Модули без кручения над нетеровыми кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

/ с

киевский университет

>4 имени тараса шевченко

На правах рукописи

• МУТХАНА А. МАХМУД

МОДУЛИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ НАД НЕТЕРОВЫМИ КОЛЬЦАМИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра п теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фиоико-математичеекпх наук

КИЕВ - 1993

>

Диссертацией является рукопись

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики

Киевского Университета имени Тараса Шевченко.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Дроод Юрий Анатольевич

Официальные оппоненты:

1. доктор физико-математических наук, профессор Кириченко Владимир Васильевич ,

2. кандидат физико-математических наук, доцент Оергейчук Владимир Васильевич

Ведущая организация - Львовский Университет имени Ивана Франко

Министерства образования Украины, г. Львов

Защита состоится 199.') г. на заседании специализированного

ученого совета Д 01.01.01 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Киевском Университете имени Тараса Шевченко по адресу: '252127, Киев, просн.((акад. Глушковд 6, механико-математический факультет, ауд.

42. 6 /V ■

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского Университета имени Тараса Шевченко, Киев, Владимирская 58.

Автореферат разослан __^У_1993 г.

Ученый секретарь

специализированного ученого сонета

I г

X. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

Теория модулей, начиная с истоков ее развития, всегда заимствовала многие задачи и методы из теории абеловых групп. Так, в классических работах Ар-тина, Шпайзера, Дойрнлга, О.Нетер, Аса но и других структурные теоремы о конечнопорожденных абелевых группах были перенесены на кольца главных идеалов, а затем на дедекпндовы кольца и на максимальные (уже некоммутативные) порядки размерности Крулля 1. В работах Взра, Каплаиского, Мзтлиса и других на некоторые классы колец был перенесен и ряд результатов о бесконечнолорождешшх группах. В частности, Мотлис описал инъек-тивные модули (аналог делимых групп) над нетеровымн коммутативными кольцами, а также полностью выяснил вопрос о том, когда всякий модуль без кручения над коммутативной областью целостности разлагается в прямую сумму модулей ранга 1.

Одним из важных направлений в теории абелевых групп является изучение ¡рупп без кручения. Однако, классификация таких групп оказалась чрезвычайно сложной задачей. Полное описание удалось получить лишь для групп ранга 1 .и их прямых сумм (вполне разложимых групп). Более того, как показал А.В.Яковлев, задача о классификации абелевых групп без кручения конечного ранга является "дикой" в том смысле, что она содержит в себе задачу о классификации с точностью до подобия пар матриц над полем. Хорошо известно, что последняя задача, в некотором смысле, содержит в себе все классификационные задачи теории представлений алгебр (см. напр. Предложение 2.2 настоящей диссертации). Поотому для * дикой" задачи нельзя рассчитывать на полную классификацию в более или менее "хороших" терминах. До настоящего времени вообще нет примеров полность решенной дикой задачи.

Естественно, возник вопрос, насколько :>ти результаты можно перенести на модули без кручения над коммутативными областями ¡целостности, Решению этого вопроса и посвящена настоящая диссертация.

1.2. Цель работы

Выяснить вопрос о том, когда описание модулей без кручения конечного ранга над иетеровой (коммутативной) областью целостности является дикой задачей.

1.3. Методика исследования

И работе используется техника теории колец и модуле«, гомологическая ал-leC'pa, а также методы теории представлений алгебр.

1.4. Научная новиэна

В работе впервые полумены следующие результаты:

• Дан критерии того, чго классификация модулей без кручения конечного pama над данной нетеровой областью целостности является дикой задачей.

• В оставшихся случаях дано полное описание таких моделей.

• Дана классификация мо;\улей 'ранга 1 над дедекнндовыми кольцами.

Для получения этих результатов предложен новый метод вичнепения модулей без кручения.

1.5. Теоретическая и практическая ценность

Работа поси г теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по теории модулей, в частности, теории абе-'левых групп, а также при чтенипи специальных курсов для студентов специальности "математика".

1.0. Апробация работы

Рез)льтаты диссертации докладывались на 3 Международной Алгебраической Конференции (Красноярск, 1993 г.), на Киевском алгебраическом семинаре, а также на семинаре по теории представлений в Киевском Университете.

1.7. Структура и объем работы ' •

Диссертация состоит из введения, б параграфов и списка цитированной литературы, содержащего 18 наименований. Общий объем работы составляет 39 страниц машинописного текста. Нумерация теорем, лемм и предложений - двузначная, по параграфам (напр., Теорема 4.1, затем Предложение 4.2 и т.д.).

I f

2. Содержание работы

Но введении полагается краткая история вопроса н дается обзор содержания диссертации.

В параграфе 1 [пложены основы нового способа вычисления модулей бе:) кручен и я при помощи минимальных ннъектнвных резольвент (Предложение 1.1), а также приведены (без доказательств) известные результаты Мзтлиса, используемые п дальнейшем.

В параграфе 2 вводятся основные понял ия TF-диких и F-диких колец (все кольца н дальнейшем предполагаются коммутативными, иегеровыми областями целостности. Неформально i опор я. кольцо называется 77-'-диким (F-дикнм), если классификация модулей без кручения (соответственно, плоских модулей) конечного ранга над ним содержит в себе классификацию представлений произвольной конечнонорожденной алгебры над некоторым нолем. Вдесь приводятся также некоторые признаки F-днкости (Предложение 2.2).

Основная ча<ть диссертации - зто параграфы 3-5, в которых получены критерии VF-дикости, соотпегсвсино, для колец дискретного нормирования, для чедекиндовых колец и для локальных колец размерности Крулля I (соответственно, Теоремы 3.1а, Ы и 5.1). Кроме того, в Теореме 3.16описываются модули без кручения в случае, когда кольцо не является 7'F-,uikhm, а в Теореме 4.G дается описание модулей без кручения ранга 1 над дедекиндовым кольцом. Как и для абелевых групп, такой модуль определяется, с точностью до изоморфизма, классом эквивалентности своей ^характеристики", к которой в данном случае добавляется дополнительный инвариант: класс идеалов некоторого кольца (определяемого характеристикой).

Наконец, в пароаграфе П перечисленные частые результаты резюмируются в Теореме G.1:

Пусть О - коммутативная иетерова область целостности, которая не является полным локальным кольцом размерности Крулля 1. Тогда О является TF-дпкпм кольцом, за исключением случал, когда О есть кольцо дискретного норАшрования, при чел f (Q* : Q) ~ 2, где Q - поле частных кольца (P. a Q' -пополнение в топологии нормирования. определенного кольцом О.

Не охваченный :>той теоремой случай, когда О - полное локальное кольцо размерности Крулля I, рассмотрен ранее в работе:

Yn.A.Drozd, (3.-М.Crenel, f 'ohrn-Afaran/ey ívpeofcurve Fingu/arífíes. - Preprint, Kaiserslautern University, l!W2.

(напомним, чго, в силу результатов Мзтлиса, в этом случае каждый модуль

беи кручения конечного ранга разлагается в прямую сумму конечпопорождеп-иого и делимого модулей).

Заметим, что из этих теорем вытекает, в частности, и следующий новый результат из теории абелевых групп (Следствие 3.7).

Классификация р'-делимых елевых групп без кручения конечного ранга является дикой задачей.

Здесь, как обычно, группа называется р'-делимой, где р - некоторое простое число, если в ней для любого элемента а разрешимо уравнение рх = .п.

Основные результаты диссертации изложены в работе:

Muthana A.Mhmod. On classification of torsion-free modules // H кн.: Международная алгебраическая конференция. Тезисы докл. и сообщ. - Красноярск, 1993.

Подп. к печ. им 93. Формат 60X847,8.

Бумаг» тип. , Способ печати офсетный. Условн. печ. л. е>АЗ.

Условн. кр.-огт. 0еу£ . Уч.-нзд. л. 1,0 . Тираж $0 . Зак. № . Бесплатно.

Фирма «ВИПОЛ» 252151, г. Киев, ул. Волынская, 60.