Решетки топологий унаров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Основные определения и вспомогательные результаты

ГЛАВА II. Мощности решеток топологий унаров

ГЛАВА III. Унары с ограничениями на решетку топологий

§1. Модулярность и дистрибутивность

§2. Дополнения

§3. Псевдодополнения

ГЛАВА IV. Отделимые топологии в решетках топологий унаров

Одним из важных направлений универсальной алгебры является изучение решеток, связанных с различными классами алгебраических систем. Применение теории решеток позволяет объяснить многие общие закономерности из различных областей математики и выразить эти закономерности на едином языке.

Исследование решеток, связанных с различными классами алгебр, началось с работы Дедекинда [38], который в 1900 году доказал, что решетка нормальных подгрупп любой группы модулярна. Это направление получило развитие в работах Г. Биркгофа, А. И. Мальцева, Р. Бэра, А. Г. Куроша, О. Ope, JI. А. Скорнякова, А. В. Михалева, М. Судзуки, В. А. Артамонова, Д. М. Смирнова, В. А. Горбунова, JI. Н. Шеврина, Г. Гретцера, Б. Йонсона, Р. Маккензи, В. М. Копытова, А. И. Кокорина, В. Н. Салия, А. А. Туганбаева, И. Б. Кожухова, Г. В. Дорофеева, Т. С. Фофановой, Г. Е. Пунинского и других авторов.

При изучении производных решеток для классов алгебраических систем исследуются решетки подалгебр, конгруэнций, подалгебр и конгруэнций специальных типов, а также - решетки многообразий, квазимногообразий и других классов алгебраических систем, обладающих заданными свойствами. В этом направлении традиционными вопросами являются: исследование мощности этих решеток, тождеств и квазитождеств, истинных на них, условия определимости алгебраических систем решетками, связанными с ними, и т. п.

Аналогичные вопросы ставятся и при изучении класса решеток топологий на множествах. Впервые этот класс рассмотрел Биркгоф в 1936 году [37]. С тех пор в этой области достигнуты значительные

-продвижения. Обзор результатов по этой проблематике изложен, например, в [56]. Среди наиболее важных отметим результат Штейнер [65], показавшей, что решетка всех топологий на произвольном множестве А является решеткой с дополнениями, причем она дистрибутивна лишь при \А\ < 2.

Задача изучения решетки всех топологий на произвольной алгебре 01 = рассматривалась рядом авторов. В работе [25] Б. Д. Орлов показал, что частично-упорядоченное по включению множество всех топологий на любой универсальной алгебре 51 является полной решеткой. Б. Шмарда в [64] доказал, что если О - абелева ¿-группа, то решетка всех топологий на С дистрибутивна, а топологии на носителе группы С, относительно которых непрерывна только групповая операция, образуют модулярную решетку.

Для систематического построения теории решеток топологий алгебр необходим анализ ситуации для различных сигнатур. Следует отметить, что теория универсальных алгебр с унарными операциями и алгебр, в сигнатуре которых имеется операция арности не меньше 2, существенно различаются. В настоящей диссертации основное внимание сосредоточено на исследовании решеток топологий унаров, т.е. алгебр с одной унарной операцией.

Класс унаров привлекает внимание многих специалистов. Унары, благодаря возможности их графического представления, являются удобным источником примеров для выявления сущности и особенностей различных понятий алгебры и теории моделей. Унары, по существу, идентичны с автоматами без выхода, имеющими единственный входной сигнал. Интерес к этим алгебрам в последнее время значительно возрос в связи с тем, что для них получены содержательные алгебраические и теоретико-модельные результаты.

Многочисленные исследования унаров можно условно разбить на три направления. К первому относятся те из них, в которых изучаются классы унаров, обладающие заданными свойствами, а также -различные теории унаров. В исследованиях второго направления рассматриваются алгебры, производные от унаров: решетки конгруэнции, решетки подалгебр, моноиды эндоморфизмов, группы автоморфизмов и другие. Работы третьего направления посвящены изучению алгебраических систем разных сигнатур с использованием унаров.

Отметим кратко некоторые результаты по каждому из направлений.

I. Начало исследованиям первого направления было положено А. И. Мальцевым, который в монографии [23] показал, что каждое многообразие унаров определяется одним тождеством.

Квазимногообразия унаров и решетки квазимногообразий унаров исследуются в работах [14]-[16]. В статье [24] исследуется полугруппа многообразий унаров, а в [17] - группоиды квазимногообразий унаров относительно мальцевского умножения.

Класс подпрямо неразложимых унаров охарактеризован в [66], а финитно-аппроксимируемых унаров - в [27]. В работе [8] изучаются свойства решетки всех универсальных классов унаров.

Ю. Е. Шишмарев в [33] получил описание категоричных теорий унаров. Л. Маркус исследовал вопрос о числе минимальных моделей теории унаров [57]. А. А. Ивановым [13] был найден критерий элементарной эквивалентности унаров. Модельно полные теории ограниченных унаров исследованы Г. Е. Пунинским [26]. Сильно \/-конечные теории унаров рассматриваются Б. М. Хусаиновым [32].

В серии работ [48]-[53] Якубикова-Студеновская исследует ретрак-ты и ретрактные многообразия унаров, где под ретрактом понимается такой подунар унара 21, что для некоторого гомоморфизма /г унара 21 на 23 равенство /г(ж) = х выполняется при любом х £ 23, а под ретрактным многообразием - произвольный класс унаров, замкнутый относительно прямых произведений и ретрактов.

В ряде статей [35], [40], [41], [46], [47], [67] исследуются частичные унары и их классы.

В [67] изучаюся слабые многообразия частичных унаров, т. е. классы, состоящие из всех таких частичных унаров, что каждое из фиксированного набора тождеств выполняется на них при любом наборе элементов, для которого определены функции, заданные термами, входящими в это тождество.

II. Проблематика работ второго направления в исследовании унаров близка к вопросам, сформулированным в докладе Л. А. Скорнякова [29] (Эстергом, 1977 г.). В этом докладе цитируется более 40 работ, в которых унары рассматривались с различных точек зрения, и ставится задача изучения алгебр, производных от них: решеток конгруэнций, решеток подалгебр, моноидов эндоморфизмов, групп автоморфизмов и других.

В [28] описаны унары, моноид эндоморфизмов которых либо регулярен, либо инверсен, либо является группой. В [3] и [4] охарактеризованы унары с сепаративным или коммутативным моноидом эндоморфизмов. Группы автоморфизмов унаров исследовались в работах

31], [42], [43], [45], [59]. В статье [45] показано, что унары, обладающие только тождественным автоморфизмом, одноэлементны. Группы слабых автоморфизмов унаров рассматривались в [39], [61] и [62].

В [63] доказано, что решетка подалгебр произвольной унарной алгебры является двойной алгеброй Браувера, т. е. алгеброй Браувера с такой дополнительной бинарной операцией —, что Ъ — а < х тогда и только тогда, когда а V х > Ъ. В статье В. Бартола [34] найдены условия, при которых двойная алгебра Браувера является решеткой подунаров некоторого унара.

В работах [54] и [55] О. Копечек показывает, что для любого бесконечного унара мощности его решетки подунаров и решетки конгру-энций совпадают.

Исследование унаров, решетка конгруэнций которых удовлетворяет заданному свойству, было начато Д. Берманом. В [36] он описал унары, решетка конгруэнций которых либо полумодулярна сверху, либо атомарна. Д.П.Егорова и Л.А.Скорняков [10] выяснили, у каких унаров решетка конгруэнций является решеткой с дополнениями, модулярной решеткой с дополнениями, булевой решеткой. В работе [11] Д.П.Егорова охарактеризовала унары, решетка конгруэнций которых является модулярной, дистрибутивной, цепью или стоуновой решеткой. А. П. Бощенко [5] описал унары, решетка конгруэнций которых с псевдодополнениями.

Г. Ч. Куринной в [20] изучает вопросы определимости унара по его решетке конгруэнций, в [21] описывает унары, решетки конгруэнций которых допускают нетривиальное прямое разложение, а в [22] находит условия, при которых совпадение решеток конгруэнций двух унаров, заданных на одном и том же множестве, влечет совпадение квазимногообразий, порожденных каждым из этих унаров.

III. В последнее время появился ряд работ, в которых унары используются для изучения других алгебраических систем. Так, в [60] все гомоморфизмы конечных группоидов описываются при помощи гомоморфизмов унаров. В [44] Я. Ежек рассматривает леводистрибутив-ные расширения произвольного унара (А, /), т.е. такие леводистрибу-тивные группоиды на множестве А, что хх = f(x) для любого х £ А. Полученные результаты автор работы использует для построения алгоритма нахождения числа всех леводистрибутивных группоидов на заданном конечном множестве.

В [18] рассматриваются унары с мальцевской операцией, т. е. алгебры (Л,/,р) типа (1,3), на которых истинны тождества р(х, у, у) = = р(у,у,х) = х и f(p(x,y,z)) = p(f(x)J(y)J(z)). Автор показывает, что для любого унара (А, /} можно так определить тернарную операцию р, что алгебра (А, /, р) будет унаром с мальцевской операцией. В [30] приведены примеры конгруэнц-простых унаров с мальцевской операцией.

Настоящая диссертация относится ко второму направлению. В ней изучаются решетки топологий унаров, а также доказываются некоторые утверждения, справедливые для решеток топологий алгебр более широкого класса.

Заметим, что решетка топологий унара 21 = (А,/), где f(x) = х при любом х Е А, изоморфна решетке всех топологий на множестве А. Поэтому абстрактный класс всех решеток топологий унаров содержит в качестве подкласса класс решеток топологий на множествах, причем это включение строгое. Таким образом, задача изучения класса всех решеток топологий унаров является естественным продолжением исследований класса всех решеток топологий на множествах.

Кроме того, ниже будет показано, что решетку топологий произвольного унара можно интерпретировать как решетку подалгебр некоторой алгебры, связанной с этим унаром.

Приведем некоторые понятия, которые будут использованы в тексте.

Под топологией на множестве А понимается выделенная совокупность а подмножеств этого множества, называемых открытыми и обладающих следующими свойствами: a) пустое множество и само множество А открыты; b) объединение любой совокупности и пересечение конечной совокупности открытых множеств суть открытые множества.

Для любого подмножества X в множестве А с топологией а запись X Е ст означает, что X открыто в топологии а. Топология а на множестве А, совпадающая с множеством всех подмножеств этого множества, называется дискретной, а топология а — {0,^4} - антидискретной.

Пусть теперь 21 = (А^) ~ произвольная универсальная алгебра. Сигнатурная ?г-арная операция Г Е ^ называется непрерывной относительно топологии а на множестве А, если для любых элементов <21,. ,ап Е А и произвольной окрестности II элемента . . :ап) найдутся такие окрестности . ,11п элементов а\,. ,ап соответственно, что F{Ul,. , ип) С и. Топология на множестве А, относительно которой каждая операция из П является непрерывной, называется топологией на алгебре 21.

Известно [25, с.69], что топологии на алгебре 21 образуют полную решетку по включению. Эту решетку будем называть решеткой топологий алгебры 21 и обозначать через $у(21).

Пусть теперь алгебра 21 = (A, Ü) является унарной и Р{А) означает множество всех подмножеств множества А. Естественным образом возникает алгебра 21er = (Р(А), й"7) с носителем Р(А) и сигнатурой ir = Q-1 и (П) и {0,1} и (U < 2^1}, а где (J - а - местный символ, интерпретируемый как теоретико-множественное объединение семейства множеств, занумерованных множеством, мощность которого равна а;

О,"1 = {/1|/ Е fi}, где /1(М) - полный прообраз подмножества М С А при отображении /; р| - бинарный символ теоретико-множественного пересечения двух множеств;

0,1 - нульарные символы, интерпретируемые как операции взятия пустого подмножества 0 С i и самого множества А, соответственно.

Очевидно, что любую топологию на алгебре 21 можно рассматривать как подалгебру алгебры 21er. Таким образом, решетка ^(21) естественным образом отождествляется с решеткой Sub'Ql'7 подалгебр алгебры 21a.

Настоящая диссертация состоит из четырех глав. В первой главе работы даны необходимые понятия и обозначения. В ней изучаются связи между решеткой ^(21) топологий алгебры 21 произвольной сигнатуры и решеткой СопЯ.I конгруэнций этой алгебры, а также - между решеткой топологий исходной алгебры и решеткой топологий ее фак-торалгебры или подалгебры.

Теорема 1. Решетка Соп%[, двойственная к решетке Соп% конгруэнций произвольной алгебры 21 — изоморфно вложима в решетку ^(21) ее топологий.

Для любой конгруэнции в алгебры 21 через т{9) обозначим топологию, порожденную всеми классами данной конгруэнции.

Теорема 2. Пусть (р - произвольный эпиморфизм алгебры 21 = (А, П) е алгебру = (В,О,}. Тогда решетка ^(53) топологий алгебры 53 изоморфна главному идеалу решетки ^(21), порожденному топологией т(6), где в - ядро эпиморфизма ср.

Теорема 3. Пусть 21 - произвольная унарная алгебра и 53 - ее подалгебра. Тогда решетка ^(53) вложима в качестве главного фильтра в решетку ^(21).

Теорема 4. Пусть О, - произвольная функциональная сигнатура, содержащая хотя бы один символ, арность которого больше 1. Тогда существует такая трехэлементная алгебра 21 сигнатуры О,, что решетка топологий алгебры 21 двухэлементна, а решетка топологий некоторой подалгебры этой алгебры четырехэлементна.

Вторая глава диссертации посвящена описанию мощностей решеток топологий унаров. В ней также получены некоторые результаты, устанавливающие взаимосвязи между решеткой топологий и решеткой конгруэнций произвольного унара.

Теорема 5. Пусть 21 - произвольный унар. Тогда следующие предложения эквивалентны:

1) унар 21 конечен;

2) решетка ^(21) конечна;

3) решетка ^(21) имеет конечную ширину;

4) решетка ^(21) удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей;

5) решетка ^(21) удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей.

Теорема 6. Пусть 21 = (Л,/) - произвольный унар. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) решетка О'(21) не может быть счетной;

2) если мощность множества А больше 1^(21)| = 22'А|.

Следствие 1. Класс Я всех решеток топологий унаров не является аксиоматизируемым.

В дальнейшем N будет обозначать множество целых положительных чисел и N0 = N и {0}.

Для каждого элемента а унара 21 через /п(а) обозначается результат п-кратного применения операции / к элементу а, при этом считается, что /°(а) = а.

Моногенный унар с порождающим элементом а и определяющим соотношением /п(а) = /п+т(а) (п Е Мо,т Е М) будем обозначать через С^. Унар С^ называется циклом длины т.

Следствие 2. Если унар 21 = (А, /) не является циклом, то справедливо неравенство |^(21)| > |Соп21|.

Следствие 3. Решетка 5(21) топологий унара 21 = (А, /) изоморфна решетке Соп% его конгруэнции тогда и только тогда, когда унар 21 является циклом.

В общем случае решетка 5(21) топологий алгебры 21 = (А, О) не является подрешеткой решетки по включению всех топологий на множестве А [1, с.45]. Однако простая проверка показывает, что если 21 - унар, то 5(21) - полная подрешетка решетки топологий на носителе этого унара.

Возникает вопрос: верно ли, что всякая полная подрешетка решетки всех топологий на произвольном множестве изоморфна решетке топологий некоторого унара? Следующее утверждение дает отрицательный ответ на этот вопрос.

Следствие 4. Для того, чтобы всякая полная подрешетка решетки топологий на множестве и была изоморфна решетке топологий 5(21) некоторого унара% необходимо и достаточно, чтобы |[/| < 2.

Используя предложения 1 и следствия 2-4 из него, получаем

Следствие 5. Справедливы следующие утверждения:

1) существуют такие унары 21 и что решетки Соп21 и СогсЪ конгруэнции унаров 21 и 23 изоморфны, а решетки 5(21) и 5(23) неизоморфны;

2) существуют такие унары С и Т), что решетки 5(С) и 5(2)) топологий этих унаров изоморфны, а решетки СопС и Соп1) не являются изоморфными.

Третья глава диссертации состоит из трех параграфов. В первом из них находятся необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять унар, чтобы на его решетке топологий выполнялось тождество дистрибутивности или модулярности. В нем также описан класс всех модулярных решеток, каждая из которых изоморфна решетке топологий некоторого унара 21.

Элемент а унара 21 назовем циклическим, если моногенный подунар (а), порожденный этим элементом, является циклом.

Теорема 7. Решетка ^(21) топологий унара 21 = (А,/) модуляр-на тогда и только тогда, когда 21 является либо однопорожденпым унаром [а), в котором f{a) - циклический элемент, либо - объединением двух одноэлементных циклов.

Следствие. Решетка Э(21) топологий унара 21 является цепью тогда и только тогда, когда 21 - цикл длины рп, где р - простое число и п е М0.

Теорема 8. Произвольная модулярная решетка изоморфна решетке топологий ^(21) некоторого унара 21 тогда и только тогда, когда она изоморфна решетке делителей некоторого натурального числа п.

Следствие 1. Решетка ^(21) топологий произвольного унара 21 мо-дулярна тогда и только тогда, когда она дистрибутивна.

Как было отмечено выше, класс всех решеток топологий унаров содержит в себе класс всех решеток топологий на множествах. Возникает вопрос: не совпадают ли эти два класса? Отрицательный ответ на этот вопрос дает

Следствие 2. Существует по крайней мере счетное число попарно неизоморфных решеток топологий унаров, каждая из которых не изоморфна решетке всех топологий ни на каком множестве.

Во втором параграфе третьей главы изучаются унары, решетки топологий которых являются решетками с дополнениями, с относительными дополнениями, булевыми решетками.

В работе Штейнер [65] показано, что решетка по включению всех топологий на произвольном множестве является решеткой с дополнениями. Так как решетка топологий на произвольном множестве содержится в классе всех решеток топологий унаров, то результат работы [65] можно интерпретировать как частичное решение вопроса о том, решетка топологий каких унаров является решеткой с дополнениями. Окончательный ответ на него дает

Теорема 9. Решетка ^(21) топологий унара 21 = (А, /) является решеткой с дополнениями тогда и только тогда, когда для каждого элемента а Е А элемент /(а) является циклическим и длины всех циклов унара равны некоторому фиксированному числу п, которое свободно от квадратов.

Объединение двух непересекающихся унаров 21 и обозначается через 21+53.

Следствие 1. Решетка ^(21) топологий унара 21 булева тогда и только тогда, когда либо 21 = С^1 + С®, либо 21 = С\, где I < 1 и число К свободно от квадратов.

Следствие 2. Решетка ^(21) топологий унара 21 является решеткой с относительными дополнениями тогда и только тогда, когда она булева.

В третьем параграфе третьей главы охарактеризованы унары, решетки топологий которых с псевдодополнениями. Основной результат этого параграфа раскрывает следующая

Теорема 10. Решетка 3(21) топологий унара 01 = (А,/) является решеткой с псевдодополнениями тогда и только тогда, когда 21 является унаром одного из следующих видов:

1) С\,

2) + , где числа и Ьч взаимно просты.

Следствие. Решетка 3(21) топологий унара 21 является одновременно решеткой с дополнениями и псевдодополнениями тогда и только тогда, когда она булева.

В четвертой главе рассматриваются верхние подполурешетки Зо(21), 31(21) и 32(21) решетки 3(21) топологий произвольной алгебры 21, элементами которых являются То,Т\ и Т2-топологии на алгебре 21, соответственно.

Теорема 11. Пусть 21 = (А, П) - произвольная унарная алгебра. Тогда множество $1(21) всех Т\-топологий на 21 образует главный фильтр в решетке 3(21) всех топологий на алгебре 21.

Следствие. Если в унар 21 изоморфно вложим свободный моногенный унар Т\, то решетка Зх(21) всех Т\-топологий на унаре 21 континуальна.

Теорема 12. Пусть 21 = (А,/) - произвольный унар. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если 21 является циклом, то каждая То топология на унаре 21 дискретна;

2) если унар 21 не является циклом, то множество Зо(21) всех То-топологий на 21 решеткой по включению не является;

3) если унар 21 бесконечен, то множество ^(21) в сеж хаусдорфовых топологий на унаре 21 решеткой по включению не является.

Следствие. Произвольная решетка Ь тогда и только тогда изоморфна решетке ^о(21) или (21) некоторого унара 21, когда она одноэлементна.

Для лемм и теорем в диссертации принята сквозная, независимая друг от друга нумерация.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [68] - [75]. Они докладывались на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.Г.Куроша (Москва, 1998), Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре, семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ (Москва, 2001), Международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения", посвященном памяти Л. А. Скорнякова (Волгоград, 1999), VII Международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование." (Ростов-на-Дону, 1999), на научных конференциях Волгоградского государственного педагогического университета, расширенных научно - исследовательских семинарах кафедры алгебры, геометрии и информатики ВГПУ.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. А. Артамонову за полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

1. Арнаутов В.И., Главатский С.Т., Михалев A.B. 1.troduction to the theory of topological rings and modules // - New York. - 1996.

2. Биркгоф Г. Теория решеток // М.: Наука. - 1984.

3. Бочкин A.M. Унары с сепаративным моноидом эндоморфизмов // Изв. вузов. Мат. 1983. - N5. - С.71-74.

4. Бочкин A.M. Унары с коммутативным моноидом эндоморфизмов // Свойства полугрупп. Л. - 1984. - С.3-14.

5. Бощенко А.П. Псевдодополнения в решетке конгруэнций уна-ров // Алгебраические системы: Межвуз. сб. науч. работ. Волгоград: ВГПИ. 1989. - С.23-36.

6. Бощенко А.П. Копсевдодополнения в решетке конгруэнций уна-ров // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. Л. А. Скорнякова, Волгоград, 6-11 сент. 1999 г. Волгоград, 1999. - С. 19-20.

7. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. - 272 с.

8. Гильман Е.И. О решетке универсальных классов унаров // Саратов. ин-т механиз. с.х. Саратов. - 1982. - 22 с. - Библиогр.: 6 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 19.12.82, N6186 - 82.

9. Горбунов В.А. О решетке квазимногообразий // Алгебра и логика (Новосибирск). 1976. - Т.15, N4. - С.438-457.

10. Егорова Д.П., Скорняков Л.А. О структуре конгруэнций унарной алгебры // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та. 1977. - Вып. 4. - С.28-40.

11. Егорова Д.П. Структура конгруэнций унарной алгебры // Упорядочен. множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та. 1978. - Вып. 5. - С.11-44.

12. Егорова Д.П. Унары со структурой конгруэнций специального вида // Исследования по алгебре: Изд-во Саратов, ун-та. 1977. - Вып. 5. - С.3-19.

13. Иванов A.A. Полные теории унаров // Сиб. мат. ж. 1984. -Т.23, N1. - С.48-74.

14. Карташов В.К. Квазимногообразия унаров // Мат. заметки. -1980. Т.27, N1. - С.7-20.

15. Карташов В.К. Квазимногообразия унаров с конечным числом циклов // Алгебра и логика (Новосибирск). 1980. - Т.19, N2. - С.173-193.

16. Карташов В.К. О решетках квазимногообразий унаров // Сиб. мат. ж. 1985. - Т.26, N3. - С.49-62.

17. Карташов В.К. О полугруппе квазимногообразий унарных алгебр / / Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. между нар. семинара, посвящ. памяти проф. JI. А. Скорнякова, Волгоград, 6-11 сент. 1999 г. Волгоград, 1999. - С. 31.

18. Карташов В.К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. JI. А. Скорнякова, Волгоград, 6-11 сент. 1999 г. Волгоград, 1999. - С. 31-32.

19. Куратовский К. Топология т.1 // М.: Мир. - 1966.

20. Куринной Г.Ч. Об определимости унара конгруэнциями // Изв. вузов. Мат. 1981. - N3. - С.76-78.

21. Куринной Г.Ч. Унары с разложимой решеткой конгруэнций // Алгебраические системы: Межвуз. сб. науч. работ. Волгоград: ВГПИ. 1989. - С.129-132.

22. Куринной Г.Ч. Конгруенци ta квазгтотожност1 на унап // Укр. мат. журн. 1997. - т.49, N6. - С.852-856.

23. Мальцев А.И. Алгебраические системы // М.: Наука. - 1970.

24. Мартынова Т. А. Группоид многообразий унаров // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. междунар. семинара, по-свящ. памяти проф. JI. А. Скорнякова, Волгоград, 6-11 сент. 1999 г. -Волгоград, 1999.- С. 191-195.

25. Орлов С. Д. О решетке допустимых топологий // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та. 1974. - Вып. 2. - С.68-71.

26. Пунинский Г.Е. Модельно полные теории ограниченных унаров // Сиб. мат. ж. 1987. - Т.28, N5. - С.145-148.

27. Сизый C.B. Финитно аппроксимируемые унары // Мат. заметки. 1988. - Т.43, N3. - С.401-406.

28. Скорняков JI.A. Unary algebras with regular endomorphism monoids // Acta sei. Math. 1978. - V.40, N3-4. - P.375-381.

29. Скорняков JI.A. Unars // Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 1982. - V.29. Universal Algebra (Esztergom 1977). - P.735-743.

30. Усольцев В. JI. О решетках конгруэнций унаров с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. JI. А. Скорнякова, Волгоград, 6-11 сент. 1999 г. Волгоград, 1999. - С. 70-71.

31. Фейнберг В.З. Однородные унарные алгебры и их группы автоморфизмов // Изв. АН. БССР. Сер. физ.-мат. н. 1968. - N5. - С. 17-29.

32. Хусаинов Б.М. Сильно V-конечные теории унаров // Мат. заметки. 1987. - Т.41, N2. - С.256-271.

33. Шишмарев Ю.Е. О категоричных теориях одной функции // Мат. заметки. 1972. - т.2, N1. - С. 89-98.

34. Bartol Wiktor. Subalgebra lattices of monounary partial algebras // Algebra Univers. 1981. - V.12, N1. - P.66-69.

35. Bartol Wiktor. Weak subalgebra lattices of monounary partial algebras // Comment. Math. Univ. Carol. 1990. - V.31, N3. - P.411-414.

36. Berman J. On the congruence lattices of unary algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. - V.36, N1. - P.34-38.

37. Birkhoff G. On the combination of topologies // Fund. Math. -1936. V.26. - P.156-166.

38. Dedekind R. Uber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe // Math. Ann. 1900.-V.53. - P.147-154.

39. Dudek J., Plonka E. Weak automorphisms of linear spaces and of other abstract algebras // Colloq. Math. 1971. - V.22. - P.201-208.

40. Haluskova Emilia, Studenovska Danica. Partial monounary algebras with common quasi-endomorphisms // Czechosl. Math. J. 1992. -V.42, N1. - P.59-72.

41. Haluskova Emilia, Studenovska Danica. Partial monounary algebras with common closed quasi-endomorphisms // Czechosl. Math. J. -1993. V.43, N2. - P.225-240.

42. Hyman J. Automorphisms of 1-unary algebras. I. J J Algebra Univ. 1974. - N4. - P.61-77.

43. Hyman J., Nation J.B. Automorphisms of 1-unary algebras. II. // Algebra Univ. 1974. - N4. - P.127-131.

44. Jezek Jaroslav. Enumerating left distributive groupoids // Czechosl. Math. J. 1997. - V.47. - P.717-727.

45. Jkubikova-Studenovska Danica. On weakly rigid monounary algebras // Math. Slovaca. (CSSR). 1980. - V.30, N2. - P.197-206.

46. Jkubikova-Studenovska Danica. On congruence relations of mono-unary algebras.II // Czechosl. Math. J. 1983. - V.33, N3. - P.448-466.

47. Jkubikova-Studenovska Danica. Endomorphisms of partial mono-unary algebras // Czechosl. Math. J. 1986. - V.36, N3. - P.376-392.

48. Jkubikova-Studenovska Danica. Retract irredicubility of connected monounary algebras. I. // Czechosl. Math. J. 1996. - V.46. - P.291-308.

49. Jkubikova-Studenovska Danica. Two types of retract irredicubility of connected monounary algebras // Math. Bohemica. 1996. - V.121, N2. - P.143-150.

50. Jkubikova-Studenovska Danica. Retract irredicubility of connected monounary algebras. II. // Czechosl. Math. J. 1997. - V.47. - P.113-126.

51. Jkubikova-Studenovska Danica. Retract varieties of monounary algebras // Czechosl. Math. J. 1997. - V.47. - P.701-716.

52. Jkubikova-Studenovska Danica. Antiatomic retract varieties of monounary algebras // Czechosl. Math. J. 1998. - V.48, N4. - P.793-808.

53. Jkubikova-Studenovska Danica. Retract injective and retract projective monounary algebras // Contrib. Gen. Algebra. 10. Proc. Klagenfurt Conf., May 29 June 1, 1997, Verlag Johannes Heyn: Kladenfurt. -1998. - P.207-214.

54. Kopecek 0. A note on some cardinal functions on unary algebras //Contrib. Gen. Algebra. 2. Proc. Klagenfurt Conf., June 10-13, 1982, Wien: Stutgart. 1983. - P.221-22T.

55. Kopecek O. \EndA\ = \ConA\ = \SubA\ = 2A for any uncountable 1-unary algebra A // Algebra Universalis. 1983. - V.16, N3. - P.312-317.

56. Larson R.E., Andima S.J. The lattice of topologies, a survey // Rocky Mountain J. Math. 1975. - N5. - P. 177-198.

57. Marcus L. Minimal models of theories of one function symbol // Israel J. Math. 1974. - N18. - P.117-131.

58. Nation J. B. Congruence lattice of relatively free unary algebras // Algebra Univ. 1974. - N4. - P.132.

59. Nelson E. Homomorphisms of mono-unary algebras // Pasif. J. Math. 1982. - V.99, N2. - P.427-429.

60. Novotny M. Constructions of all homomorphisms of groupoids // Czechosl. Math. J. 1996. - V.46. - P. 141-153.

61. Plonka E. Remarks on weak automorphisms of 1-unary algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. - V.36, N1. - P.34-38.

62. Polak L. Weak automorphisms of 1-unary algebras // Univers. Algebra, and APPL. Pap. Stefan Banach. Int. Math. Cent. Semest., Febr. 15 June 9, 1978.- Warszawa, 1982. - P.273-275.

63. Rauszer G. Representation theorem for semiboolean algebras // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys. 1971. - V.19. -U881-887.

64. Smarda Bohumil. The lattice of topologies of topological L-gro-ups // Czechosl. Math. J. 1976. - V.26, N1. - P.128-136.

65. Stciner A. K. The lattice of topologies: Structure and complementation // Trans. Amer. Math. Soc. 1966. - V.122. - P.379-398.

66. Wenzel G.H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras (A J) // Arch. Math. 1970. - V.21. - P.256-264.

67. Zelina Miron. On one problem in the theory of partial monounary algebras // Czechosl. Math. J. 1994. - V.44. - P.337-346.Работы автора по теме диссертации.

68. Карташова А. В. О решетках топологий унарных алгебр // Международная алгебраическая конференция памяти А. Г. Куроша.: Тез. сообщ. Москва. 1998. - С.179-180.

69. Карташова А. В. Решетки топологий унаров с дополнениями и псевдодополнениями // VII Международная конференция. Математика. Экономика. Экология. Образование: Тезисы докладов Ростов н/Д, 1999. - С.84-85.

70. Карташова А. В. О некоторых свойствах решеток топологий унарных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. JI. А. Скорнякова, Волгоград, 6-11 сент. 1999 г. Волгоград, 1999. - С.32-33.

71. Карташова А. В. О некоторых свойствах решеток топологий алгебр // Волгогр. гос. пед. ун-т. Волгоград, 2000. - 12 с. - Библиогр.: 5 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 21.02.00, N 404- BOO

72. Карташова А. В. Дополнения в решетках топологий унаров // Универсальная алгебра и ее приложения: Тр. междунар. семинара. -Волгоград: Перемена, 2000. С. 114-126.

73. Карташова А. В. Отделимые топологии в решетках топологий унаров // Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре, основанного О.Ю.Шмидтом: Тез. докладов. Москва, 2000. - С.24-25.

74. Карташова А. В. Мощности решеток топологий унаров // Вол-гогр. гос. пед. ун-т. Волгоград, 2000. - 14 с. - Библиогр.: 9 назв. -Рус. - Деп. в ВИНИТИ 15.11.00 N 2909- BOO

75. Карташова A.B. Решетки топологий унарных алгебр / / Успехи математических наук. 2000. - Т.55, N6. - С. 141-142.