Определяемость абелевых групп и модулей группами и модулями гомоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053.01.02

На правах рукописи

АНТОНОВА Наталья Юрьевна

ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП II МОДУЛЕЙ ГРУППАМИ II МОДУЛЯМИ ГОМОМОРФИЗМОВ

Специальность ,01.01.06 — математическая логина, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических раук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре алгебры Московского педагогического государственного университета им. В. И. Ленина.

доктор физико-математических наук, профессор Л. Я. КУЛИКОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент А. М. СЕВЕЛЬДИН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. Е. ЛИВШИЦ,

кандидат физико-математических наук, доцент А. Г. СОЛОНИНА

Ведущая организация — Томский государственный университет им. В. В. Куйбышева.

Защита состоится 10 октября 1994 г. в 16 час. на заседании специализированного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу; 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ.

Автореферат разослан « .М..» сЛаа^:^ 1994 г.

Ученый секретарь ированного Совета,

Научные руководители:

кандидат тематических наук

Г. А. КАРАСЕВ

Актуальность теш. Существенное • развитие теории абелевых групп и модулей связано с поиском точных соотношений между свойствами группы или модуля и свойствами их груш или модулей гомоморфизмов, групп и колец эндоморфизмов.'Тот факт, что две периодические абелеш группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны, был установлен Бэром в 1943 г. 151 в случае ограниченных групп и доказан Капланским в 1952 г. [81 в общем случае. Этот результат Бэра-Капланского послужил началом многочисленных исследований в этом направлении. Выяснение условий, при которых кольцо (группа) всех эндоморфизмов данной абэлевой группы определяет ее. строение, является важной задачей теории' абелевых групп ( ГП, проблемы 41, 43 ). Аналогом втих известных проблем, поставленных Л.Фуксом , является задача опрвделяемости абелевых груш и модулей группами и модулями гомоморфизмов.

Концентрируя внимание на группах эндоморфизмов Епа(А) и группах гомоморфизмов Нап(С,А) или Нат(А,С), в отличив от колец эндоморфизмов, мы получаем возможность использовать мощные теоретико-групповые методы, которые позволяют получить в атом направлении новые результаты.

Одним из значительных методов теории абелевых групп является также изучение свойств модулей над дискретно нормированным кольцом. Впервые это было отмечено в фундаментальных работах Л.Я.Куликова [11, [21 и И.Каплансного 191. Результаты этих работ показала, что модули над дискретно нормированными кольцами по своим свойствам близки примарным абелевым группам 5 и в то не время является их существенным расширением. Класс этих модулей включает также больше классы абелевых смешанных групп а груш

без кручения. Таким образом, одним из важных направлений в теории абелевых групп является углубление теоретико-модульных результатов.

Алгебраическое строение группы Нот представляет как самостоятельный интерес, так и позволяет решать задачи теории трупп, колец и модулей. Нужно отметить, что при решении вопроса об~ определяемости аба левых груш группами гомоморфизмов очень важно знать строение группы гомоморфизмов одной абелевой группы в

I

другую. Однако точное строение группы Нст(А,В) известно лишь в некоторых случаях. Один из основных случаев , когда В не имеет кручения, еще мало изучен; Даже в случае, когда В - группа ранга 1, описание строения группы Нат(А,В), для абелевых групп без кручения А, В , представляет собой трудную задачу ( 133, проблема 30 ), которая еще не получила полного решения.

Проблема определения кольцевых структур на аддитивной группе, впервые поставленная Бьшонтом .161, как и проблема

определяемости относится к основным проблемам теории абелевых

»

груш и теории колец. Кольца на группе А ( не обязательно ассоциативные ) ассоциированы с билинейными функциями, которые образуют аддитивную группу умножений Hu.lt(А). Изучение этой группы дает определенные сведения о кольцах на группе А .

Цель работы. Исследовать вопрос об изоморфизме абелевых групп и р-адических модулей с изоморфными группами и модулями гомоморфизмов в основном для групп и модулей без кручения. Исследовать вопрос об изоморфизме группы гомоморфизмов Нст(Л,В) абелевых групп А и В группе В в случае, когда А и В принадлежат хорошо известным классам групп ( классу вполне разложимых и однородно разложимых абелевых групп без кручения и некоторым

другим специальным классам групп ). описать строе юте группы умножений Huit(А) на вполне разложимой эбвлевой группе баз кручения А и выяснить, когда группа Huit(А) определяется группой А.

Методы исследования. В диссертации исрользуются метода теории абелевых груш и модулей, теории категорий, гомологические метода, метода теории чисел и множеств.

Научная новизна. Все результата диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие :

1. Найдено достаточное условие изомор<1из«а ЯотМ,В^=8 для груши без кручения А ранга 1 и любой эбелевой группы В без кручения. Описывается класс групп, для которых, это услот а является также и необходимым.

2. Выделены классы абелешх групп, которые определяются группами гомоморфизмов. Решена аналогичная задача для р-адических модулей.

3. Найдены необходимые и достаточные условия на абелеву группу О, чтобы всякий раз из изоморфизма груш гомоморфизмов Hom(G,A)sHm(C,B) ( или Ham(A,C)sHom(B,C) ) для абелевых групп А и В из хорошо известных и специальных классов групп следовал бы изоморфизм самих групп AsB. Решена аналогичная задача для р-адических модулей.

Практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов абелевых. групп и модулей над коммутативными кольцами, могут применяться при решении аналогичных задач в теорий модулей и других алгебраических структурах.

АпроОвцяя работа. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на III Международной конференции ш

алгебре /Красноярск, 1993 г./, на алгебраических семинарах Московского педагогического государственного университета и Нижегородского педагогического института.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах постановка задачи и выбор, метода исследования принадлежат

A.М.СеСельдину. Диссертанту принадлежат формулировки .и доказательства всех теорем.

I

Структура и объем работы. Диссертационная работа выполнена на 93 страницах машинописного текста и состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 36 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Введете содержит краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности решаемых в диссертации задач, а такхе краткое содержание диссертации.

. В первой главе работы рассматривается задача о строении группы гомоморфюмов Ист(А.В) для абелевых групп без кручения А и

B. Изучается вопрос об изоморфизме группы Иот(А,В) группе. В.

Результат, полученный Р.Б.Уорфильдом (предложение 2, [111): если А - группа без кручения ранга 1, то для любой группы без кручения В Вап(А,В) a vB , где v - некоторая характеристика, принадлежащая типу группы А, в vB - подгруппа группы В , которая состоит из всех элементов группы В, характеристика которых не меньше заданное характеристики v, позволяет свести задачу об изоморфизме Ram(A,B)sB для случая, когда А - группа ранга 1, к вопросу об йзоморЗизме В и vB. В связи о в там в §1 изучаются используемые для решения основной задачи свойства подгруппы vB

группа В. Одним из основных методов, примененных при решении задачи, является метод, обоснованный леммой 3.1 , где устанавливается связь меаду характеристикой элемента в группе В и ее подгруппе гВ. Эта связь представляет собой точное равенство. Кроме того, в 51 доказаны некоторые вспомогательные результаты, имеющие самостоятельный интерес. А именно, доказывается единственность разложения однородно разложимой абелевой группы без кручения в прямую сумму однородных компонент, все типы которых различны, в случав, когда число прямых слагаемых конечно

(теорема 1.1) и в случае, когда типы всех прямых слагаемых поцарно

*

несравнимы ( теорема 2.1 ).

Б 82 получен ответ на вопрос, когда Нсч(А,В)вВ, если А -группа без кручения ранга 1, а на группу В накладываются некоторые условия. Достаточное условие этого изоморфизма получено для любой абелевой группы без кручения В .

Теорема 3.1. Пусть В - абелава груша без кручения, тип, определенный характеристикой V0» Г) , V - произвольная

характеристика типа т: .

Если КТ° , тогда уВаВ .

Пусть ® - класо всех абелевых групп без кручения, 8*- класс всех груш Вей, для которых найденное условие является также и необходимым. Показано, что 0!* содержит все делимые группа из 8, однородные группы (теорема 4.1), а также специальные классы груш в,. 9г (теоремы 7.1 и 9.1), а та классы описываются в том же 52 . Кроме того доказано, что этот класо при некоторых

ограничениях, оказывается звкинутых относительно взятия прямых и полных прямых сумм ( теоремы 5.1, 6.1, 8.1, следствие 5.1 ).

В §3 считаем группу Л вполне разложимой, группу В -

однородной или однородно разложимой. Накладывая некоторые

ограничения, получаем необходимые и достаточнее условия того,

чтобы Ham(A,B)sB (теоремы 10.1-13.1) •• .

Пусть А= Ф А , г(Л.)=1, - вполне разложимая абелева.группа i€l

бее кручения конечного ранга, В= Ф В - однородно разложимая * 3

абелева группа без кручения, где i(B )=т3 , JeN={1,2,...,n), я -множество всех различных типов групп В (JeN) , fl - множество минимальных типов в П.

Тип i назовем чистым, если он содержит характеристику, состоящую только из нулей и символов со. Tim х назовем чистым типом относительно t' , если существует характеристика

v=(---;vp,___)£t такая, что для любой характеристики

V' = (...,Vp,...)€t; еСЛИ V'pita> , то vp=0 .

Основным результатом §3 является следующая

Теорема 13.1. Пусть для каждого JeN B¿i£^B} , и если

xi<хз ^»J^b то vBj~Bi • гда VÍTj~'ci •

Ham(A,B)sB тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия :

1) для любого типа леей существует такая группа 4 (iíl), что

2) если tMj^ít (i€l,T€ß), то тип т(>)1) чист относительно типа т ,

3) если для некоторых типов t1,x2 ^ О существует групп?

(lfI} такая, что -tU^fx, , но ти±)!»тг , тогда t-j-xU^tÄ .

Во второй глава рассматривается вопрос об определяемости

абелевой группы группой гомоморфизмов в различных классах групп.

В доказаны некоторые предварительные результаты, а

именно, обобщение леммы 56.1 и предложения. 96.2 14-] для абе левых

групп вида П ® Я , где Я.. - рациональные группы ранга 1. «г зы 3 г

Во втором параграфа вопрос онредэляемост^ абе левой группы А

своей группой эндоморфизмов Епй(А) и группой гомоморфизмов

Нот(А,0) решается в классе вполне разложимых абелевых групп без

кручения. Описываются 2 класса вполне разложимых абелевых групп

без кручения с некоторыми ограничениями на типы прямых слагаемых,

*

в которых для каждой группы А существует вполне разложимая

абелева группа без кручения О такая, что 'ля любой вполне

разложимой абелевой группы без кручения В из изоморфизмов

Епс1(А)яЕпс1(В) и Нот(А,0)иИат(В,0) следует изоморфизм АзВ (теоремы

1.2, 2.2). Заметим, что эти класса пересекаются, но не совпадают,

ж их объединение не совпадает со всем классом вполне разложимых

абелевых групп без кручения, что следует из теоремы 3.2, которая

описывает подкласс вполне разложимых абелевых груш без кручения,

ни одна группа которого не будет определяться своей группой

эндоморфизмов и группами гомоморфизмов в нем.

В }3 рассматривается вопрос об определяемости абелевой группы А группой гомоморфизмов Нот(0,А).

Пусть О - абелева группа. Будем говорить, что абелева группа

А из некоторого класса I абелевых групп ^-определяется в классе

5 , если всякий раз из изоморфизма Нст(С,А)*Нат(0,В), где ВйГ,

следует изоморфизм А&В. Обозначим класс абелевых груш,

^-определяющихся в 3, через 3(СЯ). Если любая груша из 2

принадлежит 1(СЮ, т.е. 3=1 (СЯ), то класс 3 назовем сН-классом.

Если У(сН)"0, то класс Я назовем ЖсЯ-классом.

Отметим, что проблема существования группы С, рассматриваемая нами в §2, всегда решается положительно в случае, когда группа О стоит на первом месте в группе гомоморфизмов Нат(0,~), так как легко видеть, что любая абелева груша А -¿И- определяется в классе всех абелевых груш. В то ю время ясно, что не для любой группы О без кручения ранга 1 изоморфизм Ист(С,А)2Нот(0,В) влечет изоморфизм А=В. Например, в классе всех - абелевых групп й не существует такой группы А, которая ^Н-определялась бы , в этом классе, т.е. класс Я является ЯщН-классом. Кроме того", нужно отметить, что в случае, если С=2®2, то уже не любая абелева группа будет ^-определяться в классе всех абелевых групп, так как в этом случае имеем Нот(С,А)зА ® А а а В ® В а Нат(С,В), т.е. задача сводится к проблеме Капланского С91 " когда из изоморфизма А © А г В © В следует изоморфизм А а В

Теоремы 5.2 и 6.2 дают критерий, которому должна удовлетворять вполне разложимая абелева группа без кручения конечного ранга О, чтобы класс 8СВ - вполне разложимых абелевых групп без кручения и класс йЕщ, - одаоро^о разложимых абелевых

групп без кручения А = ® Х(,с> таких, что пи) - множество

Х£0(А)

конечное я А1"1* ® 4(г) й Л(Х) для каждого т«0(А), бшш сЯ-классаыи .

Теорема . Пусть С = ® О , г(С - вполне разложимая к=1

абелева грушш без кручения конечного ранга.

Классы 8со и бцц является ^-классами тогда и только тогда, когда группа С удовлетворяет слэдующш условиям :

1) О имеет прямое слагаемое, изоморфное 2 ;

2) 0(0) содержит только чистые типа .

Доказательство для каждого из этих двух классов .имеет свои существенные особенности.

Следствие 3.2. Если группа С не имеет прямого слагаемого, изоморфного 2, то ^^ является (Г^Н-классом. .

Значительно сложнее определить строение группы О "для более широких классов абелевых групп. Следующая теорема дает, необходимое и достаточное условие, которое нужно наложить на ранг абелевой группы О, чтобы класс всех абелевых грутш с изоморфными редуцированными частями и нулевой периодической делимой частые был -Я-классом.

С

Теорема 7.2. Класс абелевых груш с изоморфными редуцированными частями и нулевой периодической делимой частью является сН-клзссом тогда и только тогда, когда ранг без'-кручения групп» О конечен. • .'.

. - Как следует из теоремы 8.2, условие конечное™ ранга-.без кручения группы О уже не будет достаточным для сЯ-определяемости абелевых груш с ненулевой делимой периодической частью.

Используя результаты главы I, для любой абелевой группы без кручения С ранга 1 и типа а в классе всех абелевых груш без кручения можно выделить сй-клвсс, содержащий все абелевы группы без кручения, которые будут ^-определяться в !

Теорема 9.2. Пусть С - абелева груша без кручения ранга 1 и типа т. -

Класс абелевых груш ' •/ОД' | = С Л ^(х)! £ т )

является „Я-классом . ■ . '

Следствие'6.2 Класс ух^"1. является ^-классом.

Третья глава посвящена вопросу об определяемости р-адических

модулей и их прямых произведений А р-адическими модулями

Нот(С,А) и Hcm(A,0)t где С - модуль из некоторого класса

р-адических модулей.

Пусть С - некоторый К-ыоду ль. Будем говорить, что Я-модуль А

из некоторого класса Я-модулей Л ^-определяется в классе Л,

веля всякий раз из изоморфизма Нол^ГС,А)=Иотк(G,G), где СеМ,

следует изоморфизм AsG. Обозначим класс К-модулей,

^ff-определяющихся в Л через М(СН). Если любой модуль из А

принадлежит М(СН), т.е. Л=Л(СЯ), то класс JH назовем ^-классом.

Если М(сН)=0, то класс Л назовем /^-классом. Если имеет место

модульный изоморфизм UamK(A,C) = Hcm^fG.Gl, то будем говорить об

Нс-опредэля0мости.

В §1 решается следующая задача : определить для каких

модулей С классы всех р-адических модулей ( Р ) , редуцированных

р-адических модулей баз кручения ( Р^) и редуцированных

алгебраически компактных р-адических модулей без кручения ( ^ )

будут ^-классами л Яс-хлассами. .

То, что такие р-адачвекие модули С существуют, следует из следующего утверждения.

Теорема 1.3. Класс всех р-адических модулей является

Л И -классом /здесь Лр - аддитивная группа кольца целых

р-адических чисел (D* /.

Следующие примеры показывают, что не для любого р-адического модуля С классы РиР7 будут ^-классами .

' Щяшер 1.3. Р(к Я)=0 / где Кр -поле частных кольца в* /, т.е. в классе всех р-адических модулей не существует такого модуля Л,

который к Н-определялся бы ,в этом классе. Таким образом, Р 4 р

является Уц, й-классом.

Пример 2.3. Р^(сН)=0 для любого периодического р-адического модуля О.

В случав, когда О есть р-адический модуль без кручения конечного ранга, доказывав тсяг, что любой редуцированный' р-адический алгебраически компактный модуль А будет определяться р-адическим модулем Нот(С,Л) в своем классе ( теорема 2.3 ) и в классе всех р-адических расщепляющихся модулей С. теорема 3.3 ). Кроме того, в предположении, что справедлива обобщенная гипотеза континуума, доказывается, что любой редуцированный р-адический. алгебраически компактный модуль без кручения А будет определяться" р-адическим модулем Ист(А,0) для любого редуцированного р-адического алгебраически компактого модуля без кручения О ( теорема 4.3 ).

Во втором параграфе доказаны критерии СН и Нс-определяемости для класса редуцированных счетно порожденных а*-модулей • без кручения.

Теорема 5.3. Пусть С - редуцированный счетно поровденный <В*-модулъ без кручения.

Класс всех редуцированных счетно порожденных О*-модулей без кручения будет сЯ-классом тогда и только тогда, когда г(С)<Ко .

Следствие 1.3. Если г(С)=«о, го класс редуцированных счетйо порожденных р-адических модулей без кручения будет ЛГсй-классом.

Найденное условие на ранг модуля О будет также необходимым и достаточным и для, Я^-опредэляемости всех редуцированных счетно порожденных ®*-модулей без кручения при условии, что справедлива обобщенная гипотеза континуума ( теорема 7.3,). • ■ -

Пусть Л - класс унитарных модулей А над кольцом П В* ,

р

предстввимых в виде А = П А , где %. - подмножество всех

Р(*ЛР

, простых чисел Р, Ар е Р ; л^ = ( А е л I « п^ -

класс модулей ш П7 с одним и тем же множеством 1С . Известно ( 131, с.176 ), что если С « Л, то р-базисный подмодуль модуля О

ос

моЗкно записать следующем образом Вр = Ф Впр , где Вор= Ф

п-0 гор(0)

- модуль без кручения , а все остальные Впр (п>0) -периодические модули.

В 53 доказаны критерии сН-определяемосги для модулей из классов Л* неосновным результатом этого параграфа является

Теорема 8.3. Пусть 0= П О « Л .

ре*с р

Класс является сН-классом тогда и только тогда, когда для модуля С выполнены следующие условия :

1) .*с э * ;

2) 0*гор(С)<Ко для"любого рех.

Следствие 4.3. Если для модуля О ^ тс , то класс Л^

и ' К

является классом .

Следствие 5.3. Если модуль О не удовлетворяет условию 2) теоремы, то класс модулей А из таких, что г^(А)кгор(С) для любого ретс, является ЯсЯ-классом.

Существующий изоморфизм между категорией редуцированных алгебраически компактных р-адических модулей без кручения и категорией делимых периодических р-адических модулей ([101, п.5), при котором любому редуцированному алгебраически компактному модулю без кручения В ставится в соответствие модуль С « Кр/®* ® Я и а Кр/(3* , а обратное соответствие задается следующим образом С —«- Яоя(Кр/в*,С) /позволяет доказать, теорему, двойственную теорема 8.3.

Обозначим через в1 = { Л = ® А | А периодические

Р р (

делимые р-адичесние модули ), е® - класс модулей из б5 с одним и

тем асе множеством тс . • _ '

Теорема 10.3. Пусть О = ® О е б®. •- ■

:рекс р .

3"

Класс © является -Я-классом тогда и только тогда, когда для модуля О выполнены следующие условия : . ■ •

2) г(<7р)<Ко для любого peic . '

Заметим, что результаты, полученные в третьей главе, справедливы для абелевых групп, которые являются редуцированными р-адпчесхиж модулями, в частности, для примерных абелевых групп, для алгебраически компактных абелешх групп без кручения. v • В четвертой главе исследуется груша умножений KultfAJ на ' вполне разложимой абелевой груше без кручения А, при" этом используются результаты и методы предыдущих глав.

В при некоторых дополнительных условиях, на А двется ответ на вопрос, когда груша 4 выделяется прямым слагаемым в Mult(A) .

Пусть А = © А, - вполне разложимая абелева группа без 1CI

кручения, г(Л.)=1, т(Л,)=т. (Ш) ; А =©4

1 XI _ /-Л

(X)

каноническое

т£П

И)..

разложение группы А, где ©. A,- , Е(т;)={ i€l | т(Л,)=т: 1,

. . teret j ;

Q - множество всех различных тийов груш At (i€l) ; П -множество минимальных типов в П.

Теорема 114» Если для каждого teO найдется г'еП такой, что . , множество минимальных типов. П. конечно и Q

удовлетворяет условию обрыва строго возрастапцих цепей типов, то вполне разложимая группа А выделяется прямым слагаемым в группа

Mult U) тогда и только тогда, когда все типы в П являются чистыми .

Будем говорить, что. груша умножений на А ( Mult (Л) ) определяется группой 4, если Mult{Л) s А .

следствие 2.4. Для вполне разложимой группы А конечного ранга группа Huit (vi) определяется группой А тогда и только тогда, когда выполнены следупаие условия :

1) IIJ - |П| - |ñ¡

2) все типы теП являются чистыми .

В §2 описывается строение группы Mult(А) для группы А = Ф А

ici

конечного ранга, у которой все типы t^) различные и чистые (теорема 2.4). В частном случае, когда все типы xí чистые и образуют строго возрастающую цепочку t1 < т£ <...< тп , полученное довольно громоздкое выражение для Mult(А) становится

п 1г

значительно проще . В этом случае имеем Mult {А) s ® ( ü ).

1=1 lc=t

Автор, выражает признательность своим научным руководителям Куликову Л.Я. и Себельдину д.Ы. за многочисленные полезные обсуждения, внимание и поддержку.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Куликов Л.Я. Обобщенные примарныэ группы, I. // Труда Моск. матем. общества. - 1952, т.1, 0.247-326.

2. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы ,11. // Труды Моск. матем. общества. - 1953, т.2 , 0.85-167. "

3. фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М., 1974, т.1.

4. фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М., 1977, "т.ТГ

5. Ваег R. Automorphism rings of primary abellan operator groups. <2

// Aim. Hath., 44 (1943), P.192-227.

6. Beaumont R.A. Rings with additive group nhlch la the direct '

sum of cyclic groups. // Duke Math.J., 15 (1948), P.367-369.

7. Fuchs 1. Abellan groups. - Budapest, 1958.

8. Kaplansку I. Some results on abellan groups. // Proc. Nat. . Acad. Sci,'USA, 38(1952), P.538-540.

9. Kaplansky 1. Infinite abellan groups. - Ann.Arbor, 1954.

10. Llebert V. Characterisation oi the endpmorphism rings of divisible torsion nodules and reduced complete torsion-free modules over complete discrete valuation, rings. // Pacific J. Math. , 1971, v.37, *1, P.141-170.

»

11. Warfield R.B.Jr. Homomorphlsms and duality for torsion-free groups. // Math.z., 1968, V.107_, ЖЗ, РИ89-200. I

12. Антонова H.D. О группе умножений на вполне разложимой абелевой группе без кручения." - М. , 1992. - 10с. / Рукопись депонирована в ВИНИТИ 29 мая 1992 г. * 1800-В92 ДЕЛ'./..

13. Антонова Н.Ю., Себельдин'• A.M. • Об' определяемое™ вполне разложимых, редуцированных абелевых групп без -кручения группами гомоморфизмов. - Ы., 1993. — ,11с. / Рукопись депонирована в ВИНИТИ 26 февраля 1993.г. * 498-В93 ДЕЛ. /.

14. Антонова Н.Ю., Себвлъдин А.Ы. 00 определяемости вполне разложимых абелевых груш Сез кручения грушами эндоморфизмов и грушами гомоморфизмов. // Третья Международная конференция по алгебре : Тезисы докладов. - Красноярск, 1993 - 0.18-19.

15. Антонова Н.Ю. Об определяемости абелевых груш грушами гомоморфизмов. // Третья Международная конференция по алгебре : Тезисы докладов- - Ирасноярсн, 1993 - 0.17-18.