Стабильные решетки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

м 2 ь 1

Министерство науки, высшей школы и технической политики РФ

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н! правах рукописи

ШЕГИРОВ Кайртай Мейрамович

СТАБИЛЬНЫЕ РЕШЕТКИ

01. 01. Об.-математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск-1992

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики АН РК

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

профессор Палюгин Евгений Андреевич Официальные оппонента- доктор физико-математических наук, профессор Мустафин Туленды Гарифович доктор физико-математических наук Мясников Алексей Георгиевич

Ведущее учреждение - Кемеровский Государственный Университет

Защита состоится " ^цищуХ 1992 г. в часов

на заседании специализированного совета К 064.36.02 при Омском Госуниверситете по адресу: Омск. пр. Мира, 55.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского Госуниверситета .

Автореферат разослан ирэ^цА 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат Физ. -мат. наук,/^ ^¿г^с^лЛЪ- А. Романьков

»^■■ЛУл^'сКА

Описание алгебраических систем, имеющих »-категоричную или, соответственно, А-стабильную теорию, является одной из типичных задач в теоретико-модельной алгебре. С этой точки зрения были исследованы абелевы группы, модули, кольца, уна-ры, полигоны, графы. Однако, эта тематика мало изучена к настоящему времени для одной из классических ветвей алгебры -теории решеток.

Теория стабильности, берущая начало с работы Морли [18], создана Шелахом и изложена в монографии [21]. Приложения этой теории к конкретным алгебраическим системам даны в следующих работах: для абелевых груш - [4,5,9,13,17], модулей - [23], колец - [10,14], унаров - [7,8], полигонов - [1, 6], графой - [15,16,20], решеток - [22].

Цель работы - исследование решеток, обладающих такими алгебраическими свойствами, как модулярность, арговость, геометричность, конечная или бесконечная размерность, с точки зрения теории стабильности; доказательство универсальности некоторого аксиоматизируемого класса решеток высоты 4 и размерности 3, описание А-стабильных модулярных геометрических решеток, описание стабильных модулярных решеток высоты <5.

В диссертации используются метода теории моделей и теории решеток. Основным рабочим инструментом является метод интерпретации моделей. Интерпретация моделей является удобным средством для характоризации А-стабильных теорий. Осно-

3

вой применения метода интерпретации в теории стабильности является следующий факт: если ЗЛ интерпретируется в 5? и 5? А-стабильна, то ЗЛ А-стабильна. Первоначальное использование метода было связано с доказательством неразрешимости теорий [2,3]. В настоящее время интерпретация находит приложения в качестве универсального способа сведения исследуемых объектов к более простым или ранез изученным (см., например, [191).

Взе результаты диссертации являются новыми. Они опубликованы в работах автора [26-31]. Результаты §2 третьей главы и следствие.3.3.4 получены совместно с Мейрембековым К.А., опубликованы в [24,25] и ьключены в диссертацию с согласия соавтора

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссер-• тации могут найти применение в теории моделей и теории решеток.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Полные теории" Института математики Сибирского отделения Российской АН, на семинаре "Математическая логика" города Алма-Аты, на семинаре "Теория моделей" Карагандинского государственного университета, на 10 Всесоюзной конференции по математической логике, на Вторых математических чтениях памяти М.Ч.Суслина.

Диссертация изложена на 81 странице машинописного текста, содержит введение, исторический обзор, четыре главы, разбитые на двенадцать параграфов, заключение, список лите-

4

ратуры и диаграммы, иллюстрирующие изложение материала. Библиография содержит 72 названия.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Во введении обосновывается важность и актуальность рассматриваемых вопросов и дается краткое перечисление основных результатов.

Небольшой исторический обзор раскрывает истоки диссертации и указывает на смежные исследования.

В первой главе вводятся основные обозначения и понятия из теории моделей и алгебры, которые используются в работе. Здесь же приведены формулировки некоторых часто цитируемых результатов.

Прежде чем перейти к рассмотрению результатов реферируемой работы, напомним некоторые определения и обозначения.

Полная теория Т называется А-стабильной, если для любой модели Ш теории Т и любого множества АсМ, | А | А число типов над множеством А не.превосходит А. Теория Т суперстабильна, если она А-стабильна для каждого А>2 . Теория Т стабильна, если она А-стабильна для некоторого кардинала А.

Высотой 1х(£) решетки £ называется супремум числа элементов в цепях из £. Если £ А-стабильна, то К(£)ссо, поэтому все расслаприваеше нолей решегтш - конечной высоты.

Размерностью йЫ(Ш) частично упорядоченного множества Ш назовем минимальный кардинал й такой, что ОТ есть пересечение к линейных порядков на М [12] (напомним, что элемент с менкга элемента с£ в пересечении линейных порядков на некото-

ром множастЕв тогда и только тогда, когда с меньше й во всех этих линейных порядках).

Во второй главе исследуется стабильность решеток высоты 4, размерность которых больше двух. Смит [22] показал, что все решетки конечной высоты размерности <2 суперстабильны. В §1 построен пример тотально категоричной решетки бесконечной размерности, что дает отеот на вопрос 4 из [22]. Здесь же доказывается, что с2(тЫ)=4, где л1 - нестабильная решетка, построенная Смитом. В §2 приводится пример нестабильной решетки размерности 3. В §3 на основе интерпретации графов в решетках высоты 4 размерности <3 в качестве следствия результатов предшествующего параграфа доказана основная в этой главе

ТЕОРЕМА 3. В классе .£(4,3) интерпретируется произвольный граф.

Здесь £(4,3) - некоторый аксиоматизируемый класс решеток высоты 4 размерности <3.

Полученная теорема - максимально сильное утверждение относительно высоты и размерности решзток, так как все решетки высоты 3, очевидно, тотально категоричны и все решетки конечной высоты размерности <2 суперстабильны. Отсюда также следует, что проблема 3 в [22] (задача описания А-стабилышх решеток размерности 3) эквивалентна аналогичной проблеме для графов.

В третьей глава изучаются стабильные геометрические решетки. В §1 рассмотрены некоторые операции над решетками,

6

сохраняющие А-стабильность. Таковыми, в частности, являются прямое произведение решеток, взятие двойственной решетки, ординальные сумма и произведение, "свертка", кардинальная степень. В §2 доказывается взаимная интерпретируемость тела и соответствующих проективного дезаргова пространства, аффинного дезаргова пространства и аффинной дезарговой плоскости. Говорим, что С - проективное (аффинное) пространство над телом Г, если виР интерпретируются друг в друге.

СЛЕДСТВИЕ 8 (Мейрембеков, Шегиров). Проективное (аффинное ) дезаргово пространство размерности л>2 над бесконечным телом Р А-стабильно тогда и только тогда, когда тело Г А-стабильно.

В §3 изучаются геометрии и геометрические решетки. По геометрии й строится модель ЗЯа и решетка Ь(б).

ТЕОРЕМА 1. Если в - геометрия размерности п, то Ъ(С) -геометрическая решетка высоты п+2. Обратно, если Ь - геометрическая решетка высоты тг+2, А - множество атомов в Ь и если для каждого ХсА положить с!(Х)={р|р - атом, УХ), то й=<А;с1> будет геометрией размерности п, причем Ь(С)еЬ. Модель Ша и решетка Ь(С) интерпретируются друг в друге.

Проективное (аффинное) пространство является чзстным • случаем геометрии.

ТЕОРЕМА 3. Пусть Т - теория модулярной геометрической решетки высоты п. Тогда существует решетка В, которая либо единична, либо является конечной булевой алгеброй, существуют з,гш, решетки Яа(1) высоты 3 с 1Ва(Ч;1г*5 для

7

проективные пространства С^ размерности >2 для X та-

кие, что если ЬёТ, то

Ъа*хПЪр(1)хииа}), где С'^у

Решетка Ь А-стабильна тогда и только тогда, когда для каждого проективное пространство А-стабильно.

В четвертой главе исследуется стабильность модулярных регзток. В §1 рассматриваются модулярные решетки высоты 4. Было показано [11], что модулярные решетки, содержащие 3-каркас, состоящий из атомов, "являются" в некотором смысле проективными плоскостями. С другой стороны, эти решетки есть в точности простые модулярные решетки еысоты 4.

ТЕОРЕМА 4. Пусть £ - модулярная решетка высоты 4. Тогда £^£(0), где в является либо проективной плоскостью, либо вырожденной проективной плоскостью.

Этот результат дополняет цитированную теорему из [11] и показывает; что "за пределами" проектившх плоскостей в классе модулярных решеток высоты 4 лежат лишь вырожденные про-ективнгэ плоскости, несложные с точки зрения теории стабильности.

В §2 доказывается биинтерпретируемость тернаров и проективных плоскостей.

ТЕОРЕМА 1. Проективная плоскость в А-стабильна тогда и только тогда, когда тернар Та А-стабилен.

Отсюда и из теоремы 3.3.3 (см. выше гл. 3, 53) следует ТЕОРЕМА 2. Пусть Т - теория геометрической модулярной решетки высоты песо. Тогда существует решетка В, которая либо

8

единична, либо является конечной булевой алгеброй, существуют з,г,гш, решетки Ва с а{>3, а также ^>3 для

тела ? и натуральные числа ^ для тернары для

такие, что если то

ЬгаВХ Ь» х ПЬ(Р;,!г,)х П 1(0(57?:)), где ' для

1=1 Р1 * * ь=» * ' Р* и1

Ь(Р^.й^) - решетка подпространств проективного пространства над телом Р размерности 2?.,, Для Ъ(С(ОТЬ)) - решетка подпространств проективной плоскости С(ОТЬ), построенной по тернару 37?^, для Решетка Ь А-стабильна тогда и только тогда, когда тело Р^ и тернар 50?& А-стабильны для всех и

Эта теорема обобщает следствие 3.3.4- на класс модулярных геометрических решеток.

Здесь же доказана биинтертгретируемость альтернативного тела И и тернара 57? (Н) над этим телом. Обычное ассоциативное тело является, по определению, частным случаем альтернативного тела. Таким образом, проблема характеризации А-стабиль-ных проективных плоскостэй не менее сложна, чем исследование А-стабильных ассоциативных тел (как известно, это трудная

задача) и, даже более того, альтернативных тел.

миешон . -

В §3 рассмотрена операция*амальгамы решеток и показано,

что она сохраняет стабильность.

ТЕОРЕМА б. Пусть £ -угмальгама решеток £} и £г. Решетка

^стабильна тогда и только тогда, когда £1 и £г Л-стабильни."

Получены некоторые технические результата о модулярных

не геометрических решетках конечной высоты я в качестве их

9

приложения описаны все стабильные модулярные решетки высоты 5, «ЕР/ШОЖИШ.!? в АМЛЛЬГАМУ.

ТЕОРЕМА 7. Пусть £ - модулярная не геометрическая решетка высоты 5. Если £ неразложима в амальгаму, то она «-стабильна.

В заключении подводятся итоги и обсуждается проблематика, связанная с темой диссертации.

После списка литературы помещены диаграммы, иллюстрирующие изложение.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Е.А.Палютину за постоянную помощь и моральную поддержку. Автор глубоко признателен кандидату физико-математических наук, доценту К.А.Мвйрембекову за внимание к работе и полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. БОГОМОЛОВ B.C., МУСТАФИН Т.Г. Описание коммутативных моноидов, все полигоны над которыми ы-стабильны// Алг. и лог.-1989.-Т.28,N4.-С.371-381.

2. ЕРШОВ Ю.Л. Неразрешимость некоторых полей// ДАН СССР.-1965.-Т.1б1,и1.-С.27-29.

3. ERHOB Ю.Л. НоЕые примеры неразрешимости теорий// Алг. и лог.-1966.-Т.5,»51.-С.37-47.

4. МЕЙРЕМБЕКОВ К.А. Замечания о теория*, с ограниченным спектром// Теория моделей и ее применения.-Алма-Ата: КазГУ.-

10

1930.-С.65-72.

5. МЕЙРЕМБЕКОВ К.А. Спектры суперстабильннх абелевых груш// Исследования по теоретическому программированию.-Алма-Ата: КазГУ.-1981.-С.80-84.

6. МУСТАФИН Т.Г. О стабильностной теории полигонов// Теория моделей и ее применения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.-(Тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; Т.8)-С„92-107.

7. РЯСКИН А.Н. Число моделей полнпх теорий унаров// Теория моделей и ее применения.-Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.-(Тр./АН СССР. Сиб.отд-ние. Ин-т математики; Т.8)-С.152-182.

8. ШИШМАРЕВ Ю.Е. О категоричных теориях одной функции // Матем. заметки.-1972.-Т.11,д1.-С.89-98.

9. ВЕШКЕ С., LASCAR D. Siiperstable groups// Preprint. Parts 7.-1983.-61 p.

10. CHERLIN G. Superstable division rirgs// Logic Col-loq. 77. North Holland.-P.91-111.

11. DAY A. Geometrical applications in modular lattices // Lect. Notes Uath.-1983.-n1004.-P.111-141.

12. WSHNIK В., MILLER E.tf. Partially ordered seta// Amer. J. Math.-1941.-n63.-P.600-610.

13. EKLOF P.O., FISHER E.R. The elementary theory of abelian groups// Ann. Math. Log.-1972.-n4.-P.115-171.

14. FELGNER U. w^-bategorische Theorien nlchthormutatI-ver Ringe// Fund. Math.-1975.-V.82,Я4.-Р.331-346.

11

15. HERRE 11., MEKLER A., SMITH K.W. Super stable graphs // Fund. Hath.-1983.-V.118,u2.-P.75-79.

16. MEKLER A., SMITH K.iY. Superstable graphs// Notes Amer. Math. Soc.-i979.~ 79T-E15.

17. MEKLER A. Stability of ntlpotent groups of class 2 and prime exponent// J. Symbol. Log.-1981.-V.46,n4.~

P.781-787.

18. MORLEY _M. Categorlclty in power// Trans. Amer. Math. Soc.-1965.-V.114.n2.-P.514-538.

19. MYASNIKOV A.G., REMESLENNIKOV V.N. Finite-dimensional algebras and k-groups of finite rank// Contemporary Math. -1984.-V.33.

20. PODEKSKI K., ZIEGLER U. Stable graphs// Fund. Math. -1978.-V.100.-P.101-107.

21. SHELAH S. Classification theory and the number of non-isomorphlc models// North-Holland.-1978.

22. SMITH K.W. Stability and categorlclty of lattices //Can. J. Math.-1981.-V.33.n6.-P.1380-1419.

23. ZIEGLER if. Model theory of modules// Ann: of Pure ard Applied Logic.-1984.-V.26,n2.-P.149-213.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

24. МЕЙРЕЖЕКОВ К.А., ПЕГИРОВ К.М. Стабильные геометрические решетки// Вторые математические чтения памяти М.Я.Суслика. Тезисы докладов.-Саратов: Саратовский государственный педагогический институт.-1991.-С.40.

25. МЕЙРЭ.ЕЕКОВ К.А., ШЕГИРОВ К.М. Стабильные гэометрк-

12

ческие решетки// Сиб. матем. журнал (в печати)

26. ШЕГИРОВ K.M. Замечание о решетках конечной высоты // Математические модели и их приложения.-Алма-Ата: Изд-во "Наука" КазССР.-198б.-С.61.

27. ШЕГИРОВ K.M. Суперстабильные решетки высоты 4// 9 Всесоюзная конф. по математической логике. Тезисы докладов.-Ленинград.-1988.-С.181.

2Q. ШЕГИРОВ K.M. Стабильность и размерность решеток// Структурные свойства алгебраических систем.-Караганда:КарГУ. -1990.-С.78-83.

29. ШЕГИРОВ K.M. Стабильные решетки высоты четыре//-10 Всесоюзная конф. по математической логике. Тезисы докладов.-Алма-Ата.-1991.-С.168.

30. ШЕГИРОВ K.M. О стабильных модулярных репютках малой высоты// 11 Межреспубликанская конф. по математической логике. Тезисы докладов.-Казань.-1992.-С.157.

31. ШЕГИРОВ K.M. Стабильные модулярные решотки малой высоты// Сиб. матем. журнал (в печати)