Группы автоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

/

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ФАУСТОВА Инна Леонтьевна

ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ КОНЕЧНОГО РАНГА

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор КОЖУХОВ С.Ф.

Томск - 1998

ВВЕДЕНИЕ

В последним десятилетия с проникновением в теорию абелевых групп модульных, гомологических, топологических, теоретико-категорных идей и методов стали интенсивно изучаться различные классы абелевых групп без кручения. Однако в решение проблем, связанных с группами автоморфизмов абелевых групп без кручения, эти новые методы не привели к существенным сдвигам.

Абелевы группы без кручения, являясь бесконечными группами, могут иметь конечную группу автоморфизмов. При изучении таких групп, а именно, групп с конечной группой автоморфизмов, возникают две задачи:

(1) для данного класса конечных групп выяснить, какие группы из этого класса реализуются как группы автоморфизмов абелевых групп без кручения?

(2) по заданной конечной группе Н, реализуемой как группа автоморфизмов абелевой группы без кручения, описать все группы G с AutG = Н .

Одними из первых работ в направлении решения задачи (1) являются работа Groot J. [22] и работа Vries Н., Miranda A.B. [26] . В первой из них доказано, что

существуют 2К неизоморфных абелевых групп G без кручения мощности ^ с группами автоморфизмов AutG = Z{2). Позднее Л.Фукс усилил этот результат, заменив К любым бесконечным кардиналом М, меньшим первого сильно недостижимого [21]. Во второй - найдены все конечные группы Н порядков, не превосходящих 8, для которых

существуют с АмС = Н .

Центральным результатом для абелевых групп без кручения, связанным с задачей (1), является теорема Холлета-Хирша [18, с.318; 23]:

если конечная группа Н является группой автоморфизмов группы без кручения (7, то группа Н изоморфна некоторой подгруппе конечного прямого произведения групп следующих типов : 2{2), 2(4) , 2(6) , , ИСп или ВТ24 .

Позднее На11е1^ ¿".Т., ШгэЬ К.А. [25] установили такие необходимые и достаточные условия на конечную группу Н, чтобы существовала абелева группа (7 без кручения с АшС = Н . Итак, Дж.Холлет и К.Хирш дали полное описание конечных групп, которые могут служить группами автоморфизмов абелевых групп без кручения, то есть полностью решили задачу (1).

Что же касается строения самих абелевых групп без кручения с той или иной конечной группой автоморфизмов (задача (2)), то вопрос остается открытым [10, вопрос 4.43]. Более того, как следует из результатов работы Бидаэ М., СбЬе1 И. [20], для всякой конечной группы Н, реализуемой в качестве группы всех автоморфизмов некоторой абелевой группы без кручения и произвольного бесконечного кардинала М, существуют 2м неизоморфных абелевых групп (7 без кручения мощности М с АшО = Н . Этот результат показывает, что едва ли, вообще, возможно полное решение проблемы описания абелевых групп (? без кручения с конечными АшО .

Все известные результаты, полученные до конца 7 0-х годов в направлении решения задач вида (2), фактически представляют собой примеры сильно неразложимых

групп (7 без кручения, группы АшО которых изоморфны той или иной конечной группе. С.Ф.Кожуховым изучены квазиразложимые группы конечного ранга с конечными группами автоморфизмов, найдена полная система инвариантов для таких групп [4, 7] . Им предложен метод построения квазиразложимых групп О без кручения с АшО, изоморфными одной из названных выше шести групп Холлета-Хирша [9]. Задача описания строения квазиразложимых групп конечного ранга с конечными группами автоморфизмов фактически полностью решена.

Согласно [7] изучение квазиразложимых абелевых групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов сведено к изучению сильно неразложимых групп с конечными группами автоморфизмов. Группы автоморфизмов последних изоморфны Z(2), Z(4), г(6) , £8, DCn , ВТ24 [б]. Важную роль при изучении сильно неразложимых групп с конечными группами автоморфизмов играют группы минимального ранга с такими группами автоморфизмов. Этот минимальный ранг равен единице в случае, когда группа автоморфизмов изоморфна Z(2),

двум - в случаях Z(4), Z(6), и четырем - в случаях , ВСПгВТ2А [24]. Известно, что группа автоморфизмов группы ранга 1 изоморфна Z(2) тогда и только тогда, когда характеристики типа этой группы не содержат символов оо. Что касается групп ранга 4, группы автоморфизмов которых изоморфны , £>С12 , ВТ24, то имеется лишь ряд примеров таких групп ([18, с. 320-321], [24], [2 6] ) . А вот группы ранга 2, группы автоморфизмов которых изоморфны Z(4) или Z(6) полностью описаны в ра-

боте [11] . Именно эта работа является идейным источником предлагаемой работы.

Пусть О - группа без кручения конечного ранга и АшО=(ф\о(р) = 4)=2(Л) (или Ашв={(р \ о(<р) = 6)= 2(6)) . Тогда

для любого g<EG подгруппа Н ={g, (p{g))„ является ^-инвариантной подгруппой, т.е. Н - группа ранга 2, обладающая автоморфизмом порядка 4 (или б). Изучение строения групп ранга 2, обладающих автоморфизмом порядка 4 (или б) очень важно для изучения строения групп произвольного ранга с группой автоморфизмов, изоморфной 2(4) (или 2(6) ) . Поэтому эти группы ранга 2 и их группы автоморфизмов рассматриваются в данной работе. Далее, если ранг группы Сг больше двух, то можно выбрать такие два элемента а, ЬеО, что Нх =(а , (р(а))*,

Н2={Ь, (р{Ь))* - две непересекающиеся сервантные подгруппы, обладающие автоморфизмом порядка 4 (или б) . Для изучения группы АшО важным является вопрос о строении группы Нот(Н1,Н2) и вопрос, когда Нот(Н1,Н2)=0 (теорема 1.1) . Поэтому рассматривается задача описания группы Нот(Н1,Н2) и ее группы автоморфизмов, если АиШх = АиШ2 г 2(4) (или 2(6)).

Свойство группы автоморфизмов группы О конечного ранга быть конечной является инвариантным при квазиизоморфизме (теорема 6.1). Естественно возникает вопрос: а сохраняется ли в этом случае сама группа автоморфизмов? В работе рассматривается задача об инвариантности групп автоморфизмов при квазиизоморфизме.

Данная работа является продвижением в направлении решения задач вида (2). Применяются методы, разрабо-

- б -

танные С.Ф.Кожуховым и В.А.Никифоровым в работе [11], методы теории чисел, а именно, теория сравнений, а также методы На11е1^ СГ.Т., ШгбЬ К.А. [24] - построения сильно неразложимых абелевых групп (7 без кручения с конечными группами АшО .

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение абелевых групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы - новые. Основными являются следующие:

1) получено описание абелевых групп без кручения ранга 2, обладающих автоморфизмом порядка 4 (или б), и их групп автоморфизмов;

2) описано строение группы Нот(А,В), где А и В -абелевы группы без кручения ранга 2 с АмА = АшВ = (или 2{6)) , в частности, решен вопрос о равенстве нулю группы Нот(А,В) ;

3) показано, что для любой квазиразложимой группы О конечного ранга с конечной группой АгйО всегда существует квазиравная подгруппа Н такая, что АиШ £ АшО. Для сильно неразложимых групп ранга 2 с конечной группой автоморфизмов это утверждение тоже имеет место.

Работа имеет теоретическое значение. Результаты работы могут быть использованы при изучении абелевых групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов, при изучении групп гомоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых групп и модулей. Методы развиваемые в данной работе, могут быть применены при выделении классов групп без кручения, которые определяются своими группами автоморфизмов.

По теме диссертации опубликовано 5 работ [12-16].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В работе три главы. Основная цель главы I - описать абелевы группы без кручения ранга 2, обладающие автоморфизмом порядка 4 (или 6) , и их группы автоморфизмов. Эта глава содержит три параграфа (§§1-3).

§1 носит вспомогательный характер. В нем приведены основные понятия и факты, наиболее часто используемые в работе. Кроме того, в этот параграф вынесены результаты теоретико-числового характера с тем, чтобы за теоретико-числовыми вычислениями не терялся алгебраический смысл результатов.

Всюду в работе под словом «группа» понимается «абелева группа». В [11] для простых чисел р, сравнимых с 1 по модулю 4, фиксируется пара чисел {% , у} }

таких, что х1р + у1р = р , (х1р,р) = {у1р,р) = \, и приводятся формулы, .по которым вычисляются пары {хк , , у и } со

свойством х\р + у1р = рк , (хКр,р) = (уКр,р) = 1. Для простых чисел р, сравнимых с 1 по модулю б, фиксируется пара чисел { \р , \р } таких, что х\р + у\р + \ру%р = р , (\р,р) = -(ух п,р) = 1, и также приводятся формулы, по которым

вычисляются пары { хк , , ук р } со свойством +у%р +

+ Хк.рУк.р=1 ' (Хк,р>Р) = (Ук,ргР)^1 • Эти упорядоченные пары чисел используются при описании строения групп О, ко-

торые рассматриваются в данной работе, и в дальнейшем часто применяются.

В §2 изучаются квазиразложимые группы без кручения ранга 2, обладающие автоморфизмом порядка 4 (или 6). Основным результатом этого параграфа является

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть О - квазиразложимая группа без кручения ранга 2, внутренний тип 1Т(0) которой не содержит символов оо, и пусть О обладает автоморфизмом порядка 4 (или 6). Тогда О вполне разложима и для любого автоморфизма (р порядка 4 (или б) существует такое разложение группы С=(а),Ф(Ь)», что (р{а) = Ъ, (рф) = -а (соответственно, (р{а) = Ъ , <р(Ь) = -а + Ь ) .

§3 посвящен описанию сильно неразложимых групп С без кручения ранга 2, обладающих автоморфизмом (р порядка 4 (или б). Из [8] следует, что АшО = 2(4 + 28) х , я<Х0, где 8 - символ, принимающий значение О

п

или 1. В §3 находятся автоморфизмы группы С, которые порождают группы 2(4 +28) и 2.

ТЕОРЕМА 3.4. Пусть группа (7 имеет вид

в = (а , Ъ , gp, с1пч\ р<вж1г д е я"2 , п = 1,2,...), где

либо Рк^р=хкр ра + укр рь , либо ркрgp= укр ра +хкр рЬ , и

либо для всех п = 1,2,... = хп да + уп дЬ ,

либо для всех п- 1,2,... = упда + хп дЬ .

Тогда АшО = {д?)х г где (р - заданный автоморфизм,

дел:2

для которого (р{а)-Ъ, <р(Ь) = -а + 8Ь, а г}д - автоморфизмы бесконечного порядка, определяемые следующим образом:

г}ч: а -> й?! , 6 —>■ (здесь - решение уравнения

= + которое всегда существует со-

гласно [11] ) .

Для того, чтобы охарактеризовать группы (7 с точностью до изоморфизма, применяется понятие /-типа, введенное в работе [11]. Основным результатом §3 является следующая

ТЕОРЕМА 3.7. Пусть (7 - сильно неразложимая группа без кручения ранга 2, внутренний тип 1Т(0) которой не содержит символов оо, и пусть (7 обладает автоморфизмом порядка 4+28. Тогда группа О однозначно определяется парой {а,/3}, где а - тип, характеристика которого не содержит символов оо, а ¡3 есть /-тип, определяемый /-характеристикой (кр) такой, что: а) к =±со для всех р е я2 5 б) кр Ф О и кр Ф ±оо для всех рЕяг; в) кр =

= 0 для всех р е я \ (ях итг2) , где я1 и я2 - непересекающиеся множества простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 4 + 28, причем ях - бесконечно, если я2=0, а я -множество всех простых чисел. При этом имеют место следующие утверждения:

1) G = i?(8)zG0, где Я - группа ранга 1 типа а (равного внутреннему типу 1Т(0) группы О , а С0 - однородная нулевого типа группа, обладающая автоморфизмом <р порядка 4 + 28, и ОТ{Оа) = |/? | ;

2) в0 = {а , Ъ , gpt с1пд\реяи п = 1,2,...), где

Р[кр^р=х\кр[ра + У\кр\рь' если V

Р^%р=У\кр[Ра+хиРь' если кр<0'

и для всех п- 1,2,... = хпда + упдЪ , если А:р=+оо,

и для всех « = 1,2,... дп<Зпд=упда + хпдЬ, если кр=-оо ;

3) Ли/С? = г 2(4 + 2£) х , где 2д=2 . Причем об-

ц<алг

разующий группы 2(4 + 28) есть а автоморфизмы беско-

нечного порядка г/у, определенные в теореме 3.4, являются образующими групп 2д ;

4) если АшС = АиШ и группы О, Н ранга 2 определяются парами {ссс,/Зс} и {«#,/?#} соответственно, то С = Я тогда и только тогда, когда {а0,/Зс} = {ан,/Зн}.

Как мы уже отмечали, изучение групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов сводится к изучению сильно неразложимых групп, чьи группы автоморфизмов изоморфны 2(2) , 2(4), 2(6) , ()%, £>С12 или ВТ2А, и к вопросу о равенстве нулю группы Нот для таких групп.

Глава II посвящена группам гомоморфизмов групп без кручения конечного ранга и их групп автоморфизмов.

В §4 дается описание строения группы Нот(С,Н), где Сг, Н - группы без кручения ранга 2 с АшО = АиШ = 2(4) (или 2(6)), в частности, получен ответ на вопрос, когда Нот(С,Н) = 0 .

Показано, что Нот(С,Н) либо является однородной вполне разложимой группой ранга 2, либо Нот(0,Н) группа ранга 2, группа автоморфизмов которой изоморфна также 2(4) (соответственно 2(6)). Основными резуль-

- 11 -

татами этого параграфа для групп без кручения с группами автоморфизмов, изоморфными 2(4), являются

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть С и Я - группы без кручения ранга 2 с Аи1С = АшН = 2(4) , определяемые парами {а0,/30 \ и {ан,Рн} соответственно. Группа Нот(0,Н) отлична от нуля тогда и только тогда, когда ав<ан и /30<рн.

ТЕОРЕМА 4.6. Пусть С,Н - группы без кручения ранга 2 с АшС = АиШ 5 2(4) , определяемые парами и \ан,р11). Если Нот(0,Н)Ф 0, то Нот(С,Н) = Я®2Нот(в0,На), где Л -группа ранга 1 типа ан—а0, а 00,Н0 -группы нулевого типа с Аи{00 = АмН0= 2(4), которые определеются /-типами /?с и /Зн, соответственно. При этом Нот(00,Н0) = ={(р г. т(Ф) г 7Р)г гДе 9 ~ некоторый гомоморфизм из Оа в Н0, у - автоморфизм группы Нот(00,Н0), индуцированный

образующим группы АШв0 , и р['Пр Кр]Ур = + У\тгГ.фА<р) г

если тр-кр> 0, Р^р~к\р = У\Мр_ф<Р + х\тр-кр\,рЛр) < если т -кр< 0 (здесь (к) и - /-характеристики /-ти-

пов /?с , рн такие, что | кр \ £ \ тр \ г к и т имеют одинаковые знаки).

Аналогичные утверждения имеют место и в случае группы 2(6) .

В §5 рассматриваются группы С? ранга 4-, группы автоморфизмов которых изоморфны 2(4) (или 2(6)) . Показывается, что для таких групп важную роль играет задача о равенстве нулю группы Нот для групп ранга 2 с группами автоморфизмов, изоморфными 2(4) (или 2(6)) .

Отметим, что известные до сих пор методы построения групп О ранга большего 2 с АшС=2(4) (или 2(6)) всегда приводят к неоднородным группам [22, 24, 2 6], и примеров однородных групп с таким свойством до сих пор нет.

Теорема 5.1 дает метод построения однородных групп Сг произвольного четного ранга с Ли/(7=2(4) (или 2(6)) .

Теорема 5.1. Пусть лх, я2, - непересекающиеся множества простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 4. И пусть Нх = {а,Ъ, gp\p&7Гu pgp=xpa + ypЪrx1p+y2p=p)l

Н2 = {с, с1, кр | р&л2, ркр =хрс + ура , х2р +у2р = р). Тогда группа автоморфизмов группы

в = <#!, Н2, ^ , ^ | Р&7Г3, рэр=хра + урс , р1р = хрЪ + ура,

О О ч

хр+ур=р) изоморфна 2(4).

Аналогичным образом строится и группа С ранга 4 с 6), только л2, /г3 - непересекающиеся множества простых чисел, сравнимых с 1 по модулю б, и хр,ур

удовлетворяют условию хр +ур +хрур = р .

При этом получаемая группа <9 в обоих случаях является однородной нулевого типа.

Результаты и методы, полученные в первых двух главах, применяются в третьей главе в связи с вопросом об инвариантности групп автоморфизмов при квазиизоморфизме .

Отметим, что при изучении групп конечного ранга с конечными группами автоморфизмов важную роль играет тот факт, что свойство группы автоморфизмов быть конечной является инвариантным при квазиизоморфизме. То

есть справедлива

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть G - группа без кручения конечного ранга, Н - произвольная квазиравная ей подгруппа. Группа AutG конечна тогда и только тогда, когда AutH конечна.

Таким образом, свойство группы AutG быть конечной наследуется любой квазиравной подгруппой Н . Естественно возникает вопрос: если группа AutG конечна и Н квазиравна G, то будет ли AutH = AutG ? В §6 этот вопрос рассматривается в классе квазиразложимых групп, а в §7 - в классе сильно неразложимых групп.

В §6 доказывается, что любая квазиразложимая группа G конечного ранга с конечной группой автоморфизмов всегда обладает квазиравной подгруппой Н, имеющей группу автоморфизмов AutH отличную от AutG (теорема 6.8) .

Что касается сильно неразложимых групп с конечной группой автоморфизмов, то для них теорема 6.8 в общем случае не верна, так как если G - группа ранга 1 и AutG конечна, то любая квазиравная подгруппа Н изоморфна самой группе G и, следовательно, AutH = AutG.

Однако, для сильно неразложимых групп G ранга 2 с конечной группой AutG теорема 6.8 остается справедливой. Получена следующая

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть G - сильно неразложимая группа без кручения ранга 2 с конечной группой AutG. Тогда существует квазиравная подгруппа Н такая, что AutH $ AutG .

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

2 Ой

ПС,

12

вт24

г(0)

О(Я)

АшА 1уреА А® В А®2В

П

а = Ь( шо<1 р) Р

бесконечная циклическая группа циклическая группа порядка п

группа кватернионов порядка 8

дициклическая группа порядка 12

бинарная группа тетраэдра порядка 2 4

квазициклическая р-группа циклическая группа с образующим элементом g

сервантная подгруппа абелевой группы О, порожденная множеством ее элементов М

ранг группы (7 порядок элемента g группа автоморфизмов группы А тип однородной группы А прямая сумма групп А и В тензорное произведение групп А и В прямое произведение а сравнимо с Ъ по модулю р простое число

ГЛАВА I. ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ РАНГА 2, ОБЛАДАЮЩИЕ АВТОМОРФИЗМОМ ПОРЯДКА 4 (ИЛИ 6) И ИХ ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ

В этой главе рассматриваются абелевы группы без кручения ранга 2, обладающие автоморфизмом порядка 4 (или порядка б).

Известно, что если (7 - группа ранга 2 и (р - ее авто