К теории извлечения корней в некоторых классах групп без кручения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОПРЕЩЕЛЕНИЯ. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ.

ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

§ I. Основные определения и понятия.

§ 2. Необходимые сведения

§ 3. Конечные расширения R-групп

ГЛАВА II. РАЗРЕШИМЫЕ R -ГРУППЫ

КОНЕЧНОГО РАНГА

§ 4. Основные теоремы

§ 5. Описание разрешимых R-групп конечного ранга. Примеры

§ 6. О пополнении разрешимых R -групп конечного ранга

ГЛАВА III. РАЗРЕШИМЫЕ МАТРИЧНЫЕ R -ГРУППЫ

§ 7. Треугольные R -группы.

§ 8. Пополнение подгрупп конечного индекса

Группа С называется -группой, полной группой, Ф-группой если в ней уравнение имеет соответственно не более одного, не менее одного и в точности одно решение

28].

Изучение различных классов -групп, пополнений групп, вложение -групп в -группы, а также изучение -групп являются различными сторонами теории извлечения корней -важной части теории групп без кручения. Понятие -группы было введено И.Г.Конторовичем [1,2]. Однако началом теории р?-гру1т следует, по-видимому, считать теорию нильпотентных групп без кручения, в которой центральное место занимает мальцевская теория извлечения корней. В классической работе А.И,Мальцева [3] важную роль сыграл тот факт, что произвольная локально нильпо-тентная группа без кручения является Р-группой, т.е. в ней извлечение корня натуральной степени является однозначной, хотя и не всегда определенной операцией. Следующая теорема Мальцева является основной во всей теории нильпотентных групп без кручения.

Всякая локально нильпотентная группа без кручения С? может быть вложена в полную локально нилъпотентную группу без кручения, любой элемент пополнения группы 6г , возведенный в некоторую натуральную степень, попадает в 6г . Если и

Сгд - два пополнения группы бг , то между ними существует изоморфизм, притом единственный, продолжающий произвольный автоморфизм У группы Сг .

А.И.Мальцев доказал эту теорему при помощи аппарата теории групп и алгебр Ли. Попытки доказать эту теорему чисто алгебраическими методами привели к бурному развитию теории извлечения корней. Новые доказательства и различные обобщении теоремы Мальцева были даны в работах М.Лазара [4], А.Л.Шмелькина [5 7, Г.Баум-слага [б], Ф. Холла Г7] и других авторов. Теорема Мальцева была перенесена и на случай упорядоченных нильпотентных групп (см. С8}). В работах Б.И.Плоткина [9,10] многие результаты, доказанные ранее для локально нильпотентных групп без кручения были перенесены на более широкие классы Р-групп.

Позднее Ю.В.Кузьмин доказал Ги], что произвольная метабе-лева -группа вкладывается в мета б еле ву ¿6 -группу. Пополнение в этом случае, вообще говоря, не однозначно. Проблема о том, вкладывается ли произвольная Я-группа в «б-группу в общей постановке, решается отрицательно. В той же работе Ю.В.Кузьмина построен пример трехступенно разрешимой Р?-группы, которая не вкладывается ни в какую 'зб-группу.

В связи с дальнейшим развитием теории возникла проблема исследования Я -групп, в том или ином смысле близких к нильпо-тентным группам без кручения. Одними из наиболее интересных классов групп, близких к нильпотентным группам без кручения, являются класс полициклических Я-групп и более широкий класс разрешимых 14-групп конечного специального ранга (в смысле Мальцева). Группы конечного специального ранга исследовались в работах многих авторов. Характерной чертой многих работ в этом направлении является использование линейных групп для исследования абстрактных групп. Эта идея А.И.Мальцева наиболее выпукло проявилась в его работе Г127, где он, используя понятие ранга выделил пять классов разрешимых А^-групп и доказал для них ряд фундаментальных теорем. Результаты многих авторов можно отнести к стыку двух теорий: теории извлечения корней и теории групп конечного ранга, Кроме результатов А.И.Мальцева сюда можно отнести, например, результаты В.М.ГЛушкова, Б.И.Плоткина, В.С.Чарина (см. § 2). Основные результаты диссертации также относятся к стыку .этих двух теорий, а именно, к исследованию разрешимых /"?-групп конечного специального ранга.

В диссертации важную роль играет понятие сильно изолированной подгруппы. Сильно изолированные нормальные подгруппы группы

Сг - это в точности ядр гомоморфизмов из группы Сг в группу. Техника исследований основывается на работе с коммутаторами с использованием некоторых специальных квазитождеств, выполняющихся в произвольной Р-группе. Эта техника была развита автором в целях исследования разрешимых Р-групп конечного ранга. Та же техника используется для доказательства теорем о конечных расширениях Я-групп.

В первой главе диссертации приводятся основные определения и понятия, необходимые сведения, а также доказываются некоторые общие утверждения. В первом параграфе доказывается лемма об эквивалентности трех определений -группы через различные системы квазитождеств, которая дает нам основной технический инструмент диссертации. Во втором параграфе для удобства ссылок приводятся формулировки некоторых известных утверждений. В третьем параграфе мы доказываем основные теоремы первой главы о конечных расширениях Ц-групп. Через обозначим множество операторов вида 1+$ + + группы 6г , рассматриваемой как £гоператорная группа, где элемент ^ 0 действует на Сг сопряжением.

Теорема I. Пусть G —группа без кручения, H - её нормальная подгруппа, фактор-группа G/H - периодическая локально разрешимая группа. Для того, чтобы группа GJ- была R-группой необходимо и достаточно, чтобы в подгруппе H не было R^кручения.

Группа G называется $*-группой С R*"*-rpyimoîî), если каящая фактор-группа группы G является R -группой (соответственно каздая фактор-группа подгруппы группы G является R-группои.

Теорема 2. Пусть G - группа без кручения, H - её нормальная подгруппа, G/H - периодическая локально разрешимая группа. Тогда для того, чтобы группа G была -группой достаточно, чтобы всякая изолированная в H нормальная в G подгруппа была R ^-изолирована в H . Отметим, что теорема I примыкает к результатам Б.Неймана-Шепперда о конечных расширениях упорядоченных групп f13J.

Центральное место в диссертации занимает вторая глава, которая посвящена изучению разрешимых R -групп конечного ранга. В четвертом параграфе приводятся основные результаты главы.

В.С.Чарин [14] доказал, что произвольная разрешимая группа без кручения конечного ранга обладает рядом нормальных подгрупп G где

Gr/G, - конечная группа, ÙJU - свободная абелева группа конечного ранга, N - нильпотентная группа конечного ранга. Для R- группы G мы доказываем следующую теорему.

Теорема 3. Произвольная разрешимая R-группа G конечного ранга является расширением нильпотентной группы конечного ранга с помощью свободной абелевой группы конечного ранга.

В.М.Глушковым доказано [19], что локально нильпотентная группа без кручения тогда и только тогда имеет конечный ранг Л , когда она нильпотентна и обладает рациональным рядом длины Л .

Из теоремы 3 вытекает

Следствие I. Локально разрешимая ¡3-группа тогда и только тогда будет иметь конечный ранг Л , когда она разрешила и обладает рациональным рядом длины Г* .

Важным подклассом класса 13-групп является класс групп со строго изолированной единицей [8] или, короче, ^-групп. Проблема о том, совпадают ли классы упорядочиваемых групп и -групп (Г18], вопрос 1.47) в общей постановке решена отрицательно В.В.Блудов[17]). Из теоремы 3 , а также результата В.М.Копытова об упорядочиваемости произвольной 5 -группы, имеющей нильпотент-ный коммутант (см.[8]) вытекает

Следствие 2. Всякая 5-группа, обладающая локальной системой из разрешимых групп конечного ранга, упорядочиваема.

Теорема 4. Пусть (? - разрешимая $-группа, Н - её изолированная нормальная подгруппа конечного ранга. Тогда факторгруппа а/н являе т ся к-группой.

Отсюда получаем, что внутри класса разрешимых групп конечного ранга подклассы к-групп, 13* -групп, (-?**-групп (см. §1) совпадают. В пятом параграфе приводятся необходимые и достаточные условия для того, чтобы разрешимая группа конечного ранга была Я-группой. Рассматривается произвольный центральный ряд нильпотентного радикала Л/ группы £г , состоящий из изолированных подгрупп : N = Мк ^ А/^.у ^ . > Л^ А/0 . Секции этого ряда естественным образом становятся модулями над целочисленным групповым кольцом ыт . Группа и будет группой, тоща и только тогда, когда В = - абелева группа без кручения и в каждом Ж [В]- модуле М[ = N¿-1 , нет

К ^-кручения, где мультипликативная система кольца порожденная элементами вида (Предложение I или, несколько иначе, когда для каждой секции ^с среди собственных значений действия произвольного элемента В на М^' нет нетривиальных корней из I (Предложение 2). В этом же параграфе в качестве иллюстрации приводятся несколько примеров. Существует неупо-рядочиваемая полициклическая К-группа (Пример 2), метабелева

К -группа конечного ранга, не имеющая упорядочиваемой подгруппы конечного индекса (Пример 3). Пример 4 дает отрицательный ответ на вопрос А.Л.Шмелькина, определяет ли "метабелева часть" полициклической группы (х без кручения свойство быть /?-группой ( N - нильпотентный радикал группы Сг ).

В.С Лариным £15] доказано, что полная группа конечного ранга нильпотентна. В частности, разрешимая -группа конечного ранга нильпотентна. Более того, оставаясь в классе разрешимых групп конечного ранга, нельзя " пополнить" ни один элемент, не принадлежащий нильпотентному радикалу. Сам же нильпотентный радикал можно пополнить, оставаясь при этом в классе разрешимых К-групп того же ранга. В шестом параграфе доказывается

Теорема 5. Пусть С - разрешимая /?-группа конечного ранга, N - её нильпотентный радикал. Тогда группа & вкладывается в такую К-группу Сг* » что нильпотентный радикал N*r группы Сг является пополнением подгруппы А/ , и имеют место а) лС = л£* ; б) Л/=уу*/1£ ; в) <?*=£ЛГ ; Г) С/А/.

В этом же параграфе доказывается следующая

Теорема 6. Пусть Сг* - локально разрешимая Д-группа, Сг - её подгруппа конечного ранга, и пусть всякий элемент группы Сг*, возведенный в некоторую натуральную степень, попадает в Сг . Тогда группа Сг имеет конечный ранг, причем а) г(Г= Г 6 ; б) Л/= ЛЛ/1 & ; в, £*/Л/*^С/Л/. где А/* и А/ - нильпотентные радикалы групп £г и £г соответственно.

Согласно теореме В.М.Копытова (см. §2) всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения вкладывается в группу невырожденных матриц степени И, над полем рациональных чисел, при этом нильпотентный радикал представляется унипотентными матрицами. Известно, что если матричная группа над полем характеристики 0 имеет нильпотентный коммутант, который состоит из унипотентных матриц, то группу можно одновременным сопряжением привести к треугольному виду.

Третья глава настоящей диссертации посвящена изучению матричных Р-групп. В седьмом параграфе доказывается

Теорема 7. Пусть группа не тлеет кручения, Д/=

-её унипотентный радикал. Тогда а) группа Сг будет -группой в том и только в том случае, если в Д/ нет /^-кручения. б) группа Сг будет /^-группой в том и только в том случае, если всякая изолированная в А/ нормальная в Сг подгруппа

А^А/ Я6- изолирована в N .

Ввиду сделанных выше замечаний класс разрешимых -групп конечного ранга содержится в классе треугольных -групп конечного ранга. Для описания последнего класса вводится понятие относительной чистой треугольной группы (см. § 7). Оказывается, что всякая относительно чистая треугольная группа является /?-группой (теорема 8). Основным результатом седьмого параграфа является описание разрешимых -групп конечного ранга в терминах треугольных групп:

Теорема 9. Пусть Сг треугольная группа конечного ранга без кручения. Группа С будет -группой в том и только в том случае, если она относительно чиста.

Б восьмом параграфе доказывается, что если тпШ) -группа таких матриц из Т^(к) , У которых диагональные элементы принадлежат некоторой полной подгруппе без кручения Т) мультипликативной группы к. поля А. , то группа Т/г (О, /С) будет - -группой (теорема 10). Применив эту теорему, получаем следующие теоремы.

Теорема II. Конечно порожденная разрешимая матричная группа над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 содержит такую подгруппу Н конечного индекса, которая сопряжена в группе с подгруппой треугольной группы: X'1 Нх «£. Тп[0,к),

Теорема 12. Всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения почти вся является К-группой, вложимой в -группу с нильпотентным коммутантом.

Результаты диссертации докладывались на ХУ1 и ХУП Всесоюзных алгебраических конференциях в Ленинграде (1981г.) и в Минске (1983г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры и на семинаре по теории групп в МГУ. Основная

часть результатов опубликована в работах автора [20 - 23].

Автор выражает глубокую признательность и благодарность профессору А.Л.Шмёлькину, под руководством которого выполнена данная работа, за постановку задач, многократные полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

1. П.Г.Конторович, Группы с базисом расщепления, 1.I, Матем.сб., 22, 1948, с.79-100.

2. П.Г.Конторович, Группы с базисом расщепления, 1У, Матем. сб., 26, 1950, с.311-320.

3. А.И.Мальцев, Нилъпотентные группы без кручения, Изв.АН СССР, т.13, М, с.201-212.

4. JK. Lazard, Sur- Icà цгоир&ь nilpoten~U ei ¿ел ашешзс. de tie, Ann. ZcjoL norm, iupe'r. 195<t, p.lOt-№.

5. А.Л.Шмелькин, Нилъпотентные произведения и нилъпотентные группы без кручения, Сиб.матем.ж., т.З, M, 1962, с.625-640.6. £r. Raumblaû) A (¡mer-aii^odiorri о{ a -theorem, of jUafa*?-, AKt.Maih., 11, №1, p^OS-HS

6. Ф.Холл, Нилъпотентные группы, Матем.сб.переводов, 1968, т.12, с.3-36.

7. А.И.Кокорин, В.М.Копытов, Линейно упорядоченные группы, M., 1972.

8. Б.И.Плоткин, К теории некоммутативных групп без кручения, Матем.сб., 30, 1952, с.197-212.

9. Б.И.Плоткин, К теории разрешимых групп без кручения, Матем.сб., 36, 1955, с.31-38.

10. Ю.В.Кузьмин, Многообразие метабелевых -групп, Изв. АН СССР, сер.матем., т.36, M, 1972, с.765-788.

11. А.И.Мальцев, 0 некоторых классах бесконечных разрешимых групп, Матем,сб., 28, 1951, с.567-588.

12. S.H.Neumcurn, }.А.Н. Shepperd} fmxh wten-Ьопл of ordered or-oupi, Pr-oc. Roy. Soc. ùndori, Ser. A , 239, /957, p. 320-327.

13. В.С.Чарин, 0 разрешимых группах типа , Матем.сб.,52,1960.

14. В.С.Чарин, К теории локально нильпотентных групп, Матем. сб., 29, 1951, с.809-811.

15. В.М.Копытов, 0 матричных группах, Алг.и лог., 1968, т.7, вып.З, с.51-59.

16. В.В.Еяудов, Пример неупорядочиваемой группы со строго изолированной единицей, Алг.и лог., 1972, т.II, вып.6,с.619-632.

17. Коуровская тетрадь, Нерешенные задачи теории групп, Новосибирск, 1980.

18. В.М.Глушков, 0 некоторых вопросах теории нильпотентныхи локально нильпотентных групп без кручения, Матем.сб., 30, 1952, с.79-104.

19. А.Р.Асасян, Разрешимые Я -группы конечного ранга, Вестн.МГУ, 2, 1982, с.72-76.

20. А.Р.Асасян, 0 матричных §6 -группах, в сб. "ХУТ Всес. алг.конф., тезисы, чЛ", Ленинград, 1981, с.8-9.

21. А.Р.Асасян, 0 некоторых Я-группах, в сб. "ХУП Всес. алг. конф., тезисы, ч.2", Минск, 1983, с.8-9.

22. А.Р.Асасян, Несколько замечаний о группах с однозначным извлечением корней, Деп. в ВИНИТИ, ^43^-^деп, 29с.

23. Д.И.Зайцев, 0 разрешимых группах конечного ранга, ДАН СССР, 1968, т.181, №21, с.13-14.

24. В.Н.Ремесленников, Представление конечно порожденных ме-табелевых групп матрицами, Алг.и лог., 1969, т.8, вып.I,с.72-79.

25. Я.Б.Ливчак, Об упорядочиваемых группах, Уч.зап. Уральского ун-та, 23, 1959, с.II-12.

26. М.И.Каргополов, Ю.И.Мерзляков, Основы теории групп, 3-е изд., М., 1982.

27. А.Г.Курош, Теория групп, 3-е изд., И., 1967.