А,/,р) тогда и только тогда, когда (А,/) является одним из унаров следующего вида: (1) где п — простое число; (2) С? + С?; (3) С[, где * € N и {0} и {оо}.

Теорема 2.2.3. Пусть (А,/,р) — неодноэлементный унар с мальце-вской операцией р, определенной по правилу (0.3). Алгебра (А,/,р) является конгруэнц-простой тогда и только тогда, когда либо операция f инъективна, либо унар (А,/) является корнем глубины 1. Теорема 2.3.23. Пусть (А,/,р) — унар с мальцевской операцией р, определенной по правилу (0.3). Решетка конгруэнций алгебры (Л,/,р) является цепью тогда и только тогда, когда унар {А,}) удовлетворяет одному из следующих условий:

(1) операция / инъективна:

(2) унар (Л, /) изоморфен С{, где £ 6 N и {оо};

(3) (Л,/) — связный периодический унар, имеющий единственный узловой элемент, который является циклическим;

(4) (Л,/) — связный непериодический унар, имеющий единственный узловой элемент;

(5) унар (Л,/) представляется как сумма одной компоненты связности вида (2)-(4) и произвольного числа компонент вида (1). Теорема 2.3.24. Пусть {А,/,р) — унар с мальцевской операцией р, определенной по правилу (0.3). Алгебра (Л,/,р) подпрямо неразложима в том и только в том случае, если решетка ее конгруэнций является цепью.

Теорема 2.4.14. Неодноэлементный унар (Л,/,р) с мальцевской операцией р, определенной по правилу (0.3) является псевдопростым тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

(1) операция / инъективна;

(2) унар (Л, /) является корнем глубины 1;

(3) унар (Л,/) является корнем специального вида, имеющим для всех т > 0 равномощные друг другу (возможно, пустые) множества минимальных элементов глубины т.

Третья глава посвящена описанию конструкции свободных алгебр многообразия Р унаров с мальцевской операцией р, удовлетворяющей тождествам Пиксли, а также его подмногообразия, заданного тождествами (0.2). Эти многообразия содержат класс всех унаров со стандартной мальцевской операцией. В начале главы приводится конструкция свобо-

дной алгебры IV многообразия Р, изучается строение ее унарного редук-та и доказывается, что в алгебре IV разрешима проблема равенства слов. Теорема 3.2.4. Множество свободных порождающих свободной алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тождеством Пиксли, определено однозначно.

Следствие. Группа автоморфизмов свободной алгебры ранга г многообразия унаров с мальцевской операцией, удовлетворяющей тождествам Пиксли, изоморфна симметрической группе степениг.

Говорят, что алгебра обладает свойством Хопфа, если каждый ее сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом. Предложение 3.2.3. Свободная алгебра конечного ранга многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тоэюдеством Пиксли, обладает свойством Хопфа.

В заключении главы приводится конструкция свободной алгебры 5 подмногообразия, заданного тождествами (0.2), в многообразии Р. Полученные для алгебры 5 результаты аналогичны приведенным выше для алгебры IV.

В четвертой главе изучаются общие свойства алгебр многообразия унаров с термом Пиксли. Показано, что данное многообразие не содержит нетривиальных абелевых алгебр. Как следствие, многообразие унаров с мальцевской операцией неабелево. Далее изучаются свойства терма Пиксли р на произвольных алгебрах с оператором (А,/,р), определяющиеся строением их редукта (А,/). Получены ограничения на операцию р в зависимости от наличия узлового элемента в унаре (А, /), от условия единственности узлового элемента, от наличия в унаре под-унаров специального вида. Найдено число всех способов задания терма Пиксли, перестановочного с унарной операцией, на произвольном цикле Получены ограничения на операцию р, которая задается на связном унаре без узловых элементов, имеющем неподвижный элемент. Показано, что любой подунар такого унара является подалгеброй алгебры (А,/,р).

Автор выражает глубокую благодарность В.А. Артамонову и В.К.Кар-ташову за постановку задач, их плодотворное обсуждение и постоянное внимание к работе, а также Л.Н.Шеврину за ценные замечания.

Литература

[1] Бощенко, А.П. Псевдодополнения в решетке конгруэнций унаров / А.П. Бощенко // Алгебраические системы: Межвуз. сб. нв-учн. работ. Волгоград: ВГПИ, 1989. С. 23-26.

[2] Егорова, Д.П. О структуре конгруэнций унарной алгебры / Д.П. Егорова, Л.А. Скорняков // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1977. Вып. 4. С. 28-40.

[3] Егорова, Д.П. Структура конгруэнций унарной алгебры / Д.П. Егорова // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1978. Вып. 5. С. 11-44.

[4] Жданович, П.Б. Свободные абелевы расширения ¿^-перестановочных алгебр / П.Б. Жданович // Чебышевский сборник. 2002. Т.З. N1(3). С. 49-71.

[5] Карташов, В.К. Об унарах с мальцевской операцией / В.К. Карта-шов // Международный семинар "Универсальная алгебра и ее приложения": Тез. сообщ. Волгоград: Перемена, 1999. С. 32.

[6] Карташов, В.К. Квазимногообразия унаров / В.К. Карташов // Мат. заметки. 1980. Т. XXVII. N1. С. 7-20.

[7] Карташов, В.К. Квазимногообразия унаров с конечным числом циклов / В.К. Карташов // Алгебра и логика. 1980. Т.19. N2. С. 173-193.

[8] Карташов, В.К. О решетках квазимногообразий унаров / В.К. Карташов // Сиб. Мат. журн. 1985. Т. XXVI. N3. С. 49-62.

[9] Кожухов, И.Б. Полугруппы, над которыми все полигоны резиду-ально конечны / И.Б. Кожухов // Фундаментальная и прикладная математика. 1998 Т.4. N4. С. 1335-1344.

[10] Курош, А.Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года / А.Г. Курош. М.: Наука, 1974. 160 с.

[11] Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. М.: Наука, 1970. 392 с.

¡12] Мальцев, А.И. К общей теории алгебраических систем / А.И. Мальцев // Мат. сб. 1954. Т.35. N1. С. 3-20.

[13] Скорняков, JI.А. Обобщения модулей / JI.А. Скорняков // Модули III. Препринт. Новосибирск: 1973. С. 22-27.

]14] Скорняков, Jl.A. Unars / JI.A. Скорняков // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1982. V.29. Universal Algebra (Esztergom 1977). Pp. 735-743.

[15] Смирнов, Д.М. О регулярно определимых многообразиях алгебр / Д.М. Смирнов // Алгебра и логика. 1976. Т.14. N3. С. 331-342.

[16] Усольцев, В.Л. Минимальные унарные алгебры с двумя коммутирующими операциями / В.Л. Усольцев; ВГПУ. М., 1996. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 31.12.96, N3857-B96.

[17] Berman, J. On the congruence lattices of unary algebras / J. Berman // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. V.36. N1. Pp. 34-38.

[18] Jakubikova-Studenovska, D. Retract varieties of monounary algebras / D. Jakubikova-Studenovska // Czechoslovak Math. Journal. 1997. V.47 (122). Pp. 701-716.

[19] Johnson, J. A survey of rnulti-unary algebras / J. Johnson, R.L. Seifert // Mimeographed seminar notes. U.C. Berkeley, 1967. 15 p.

[20] Kartashova, A. On lattices of topologies of unary algebras / A. Kartasho-va /■/ Journal of Mathematical Sciences. 2003. V. 114. N2. Pp. 10861118.

[21] Kilp, M. Monoids, Acts and Categories / M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev. Berlin: Walter de Gruyter, 2000. 529 p.

[22] Loi, N.V. Subdirect irreducibility of algebras and acts with an additional unary operation / N.V. Loi, R. Wiegandt // Miskolc Mathematical Notes. 2005. V.6. N2, Pp. 217-224.

[23] Pixley, A.F. Distributivity and permutability of congruence relations in equational classes of algebras / Pixley A.F. // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. V.14. N1. Pp. 105-109.

[24] Wenzel, G.H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras (Л; /) / G.H. Wenzel // Arch. Math. (Basel) 1970. V.21. Pp. 256-264.

Основное содержание диссертации отражают следующие опубликованные работы автора

[25] Усольцев, B.JI. О подпрямо неразложимых унарах с мал-ьцевской операцией / B.JI. Усольцев // Известия ВГПУ, серия "Естественные и физико-математические науки". 2005. N4(13). С. 17-24. 0,67 п.л.

[26] Усольцев, B.JI. Унары с тернарной мальцевской операцией / B.JI. Усольцев // Успехи математических наук. 2008. Т.63. Вып. 5. С. 201-202. 0,17 п.л.

[27] Усольцев, B.JI. Свободные алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией, удовлетворяющей условиям Пик-сли / B.JI. Усольцев // Известия высших учебных заведений. Математика. 2009. N4. С. 43-49. 0,82 п.л.

[28] Усольцев, B.JI. О решетках конгруэнций унаров с мальцевской операцией / B.JI. Усольцев // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. межд. семинара, поев, памяти Л.А. Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999. С. 70-71. 0,06 п.л.

[29] Усольцев, B.JI. О конгруэнциях унаров с тернарной мальцевской операцией / B.JI. Усольцев // Универсальная алгебра и ее приложения: Тр. межд. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 280-286. 0,41 п.л.

[30] Усольцев, B.JI. Конгруэнц-простые унары с тернарной мальцевской операцией / B.JI. Усольцев // Сб. тез. докл. III Межд. алгебраической конф. .Сумы: Изд-во СумГПУ, 2001. С. 266-267. 0,06 п.л.

[31] Усольцев, В.Л. О подпрямо неразложимых унарах с тернарной мальцевской операцией / В.Л. Усольцев // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тез. докл. V Межд. конф. Тула: Изд-во ТГПУ, 2003. С. 225-226. 0,06 п.л.

[32] Усольцев, В.Л. О неабелевости многообразия унаров с мальцевской операцией / В.Л. Усольцев // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тез. докл. VI Межд. конференции, поев. 100-летию Н.Г.Чудакова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 117118. 0,06 п.л.

[33] Усольцев, В.Л. О псевдопростых унарах с тернарной мальцевской операцией / В.Л. Усольцев // В кн. "Межд. алгебраическая конф., поев, столетию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина". Тезисы докл. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2005. С. 143-144. 0,07 п.л.

[34] Усольцев; В.Л. Свободные алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тождеством Пиксли / В.Л. Усольцев // Межд. конф. "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2007. С. 136-137. 0,07 п.л.

[35] Усольцев, В.Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами / В.Л. Усольцев // Межд. алгебраическая конф., поев. 100-летию со дня рожд. А.Г. Куроша: Тез. докл. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2008. С. 233-235. 0,09 п.л.

Подп. к печ. 23.04.2009 Объем 1 п.л. Заказ №. 90 Тир 100 экз.

Типография Mill У

Введение

Глава I. Основные определения и конструкции

§1. Унары.

§2. Коммутаторы конгруэнций, абелевы и нейтральные алгебры

§3. Унары с мальцевской операцией.

§4. Алгебры с операторами.

Глава II. Унары со стандартной мальцевской операцией

§ 1. Связь конгруэнций унара со стандартной мальцевской операцией и его унарного редукта.

§2. Конгруэнц-простые унары со стандартной мальцевской операцией

§3. Подпрямо неразложимые унары со стандартной мальцевской операцией.

§4. Псевдопростые унары со стандартной мальцевской операцией

Глава III. Свободные алгебры многообразия унаров с термом Пиксли

§1. Конструкция свободной алгебры многообразия унаров с термом Пиксли.

§2. Свойства свободных алгебр многообразия унаров с термом Пиксли.

§3. Свободные алгебры подмногообразия С многообразия унаров с термом Пиксли.

Глава IV. Свойства унаров с термом Пиксли

§1. Неабелевость алгебр многообразия унаров с термом Пиксли

§2. Свойства редуктов унаров с термом Пиксли

В монографии [15] А.Г.Курош обращает внимание на необходимость изучения универсальных алгебр с операторами ([15], §13), то есть алгебр с дополнительной системой унарных операций, действующих как эндоморфизмы относительно основных операций. Эти операции называются перестановочными с основными операциями. К алгебрам с операторами близки дистрибутивные П-кольцоиды ([15], §15), которые изучались в работах [30], [16].

В настоящей диссертации алгебры с операторами изучаются в терминах их унарных редуктов. Если / — унарная операция из сигнатуры то унарным редуктом алгебры называется унар (А,/).

Унарные алгебры и, в частности, унары (алгебры с одной унарной операцией) образуют важный класс универсальных алгебр. Унары можно рассматривать как автоматы без выхода, имеющие единственный входной сигнал. Обзор результатов по унарам можно найти в [40], [24], [45]. Заметим, что каждая унарная алгебра является полигоном над свободным моноидом, порожденным множеством унарных операций. Теория полигонов над моноидами активно развивается благодаря работам Л.А.Скорнякова [23], А.В.Михалева [45], У.Кнауэра, М.Кильпа, И.Б.Кожухова [14] и других авторов.

Исследования унаров можно условно разбить на ряд направлений. К первому из них относятся работы, в которых изучаются классы унаров, обладающие заданными свойствами, а также различные теории унаров. Проблематика этих исследований восходит к [17]. В работах второго направления рассматриваются алгебры, производные от унаров: решетки конгруэнций, решетки подалгебр, моноиды эндоморфизмов, группы автоморфизмов и другие. Проблематика работ этого направления рассмотрена Л.А.Скорняковым в докладе [24] (Эстергом, 1977 г.). Исследования третьего направления посвящены изучению алгебраических систем различных сигнатур с использованием унаров.

Перечислим основные результаты, полученные по наиболее важным из указанных направлений.

В книге [17] А.И.Мальцев показал, что каждое многообразие унаров определяется одним тождеством. Работы [26], [27], [38], [48] посвящены изучению многообразий унарных алгебр. В работе [2] найдены условия существования конечного базиса квазитождеств конечных унарных алгебр конечной сигнатуры. В работах В.К.Карташова [11]—[13] исследуются квазимногообразия унаров и решетки квазимногообразий унаров. Им, в частности, доказано наличие конечного базиса квазитождеств у конечного унара и независимого базиса у конечно-порожденного унара.

В работе [49] изучались унары, либо имеющие только тривиальные вполне инвариантные конгруэнции, либо такие, каждая конгруэнция которых вполне инвариантна. В [50] полностью описаны подпрямо неразложимые и эквационально компактные унары. В работе [22] дано полное описание финитно аппроксимируемых унаров.

Среди работ второго направления в первую очередь следует назвать обзор Л.А.Скорнякова [24]. В нем проанализированы работы, в которых рассматриваются различные аспекты изучения унаров, и ставится задача изучения алгебр, производных от унаров. В [25] описаны унары, моноид эндоморфизмов которых либо регулярен, либо инверсен, либо является группой. В [3] и [4] дано описание унаров с сепаративным или коммутативным моноидом эндоморфизмов. Группы автоморфизмов унаров изучались в [37], [42], [43]. В работе [44] А.В.Карташовой изучены различные условия конечности на решетках топологий унаров, охарактеризованы унары, решетка топологий которых является модулярной, дистрибутивной, а также удовлетворяет ряду других свойств.

Важное место среди работ данного направления занимают исследования решеток конгруэнций унаров. В [33] описаны унары с полумодулярной сверху, либо атомарной решеткой конгруэнций. Д.П.Егорова и Л.А.Скорняков [6] дали описание унаров, решетка конгруэнций которых является решеткой с дополнениями, модулярной решеткой с дополнениями, булевой решеткой. В работе [7] были охарактеризованы унары, решетка конгруэнций которых является модулярной, дистрибутивной, цепью или стоуновой решеткой. А.П.Бощснко [5] описал унары, решетка конгруэнций которых является решеткой с псевдодополнениями.

К третьему направлению относится изучение свойств алгебр с операторами в терминах их унарных редуктов. Этот подход перекликается с проблемой, поставленной Л.А.Скорняковым в [24]: для данного унара (Л, /) определить на множестве А операции таким образом, чтобы полученная алгебра принадлежала к заданному классу и операция / была ее эндоморфизмом.

Произвольные универсальные алгебры с операторами изучались в [46]. Там рассматривались алгебры сигнатуры О и {/}, где / — унарная операция, удовлетворяющие некоторой совокупности тождеств, зависящих только от операций из Г2, тождеству /к(х) = х для некоторого /с € N и тождеству /{д{хь ., хп)) = д(/{х7Т/{1)),., ¡{х^)) для всех д € где 7Г/ — некоторая перестановка п элементов, ассоциированная с каждой п-арной операцией д € П. В работе, в частности, показано, что любая подпрямо неразложимая алгебра (А; Г2и {/}), удовлетворяющая указанным выше тождествам, разлагается в подпрямое произведение подпрямо неразложимых алгебр сигнатуры П.

Внимание исследователей привлекают также алгебры с операторами, имеющие конкретные сигнатуры. К данному направлению можно отнести работу [29] автора, в которой были описаны алгебры (Д /, д) с двумя унарными операциями, удовлетворяющими тождеству /(д(х)) = д(/(х)), каждая собственная подалгебра которых изоморфна самой алгебре. К этому же направлению относится работа П.Б.Ждановича [8], в которой изучаются свободные абелевы расширения в многообразии (р, ¿>}-алгебр. Напомним, что если 5 — моноид унарных функциональных символов, и р — тернарный функциональный символ, то алгебра С? сигнатуры (р, в) называется (р, 3)-алгеброй, если она удовлетворяет тождествам Мальцева р(х,х,у) =р(у,х,х) =у (0.1) для операции р, а также тождествам ^^(ж) = 52(51(2;)), 1х = х для всех ж, у € С, где 82 Е и 1 — единица В работе [8] изучались свободные абелевы расширения ¿'р-перестаповочиых алгебр, то есть таких (р, »9)-алгебр, у которых полугруппа унарных операций ¿У \ {1} является свободным произведением некоторых полугрупп Зо и Зр, причем элементы из Зр перестановочны с мальцевской операцией р.

Интерес исследователей к тернарной мальцевской операции обусловлен ее ролью в изучении связей решеток конгруэнций алгебр данного многообразия с термальными операциями на этих алгебрах. Начало этих исследований было положено работой А.И.Мальцева [18], в которой доказано, что многообразие является конгруэнц-перестановочным тогда и только тогда, когда существует тернарный терм р от основных операций, такой, что на данном многообразии выполнены тождества (0.1). Эти идеи получили развитие в работах Дея [35], Йонссона [39], Пиксли [47], в которых найдены аналогичные условия, характеризующие конгруэнц-модулярные, конгруэнц-дистрибутивные и арифметические многообразия.

Развитие этого направления, благодаря результатам Гумма, Маккен-зи, Смита, Фриза, Геррманна, Хагеманна и других исследователей, привело к появлению теории коммутаторов конгруэнций. Изложение ее основ можно найти в [36], [20], [9].

В рамках этой теории понятия абелевой, разрешимой и нильпотент-ной групп переносятся на универсальные алгебры. В.А.Артамонов в работе [1] обобщил представление Магнуса для групп на случай произвольного конгруэнц-модулярного многообразия. С позиций теории коммутаторов исследовались р-алгебры, то есть, алгебры с одной тернарной операцией р, удовлетворяющей условиям Мальцева (0.1). В работе [32] изучаются свободные разрешимые алгебры в многообразии р-алгебр.

Важную роль играют арифметические, то есть конгруэнц-переста-новочные и конгруэнц-дистрибутивные многообразия. Арифметичность многообразия эквивалентна [47] существованию такого тернарного терма р (терма Пиксли) от основных операций, что на данном многообразии выполнены тождества р(х, ж, у) ~ р(у, ж, х) = р(у, х,у) = у (тождества Пиксли). Арифметическими будут, например, многообразия булевых алгебр, идемпотентных ТЭ-квазигрупп, а также любое многообразие ассоциативных колец, порожденное конечным полем. Ряд результатов диссертации посвящен унарам с мальцевской операцией в арифметических многообразиях.

В работе В.К.Карташова [10] вводится понятие унара с мальцевской операцией (или малъцевского унара), как алгебры с одной тернарной операцией р, для которой выполняются тождества Мальцева (0.1), и одной унарной операцией, перестановочной с р. Таким образом, унар с мальцевской операцией является р-алгеброй с оператором. В [10] указано правило, по которому на любом унаре можно определить тернарную мальцевскую операцию, перестановочную с унарной и удовлетворяющую тождествам Мальцева и Пиксли. Конструкция, описанная в [10], дает широкий класс примеров унаров с мальцевской операцией.

Операция р определяется в [10] следующим образом. Пусть (А, /) — произвольный унар и х, у 6 А. Для любого элемента х унара (А, /) через fn(x) обозначается результат n-кратного применения операции / к элементу х; при этом /°(ж) = х. Положим Мх^у = {п <G No | fn(x) = fn(y)}, а также k(x,y) = min MXjV, если MXjV ^ 0 и к(х,у) = оо, если у = 0. Положим далее

Для краткости будем всюду далее называть данный способ задания операции стандартным и обозначать класс унаров со стандартной мальцевской операцией через К.

Цель настоящей работы — изучение унаров с мальцевской операцией, определенной по указанному в [10] правилу (в частности, изучение решеток конгруэнций алгебр данного класса), исследование свободных алгебр многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тождествами Пиксли, а также изучение свойств конгруэнций произвольных если к(х} у) ^ к (у, z) если к(х,у) > k(y:z).

0.2) универсальных алгебр с операторами.

Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава содержит четыре параграфа. В первых двух параграфах приводятся необходимые сведения из теории унаров и теории коммутаторов конгруэнций. В третьем параграфе изложены основные понятия и доказываются результаты, относящиеся к унарам с мальцевской операцией.

Приведем определения и обозначения, необходимые для формулировки основных результатов.

Для любых чисел п > 0, т ^ 0 положим С™ — (а|/т(а) = /п+Тп(а)). У нар С® называется циклом длины п. Элемент а унара называется циклическим, если подунар, порожденный этим элементом, является циклом. Через обозначается объединение возрастающей последовательности унаров С1п1 С С . {и ^ 0), ¿1 < ¿2 < • • • •

Элемент а унара называется периодическим, если /'(а) = /ь+п(а) для некоторых ¿^0ип^1,и непериодическим, в противном случае. Через Т(А) и О (А) обозначаются, соответственно, множества периодических и непериодических элементов унара А. Унар {А, /) называется периодическим, если А = Т(А), и непериодическим, если А = И (А). Если а — периодический элемент, то наименьшее из чисел t, для которых /*(а) = /*+п(а) при некоторых п ^ 1, называется глубиной элемента а и обозначается через ¿(а). Глубиной ¿(А) унара А называются наибольшая из глубин его периодических элементов, если Т(А) ^ 0, и нуль, если Т(А) = 0. Если множество {¿(а) | а е Т(А)} не ограничено, глубина унара принимается равной бесконечности.

Объединение двух непересекающихся унаров В и С называется их суммой и обозначается через В + С. Унар (А, /) называется связным, если для любых х,у £ А выполняется условие /п(х) = /т(у) для некоторых п, т ^ 0. Максимальный по включению связный подунар унара А называется компонентой связности унара А.

Элемент х унара (А, /) называется минимальным, если не существует такого у £ А, что /(у) = х, то есть, х ^ 1{А). Элемент а унара называется узловым, если найдутся такие различные элементы бис, отличные от а, что /(6) = а = /(с). Понятие узлового элемента трактуется несколько шире, чем в [11], а именно, среди элементов бис могут быть циклические. Элемент а унара (А, /) называется неподвижным, если f{a) = а. В соответствии с терминологией [40], связный унар с неподвижным элементом называется корнем. Будем называть корнем специального вида корень, либо не имеющий узловых элементов, либо имеющий единственный узловой элемент, являющийся неподвижным.

Четвертый параграф первой главы посвящен изучению свойств кон-груэнций произвольных универсальных алгебр (А, £7) с фиксированным оператором / £ О,. Здесь доказываются утверждения, используемые в последующих главах для получения основных результатов.

Для рассматриваемых в §4 алгебр построено семейство конгруэнций, определенных в терминах унарной операции /, а также найдены связи между строением унарного редукта алгебры (А, О) и свойствами этих I конгруэнций. Изучаются необходимые условия для конгруэнц-просготы алгебры (А, П), в терминах ее унарных редуктов.

Предложение 1.4.9. Пусть (А,О) — произвольная неодноэлементная алгебра с оператором /, то есть, унарная операция / £ О, перестановочна со всеми операциями из Г2. Если алгебра (А, О) является конгруэнц-простой, то либо унар (А, /) является корнем глубины 1, либо операция / иньективна.

Далее исследуются условия, которым должен удовлетворять унар (Л, /), чтобы любая его конгруэнция была конгруэнцией алгебры (Л, Предложение 1.4.12. Пусть {А, О,) — произвольная алгебра с оператором /, то есть, унарная операция / € перестановочна со всеми операциями из О. Если унар (А, /) изоморфен унару С{, £ € N и {оо}? то любая его конгруэнция является конгруэнцией алгебры (Л, О).

В завершающей части четвертого параграфа рассматриваются условия псевдопростоты алгебры (Л, Г2). Неодноэлементная алгебра А называется псевдопростой, если для любой ее неединичной конгруэнции в выполнено условие А/9 = А.

Предложение 1.4.14. Пусть (Л,П) — произвольная алгебра с оператором /. Если {А, /) = С™, то алгебра {А, П) псевдопроста. Теорема 1.4.18. Пусть (А, П) — произвольная неодноэлементная универсальная алгебра с оператором /, то есть, унарная операция / 6 П перестановочна со всеми операциями из Если алгебра (Л, О) псевдопроста, то либо (Л, /) является корнем глубины 1, либо операция / инъективна, либо (Л, /) = С^0, либо унар (Л, /) является корнем бесконечной глубины, в котором неподвижный элемент будет узловым. В последнем случае либо (Л, /) не содерэ/сит минимальных элементов, либо множество глубин всех минимальных элементов (Л, /) неогра-ничено.

Вторая глава посвящена изучению унаров со стандартной мальцсв-ской операцией р. В §1 решается задача описания алгебр (А,для которых каждая конгруэнция их унарного редукта является конгруэнцией самой алгебры.

Теорема 2.1.3. Пусть (Л,— унар с малъцевской операцией р, определенной по правилу (0.2). Каэюдая конгруэнция унара (А, /) является конгруэнцией алгебры (А, /, р) тогда и только тогда, когда (А, /) является одним из унаров следующего вида: (1) С®, где п — простое число; (2) Ср + С?; (3) С{, где £ 6 N0 и {оо}.

Во втором параграфе описаны конгруэнц-простые унары со стандартной мальцевской операцией.

Теорема 2.2.3. Пусть (А,/,р) — неодноэлементный унар с мальцевской операцией р, определенной по правилу (0.2). Алгебра (А,/,р) является конгруэнц-простой тогда и только тогда, когда либо операция / инъективна, либо унар (А, /) является корнем глубины 1.

В третьем параграфе описаны унары со стандартной мальцевской операцией, решетка конгруэнций которых является цепью, а также под-прямо неразложимые алгебры.

Теорема 2.3.24. Пусть (А, /,р) — унар с мальцевской операцией р, определенной по правилу (0.2). Решетка конгруэнций алгебры (А,/,р) является цепью тогда и только тогда, когда унар (А, /) удовлетворяет одному из следующих условий:

1) операция / инъективна;

2) унар (А, /) изоморфен С[, где £ € N и {оо};

3) (Л, /) — связный периодический унар, имеющий единственный узловой элемент, который является циклическим;

4) (А,/) — связный непериодический унар, имеющий единственный узловой элемент;

5) унар (А,/) представляется как сумма одной компоненты связности вида (2)-(4) и произвольного числа компонент вида (1).

Теорема 2.3.25. Пусть (А,/,р) — унар с малъцевской операцией р, определенной по правилу (0.2). Алгебра (А,/,р) подпрямо неразложима в том и только в том случае, если решетка ее копгруэнций является цепью.

В четвертом параграфе дается описание псевдопростых унаров со стандартной мальцевской операцией.

Теорема 2.4.14. Неодноэлементный унар (А,/,р) с малъцевской операцией р, определенной по правилу (0.2), является псевдопростым тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

1) операция f инъективна;

2) унар (Д /) является корнем глубины 1;

3) унар (А, /) является корнем специального вида, имеющим для всех т > 0 равномощные друг другу (возможно, пустые) мноэюества минимальных элементов глубины т.

Третья глава посвящена описанию конструкции свободных алгебр многообразия Р унаров с мальцевской операцией р, удовлетворяющей тождествам Пиксли, а также его подмногообразия, заданного тождествами р(р{х,у,г),у,г) = р(х,у,р(х,у,г)) =р(х,у,г). (0.3)

Интерес к этим многообразиям обусловлен тем, что они содержат класс всех унаров со стандартной мальцевской операцией.

В первом параграфе приводится конструкция свободной алгебры У/ многообразия Р, а также изучается строение ее унарного редукта. Доказано, что унарный редукт алгебры является суммой свободных од-нопорожденных унаров, причем число слагаемых равно тах{Ко, где X — система свободных порождающих алгебры ТУ. Показано также, что в алгебре Ш разрешима проблема равенства слов. Во втором параграфе изучаются свойства свободных алгебр многообразия Р. Теорема 3.2.4. Множество свободных порооюдающих свободной алгебры многообразия унаров с малъцевской операцией, заданного тождеством Пиксли, определено однозначно.

Следствие. Группа автоморфизмов свободной алгебры ранга г многообразия унаров с малъцевской операцией, удовлетворяющей тождествам Пиксли, изоморфна симметрической группе степени г.

Говорят, что алгебра обладает свойством Хопфа, если каждый ее сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом. Предложение 3.2.3. Свободная алгебра конечного ранга многообразия унаров с малъцевской операцией, заданного тождествами Пиксли, обладает свойством Хопфа.

В §3 приводится конструкция свободной алгебры 5 подмногообразия многообразия Р, заданного тождествами (0.3). Полученные для алгебры 5 результаты аналогичны приведенным выше для алгебры .

В четвертой главе изучаются общие свойства алгебр многообразия унаров с термом Пиксли. В первом параграфе показано, что данное многообразие не содержит нетривиальных абелевых алгебр. Как следствие, многообразие унаров с мальцевской операцией неабелево.

Во втором параграфе изучаются свойства терма Пиксли р на произвольных алгебрах (Л, /,£>), определяющиеся строением их редукта (А, /). Получены ограничения на операцию р в зависимости от наличия узлового элемента в унаре (Л,/), от условия единственности узлового элемента, от наличия в унаре подунаров специального вида. Найдено число всех способов задания терма Пиксли, перестановочного с унарной операцией, на произвольном цикле длины п. Получены ограничения на операцию р, которая задается на связном унаре без узловых элементов, имеющем неподвижный элемент. Показано, что любой подунар такого унара является подалгеброй алгебры (A,f,p).

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах автора [54]-[53]. Они докладывались на международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" памяти JI.A. Скорнякова (Волгоград, 1999), на III международной алгебраической конференции (Сумы, 2001), на V международной алгебраической конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003), на VI международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию Н.Г.Чудакова (Саратов, 2004), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина (Екатеринбург, 2005), на II международном семинаре "Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения" (Волгоград, 2005), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2007), на III международном семинаре "Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения" (Волгоград, 2007), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша (Москва, 2008).

Автор выражает глубокую благодарность В.А. Артамонову и В.К.Кар-ташову за постановку задач, их плодотворное обсуждение и постоянное внимание к работе, а также Л.Н.Шеврину за ценные замечания.

1. Артамонов, В.А. Представление Магнуса в конгруэнц-модулярных многообразиях / В.А. Артамонов // Сиб. мат. журн. 1997. Т.38. N5. С. 978-995.

2. Бесценный, И.П. Квазитождества конечных унарных алгебр / И.П. Бесценный // Алгебра и логика. 1990. Т.28. N5. С. 493-512.

3. Бочкин, A.M. Унары с сепаративным моноидом эндоморфизмов / A.M. Бочкин // Изв. вузов. Мат. 1983. N5. С. 71-74.

4. Бочкин, A.M. Унары с коммутативным моноидом эндоморфизмов / A.M. Бочкин // Свойства полугрупп. JL, 1984. С. 3-14.

5. Бощенко, А.П. Псевдодополнения в решетке конгруэнций унаров / А.П. Бощенко // Алгебраические системы: Межвуз. сб. научн. работ. Волгоград: ВГПИ, 1989. С. 23-26.

6. Егорова, Д.П. О структуре конгруэнций унарной алгебры / Д.П. Егорова, Л.А. Скорняков // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1977. Вып. 4. С. 28-40.

7. Егорова, Д.П. Структура конгруэнций унарной алгебры / Д.П. Егорова // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1978. Вып. 5. С. 11-44.

8. Жданович, П.Б. Свободные абелевы расширения б^-перестановоч-ных алгебр / П.Б. Жданович // Чебышевский сборник. 2002. Т.З. N1(3). С. 49-71.

9. Замятин, А.П. Многообразия с ограничениями на решетку конгруэнций / А.П. Замятин. Свердловск: УрГУ, 1987. 92 с.

10. Карташов, В.К. Об унарах с мальцевской операцией / В.К. Кар-ташов // Международный семинар "Универсальная алгебра и ее приложения": Тез. сообщ. Волгоград: Перемена, 1999. С. 32.

11. Карташов, В.К. Квазимногообразия унаров / В.К. Карташов // Мат. заметки. 1980. Т. XXVII. N1. С. 7-20.

12. Карташов, В.К. Квазимногообразия унаров с конечным числом циклов / В.К. Карташов // Алгебра и логика. 1980. Т.19. N2. С. 173193.

13. Карташов, В.К. О решетках квазимногообразий унаров / В.К. Карташов // Сиб. Мат. журн. 1985. Т. XXVI. N3. С. 49-62.

14. Кожухов, И.Б. Полугруппы, над которыми все полигоны резиду-ально конечны / И.Б. Кожухов // Фундаментальная и прикладная математика. 1998 Т.4. N4. С. 1335-1344.

15. Курош, А.Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года / А.Г. Курош. М.: Наука, 1974. 160 с.

16. Либер, С.А. Упорядоченные n-кольцоиды над мультиоператорны-ми группами / С.А. Либер // Математические исследования: сб. Кишинев: 1972. Т. 7. N1. С. 83-97.

17. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. М.: Наука, 1970. 392 с.

18. Мальцев, А.И. К общей теории алгебраических систем / А.И. Мальцев // Мат. сб. 1954. Т.35. N1. С. 3-20.

19. Общая алгебра. Т.2. / В.А. Артамонов и др.]; под общей ред. Л.А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. 480 с.

20. Пинус, А.Г. Конгруэнц-модулярные многообразия / А.Г. Пинус. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та. 1986. 133 с.

21. Пинус, А.Г. О квазипростых алгебрах / А.Г. Пинус // Исслед. алгебр. систем по свойствам их подсистем. Свердловск, 1987. С. 108118.

22. Сизый, C.B. Финитно аппроксимируемые унары / C.B. Сизый // Мат. заметки. 1988. Т.43. N3. С. 401-406.

23. Скорняков, Л.А. Обобщения модулей / Л.А. Скорняков // Модули III. Препринт. Новосибирск: 1973. С. 22-27.

24. Скорняков, Л.A. Unars / Л.А. Скорняков // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1982. V.29. Universal Algebra (Esztergom 1977). Pp. 735-743.

25. Скорняков Л.A. Unary algebras with regular endomorphism monoids / Л.А. Скорняков // Acta Sei. Math. 1978. V.40. N3-4. Pp. 375-381.

26. Смирнов, Д.М. О регулярно определимых многообразиях алгебр / Д.М. Смирнов // Алгебра и логика. 1976. Т. 14. N3. С. 331-342.

27. Смирнов, Д.М. О соответствии между регулярно определимыми многообразиями унарных алгебр и полугруппами /Д.М. Смирнов // Алгебра и логика. 1978. Т. 17. N4. С. 468-477.

28. Смирнов, Д.М. Многообразия алгебр / Новосибирск: ВО "Наука". Сибирская издательская фирма, 1992. 205 с.

29. Усольцев, В.Л. Минимальные унарные алгебры с двумя коммутирующими операциями / B.JI. Усольцев; ВГПУ. М., 1996. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 31.12.96, N3857-B96.

30. Хион, Я.В. Q-кольцоиды, Q-кольца и их представления / Я.В. Хион // Тр. Моск. матем. об-ва. М., 1965. N14. С. 3-47.

31. Хобби, Д. Строение конечных алгебр / Д. Хобби, Р. Маккензи. М.: Мир, 1993. 287 с.

32. Чакрабарти, С. Гомоморфизмы свободных разрешимых алгебр с одной тернарной мальцевской операцией / С. Чакрабарти // Успехи матем. наук. 1993. Т.48. N3. С. 207-208.

33. Berman, J. On the congruence lattices of unary algebras / J. Berman // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. V.36. N1. Pp. 34-38.

34. Burns, St. A course in universal algebra / St. Burris, H.P. Sankap-panavar // Graduate Texts in Math. Springer-Verlag, 1981. V.78. 315 p.

35. Day, A. A characterization of modularity for congruence lattices of algebras / A. Day // Canad. Math. Bull. 1969. V.12. N1. Pp. 167-173.

36. Freese, R. Commutator theory for congruence modular varieties / R. Freese, R. McKenzie. 1987. London Math. Soc. Lecture Notes Ser. V.125. 227 p.

37. Jakubikova-Studenovska, D. On weakly rigid monounary algebras / D. Jakubikova-Studenovska // Math. Slovaca. (CSSR). 1986. V.36. N3. Pp. 376-392.

38. Jakubikova-Studenovska, D. Retract varieties of monounary algebras / D. Jakubikova-Studenovska // Czechoslovak Math. Journal. 1997. V.47 (122). Pp. 701-716.

39. Jonsson, B. Algebras whose congruence lattices are distributive / B. Jonsson // Math. Scand. 1969. V.21. N1. Pp. 110-121.

40. Johnson, J. A survey of multi-unary algebras / J. Johnson, R.L. Seifert // Mimeographed seminar notes. U.C. Berkeley, 1967. 15 p.

41. Hagemann, J. A concrete ideal multiplication for algebraic systems and its relation to congruence distributivity / C.Herrmann, J. Hagemann // Arch. d. Math. 1979. V. 32. N3. Pp. 234-245.

42. Hyman, J. Automorphisms of 1-unary algebras. I. / J. Hyman // Algebra Univ. 1974. N4. Pp. 61-77.

43. Hyman, J. Automorphisms of 1-unary algebras. II. / J. Hyman, Nation J.B. // Algebra Univ. 1974. N4. Pp. 127-131.

44. Kartashova, A. On lattices of topologies of unary algebras / A. Kartashova // Journal of Mathematical Sciences. 2003. V. 114. N2. Pp. 1086-1118.

45. Kilp, M. Monoids, Acts and Categories / M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev. Berlin: Walter de Gruyter, 2000. 529 p.

46. Loi, N.V. Subdirect irreducibility of algebras and acts with an additional unary operation / N.V. Loi, R. Wiegandt // Miskolc Mathematical Notes. 2005. V.6. N2, Pp. 217-224.

47. Pixley, A.F. Distributivity and permutability of congruence relations in equational classes of algebras / Pixley A.F. // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. V.14. N1. Pp. 105-109.

48. Plonka, J. On the lattice of varieties of unary algebras / J. Plonka // Simon Stevin. 1985. V.59. N4. Pp. 353-364.

49. Varlet, J.C. Endomorphisms and fully invariant congruences in unary algebras (^4;/) / J.C. Varlet // Bulletin de la Soc. Royale des Sciences de Liege. 1970. V.39. N 11-12. Pp. 575-589.

50. Wenzel, G.H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras (Л;/) / G.H. Wenzel // Arch. Math. (Basel) 1970. V.21. Pp. 256-264.Работы автора по теме диссертации

51. Усольцев, B.JI. О подпрямо неразложимых унарах с маль-цевской операцией / B.JI. Усольцев // Известия Волгоградского государственного педагогического университета, серия "Естественные и физико-математические науки". 2005. N4(13). С. 17-24.

52. Усольцев, В.Л. Унары с тернарной мальцевской операцией / В.Л. Усольцев // Успехи математических наук. 2008. Т.63. Вып. 5. С. 201-202.

53. Усольцев, В.Л. Свободные алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией, удовлетворяющей условиям Пикс-ли / В.Л. Усольцев // Известия высших учебных заведений. Математика. 2009. N4. С. 43-49.

54. Усольцев, В.Л. О решетках конгруэнций унаров с мальцевской операцией / В.Л. Усольцев // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. межд. семинара, поев, памяти Л.А. Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999. С. 70-71.

55. Усольцев, В.Л. О конгруэнциях унаров с тернарной мальцевской операцией / В.Л. Усольцев // Универсальная алгебра и ее приложения: Тр. межд. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 280-286.

56. Усольцев, В.Л. Конгруэнц-простые унары с тернарной мальцевской операцией / В.Л. Усольцев // Сб. тез. докл. III Межд. алгебраической коиф. Сумы: Изд-во СумГПУ, 2001. С. 266-267.

57. Усольцев, В.Л. О подпрямо неразложимых унарах с тернарной мальцевской операцией / В.Л. Усольцев // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тез. докл. V Межд. конф. Тула: Изд-во ТГПУ, 2003. С. 225-226.

58. Усольцев, В.Л. Свободные алгебры многообразия унаров с мальцев-ской операцией, заданного тождеством Пиксли / В.Л. Усольцев // Межд. конф. "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2007. С. 136-137.

59. Усольцев, В.Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами / В.Л. Усольцев // Межд. алгебраическая конф., поев. 100-летию со дня рожд. А.Г. Куроша: Тез. докл. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2008. С. 233-235.