Решетки конгруэнций унарных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1

На правах рукописи

л «И- ГГ'^"*

\ 3 О/и

БОЩЕНКО Андрей Петрович РЕШЕТКИ КОНГРУЭ1ЩИЙ УНАРНЫХ АЛГЕБР

Спещталыюсть 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

А В ТХ) РЕФЕРАТ

Д1£ссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Волгоградском государственном педагогическом университете на кафедре алгебры и геометрии.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических паук, доцент КАРТЛШОВ В.К.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор АРТАМОНОВ В.А.,

кандидат физико-математических наук, доцент КОЖУХОВ И.Б.

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

Защита диссертации состоится ". '¡Р...". /УРЛ'уСА.....1998 г.

в ,'?7. .часов на заседании Диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д.1, МПГУ.

Автореферат разослан ". ." се^г^ . 1998 года.

Ученый секре

сертационного совета КАРАСЕВ Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных направлений теории универсальных алгебр является изучение решеток конгруэнцнй классов универсальных алгебр. А.И.Мальцев [13] установил важную связь решеток конгруэнцнй алгебр данного многообразия с термально определяемыми функциями на алгебрах. Им доказано, что копгруэнцпи любой алгебры данного многообразия перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой терм р(х, у, г) от трех переменных, что на алгебрах этого многообразия истинны тождества: р(х,у,у) = р(у, у, х) = х. Впоследствии эти идеи нашли свое развитие в работах Пикслн [31], Дея [23], Ионссопа [26] п других авторов. Роль решеток конгруэнции подчеркивается в кпиге Г.Гретцера [25]. Оказалось, что наличие определенных свойств у решетки конгруэнцнй алгебр данного многообразия (перестановочность, модулярность, дистрибутивность) позволяет использовать теорию коммутаторов п вводить понятия абе-левых, пильпотентных и разрешимых алгебр, которые обобщают аналогичные понятия в группах [15], [20], [24]. В работе [21] Бейкер доказал, что любое конечно порожденное конгруэнц-днстрпбутивное многообразие конечно базируемо.

Унарные алгебры (т.е. алгебры только с унарными и иногда нульарными операциями) п, в частности, унары (унарные алгебры с одной унарной операцией), благодаря пх связям с автоматами и возможности графического представления, всегда находились в поле зрения специалистов. Исследовались как сами унарные алгебры, так и классы этих алгебр, а также алгебры естественным образом связанные с ними.

В настоящее время по теории упарпых алгебр получено большое количество глубоких и основополагающих результатов. Многочислен-

ный список работ в этой области можно условно разбить на два направления. К первому относятся работы, в которых изучаются различные теории унарных алгебр. Их проблематика восходит к монографии

A.И.Мальцева [14]. Второй класс работ группируется вокруг вопросов, сформулированных Л.А.Скорняковым в докладе [17] (Эстергом, 1977).

Кратко, о некоторых основных результатах по каждому из направлении.

I. В книге [14] А.И.Мальцев показал, что каждое многообразие унаров определяется одшш тождеством, откуда легко следует дистрибутивность решетки многообразий унаров. Работы [1], [18], [19], [32] посвящены изучению многообразий унарных алгебр. В работе [2] найдены некоторые условия существования конечного базиса квазитождеств конечных унарных алгебр конечной сигнатуры. В работах

B.К.Карташова [7]-[10] исследуются квазимногообразия унаров и решетки квазимногообразий унаров. Им, в частности, доказано наличие конечного базиса квазитождеств у конечного унара и независимого базиса у конечно - порожденного унара.

II. Среди работ второго направления, в первую очередь, следует указать, цитированный выше, основополагающий доклад Л.А.Скорпя-кова [17]. В [16] им описапы унары, полугруппа эндоморфизмов которых регулярна, инверсна или является группой. А.М.Бочкин в [3] и [4] описал унары с сепаративным или коммутативным моноидом эндоморфизмов.

В [29] и [30] П.П.Палфи изучает конечные решетки копгруэнций конечных унарных алгебр и вопросы представимости всех конечных дистрибутивных решеток, как решеток конгруэнции конечных алгебр, принадлежащих некоторому заданному классу алгебр. В частности, доказано, что каждая конечная дистрибутивная решетка изоморфна

решетке конгруэнции конечной унарной алгебры с двумя операциями и существуют конечные дистрибутивные решетки, которые не могут быть представлены как решетки конгруэншш конечного унара.

Г.Ч.Куринной в [11] изучает вопросы определимости унара его кон-груэпциямп, а в [12] дается описание унаров, решетка конгруэнции которых допускает нетривиальное прямое разложение.

В двух работах [27], [28] О.Копечек доказывает, что для счетного унара мощность его решетки конгруэнции и мощность решетки подунаров совпадают, а в случае несчетного унара эти мощности совпадают с мощностью лолугрупиы эндоморфизмов этого унара.

Берман [22] описал унары, у которых решетка конгруэнщш полу-модулярна сверху, а также атомарна. Д.П.Егорова н Л.А.Скорняков [5] дали описание унаров, у которых решетка конгруэнции с дополнениями, в [6] Д.П.Егорова выясняет, когда решетка конгруэнция улара является модулярной, дистрибутивной, цепью пли стоуновой решет-коп.

Вопрос об описании унаров, решетка конгруэншш которых является решеткой с псевдодополнениями, оставался нерешенным. Интересным является также вопрос, поставленный Л.А.Скорняковым в [17], об описании классов решеток, которые реализуются как решетки конгруэншш унаров. Описания решеток конгруэнции ряда важных классов унаров также оставались за рамками исследований.

В настоящей работе решаются сформулированные выше вопросы, а также близкие к поставленным выше вопросам и относящиеся к унарным алгебрам с двумя унарными операциями, удовлетворяющими определенным тождествам.

Цель работы. 1. Найти необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять унар, чтобы его решетка конгруэнщш была бы решеткой с псевдодополнениями:.

2. Найтп оппсаппе решеток копгруэнций счетныхунаров, каждая связная компонента которых является циклом.

3. Описать унарные алгебры с двумя взаимно обратными операциями, решетка конгруэпций которых является цепью, модулярной, дистрибутивной, обладает псевдодополнениями.

Методы исследования. Для выявления унаров, решетка конгруэнции которых - решетка с псевдодополнениями, используются теоре-тпко - множественные и теоретике - числовые конструкции. Описание решеток конгруэнции унарных алгебр получено в терминах подреше-ток декартовых произведений решеток.

Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации являются новыми. Основные результаты работы:

- полностью описан класс унаров, решетка конгруэнции которых обладает псевдодополнениями;

- описаны решетки с псевдодополнениями, которые реализуются решетками копгруэнций унаров;

- описапы решетки конгруэнции унаров, представимых в виде объединения не более счетного числа циклов;

- даны описания унарных алгебр с двумя взаимно обратными операциями, решетка копгруэнций которых модулярна, дистрибутивна, является цепью, решеткой с псевдодополнениями;

- дано описание конгруэнц - простых унарных алгебр с двумя операциями / и д, на которых выполнено тождество д(/(х)) — х.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследованиях, связанных с изучением решеток конгруэнции универсальных алгебр произвольной сигнатуры, а также при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Результаты докладывались на XVII (Минск,

1983) п XVIII (Кишинев, 1985) Всесоюзных алгебраических конференциях, VI Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990), Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Л.М.Глускпна (Славянск, 1997), Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.Г.Куроша (Москва, 1998), на научных конференциях Волгоградского государственного педагогического университета, расширенных научно - исследовательских семинарах кафедры алгебры и геометрии ВГПУ.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 7 работ, список которых приведен в конце автореферата [1-7].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 78 наименований. Полный объем диссертации 87 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор литературы по унарным алгебрам и решеткам конгруэнции этих алгебр, обоснование актуальности решаемых в диссертации задач, а также краткое изложение содержания диссертации.

Первая глава посвящена поиску необходимых и достаточных условий, которым должен удовлетворять унар, чтобы его решетка кон-груэнщш обладала псевдодополнениями, пли на решетке конгруэнции унара выполнялось квазитождество нолудистрнбутивности.

Для любого элемента и £ ГУ унара (17,}) положим и0 = и и ип+1 = У (и") для любого целого неотрицательного числа п.

Для любых целых чисел ( > 0 п /( > 0 через С[ обозначается унар с порождающим элементом и и определяющим соотношением и1 — и(+к.

Унар СЦ называется циклом, а число /г - длиной цикла.

С С^ означает, что Сд является подунаром унара при этом, очевидно, ¿1 < t•2.

Сд° - объединение возрастающей, по включению, последовательности унаров С/,1 С С,,2 С ... (I, >0).

Р - унар, изоморфный унару {2', /), где Z - множество целых чисел и f{z) = 2 — 1 для любого г & Z.

^ - свободный однопорожденный унар.

Объединение двух непересекающихся унаров II и V снова является унаром, он обозначается через П + V.

Через Соп(и), как обычно, обозначается решетка конгруэнции унара и.

Пусть (Ь,У,А) решетка с нулем 0. Элемент V & Ь называется псевдодополнением I 6 Ь, если / Л/* = 0и/Лх = 0 влечет х < I* для любого

Решетка с нулем называется решеткой с псевдодополнениями, если каждый ее элемент имеет псевдодополнение.

Унар А назовем псевдоконгруэнтным, если Соп(А) - решетка с псевдодополнениями.

Квазитождества

^ (VI, у, г)(х Уу — хУг—^хУу — хУ{уА г)),

5£>л ^ (VI, у,г)(хЛу = хЛг-*хЛу = хЛ(у\/ г)).

называются квазитождествами полуднстрибутивностп, а решетки, на которых истинны п 5 Д\, называются полу дистрибутивными. Теорема 1. Решетка Соп(и) конгруэнции, унара V обладает псевдодополнениями тогда и только тогда, когда II вложим & один из следующих унаров:

7 ПО , пас. .

I. 1 -Г -V. 2 ,

II. С? + Р ;

Ш.СГ + С1+С1 + ... ; IV. + + + .

В случаях III, IV hi, /¡2, • • ■ произвольные попарно взаимно простые числа, отличные от 1.

Следствие 2. Решетка конгруэнции псевдоконгруэнтного унара по-лумодулярна сверху.

В заключении первой главы доказывается Теорема 2. Если решетка конгруэнции, унара удовлетворяет одному из квазитождеств полудистрибутивности, то она дистрибутивна.

Во второй главе диссертации даны описания класса решеток, изоморфных решеткам конгруэнции псевдоконгруэнтных упаров и решеток конгруэнции унаров, являющихся объединением не более чем счетного числа циклов. Для этого описания используются следующие решетки.

V - решетка, двойственная решетке целых неотрицательных чисел по делимости, Сн - решетка, двойственная решетке делителей целого числа h > 1, Part(Ncj) - решетка разбиений (эквивалентностей) множества JVo целых неотрицательных чисел ( N = Щ \ {0} ), Z -решетка целых чисел, с добавленными внешним образом нулем и единицей, относительно естественного порядка, ßf - подрешетка решетки Z, содержащая ее единицу, элементами которой являются числа из Щ, (0] - главный идеал решетки Z, порожденный числом 0, [0; .s], [1; т] -интервалы решетки Af, а также подмножества множества Д'п.

Для решетки £2 х N специальными подрешетками назовем следующие: Li х 7V"; £2 х [0; % N; [0; &].

У решетки £2 х Z х V специальными подрешетками назовем: Z x'D\ ({2} х Z х V) U ({1} х Z х {1}); ({2} х (0] х P)U({1] х (0] х {1}); (0] х V.

1Ü

Пусть {/¿i,..., Л*,...} - некоторая совокупность попарно взаимно простых чисел, каждое из которых отлично от 1. Рассмотрим решетку

PartiNq) х J\í х П Chk - В нее вкладываются следующие решетки

keN

Part{N0) х [0; s] х П ¿V, Porl([0;m]) х jV х П

keN te[l¡T7i]

Part([0; m]) x [0; s] x П Part(N) x Д Ch¿

*6[l;m] keN

Parí([l;m])x Д A*-

íG[l;m]

В каждой из этих решеток, включая исходную, множества элементов, удовлетворяющих условию

(ViXHr <i = l)

([г]г - класс разбиения г, порожденный элементом г и t, Е образуют подрешетки, которые назовем специальными подрешетками решетки Partí Nn) х Л/" х П keN

Аналогично, в решетку Part (No) х П (Ai х £/,J вкладываются

keN

следующие решетки

Part(No) х П ([0;st] х £/, J; Par<(W) х П (М х Ch J; Fori([l;m]) x П x £ftJ ; Porí([0;m]) x П (^x Ut);

te[l;m] t€[l;m]

Pari([0;m])x П №«t| x 4) |

*6[l;m]

Part{\\; m]) x П ([0; *t] x Chk). keli-.m]

В каждой из этих решеток, включая исходную, множества элементов, удовлетворяющих условию

(V¿)«*']r?4¿}->*,• = !),

также образуют подрешетки, которые назовем специальными подрешетками решетки Part(No) х П (Л/* х £/,J .

keN

Теорема 3. Решетки, изоморфные решеткам конгруэнции, псевдоконгруэнтных унаров, исчерпываются специальными подрешетками решеток :

I. С-г х ЛГ;

II. С2х Zx V;

III. Part(No) х М х П Chk;

IV. Pari(No) х П (№'х Chk).

keN

В пунктах III и IV h\,hi,... произвольные попарно взаимно простые числа, отличные от 1.

Пусть К --= (Iii 6 N : г G N) - произвольный пабор натуральных чисел. Рассмотрим множество Рк последовательностей (г, пЛ, t\, П2, h,...) удовлетворяющих условиям:

г 6 Part(N); (Vi G N)(ti | !ц); (Vi e N)(m £ N0 k 0 < n, < i,);

(Vi £ iV)(i — наименьший в [i]r —► nt- = 0); (Vi,j e лг)((г, j) e r = <j). Определим на P;(- отношение < следующим образом:

(p,mupi,...) < (r,ni,tь...) ^ (ViJ G N)(p <rkpi': t{ k

k ((i,j) 6 p -+ ((n,- - rrij) = («,- - 7iij)(mod<,•)))). Теорема 4. Имеет место следующий изоморфизм

Con{Clx + Cl2 + •■•) = (Pa-, <)•

В §3 второй главы рассматривается класс К решеток с псевдодополнениями, являющихся решетками с дополнениями, и доказывается Теорема 5. Решетка конгруэпций Con(U) унара U лежит в классе К тогда и только тогда, когда либо U подунар унара С® + С}, либо U = С®, причем h = 1 или Л — P1P2 ■ ■ -р„, где pi,p%, ■ ■ ■ ,р„ попарно различные простые числа.

В третьей главе диссертации исследуются решетки коигруэшшй унарных алгебр с двумя операциями / и д многообрачцй A\ti и fi^i, определяемых соответственно тождествами

f(g(x)) = g(f(x)) = x и g(f(x)) = x.

Отметим, что А.А.Лкатаев и Д.М.Смирнов в работе [1] привели описание решетки подмногообразий многообразия Л\д. В.К.Карташов в [10] приводит характерпзацшо решетки квазимногообразии алгебр

АЦ.

В §1 найдены необходимые и достаточные условия, при которых решетка Соп(А) конгруэнцпй унарной алгебры А £ Л;,] является двухэлементной (предложение 4), цепью (предложение 5), дистрибутивной (предложение 6), модулярной (предложение 7), решеткой с псевдодополнениями (предложение 8). В этой же главе дается характерпзацпя решеток конгруэнции некоторых классов унарных алгебр многообразия v4i,i.

§2 третьей главы посвящен описанию конгруэнц - простых алгебр многообразия £>1д.

Теорема 9. Алгебра В из Bi i является простой тогда и только тогда, когда либо В простая алгебра из Ait\, либо В однопорожденная алгебра и унар Вд содержит одноэлементный цикл.

Здесь Вд обозначает унар, который получается из алгебры В "забыванием" операции /.

Для предложений, лемм и теорем используется в каждом случае своя нумерация, независимая от глав.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.К.Карташову за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Акатаев A.A., Смирнов Д.М. Решетки подмногообразий многообразии алгебр // Алгебра п логпка (Новосибирск).- 1968. - Т.7, N1. -С.5-25.

2. Бесценный И.П. Квазитождества конечных унарных алгебр // Алгебра и логпка (Новосибирск). - 1990. - Т.28, N5. - С.493-512.

3. Бочкин A.M. Упары с сепаративным моноидом эндоморфизмов // Изв. вузов. Мат. - 1983. - N5. - С.71-74.

4. Бочкип A.M. Унары с коммутативным моноидом эндоморфизмов // Свойства полугрупп. - Л. - 1984. - С.3-14.

5. Егорова Д.П.. Скорняков Л.А. О структуре конгруэнции унарной алгебры // Упорядоченные множества и решетки: Мсжвуз. науч. сб. Саратов: Кзд-во Саратов, ун-та. - 1977. - Вып. 4. - С.28-40.

6. Егорова Д.П. Структура конгруэнции упарпоп алгебры // Упорядочен. множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та. - 1978. - Вып. 5. - С.11-44.

7. Карташов В.К. Квазимногообразпя унаров // Мат. заметки. -1980. - Т.27, N1. - С.7-20.

8. Карташов В.К. Квазимногообразия унаров с конечным числом циклов // Алгебра и логика (Новосибирск). - 1980. - Т.19, N2. - С.173-193.

9. Карташов В.К. О решетках квазимногообразий унаров // Спб. мат. ж. - 1985. - T.2G, N3. - С.49-62.

10. Карташов В.К. Характеризацня решетки квазимногообразии алгебр Aij // Алгебраические системы: Межвуз. сб. науч. работ. Волгоград: ВГПЕ. - 1589. - С.37-15.

11. Куринной Г.Ч. Об определимости унара конгруэнциямн // Изв. вузов. Мат. - 1981. - N3. - С.76-78.

12. Куринной Г.Ч. Унары с разложимой решеткой конгруэнции // Алгебраические системы: Межвуз. сб. науч. работ. Волгоград: ВШИ. - 1989. - С.129-132.

13. Мальцев А.И. К общей теории алгебраических систем // Мат. сб. - 1954. - Т.35, N1. - С.3-20.

14. Мальцев А.И. Алгебраические системы // - М.: Наука. - 1970.

15. Пинус А.Г. Конгруэнц-модулярные многообразия // - Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та. - 1986.

16. Скорняков Л.A. Unary algebras with regular endomorpliism monoids // Acta sci. Math. - 1978. - V.40, N3-4. - P.375-381.

17. Скорняков Jl.A. Unars // Coll. Math. Soc. J. Bolyai. - 1982. - V.29. Universal Algebra (Esztergom 1977). - P.735-743.

18. Смирнов Д.М. О регулярно определимых многообразиях алгебр // Алгебра и логика (Новосибирск). -1976. - Т.14, N3. - С.331-342.

19. Смирнов Д.М. О соответствии между регулярно определимыми многообразиями унарных алгебр и полугруппами // Алгебра и логика (Новосибирск). - 1978. - Т.17, N4. - С.468-477.

20. Смирнов Д.М. Многообразия алгебр // - Новосибирск: Наука. -1992.

21. Baker К.A. Finite equational bases for finite algebras in a congruence-disributive equational class // Advanc. in Math. - 1977. - V.24, N2. - P.207-243.

22. Berinan J. On the congruence lattices of unary algebras // Proc. Amer. Math. Soc. - 1972. - V.36, N1. - P.34-38.

23. Day A. A characterization of modularity for congruence lattices of algebras // Canad. Math. Bull. - 1969. - V.12, N1. - P.167-173.

24. Freese R., McKenzie R. Commutator theory for congruence modular varieties // - London. - 1987. - (Lect. Notes Ser. - V.125).

25. Gratzer G. Universal algebra // - Berlin: Springer. - 1979.

26. Jonsson В. Algebras whose congruence lattices are distributive // Math. Scand. - 1969. - V.21, N1. - P.l 10-121.

27. Kopecek 0. A note on some cardinal functions on unary algebras // Contrib. Gen. Algebra. 2. Proc. Klagenfurt Conf., June 10-13,1982, Wien: Stutgart. - 1983. - P.221-227.

28. Kopecek 0. \EndA\ = \ConA\ — |5«ЬЛ| — 2A for any uncountable 1-unary algebra A // Algebra Universalis. - 1983. - V.16, N3. - P.312-317.

29. Palfy P.P. On certain congruence lattices of finite unary algebras // Comment- Math. Univ. Carol. - 1978. - V.19, N1. - P.89-95.

30. Palfy P.P. Distributive congruence lattices of finite algebras // Acta sci. math. - 1987. - V.51, N1-2. - P.153-162.

31. Pixiey A.F. Distributivity and pennutability of congruence relations in equationall classes of algebras /'/' Proc. Amer. Math. Soc. - 1903. - V.14. N1. - F.105-109.

32. Plonka J. On the lattice of varieties of unary algebras // Simon Stevin. - 1985. - V.59, N4. - P.353-364.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бощенко А П, О решетке конгруэнций уларов // XVII Всесоюзн. алгебр, конф.: Тез. сообщ. Минск, 1983. - 4.2. - С.28.

2. Бощенко А.П. Характеризация решеток с псевдодополнениями, изоморфных решеткам конгруэнции унаров // XVIII Всесоюзн. алгебр. конф.: Тез. сообщ. Кишплев, 1985. - 4.1. - С.66.

3. Бощенко А.П. Псевдодополнения в решетке конгруэнций унаров // Алгебраические системы: Межвуз. сб. науч. работ. Волгоград: ВГПИ. - 1989. - С.23-36.

4. Бощенко А.П. Строение решетки конгруэнций счетного объединении циклов j j VI Всесоюзн. симпозиум по t^odhi? кол^ц, алгебр и модулей.: Тез. сообщ. Львов. - 1990. - С.28.

5. Бощенко А.П. Строение решетки конгруэнции счетной алгебры из Л1Д // Тез. сообщ. Международной алгебр, конф. Славянск, Украина. - Киев. - 1997. - С.78.

6. Бощенко А.П. Решетки конгруэнцпй унарных алгебр с двумя операциями / и д, удовлетворяющими тождествам /(д(х)) = д(/(х)) = х или д(/(х)) = х // Волгоград, пед. ун-т. - Волгоград. - 1998. - 32 с.

- Библиогр.: 15 назв. - Гус. - Дсп. в ВИНИТИ 20.04.98, N1220 - В98.

7. Бощенко А.П. Конгруэнц - простые алгебры некоторых многообразии унарных алгебр // Международная алгебраическая конференция (посвященная памяти А.Г.Куроша).: Тез. сообщ. Москва. - 1998.

- С.146-147.