Решеточные изоморфизмы разрешимых, некоторых матричных и других групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



ттш НАУК СССР

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ'

• ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ СшцяалззированннЙ Совет Д 002,23.01

На правах рукописи

ЯКОВЛЕВ Борис Владимирович

УДК 519.45

РШДЕТОЧНШ '"5ОМ0Р5ИЗЩ РАЗРЕШИМЫХ, НЕКОТОРЫХ МАТРИЧНЫХ И ДРУГИХ ГРУШ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1938

Работа выполнена в Красноярском ордена "Знак Почета" государственном педагогическом институте.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор З.И.Боревич доктор физико-математических наук, профессор В.Д.Мазуров доктор физико-математических наук, профессор А.Л.Шыелышн

Ведущая организация - Институт математики и механики Уральского

Отделения АН СССР

Защита состоится " » 198 г.в часов

на заседании Специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики Сибирского отделения АН СССР по адресу» х-с Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан ~ 198_г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор фаз.-ыа»,наук -

Е.А.Палюига

4

■jjawul оеш характеристика работы

тдел l j,

ертгций Актуальность тшы. множество всех подгрупп группы с? косптелыю порядка по включению образует решету, которая .-.л-зываатся решеткой подгрупп группы О и обозначается L(G¡, Одно из развивающихся направлений в теория групп состоит в тгзу- -чашш зависимости меяду строением группы и строением реще-лсу. so подгрупп. ПорвоЛ работой, относящейся к это.му направледпг-» была работа А.Ротлондер [I] . Однако, внимание к этой облает* алгебры было привлечено работами Р.Бэра [2] и О.Оре £3,4]» Со временем в дайной области очертился круг проблем и к настоящему моменту появилась обширная литература, связанная с соответствующей проблематикой» Зтой проблематике посвящена монография М.Судзуки L5] р обзорные статьи [6-Q] , Осветазтся cria частично в кашах f9,I0J „ а также в ряда обзорных статей ÜI-I5J,

В работах Р.Бэра, О.Орз» Г.Цалпы, К.Ивасавы, Л.Е.Сдгув-ского, А.Джонса, С.Сато, М.Судзуки» П.Г.Конторовича» Б.И.-^лот-шш» А.С.Пекелио» Г.Цахера, Р.Шмидта и других были выяегогл глубокие связи между строением группы и строением решетки подгрупп. Например» существуют такие классы групп» что длч хп~ бой группы G этого класса из изоморфизма ЦС} s~¿{GJ слз» дует изоморфизм групп G и Д, , то деть гсадяая группа "«кого класса, как говорят,, определяется решеткой подгрупп» Г. таким классам групп относятся абелевы группы» содержащие» го крайней мерз, два бесконечные циклические подгруппы,с инм пересечением (Р.Бэр, 1939г. >5 свободные группы» свосо; произведения не единичных групп» нальпотантныа группы баз кручения (Л.Е.Садовский, I94I0 1944» 1965 тг»); прямое прсйг?сда-:зт двух изоморфных простых конечных не циклических гwm Ш.Судзука, 1951г.) я некоторые другие классы групп» йзвзедлы классы групп, которые хотя и на обладаю? отмеченным вшю ствои, однако замкнуты относительно решеточных изоморфиг:«:;:-.. то есть для любой группа ' G такого класса ,Ц"т нзшор^шгк

Ш) т следует» что группа '€,<sU » Эхо» нащис-ль

циклические группы (О.Орэ, 1938 г.>5 конечные разрэпшмкэ г¿rpz-пы (М.Судзука, Г.Цалпа» IS5I г.); локально нальпотентдаэ rpyn-

ьу£ содержащиео по крайней мерз, две бесконечные циклические гГ'''"агщ с единичным пересечением (Б.И.Шготкин» 1957г.). Принадлежность групп к некоторым классам мтоет быть охарактеризовала на языке теории решеток. Например, группа является ло -.ачъно циклической тогда и только тогда, когда решетка её под-¿.•••упп дистрибутивна (О.Оре, 1938г.).

Многочисленные работе посвящены изучению групп, решетка подгрупп которых обладает теми или шил.«! свойствами. Например, полностью описаны группы решетка подгрупп которых удовлетвори-е?; модулярному закону (К.йвасава, 1941г., А.Ю.Ольшанский, 1979г.» Рудольф, 1982г.» Р.Шмидт» 1986г.')»

В диссертации рассматриваются вопросы, относящиеся к от-кзчешюй проблематике.

Заметим ещё, что результаты» полученные в теории групп5 послужили стимулом для исследований, связанных с решетками подсистем других алгебраических систем таких, как полугруппы., алгейры Ли» квазигруппы, кольца, а танке для аналогичных но-следований в теории топологичес!а1х групп.

ДЕНЬ РАБОТЫ. Целью работы является изучение зависимости шзду строением группы а строением решетки её подгрупп разро-пшмых групп, некоторых матричных групп, смешанных нильпотент-шйс групп8 групп с системой образующих, удовлетворяющих некоторым условиям» свободных групп.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все теоремы, доказанные в диссертации»' выражают новые результаты, из которых отметим следующие:

- доказано» что если О - разрешимая группа и

го 0( - разрешимая группа и получена оценка ступени разрешимо-оти группы 6у в зависимости от ступени разрешимости группы

- приведен пример двух не изоморфных разрешимых групп без кручения с изоморфными решетками подгрупп»

- сформулированы и доказаны некоторые общие теоремы об о» редвдяемости группы решеткой подгрупп,' которые использованы затем для доказательства определяемое™ групп некоторых классов решеткой подгрупп".

- доказано» что если п - ступенно ншгьпотентная группа $ содержит свободную п. - ступенно нильпотентную не щшшчеоку группу в качестве подгруппы, то для всякой группы и вояко-

го изоморфизма 9 решетка L(G-) па L(Gt) существует орфизм группы Q на „ шщуцирушзШ f %

- на языке теории решеток сформулированы достаточные г-ловил, при которых решетка изоморфна решетке подгрупп ног.- : рой группы.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит ротпчоский характер. Результаты5 вошедшие в диссертацию, лг- -пользовались в ряде работ советских и зарубеяных авторов г* го-" гут в дальнейшем использоваться при изучении групп с яз«г,д&» ними решетками подгрупп„

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации догахадшзашл, ка M (Рига, 1967), X (Новосибирск, 1969), Ш (Свердловы^ ÏF/.7) Всесойзннх алгебраических коллоквиумах, ХУ (Красноярск, 1£7°>}9 Ш! (Кишинев» 1985) Всесоюзных алгебраических конференциями УХ (Черкассы, Х978), IX (Москва., 1984) Всесоюзных симпозиумах по теории групп s на оеминаре "Алгебра и логика" и на научно-исследовательском семинаре кафэдры алгебра ЖУ* на свмтзт ш? теории групп кафодры алгебры МЕУР на алгебраическом семимга Киевского университета» на Герцановских чтениях в 1енннг;;.£" ™ ском пединституте, на городском алгебраическом семинара itvîi кафздрз алгебры Красноярского университета»' на семинаре гобра Красноярского пединститута. Результата глаз П и ЗУ о полными доказательства!1,® были изложены на сешнарз ш тег;:^ групп кафедры алгебры МГУ, а главы 1У - на сомняара Тзс. и. групп™ ШУо

ПУБЛШШШй. Основные результаты диссертации опу&шшж-йн в 13 работах, список нх приведен в конца автореферата,

ОБЪШ И СТРУКТУРА ДОСЕРТАЦИИ, Диссертация состой; r-ï введения,, пяти глав я списка литература» Нумерация форк?,-.-лаш я тоорэм осуществляется по главам s является скзозкой г каадой глава. Список литературы наочатываэа III зшшеаоя^."!'';» Обилий объвгд диссертация - I6S странице

КРАТКОЕ СОДЕШНЙБ PAB0ÎÎL

Всюду в дальнейшем рашэточаm изоморфизмом грушш ùj-дом называть всякое изоморфное отображение f решетки L(Q} на решетку ¿(ût) какой-либо группы Gt, Если H - подшжа

("' i «о чор83 У* будем обозначать образ И при решеточном 2;3>--.пфизыв „ В частности, С^ всегда будет обозначать об-.рупии О при каком-либо решеточном к----орфизме У . Груд-изоморфными решетками подгрупп будем называть решеточно

у',.-Л . ...»|Л!З.Ц5,

и глава I диссертац:ш исследуются решеточные нзоморЬпзмы рл;.;..';гл1шх групп. В книге Г.Биркгофа [16] била поставлена

если О - разрешимая группа, у> - решеточный изоыор-£«35£ О г то будет да ^разрешимой группой? Как отмочено, по- ' ¿.о,.а/:ельноо решение это!! проблеш для конечных групп получили М„Сукзуки и Г.Цанпа в 1951 году. Однако, оцапка стухший разре-:::лг,ссги группы О? в зависимости от ступени разрешимости группу С? лш не бшш получена. А.С.Пекелис (1956г.) и Б.И.Плоткин (2957г.) доказали, что если О - разрешимая Д? - группа

(¿»д>,к,о) > то соответственно, разрешимая Д/ -группа,, .«лалогичное утверждение для разрешимых непериодических Д, г /]. - групп доказала А.С.Пеколис (1960г.). При этом разрепш-Ас - группы {¿=> ^5} - это разрешимые группы с не-;<ог\;?ими условия?.® конечности, выделенные А.И.Мальцевым (1951г.). Конечный рациональный ряд при решеточных изоморфизмах отобра-тзтея в конечный рациональный ряд (А.С.Пекелис, 1956г.).

Полное решение проблемы 40 Виркгофа приводится в глава I диссертации. Доказывается, что разрешимая группа в при любом ргн.эточноы изоморфизме У ртобрахается в разрешимую группу. Доказывается такяе, что существует верхняя граница ступени разрешимости групш С9*, которая зависит только от ступени разрешимости группы С . А именно, если С - п - ступенно разра-шш.'ля группа, то О*- не более, чем + -8п.) - ступен-

но разрешимая группа. Если £ - периодическая группа, то , не более,чем (12п*-8п)~ ступешю разрешимая группа.

Глава I состоит из трех параграфов, В §Г рассматривается ряд свойств конечных модулярных /> - групп, то есть таких конечных р - групп решетка подгрупп которых удовлетворяет модулярному закону. Известно, что если С - конечная модулярная Р - группа, то , где А/ -абелев нормальный дели-

тель ¿г и для некоторого натурального числа J и для каждого с*л/ ^ай^Л/Р*, -под-

группа , порожденная всеми элементами t^ порядка где. т = [- целая часть числа при условии, чч- р'£

- наибольший га порядков элементов SßПонятно,, что шщг.ак из подгрупп S'i является характеристической подгруп-

пой G . Имеют место

1Щ 2. Если G- - конечная модулярная р - группа,, S'/S?. - циклическая группа ц в фактор-группах G/s, и найдется,, по крайней мере, по одному элементу поряд:са ,

где рт - наибольший из порядков элементов %

ЛЕММА 4. Пусть С - конечная модулярная р - группа„ Нл G , рт- наибольший из порядков элементов И » Если i."- -тор-группа содержит, по крайней ¡яара0 один элемент порядка р2т-1 „то И ~ абелева группа.

Эти два леммы обеспечивает для любого решеточного иес^оу-фазма f группы G , в случае, если ,8/^ „ коьт-г'-

тативность групп S/, Ji/S/' к <?//$/ » что существе-н.:-используется в доказательстве леммы 8 главы I.

В §2 дается оценка ступени разрешимости группы С^ъ зависимости от ступени разрешимости группы О для случая rcv: - >• ной группы G „ Основную роль при этом-играет исследований ^задаточных изоморфизмов конечных р - груш, Так, напримерс епэ-от место следующие свойства решеточных изоморфизмов конечиет: р - групп,

ЛБША 6. Пусть ö~H(&\ --конечная р - группа„ - подгруппа а совпадающая с пересечением всзх групп, сопряженных с И* в Q'? 0 Еслн /? с- & &И а £ -кгазинормальная подгруппа о , В частности,

ЛЕША 7. Пусть . конечная р - группа» И ■

абелев нормальный делителв $ 0 пересечение всех подгрупп, ит-пряженных о Нр в £'*есть единичная подгруппа. Тогда не более а чем Ц - ступенно разрешимая Г£ршэ<> ■ . " ■ шш 8 о Пусть Q-H(ü} - гаечная . - группа, / :

ступенпо разрешимый кормаяьпнй делитель (? а пересг--::--шэ всех подгрупп^ сопрягеяных с //4,? в асгь сдпшп:-.-: подгруппа. Тогда аз более чем (S^n-SQ) - ступени.) .;••:-•-реяшшя группа.

Л0Щ 9в Пусть G - конечная п ~ отупвшо разр^гжзл р ~ группа 9 Д/ ~ коммутант . Тогда на болев чем

Ща-20) -й последовательный когдлутант группы С? содержится

Л е

Доказательство леммы 9 без труда свопгтся к лешам 6 и 8« : лЬгвитольно, фактор-группа 4// разлагается в прямое про--с^г-дешю цигаичесгаис подгрупп » Пусть

- одна из этих циклических подгрупп, а ^¿(ц ~ - лодгруппа, равная произведению всех остальных подгрупп. Оче-эудао0 что ^/^Д, • Обозначим че-

роэ пересечение всех подгрупп, сопряженных с /-!? в С^ По лйлмэ 6, в . Фактор-группы и реше-

яслно изоморфны я для них выполняются все условия леммы 8. ¿Цздоватальпо, - й последовательны!! коммутант груд-

ги О* содержится в ^ , значит, и в Н* ив Ц^ .

Примерно по такой да схема доказывается

ТЕОРЕМА I. Если О - конечная п - ступенно разрешимая группа, V - индекс - сохраняющий решеточный изоморфизм ¿? » тэ - не более, чем (¡Зкг-8/г-2) - ступенно разрешимая группа.

Если учесть, что для любого решеточного изоморфизма 9 коночной группы й существует такой нормальный делитель И группы г? 4 что И^0-? ~ 119 более, чем двуступенно

разрешимая группа ц ва И изоморфизм 9 сохраняет индекс ( £5] теорема II главк Пв стр. 81), то сразу же заключаем, что справедлива

ТЕОРЕМА 2. Есла £ - конечная п -ступенно разрешимая группа, то О?- не более, чт У2/г2-8п}- ступенно разрешимая группа,

В §3 главы I рассматриваются решеточные изоморфизмы бесконечных, в частности, непериодических разрешимых групп.

ТЕОРЕМА 3, Если О - периодическая П - ступенно разрешимая группа, то не более, чем ' (/¿пг-8п) - ступенно разрешимая группа.

Действительно,

С* является локально конечной группой вместе с группой $ , По теореме 2, каждая её конечная под -груша не более, чем №пг~8п) - ступенно. разрешимая группа. Этим же свойством обладает и сама группа С^.

Следующая леша представляет самостоятельный интерес.

ЛЕША 10, Если 0 - п - ступенно разрешимая группа,

// - подгруппа без кручения, лекащая в центре О и -

периодическая группа, то не более, чем (п*1) -ступс^ .о разрешимая группа,

ЖГА II. Если & - абелев без кручения нормально д.зк$~ •гель группа О , <?/$ -непериодическая и У/В, - подгруглз, пороченная всеми элементами бесконочного порядка фактор --группы . то В^У?

ТЕ0РЕ.1А 4. Если О - п ~ ступенно разрешимая группа., то

- не более, чем ступенно разреик;гл

группа,

В глава П приводится пример двух разрешимых групп бе?, кручения решеточно изоморфных, но не изоморфных. Этим сааым опровергается известная гипотеза о том, что группа без крутэ-ния содержащая, по крайней мере, две бесконечные циклические подгруппы с единичным пересечением, определяется решеткой кед-групп (см., например, пункт 17,1 в обзоре £71 ).

Пусть группа С =(и, Т, ё) , где ¿,/>М - добыв целые числа, задается следувдими определяющими соотношениями:

I. [и,и~]« си,* [2Г, /,

2» Элемент $ - перестановочен со всеш образующими

3. Дм любых ¿,¿>¡1 ггЦк&'а = Всд-кЖз гР^а^ & = 0-1/(НИ).

4, Тогда и только тогда <%*//= £ с где

йла , когда существуют натуральные числа пг^йг: н

целое число 8 такие, что выполняются условия: г С{ -1* ¿ГШт/.*™)

/п>$£ , к>М шш условия*. в .

у - $~{п! ъп}

< тй%(т, /г) & 4){ В остальных случаях /

Подгруппу $ , порожденную всеми элементами аг=чим через А . Нетрудно убедиться» что А<з G и фактор ~ группа является прямым произведенном трех бесконечных

циклических подгрупп, порожденных смежными классами uAj v~A, ■?ср/} » Поэтому любой элемент ^с tf можно единственным образом записать в виде р - и^у-йигГа , где d, &,f - целые числа и Cic-A . Пусть аналогичная запись для есть = ъ '¿df vAwfHii • На множество элементов группы О- зададим бвнарную операцию о , полагая

9*91* 99

Легко проверяется» что относительна этой операции множество элементов й такно образует группу, которую будем обозначать G . Элемент, обозначенный в груше О как д , в группе С будем обозначать р> .

В группе G возьмём подгруппу

Н ~ (и ат at,, v, ж, а003 S),

а группе С - подгруппу _

Н -< иа^о V, а** , В).

Группы И и Н я являются rpynnai.ni решеточно изоыоррны-esj но не азоморфшши.

Заметим, что группа С является центральным расширением бесконечной циклической группы с помощью группы, которая является сплетением бесконечной циклической группы с прямым произведением трех бесконечных цшшнмских подгрупп. Поэтому Q ~ -линейно упорядочиваемая группа. Следовательно, и // - линейно упорядочиваемая группа. Больше того, существует такое изоморфное отображение -LW) на L(H) при котором образ коммутанта любой подгруппы является коммутантом образа этой подгруппы.

Множество всех смежных классов группы по всем ее подгруппам относительно порядка по включению образует решетку - ре -шётку смежных классов группы. Заметим, что из изоморфизма решеток смежных классов групп G и следует изоморфизм решеток L(G) и Цй{). Для групп Я и И решетки смежных классов изоморфны. Таким образом, изоморфизм решеток смежных классов также не обеспечивает изоморфизма разрешимых групп бег кручения.

Г'руппы И и И Представляют пример, дающий отрицательный ответ н на вопрос о том, не определяется ли решеткой аод-

груш группа, которая является расширением группы В с пспо-щьв группы А при условии, что какдым решеточный изомор'5/'.гл как группы В , так и группы А индуцируется групповым изоморфизмом. (См, пункт 37«6, с. 152 из [7} )

Другие примеры не изоморфных групп без кручения (не ив разрешимых) с изоморфными решетками подгрупп доставляют известные примеры групп без кручения с единичным пересечением двух любых различных максимальных циклических подгрупп, построенные А.Ю.Олыпанскпм.

В §§ 1-5 главы Ш формулируются некоторые общие творэгл об определяомости группы решеткой подгрупп, которые в §§ Г-8 применяются для доказательства решеточной определяемое иг групп некоторых классов.

Прягэлем некоторые определения. Пусть С У) , Р - Р&-шеточный изоморфизм группы . Если существует взаимно <:рпо~ значкое отобраяеше / множества У в группу таког. что для некоторого натурального числа п , для любых йпа.:,.,} ап>у-еУ а любых целых чисел и>>..,, выполняется гг. -венетво;

то будем называть / базисным отображением V относительно

'/ веса п . Если это равенство выполняется для любого натурального п , то будем называть / базисным отображением V относительно ¥ неограниченного веса.

Обозначим через ^ пересечение нормализаторов всех чоских подгрупп, образую^ которых сопряжены с элешшж яз V . Исходные соображения» на которых основаны резул^таш главы И, выражает следующая

ТЕОРЕМА I« Пусть ? - решеточный изоморфизм группа О-(V} к существует базисное отображение / множества V относительно ¥ неограниченного воса. Тогда фактор-грг--:" П изоморфны. "}

Ч Наличие в автореферате различных теорем (лемм) с одинаковыми номерами не доляно приводить к недоразумения!/,, госкальку такие теоремы (ле!ш) относятся к разный глава.; диссертации, а изложение содерзкания диссертации в автора^-, разведется по главам.

Понятно, что если при условиях теоромы п Syf^E,

:-.) группы & и изоморфны.

Пусть G- = (V) и для любого решеточного изоморфизма V : ■ .;лги G существует базисное отобрат.енке множества V относительно У> веса п. (неограниченного воса). Тогда V будем клевать базисом веса п (неограниченного веса) группы G .

Для получешш результатов главы Г! принципиальным является ío обстоятельство, что при некоторых условиях из того, что V - базке веса Л следует, что V является базисом неограниченного веса. Эти условия сформулированы в теореме 3, которая вместе с теоремой 4 явдяотся основой для приложений.

ТЕОРЕМА 3. Пусть У - базис веса 2 группы С для которого выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

1) для любого ту £\//({гг»)-£>

2) для любого ve У либо ¡щ есть простое число, либо т^оо и v<f£Z(ü)

То: да любое базисное отображение V веса ¿ является базисным отображением V неограниченного веса. -

ТЕОРЕМА 4. Пусть V - базис веса 2 группы G , причем для любого Vt V либо ivj есть простое число, либо /V--'/— 00 . Если Z(0)-E , то G определяется решеткой подгрупп.

При доказательстве теоремы 4, помимо теорем I и 3,ио -пользуются леммы 5 и 6:

ЛЕША 5. Если О - (У) , </> - решеточный изоморфизм О, f - базисное отображение Y относительно ? неограничешюго веса, то Sy^E тогда и только тогда, когда Syf ~ Е.

ЛЕША 6. Если Q ~ (у} и порядок каждого элемента из V басконечен или является простым числом, то Z(O)-Е тогда и только тогда, когда Sy<=E •

Имеет место локальная теорема о базисных отображениях относительно заданного решеточного изоморфизма группы.

TE0PH.IA 5. Пусть V - система образующих элементов группы G- , 9 - решеточный изоморфизм (j , т - натуральное число, Ц-{)/», ¡peX J/ /y¿ J¿ oo) - MHosecTBo конечных подмножеств у , причем выполняются условия:

I) для любого V найдется Vjg, е Н такое, что &

2) если »то найдется такое, «ко

И УГ&УГ .

Тогда, если для любого существует базисное отобр?и;о~

ние Ур относительно <Р веса т (неограниченного веса), то существует базисное отображение множества V относительно Ф веса т. (неограниченного веса).

Однако, справедливо более сильное утверждение. Преж~о: чем его сформулировать, договорился, если И - некоторое множество, 3 - натуральное число, через обозначать гио-жество всех таких подмножеств V , каждое из которых состой? из 5 попарно различных элементов множества V .

ТЕОРЕДА 6. Пусть V - система образующих группы б , ¥ - решеточный изоморфизм С , т » ^ » $ - натуральна' числа, 1>ту 1У{г>{>$>£ , для любого & а

любого £ ^(У) каждое из и обознгтачг

некоторое множество базисных отображений, соответственно; '.О. и относительно Ф веса т и при этом выполняются следующие условия;

1) для любого

2} для любого £ Иц(У) ..любого - зс-

ЛК У5 й , // - сужение $ на & , то //<&£$,)

3> если Щ , то для лкбого

йГ«^ такого, что Тогда существует базисное отображение { множества V относительно веса пг ,

Эту теорему мы также будем называть локальной теорией*

Имеет место также аппроксимационная теорема. Для с' формулировки нам понадобится понятие избирательного филътрь» Пусть V - система образующих элементов группы £ . ИзсЬоа -тельным фильтром для множества V в группе С будем нвгывагь любое множество Р нормальных делителей группы & для гя/гэро~ го выполняются условия;

X) вот ИНИ? ¿Р , то найдется Й^р такой, чти

2) для любого У найдется такой, что

3) для любых и любого сенайдется А*/-'

ТЕОРЗЛА 7« Пусть V - система образующих группы О- , Р - избирательный фильтр для V в груше О , - решточный ■ зо:/,орфизм группы О- и выполняются следующие условия:

1) для любого И^Р Н^^О?

2) для любого Исуществует базисное отображение ¿¡оса т (неограниченного веса) множества /У~Н/ V} в (фактор-группу ^ относительно решеточного изоморфизма

й-на » индуцируемого решеточным изоморфиз-

мом ф .

Тогда существует базисное отображение веса т (неограниченного пзса) множества У относительно У .

Применяя локальную теорему (теорему 6)

и теорему 4, не*»

трудно доказать, что справедлива

ТЕОР£Ж 8. Пусть V - множество образующих группы в , .':•/•; 3 ь для любого гъ/М* °° и, если

¿2$ - попарно различные элементы из V , то вы':./ 'няется одно из условий:

1) ) - свободная, но не циклическая группа;

2) {А) - нйльпотентная, но не циклическая, группа без кручения*...

'3} \А) ~ двуступенно нйльпотентная группа, содержащая Йлуступенно ншгьпотентную подгруппу без кручения;

А) (А) - свободная полинильпотентная, но не циклическая 5?£'уппа|

¡5) (Л) - не циклическая группа и любые её два элемента йброздаюг свободную группу,

Тогда V является базисом неограниченного веса группы О . Если КС)~Е, то $ определяется решеткой подгрупп, С использованием этой теоремы легко доказывается ТЕОРЕМА 9. Пусть группа (г задана образующими <2/) ¿1е>¿?Л и одним соотношением чг- { ыеяду ниш. Ее™ •яй « слово ИХ циклически несократимо и содералг нэ

менее трех различных образующих элементов, то О- определяется решеткой подгрупп. Имеет место такав

ТЕОРЕМА 10, Пусть У « система образующих группы 0 ,

для любого гге И, з для любых а, ггё К

/аг"!€{/■<?,£<>} . Если каждый решеточный изоморфизм группы сохраняет индекс и £(С)=Е » то <5 определяется решеткой подгрупп.

Заметим, что класс групп, удовлетворяющее условиям этой герреш, достаточно впрок. В него входят, например, знакопеременные и симметрические группы степени , каждая из групп, персчлслоннцх в заключении теоремы 2,69 из Г17] , простая группа , и шюгие другие группы.

Хотя реаеточпый изоморфизм <Р двуступанно нояьпотеитной группы простого периода, вообще говоря, не индуцируется групповым изоморфизмом, следующая теорема показывает, что существует взаимно однозначное отображение О на С^ , индуцирующее ¥ и близкое, в некотором смысле, к изоморфизму.

ТЕОРЕМА II. Пусть О - двуступенно ншгьпотентная группа простого периода р , /0/^р^ . Тогда для любого раиеточного изоморфизма Р группы О существует, взаимно однозначное отображение / группы ¿г на ¿г^ такое, что

1. на каждой абелевой подгруппе Н из О / есть изоморфизм, индуцирующий ¥ на И ,

2. для любых и, (и -

3. для любого подмножества ¡/й£ f является базисным отображением V относительно У неограниченного веса.

Эта теорема используется при доказательстве утверадения о том, что решеткой подгрупп определяются некоторые матричные группы.

Пусть к - ассоциативное кольцо с единицей. Единицу кольца будем обозначать / , О - нуль кольца X? . Через е обозначим единичную матрицу порядка П над кольцом Я , через Ру - матрицу порядка П , содержащую / в клетке (с^) а I? в остальных клетках. Матрицу ¿¿/(¿) ~ £ + , где и е Я будем называть трансвекцией. Через £Ц.п($) будем обозначать группу, порожденную всеми трансвекциями над кольцом Я .

Пусть М1 - система образующих элементов аддитивной группы кольца Я , . Положим Тй-ЩШхьМ1}>

и^РфЪз,-,^}, [ъ„ъ„~, ъ»}, Ту б ¿/ид}.

Иэ лемш 12, формулировку-которой мы не приводим, следует, в частности, что для-любах г?,. 35К» К группа

//= " шщьпотентная-ступени не больше 3-х и для

любых <гъ,г%)/*Нг~Е , где Нг = 1Н',Н1.

Это утЕор-тдонпе, гик легко вплоть, означает, что множество, состоящее из единственного нормального делителя , образует избирательный фпльтр для множества {Ъ, в группе

И . Зто обстоятельство позволяет, если -

- простое число и И - некоммутативная группа, воспользоваться аппроксимационяой теоремой (теорема 7) и теоремой II для доказательства существования базисного отображения веса Я тожества- {¡V}., Щ,относительно любого решеточного изоморфизма- группы- Н: * Примерно такое же рассуждение проходит и в более- общем случае» когда порядки всех элементов бесконечны или является простыми числами. Поэтому, если порядок каждого элемента из К бесконечен или если порядок каждого элемента из V есть простое число, то для люЗях Щ& Ч существует базисное отображение веса <? множества Щ} относительно любого решеточного изоморфизма группы ££.я(£)- » Воспользовавшись локальной теоремой б при * получим, что существует базисное отображение веса £ множества V относительно любого решеточного изоморфизма группы Лемма 13 диссертации утверждает, что при Я» 4г Е1п(Я) т (V) » Таким образом, V - базис веса Л . Так как 2(Е1пШ)~Е при , то, по теореме 4, получаем, что группа ЕСа(Я) над кольцом й , аддитивная группа которого порождается элементами бесконечного или простого порядка при определяется решеткой подгрупп (теоремы 12 й 14).

В главе 17 доказывается справедливость гипотезы о том, что каждый решеточный изоморфизм смешанной й -ступеано ниль-потентной группы, оодеркащей в качестве подгруппы свободную (% - ступенно нильпотентную группу, индуцируется групповым изоморфизмом (см.' ОД , с. 142; пункт 2.3). Этот результат содержится в теореме 2 из §2. В доказательства теоремы 2 важную роль играют теорема I* в которой сфорыуяироварг некоторые достаточные условия, при которых каждый решеточный изоморфизм

сметанной нильпотснтной группы ¿индуцируется групповшл НЗСМОр-физмом, и лоша 7.

ТЕСРВ.1А I. Пусть О - нилъпстентная группа и для л-обых С наЦяутся такие, что будут выполняться усло-

вия:

1) (и, у У - группа без кручения и (г/} о (-¡т)=В,

2) для каждого из значении Х-£ или х= а6 (и, - группа без кручения или (и, Г,х}-<илг)

3) {ий,ёУ} - группа без кручения.

Тогда лпбой решеточный изоморфизм группы О индуцируется групповым изоморфизмом,

ЛЕША 7. Пусть О - и - ступенно нильпотентная групппа, а,и,1Г€ О- , (и, V) - свсоодная П -ступенно нильпотентная группа. Тогда при всех достаточно больших натуральных группы (иг£, являются свободными п. - сгупен-

чо нильиотентнши группами.

Б §3 показывается, что всякую п - ступенно нильпетентную группу без кручения с двумя образующими, не являющуюся свободной /г - ступенно нильпотентной группой, мо:лю влоанть в качества подгруппы в смешанную П - ступенно нильпотентную группу, обладающую решточним изоморфизмом, не индуцирующимся групповым изоморфизмом.

При получении результатов главы 1У используются различные сво!{ства базисных коммутаторов.

В главе У на языке теории решеток сформулировшш условия, при которых ресетка изоморфна решетка подгрупп некоторой группы. Этим самым решена задача, поставленная в С5] (§12 главы П, с. 97) о формулировке таких условий.

Пусть I. - полная решетка, О - нуль, / - единица I . Для обозначения порядка, суммы и произведения элементов а, £ решетка будем использовать, соответственно, символы

а& , употребляя символы и} о в теоретико-множественном смысле. Если , то ЕМ обозначает сумму всех элемен-

тов из М ,

Элемент 01*1. назовем, следуя Б.П.Плоткину, циклическим, если интервал й/о -дистр:. Зутивная решетка с условием максимальности, Такое определение связано с тем, что если И -под-

группа группы , то // гаушотся циклической подгруппой тог-па и только тогда, тгда Н - циклический элемент в решетке подгрупп группы С . Это легко следует из результатов работы

[4] , Множество всех циклических элементов решетки ¿. обозначим С (О или просто С . Если О, С , то полот;

а»8 = /аг/хе С/ ос+а = = а*6} Если С„ 4 £ С , то

С О С* «г^/й-е ге 4/

В частности, если 4 (или ) состоят из одного элемента # , то будем писать ¿?<> 4 Ь Пуоть

е„ (I)

- система ненулевых циклических элементов решетки С , а? О.

С и £ (¿-^З-■■■> 1) . Если каждое подмно-

жество /¡с состоит в точности из двух элементов и для любых а с е А^, О/' ? Л/ выполняется условие %

.то << - назовем ком-

плексом, определяемым элементам <? д рисуемой элементов (I)» Комплексом, определяемым 0 и сша?едай (I) назовем £- (¿и им

Множество всех комплексов , отоэдедяемюс элементом а и системой (I), будем обозначать Щ

Если &о■> (<}) ? то полагаем, по оп-

ределению, тогда и тецгько когда

Через обозначил множество всех комплексов для которых найдутся С такие, что Н(а,(*)),

и % ° о/ л Ас гф (. Назовем множество ¿А произведением комплексов с4 шл . .

Некоторые достаточные условия при которых решетка изоморфна решетке подгрупп какой-либо группы выражает

ТЕОРЕМА I. Решетка £ изоморфна решетке подгрупп некоторой группы, бели £ - полная решетка, каядый её элемент есть суша некоторого множества циклических элементов и существует, по крайней мере, одна система элементов (I) для которой выполняются следующие условия?

Ï. Для каядого , a.<fO , существуют в точности

два комплекса» определяемые элементом Ct п системой il).

2. Если (Л*,А*,..;Ал), ¿'*(Af',Ai>->A'n) и ,

з то ес-°А'л Ai°ej

3. Если ô£tt{â, M) il у=/3 ,

4. Для любых {■/)), множество состоит из одного и только одного комплекса.

5. фш любых комплексов , определяемых некоторыми элемента^! из п системой (I),

6. Если Cf^C » , и <¿¿/¿(<2,0) , то найдется коночное множество комплексов „¿w5^ —>j$,n определяемых некоторыми элементам:: из С и системой (1)„ таких, что ■

Згмотим, что при выполнении условий теоремы множество ■ комплексов, определяемых всеми циклическими элемента!® решетки L я системой (1)„ образует группу M относительно алгебраической операции, задаваемой условием 4. теоремы. Роль единицы при этом играет комплекс ê , ассоциативность операции и существование обратного элемента обеспечивается, соответственно, условиями 5 и 2 теоремы. Решетка подгрупп группы M и будет изоморфна решетке L .

Группу, в которой любые 2 элемента пороздают свободную группу, назовем 2-свободяоЙ группой,

ТЕОРША 2. Решетка подгрупп 2-свободной некоммутативной группы удо&летворяот условиям теоремы I.

Из этой теоремы следует, очевидно, что решетка подгрупп свободной группы ранга удовлетворяет условиям теоре-

Ш I.

В ходе доказательства теоремы 2 особым образом выбирается система циклических элементов (I). Именно» пусть — ...jfye 0(1) , причем е^е^о при Н+ЪСлсбе*(¿*Mj 2,,..,/>), ftfpfy при ¿+J . При Р**") тъкУУ мы и получаем нужную систему циклических элементов:

Решетку L назовем, следуя Л.Г.Контороничу и Б.И.Плотки-ну, решеткой без кручения, ^¿т для любого U&L „ и* о, . интервал % бесконечен. В теореме 3 приводится решеточная

хараптйризацпя свободно!: группы ранга .

ТЕСРЕ.1А 3. Группа С является свободной группой ранга тогда и том,по тогда, когда ¿(С) удовлетворяет следующим условиям:

1. ЦО) оголяется но дистрибутивной решеткой без кручения.

2. Если (й)> и (ё) не являются подгруппа!® одной и той же циклической группы и (с/)б <а)о{в) , то (с?) /10} =

3. Существует, по крайней мере, одпа система циклических элементов решетки ЦО) вида (2) при

4. Существует множество $ цшстшчэских элементов решетки Ц(г) такое, что <§ГИ, если Спе

обязательно, чтобы ? {ф} при ¿У/ )„ & (£/)

<4> *<&/>/ ¿¿¿ШъЬ®) . » (...((¿<Ф £ •

Б теореме 4 дается решеточная характеризацая нормального делителя 2-рйободной группы»

ТЕ0РК,!А 4, Если - некоммутативная 2-свободная группа, ¿£¿(0) , то тогда и только тогда, когда для любых циклических элементов, 4 ё,с $¿{0 таких, что

выполняется условие С .

Назовем решетку £ , удовлетворяющую условиям теоргл I и 3» свободно-групповой решеткой,

ТШРША 5. Решетка I. тогда и только тогда изоморфна ре Щётка подгрупп свободной группы ранга £г>£ , когда она явля ется свободно-Групповой решеткой»

Действительно, если I -свободно-групповая решетка, то С выполняются условия теоремы I и, следовательно, /изоморфна решетке подгрупп некоторой группы С , А из того, чте I. удовлетворяет условиям теоремы 3 следует, что -свободная группа ранга %■»£ . Обратно, решетка подгрупп свободно! группы ранга , по теоремам 2 и 3, является свободно-групповой решеткой.

Элемент свободно-групповой решетки ¿, ¡, удовлетворяют условиям теоремы 4, назовем нормальным элемент« решетки <£

Учитывая, что всякая группа лзоморТла йактор-грушга некоторой свободно!5, группы ранга f , приходим к основному результату главы У:

Решетка тогда а только тогда нзсморЪна ре&еткэ подгрупп какой-либо группы, когда она изоморфна интернату . где / -одинаца, а У - нормальный элемент некоторой свободно-групповой решетка. *

В качестве попутного результата исследован:"^ главы У получена

TE0PIÍ.1A 7. КаздшК решеточный изоморфизм нексм.'.-утативной 2-СВОбОДНОГ. группы индуцируется групповым нзолор^йзмем и притом ТОЛЬКО ОДНИ.!.

CII1JCCK JiUTEPAT.TU

I. коШandei А■ Ko-ihuTels det Exlfíe/is /¿¿cAé- ¿so-moipáet Gtuppea iron qieícAet £Uua.í¿on dex ¿¿ziet-ertappen.- ¡¡Mciíh. 2. - - &c¿. £3.- S. ¿V- ßSi-

Z.ßaetß. T.íe ¡¿gnifíccuice о/ ¿íe softem of qzoupi /oí ¿ke ¿éxucluze ¿íe Qtato. //.4met. Malí. -¿Vi - A f-M.

Ъ.Оге O. tuet ate? and дгоир ¿keoty, I. //fiu& MaéL % - Ve>¿. 3. ~p. M9- /?3-

4. Ote O. ¿¿xuctute? and $ ta u/o líet>iy, 1. '¡Sute Mató.

- Í9íñ. - Vo6. ¿ -А Ш-2$9.

5. Судзуки tí. Строение группы и строение структуры её подгрупп. - 1.1.: ИЯ, I960.

6. Конторович П.Г., Пекзлис A.C., Старостин А.И. Структурное вопросы теории групп. // Учен.зап. Уральского гос. ун-та. -I96I.-T. 3, Н. -С, 3-50.

7. Садовский Л.Е. Некоторые теоретико-структурные вопросы теории групп. // Успехи тт.наук. - IS68. -Т.23. -Вып. 3.

- С. 123 - 157.

8. Ардшнов М.Н., Садовский I.E. Некоторые теорэтико--структурные свойства групп и полугрупп. // Успехи мат.наук.

- 1972. -Т. 27. -Вып. 6. - С. 139 - ICO.

9¿ Курош А.Г. Теория групп. -М. : Наука, 1967.

10. Холл М. Теория групп. - Ы. : ИЛ, 1962.

11. Ечотиш Б,И. Обобщенные разрешимые и обобщенные нллъ-потентнне группы. // Успехи мат.наук. - 1958. -Т. 13, -Вып.4.

- С. 89 - 172.

12. Шмельюш А,Л. Абстрактная теория бесконечных групп. // Алгебра (Итоги науки и тех. ВИШПИ АН СССР), -И., Г964,

- С. 47 - 82.

13. Каргаполов М.й., Мерзляков Ю.И. Бесконечные группы. // Алгебра. Топология. Геометрия ( Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). -И., 1966. - С. 57 - 90.

14. Плоткин Б.И, Общая теория групп» // Алгебра, Топология. Геометрия, 1970 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ ЛН СССР),

- М., 1971. - С. 5 - 73»

15. Кондратьев А.С., Махнев А.А»', Старостин-А.И. Конечные группы. // Алгебра. Топология. Геометрия, -Т. 24 (Итоги науки и техн. В1ИИГИ АН СССР), 1986. - С. 3 - 120,

16. Биркгоф Г. Теория структур. -í,5. j ИЛ, 1952.

17« Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в ю: классификацию» -М. :Мар, 1985.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕШ ДИССЕРТА1ДО1

18". Яковлев Б.В. Решеточные изоморфизмы разрешимых групп. // Алгебра а логика* -1970. -Т. 9, J3 3. -С. 349 - 369,

19. Яковлев Б.В. Об условиях» при которых решетка изоморфна решетке подгрупп группы» // Алгебра и логика» -19,4«

- Т." 13, Кб. - С. 694 - 712,

20» Яковлев Б.В. Пример решеточно изоморфных, но на по» морфных разрешимых групп баз кручения. // Алгебра и логика. -.1975. -T.I4, М. -С. 456-484'„

21» Яковлев Б.В» 0 решеточной определяекости матричных и некоторых других групп« // Алгебра и логика. - 1986« -Т.25, Je 6. -С. 696 - 744;

22. Яковлев БрВ, Структурные изоморфизмы периодичоепп: разрешимых групп, // Ш Всесоюзный коллоквиум по общей алго» ерз» Резюме сообщений ir докладов* -Ркгаг 29S7» -С* 146.

23« Яковлев Б.В» Структурные Изшорфизш разрешимых групп. // Десятый Всесоюзный алгебраический коялоквиум. Ре-зкме сообщений и докладов"» - Новосибирске 1969, -ТД.—£¿357

24» Яковлев Б.В. Решеточная характеристика нормальных • делителей локально свободной группы.// ХП Всесоюзный алгебраический коллоквиум. Тезисы сообщения» тетрадь I, - Свердловск; 1973; -С, 70,

25. Яковлев Б.В, Структурные изоморфизмы смешанных ниль-потентных групп. // Вестн. Сер.1. Математика» механика,

- 1979. - «И. - С.97.

26. Яковлев Б.В» Решеточные нзоглорфизш смешанных шиъ-погентных групп. // УЗ Всесоюзная алгебраическая конференция (3 ~ 6 июля 1979г.). Тезисы докладов, часть первая. - Красноярск: Красноярский госуниверситет. - 1979. -С. 189.

27. Яковлев Б.В. О решеточной определяемое«! специальных линейных групп над кольцом. // Ш1 Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений» часть 2. -Кишинев, 1985.

- С. 305.

28. Яковлев Б.В, Решеточные изоморфизмы некоторых групп, поровдешшх инволэдияш, // IX Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезпсы докладов. »Киев, 1978. -С, 72.

29. Яковлев Б.В, Решеточные изоморфизмы групп о одним определяющим соотношение!!!. // УШ Всесоюзный симпозиум по теории групп, Сумы, 25 - 27 мая 1982 г. Тезисы докладов, Киев, IS82, - С. 145.

30, Яковлев Б.В. Решеточная определяешеть групп одного класса. II Всесоюзный сишозиум по теории групп. (Москва,

18 - 20 сентября 1984г.). Тезисы докладов. -М., 1984. -С. 256257.

Подписано к почата 16.03.1988 г. Ш 08181 Формат бумага 60x84 1/Е6 Объем 1,5 п.я. 1,25 уч.-®зд.л. ?аказ 103 _Тираа 100 ека.

Отпечатано на ротапринте ЙМ СО АН СССР 630090, Новосибирск, 80, Университетский др., 4.