Группы конечного неабелева ранга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

Специализированный совет К 063.98.01

На правах рукописи

ГРУППЫ КОНЕЧНОГО НЕАБЕЛЕВА РАНГА

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

(

ДАШКОВА Ольга Юрьевна

УДК 512.544

Новосибирск. 1990

Работа выполнена в отделе алгебры и топологических методов анализа Института математики АН УССР.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

[Д.И.ЗАЙЦЕВ|

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.М.ГОРЧАКОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент А.П.ПЕТРАВЧУК.

Ведущая организация - Институт математики и механики

Уральского отделения АН СССР.

Защита состоится б декабря 1990 г. в 14 часов на заседании специализированного совета К 063.98.01 по присувдению ученой степени кандидата физико-математических наук в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского университета.

Автореферат разослан "__ 1990 г.

Ученый секретарь совета Д В.А.ЧУРКИН

доцент "

Понятие ранга группы первоначально возникло в теории абелевых групп как аналог размерности векторного пространства. А.И.Мальцевым (1943 г.) оно было распространено на произвольные группы двумя способами - посредством введения понятий общего и специального рангов. По определению, группа имеет конечный общий ранг X , если 1 - такое наименьшее число, что всякая конечно порожденная подгруппа содержится в подгруппе, обладающей не более чем Ъ порождающими элементами. Группа имеет конечны? специальный ранг Ъ , если Ъ является наименьшим числом с тем свойством, что всякая конечно порожденная подгруппа группы может быть порождена не более чем X элементами. Условие конечности специального ранга группы получило широкое распространение и специальны/ ранг сейчас обычно называют просто рангом.

Изучению групп конечного ранга посвящено множество работ советских и зарубежных авторов. Зундаментальную роль здесь сыграла работа А.И.Мальцева "О некоторых классах бесконечных разрешимых групп" (1951 г.), в которой были предприняты исследования линейных разрешимых групп и на" этой основе вьдвинута и в большо? мере осуществлена программа изучения различных классов разрешимых групп конечного ранга. В этой работе доказана знаменитая теорема о почти триангулируемости разрешимой группы матриц над алгебраически замкнутым полем, получившая впоследствии название теоремы Кол-чина-Мальцева, а также получен ряд других известных результатов. Разрешимые группы конечного ранга и группы их автоморфизмов изучались в работах В.М.Глушкова, Д.М.Смирнова, В.С.Чарина, М.И.Каргаполова, Ю.М.Горчакова, Ю.И.Мерзлякова и др. М.И.Каргаполовыы была доказана глубокая теорема о конечности ранга разрешимой группы, ранги абелевых подгрупп которой конечны. Впоследствии она была обобщена на радикальные группы Бором и Хайнекеном. Аналогичный результат, как показал Ю.М.Горчаков, справедлив и для периодических локально разрешимых групп, В.П.Щунков доказал соответствующую теорему для локально конечных групп. Вместе с тем Ю.И.Мерзляков построил пример локально разрешимой группы, ранги абелевых подгрупп которой конечны (эти подгруппы даже конечно

порождены;, но ранг само? группы бесконечен.

Отметим, что класс разрешимых групп конечного ранга охватывает такие виды групп как полициклические группы, разрешимые минимаксные группы (т.е. группы, обладающие конечным, субнормальным рядом, факторы которого абелевы и удовлетворяют условию минимальности или максимальности), группы с конечным рациональным рядом и др. Эти виды групп тесно связаны с группами конечного ранга, так, например, конечно порожденная разрешимая группа конечного ранга минимаксна (Робинсон).

Условие конечности ранга группы ив настоящее время широко используется б различных теоретико-групповых задачах.

Сравнивая условие конечности ранга с другими условиями конечности, например, с условиями минимальности или максимальности, можно увидеть, что последние рассматривались для подгрупп разных типов, в частности, абелевых, нормальных, неабелевых, примарных и т.д., в то время как условие конечности ранга использовалось, как ^то уже отмечалось выше, только для абелевых подгрупп группы. Ввиду итого естественно использовать идею ранга группы и для других видов подгрупп. С ^то"« цель^ б диссертации вводится следующее определение, являющееся расширением понятия специального ранга группы.

Определение . Пусть С - группа, 7 - некоторая непустая система ее конечно поровденных подгрупп.

Т — рангом группы С* назовем такое наименьшее число X , что любая подгруппа системы Т может быть порождена не более чем Т 'олементами. В случае, когда такого числа 7, нет, Т-рипг грушш С считается бесконечным. •

''Определение принадлежит Д.И.Зайцеву).

Отметим, что если ^ состоит из всех конечно порожденных подгрупп группы, то понятие 7 —ранга совпадает с понятием' специального ранга группы. С другой стороны, конечность общего ранга группы равносильна конечности — ранга группы для некоторой локально? системы конечно порожденных подгрупп "ТС/ группы.

В работе изучаются группы конечного У —ранга в следу-адиг трех случаях:

I) т - система все-' неабелевых конечно порожденных

подгрупп группы (группы конечного неабелева ранга);

2) Т - система всех неабелевых непериодических конечно порожденных: подгрупп непериодической группы (группы конечного неабелева О-рангаУ,

3) 9 - система всех метабелевых (т.е. неабелевых дву-ступенно разрешимых) конечно порожденных подгрупп группы •группы конечного метабелева ранга);

а также исследуется строение разрешимой группы, все метабе-левы подгруппы которой имеют конечные ранги.

Все результаты работы, полученные при изучении групп конечного т —ранга в перечисленных выше трех случаях и при исследовании строения разрешимых групп с метабелевыми подгруппами конечных рангов, являются новыми.

Полученные результаты и примененную методику исследований можно использовать при изучении групп с заданными свойствами нектороя системы их подгрупп.

Результаты диссертации обсуждались и докладывались на ХХТУ и ХХУ Всесоюзных научных студенческих конференциях (г. Новосибирск, 1936г., 1987 г.), X Всесоюзном симпозиуме по теории групп (г. Гомель, Г986 г.), ХТХ Всесоюзно? алгебраической конференции (г. Львов, 1987 г.), семинарах по теории групп Института математики АН УССР (г. Киев, 1937 - 1990 гг.), конференции молодых ученых Института математики АН УССР (г. Киев, 1988 г.), МевдународноЯ конференции по алгебре (г. Новосибирск, 19Ш г.), семинаре "Эварист Галуа" (г. Новосибирск, 1990 г.), Киевском городском алгебраическом семинаре (г. Киев, 1990 г.), алгебраическом семинаре Института математики и механики Уральского отделения АН СССР (г. Свердловск, 1990 г.).

Основные сезультаты диссертации опубликованы в работах

[I - а].

Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Объем работы - 108 машинописных страниц, список литературы -50 наименований.

В диссертации рассматриваются только неабелевы группы. Во введении обосновывается постановка задачи и дается обзор содержания диссертации. Необходимые обозначения и определения, а также известные теоремы, используемые при доказатель-

стве новых результатов, приводятся в первой главе.

Отметим, что символами ъ (&) , X (GO и (G}

обозначены соответственно специальный, неабелев и метабелев ранги группы G .

Вторая глава диссертации посвящена изучению групп конечного неабелева ранга. Следует отметить, что ранг группы не является, вообще говоря, функцией ее неабелева ранга. Вместе с тем можно указать некоторые частные случаи, когда функции такого вида существуют. Один из таких наиболее простых случаев выделен в теореме I.I, а именно, в этой теореме доказано, что ранг локально нильпотентной группы без кручения равен ее неабелеву рангу.

Достаточно важной для дальнейшего изучения групп конечного неабелева ранга оказывается установленная в § 2 теорема 2.1.

Теорема 2.1. Разрешимая группа конечного неабелева ранга имеет конечный ранг.

Доказательство теоремы 2.1 опирается на ряд лемм. Так, пример сплетения двух групп простого порядка р показывает, что ранг абелевых подгрупп разрешимой группы не является функцией неабелева ранга группы, тем не менее в лемме 2.1 доказано, что ранг центральной подгруппы ограничен функцией неабелева ранга.

Лемма 2.1. Если G - неабелева конечная или разрешимая группа, то , _ .

ъ(КСг)) 4 5 i- l(G>

Доказательство этой леммы основано на использовании свойств групп Миллера-Морено и результата ф.Холла о финитной аппроксимируемости конечно порожденных метабелевых групп.

В доказательстве теоремы 2.1 применяется также лемма 2.4, которая представляет самостоятельный интерес.

Лемма 2.4. Если А - абелева группа без кручения бесконечного ранга, G - ее неединичная полициклическая группа автоморфизмов, то в А существует периодический (^-фактор, имеющий бесконечный ранг, причем G в нем действует нетовдественно.

В доказательстве этой леммы используется ряд результа-

tob 5.Холла.

Цель третьего параграфа состоит в том, чтобы, опираясь на теорему 2.1, распространить ее на случай локально почти разрешимых групп, который охватывает как локально разрешимые, так и локально конечные группы.

Для периодических локально разрешимых групп этот результат получается нетрудно с применением операторного аналога теоремы Ю.М.Горчакова о локально разрешимых периодических группах, полученного Д.И.Зайцевым и Хартли. Доказательство конечности ранга локально конечной группы конечного неабеле-ва ранга использует кроме локально разрешимого периодического случая еще теорему В.В.Беляева о локально конечных группах с черниковскими силовскими р —подгруппами (теорема 3.1).

Далее мы переходим к исследованию непериодических групп и поэтому пользуемся понятием неабелева 0-ранга. Основным результатом изучения непериодических групп конечного неабелева 0-ранга является теорема 3.2.

Теорема 3.2. Локально почти разрешимая непериодическая группа конечного неабелева 0-ранга имеет конечный ранг.

Основной момент в доказательстве теоремы 3.2 состоит в установлении ограниченности в совокупности 0-рангов конечно порожденных подгрупп группы. При этом наиболее сложен случай, когда группа является локально почти абелевой. После того, как ограниченность 0-рангов конечно порожденных подгрупп группы установлена, для доказательства теоремы достаточно применить метод проекций.

С использованием теоремы 3.2 получается основной результат, который в достаточно широком классе характеризует группы конечного неабелева ранга и охватывает полученные ранее результаты (теоремы 2.1 и 3.1).

Теорема 3.3. Локально почти разрешимая группа конечного неабелева ранга имеет конечный ранг.

Отметим, что изучение свойств разрешимых групп конечного неабелева ранга - это по существу задача о метабелевых (т.е.неабелевых двуступенно разрешимых) группах, поэтому возникает естественная мысль рассмотреть группы, в которых

условие конечности ранга накладывается только на метабелевы конечно порожденные подгруппы. В этом случае задача об изучении строения разрешимых групп становится более сложной.

При исследовании групп конечного метабелева ранга (глава 111) используются результаты второй главы, связанные с ме-табелевыми группами.

Отличие кеабелева ранга от метабелева возникает и в случае локально нильпотентной группы без кручения. Так, например, показано, что метабелев ранг группы 1г>5~ строго меньше ее специального ранга. Вместе с тем имеет мест( следующая оценка: ранг локально нильпотентном группы без кручения конечного метабелева ранга Ъ не превосходит (теорема 5.2). Приведенная оценка, возникшая из результата Н.З.Сесекина об оценке ранга нильпотентной группы без кручения в зависимости от рангов ее абелевых подгрупп, указывает на тесную связь метабелева ранга локально нильпотентной группы без кручения с рангом ее абелевых подгрупп.

В § 5 мы выделяем некоторые классы групп, для которых из конечности метабелева ранга следует конечность ранга группы. Среди них - класс локально конечных групп.

Теорема 5.1. Локально конечная группа конечного метабелева ранга имеет конечный ранг.

Более общим классом с таким свойством является класс локально почти нильпотентнкх групп (теорема 5.3). Теорема 5.3 используется, в частности, для доказательства следующего результата.

Следствие 5.1. Если группа С является расширением локально конечной группы при помощи локально почти нильпотентной и

то ранг группы С* конечен.

Как непосредственно следует из теоремы 2.1, для метабе-левых групп из конечности метабелева ранга вытекает конечность ранга группы. Вместе с тем уже в классе, очень близком к метабелевым. группам, а именно, е классе центрально-метабе-левьге групп, существуют примеры групп, имеющих конечный ме-табелеь, но бесконечны? специальный ранг. В § б приводится

;сотБетствующа<т конструкция. В группе, элементами котсрог твляются патрицы

оЦ (г, пг) =

■ 1 Ъ ->

а - т. I пт

(г2 + т |гг - тг

■'де п , Ш - целые числа, ке равные нулю одновременно, вы-;еляется свободная абелева подгруппа А конечного индекса. Группа А сохраняет косссиуметричееку® билинейную форму ( ш векторное пространстве V размерности 2 над полем рацио-тльных чисел и интерпретируется как группа автоморфизмов (пуступекно нильпотентной группы Л без кручения ранга 3. Згроитсг полупрямое произведение С = л ^ А . Доста-'от'нс полное описание свойств группы С дает теорема 5,1.

Теорема 6.1. Существует разрешимая группа С :о следующими свойствами:

1) Сг - Л X А , где Л - дву ступени о нильпо-ентная подгруппа без кручения ранга 3, А - свободная абе-:ева подгруппа счетного ^анга; ¿

2) 1 ~ й , Л 7 I - и , где 2 - центр годгруппы Л , $ - аддитивная группа рациональных чисел;

3) для центра группы О- имеет место равенство

4) каждый отличны? от единицы элемент подгруппы А .еЯствует неприводимо на "факторе И/ Z ;

51 метабелев ранг группы С равен 3, причем всякая етабелева подгруппа группы О содержится в Л .

Отправляясь от отого примера, в диссертации указаны и ругие примеры групп, имеющих конечный метабелев, но беско-ечны?> специальны* ранг: группа, у которой подгруппа Л меет ранг 5И. , где II - любое- натуральное число, а также руппа, у котсрс? центр периодически?. .

В связи с приведенной конструкцией естественно возни-ает вопрос о том, насколько строение произвольно" разрешись группы конечного метабелева ранга, имеюще* бесконечны" пециальный ранг, близко к строению группы из теоремы 6.I.

§ V доказана-теорема 7. Г," которая показывает, что пост'ро-нный пример является достаточно типичным. Эта теорема сс.-

держит достаточно полную информации о строении групп конечного метабелева ранга с точностью до подгруппы конечного индекса.

Теорема 7.1. Если G - разрешимая группа конечного метабелева ранга, то либо G имеет конечный ранг, либо G содержит подгруппу И конечного индекса, обладающую следующими свойствами:

1) И — -N X А , где Si - нильпотентн.'я подгруппа конечного ранга, £\ - свободная абелева подгруппа бесконечного ранга;

2) zсю = z(JV) = z.

3) Я I ~Т- - группа без кручения, И/Z _ группа без центра.

Доказательство этой теоремы существенно использует результаты § 5. Подгруппа Н , разложимая в полупрямое произведение X А , находится при помощи теоремы Леннокса и Робинсона о существовании нильпотентного добавления к нормальным подгруппам разрешимых групп. Креме того, теорема 7.I распространяется на локально разрешимые группы (теорема. 7.2).

Следует отметить, что существование в разрешимой группе подгруппы конечного индекса, обладающей указанными в теореме 7.1 свойствами I - 3, не является достаточным условием конечности метабелева ранга группы.

В § 8 исследуется строение разрешимой группы, все мета-белевы подгруппы которой имеют конечные ранги. Теорема 8.1 о строении разрешимой группы с метабелевыми подгруппами конечных рангов в точности совпадает с теоремой 7.1, и поэтому позволяет высказать гипотезу о том, что условия конечности метабелева ранга и конечности рангов всех метабелевых подгрупп группы для разрешимой группы эквивалентны.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

I. Дашкова О.Ю. Группы конечного неабелева ранга // Материалы ХХ1У Всесоюз. науч. студ. конф. Математика, Новосибирск, 8-10 апр. 1986 г. - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1986. - С. 14 - 17.

2. Дашкова О.Ю. Группы конечного неабелева ранга // X Всесо-юз. снмпоз. по теории групп, Гомель, 9 - II сент. 1986 г.: Тез. докл. - Минск: Ин-т математики АН БССР, 1986. - С. 72

3. Дашкова О.Ю. О группах конечного неабелева ранга // XIX Всесоюз. алгебр, конф., Львов, 9 - II сент. 1937 г.: Тез. сообщ. - Львов: Ин-т прикладных проблем механики и математики АН УССР, 1987. - 4.2. - С. 31 - 82.

4. Дашкова О.Ю. Локально разрешимые группы конечного неабелева ранга Ц Меедунар. конф. по алгебре, Новосибирск, 21 -26 авг. 1989 г.: Тез. докл. по теории групп. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1989. - С. 42.

5. Дашкова О.Ю. Разрешимые группы конечного неабелева ранга // Укр. мат. »урн. - 1990. - 42, .V» 2. - С. 159 - 164.

6. Дашкова О.Ю. Локально почти разрешимые группы конечного неабелева ранга //Укр. мат. журн. - 1990. - 42, 4. -С. 477 - 482.

7. Дашкова О.Ю. Группы конечного метабелева ранга. - Киев, 1990. - 35 с. - (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 90.1).

8. Дашкова О.Ю. Разрешимые группы с метабелевыми подгруппа!/,и конечных рангов // Комплексный анализ, алгебра и топология. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990. - С. 38 - 41.

Подписано к печати 26.09.90 Форма? бумаги 60x8^ 1/16 Объем 0,75 п.л. Заказ 274 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР 630090, Новосибирсн-90, Университетский проспект,4