Абелевы группы без кручения с конечными группами автоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

. РОСС;ШСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

сибирское отдшяиз 'институт математики -

Р Г Б ОД

-.5 СЕН

На правах рукотгсв УДК 519.541

НКПОВ Сергей Фёдорович

АЕЕДЕШ ГРУШИ БВЗ. ИЭТЕНКЯ С КОНЕЧНЫМИ ГРУППА?® ЛВГСЙРЖЖВ 01.01.06 - маташмгаескея логика, алгебра я теория чисел

Автореферат

дкссортадиж на сояскапза згчЗной-стеленз доктора <$нзнко-матеца?ячвскнх наук

Новосибирск -'1934

Работа выполнена а НИИ прикладное латамагжхв аг ие-уаиякя ара Томской государственной! университете км. В.В. КуЗбызеап . -

Официальные оппоненты

- доктор флэвко-катематдческах ваук, профессор

Бокум, Л.А.

- доктор ф-зЕко-иаа'ематнческы: наук, профессор

Левчук Б.М.

- доктор фсзвка-мате^&ткчесми наук, профессор

Мяхглёв A.B.

Згдучгя органязапля: Московокя! педагогэтесмй государственны! уняверсятет см. В.И. Ланянй

Зацята состоится " ¿0 " CKfn&fifJSk 1994 г. в изв. на заседаяшз спедЕалвзированного

Совета / Д 002.23.01 /' пря йютвту.а Математики СО РАН по адресу: 63С090, Новоскбирск-90, УняверсатетскаС проспект, 4.

С диссертацией «/ояно ознакомиться в баблиотеке Института Цате^атикЕ

Авторе^ рат разослан " /б " Й^ус/пе 1994 г.

Учёнай секретарь ¿¿ttf ', кУ С.Т.Федорнав

_ спедаалиэироьэшого- Совета Д 002.23.ОТ гри ИМ СО Р,Ш,

к. ф.-ы.н.

- з-

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. А.Г.Курок в заключения к первому йздантс своей монографии "Теория групп" £2], наметив программу изучения абелевых групп без кручения конечного ранга, сформулировал проблему изучения групп автоморфизмов абалевмх групп без крученая конечного ранга. Эта проблема включает в себя две задачи: I). бучить строение групп автоморфизмов абелеьых групп без крученая конечного ранга, 2). Изучить строение абеле-вых групп без кручения конечного ранга, пкевщих ту или ' иную группу автог.:зр|Езиов. Аналогичную проблем сформулировал и ¿.Ялс/гг в своей монографии "Бесконечные абе-левы группы" [В].

Группы автскор^зков групп конечного ранга, а таксам строение саких групп конечного ранга с той или шсЗ группой автоморфизмов, изучены кало. Одной из причин сложности изучения групп автоморфизмов групп конечного ранга является отсутствие казшх-либо структурных теорий для таких групп. Описания абелевых групп без кручения конечного ранга, данные А.Г.Курсзем[3], А.&Лзльцевш [4],]).0в*гу [7], не привели к какгамшбо существенным сдвигам а изучении кек самих групп конечного ранга, так и связанных с шиш алгебраических структур групп авто-ко-пфизмов, колец эндоморфизмов и'т.п. . Так что отсутствие "хорошей" классификации абелавых групп без кручения конечного ранга сдергивает изучение ах групп автоморфизмов.

Другой причиной сложности изучения: групп автоморфизмов групп конечного ранга является тот факт, что в отличие от периодических абелевых групп, абелевы групйи без кручения не определяются своими группами аэтомор^-физкгв, т.е. из изоморфизма групп автоиор^йзков абело-вых групп без кручения, как правило, ке'следует изо-морфазы саизх групп. Как показал, например,¿.Риск* [В), для веяного, бесконечного кардинала Ш (меньше-- пермис?.

-измеримого) с;'цествует неизоморфных групп мощности № , группы ев-томорфа'зготв которых изоморфны цюои-чесхой группе '¿-ого порядка .

Поскольку полное изучение вопросов, связанных о о»томорфи.змгт абелетх трупа без кручения, очень слок-но, то естествпыио кгклалнйать такие ограничении как на абьлевы г;-у;шы С, без кручения, таи и ка их груада автоморфизмов Jut(G) , которые бк сильно влияли на взаимосвязи мезду группами G и их группами автомор-фижог Aut (С) .

Одним из таких or здичениИ является конечность Группы Áut(Gr) . Фактически вое имеющиеся работа, связанные с изучением групп автоморфизмов абелевых групп без кручения, посвящены конечным группам автомо-^измов.

Первыми работами во конечным группам автоморфизмов абелевых групп без кручения является работы [10] ( }. Crï-eot ) , ÍI9J (H.%iebtÂ.B.Mitamla), в которых строятся примеры абелевых групп без кручения с конечными группами автоморфизмов. Глазными работами в этом направлении является цикл работ [II - 1&](}.Т. Hatfett,X. А. Шг ni) ь в которых полностью описываются конечные группы, жоторве могут быть группами автоыорфисмов абелшых групп без Кручен::я. Центральным результатом ях работ является следующая теорема: "Если конечная груипд Г является груздоС автоморфизмов некоторой вбелевой группы без кру-чеюиг, то Г есть водпрямое произведение конечного числа групп следующих типов: 2<г> ,I(t> , Z(S) (циклические группы порядков 2, 4, 6, соответственно), О, frpynna кватернионов порядка 8), VC1t (дпщпишчеезая группа порядка Le) я B7Í, (бинарная группа тетраэдра порядка 24)". Этими же авторами получен полный ответ иа вопрос о том, кекие подоряше произведения групп указан- „ них о-ти типов могут служить группами автоморфизмов абелевых групп без кручения. В» ¿.Никифоров [5] и Л Dm jos,

a.&ôieû [а] обобщила результат работы r9j, доказав теорему: "Если Г - конечная группа, реализуемая крч .

группа агтокор&изь'.оп некоторой абелевоЯ групп;; без вручения, то для всякого бесконечного кардинала Ш существует <2 иепзоморфнкх аделег.ых групп без кручения мощности Ш , группы автоморфизмов которых изоморфш группе Г ".

Что S3 касается самих абеле^их групп бе. кручения с конспшта группами автомор^лзков, то строение таких група не изучено. Единственно, что известно по это:.су вопросу, то это вышеупомянутые работы flOj, iХэЗ, [II <-I6j, а татае [5], 1вЗ, 1э1, в которых строят : различные примеры абедевых групп без кручения с конечными груп-пжи автоморфизмов. Отметим, что в осноэаом о атлх работах строятся ' тмера сильно неразложимых абелеснг групп без кр„ /енпя, группи автонорфлзшв которых гзомор£кы

Z<2> , Z(i) , Z(0) , Q, , [k„ или ВТг, . Что касается кзазиразломг.мх абелевых грулп без кручения с укг занншш 6-тью группами автоморфизмов, то таких примеров нет.

Данная диссертация посвящена изучении строения аба-левых групп без кручения конечного ранга с конечакж. группами вто:.:орфизмоЕ.

Цель работы. Абелевы группы бел крученая с конечными группами автоморфизмов не шегт ненулевых нильпотент-енх эндомор[яз:.-;ов (свободам от иильпотентностей). Нортону одна вэ целей работы замотается в то:/, чтобы пострг ять структурную чеоргао для кгазирлзлояш.;ых свободных. от вильпотентностей абелевых групп без кручения коночного ранга. НаР.ти систему внпариантоа, опксиваищтх данные группы с точностью до изоморфизма .я позголя:л!дгас изучать с их поиоаьп строение абелевих групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов.

Другой целью работы является разработка, метода из 1 -чеши строения абелевих групп без кр\-ченкя конечного ранга с конечными группами автоморфизмов и с помовдю этого метода описание различных классов групп без кру-

• пения. с конечным; группами автоморфизмов. В частности, одной из целей является скисание строения Квазира плохи--ыых абедзвшс групп без крученая конечного ранга, группы автоморфизмов которых игоморфны Z(2) , 2(*) , Z(C> , О, , jOC,» ЕЛИ ВТп . '

Сбцак «етодика иссллРсваэдгГ. Б работе ислользуют-ся метода теории квазгразложений абелевнх груш оез кручения. конечного ранга. Основи атсй теории разрэботал B.fasso» ¡17] я развив в дальнейшем J.D.ReiJ fl8j. Аппарат теории квазираз/ *енг?! активно используется ври изучюяи строения абелевсех групп без крученая конечного ! ранга, к особенно их колец эндоморфизмов. Что касается групп азтоморфтмоч, то в диссертации впервые гг-имвня- . ются методы теория квьзг. разложений для изучения автомор-' фкаков абелегых групп без кручения коночного ранга. При . атом разработан с*юй метод изучэншг групп автоморфизмов абелевнх груш без круче;;::« когечлсго ранга, основании? на продолкеша автоморфизмов разлтшшх квазиразлскений группа до автоморфизмов саиой группы к на установлении тескоС связи между конечностью групп автоморфизмов абе-ловых групп оез кручения конечного ранга и регулярностью аэтшорфизцол этих групц.-Этот метод основывается на структурной теории, пастроензой дм квазиразжшзгах свободных ст кклыютентностей г.белевнх групп без кручения конечного ранга, и сводит вопрос о продолкаеиоста авто— . морфг.змов квазяразло&ешгё rpvima к вопросу о разрешимости определённых систем сравнений 1-оЙ степени.

ручная цоь-ана. Бее осноянке результаты диссертанта является новыми. Оснсвкьаш результатами данной работы ыоашо считать следушее.

. I. Дм квавирэзлогшкых свободных от нелыютентное-тей абелев!?. групп без кручеш-л конечного ранга нпйденн инварианты ( гак называемые (А,Т) -тшш), -оторые характеризуют данные группы с точность?! до кзаморф;:эма.

2. Еелены структурные задачи для квазяразлохалшх свободных от шгльпогентностей аСолевых групп без кручения конечного ранга. А именно, доказана единственность полного хвазиразложения, установлена связь мезду произвольными кваз ира зложе нюши и полчки квазиразлояанием, рзшёа вопрос о разложимости таких груш в прямуэ сумму своих- подгрупп.

3. Найдены необходима и достаточные условия лро-долхаемоста автоморфизмов различных квазиразложений абелевых групп баз кручения конечного ранга до автоморфизмов самих групп. В частности, получено полное описание ряда классов абелевых групп.без кручения конечного ранга, у которых каждый автоморфизм любого её полного квазиразло&ення продолжается до автоморфизма самой группы.

4. Дана классификация групп автоморфизмов квазграз-лохимых регулярно полных абелевых групп без кручения конечного ранга. Показано, что эти группы автоморфизмов конечны, и ими могут служить группы /(г) , » !((•) ,

<2« , Г>С<г и ВТг<1 . Решён вопрос о существования хвазнразлоадашх-абелевых групп без кручения конечного ранга с такими группами автоморфизмов. Дана кяассвфшеа-цра групп автоморфизмов регулярно простых.абелевых групп без крученяя конечного ранга.

5. С помощью найденых инвариантов для свободных от кяныютентностей абелевых групп без кручения конечного ранга получено описание строения квазиразлоаимих регулярно полных и. регулярно простых групп. Цри этом разработав метод, позволяющий изучать строение произвольных абелевых групп без крученая конечного ранга с теми или иными конечными группами автоморфизмов.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Шлученные в ней результаты могут Сыть использованы как в само£ теория абелевых групп,'так и в теории ненодаяутативных групп, в теория КС'лед и модулей.

/

ч

/

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались.ка У11 (Шушенское), 1Х(Мосхва), Х(1Ъ-мель) Всесоюзны;: симпозиума», по теории групп, ка 1У (Ки-аинйв) и У1(Львое) Всесоюзных симпозиумах по теории колец, алгебр I: модулей, на ШКИинск], ХУ1П(Кишинёв), ХГХ(Львоз) Есесоазннх конферешсжс по алгебре к на Мех-дународных конпаренгдаях по алгебре .{Новосибирск, Барнаул я Красноярск}. Кроме того, результаты диссертации докладшзались на семинаре по теории колец и модулей в МГУ, на семинаре по теории групп в МГУ, на алгебраическом семинаре в ГЛПГУ и на семинарах, по теории ассодаа-тивннх колец и "Алгебра к логика" в.ИМ СО. РАН, а такае на алгебраическом семинаре Т1У. /

^блякатуи. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах. Бее работы без соавторов, кроме соЕмес 'ой монографии [21], из которой используются параграфы, написанные автором.

Структура к объём диссертации. Диссертация изложена на 176 страницах к состоит из введения а четырёх глав. Библал■•рафия содержит 80 названий, включая и работы «автора по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

'"Ч* „"

Во введении изложена история проблем, рассматри-' ваемых в данной диссертации, и основные результаты.

Первая глава- диссертации носят вводный характер, в ней вводятся основные понятия, определения и уста- • навливаззтея различные связи между .свойствами автоморфизмов абелевкс групп без кручения конечного ранга и свойствами юс квазиразлокений. Многие результаты этой вводной главы представляют самостоятельный интерес.

• В § I приводятся основные определения и факты та . теории квазиразлокениС абелевых групп без кручения конечного ранга, введённые в [17, 183, а такке получены новые факты, используемые в дальнейшем. ,

Говорят, что группа Сх без кручения конечного ранга квазправна подгруппе И ' , еслл факторгруппа

Чн конечна. Группа Сг кэаэпразлагается в поямуя двух своих подгрупп А и В , ее,подгруппа А таазиравна группе Сг . При этам А к В цаЕ1иапт-ся прялыыз квазгелагаемлм группы С , Боли группа С не обладает тагашя подгруппами А ®Б , то опа называется сильно неразлокдаой. Аналогично дается определение квазлразлокешзд группы £ в пряиуы сумку любого ко-вечного числа подгрупп. Подгруппа А " группы £ '

конечного ранга называется ее полек/ хяазяраолощением, если каждая подгруппа Л; сильно нерас-логсгма и сергант-на в Сг . , а подгруппа А квазиравна £ - (определение 1.4).

ОДгша С без кручения называется рггуляршъ замкнутой, если все её регулярный автоморфизмы вместе с тоз:-дественным автоморфизмом е образуют подгруппу в группе Ли-1 (С) . Труппа Сг называется регулярно полной, если все её автоморфизму, отличные от £ , регулярны. Группа С называется регулярно простой, зеля -£ единственный её регулярный автоморфизм (определение 1.13). Автоморфизм у> груяпн С называется регулярны, если уф . , , тогда и только тогда', когда % .

В теореме 1.12 даётся описание сильно неразложимых свободных от шиьнотектностей групп конечного ранта. В дальнейшем вся работа посвящена изучению гозазиразлонта. .с групп конечного ранга.

§2 посвящен вопросам продолкаемостк автоморфизмов различных квазиразлохений групп конечного ранга в част- . носта, полных квазиразложени? до. автомор?шиов самой группы. Яэлучены необходимые и достаточные условия продолжаемости нерегулярных автоморфизмов квазправпых подгрупп Д ®8 группы & до автоморфизмов самой группы.

& как бесконечного порядка (теорема 2.2), так я конечного (теорема 2.8). В частности, показано, что

■свойство груплн Ла-t(G) быть конечной инвариантно относительно пваэяраяенства' (слсдстаие 2.3)« Дк кзазираз-лохеше збелелых групп £ без крученая конечного ранга получено описание аччоллциН группы ¿иНй) (предложение 2.10), который агравт впхную роль при изучения гр 1п (г без кручения конечного раита с конечным» грушшла евтоморфазиов éu-t(C) . з этой ко гораграфе даётся полное описаете почти вполнз разл<шшых L -групп, т.е. таксх почти вполне разлох-мых групп, у которых всякий автоморфизм любого полного кзазжраздзкеахя продолжается до автоморфизма самих груш.

В § 3 изучается строена« абел-вых групп без кручения, оДладаяцех регулярными артоморфгзцаи» простого порядка р . Дэг-азако, что если абелева груша oes кру- . чешея обладает регулярным автоцорфшзиом простого порядка ¡> , то её ранг либо бескоазчен, люЗо леяггея на (теорема 3.4). Отсюда, как сдедстаже, подучено описание вполне разлоаапшх абелчадг груло Oes «зручешгя, обладателе регулярная» автоморфюиаыи простого порядка ( р (теорема 3.5). что обобщает жзвестны£ результат ра»-боты [I]. в [203 построен пример сыы.> вереалохзпю! абелепоС груша вез кручеши ранга р , облапздев автоморфизмом порядка />" . В теореме 3.9 даётся пмк ное опис?пяе таких групп я показывается, что фактически эпш примером жечершваэтея все сильно неразложимы9 абе-леш грулш без крученияранга рс автоморфизмам* порядка ' /> '.■'•-.->.' л//vx-г'" "•"'

Четвёртой параграф госэявён теореме Ьииета-Йрта о конечных грушах автоиор^гаков абелевих групп без кручения. Разреботаи новиС подход к пзученюв строения такта: групп автокорфизмоч, осковгшннР на регу^ярноа : полно геабелеетх групп без кручения, в даётся другое 'доказательство теоремы Зохлета-Харша.

В главе 2 строятся структурная теори" квазкразло-юшнг свободных от нкльпотентностеС абалезых груда без

- II - ' круче н::ч конечного ранга.

Оснопнны результатом § 5 шляется иахная

ТЕОРЕМА 5.5. Пусть £ - абельза группа конечного ранга, А - - некоторое ео паяное квазарауло-

жйгае. ,Дяя группы & следупцее условия экяиваяеаткы: а) групза й- , свободна о* нильЕотеятностеЛ; б^ для любого »'«7* к-ХосАг и Нот(Л;,А;)*0 для всех7-г,к , ^ ;

в) ей я для любых £,/»Т^к , £ ,

г) дня любого »»«.к Дг вполне характеристична в б> в 4г = ;

д) С = б и для любого 4-С* вшше характеристична в Сг .

Из 5той теоремы затекает, что любой автоморфизм / группы С представляется в ввде вектора ,

где - ограничение ва А1 , г»£к . При этом оказывается, что автоморфизм у регулярен тогда я только тогда, когда для каждого ц .И изуче-

ние автоморфизмов" группы С- фактически сводится к вопросу о продолжаемости автоморфизмов ОД,, до автоморфизмов группы С . того, из зтой оремы вытекают следуюпщв утверждения, каеаддаеся строения свободных от нилыютентностей абелевых групп без кручения конечного ранга. Свободная от шаьпотентноетей группа конечного ранга обладает единственным полным кг -зяразложенивм (теорема 5.6), Любое серваятвое квазислагаемое свободной от нкяьпотентностей группы конечного ранга является сервантной оболочкой некоторого семейства групп А- её полного квазиразложеккн А » а дополнительное квазислагаемое - серваятная оболочка остальных подгрупп 4; (теорема 5.7).

В 5 6 находится система инвариантов для хвазжраз-

■лсжтанх свободных от нилыютентностсй груш Сг ко- , нечного. ранга. Любая такая груша £*• является расширением единстЕекного её полного кзаэиразлояення А

с помоаьг фиксированной конечное группы 7'3 ^¡А . Всякая такая группа, называется (А,Т) -группой.'

Пуст;, - ранг /> -компоненты Уг груша 7* , о с 5Г . 1^азложе!ше группы Т. фиксируем так, что' ела-

гаеиыэ типа 2(р) располагайте^ в порядке возрастания . пок&зателеГ. 2 . фей. «/<■/>» - » 1Я» ¿'/>4*-

чкело слагаемых типа , « - и <

Обозначим через. !*>>« множество чисел {,

нрчщ1!' • >

...* Тогда группа Т зателвтея в виде

Т " ) - Цгсть - /з -ранг груп-

пы , , , т.е. размерность группы

^-■//>.4; , рассматриваемой как векторное пространство над полом . В каждой группе , «"»<Г* , я

для каздого />«X" фиксируем р-базис И] >

¡1 - , т.е. такув систему элементов, что / -

базис грушш . Обозначив столбец из элементов

, черед В(р\ . Д*я целочисленное мат-

рицы раагера через М/^у обозначим

3 -ую страду матрицу М/); , _/»(,«/$»). Тогда оказывается, что любая. -группа ¿3 может быть записана в виде . -- .' „

Таки,! обрагом, мздой (А,Т) -гагате & ставится ь соответствие набор матрад . Этот набор матрщ, незичаеккЕ (А ,Т) -тег м, образует систему инвариантов, хазактеризувднх • (И ,7") -груши-

£ . Для (Л,Т)-типов получены ответы ка вое "опросы, лрвдаявляевые к системам инвариантов. А именно: найдены условия, которым долкны удовлетворять .числа Жр> я , £-<,* , чтобы масс. (А,Т)~грулп был яз пуст (теорема' 2,4); кайцаны условия, которых» доляеч удовлетворять. произвольный пабэр целочисленных матриц

размерае/р>, чтобы определял (А/Г) -группу (теорема 6.8); выяснено, как меняется (А, Г) -тел яри замеко р -базисов В г/о; (теорема 7.4); выяснено, как меняется (Л ,7)-тип при заме-пе образующих , ре"* (теорек, 7.2).

Б § 7 с помощью введённого понятия . (¿,7)-ти1а изучается структура ("Л,?1)-групп. Решена задача об юоморЛизме (/ Т) -групп (теорема 7.6), задача о раз-лсижк-л'Я (Л ,Т)-грудп в прямую сумму своих подгрупп (теорема 7.В)и ряд друга задач структурного характера. При этом оказывается, что решение, структурах в с -росбв об (А ,Т) -группах сводится к реагента оярэдвлён-дах систем с ранения первой степени. Например, имеет место следующая .

ТЕОРЕМА. 7.8. фсть (Л,Т) -группа Й- определяется (ДУТ)-типом . Группа С, разлетается в прямусумму двух своих -эяулоинх подгрупп 50Гда и толы» тогда, когда существует такое собственное непустое подмножество Я^-!"/',--,*/. тго Л1Я всех р б сГ разрешима системы сравнений

X<Р>М'Г>1 (П>3 0 ("О*р"""1' К Пса отом б - <.<©>!- >, «<.©, •

Здесь и в дздьнеГаем под /№/>>,• пр понимается матрица, полученная из путём умногения • у-ой

зтроет, I!(?>,* , на •

. Е*ава 3 посвящена изучении групп автоморфизмов регулярно замкнутых груш. Основным результатом § 8 является следующая.

ТИОРШ 8.6.- Группа- £ без кручения конечного

-14 - V;.:'-.;-' ';•:. ■ ,

ранга регулярно замкнута тогда и только тогда, когда она лйо регуля^з полмэ, либо регулярно проста.

• В §§ 9, 10 научаются г4дшк автоморфизмов регудяр-но полных групп. Доказано, что «сяк квазиразлоюмая группа 6 конечного ранга регулярно полва.то ев группа еятоыорфяэмоя изоморфна , 2(0 , 2(6)

» РС„ ыя В (теорема 9,1)^ фа этом оказывается, что регулярно полные группы - это тот самый фундамент,' на котором строятся все группы конечного ран-: та с конечными группами автоморфизмов. Волк группа автоморфизмов групп; Сг без крученая изоморфна : 2(гу ,

Z(*У , О» или В ^ , то группа С регуляр- >'/ но полна (теорема 9.3), Что касается груда Кс) в , то существуют не регулярно полные группы без кручення конечного ранга, грушш автоморфизмов которых изоморфны Я^б) ила 2>£„ (теоремы 9.4 и 9.5).

Кзс ухе отмечалось, в [5] и £8} доказано, что если группа Г изоморфна 2(гу , ¿М , ¿(6) , Ог , 2>С1а или 67!» , то для всякого бесконечного хар-

выдавала «г существует с неизоморфных груш мощности Ш , г руппы автоморфизмов которых взоморфам Л . В йтих работах, во-первых, утверждается существование лишь сильно неразложимых групп с дак шя группами автоморфизмов. А во-вторых, для трупп конечного ранга эти работа не дают ответа на вопрос о существовании трупа с тагами группами автоморфизмов, имеющих тот или иной конечный ранг. Что касается квазяразлоимнх групп конечного ранта, группы автоморфизмов которых изоморфны Кг У , Ш , КйУ * 09 , 3>С* ял» , *» в § 10 получены следующие результата.

1. Для любого натурального числа ¿к существует

2 кеизоморфннх групп ранта ;'у которые ква-зиразлокимы, регулярно полны, и грушш автоморфизмов которых иаоморфны (влн ¿(6)) (теоремы 10.4, 10.5).

2. Для любого натурального числа 4* существу-

й « неюздарфякх квазеразлояоамх регулярно потных груш ранга 4к , группа автоморфизмов которых изоморфны б, <РСлкля (теорема 10.6).

3. Дня любого «атуралького числа к (юга Я*) „ Я,

Существует 2 нмгзэморфпнх яе регулярно Пояяа.г групп ранга к (соответственно 2к) , групт. автоморфизмов которых изоморфны 2ч.) (соответственно ореиы 10.7, 10.6). ,

В § II рассматриваются группы автоморфизмов регулярно простых групп конечного ранга. Шяаганс, что группы автоморфизмов регулярно простых групп являются »вечными 2-групламя (теорема II.I). В тмреме II.3 доказано, что ъс многих случаяя регулярна»! простота группы Сг конечного ранга эквивалентна разлоишост* . группы АиИ&) в прямое зроизселение групп типа Кг). Получена яеготораяхярактерйзацрятаих групп (теоре ма П. 4). Однако существуют группы конечного ранга, ко-торке регулярв« просты, во группы автоморфизмов которое. яе разлагается в прямое произведение групп типа ¿(г) (теорема И.7).

Птах'; 4 посвящена описанию строения регулярно пол-пыхи регулярно ростах групп на яз » (А,Т) -типов. В $ 12 даётся полное описание ¿-групп (см- § 2) конечного ранга с конечными группами автоморфизмов, т.е. таких (Д/П-груш С с конечной группой „

у которых кадпнй автоморфизм подгрушш /1 яродояаа-е*ся до автоморфизма группы 6 , что эквивалентно изоморфизму групп ; ^о^ (С) и АЛ М (теорема 12.2).

. В теоремах 12.6 - 12.12 на язкке (4,7)-тапов даётся полное описание регулярно полных Ц,Т) -групп, группы автоыорТвзмов шторых кзоиэр£ии , 2(4) ,

> , О* , РС» или , з в теоремах 12.13

и 12.14 - описание не регулярно полных групп, группы автоморфизмов которых йзоморфнн > или 1)Сп . к примеру, имеет место

ТЕОРША. 12- - Цусть & - неразлокшая (А3Т) -

группа, определяемая ¿А.Т^-типом .....,N41*,г*?} .

Группа ^«¿(О изоигарйня бТг„ тогда я только тогда,

когда заполнены условия:

(II для такдсго индекса ¡¿1 ЛиШ^'Ц/г!/*'

. . 3 ВТи •

(2) во множестве I нет -подмаокеств и нет Р,-

подмаокеств; ... ( 3) для Й-матриц ф^р) , разрешимы

системы сравнений для каждого

Ыср):(Гг)Фгц» ^У^Мсру^М^ХИ! . . , Здесь матрица - ¿то целочисленная мат-

рица размера , которая в базисе ¡>А: ,

/« «■ у, , задаёт автоморфизм группы , инду-

цироваь ^Й автоморфизмом $ , где ¿'р.у - это /> -базис группы , в котором определён данный (А,Т) ~ яш (определение 7.5).

Шд Ц, -водмшжеством донимается такое подмножество Я . из индексного множества . I , что ¿«5Г я разрешимы системы сравнений .

ЛюМиД) шщстутс « п V Ш^гу^^оЫсАг^"0)

а для

А V); СГГ) = ,1б1\М„

(определение 12.5). Аналогично определяется ^-подмножество.

Аналогичным образом даётся описание строения кваз&-разлоашмых групп конечного ранга (регулярно полных и не регулярно полных ) , группы автоморфизмов которых кзоыорф- ■

вы г<пк ъс,г ..

В § 13 получено описание строения регулярно простых

(А,Т) -групп. Дастся описание (А,Т) ~групп, груд-пы автоморфизмов которых разлага .тся в прямое про аз ведение групп типа Z(2) fтеорема 13.4X Прп'ятом оказывается, Что строение таил: групп тесно связано с лове-' деяяем 1>г -подмножеств в индексном мио'-естве I . Ноли tN(f),? ...jN'f)H>pCS J - (4,7\)-тип, то на множестве 1>г(1) всех T>i -поданогзстя задается операция (М,пМг)и(1\(М,Ш1г)) .относительно которой становятся элементарное абелепой 2-груп-пой, которая изоморфна подгруппе всех шгеолюцвЯ группы jkuiiù) (следствие 13.5). В теореме 12.7 даётся описание регулярно простых (A,Т) -групп, групп-; автоморфизмов которых не разлагается в прямое произведение групп типа 1(1) .

Результаты главы 4, а такке :.:етсет, разработанные в этой и so второй главе, показывают, что на языке -

{А ,7) -типот! можно получить описание строения любой группы конечного ранга с тоГ или иной конечной группой автоморфизмов. Фактически описанло таких групп сводится к описанию сютно неразложимых групп, группы автоморфизмов которых изоморфны Z(2 ) , ZU) Z(C) ,

0% •» ^Ci ô^iv • в к решению соответствующих систем сравнений перве:": степени, метода решэчкя которых достаточно хорошо разработаны.

. ЦИГИМВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Глухов M.N'», Ларин C.B. Абелевы и метабелевы группы с регулярными автоморфизмами и полуавтоморфизма-ля:.//Метем. заметки, 1972, т. 12, JS 6, с. 727-738.

2. Курош А.Г. Теория групп. - И.: Наука, 1967, 648 с.

3. КуроИ А. Г. Pumitive totiion fteie a Seichen Giufftn

von endliche* Rony. //Ann. of MM., (Щ SS, P. W-Z05.

4. Мальцев А. И. Абелевы группы конечного ранга без кручения.// Штем. сб., 1938, т. 4, с. 4S-68.

-тя -

5. Никифоров B.Ä. 1бедевы групш без кручении о конечными группами автоморфизмов.// Матем. заметки, 1986,

• т.' 39. й 5, с. 641-646.

6. фукс Л. Бесконечные абелевы грушш, т. 2. - М.: Мир, 1977, 416 с_.

7. betbjf V. Uln eint Hasse von Cluppcn.'// Ptoc. London MM. See., i9H, v. iS, p.iSO-SOS.

8. JJejet/i., GrSitt R. Eveiy cotot*iop-ftu. tin^ is an endo-motphlim tin^. llPtoc. landerr Not!.. Sa?., Uli, vAS^iit-Цб

9. Fuchs L. JnJecompoiailt (¡6eCian ytoups of mcasu-lui't catdinaSities. üJst. наг. лбЫ mal. Cents, < nov.-Jic., tm, v. 15, London - VcvrYotk, (mt f. Ш-¿H. .

10. Gt-c ^ J. 7nJe.compo&&£te afetian ytoup%, S Jndaf H»th., HS*, v. Л, р. Ш-Н*.

и. Haidt iT.jutck кх Tatiibn-jtte tjXOupc, f

аЛотегрЬ'чт poups.// /Jfße/>a] fS6S, v.Z^5, p.£H~l3t.

12. H^tSstt J "„HiisebKA. Die Kpnsttaiteon von Etappen mit vpi%zstk%i£ienen A utomczpfitsm^iupptn./I¿f. teine iW Mitk.r($63, Z5i-Ziot p.SZ-ie, *

13. HaSlettHiiscti K,A. &ioupb ef exponent 4 04 autompipki s/n ^zoupi0//M»th. Z., WO, v, //?, p. № -пв.

14. НаСШ /.'f., Hluck K.A. FiniU poups o{ e.*poncnt '< a%

15. Watleü }.t, Ii Usch K.A. Fr«: U poapy ef e-tponent IS, «% auUmoip^m poupsJi^tk. 2., fW, v.

16. Hititb K.A., Zassenbaus H. finite.., automorph!im jün«./>S. о/ Utbion fite ^гоирь. Ü /. London M»tk.Sac., 1366, V. И, V3, p.

17. yonsion Ь, ; On Ji te et dttcmpt>*ïtior>i. of /ors» л fire oietion poups. ¡¡MM. Seam/., (953, y.ï t р. Ш-3Ï1.

18. Ret J, /■ & rte l.'nj о/ ^uabi - endomoip/it'.rn ef

¿aliion ftte jiettp%. H Тер, ici in Àfe/сая (x*ouf>*. Cb:*b%at Mlinoti, тЪ. p. ¿1-63.

19. VlUb H., MttanJa /1,6. wltt « ïmatl numée-i

tlNotk. 2., 195lt +6$, p. iS6-U<r.

20. Zasbtnhaus H. OtJtt* ль en Jometphtim cj meâuUi of the а оме taukS ¡f.lonJon Math,

Ét , *.it, p./to-hi.

РАБОТЫ АВТОРА Ш Ш

ДЙССБРГАШШ .

21. Беккер И.1., Кожухов С.Ь. Автоморфизмы абмевах групп безкручения. - Томск: изд - во И7, 1988, 169 с.

22. Есяухо» С.Ф. Регулярно полнке абелевн группы.// Иаь. вузов, /tarai., 1980, # 12, о. 14-Г9.

23. ЕЮсухов С,О. Абелевн группа без кручения о конечным* группами автоморфизмов.// Всесовзн. си/п. по теория групп. Тезисы. - Красноярск, 1980, с. 49.

24. Кожухов С.Ф. О продолжении автоморфизмов в модулях. // 1У Всесоизн. симп. по теории колец, алгебр г Модулей. Тезисы. - Кишинёв, Г.Э80, с. 52-53.

'>.5. Ктаухов С.Ф. Регулярно простые абелевн группы.// Езв. вузов. Матем.,1981, JH, о, 24-40.

26. Кбхухов С.Ф. Абелевн группы без кручёнкя с конечными группами автоморфизмов.// СЕб. матэм. я., 198г, т. 22, ïï 5, с. 221.

27, Кожухов С.Ф, Абелевы группы без ьфучегаш с конечными группами автоморфизмов.// Редк. Сиб. матем. ж.,-рукопись депонирована в ВИНИТИ, Деп. В 4930-

80, 13 с.

28.' Кожухов С.'Р. Продолжение аэтомср&кзиов в почти

вполне разл.-чпкых абелевых группах.// Абелевы группа и «одула. - Тсуск, яэд - во ТГ/, 1982». с. 117127.

29 Кожухов С.Ф. Сб одном классе почти вполне разло- . та абелевых групп без кручения.// йв. вузов. Мате:.:., 1583, К 10, с. 29-Ээ.

30. Кожухов С.Ф. Абелем группы без кручения с регулярны« автоморфизмами простого порядка.// Матер. ХУЛ Воеговзн. ко. по алгебре, тезисы, ч. I, -Минск, 1983, с. 117.31. Когухов С.Ф. Почти вполне разложимые абелевы группа бес кручения.// IX Всесоязн. симп. по теории групп, тезисы. - ЕГ., 1984, с. 143-144.

32. Ко?1ухой С.Ф.О распиреняях абелевнх групп без кручен^.// 2У1П Всесотон. коиф. по алгебре, тезпсы, т. I - Кизтаов, 1935, с. 261.

33. Хоя^ов С.Ф. Почти вполне разложимке абелевы труппы без крученая с примерными факторами.// Абелевы группы н модули. - Томск, яэд - вс ТГУ, 1985, с, 42-55.

34. Кояухов С.Ф. Об одном классе абелевых груш с регулярными автоморфизмами простого порядка.// Абелевы группы и модули. - Томск, г.зд - во ТГУ, Т9У6, с. 50-56. ...

35. Колухов С.Ф. Абелевы группы без кручения с конечными группам» автоморфизмов.// X Всесоган. сиш. по теория грунт тезисы. - Мгнск, 1986, с. 114.

36. Кояухоз С.Ф. Абелевы группы без изучения конечного ранга без кильпотентннх эндоморфизмов.// Спб. ывтем. я,. 1988, т. 29, К I, с. 58-69.>

37. Когухов С.б. Конечные группы автоморфизмов абелевых групп без крученая конечного ранга.// Из г». АЯ СССР, сер. иатек., 1988, т. 52, Х> 3, с-. £01-521. '

38. Кожухов С.Ф» Абелегн группы без кручения конечно -

го ранга о конечным* группами автоморфизмов.// Меж- < дународаая нояф. по алгебре, доки, по теория колец» • алгебр * модулей, тезисы. - Новосибирск, 1989, с. 61*

39. Кожухов С.б. Регулярно простые абеяевк группы без вручения конечного ранга.// Международная конф. по алгебре, тезисы докл. по теории колец, алгебр и ыо-нодулей. - Барнаул, 1991, с.53.

40. Кожухов С.Ф, Об автоморфизмах порядка 2 абелевых групп йез кручения конечного ранга.// Меадупародная ковф. по алгебре, тезисы докл. - Красноярск, 1993, о. 155-156. I