Исследования по степенным группам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

российская академия наук

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализирс анный совет Д 002.23.01

исследования по степенным группам

01.01.06 - математическая логина, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

АМАГЛОВЕЛИ Михаил Георгиевич

УДК 512.54

новосибирск 1993

Работа выполнена в Тбилисском государственном университете вмени Ив. Джавахшвили.

Научные руководители : доктор физико-математических наук

Н.С.Ромайовский,

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Ремесленников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Копытов, доктор физико-математических наук В.А.Романьков

Ведущая организация - Алтайский государственный университет

СШПЗЪрХ- 1993 г. в /Г^с

Защита состоится щгк/я (хК/Л&урЯ- 1993 г. в часов на заседании специализированного совета Д 002.23.01 в Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан Щ-ОЦ&- 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 002.23.01 кандидат физико-математических, наук ^

С.Т.Федоряев

Понятие модуля над кольцом является естественным обобщением понятий абелввой группы и векторного пространства. Его появление не только расширило тематику исследований, но и дало более глубокое понимание самой теории аСелевых груш. Удалось существенно обобщить многие ранее известные результата, сформулировать новую систему понятий, более точно отражающих суть дела и , наконец, привлечь тс исследованию абелевых групп мощную технику коммутативной алгебры.

Попытки реализовать идеи теории модулей в некоммутативном случае были предприняты рядом авторов. В начале интенсивно изучался случай, когда кольцо скаляров -- поле рациональных чисел. Укажем в этой связи теорему И.Мальцева о пополнении локально нильпотзнтных групп без сручония [71, результаты Г.Баумслвга о пополнениях свободных ^рушх (19,20), работу й.В.Кузьмина о пополнениях разрешимых •рупп 14], а также статьи [3,183.

Переход к значительно более широкому классу колец :кьляров (т.н. биномиальных колец) впервые был сделан Ф. [оллом для ыилыютэнтшх групп без кручения в ого знаменитой шботе П31. Весьма ваши, что в ней впервые было ¡формулировка аксиоматическое понятие степенной йлыютекгьой группы, которое оказалось очень плодотворным в егдей теории нклиютвнтных. групп. Во-первых, око позволило обрать воедино ранее существующие отдельные примеры тепенных групп (делимые грушш, про-р-пополнения, роконечиые пош.чнеьил, уншотентнвв группы). Во-вторых, акторн нгшяп цйнтрьлыт рядов таких, групп оказались бычннмн . нулями, что позволило привлечь к изучению альпетоатянх групп метода коммутативной алгебру.

С другой стороны, в 1960 г. в работе Р.Линдока ¡21] для роизвольного ассоциативного кольца А с единицей (не Зязательно биномиального) било введена общее понятие

А-степенной группы и получены некоторые результаты о свободных А-группах. Более подробное изучение свободных групп в случае тела нулевой характеристики было предпринято в работе С.Полина [11]. К- согшлению, степенные а беле вы А-группы по Линдону не всегда являются А-модулями, что затрудняет применение этого понятия в случав не свободных групп.

В 1991 году А.Г.Мясников [8] уточнил понятие степенной группы по Линдону, введя еще одну дополнительную аксиому, согласно которой все абелевы подгруппы степенной группы являются обычными А-модулями. Это уточнение представляет естественное обобщение А-модуля на некоммутативный случай. В работе А.Г.Мясникова и В.Н.Ремесленникова [10] введена категория Кд А-степенных групп в уточненном смысле (далее просто А-групп) и изложены основы теории таких груш.

Настоящая диссертация посвящена изучению групп из категории Хорошо известна роль тензорного произведения в категории модулей, в частности тензорного расширения кольца скаляров. В работе [10] определен точный аналог последней конструкции для произвольных А-степенных групп - конструкция тензорного пополнения. В диссертации исследованы вопросы: о перестановочности тензорного пополнения с основными групповыми операциями; о точности тензорного пополнения. Кроме того, введено понятие многообразия и получено описание абелевых многообразий и некоторые результаты о нильпотентных многообразиях А-групп.

В диссертации используются методы комбинаторной теории груш, теории категорий и теории модулей.

Результаты диссертации являются новыми, работа носит теоретический характер. Основные результаты работы докладывались на алгебраических семинарах Омского, Новосибирского университетов, на Международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргаполова (Красноярск-1993 г.) и опубликованы в работах автора и совместной работе В.Н.Рембсленникова и автора [16].

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Перейдем к изложению результатов диссертации по главам.

В первых трех параграфах главы I, следуя работе [101, вводятся основные понятия теории А-групп, в частности, ключевое понятие тензо^.юго А-пополнения. Напомним основные из них.

Зафиксируем произвольное ассоциативное кольцо А с единицей, а также группу С.

Пусть задано действие А на С, т.е. отображение б » А — С. Результат действия а е А на & е 0 будем записывать в виде ga. Рассмотрим аксиомы:

1) в^в, 8°=1. 1а=1;

2) '(Р+^чР.

3) (Ь-^^-'Д;

4) Гв,11]=1 * (в^а®!!0.

Определение. Группу С будем называть к-степетай группой (или к-группой) по Линдону, если на С задано действие кольца А, удовлетворяющее аксиомам 1)-3).

Определение. Группу 0 будем называть к-степенной группой (или к-группой), если на С задано действие кольца А, удовлетворяющее аксиомам 1 )-4). В этом случае А называется нольцол сналаров группы С.

Пусть £аи 21д- классы всех А-степенных групп по Линдону и всех А-гр"ПП. Ясно, что ЙА э Ш^.

Стандартным образом вводятся понятия А-подгруппы, А-нормальной подгруппы, А-гомоморфизма, А-изоморфизма и т.д. Ядра А-гомоморфизмов в категории являются йА-идеалами.

Определение. Для g,h е Ъ, а е А элемент

назовем а-коллужжорол элементов 8 и 11.

Ясно, что: (8Ь)а=8аЬа(в,Ь)(7, С€»А«=>(Св,)1]=1 — V а € А,' <е.Ь)а=1). Последняя эквивалентность приводит к определение Ил-идеала.

Определение. Пусть в е ¿.'^-группа. Тогда нормальная А-подгруппа Н < С называется Ид-идеалс.«, если для любых g,h € С, а € А имеем € Н (е.Ь)а £ Н.

Определение. Пусть С,- А-группа, А с В - кольца. Тогда В~группа Оказывается тензорныл В-тюпоинаниел А-груопы в, если Св удовлетворяет следующему универсальному свойству:

1) существует А-гомоморфизм ;\.:(5 — йв такой, что Х(й) В-поровдает Св, т.е.

<МС»В=СВ,

2) для любой В-группы Н и А-гомоморфизма ф:в —' Н ствует В-гомомо]

следующую диаграмму

существует В-гомоморфизм ф:0в —» Н, делающий коммутативной

С;----О

в

Ф

Ф . = Ф-/

Для абелевых А-групп тензорное пополнение в точности совпадает с тензорным пополнением в категории А-модулей.

В §4 главы I доказано, что тензорное пополнение перестановочно с операциями прямого произведения (теорема 1.2), прямого предела А-грулп (теорема 1.1) и, вообще говоря, не перестановочно с декартовым произведением и обратным пределом групп.

Основные результаты диссертации содержатся в главах II и III.

. В главе II исследуется понятие точности теклорчогс пополнения.

Пусть А-колъцо, а-группа.

Определение. Грушу С назовем частичной к-группой, если возведение в степень определено для некоторых пар (а,а), не не обязательно для ьсех пар; причем, если определена одна

б

часть равенства в аксиомах 1)- '), то определена и другая \

часть, и для них выполняются аксиомы 1)-4) в определении степенной группы. Класс частичных А-степенных групп будем обозначать через р .

На протяжении всей главы II предполагается, что кольцо А в качества подкольца содержит кольцо целых чисел 2.

Пусть С-частичная А-группа, т.е. С € $) .

Определение. Будем говорить, что группа С является точной относите ьно колъыд А, если каноническое отображение \:0 — СА является вложением.

Определение. Будем говорить, что группа 0 является точной, если она является точной относительно любого кольца, содержащего 2.

Пусть А-кольцо, :р°-категория частичных А-групп. По определению группа 0 из <рд принадлежит если выполнены следущие условия:

1) для любой максимальной абелевой подгруппы М из 0 и любого х ^ М пересечение И П Мх=1;

2) канонический гомоморфизм 3:М — М ® А является вложением. А

Основной является

Теорема 2.1. Пусть 2-подкольцо кольца А и группа Ъ е Рд, причем в С и А+нет элементов порядка 2. Тогда группа в точна, т.е. каноническое отображение \:0 — СА явпяется вложением.

Теорема 2.1 дзет достаточное условие для точности тензорного пополнения. Заметим, что условие 1 ) из определения класса является тагаке необходимым. В классе содержатся свободные группы. Он замкнут относительно прямых пределов, свободных произведений и расширений специального вида (теорема 2.4). Важным следствием из этой теоремы является точность тензорного пополнения для кольца А, содержащее кольцо целых чисел 1. Для конкретных колец, например для тел нулевой характеристики и кольца многочленов с целыми коэффициентами, эта теорема доказывалась в работах

[191, [211, (11].

В последней главе диссертации вводится понятие клогообразия степенных групп и тензорного пополнения груш в многообразии.

В определении многообразия А-степешшх групп мы следуем стандартной схеме. Отметим, однако, существенное отличие изучаемого случая от классического. Во-первых, понятие многообразия расслаивается в зависимости от кольца скаляров. Во-вторых, вербальная подгруппа, вообще говоря, не порождается значениями слов, определяющих многообразие. К счастью, функтор тензорного пополнения связывает слои многообразий по различным кольцам скаляров.

Предложение 3.4. Пусть А с В - кольца, А(Х) -свободная группа в многообразии ' ??А.

Тогда А(Х))в-свободная группа в многообразии т.е.

В §3 описаны абелевы многообразия А-групп, а именно каждому абелеву многообразию А-групп однозначно отвечает некоторый двусторонний идеал в кольце А. (теорема 3.5).

В заключительном параграфе вводятся центральные ряды и ряды коммутантов. Обсуждается три варианта определения нильпотэнтных А-степеншх групп ступени п. Доказывается (теорема . 3.7), что при п=1,2 все эти определения равносильны. Вопрос о совпадении этих понятий при п>2. остается открытым. Кроме того доказано, что пополнение 2-ступенно нильпотентной группы является 2-ступенно нильпотентной (теорема 3.8).

Автор выражает благодарность участникам упомянуты] семинаров Омского и Новосибирского университетов за полезны« дскуссии и поддержку. Особенно признателен автор доктора» физико-математических наук В.Н.Ремесленникову,

Н.С.Романовскому и А.Г.Мясникову за внимание к работе I всестороннюю помощь.

Литература.

. Атья M., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру.-М.: Мир,- 1972.

. Каргаполов И.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.- М.: Наука, 1982.

. Каргаполов М.И., Мерзляков D.M., Ремесленников В.Н. О пополнении групп // ДАН СССР.- 1960.- 134.- с.518-520.

. Кузьмин Ю.В. О метабелевых Д-группах // Усп. Мат. Наук.-1972.- 27, *., с.247-248.

. Р.Линдон, П.Шупп. Комбинаторная теория групп.- Москва: Мир, 1980.- с.448.

В.Магнус, В.Каррас, Д.Солитер. Комбинаторная теория групп.- Москва: Наука, 1974.- с.455.

. Мальцев А.И. Нильпотентные группы без кручения //Изв. АН СССР.- сер. мат.- 1949.- 13.- ЖЗ, с.201-212.

. А.Г.Мясников. Центроид, группы и его связи с

эндоморфизмами и кольцами скаляров // Алгебра и геометрия (в печати).

I. А.Г.Мясников, В.Н.Ремесленников. Формулытость множества мальцевских баз и элементарные свойства конечномерных алгебр // Сиб. мат. к.- 1982.- т.23.- Я5.~ с.152-167; т.24.- №2.- с.97-113.

0. А.Г.Мясников, В.Н.Ремесленников. Степенные группы 1: основы теории и тензорные пополнения // Препринт JS6.-Омск.: ИМТПМ.- 199о.

1. C.B. Полин. Свободные разложения в многообразиях А.-грулп // Мат. сб.- 1972.- т.87.- 129.- с.377-335.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы.- Москва: Мир, 1977.-т.1.

3. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика.- Сборник переводов.- 1963.- т.12, т.- с.3-36.

4. Холл М. Теория rpytm.- М.: 111, 1962.

5. Амаглобели М.Г. О перестановочности функтора тензорного пополнения с основными групповыми операциями // Препринт т.- Омск: МИТПМ, 19ЭЗ.

16. М.Г. Амаглобели, В.Н.Ремесленников. Степенные грутпм 11: группы, точные при тензорном пополнении // Препринт 1.-0,,.ск: ИЖПМ. 1993.

17. Амаглобели М.Г. Степенные группы 111: Многообразия групп // Препринт J86.- Новосибирск: Институт математики СО РАИ, 1993.

18. Baumslag G. A generalization of a theorem of Mal'cev // Acta Math.- 1961.- Я12.- p.405-408.

19. Baumslag G. On free D-groups // Comm. pure and appl. math.- 1965.- v.18.- p.25-30.

20. Baumslag G. Lecture Notes on Nilpotent Groups // G.B.M.S. Regional Conf. Ser. Je2.- Providence.- 1971.

21. Lyndon R. Groups with parametric exponents // Trana. Amer. Math. Soc.- I960.- p.518-533.

22. М.Г-. Амаглобели, В.H.Ремесленников. Группы, точный при тензорном пополнении. Международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова. Красноярск. 1933. Тезисы докладов.

23. М.Г.Амаглобели. Многообразия степенных групп. Международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргагголовг.. Красноярск. 1953. Тезисы докладов.

Ротапринт ИГУ; 63GGS0, Новоспбирск-ЭС, ул. Пирогой, 2

Подписано к печати II.0o.S3 Формат 60x84 I/I6 bnicas J,.1 35G

Объо.'.:.уч.-изд.л. 0,75 Тираж ICO зкз.