Аксиоматические ранги квазимногообразий групп без кручения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Половникова Елена Сергеевна

УДК 512.54.01

АКСИОМАТИЧЕСКИЕ РАНГИ

КВАЗИМНОГООБРАЗИЙ ГРУПП БЕЗ

КРУЧЕНИЯ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор А.И. Будкин

Барнаул - 1999

Содержание

Введение ........................................ 3

Глава 1. О (^-теориях 2-порожденных групп без кручения с данным аксиоматическим

рангом ............................... 14

§1. Предварительные сведения .......... 14

§2. Мощность множества (^-теорий 2-по-

рожденных групп без кручения ...... 25

Глава 2. Аксиоматические ранги квазимногообразий нильпотентных групп ....... 32

§1. Квазимногообразия аксиоматического

ранга 2 и 3 .......................... 32

§2. Квазимногообразие г>) .......... 36

глава 3. Квазимногообразия аксиоматического ранга 2, содержащие свободную неабе-

леву группу ............................ 48

§1. Базис квазимногообразия Т2 ......... 48

§2. Объединение квазимногообразий

аксиоматического ранга 2 ........... 54

§3. Континуальность решетки ... 58

Литература ...................................... 63

Введение

Основателем теории квазимногообразий алгебраических систем является выдающийся математик академик А. И. Мальцев. Теоретический фундамент общей теории квазимногообразий был заложен им в работах [20, 21, 22], где, в частности, доказаны структурные теоремы о характеризации квазимногообразий на языке фильтрованных произведений, являющиеся аналогом теорем Г. Биргкофа [20] для многообразий; а также доказано, что среди аксиоматизируемых классов полной теорией определяющих соотношений обладают квазимногообразия и только они.

В настоящее время теория квазимногообразий получила бурное развитие. Выделим, во-первых, работы В. А. Горбунова [12, 13, 14], в которых дана характеризация квазимногообразий на языке обратных пределов, а также найден оригинальный метод исследования решеток квазимногообразий. В работах М. Е. Адамса и В. Дзебяка [29] и В. А. Горбунова [30] разработаны методы вложения свободной решетки в решетку квазимногообразий. Существенный вклад в теорию квазимногообразий групп внесен А. Ю. Ольшанским [25], которым исследовались локально конечные квазимногообразия и, в частности, установлена конечная аксиоматизируемость квазимногообразия, порожденного конечной группой с абелевыми силовскими подгруппами. Отметим работы А. И. Будкина [1, 2, 4, 5], посвященные исследованию вопросов аксиоматизируемости квазимногообразий, а также его работы [6, 8, 9], относящиеся к изучению решеток квазимногообразий, сыгравшие важную роль в развитии теории квазимногообразий групп. Список публикаций по теории квазимногообразий весьма значителен, в частности, эта область нашла свое отра-

жение в книгах А. И. Мальцева [20], В. М. Копытова и Н. Я. Медведева [16], В. А. Горбунова [31].

Напомним определения: (^-теория класса К — это множество Тд(А') всех квазитождеств над счетным алфавитом, истинных во всех группах из класса К. Подмножество Е С называется базисом (^-теории класса К, если всякое квазитождество а Е Т£}{К) является следствием множества Е квазитождеств. Говорят, что аксиоматический ранг (^-теории равен п, если данная (^-теория обладает базисом квазитождеств от п переменных и не обладает базисом квазитождеств от меньшего числа переменных. Если такого числа п не существует, то данная (^-теория имеет бесконечный аксиоматический ранг. Понятие аксиоматического ранга оказалось весьма полезным и широко исследовалось для многообразий групп (см., например, [24]). Задача изучения аксиоматических рангов для квазимногообразий впервые была поставлена Д. М. Смирновым [17] (вопрос 3.52).

Аксиоматический ранг (¡¡)-теории является одной из важных ее характеристик. В частности, бесконечность аксиоматического ранга (^-теории влечет отсутствие у этой (^-теории конечных базисов. К настоящему времени вычислены аксиоматические ранги ряда естественных и важных объектов теории групп. Отметим некоторые результаты в этом направлении. Аксиоматический ранг квазимногообразия, порожденного конечной группой с неабелевой силовской подгруппой, найден А. Ю. Ольшанским в [25], квазимногообразия, порожденного всеми конечными группами А. К. Румянцевым в [26]. Аксиоматические ранги широкого класса неабелевых квазимногообразий (квазимногообразий, порожденных свободной группой, группой с одним определяющим соотношением, свободной разрешимой группой, конечно-порожденной нильпотент-

ной группой) вычислены А. И. Будкиным в [4, 5, 2]. Аксиоматические ранги этих квазимногообразий, как и ряда других (^-теорий важнейших классов групп, оказались бесконечными.

Серьезным продвижением в изучении аксиоматических рангов конечно порожденных групп явился метод А. И. Будкина [7] построения (^-теорий 2-порожденных групп данного аксиоматического ранга, основанный на вложении в квазимногообразиях счетных групп в 2-порожденные группы. Используя этот метод, им в [1] для каждого натурального п,п > 2, построено континуальное множество (^-теорий 2-порожденных групп данного аксиоматического ранга п. Все эти 2-порож-денные группы имеют кручение. Естественно возник вопрос о существовании для каждого натурального числа п,п > 2, континуального множества (^-теорий 2-порожденных групп без кручения аксиоматического ранга п. Используя указанный метод А. И. Будкина, этот вопрос решен в данной диссертации.

В процессе развития теории квазимногообразий роль понятия аксиоматического ранга существенно возросла. Ясно, что множество всех квазимногообразий, имеющих в данном квазимногообразии N аксиоматический ранг меньший или равный п, частично упорядочено относительно включения и образует решетку, обозначаемую через Ь™(АГ). Оказалось, что во многих случаях изучение решетки квазимногообразий сводится к изучению решеток вида Например, из работ В. А. Горбунова [30] и В. И. Туманова [27] следует, что решетка является гомоморфным образом решетки ЬЧ{М) квазимногообразий, содержащихся в ЛЛ Более того, если N — локально конечное квазимногообразие, то решетка ЬЧ{А[) аппроксимируется решетками Ь™(ЛГ). Решетка ЬЧ{М) (В. А. Горбунов [14]) является обратным пределом решеток вида

В следствие этого изучение решеток можно рассматри-

вать как естественный подход к исследованию решетки квазимногообразий Ьд(ЛГ).

Диссертация посвящена исследованию аксиоматических рангов квазимногообразий групп без кручения. В ней получены следующие основные результаты.

1. Для каждого натурального числа п,п > 2, доказана континуальность множества (^-теорий 2-порожденных групп без кручения с данным аксиоматическим рангом п.

2. Показано, что не существует квазимногообразий ниль-потентных групп ступени < 2 без кручения аксиоматического ранга 3.

3. Найдено описание класса квазимногообразий 2-нильпо-тентных групп без кручения аксиоматического ранга 4, каждому из которых соответствует группа с циклическим коммутантом.

4. Установлен базис квазитождеств наименьшего квазимногообразия аксиоматического ранга 2, содержащего неабеле-ву абсолютно свободную группу и доказана континуальность решетки ИЧ{Т<1). Доказана неразложимость квазимногообразия в объединение в решетке ЬЧ{Т<2).

Диссертация содержит 66 страниц, состоит из введения, трех глав и библиографии. Список литературы состоит из 38 наименований.

Методы, применяемые в диссертации, опираются на абстрактную теорию групп, универсальную алгебру и теорию определяющих соотношений.

Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток квазимногообразий групп.

Результаты диссертации докладывались на семинарах " Те-

ория групп" Алтайского государственного университета, Международной конференции по алгебре, посвященной памяти М. И. Каргаполова (Красноярск, 1993 г.), Международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1997 г., 1998 г.).

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [33]- [38].

В работе используются терминология и обозначения, принятые в теории групп (см., например, [15], [20], [24]). Для ссылок на утверждения применяется двойная нумерация. Например, ссылка на лемму 2 из главы 3 имеет вид 3.2.

Приведем краткий обзор содержания диссертации и полученных результатов.

Как обычно через 14, Р, Z обозначим соответственно множества натуральных, простых, целых чисел. Зафиксируем некоторое р Е Р. Через обозначим квазитождества :

п

Фр = (хР ШХг^п+г] = ук(к^1[у,х{] = 1) ^ [х,у] = 1),

г=1 п

Ф = (Ш^п+г] = ук^^у.Хг] = 1) у = 1),

г"=1

Пр = (х~~1ух = ур у = 1).

Здесь и в дальнейшем условимся при написании квазитождеств кванторы всеобщности опускать.

Основным результатом главы 1 является

Теорема 1.13 Множество С}-теорий 2-порож.денных групп без кручения, имеющих аксиоматический ранг, равный данному натуральному числу п, континуально (п > 2).

Для каждого непустого подмножества I множества Р простых чисел в главе 1 определяется квазимногообразие -М(/), заданное

а) множеством {Фр,0,р\р 6 1} квазитождеств, если п — нечетное число;

б) множеством € /} квазитождеств, если п — четное число.

Установить, что аксиоматический ранг квазимногообразия ■М(1) равен п, позволяют следующие леммы.

Лемма 1.11. Пусть

п

Ср = гр(хи... ,х2п,х,у\\хр Ц[хг,хп+г] = у,[у,хг](г = 1,...,2п)),

%=1

где р £ Р. Если А — 2п-порожденная подгруппа группы Ср, то квазитождество Фд истинно в группе А.

Лемма 1.12. Пусть

п

Н = гр(х! ... ,х2п,у\\ Ц[хг1хп+г] = у,[у,хг](г = 1,...,2п)).

Если А — (2п — 1)-порожденная подгруппа группы Н, то квазитождество Ф истинно в группе А.

В основе доказательства этих двух лемм лежит метод последовательного вложения данной группы С, развитый в [1], при котором специально подобранная матрица М(СД) преобразуется в конечном итоге в матрицу с нулевым столбцом. Доказательство этих лемм существенно опирается на лемму 1.10.

Лемма 1.10. Пусть группа N задана представлением

N = тр({хт,ат}те71,у\\{[хрт,у],[ат,у]}те71),

тогда квазитождества Фд,Ф истинны в группе N.

Далее показывается, что М{1) Ф Л4(3) при I ф 3 и квазимногообразие Л4(1) замкнуто относительно прямых сплетений. Следовательно, по [3] (^-теория квазимногообразия М.{1)

является (^-теорией некоторой 2-порожденной группы. Это завершает доказательство основной теоремы главы 1.

Ранее отмечалось, что при изучении решеток квазимногообразий имеет смысл исследовать решетки квазимногообразий аксиоматического ранга, не превосходящего данного числа, так как последняя является гомоморфным образом решетки квазимногообразий [27]. Этот подход к исследованию решетки квазимногообразий групп применен в главе 2 для квазимногообразий нильпотентных групп ступени < 2 без кручения. Через Л/2,00 обозначим класс всех нильпотентных групп ступени < 2 без кручения. Заметим, что Л/2,00 в классе всех групп имеет аксиоматический ранг, равный 2, что следует из [24, стр.128]. В разделе 1 изучены квазимногообразия нильпотентных групп ступени < 2 без кручения аксиоматических рангов 2 и 3. Доказана

Теорема 2.1. Не существует квазимногообразий нильпотентных групп ступени < 2 без кручения, имеющих аксиоматический ранг 3.

В [10] А. И. Будкиным и В. А. Горбуновым развит метод невложимости, который состоит в следующем.

Пусть

Ф = (Ужх) ...(Уж„)(*1 = 1 к...ки = 1 —> V = 1),

где и = и(хъ...,хп), V = ь(х1,...,хп). Мой^{Ф) — квазимногообразие, содержащееся в Л/" и определенное в классе N квазитождеством Ф. Сопоставим квазитождеству Ф группу С, которая в классе Л/2,00 имеет представление

С = гр(ж1, ..., хп || ¿1 = 1, ... = 1).

Ясно, что (7 = -РП/ЛГ5 где N — наименьшая нормальная подгруппа , содержащая ¿1, ... фактор-группа по которой —

группа без кручения. Гп — свободная в Л/Ь группа ранга п, где Л/*2 — класс всех нильпотентных групп ступени < 2.

Пусть Т — множество всех гомоморфизмов ф группы С таких, что в группе ложна формула V = 1 при подстановке Х{ —»■ ГС(г = 1, ... , 77.) и

(0,ь)={0*\феТ}. (1)

Через N(0, у) обозначим класс групп из N2,001 в каждую из которых не вложима ни одна группа из (1). В [10] доказано, что Мос1^(Ф) = N(0^). Это, в частности, означает, что на всякое квазимногообразие можно смотреть как на класс, состоящий из всех тех групп, в каждую из которых не вложима любая группа из некоторой заданной совокупности групп. Такой подход позволяет использовать глубокие результаты теории групп при изучении квазимногообразий, как это сделано, например, в [25].

Естественно зафиксировать какие-то групповые свойства и изучать квазимногообразия вида г>) для групп О, удовлетворяющих этим свойствам. В разделе 2 такими свойствами группы С являются свойства "иметь циклический коммутант" и "иметь число порождающих < 4". Основной результат главы 2 — найдены все квазимногообразия вида ]У(С,г>) аксиоматического ранга 4 в случае, когда коммутант С — циклическая группа. А именно, доказана теорема

Теорема 2.4. Пусть й — 4-порожденная нильпотентная ступени 2 группа без кручения с циклическим коммутантом С =■ (у). Если квазимногообразие iV(G,?;) имеет аксиоматический ранг 4, то оно определяется квазитождеством Ф, где

Ф = ([ж4,жз] = [Х2,Х1] & [Х4,Х2] = 1 & [Х^Х\] = 1 & к [ГЕз,Ж2] = 1 & [жз,жх] = 1 -)• [Х2,хх] = 1).

Как уже отмечалось, квазимногообразия аксиоматического ранга, не превосходящего данного числа п, образуют решетку Ьп и эта решетка является гомоморфным образом решетки квазимногообразий групп. В главе 3 изучается решетка Ь^.

Пересечение квазимногообразий групп без кручения аксиоматического ранга 2 также будут иметь аксиоматический ранг, равный 2. Доказана

Теорема 3.5. Пусть Т2 = где Л4{ пробегает мно-

жество квазимногообразий групп без кручения аксиоматического ранга 2, содержащих абсолютно свободную группу Тогда в классе групп без кручения задается следующей системой квазитождеств:

ш(х,у) = 1 ->[х,у] = 1,

где и^х^у) пробегает множество нетривиальных слов из коммутанта П} свободной группы

Объединение в решетке квазимногообразий групп квазимногообразий аксиоматического ранга 2, вообще говоря, может иметь аксиоматический ранг не равный 2. Доказаны следующие теоремы

Теорема 3.8. Пусть Л41, Л42 — несравнимые квазимногообразия в решетке квазимногообразий групп без кручения. Если квазимногообразие М.\ содержит свободную неабелеву группу, то квазимногообразие Л4 = Л4\\/Л^2 имеет аксиоматический ранг, больший либо равный 3.

Теорема 3.9. Пусть Л4х, — несравнимые квазимногообразия в решетке квазимногообразий групп без кручения аксиоматического ранга 2. Если квазимногообразие М.\ содержит свободную неабелеву группу, то квазимногообразие М. = М.\ V М.<1 имеет аксиоматический ранг больший или равный 4-

Пусть А, В — группы, а Е %(А), Ь Е 2(В). Тогда группу А х В/(аЪ~1) условимся обозначать через А х В (а = 6). Легко заметить, что существуют изоморфные вложения ф : А —Ах В(а = Ь),ф : В А х В(а = Ь) такие, что А х В (а = Ъ) = = = (а*). Группы ,4 т Аф, В и Вф

условимся отождествлять.

Для каждого натурального п, п > 2, и г Е {1,. ■ •, га} рассматривается группа

п

= Гр(ж1^, ... , Х2п,11 || П -^п+к,г] =

к=1

= 1{к = 1,... 2п)). По определению полагаем

Лх)П = Б15А2)„ = А1х В2{г 1 = 22),...,

Ащ^п ~ Ат—X — ^т) •

Доказываются следующие свойства введенных групп.

Лемма 3.10. Всякая п-порожденная подгруппа группы Ат,п принадлежит квазимногообразию д^.

Лемма 3.11. АШ)П Е

Лемма 3.12. Пусть — натуральные числа. Если

га > 3, д > 2тп, то при любом р квазитождество Фт>п истинно в группе АРЛ.

Лемма 3.13. Предположим, что группа АРЛ не содержит абелевых подгрупп ранга т, тогда квазитождество ФТО)П истинно в группе Ар д.

С помощью указанных лемм доказывается

Теорема 3.14. Решетка Ти^Т^) континуальна.

Это утверждение является основным результатом главы 3.

Пользуясь случаем, автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.И. Будкину за постоянное внимание к работе.

Глава 1

(¡^-теории 2-порожденных групп без кручения с данным аксиоматическим рангом

В главе 1 рассматривается вопрос о мощности множества (^-теорий конечно-порожденных групп без кручения данного аксиоматического ранга. В общем случае, при наличии кручения, этот вопрос был решен в [1], где для каждого натурального числа п доказано существование континуального множества (3-теорий 2-порожденных групп (с кручением). Нетрудно заметить, что существует только одна (^-теория нетривиального класса групп без кручения аксиоматического ранга 1 — это теория класса всех групп без кручения. В главе 1 доказано, что для каждого натурального числа п,п > 2, множество (5-теоРий 2-порожденных групп без кручения с данным аксиоматическим рангом, равным п, континуально.

Отметим, что в основе главы 1 лежат методы комбинаторной теории групп, развитые в [1, 2].

1.1. Предварительные сведения

Через Фр,Ф,Цэ обозначим квазитождества :

п

фр - (хР ПК^п+г] = уЩ&*=1[у,Х{] = 1) ->• [х,у] = 1),

¿=1

п

ф = (Ш^п+г] = = 1) У = 1),

г=1

= (х~1ух = ур у = 1).

Напомним некоторые определения. Пусть X = {хх,х2,...} — конечный или счетный алфавит, Р{Х) — свободная груп-

па, свободно порожденная множеством X, и а — гомоморфизм группы Р{Х) на некоторую группу С. Если Р, • ■ ■

— множество определяющих слов группы О в алфавите X при отображении ск, то соответствующее представление г