Кольца логановских рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

московским государственный университет

им. М. в. Ломоносова механико-математический факультет

\0 На правах рукописи

О

. ^ УДК 512.55

«ъ

сонин константин исаакович

КОЛЬЦА ЛОРАНОВСКИХ РЯДОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научные руководители — д.ф.-м.н., профессор А.В.Михалев,

— к.ф.-м.н., доцент В.Т.Марков.

Официальные оппоненты — д.ф.-м.н., профессор Д.В.Тюкавкин,

— к.ф.-м.н., доцент И.Б.Кожухов.

Ведущая организация — Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится <С лЗ года в

/(о ч. мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан < ГК<л1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Д.053.05.05 при МГ

д.ф.-м.н., профессор

В .Н. Чу бариков

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Кольцо косых формальных лоранов-ских рядов было впервые использовано в работах Шура, Диксона и Гильберта в начале XX века, частности, Гильберт использовал кольцо косых лорановских рядов от одной переменной для построения тела, бесконечномерного над своим центром, при изучении независимости аксиом в геометрии. Обобщающая конструкция рядов Мальцева-Неймана была создана в 1948 году А.И.Мальцевым (и независимо в 1949 году Б.Нейманом) для доказательства вложимости групповой алгебры над полем в тело. Поначалу в качестве кольца коэффициентов рассматривались только тела (см. например, [1] ). Первые результаты для колец лорановских рядов и рядов Мальцева-Неймана над произвольным кольцом коэффициентом были получены М.Лоренцем [2] и Рисманом [3] в конце 70-х - начале 80-х годов. Как оказалось, эта конструкция является чрезвычайно удобным инструментом при изучении свойств других кольцевых конструкций — групповых колец и скрещенных произведений. Многие вычисления заметно упрощаются при переходе к кольцам лорановских рядов или рядов Мальцева-Неймана: Например, Макар-Лиманов [4] использовал кольцо косых лорановских рядов от двух переменных, чтобы показать, что кольцо частных алгебры Вейля содержит свободную некоммутативную подалгебру. В [5] с помощью неоднократного перехода от колец коэффициентов к со-

°[1] G M.Bergman, Conjugates and n th Roots in Hahn-Laurents Group Rings. Bull. Malaysian. Math. Soc. - 1978. - 1 (2). - P.29-41; Historical addendum - 1979. - 2 (2). - P.41-12.

0[2] M.Lorenz, Division Algebras Generated by Finitely Generated Nilpotent Groups, J. Algebra, 85 (1983), 368-381.

0[3] L.Risman, Twisted Rational Functions and Series. J. Pure and Applied Algebra. - 1978. - V.12. -P. 181-199.

°[4] L.Makar-Limanov, The Skew Field of Fractions of the First Weyl Algebra Contains a Free Noncom-mutative Subalgebra, Comm. Algebra, 11 (17), 1983, 2003-2006.

°[5] D R.Parkas, A.II.Schofield, H.L.Snider, and .).T.Stafford, The Isomorphism Question for Division Rings of Group Rings, Proc. Amer. Math. Soc., 85 (1982), 327-330.

ответствующим кольцам Мальцева-Неймана было доказано, что если тела частных групповых колец нильпотентных групп изоморфны, то изоморфны и сами группы. В [6] Гудерл и Смолл использовали кольцо обыкновенных лорановских рядов для получения оценки для размерности Крулля и глобальной размерности нетеровых P.I. колец. Их результаты о размерности Крулля колец лорановских рядов над истер овым кольцом коэффициентов были перенесены на произвольные кольца рядов Мальцева-Неймана в [7] . Эти и многочисленные другие интересные приложения конструкции вызывают естественный интерес к более тонким алгебраическим свойствам лорановских рядов.

Диссертация посвящена исследованию кольцевых свойств колец лорановских рядов и рядов Мальцева-Неймана. Наибольшее внимание уделено радикалу Джекобсона, свойствам, близким к регулярности в смысле фон Неймана, а также случаю, когда кольцо коэффициентов нетерово. Дано полное описание радикала Джекобсона кольца рядов Лорана в случае коммутативного кольца коэффициентов (исследованию этой и смежных проблем посвящена вторая глава). Регулярные кольца лорановских рядов (третья глава) R((x,<p)) описаны в случае, когда автоморфизм ip имеет конечный порядок. Случай нетерового кольца коэффициентов, который рассматривается в четвертой главе, изучен детальнее, в основном благодаря тому, что в этом случае существует отображение решетки правых идеалов кольца рядов в решетку правых идеалов кольца коэффициентов, сохраняющее включения.

Кроме колец лорановских рядов и рядов Мальцева-Неймана, в четвертой главе диссертации рассматривается конструкция кольца формальных линейных псевдо-дифференциальных операторов и одно

0 [6] K.R.Goodearl, L.Small. Krull vs. Global Dimension in Noetherian Pi-rings, Proc. Ame г. Math. Soc., 92 (1984), 175-177.

°[7] I.Musson, K.Stafford, Malcev-Neumann Group Kings, Comm. Algebra, 21 (6), 1993, 2065-2075.

обобщение колец формальных степенных рядов. Алгебра псевдодифференциальных операторов была введена также Шуром в 1904 году и с тех пор неоднократно использовалась в теории дифференциальных уравнений и операторных алгебр. В структурной теории колец она используется для конструктивизации вычислений в алгебрах дифференциальных операторов [8] , а также как источник многочисленных примеров. Мы рассматриваем ее как еще один пример применения методов, разработанных в диссертации для лорановских рядов.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение кольцевых свойств колец лорановских рядов и колец Мальцева-Неймана.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ. В диссертации используются методы теории колец и модулей, теории идеалов, теории упорядоченных групп. Отметим, что при изучении размерностей К рул ля и Голди приходится развить некоторую технику для модулей коэффициентов (для многочленов и формальных степенных рядов подобное обобщение уже доказало свою эффективность).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Результаты работы являются новыми. Основными являются следующие:

1) исследованы свойства радикала Джекобсона кольца лорановских рядов; получено описание радикала Джекобсона в случае коммутативного кольца коэффициентов.

2) получено описание регулярных колец лорановских рядов в том случае, когда скручивающий автоморфизм имеет конечный порядок; описаны строго регулярные и бирегулярные кольца лорановских рядов.

°[8] K.R.Goodearl, Centralizers in Differential, Pseudo-differential, and Fractional Differential Operator Rings, Rocky Mountain J. Math., 4 (1983), v.13, p. 573-618.

3) доказано, что кольца лорановских рядов и кольца Мальцева-Неймана обладают правой размерностью Крулля тогда и только тогда, когда они нетеровы справа.

4) полученные для колец лорановских рядов результаты применены к близким конструкциям, в частности, к кольцам формальных псевдодифференциальных операторов и кольцам обобщенных формальных степенных рядов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в структурной теории колец и теории модулей.

СТРУКТУРА РАБОТЫ. Работа состоит из четырех глав (четырнадцати параграфов) и содержит 94 страницы. Все основные результаты (теоремы, предложения, примеры и т. п.) имеют тройной индекс: первое число указывает на номер главы, второе — на номер параграфа внутри главы, и третье — на помер пункта в параграфе.

Результаты диссертации отражены в работах автора [11-15]. Автор выступал с докладами о свойствах колец лорановских рядов и рядов Мальцева-Неймана на семинарах кафедры высшей алгебры мех.-мат. факультета МГУ, на алгебраическом семинаре в Университете Дюссельдорфа, а также на Международной алг е б р аи ч е с ко й конференции памяти Д.К.Фаддеева в Санкт-Петербурге (1997, [15]).

Содержание диссертации

Во введении содержится краткая предыстория изучаемых конструкций — колец лорановских рядов, колец Мальцева-Неймана и колец линейных формальных псевдо-дифференциальных операторов, дается мотивировка изучения этих и более общих конструкций, а также

приведены основные определения, утверждения и примеры, содержащиеся в диссертации.

В нулевой главе собраны необходимые определения и результаты из общей теории колец, модулей и упорядоченных групп. Описывается взаимосвязь классов колец, рассматривающихся в диссертации.

В первой главе даются подробные описания всех изучаемых конструкций. Кольцо косых лорановских рядов с коэффициентами в кольце Я определяется как множество всех формальных комбинаций вида £Закон умножения определен формулой = Е*^+г(Е,+;=* ацр*{Ъ5))хк. Далее дается определение колец и модулей рядов Мальцева-Неймана (кольцо лорановских рядов является частным случаем) и кольца формальных линейных псевдо-дифференциальных операторов Д((9~1.6)), вводятся обозначения для стандартных объектов теории колец (радикала Джекобсона, ниль-радикала, и т. п.), а также, приводятся <.р— аналоги стандартных определений теории колец. Второй параграф первой главы целиком посвящен элементарным свойствам колец рядов и их элементов. В 'частности, доказывается, что кольцо Мальцева-Неймана над кольцом коэффициентов II является телом тогда и только тогда, когда Я является телом. Леммы из этой главы необходимы для доказательства результатов последующих глав.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию радикала Джекобсона кольца лорановских рядов. Эта тема является классической в теории колец: радикалу Джекобсона таких кольцевых конструкций как кольца многочленов, групповые и полугруповые кольца и кольца формальных степенных рядов посвящено большое количество работ. Некоторые полученные для этих конструкций результатов имеют со-

ответствующие аналоги для колец лорановских рядов, а для других -принципиально отличаются.

В первом параграфе собраны простейшие результаты о радикале Джекобсона кольца косых лорановских рядов. В частности, показано, что если радикал Джекобсона Jac R кольца коэффициентов R локалыю-нильпотентен, то радикал кольца лорановских рядов R((x, ip)) состоит из всех рядов с коэффициентами из Jac. R.

Основная теорема второго параграфа второй главы состоит в том, что радикал Джекобсона кольца лорановских рядов над '■р— редуцированным (то есть, не имеющим таких ненулевых элементов г G R, что rip(r) — 0) кольцом коэффициентов равен нулю. Эта теорема позволяет полностью описать радикал Джекобсона кольца обыкновенных лорановских рядов в случае коммутативного кольца

коэффициентов:

(2.3.1) Теорема. Пусть кольцо коэффициентов R коммутативно, Т = R((x)) , и пусть Р = Nil R — первичный радикал R. Тогда Jac Т = Р, где Р есть идеал кольца Т, порожденный всеми рядами, коэффициенты которых лежат в Р.

Заключительная часть параграфа содержит описание свойств нильрадикала кольца обыкновенных лорановских рядов и нильпотентных рядов над коммутативным кольцом коэффициентов.

В четвертом параграфе рассматривается вопрос о примитивности и полупримитивности колец лорановских рядов. Доказывается следующий аналог теоремы 2 в [9] для колец многочленов Лорана.

(2.4.1) Теорема. Если R — -первичное правое кольцо Голди, то кольцо косых рядов Лорана R((x,(p)) полупримитивно.

Отмечается, что ни одно из двух условий теоремы 2.4.1 не является

°[9] D.A.Jordan. Primitive Ore Extensions. Glasgow Math. J. - 1978. - N19 (1). - p.79-85.

необходимым.

(2.4.2) Теорема. Если кольцо R -примитивно, то кольцо Т = R((x,ip)) примитивно.

Приводится пример, показывающий, что условие теоремы 2.4.2 на кольцо коэффициентов R не является необходимым.

(2.4.3) Пример. Пусть R — F[[i]] — кольцо формальных степенных рядов над полем F ( char F = 0 ), и пусть автоморфизм <р задан правилом

(p(t) = 21, (р(и) - и Чие F.

В этом случае кольцо Т = R((x,<p)) примитивно, тогда как кольцо коэффициентов R не является у -примитивным.

В третьей главе диссертации рассматриваются регулярные кольца рядов Лорана. Основным результатом главы является следующее утверждение.

(3.1.6) Теорема. Если (рп = 1 при некотором п > 1 , то следующие условия равносильны:

(1) R((x, ip)) —регулярное кольцо.

(2) R((x,<p)) — полупростое артиново.

(3) R — полупростое артиново.

Эквивалентность двух последних условий доказана для произвольного автоморфизма <р (и вообще для колец Мальцева-Неймана).

Достаточное условие полупримарности кольца лорановских рядов дается следующей теоремой.

(3.1.9) Теорема. Если кольцо коэффициентов R полупримарно, то кольцо лораиовских рядов Т — R((x, <р)) тоже полу примерно.

Во втором параграфе третьей главы, посвященном бирегулярным кольцам, мы получаем следующее обобщение результатов Лоренца и Массона-Стаффорда о простых кольцах лорановских рядов:

(3.2.5) Теорема. Следующие условил равносильны:

(1) Кольцо Т = Я((х,<р)) бирегулярно.

(2) Т — Т\ х ... х Тп — конечное прямое произведение простых колец.

(3) Д = х ... х Яп, где для любого j = 1,..., тг и для любого элемента г £ Д;-,

Е Щч>\гЩ = Д,-.

«€2

С изучением бирегулярных колец тесно связано изучение строго регулярных колец, то есть регулярных колец, не содержащих ненулевых нильпотентных элементов. Получено полное описание строго регулрных колец косых лорановских рядов, а, именно, эквивалентны следующие условия (теорема 3.2.6):

(1) Кольцо Л((х, <р)) строго регулярно.

(2) Д((а;,<£>)) есть конечное прямое произведение тел

ДККЫ х ... х Д„((х,у>п)),

где Д = 7?! х ... х Дп, Д^ —- тело и V?; = Ия,> г = 1, ■ ■ ■ ,п.

(3) Д — -редуцированное конечное прямое произведение тел.

(4) Д — конечное прямое произведение тел, а автоморфизм <р действует тождественно па идемпотентах.

Следующий пример (3.2.7) показывает, что существует такое строго регулярное неартиново кольцо Д и автоморфизм <р, что кольцо лорановских рядов над ним просто. Действительно, пусть I7 — прямое произведение счетного числа полей из двух элементов (могли бы использоваться и произвольные поля). Рассмотрим под-кольцо Д, состоящее из всех периодических последовательностей периода 2", п = 0,1,2,— Автоморфизм у будет определен следую-

щим образом: пусть г —последовательность с периодом (10...0), тох^да

у>(г) = (010... 0), у2{г) = (0010... 0),..., 4>*~\г) = (0...01), *з'(г) = г, где 4 — период элемента г.

В четвертой главе изучаются вопросы, связанные с размерностями Крулля и Голди колец и модулей Мальцева-Неймана. Понятие размерности Крулля в смысле Рентшлера-Габриэля является естественным обобщением понятия нетеровости. Размерность Крулля кольца обыкновенных лорановских рядов впервые рассматривалась Гу-дерлом и Смоллом. Позднее Массой и Стаффорд получили следующее обобщение их результата:

Теорема. Пусть Т = /?*((£?)) — кольцо Мальцева-Неймана над кольцом В, . Кольцо Т нетерово справа тогда и только тогда, когда кольцо Я нетерово справа. Более того, в этом случае К.с1пп(Тг) = К.ат1(йд).

Основным результатом четвертой главы является "обратное" утверждение:

Если кольцо рлдов Мальцева-Неймана Т — Д*((С)) обладает правой размерностью Крулля, то кольцо коэффициентов Н, нетерово справа.

Доказательству этого утверждения посвящены первый и второй параграфы четвертой главы. В первом параграфе вводится определение несократимого подмножества произвольного модуля. Именно, подмножество {а7}7ег модуля А над кольцом Я называется несократимым, если для любого ^ € Г, а(1 ^ Е7ег\{^} а1 К- Далее доказывается, что модуль, обладающий размерностью Крулля, не может содержать

бесконечного несократимого подмножества. Далее, во втором параграфе, показано, что, если кольцо коэффициентов не является нетеро-вым справа, то кольцо рядов Мальцева-Неймана содержит (как правый модуль над собой) бесконечное несократимое множество (лемма 4.2.1), и, значит, не обладает правой размерностью Крулля. Поскольку размерность Крулля в смысле Рентшлера-Габриэля определена для модулей, основная теорема (4.2.2) доказывается в формулировке для модулей Мальцева-Неймана:

(4.2.2) Теорема. Пусть С? — упорядоченная группа, С ф 1, А — модуль над кольцом Я. Пусть В = А*({С)) — модуль Мальцева-Неймана над кольцом Т = Я* ((С)). Если модуль Вт обладает размерностью Крулля, то Вт (и, следовательно, Ац ) нетеров.

Конструкция бесконечного несократимого множества (лемма 4.2.1) может быть с успехом использована для доказательства аналогичного утверждения о кольце формальных линейных псевдодифференциальных операторов (теорема 4.2.3): если кольцо формальных линейных псевдо-дифференциальных операторов Л((0-1,<5)) обладает правой размерностью Крулля, то кольцо коэффициентов Я не-терово справа.

Известно, что если I — правый идеал в кольце Я, то для размерности Голди имеется равенство и.сНт(/) — и.с!пп(/[0]), где 1[в] — правый идеал в кольце многочленов Я[в], порожденный всеми многочленами с коэффициентами в Я. Пример 4.3.2 показывает, что коммутативное кольцо лорановских рядов может иметь бесконечную размерность Голди даже в том случае, когда кольцо коэффициентов Я — цепное.

Четвертый параграф четвертой главы носит, в основном, технический характер. В нем изучаются упорядоченные группы, обладающие

девиацией. Свойства абелевых групп с девиацией рассматривались Леммонье в [10] , где было дано полное описание всех таких абелевых групп. В теореме 4.4.8 дается характеризация групп с девиацией: класс всех групп с девиацией совпадает с классом всех таких гиперциклических групп G, что все факторы обобщенного верхнего центрального ряда G не имеют кручения. Еще проще описываются все группы с конечной девиацией (4.4.4 и 4.4.9) —■ это в точности конечно-порожденные нильпотентные группы без кручения. Отметим также, что конечная девиация группы всегда совпадает с числом Хирша.

В пятом параграфе речь идет об одном обобщении формальных степенных рядов, тесно связанном с конструкцией колец Мальцева-Неймана. Пусть G — упорядоченная группа с положительным конусом Р. Тогда кольцо обобщенных формальных степенных рядов i?*[[P]] — это множество {/ € Т | Supp(/) Ç P|J{1}}, являющееся унитарным подкольцом кольца Т = R*((G)). Таким образом, всякий Т -модуль имеет естественную структуру S -модуля. Следующее утверждение содержит характеризацию всех модулей Мальцева-Неймана над кольцом S, обладающих размерностью Крулля.

(4.5.2) Теорема. Пусть А — модуль над кольцом R и пусть В = A*({G)) — соответствующий модуль рядов Мальцева-Неймана над кольцом S = -R*[[P]]- Тогда следующие условия равносильны:

(1) Модуль Bs обладает размерностью Крулля.

(2) Модуль Ar имеет конечную длину, а группа G обладает девиацией (как упорядоченное множество).

Если эти условия выполнены,

K.dirn(ßs) = dev(G).

°[10] B.Lemmonier, Deviation des ensembles et groupes abelienes totalement ordonnes, Bull. Set. Math., ser. 2, 96 (1972), p. 289-303.

Более того, размерность Крулля модуля Ду конечна тогда и только тогда, когда (3 — конечно-порожденная нилъпотентная группа без кручения.

Автор выражает благодарность своим научным руководителям проф. А.В.Михалеву и доц. В.Т.Маркову за постоянное внимание к работе и полезные советы.

Работы автора по теме диссертации

[11] К.И.Сонин. Регулярные кольца рядов Лорана // Фундамент, и приклады, математика. - 1995. - Т.1. - N.1. - С. 315-317.

[12] К.И.Сонин. Регулярные кольца косых рядов Лорана // Фундамент. и прикладн. математика. - 1995. - Т.1. - N.2. -- С. 565-568.

[13] К.И.Сонин. Бирегулярные кольца рядов Лорана // Вестник МГУ. - 1997. - N. 4. - С. 22-24.

[14] К.И.Сонин. Полупримитивные и полусовершенные кольца ло-рановских рядов. // Мат. заметки - 1996. - Т.60. - N.2. - С. 300-303.

[15] К.И.Сонин. Размерность Крулля колец Мальцева-Неймана. // Междунар. Алгебр, конф. памяти Д.К.Фаддева. Санкт -Петербург, 1997. Тезисы докл., изд. НИИХ СПбГУ. - С. 119-120.