Групповые свойства разрешимых алгебраических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Президиум :: . :у:. России i (решение от " ^А т., m^^fj) '

Министерство общего и профессионального

образования Новосибирский государственный технический

университет

На правах рукописи

Пономарёв Константин Николаевич

УДК 512.623.27 + 512.743

Групповые свойства разрешимых алгебраических групп

(01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Л

Новосибирск -1997

Оглавление

Введение...............................4

1 Центроиды колец и фактор-морфизмы нильпотентных групп. 30

1.1 Центроид и максимальные поля скаляров конечномерных алгебр................30

1.1.1 Коиндуцированные модули........34

1.1.2 Центроид и поля скаляров конечномерных алгебр..................39

1.1.3 Поля констант и поля представителей. . 49

1.2 Фактор-морфизмы нильпотентных групп. ... 61

1.2.1 Кольцо фактор-морфизмов Ф(С?).....63

1.2.2 Идеалы кольца фактор-морфизмов. ... 65

1.2.3 Симметричные когомологии групп. ... 67

1.2.4 Прямые разложения.............71

1.2.5 Правильные группы............76

1.3 Группы точек унипотентных групп........79

1.4 Плотность структурных факторморфизмов. . . 86

2 Экспоненциальное действие. 91

2.1 Точность экспоненциального действия......93

2.2 Доказательство теоремы..............94

2.2.1 Случай поля нулевой характеристики. . 95

2.2.2 Случай абелевой группы автоморфизмов. 98

2.2.3 Доказательство предложения.......100

3 Минимальные алгебраические группы. 108

3.1 Квазиминимальные группы............109

3.2 Минимальные неразрешимые группы......115

3.3 Абстрактные свойства квазиминимальных групп.123

3.3.1 Абстрактность изогении

в стандартную группу...........126

3.3.2 Квазиминимальные группы

и ядра стандартных групп........133

3.3.3 Классы абстрактного изоморфизма квазиминимальных групп.........135

3.3.4 Поле определения

группы класса QM(L,T)..........138

3.3.5 Группа Вейля класса абстрактно изоморфных ядер стандартной группы. . 144

3.3.6 Некоторые свойства групповых колец. . 148

3.3.7 Основные утверждения...........149

4 Групповые свойства точек

разрешимых алгебраических групп. 155

4.1 Некоторые свойства точек

алгебраических групп...............160

4.1.1 Делимая часть нильпотентной группы. . 160

4.1.2 Нильпотентный радикал точек алгебраических групп................164

4.1.3 Подгруппы Картана............166

4.2 Свойства точек разрешимых групп........168

4.2.1 Полупростые автоморфизмы нильпотент-ных групп..................168

4.2.2 Подобие алгебраических групп......171

4.3 Точки квазиминимальных групп.........175

4.4 Достаточность условий теоремы о

подобных группах..................178

4.4.1 Кольцо определения подобной группы. . 178

4.4.2 Структуры алгебраических групп

на подобной группе.............180

4.4.3 Точки

почти прямо неразложимых алгебраических групп...........183

4.5 Оболочки Вейля прямо неразложимых

подобных групп...................186

4.6 Абстрактные изоморфизмы

алгебраических групп...............190

4.6.1 Изоморфизмы

сохраняющие полупростоту........190

4.6.2 Изоморфизмы алгебраических групп над полями алгебраических чисел.......191

4.7 Некоторые примеры.................194

4.7.1 Необходимость сохранения полупростоты................195

4.7.2 Класс точек алгебраических групп

с тривиальным центром

не определяется групповыми свойствами. 197

Литература 198

Введение.

Диссертация посвящена теории алгебраических групп над полями определения нулевой характеристики. Во введении укажем место этой теории в современной теории групп.

Само зарождение теории групп связано с изучением классических линейных групп - групп матриц с коэффициентами из некоторого кольца. Групповое строение классических групп - до сих пор актуальная тема исследований [23]. Алгебраическая группа - такая подгруппа общей группы матриц элементы которой выделяются некоторыми алгебраическими уравнениями.

Возникновение понятия алгебраической группы связано с теорией дифференциальных уравнений. В начале этого века Ш.Э.Пикар и Э.П.Ж.Вессио изучили возможность интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в квадратурах. Для таких уравнений им удалось построить теорию параллельную теории Галуа алгебраических уравнений.

Как и в теории Галуа в теории Пикара - Вессио по произвольному дифференциальному уравнению определяется группа инвариантных преобразований уравнения. Такая группа оказывается алгебраической группой. А разрешимость уравнения в квадратурах равносильна разрешимости этой группы [10].

Важное место в этой теории занимает теорема Ли - Колчи-на о триангулируемости разрешимых алгебраических групп. Она утверждает, что разрешимая алгебраическая группа является подгруппой треугольной группы.

Законченный вид теория алгебраических групп над алге-

браически замкнутыми полями определения получила в работах К.Шевалле и А.Бореля середины этого века. Произвольная алгебраическая группа обладает разрешимым радикалом гсм10. Радикал - разрешимая алгебраическая подгруппа, а фактор 0/гайО образует полупростую группу. Так что исследование произвольной алгебраической группы сводится к исследованию некоторой разрешимой группы и полупростой группы. Основным инструментом изучения алгебраических групп служит понятие тора и унипотентной части (унипотентного радикала) таких групп. Торы представляют алгебраические группы изоморфные прямому произведению мультипликативных групп поля определения.

Строение разрешимых алгебраических групп было установлено в начале пятидесятых в работах М.Розенлихта. Такая группа представляется полупрямым произведением любого максимального тора на унипотентную часть.

К началу шестидесятых исследование строения полупростых групп над алгебраически замкнутыми полями тоже было в основном завершено. Было показано, что любая такая группа представляется почти прямым произведением (в котором слагаемые пересекаются конечным образом) простых алгебраических групп. Было получено описание простых алгебраических групп [43]. Основная особенность этих исследований - их независимость от поля определения. Реально на строение алгебраической группы в случае алгебраически замкнутого поля определения влияет только характеристика этого поля.

Поскольку алгебраическая группа представляет аффинное алгебраическое многообразие, то в любой период исследований подход к изучению таких групп использует развитые к

этому моменту алгебро - геометричесие методы. Дальнейшее развитие теории алгебраических групп (и алгебраической геометрии в целом) связано с изучением алгебраических групп над незамкнутыми полями определения. Необходимой основой такого изучения служит теория групповых схем А.Гротендика, созданная в шестидесятые. Современный подход состоит в рассмотрении алгебраической группы О как представимого функтора на категории полей. Произвольному полю К ставится в соответствие группа точек О (К) (см. введение в книге [4]). Именно такой подход используется автором диссертации.

Для незамкнутых полей строение алгебраических групп существенно зависит от поля определения. К концу шестидесятых стало понятно, что перенос ранее полученных результатов на этот случай возможен только для расщепимых алгебраических групп. Проблемы возникают из-за достаточно сложной связи с полем определения строения торов таких групп. Бели же максимальный тор алгебраической группы всё ещё представляет прямое произведение мультипликативных групп поля определения, то такой тор и сама алгебраическая группа называются расщепимыми группами.

Если алгебраическая группа изотропна, то есть она обладает каким-нибудь расщепимым тором (не обязательно максимальным), то всё ещё возможно получение некоторой информации из предыдущих результатов. Однако анизотропные группы, у которых вообще нет расщепимых под торов, требуют специальных подходов для их исследования.

Исследования диссертации относятся к проблеме теоретико-группового описания групп точек разрешимых алгебраических групп. В случае классических линейных групп, то есть

простых алгебраических групп класических типов, это старая хорошо изученная проблема [7].

Раоцепимые простые группы - группы Шевалле. Групповое описание групп Шевалле в терминах порождающих и соотношений известно [39]. Из этого описания легко получить групповую характеризацию унипотентных подгрупп таких групп, а также их подгрупп Бореля - максимальных разрешимых алгебраических подгрупп. В настоящее время О.В.Белеградеком приведено групповое описание унипотен-тых частей простых групп типа Ап даже для ассоциативного кольца определения [47]. Однако в целом класс точек унипотентных групп и класс точек разрешимых алгебраических групп не был описан. Данная диссертация заполняет этот пробел для разрешимых алгебраических групп определённых над полем характеристики нуль.

Следует обратить внимание на работы В.Н.Ремесленни-кова и А.Г.Мясникова по исследованию билинейных отображений итоги которых подведены в статье [18]. Эти работы вдохновили автора на исследование точек унипотентных групп. В данной работе автор в теоремах 6 и 7 устанавливает теоретико-групповое описание класса групп точек унипотентных групп над полем определения нулевой характеристики. В отличие от указанных подход автора основан на использовании иных когомологический методов исследования.

В теореме 8 характеризуются точки прямо неразложимых унипотентных групп. В теореме 15 описываются группы точек всех разрешимых алгебраических групп с конечным центром без каких-либо ограничений типа изотропности.

Автоморфизмы классических групп - старая область ис-

следований. Для унипотентных подгрупп групп Шевалле в работах В.М.Левчука описаны группы автоморфизмов таких групп даже для ассоциативных колец с единицей [15]. В случае же произвольных алгебраических групп классическим направлением исследования служит изучение классов изоморфных групп точек таких групп. В частности, таким является изучение вопроса об изоморфности алгебраических групп имеющих изоморфные группы точек.

Начало таким исследованиям положено в статье А.Бореля и Ж.Титса [48] 1973 года. В этой статье показано, что в случае простых изотропных алгебраических групп над произвольным бесконечным полем определения из изоморфности групп точек следует изоморфизм алгебраических групп. Кроме того, изоморфизм групп точек таких групп является в определённом смысле стандартным.

Эта работа вызвала целую серию исследований по строению абстрактных изоморфизмов классических простых групп. Обзор полученных в семидесятые годы результатов см. [50].

Исследование изоморфизмов общих и специальных линейных групп было завершено в восьмидесятые. И.3.Голубчиком и А.В.Михалёвым получено описание изоморфизмов общих линейных групп даже для произвольных ассоциативных колец [5]. Впоследствии строение гомоморфизмов групп других классических типов изучалось учениками А.В.Михалёва.

Простые алгебраические группы почти прямо неразложимы, центр такой группы конечен, а система корней неприво-дима. В 1975 году А.А.Шаромет делает попытку установить аналогичные результаты для класса разрешимых алгебраических групп [45]. Он показал, что при названных выше условиях любой изоморфизм групп точек расщепимых раз-

решимых алгебраических групп является стандартным.

В кандидатской диссертации автора защищенной в 1987 году были рассмотрены разрешимые расщепимые группы над полем определения нулевой характеристики. Результаты А.А.Шаромета были обобщены на разрешимые группы без условия неприводимости системы корней. В теореме требовалась только почти прямая неразложимость алгебраической группы и сохранение полупростоты при некотором изоморфизме групп точек. В случае же поля определения алгебраических чисел для получения результата оказалось достаточно только конечности центра разрешимой алгебраической группы и её почти прямой неразложимости.

В заключительном разделе предлагаемой диссертации автор устранил из условий этих теорем требование разложимости и установил (см. теорему 16),'что изоморфизм групп точек любых разрешимых почти прямо неразложимых алгебраических групп с тривиальным центром является полуалгебраическим если он сохраняет свойство полупростоты элементов. В частности, такой изоморфизм групп с конечным центром является стандартным. В последней теореме диссертации - теореме 17 по сути устанавливается, что любой изоморфизм групп точек разрешимых алгебраических групп с конечным центром определённых над полями алгебраических чисел является стандартным. Таким образом работа завершает исследование групп точек разрешимых алгебраических групп с конечным центром над полями алгебраических чисел.

За прошедшее десятилетие автор разработал оригинальный метод исследования строения алгебраических групп. Авторский подход к изучению групп точек выбранного класса

алгебраических групп состоит в начальном изучении групп точек минимальных групп данного класса. А затем, в перенесении полученных результатов на произвольные алгебраические группы этого класса.

В случае разрешимых алгебраических групп с конечным центром без условия расщепимости соответствующий класс минимальных групп имеет достаточно сложное строение. Для случая поля определения нулевой характеристики автор полностью исследует этот класс в третьем разделе диссертации. В случае поля ненулевой характеристики исследование такого класса было открытой проблемой. Препятствием служил поставленый автором в [13] вопрос 11.79. Положитель-

V V 1

ныи ответ на этот вопрос заключен во второй части работы. Первая часть работы отведена для изучения унипотент-ных групп, а в последнем четвёртом разделе установлены все основные результаты диссертации.

Полученные в диссертации результаты имеют и самостоятельный интерес. Выше были указаны только некоторые из возможных применений. Приступим к подробному описанию разделов работы и полученных в них результатов.

Первая глава отведена изучению групп точек унипотент-ных алгебраических групп над полем определения нулевой характеристики. Эти группы - в точности конечнопорож-дённые степенные группы. Такие группы нильпотентны не имеют кручения и делимы. Поэтому можно использовать формулу Кемпбелла - Хаусдорфа и определить на такой группе структуру кольца Ли.

Структура алгебраической группы и степенной группы определяется структурой конечномерной алгебры на этом коль-

це Ли. Так что этот раздел отведён выделению свойств "конечномерности" колец, нильпотентных делимых групп - при которых эти объекты наделяются структурой конечномерной алгебры, степенной группы.

В первом разделе этой главы изучается введённый Н.Дже-кобсоном в [6] функтор центроида Г в категории произвольных (не обязательно ассоциативных, возможно без единицы) колец. С его использованием на языке теории колец получена характеристика конечномерных алгебр, прямо неразложимых конечномерных алгебр. Приведём некоторые определения.

Произвольное кольцо называется алгеброй , если в кольце эндоморфизмов аддитивной группы этого кольца найдётся такое поле, относительно действия которого кольцо служит алгеброй. Кольцо называется конечномерной алгеброй , если такое поле можно подобрать так, чтобы соответствующая алгебра была конечномерной.

Кольцо V называется правильным , если его аннулятор содержится в квадрате АппУ С V2.

Центроид Г (V) произвольного кольца У обладает аннулирующим идеалом А(У) фактор по которому Т(У)/А(У) образует коммутативное кольцо.

Теорема 1. Произвольное кольцо У нулевой характеристики конечномерно тогда и только тогда когда выполнены следующие условия:

1)центроид Г (У) содержит поле рациональных чисел,

2)фактор Т(У)/А(У) - конечномерная алгебра,

3) фактор-кольцо У ¡АппУ- конечнопорожденный Г(У)/А(У)-модуль,

4)если кольцо не является правильным, то мощность

фактора У/У2 совпадает с мощностью АппУ/АппУ П У2.

Кроме того, каждому полю скаляров фактора Т(У)/А(У) отвечает некоторое поле скаляров кольца У.

Фактор центроида Т(У)/А(У) служит аналогом функтора эндоморфизмов модуля для категории конечномерных алгебр. Выполняется аналог теоремы Фиттинга о неразложимых модулях для алгебр и фактора центроида.

Теорема 2. Пусть У алгебра с ненулевым умножением.

Тогда если У правильная алгебра и Г(У)/Л(У) локальное кольцо, то У прямо неразложима.

Наоборот, если У конечномерная алгебра и У прямо неразложима, то она правильная алгебра и кольцо Т(У)/А(У) локальное.

Этот результат указывает на важность исследования полей скаляров коммутативных локальных колец.

Поля представителей локального кольца служат максимальными полями скаляров. Отмечаются условия при которых локальное кольцо имеет единственное поле представителей. Затем этот (по видимому известный) результат применяется к полям скаляров произвольных конечномерных алгебр.

Алгебру У называем жёсткой если фактор ее центроида Г(У)/А(У) является полем.

Два поля скаляров К и Ь называются подобными , если их дей