Роды и сокращение модулей конечного ранга без кручения над дедекиндовыми кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

г Ь ^

г! ^

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БЛАЖЕНОВ Алексей Викторович

РОДЫ И СОКРАЩЕНИЕ МОДУЛЕЙ КОНЕЧНОГО РАНГА ВЕЗ КРУЧЕНИЯ НАД ДЕДЕКИНДОВЫМИ КОЛЬЦАМИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физнко-иатемаютесюк наук

САНКТ-ПЕТЕРВУРГ-1995

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор А. В. ЯКОВЛЕВ

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Н. Л. ГОРДЕЕВ кандидат фюико-матвиатическгос наук, доцент Б. А. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ

Ведущая организация Московский педагогический государственный университет имени В. И. Ленива

Защита состоится /'< . ^¿^'' _1995 г. в / :__ час. на заседании диссертационного совета К-063.57.46 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в С.-Петербургском государственном университете.

Адрес совета: 198Э04, С.-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет.

Защита будет проходить на адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д.27, 3-й етаж, зад 311 (помещение ПО МИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета: С.-Петербург, Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан ,{,'-/. /г 1985 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

канд. физ.-мат. наук, доцент Шмидт Р. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Впервые понятие рола в середине пятидесятых годов ввел Маранда для решеток над порядками из теории целочисленных представлений, Роды решеток лад порядками изучались в работах Д. К. Фаддеев а., А. В. Ройтера, Ю. А. Лроэ-да, В, П. Платонова, Якобиньского и др. Данные работы дали ряд интересных результатов, выявивших сбязь родов с прямыми разложениями решеток. Особо из них выделяется знаменитый закон сокращения Якобиньского [18].

Для абелевых групп конечного ранга без кручения понятие рода (хотя' и под другим названием, в буквальном переводе означающем — околоизоморфизм) было введено Леди [6]. Он же доказал, что множество классов изоморфизма и роде группы конечно. Это явилось простым следствием более сильной теоремы Леди, отвечающей отрицательно на проблему Фукса 69. Главная псль настоящей работы — описание множества классов изоморфизма в роде абелевой группы конечного ранга без кручения. Как показал А. В. Яковлев {2], вта задача является одной га основных проблем, возникающих при классификации таких групп.

Наконец, Арнольд в [3] обобщил концепцию рода на широкую категорию модулей, включающую в себя как решетки над порядками, так и редуцированные абелевы группы конечного ранга без кручения. Все принципиальные результаты о родах решеток Арнольду удалось перенести на эту категорию модулей. Из работы Арнольда следует, что род модуля полностью определяется собственным кольцом эндоморфизмов, и таким образом, в силу теоремы Коряера [1], задачи описания родов абелевых групп и втих модулей совпадают. Поэтому было естественно и даже, с точки зрения изложения, удобно расширить тему диссертации на изучавшиеся Арнольдом модуля.

Полученное в настоящей работе описание родов оказалось мощным и удобным инструментом при изучении аномалий прямых разложений модулей, связанных с их сокращением. Исследованию сокращения в различных классах модулей было посвящено огромное количество работ. По интересующему нас классу модулей следует отметить работы Йопсопа, впервые выявившего неудачу сокращения абелевых групп, Фукса и Лунстры, Варфилда, Стелзера. Мето-

ды настоящей работы позволили дать ответ на несколько вопросов о сокращении модулей, два из которых составляют проблемы 70 и 71 Фукса из его фундаментальной монографии ¡1]. Таким образом, тематика диссертации является вполне актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является классификация классов изоморфизма в родах модулей конечного й-рапга без й-кручения и изучение различных аспектов сокращения таких модулей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. К наиболее существенным из них относятся следующие:

1) Описание кл ассов изоморфизма в суженном роде проективной решетки.

2) Критерий самосокращения модулей (проблема 2 Арнольда).

3) Критерий стабильного изоморфизма модулей (проблема 71 Фукса).

4) Харакгеризация абелевых групп конечного ранга без кручения, обладающих свойством сокращения (проблема 70 Фукса).

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть применены лри изучении аномалий прямых разложений широкого класса модулей.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Все исследование проводилось в терминах колод эндоморфизмов модулей. В качестве основного инструмента быаи использованы классические результаты Эйхлера из алгебраической теории чисел.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты этой работы докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов Петербургского отделения Математического института имени В. А. Стекчова и кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского университета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работе [11).

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения и занимает, включая библиографию, 60 страниц компьютерного набора, выполненного в системе Библиография содержит 28 наименований работ.

Содержание работы

Всюду Z означает кольцо целых чисел, С} л 11 — поля рациональных и вещественных чисел, Ът — подкольцо рациональных чисел, зпамепатели которых взаимно прости с р. Значки © и 4-используются для обозначения прямых сумм модулей и колец соответственно. Под Мк подразумепается прямая сумма к копий модуля М, под Мт — модуль иод Д4, и Л* — аддитивная и мультипликативная группы кольца Л.

Первая глава в целом посит вводный характер. В первом параграфе понятие кпазиизоморфизма абелевых групп и связанные с ним факты автоматически переносятся на исследуемые модули. Во втором приводятся различные определения и примеры рода модуля, а также большинство известных относительно него утверждений. В третьем параграфе суммируются все необходимые сведения о порядках в конечномерных рациональных алгебрах.

Категория называется аддитивной, если в ней множество мор-физмов из одного объекта в другой образует абелеву группу, умножение «орфизмов дистрибутпвпо, и существуют конечные прямые суммы. Если в категории К для всякой пары, состоящей из объекта А и его идемпотентного »ндоиорфизма е существуют объект О и морфизмы иВ А, п:А -* В, т. ч. ¡-я = е, ю = 1®, то говорим, что идемпотенты расцепляемы, в К, иди К — категория без мнимых прямых слагаемых.

Определение. Объекты А а В стабильно изоморфны (обозначается А V В) в категории К, если в ней существует объект С, т.ч. А®С % В&С.

Ясво, что стабильный изоморфизм является отношением эквивалентности. Категорию без мдимых прямых слагаемых называем категорией Крумиг-Шмидта, если всякий объект из нее единственным с точностью до изоморфизма образом раскладывается в конечную прямую сумму неразложимых объектов. В частности, в категории Крулля-Шмидта имеет место сокращение, т. е. все классы стабильного изоморфизма в вей тривиальны.

Предметом исследования настоящей работы является следующая категория. Пусть Т — дедекиндово кольцо с полем частных К, полем алгебраических чисел; А — И-редуцированная ал

гебра без кручения нал Т, т. ч. Ь = К ®г Л — конечномерная алгебра вал К. Обозначим через Мт,а категорию 2-редуцированных правых модулей над Л без Г-кручения конечного Г-рапга (под г-редуцированным модулем подразумевается модуль, аддитивная групиа которого не содержит делимых подгрупп). Очевидно, категория Мт^. является аддитивной, замкнута относительно прямых сумм и слагаемых, и идешготентьг расщепляются в яей.

Построим категоршо Л1уд, положив ОЬ(Л/1<г(л) = ОЬ(Хг^), Нот.и«(М, Ю - Еотм(М, Л?) ®г <3 >

По аналогии с теорией абелевых групп введем следующую терминологию. Модули М а N, изоморфные в категории будем называть квязичаоморфнамч и обозначать М » N. Отображения, являющиеся изоморфизмами (эндоморфизмами) в категории , назовем квазиизоморфизмами (кааэивндомсрфизмами.). Разложение модуля в прямую сумму в получает название квазиразложения, его слагаемое в М"Т^ — квазислагаемого, а неразложимый в М%шх модуль — сильно неразложимого.

Кольцо квазивндоморфизмов модуля из категории Л(тд является конечномерной алгеброй над полем К. Отсюда вытекает

Предложение I. — категория Крулля-Шмидта. Модуль

является сильно неразложимым тогда и только тогда, когда его алгебра квазиэндоморфизмов — локальная.

Определение 1 (3]. Модули М и N принадлежат одному Т-роду (обозначается М ~ Ы), если для любого ненулевого идеала I кольца Т существует точная последовательность Л-модулей й-* М-ч N ~> Р с Л-апп(Р) = Г, где апп(Р) = {4 6 Г | %Р = 0}.

Отаошепае ~ является отношением эквивалентности и М ~ N влечет М ш N. Род модуля М обозначаем Ом. Понятие рода тесно связано с прямыми разложениями модулей, что демонстрирует

Предложение 2 (3). (а) Если М V N, то М ~ N.

(b) Если М ~ N и N = /Г, © Я,, то М = ©М3, где М1 ~ N1 и М% N3.

(c) Если м ~ N* , то М 2 Л*-1 ФХ, где X ~ N. (Л) М ~ N <?=>■ М" Й ТУ* для некоторою к.

(е) Если М N и М — квазислагаемое Ьк для некоторого к, то

В основном пас будут интересовать три случая: 1) Т = Л = Z. В этом случае Mr Л - Л — категория редуцированных абелевых групп конечного ранга без кручения« а определение 1 эквивалентно наиболее хорошо известному среди ряда других равносильных определений (см. [2], [4], [6]):

Определение 2 (4). Абелевы группы конечного ранга без кручения А я В принадлежат одному роду (nearly isomorphic), если для любого 0 ф п € Z существуют те Z, (п,т) = 1, и / е Нот(А, В), g 6 Нот(В,Л) с gf = и fg = 1в.

2) Л — ковечпопорождршшй модуль пад Т, L = К Л — полупростая конечномерная алгебра над К, М и N — конечно-порожданпыа правые Л-модули. В втом случае Мтл — категория классических решеток над порядками из теории целочисленных представлений, а определение 1 эквивалентно стандартному ]7):

Определение Л-решетки М и N принадлежат одному роду, если Мц Si Nf, как Ар -модули для всех максимальных Т -идеалов р, где Хр — X <Ьт Тр и Тр — локализация Г но ц.

3) Л — Z -редуцированная алгебра над 7* без Г-кручения, L = К 9т А — полупростая конечномерная алгебра над К, М и N — конечнопорожденные проективные правые модула над Л. Следуя [4], конечнопорозкденпые правые А-модули (яе обязательно проективные) будем называть Л-решетками (правыми), а их категорию обозначать £д. Говоря, что Л-решетки стабильно изоморфны, будем иметь в виду, что они стабильно изоморфны в категории С\ .

Предложение 3. Пусть М и N — проективные Л -решетки. Следующие утверждения вквивалентны:

(a)M~N.

(b) М,, Si Ыц как Ля -модули для всех простых Т-идеалов р..

(c) М)цМ S N/ftN как А./цА-модули для всехпрастых Т-идеалаа ц. (i) Мг 3 Nr как Л,-модули для всех простых целъис р.

Как показал Арнольд в [3], задача описания классов изоморфизма в роде модуля сводится к аналогичной задаче для третьего случая. Пусть T\{Q) — категория слагаемых конечных прямых сумм экземпляров Л-модуля Q. Из предложения 2(e) следует, что если Af е Та(Q) и М ~ N, то N 6 VA(Q)-

Теорема 1 [8). Пусть А = Ea(Q)/N(Ea.(Q)), где N(Ba(Q» -нильрадикал кольца эндоморфизмов Q, и Fq'V&.{Q) -* Pr(R) — функтор, определенный Fq(M) = Нотл(£?,Л/")/Нохпл(^,¿/)N(Ea(^)). Тогда Fq индуцирует биекции множества классов изоморфизма в роде Л -модуля М на класса изоморфизма в раде Fq(-W).

Замечание. Из теоремы 1 и предложения 3 видно, что определение рода не зависит от выбора кольца Т. Поэтому будем полагать далее Т = Zu вместо категории Мта рассматривать более широкую категорию Мл = Mzji-

Если в теореме 1 положим Q — М, то задача описания классов изоморфизма в роде модуля М сведется к описанию левых классов обратимых проективных правых идеалов водкольца Я полупростой конечномерной рациональной алгебры. Л ал ее предполагается, что все кольца с единицей и что кольцевые гомоморфизмы сохраняют единицы. В частности, если Л — подкольцо К, то 1 д = 1д>.

Определение. Подкольцо Л конечномерной алгебры L над Q называем порядком в L, если QА = L. Порядки R и IÜ вквива-лентны, (обозначается йхй1), если существуют ненулевые целые m и п, т. ч. тШ С Л и пЛ С R.

Нильрадикал кольца Л, N(Ä), — правый идеал Л, порожденный всеми правыми вильпотентташи идеалами Л. Через J(Л) обозначаем радикал Джекобсова кольца Л, _

Предложение '4. Если А-модули М и N из категории М\ не имехт общих квазислагаемъы, то Вл(М ©7V)/N(Ea(M &N)) -EA(Ai)/N(BA(M)) Eä(JV)/N(Ba(N» .

Из предыдущего предложения и теоремы 1 легко выводится Теорема 2. Допустим, что модули М и N из категории Ма не имеют общих квазислагаемьм и дани М' ~ М, N' ~ N. Тогда MBNSi M'BN' <=> Af SM' и NZN'. Следствие 1. Если модули М u N не имеют общих квазислага-емын, то |Qm®n| - |GmMGn| • Здесь |Gm| — мощность множества классов изоморфизма рода модуля М.

Пусть сначала L — простая конечномерная CJ-алгебра, Л — порядок в L, F =■ С (Ь) — поле алгебраических чисел, S ~ С (Л) — порядок в F, Т — подкольцо 5.

Определение. Порядок Я в Ь называется Т -порядком, если он конечнопорожден как X-модуль. Если вдобавок Л не содержится в другой Х-порядке в С, то говорят, что Я — максимальный Т-порядак в Ь.

Пусть теперь £ — £]+••• 4-Х* — полупростая конечномерная алгебра над С}, а £( — ее простые компоненты; Г = С(£) = где = С(£.) — поля алгебраических чисел; Л — порядок в £; 5 = С(Л), 5( =5ПР(,5<—целое замыкание в ^ = 5»+...

Следующая теорема, принадлежащая Быоионту и Пирсу, является одним из основных инструментов нашег-о исследования.

Теорема 3 [4]. Существуют 0 ^ п € 2 и порядок Г в Ь, т. ч. пГ С Д С Г, С(Г) = 5 и Г = Г1 + ••• 4 Г*, где Г,- — л«шяа<аль«ме Й -пвр*дки а 1*1, 1 < » < к.

В дальнейшем такие порядки Г в £ будем называть максимальными. Это понятие максимального порядка несколько шире принятого в теории целочисленных представлений, хотя совпадает с ним в ситуации простой алгебры.

Непосредственная классификация классов изоморфизма рода проводится во второй главе. По'существу она очень близка к классификации Якобиньского и питается его идеями. Однако ей была придана несколько иная форма, имеющая более четкую структуру, которая оказывается весьма тесным образом увязанной со свойствами разложений модулей в прямые суммы.

В четвертом параграфе описываются роды решеток над максимальными порядками. Изложение здесь подлостью следует [5], с той лишь разницей, что в рассмотрение по возможности включаются решетки, не удовлетворяющие условию Эйхлера. В пятом параграфе формулируется понятие суженного рода решетки, принадлежащее Якобильскому и играющее центральную роль в вашем исследовании. Устанавливается также его связь со стабильным изоморфизмом решеток, и доказываются для них ряд фактов, большинство из которых.» теории целочисленных представлений хорошо известно. Шестой параграф отведен для описания классов изоморфизма в суженном роде решетки. Здесь подход существенно отличается от Подхода Якобиньского. Хотя их объединяет главное — оба они опираются па теорему 9 Эйхлера.

Резюмируя содержание второй главы, следует отметить, что для исключительно узкого класса решеток данная классификация неполна. Это вызвано тем фактом, что максимальные порядки во вполне определенных алгебрах кватернионов имеют довольно аномальные свойства.

В четвертом параграфе £ = ¿14- • • • + — конечномерная полупростая рациональная алгебра, Ь\ — ее простые компоненты; ¥ - С(£) = В»4- ••• + где = С(£<) — поля алгебраических чисел; Г = Г1 + • • • 4 Г* — максимальный порядок в Г» — максимальные ^-порядки в 1ц, г до = С(Г<) — дедекиндовы кольца, 5 = С(Г) = + ... 4-5*; М и N — решетки над Г. Предложение Б.

(a) Каждая Т -реыетка является проективной относительно Г [4].

(b) М ~ N <=* ЯМ & <ЭЛГ как ЯГ-модули [4].

(c) Кольцо ЕгСМ) — максимальный порядок в алгебре Е&(<2М) [5]. В дальнейшем без ущерба для общности мы будем считать, что

если М ~ N, то (З-М = . Под идеалом всюду будет подразумеваться полный идеал. Положив Q = М а теореме 1 и учтя предложение 5, получим, что классы изоморфизма Ом, рода Г-решетки М, находятся в биективном соответствии с классами дробных правых идеалов кольца Ег(-М) (напомним, что решетке N ~ М сопоставляется = Нотг(М,Ы), т. к в данном случае 1Ч(Ег(М)) = 0). Используя аппарат редуцированной нормы и результаты Эйхлера, можно связать классы дробных правых идеалов кольца Ег(М) с некоей группой классов идеалов кольца С(Г). Обсудим вто более детально.

Пусть и —единицы алгебр ,тогда 1 = 1х = в1 + -"+е*. Для решетки М положим

о

Ясно, что ецМ = М, (1 - ем)М = 0, и ец = е« при М ~ N. В силу конечяопорождепвости решетки М, емЕ — центр ее кольца ендоморфизмоа Ег(А/). Пусть 1(ед,.>) — группа обратимых дробных идеалов кольца ем5. Вложим I(ем) > I = 1(1), положив « х © (1 - ец)3, н тогда мы сможем рассматривать 1(ем) как подгруппу I. Обозначим через 14 редуцированные нормы простых цен-

и

тральных алгебр Bt(e¡QM) над F¡ и положим ь- = Для элемента х 6 E¿(QW) тогда i/(r) Ç^euF. Волее того, если х € Br(Af), то влемеяты e¡a — целые над Si, i/i(e;a) е "S¡, и р(я) € «v^.

Под нормой 1/(1) правого дробного идеала / кольца Er(Af) понимаем идеал кольца порожденный множеством {i/(x) | х 6 /}. Известно [71, что »»(/J) = is(I)i>(J), — когда произведение IJ имеет смысл (т. е. когда правый порядок идеала I совпадает с левым порядком J). Если M ~ N, то определим

v{M,N) = i/(Fu(N)} - v(ílomr(M,N)).

Напомним, что бесконечное простое поля F¡ — архимедово нормирование F¡, и что простое называют разветвленным в алгебре L¡, если соответствующая алгебра над пополнением Ft не расщепляется, т. е. является кольцом матриц над телом кватернионов.

Определение. Лучом относительно разветвленных бесконечных вещественных простых (ray modulo the ramified infinite real primes) Stf(L) алгебры L с центром F называется множество элементов О Ф а € F, т. ч. для любого » елеиент e¡а положителен по каждому бесконечному простому поля F¡, разветвленному в алгебре L¡.

Теорема 4 (Eichler) (7]. Пусть L — центральная простая алгебра над полем F. Тогда ненулевой влемент об F — редуцированная норма некоторого элемента г е L, т. е. Vl/p(ie) = о, тогда и только тогда, когда а € St*■(£).

Обозначим через I'{ей) подгруппу Дел/), состоящую из главных идеалов, порожденных элементами St.^j^eji/L), и положим

VM = 1(елг)Д'(-=м).

Пусть ff:I(ejií) -+ Vu — естественный гомоморфизм, и V = íoi/, Тогда V(M,N) индуцирует отображение из множества классов изоморфизма Gм в группу Vm • Благодаря теоремь 4 это отображение корректно, ano следующему предложению является сюръективным.

Предложение в [Г]. Каждый идеал кольца ?hS — норма некоторого правого идеала кольца Ер (Л/).

Действительно, отсюда отображение V сюръекгивно как композиция сюръекгшй I/ и в. Однако из примера Суона [10] следует, что, вообще говоря, V не является инъекцией.

Определение. Кг (Г) — множество левых классов правых идеалов (Jj максимального порядка Г в алгебре L с v[i) - aS, где egStp(L).

Ясно, что Кг (Г) — конечно, поскольку по лемме Жордана-ЦассетсаузЪна конечно множество классов правых идеалов кольца Г. Эйхлер показал, что Кг (Г) может быть нетривиальным лишь для очень узкого класса колец.

Определение. Алгебра с делением D индекса 2— вполне определенная алгебра кватернионов (totally definite quaternion algebra), если любое, архимедово нормирование ее пев-tpa F является вещественным и П®г£> — алгебра гамильтововых кватернионов.

Определение. Модуль М Из категории Ма удовлетворяет условию Эймера, если алгебра QEa(M)/J(QEa(M)) = ¿1 + • • • 4-it, где для всех 1 < ( < к алгебра — простая, но не вполне определенная алгебра кватернионов.

Теорема & (Eichler) £Г]. Для Г -решетки М, удовлетворяющей условию Эйхлера, правый идеал I колща Ег(М) является главным тогёа ii только тогда, когда v(I) 61'{ец).

Иными слонами, отображение V в мои случае является инъекцией из множества классов изоморфизма Си в группу Vu (т. е. ¡Кг (Er(M))j = 1) и, следовательно, биекцией ао предложению 6.

Предложение 7. V-решетки М u N стабильно изоморфны тогда и только тогда, когда N = IM для некоторого правого идеала J кольца Ер{М) с [J] € Кг (Ег(М)) .

Следствие 2. Каждый класс стабильного изоморфизма Gм содержит в точности jKr(Br(M))j неизоморфные Г-решеттгок.

Следошив 8. Если Г -решетка удовлетворяет у еловик Эйхлера, то классы стабильного изоморфизма ее рода совпадают е классаМи изоморфизма.

Предложение 8. Отображение P(M,N) индуцирует биекцию множества классов стабильного изоморфизма Git на элементы, группы Vu.

Суммируя утверждения следствия 2 и предложения 8, мы можем теперь сформулировать основной результат параграфа:

Теорема 0. Существует биективное соответствие между массами изоморфизма рода Г-решетки М и декартовым произведением

Кг(Ег(М)) х Ум.

В параграфах 4-5 Ь — конечномерная полупростая (}-алгебра, д — Ж-редуцированный порядок в X, Г — максимальный порядок вХспГСЯСГ.пёй.Л/ и N — проективные Я-решетки.

Определение [5]. Я-решетки М и N принадлежат одному суженному (гЫгШЫ) роду (обозначается М УМ), если М ** N и МГ й! ТУГ как Г-решетки.

Под Кгг(.М) понимаем Кг (Ер(Л/Г)). Поскольку, как известно, категории Рг(Г) и ТУ'(Г') эквивалентных максимальных порядков Г н Г эквивалентны [4], то из следствия 2 можно заключить, что мощности Кгг(Г) и Кг г< (Г1') совпадают. Поэтому обычно будем писать просто Кг (М).

Теорема 7. Л-ршетки М V N <=> МГУ .ТУГ как Т-решетки.

Следствие 4. Если М V N, то МЧИ.

Следствие 5. Если )Кг(М)| = 1, то суженные род и совпадают с классами стабильного изоморфизма.

Теорема 8. Множество суженные родов Я-решетки М находится в биективном соответствии с множеством классов изоморфизма рода Г -решетки Л/Г.

Следствие б. Каждый класс стабильного изоморфизма в и содержит в точности |Кг(А/)| суасеннии родов.

Следствие 7. Множества классов стабильного изоморфизма рода Я-решетки М находить/г в биективном соответствии с множеством классов стабильного изоморфизма рода V-решетки МГ, и, следовательно с влементами группы Умг ■

Положим Е(М) = ЕЯ(М), Е{МГ) = Ег(ЛПГ), Е,(М) = ЕЯДМ„), Е„(МГ) а ЕгЕ»(М) а П„,ЯЕР(М), Ъ„(МГ) = Г^Е^МГ), А^п(М) = Е*(М), АиХ„{МТ^= Е£(МГ), где р — простое целое, Аи(;„(Л0 = Аии(ЛГ) П Е(М), АиЬ„(МГ) = Аии(МГ) П Е(МГ).

Положим {М] = {ДГ а/ М | МГ =з ЛГГ}. Ясно, что [М] содержит все классы изоморфизма суженного рода решетки М. Рассмотрим {Ма} - {Я | Пг = М, при р |п и Л», = аМ, при р | п, а€ Аии(МГ)}.

Предложен!» в. Множества {Aía} u [М] совпадают.

Классы изоморфизма в [AÍ] находятся в биективном соответствии с классами вквивалеятности на груше (Е(МГ)/пЕ(АГГ))*:

Предложение 10. Ма S Мр <=>■ существуют 7 € Aut(AfF), «г е AutЯ(М), т. ч. з a (mod Е„(А/Т)).

Теперь с помощью опять же редуцированной нормы сведем полученную классификацию суженного рода решетки М к центру ее кольца эндоморфизмов. Основным инструментом при втоы будет

Теорема 9 (Elchkr) {7]. Пусть L — центральная простая алгебра над полем Т, но не вполне определенная алгебра кватернионов, и пусть ft — идеал кольца S — центра максимального порядка Г в L. Тогда, если регулярный влемент х е Г u и(х) = е (mod р), где teS*, то существует мемент и € Г*, т. ч. eSv (mod рГ).

Пусть S = С(В(М)), 5 = С(Е(МГ)) — целое замыкание кольца S в F = C(E¿(QJlf)), И = "S/пЗ, 7? -* V — естественный гомоморфизм, И' = 0(2?*), и{А\И„{М)) = 0оi/(Áñt,(Jtf))• Положим

Wu=Tjf(Aut„(M)) W.

И пусть i):? —• W¡t — естественный гомоморфизм, а отображение р = 0 о в о v\ Aut,(Wr) -» Wm .

Теорема 10, Если R-решетка М удовлетворяет условию дйх-лера, то отображение V индуцирует биекцию множества классов изоморфизма [Щ на влемент» «руппы Wm .

Теорема 11. Пусть решетка М удовлетворяет условию ЗОхлв-ра u N л» М. Тогда множества классов изоморфизма в суженных podas рметок М и N равномощни.

Следствие 8. Если решетка М удовлетворяет условию дйв-лера, то классы стабильного изоморфизма Ом содержат одинаковое число классов изоморфизма.

Суммируя утверждения теорем 10-11 и следствий 6,7, получаем основной результат второй главы:

Теорема 12. Велu R-решетка М удовлетворяет условию Эйх-лера, то множество классов изоморфизма ее рода находится в биективном соответствии с элементами прямого произведения групп

VMv XWm.

Все результаты данной глааы остааутся справедливыми, если условие Эйхлера заменять на требование, чтобы для кольца Ег(Л/Г) выполнялись теоремы 5 и 9. Поэтому будет естественно ввести

Определение. Модуль М из категории Мк удовлетворяет слабому условию Эйхлера, если для максимального порядка Г, т.ч. тГ С Ел(ЛГ)/М(Ел(АО) С Г для некоторого 0 ф m S Z, имеют место теоремы 5 и 9 Эйхлера.

В заключение параграфа применим полученные результаты для решения проблемы 3 Арнольда ¡3].

Следствие 9, Род решетки М состоит из одного класса изоморфизма только в том случае, если выполнены следующие условия: (i) Каждый правый идеал кольца Ег(Л4Т) — главный. (И) Для любого а € Aut„(j\iT) найдутся -у € Aut(Mr), а € Autп(М), т. ч. а = 7«r (mod пЩМТ)).

В третьей главе полученное описание родов применяется для изучения сокращения модулей. В параграфе 7 дается критерий самосокращения модулей, что составляет проблему 2 Арнольда [3J.

Здесь и далее М и N — модули из категории М\. Пусть Я = Ea(M)/N(Ea(JW)), L => QR, F - C(L), v — редуцированная норма алгебры L над F, Г — максимальный порядок в алгебре L с пГ С Ä С Г, 0 ^ тг е Z, S = С (R), S = С(Г) — целое замыкание кольца S в F. Положим Л» = C\r\nRpi Г, = П,|„Г,, Л» = Л£ П R и Гя = Г* П Г — соответственно множества регулярных элементов колец Л и Г, взаимно простых с идеалами пЯ и г»Г. И определим Kr (М) = Кг (Л) = Кг (Г).

Определение [4]. Модуль М имеет самосокращение, если из M®M*M®N следует М S N.

Арнольд доказал, что если модуль удовлетворяет усаов>.\ю Эйхлера, то он имеет самосокращение [3]. Прежде чем сформулировать критерий самосокращеяия, приведем одно определение и предложение, поясняющее его суть.

Определение (3]. Модуль N называется слагаемым рода модуля М, если для любого ненулевого п € Z сушоствуют m 6 Z, («,п») = 1, и / 6 HomA.(Af,iV), g £ 11ошА(Я,ЛГ) с fg = lN-

Предложение XI ¡3). Если JV — слагаемое рода модуля М, то М = X SjУ для некоторого X г* N.

Теорема 14. Следующие утверждения вквивалентнм: (a) MG>MS£M®N=>M2!N.

(к) Л® It(SR? => йй Я, где Ш — правый дробный идеал R. (с) Если X — слагаемое рода Мк, то X © М Si X ®N => М 9ГАГ. (i) Выполнены, два условия: (i) |Kr(M)| = 1. (ii) Если а € Г» и |/(а) з е (mod nS), где е € 5*, то для некоторых f е Г*, <г 6 Л„ a s 7ff (mod пГ).

В заключение следует отметить, что пример модуля без самосокращения был построен Суоном ¡10]. В его примере самосокращение не имеет места по причине петривиальпости Кг(М). Л сам модуль М представляет из себя групповое кольцо обобщенной группы кватернионов порядка 32, рассматриваемое как правый регулярный модуль Отсюда, применяя теорему 13 и теорему Корнера [1], можно сделать вывод, что существует абелева группа конечного ранга без кручеяия, не имеющая саыосокр&щения.

В восьмом параграфе формулируется критерий стабильного изоморфизма модулей. В параграфах 4-6 были описаны классы стабильного изоморфизма проективных решеток. Разбиение рода Проективной решетка на классы стабильного изоморфизма индуцирует с помощью функтора из теоремы 1 ¥q:7\{Q) -* "Pr{R), где R = Ел(9)/N(Ел(О)), разбиение рода модуля м € Va{Q) яа некие классы эквивалентности. Точнее, модули М и N лежат в одном таком классе еквивалентности, если Fq(M) V Fq(N). Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы показать, что если в качестве Q выбрать сам модуль М, то эти классы эквивалентности будут совпадать с классами стабильного изоморфизма М. Такшл обрат зом оказывается, что наш подход к описанию родов модулей тесно связан с их прямыми разложениями и потому оправдан. Даннал теорема дает обобщенный ответ иа проблему 4 Арнольда ¡3], а вместе с теоремой 7 и предложением 7 ее Можно считать решением 719й проблемы Фукса [1].

Лемма 1. Для любого модуля М существует так называемый Af -максимальный модуль ~М со следующими свойствами: (i)MrsM.

(И) Пусть Л = E(A/)/N(E(AO), Г = Е(ЛГ )/N(E(M)). Тогда Г -максимальный порядок ипГсЛСГ для некоторого О^пё Z. С»»»; м = м-1 ® •••фа?*, где Mi — сильно неразложимый модуль и E(Mi )/N(E(Aij)) — максимальный порядок при веет, 1 < » < к. (it) Если Af j « Tl j, mo Mi ~ 1 <j2j < k. (t)j Если M — Nx ф Лт2, ma A? = Ni G> Л'».

Теорема 14. Следующие утверждения эквивалентны,:

(a) М V N.

(b) и FM(M)VFM(//).

(c) M<&MS£N®Af.

Следствие 10. М\'N М ~ N то?да и только тогда, когда |Vr| = 1, где Г — максимальный порядок с пГ С E(M)/N(E{M)) С Г для некоторого ненулевого целого п.

Девятый параграф полностью посшвден решению семидесятой проблемы Фукса. Это единственное место но всей работе, где порой рассмотречие приходится сужать па случай аб еле пых групп.

Определение. Модуль X имеет свойство сокращения, если M®XZN® X влечет М S N.

Ласло Фукс поставил задачу охарактеризовать абелевы группы конечного ранга без кручения, обладающие свойством сокращения [1]. В случае групп ралга один эта проблема была решена самим Фуксом и Лунстрой. Варфилд получил интересные результаты о связи стабильного ранга кольца еадоыорфизмов модуля с сокращением. В частности, если стабильный ранг рзаен единице, то модуль имеет свойство сокращения. Дальнейшее продвижение в решении данной проблемы было сделано Стелзером.

Для краткости будем говорить, что кольцо R обладает UL-свойством (unit's lifting property), если для любого п б Z\{0} каждая единица кольца R/nR поднимается до единицы R. Модуль Л" удовлетворяет QSWE-у еловик (qvasi-tummand'e weak Eichler'a condition), если для любого его квазислагаемого выполнено слабое условие Эйхлера.

Теорема 15 {8}. Пусть А — абелева группа конечного ранга без кручения, имеющая свойство сокращения. Представил1 группу А в виде А — В © С, где группа В — свободная, а С не содержит свободных слагаемых. Тогда кольцо Е(С) обладает иЬ-соойством.

Поскольку делимые и свободные группы имеют свойство сокращения (4], достаточно решить данную проблему для редуцированных групп, не содержащих свободных слагаемых. Возникает вопрос, не является ли ХЛг-свойстио кольца эндоморфизмов модуля достаточным условием для его сокращения. В случал сильно неразложимой группы ответ положительный, т. к. в этой ситуации иь-свойство равносильно тому, что стабильный ранг кольца эндоморфизмов равен единице [4]. В [9] Стелзер распространил етот результат на несколько более широкий класс групп. Однако, по всей видимости, в общей ситуации иЬ-свойство не является достаточным и требуется еще QSWB-ycлo8иe.

Теорема 1С. Если Я — кольцо с Ш-сеойством, то модуль Яц имеет само сокращение и удовлетворяет слабому условию ЭИхлера.

Теорема 1Т. Абелева группа конечного ранга без кручения, имеющая свойство сокращения, удовлетворяет ()ЗШЕ-услоеию.

Теорема 18. Если модуль X удовлетворяет ()3)УЕ-уаловию и его кольцо ендоморфизмов Ел(Х) обладает иь-свойством, то X имеет свойство сокращения.

Теоремы 15,17 л 18 в сумме дают полное полное решение семидесятой проблемы Фукса.

Теорема 31. Абелева группа конечного ранга без кручения А имеет свойство сокращения тогда и только тогда, когда А = В © С, где группа В является свободной, а группа С обладает свойствами: Ц) для любого п 6 % \ {0} каждая единица кольца Е(С)/«Е(С) поднимается до единицы Е(С);

(И) вес квазислагаемые С удовлетворяют слабому условию дйхлера.

Замечание. Пусть £ = Е(ЯМ)/К(Е(ЦМ)) = Ь, + ... 4- £», гДе М € М\, — простив алгебры. Бели Ед(М) обладает Ш/~ свойством и при любом 1 < » < к !/( ф МаЪДВ), где I) — вполне определенная алгебра кватернионов, а г > 2, то, согласно теоре-. ме 16, и удовлетворяет <}8У/В-условию.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фукс Л. Бесконечные абелеви группа. Т. 2. М., Мир, 1977.

2. Яковлев А. В. Абелевы группы, конечного ранга без кручения и их прямые разложения. Зап. ваучн. сеынп. ЛОМИ 175 (1989), 135-153.

3. Arnold D. М. Genera and decompositions of torsion free modules. Lecture notes in mathematics 616 (1977), 197-218.

4. Arnold D. M. Finite rank tot ¡ion free abelian groups and rings. Lecture notes in mathematics 931 (1982).

5. Jacobmsky II. Genera and decompositions of lattices over order*. Acta Math. 121 (1968), 1-29.

6. Lady B. L. Nearly isomorphic torsion free alelian groups. J. Algebra 35 (1975), 235-238.

7. Roggenbvmp K. Lattice» over orders ii. Lecture notes in mathematics 142 (1970).

8. Stelzer J. A cancellation criterion for finite rank torsion free abelian groups. Proc. Amer. Math. Soc. 94 (1985), 363-308.

9. Stelzer J. Ring theoretical criteria for cancellation. Abelian group theory, Oberwolfech, 1985,175-197.

10. Swan R. G. Projective modules over group rings and maximal orders. Ann. of Math. 76 (1962), 68-61.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

11. Влаэкевов А. В. Строение родов модулей какечного ранга без кручения над дедекиндовыми кольцами. Веста С.-Петербург, ув-та 22 (1994), 9-15.