О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Лодейщикова Виктория Владимировна

О КВАЗИМНОГООБРАЗИЯХ ЛЕВИ, ПОРОЖДЕННЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ГРУППАМИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 СЕН 2011

Барнаул - 2011

4853137

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Алтайского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Будкин Александр Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Романьков Виталий Анатольевич

кандидат физико-математических наук

Мищенко Алексей Александрович

Ведущая организация:

Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится 20 октября 2011 года в 16-00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.07 при Омском государственном университете им. Ф. М. Достоевского по адресу: 644099, г. Омск, ул. Певцова, 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55-А.

Автореферат разослан " августа 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ДМ 212.179.07,

Ф м

к.ф.-м.н., доцент 1£1£4*** 0 д Семенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Покрытием группы G назовем всякую такую систему подгрупп этой группы, что теоретико-множественное объединение этих подгрупп совпадает с G. Исследование влияния свойств покрытия на строение самой группы — одно из актуальных направлений теории групп. Этой области теории групп посвящена данная диссертация.

Покрытие называется расщеплением,, если пересечение любых двух подгрупп из этого покрытия есть единичная группа. Изучение покрытий и расщеплений групп началось в работах П. Г. Копторовича1. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, в том числе и относящихся к конечным группам, можно найти в работе П. Г. Конторовича, А. С. Пекелис и А. И. Старостина2.

Покрытия конечно-порожденных абелевых групп изучались А. Ро-зенфилдом3. Ю. Ш. Гуревич4 указал некоторые условия для того, чтобы группа обладала покрытием из собственных характеристических подгрупп. Например, для периодических абелевых групп необходимым и достаточным условием служит неограниченность порядков элементов.

Также наряду с покрытиями подгруппами можно рассматривать покрытия группы подмножествами с теми или иными дополнительными свойствами. Например, Б. Нейман5 и П. Кон6 исследовали покрытия групп попарно перестановочными конечными подмножествами. Б. Нейман7 изучал покрытия групп конечным числом смежных классов. Им доказано, что коммутант группы G конечен, если G обладает конечным

'Конторович П. Г. Групп!,! с базисом расщепления, I // Матем. сб. - 1943. - Т. 12(54), № 1. - С. 56-70; Его же. Группы с базисом расщепления, II // Матем. сб. - 1946. - Т. 19(61), № 2. - С. 287-308; Его же. Группы с базисом расщепления, III // Матем. сб. - 1948. - Т. 22(64), № 1. - С. 79-100; Его же. Группы с базисом расщепления, IV // Матем. сб. - 1950. - Т. 26(68), 2. - С. 311-320; Его же. Инвариантно покрываемые группы, I // Матем. сб. -1940. - Т. 8(50), № 3. - С. 423-436; Его же. Инвариантно покрываемые группы, II // Матем. сб. - 1951. - Т. 28(70), № 1. - С. 79-88.

"Конторович П. Г., Пекелис А. С., Старостин А. И. Структурные вопросы теории групп // Матем. зап. Уральск, ун-та. - 1961. - Вып. 1, Т. 3. - С. 3-50.

3Rosenfeld A. Finitely generated abelian groups as unions of proper subgroups // Amer. Math. Monthly. - 1963. -V. 70, № 10. - P. 1070-1074.

4Гуревич Ю. Ш. Группы с характеристическим покрытием // Матем. зап. Уральск, ун-та. - 1963. - Т. 4. -С. 32-39.

5Neumann В. Н. Groups covered by permutable subsets // J. London Math. Soc. - 1954. - V. 29, № 2. - P. 236-248.

6Cohn Р. M. A countably generated group which cannot be covered by finite permutable subsets // J. London Math. Soc. - 1954. - V. 29, № 2. - P. 248-249.

7Neumann В. H. Groups covered by finitely many cosets // Publ. Math. Debrecen. - 1954. - V. 3. - P. 227-242.

покрытием подгруппами с конечными коммутантами.

В теории групп существует довольно много теорем, имеющих вид: если некоторое свойство А имеет место для всех конечно-порожденных подгрупп какой-либо группы, то свойство А имеет место и для всей группы. Так, например, группа G имеет нормальную разрешимую (соответственно центральную) систему подгрупп, если такую систему имеет каждая конечно-порожденная подгруппа группы G. А. И. Мальцев8 показал, что такие предложения не являются, в своем большинстве, специфически алгебраическими и могут быть получены как непосредственные следствия одного общего предположения математической логики.

Особый интерес представляет изучение свойств группы G, которые следуют из свойств групп некоторого покрытия группы G.

Пусть дано теоретико-групповое свойство £. Будем говорить, что группа G обладает свойством L(£), порожденным свойством £, если нормальное замыкание (х)а любого элемента ж из G обладает свойством £. Свойство L(£) называется свойством Леей, порожденным £. Изучение свойств Леви следует рассматривать как шаг в направлении исследования строения групп, покрываемых системой нормальных подгрупп.

Впервые свойство Леви было введено в работе Л. К. Kannf? под влиянием работы Ф. Леви10, в которой исследовались группы с абелевыми нормальными замыканиями вида (х)а. Применительно к нильпотент-ным группам и их обобщениям это свойство достаточно подробно изучалось, например, в работах Л. К. Каппе и Р. Ф. Морса11.

От свойств Леви естественно перейти к классам Леви. Для произвольного класса A4 групп обозначим через L(M) класс всех групп G, в которых нормальное замыкание (х)° любого элемента х из G принадлежит A4. Класс L{M) групп называется классом Леви, порож-

^Мальцев А. И. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп // Учен. зап. Ивановен, пед. ин-та. - 1941. - Т. 1, № 1. - С. 3-9.

9Kappe, L. С. Он Levi-formations // Arch. Math. - 1972. - V. 23. - P. 561-572.

10Levi F. W. Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic conditions //J. Indian Math. Soc. - 1942. - № 0. - P. 87-97.

"Kappe L. C., Morse R. F. Groups with 3-abelian normal closures // Arch. Math. - 1988. - V. 51, № 2. - P. 104-110; Kappe L. C., Morse E. F. I.evi-properties in metabelian groups // Contemporary Mathematics. - 1990. - V. 109. -P. 59-72.

денным M. i

Р. Ф. Морсом12 доказано, что если М. — многообразие групп, то L{M) также многообразие групп. А. И. Будкиным13 установлено, что если M — квазимногообразие групп, то Ь(Л4) ' — также квазимногообразие групп.

Известно, что произведение двух нормальных нилыютентных подгрупп произвольной группы является нильпотентной подгруппой. Следовательно, если квазимногообразие М. содержит лишь нильпотент-ные группы (т. е. нпльпотентное), то квазимногообразие L(M) является локально нильпотентным (из работ J1. К. Каппе, Bi Каппе14 и К. Вестона15 следует, что L(M) может не быть нильпотентным, а из результатов J1. К. Каппе и В. Каппе16 вытекает, что оно содержится в многообразии n-энгелевых групп для подходящего натурального числа п).

Как обычно, под qK. будем понимать квазимногообразие, порожденное классом групп /С. Если класс /С = {G} содержит лишь одну группу G, то вместо qJC будем писать просто qG.

А. И. Будкиным17 доказано, что если Ai — нилыютентное квазимногообразие, Л4 — множество всех конечно-порожденных групп из М, то выполняется равенство L(qM) = qL(M). Там же установлено, что если ЛГ — класс всех конечно-порожденных нильпотентных групп, А/о — класс всех конечно-порожденных нильпотентных групп без кручения, то аналогичное утверждение неверно, и справедливы строгие включения qÁÍo С L(qJ\fo) и qßf С L(qAÍ), откуда, в частности, следуют неравенства L(qMэ) ф qL(J\ío) и L(qJ\f) ф qL(N).

Также А. И. Будкин18 показал, что квазимногообразия L(qAÍ), L(qM3) замкнуты относительно свободных произведений, каждое из этих квазимногообразий содержит не более одного максимального

12Morse R. F. Levi-properties generated by varieties // The mathematical legacy of Wilhelm Magnus. Groups, geometry and special functions (Contemporary Mathematics, V. 169), Providence, Ш, Am. Math. Soc. - 1994. - P. 467-474.

13Будкин А. И. Квазимногообразия Леви // Сибирский математический журнал. - 1999. - Т. 40, № 2. - С. 266270.

'"Kappe L. С., Kappe W. P. On three-Engel groups // Bull. Austral. Math. Soc. - 1972. - V. 7. - P. 391-405.

15 Weston K. W. ZA-groups which satisfy m-th Engel condition // Illinois J. Math. - 1964. - V. 8, № 3. - P. 458-472.

16Kappe L. C., Kappe W. P. On three-Engel groups ... P. 391-405.

1тБудкин А. И. О классах Леви, порожденных нильпотентными группами // Алгебра и логика. - 2000. - Т. 39, № 6. - С. 635-647.

18Будкин А. И. О классах Леви, порожденных нильпотентными группами ... С. 635-647.

собственного подквазимногообразия и что если квазимногообразие М замкнуто относительно свободных произведений, то таковым же является квазимногообразйе L{M).

Обозначим через J\fc многообразие нилыютентных групп ступени не выше с, через Fn(M)свободную группу в квазимногообразии Л4 ранга п.

Из работы Ф. Леви19 следует, что класс L(N1) является многообразием 2-энгелевых групп. В работе J1. К. Каппе и В. Каппе20 доказано, что класс L(Л/2) совпадает с многообразием 3-энгелевых групп.

А. И. Будкиным21 установлено, что если /С — произвольное множество нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядков 2 и 5, и в каждой группе из К. централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, является абелевой подгруппой, то L{qtC) С Л/3. В действительности, в доказательстве этого результата отсутствие элементов порядка 5 нужно было только для установления того, что всякая 3-порожденная группа из L(qlC) нильпотентна класса < 4, поэтому в работе А. И. Будкина. и JI. В. Тараниной22 данный результат был усилен и доказана аналогичная теорема для произвольного множества нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядка 2.

Рассмотрим группы, имеющие следующие представления вЛ/2: Нр = гр(гс, у || [х,у]Р = 1), Ну* = гр{х,у || [х,у]Р = xpS = ур' = 1),

где s £ N, р — простое число.

Набор qHps (исключая 1), qHp, qF-iiNi) {р — простое число), представляет собой полный список почти абелевых квазимногообразий нильпотентных групп (т. е. неабелевых квазимногообразий нильпотентных групп, все собственные подквазимногообразия которых абе-левы).

Данная работа посвящена описанию классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп.

l9Levi F. W. Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic conditions ... P. 87-97.

20Kappe L. C., Kappe W. P. On three-Engel groups ... P. 391-405.

21Будкин А. И. Квазимногообразия Леви ... С. 266-270.

22Будкин А. И., Таранина Л. В. О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами // Сибирский математический журнал. - 2000. - Т. 41, № 2. - С. 270-277.

Целями диссертационной работы являются:

1. Описание классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп.

2. Исследование классов Леви, порожденных квазимногообразиями нильпотентных групп ступени не выше 2, содержащих элементы порядка 2.

3. Доказательство существования классов Леви, порожденных квазимногообразиями нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 8, содержащих нилькотентные группы ступени больше 3.

Методика исследования ориентирована на использование классических методов теории нильпотентных групп и теории определяющих соотношений.

Научная новизна работы. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Найдены описания классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп (исключая Ь(дН2))-

2. Пусть К. — произвольный класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2" (п — фиксированное натуральное число, п > 2) с коммутантами экспоненты 2 и в каждой группе из К, элементы порядка Тп (0 < т < п) содержатся в центре этой группы. Доказано, что класс Леви, порожденный квазимногообразием цК. совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2".

3. Найдена мощность множества квазимногообразий К таких, что:

1) 1С содержит нильпотентные ступени не выше 2 группы экспоненты 4, •

2) в каждой группе из К. элементы порядка 2 содержатся в центре этой группы,

3) класс Ь(1С) совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 4.

Она оказалась континуальной.

4. Доказано существование класса /С такого, что /С — класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 8 с коммутантами экспоненты 2 и во всякой группе из К. централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс содержит нильпотентную группу ступени 3.

5. Установлено существование класса /С такого, что во всякой группе из 1С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс Ь(д/С) содержит нильпотентную группу ступени 4.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях классов Леви.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены наХЫУ международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2006); Девятой региональной конференции по математике "МАК-2006" (Барнаул, 2006); Седьмой международной конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры" (Эрлагол, 2007); Десятой региональной конференции по математике "МАК-2007" (Барнаул, 2007); Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2007); Двенадцатой региональной конференции по математике "МАК-2009" (Барнаул, 2009); Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2009); семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" ИМ СО РАН (Новосибирск, 2009); Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2010). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на семинаре "Теория групп" Алтайского государственного университета.

Публикации. Все основные результаты работы были опубликова-

ны в [1] - [10]. Три работы опубликованы в> ведущих рецензируемых научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией [8] - [10].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 72 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается изложение современного состояния изучаемых проблем и приводится краткий обзор содержания работы.

Пусть <7^2(А'г) ~~ квазимногообразие, порожденное свободной группой ранга 2 в классе нильпотентных групп ступени не выше 2, (¡^(Л/^р) — квазимногообразие, порожденное относительно свободной группой ранга 2 в классе нильпотентных групп ступени не выше 2 экспоненты р (р — простое число, р Ф 2). Первая глава посвящена исследованию квазимногообразия Леви, порожденного классом qF%{Л/г).

Раздел 1 содержит вспомогательные теоремы и утверждения. Завершает данный раздел доказательство лемм, в которых указаны условия принадлежности группы квазимногообразию qF^fJ^) и квазимногообразию д^2(Л/2,р).

Лемма 1.1.2. Пусть H — 2-ступенно нильпотептная группа без кручения, порожденная элементами х,х\,... ,хп, и rp(xi,... , Xfij ляется свободной абелевой подгруппой ранга п. Тогда H G qF2(N-2).

Лемма 1.1.3. Пусть H — 2-ступенно нильпотептная группа экспоненты р (р — простое число, р ^ 2), порожденная элементами X, Х\,..., хп, и гр(хь ...,хп) изоморфна прямому произведению п циклических групп порядка р. Тогда H G <7^2(Л/*2,Р).

В разделе 2 доказываются основные теоремы первой главы, содержащие описание квазимногообразия Леви, порожденного классом

qF2(AÎ2).

Пусть Afc,оо — квазимногообразие нильпотентных групп без кручения ступени < с, К,р ~~ многообразие нильпотентных групп ступени < с экспоненты р.

Теорема 1.2.1. Пусть N — одно из следующих квазимпогообра-зий: N2,оо, Л/г.р (р — простое число, р ф 2) и пусть 1С — произвольный, класс групп из М, содержащий иеабелеву группу. Предположим, что во всякой группе из К централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, является абелевой подгруппой. Тогда

1) если N = Л/2,00» >яо £(<//С) = Л/3,00 и

2) если Я = Л/*2,р, то = Л/"з,р.

Теорема 1.2.2. Квазимногообразие Леей, порожденное классом <7^2 (Л/г), совпадает с квазимногообразием нильпотептных групп ступени < 3 без кручения.

Зафиксируем простое число р, р ^ 2. Пусть (¡IIр — квазимногообразие, порожденное относительно свободной группой в классе нильпо-тентных групп ступени не выше 2 с коммутантом экспоненты р. Во второй главе найдено описание класса Леви, порожденного квазимногообразием qHp.

Будем рассматривать квазимногообразие Мр, заданное в Л/"г следующим бесконечным множеством формул:

(Уаг)(Уу)([х,у]Р =1), (2.1)

(Уя)(Уг,)(^=1->[я,у] = 1), (2.2)

(Ух)(ж9 = 1->а: = 1)) (2.3)

(Ух)(хр2 = 1 хр = 1), (2.4)

где ц пробегает множество простых чисел, отличных от р.

Через Мр обозначим квазимногообразие, задаваемое вЛз квазитождествами (2.3), (2.4) и формулами:

0/х)т([х,у,хГ = 1), (2.5)

(Ух)(Уу)(^ = 1->[х,у,х] = 1), (2.6)

к к \ X?5 = Ц^х]« = Ч' (2"?)

¿=1 г=1 '

где г/ пробегает множество простых чисел, отличных отр, ег £ {—1; 1}, г = 1,..., к, 5 и к пробегают множество натуральных чисел.

(Ух) (VI! )...№*)(

В разделе 1 доказана вспомогательная лемма, в которой указаны условия принадлежности группы квазимногообразию дНр.

Лемма 2.1.1. Пусть группа Н — гр(х,х\,... ,хп) принадлежит квазимногообразию ЛГР (р — простое число, р ф 2) и подгруппа II = гр(х1,... ,хп) является абелевой. Тогда Н £ цНр.

Раздел 2 посвящен доказательству основных теорем данной главы, которые позволяют дать описание класса Леви, порожденного квазимногообразием цНр.

Теорема 2.2.1. Пусть /С — произвольный класс групп из Мр (р — простое число, р Ф 2), содержащий иеабелеву группу. Предположим, что во всякой группе из 1С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, является абелевой подгруппой. Тогда ЩК,) = Мр.

Теорема 2.2.2. Класс Леей, порожденный квазимногообразием дНр (р — простое число, р ф 2), совпадает с квазимногообразием Л4Р.

Зафиксируем простое число р, р ф 2, и натуральное число в, я > 2. Пусть дНр* — квазимногообразие, порожденное относительно свободной группой в классе нилыютентных ступени не выше 2 групп экспоненты рв с коммутантом экспоненты р. В третьей главе дано описание класса Леви, порожденного квазимногообразием дН^.

Будем рассматривать квазимногообразие Яр*, задаваемое в Л/г следующим бесконечным множеством формул:

(Ух)(Ууг)... ■ ■ ■ Ш хрт = ц\ аГ - 1 ), (3.4)

у г=1 7

где к — натуральное число, т = 1,..., я — 1.

Через М.р' обозначим квазимногообразие, задаваемое в Л/3 тождеством (3.2) и формулами:

{Ух){ШЫр = 1), = 1),

(Ух)(УУ1)... ... (Угк)(Уи)

(3-1) (3.2)

(3-3)

к

(3.5)

(Ух)(УУ1)... Ш(Уи) ( хр™ = Ц[х, уи х] [х, и, х] = 1 I, (3.6)

(Чх)<ух!). . . (Ухк)(УУ1) ... (\/ук) ( к \рт к к \ (3.7)

V ¿=1 / ¿=1 ¿=1 /

^^...(ух^уО-.-Ш к \рт к к \ (3 8)

¿=1 / г—1 г—1 /

где (г = 1,..., к), 6 и к пробегают множество натуральных чисел, т= 1,..., Й — 1.

Раздел 1 содержит доказательство леммы, носящей вспомогательный характер. В лемме указаны условия принадлежности группы квазимногообразию цНр>.

Лемма 3.1.1. Пусть группа Н — гр(х, ..., /„) принадлежит квазимногообразию (р — простое число, рф 2, в — натуральное число, в > 2) и подгруппа Н = гр(/1,..., /„) является абелевой. Тогда

н е цНр,.

В разделе 2 доказываются основные результаты главы 3, позволяющие дать описание класса Леви, порожденного квазимногообразием <7 Яр».

Теорема 3.2.1. Пусть /С — произвольный класс групп изЛ[р' (р — прост,ое число, р ф 2, в — натуральное число, в > 2), содержащий неабелеву группу. Предположим, что во всякой группе из 1С централизатор любого элем.ента, не принадлежащего центру этой группы, являет,ся абелевой подгруппой. Тогда Ь(ц1С) = Мр'.

Теорема 3.2.2. Класс Леви, порожденный квазимногообразием (р — простое число, р Ф 2, в — натуральное число, в > 2), совпадает с квазимпогообразием Л4Р'.

В четвертой главе исследуются классы Леви, порожденные квазимногообразиями нильпотентных ступени не выше 2 групп, содержащих элементы порядка 2.

Зафиксируем натуральное число п, п >2. Пусть 7^2» — многообра-

(4.1)

(4.2)

Рассмотрим в П2п свободную группу ранга 2. В #2" будет истинно квазитождество

Обозначим через квазимногообразие групп, задаваемое в 7^2" квазитождеством (4.3).

Пусть — многообразие групп, задаваемое вЛг тождеством (4.2).

Теорема 4.1.1. Класс Ь(И) совпадает с многообразием В^.

Теорема 4.1.2. Класс Ь(цН2«) совпадает с многообразием В^»■

В частности, для п = 2 получаем, что В4 = 7^4 и ЫдН^) совпадает с многообразием И^.

Теорема 4.1.3. Множество квазимногообразий /С из таких, что -Ц/С) = 72-4, континуально.

При дальнейшем исследовании квазимногообразий Леви экспоненты 2" возникает желание в формулировке теоремы 4.1.1 заменить квазимногообразие 7?. на д/С и условие истинности в Л квазитождества (4.3) на фразу "во всякой группе из К. централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа " (как это сделано в формулировках теорем 1.2.1, 2.2.1, 3.2.1 и основных теорем из работ А. И. Будкина и Л. В. Тараниной23. Следующая теорема, доказанная в разделе 2, говорит, что в этом случае теорема 4.1.1 перестает быть справедливой.

Теорема 4.2.1. Существует класс 1С такой, что /С — класс ниль-потеитных ступени < 2 групп экспоненты 8 с коммутантами экспоненты 2 и во всякой группе из К, централизатор любого элемаипа, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс Ь(цК.) содержит нильпотептпую группу ступени 3.

Далее, возникает естественный вопрос о том, всегда ли класс Ь{ц1С), где /С — произвольный класс нильпотентных ступени < 2 групп та-

23Будкин А. II. Квазиыногообразия Леви ... С. 266-270; Будкии А. И., Таранина Л. В. О квазимногообразиях Леви, порожденных ннльпотентными группами ... С. 270-277.

(УхХУуХх2"-1^!-^,^!).

(4.3)

кой, что во всякой группе из К. централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, является нильпотентным ступени < 3, как это было в случаях, рассматриваемых в работах А. И. Будкина и Л. В. Тараниной24.

В разделе 3 доказано существование класса К, такого, что во всякой группе из /С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс Ь(д1С) содержит нильпотентную группу ступени 4.

Пусть М.\ — многообразие групп, заданное в Аг тождеством

(У:г)(ж8 = 1). (4.6)

Теорема 4.3.1. Существует класс К. из Л4\ такой, что во всякой группе из /С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс Ь{дК) содержит нильпотентную группу ступени 4.

24Будкин А. Н. Квазимногообразия Леви ... С. 266-270; Будкин А. П., Таранина Л. В. О квазимногообразиях Л гни, порожденных нильпотентными группами ... С. 270-277.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Лодейщикова В. В. Квазимногообразия Леви // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. - Новосибирск: Но-восиб. гос. ун-т, 200G. - С. 93.

[2] ЛодеГпцикова В. В. Квазимногообразия Леви // Материалы девятой региональной конференции но математике "МАК - 200G". -Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2006. - С. 12.

[3] Лодеищиксша В. В. О квазимногообразиях Леви // Материалы десятой региональной конференции по математике "МАК - 2007". -Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2007. - С. 17-18.

[4] Лодейщикова В. В. О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами // Известия Алтайского государственного университета. - 2009. - Т. 61, № 1. - С. 26-29.

[5] Лодейщикова В. В. О классах Леви, порожденных нильпотентными группами // Материалы двенадцатой региональной конференции по математике "МАК - 2009". - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2009. - С. 18-19.

[6] Лодейщикова В. В. О классах Леви, порожденных нильпотентными группами // Международная конференция "Мальцевские чтения - 2009": Тез. докл. - Новосибирск, 2009. - С. 65. http://www.math.nsc.ru/coiifereiice/malmeety09/Abstracts/abstracts-09.pdf

[7] Лодейщикова В. В. О квазимногообразиях Леви экспоненты ps // Международная конференция "Мальцевские чтения - 2010": Тез. докл. - Новосибирск, 2010. - С. 83. http://www.matli.nsc.ru/conference/malmeet/10/abstracts.pdf

[8] Лодейщикова В. В. Об одном квазимногообразии Леви экспоненты 8 // Известия Алтайского государственного университета. - 2010. -Т. 65, № 1/2. - С. 42-45.

[9] ЛодеГпцикова В. В. О классах Леви, порожденных ннльпотент-ными группами // Сибирский математический журнал. - 2010. -Т. 51, № 6. - С. 1359-1366.

[10] Лодейщикова В. В. О квазимногообразиях Леви экспоненты // // Алгебра и логика. - 2011. - Т. 50, № 1. - С. 26-41.

Подписано в печать 22.08.2011. Печать - цифровая. Усл.пл. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ 2010-510

Отпечатано в типографии АлтГТУ, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 тел.: (8-3852) 29-05М8

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД №28-35 от 15.07.97 г.

Введение

1 Класс Леви, порожденный квазимногообразием ^2 (Л/г)

1.1 Условия принадлежности группы квазимногообразию (Л/г) • •

1.2 Описание класса Леви, порожденного квазимногообразием д^2 (Л/2)

2 Класс Леви, порожденный квазимногообразием дНр

2.1 Условия принадлежности группы квазимногообразию дНр

2.2 Описание класса Леви, порожденного квазимногообразием дЯр

3 Класс Леви, порожденный квазимногообразием дНр*

3.1 Условия принадлежности группы квазимногообразию

3.2 Описание класса Леви, порожденного квазимногообразием

4 Квазимногообразия Леви экспоненты 2п

4.1 Описание квазимногообразий Леви экспоненты 2П.

4.2 Квазимногообразие Леви экспоненты 8, содержащее нильпотентную группу ступени 3.

4.3 Квазимногообразие Леви экспоненты 8, содержащее нильпотентную группу ступени 4.

Покрытием группы (7 назовем всякую такую систему подгрупп этой группы, что теоретико-множественное объединение этих подгрупп совпадает с (7. Исследование влияния свойств покрытия на строение самой группы — одно из актуальных направлений теории групп. Этой области теории групп посвящена данная диссертация.

Покрытие называется расщеплением, если пересечение любых двух подгрупп из этого покрытия есть единичная группа. Изучение покрытий и расщеплений групп началось в работах П. Г. Конторовича [9]—[14]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, в том числе и относящихся к конечным группам, можно найти в работе П. Г. Конторовича, А. С. Пекелис и А. И. Старостина [15].

Покрытия конечно-порожденных абелевых групп изучались А. Розенфилдом в работе [31]. Ю. Ш. Гуревич [7] указывает некоторые условия для того, чтобы группа обладала покрытием из собственных характеристических подгрупп. Например, для периодических абелевых групп необходимым и достаточным условием служит неограниченность порядков элементов.

Также наряду с покрытиями подгруппами можно рассматривать покрытия группы подмножествами с теми или иными дополнительными свойствами. Например, Б. Нейман [30] и П. Кон [21] исследовали покрытия групп попарно перестановочными конечными подмножествами. В работе Б. Неймана [29] изучаются покрытия групп конечным числом смежных классов. В этой работе доказано, что коммутант группы С? конечен, если С? обладает конечным покрытием подгруппами с конечными коммутантами.

В теории групп существует довольно много теорем, имеющих вид: если некоторое свойство А имеет место для всех конечно-порожденных подгрупп какой-либо группы, то свойство А имеет место и для всей группы. Так, например, группа С? имеет нормальную разрешимую (соответственно центральную) систему подгрупп, если такую систему имеет каждая конечно-порожденная подгруппа группы С?. В [18] А. И. Мальцев показывает, что такие предложения не ^ являются, в своем большинстве,- специфически алгебраическими и могут быть получены как непосредственные следствия одного общего предположения математической-логики.

Особый интерес представляет изучение свойств группы (7, которые следуют из свойств групп некоторого покрытия группы С. • '

Пусть дано теоретико-групповое свойство 8. Будем говорить, что группа Сг обладает свойством Ь{8), порожденным свойством £, если нормальное замыкание (х)с любого элемента х из С обладает свойством- 8. Свойство Ь{8) называется свойством Леви, порожденным 8. Изучение свойств Леви следует рассматривать как шаг в направлении исследования строения' групп, покрываемых системой нормальных подгрупп. ■

Впервые свойство Леви было введено в работе Л. К. Каппе [26] под влиянием работы Ф. Леви [27], в которой исследовались группы с абелевыми нормальными замыканиями вида (#)с. Применительно к нильпотентным группам и их обобщениям это свойство достаточно подробно изучалось, например, в работах Л. К. Каппе и Р. Ф. Морса [24, 25, 26]. •

От свойств Леви естественно перейти к классам Леви. Для произвольного класса М. групп обозначим через Ь(Л4) класс всех групп С?, в которых нормальное замыкание {х)с любого элемента х из С принадлежит М., Класс Ь(Л4) групп называется классом Леви, порожденным Л4.

В работе Р. Ф. Морса [28] доказано, что если Л4 — многообразие групп, то Ь(Л4) также многообразие групп. А. И. Будкиным в [2] установлено, что если М. — квазимногообразие групп, то Ь(Л4) — также квазимногообразие групп.

Известно, что произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп произвольной группы является нильпотентной подгруппой (см., например: [8, гл. 6, § 1]). Следовательно, если квазимногообразие Л4 содержит лишь нильпотентные группы (т. е. нильпотентное), то квазимногообразие Ь(Л4) является локально нильпотентным (из [23, 32] следует, что Ь(Л4) может не быть ниль-потентным, а из [23] вытекает, что оно содержится в многообразии п-энгелевых групп для подходящего натурального числа ть). .

Как обычно, под д/С будем понимать квазимногообразие, порожденное классом групп 1С. Если класс К, = {С} содержит лишь одну группу (7, то вместо д/С будем писать просто дб?.

В работе [3] А. И. Будкиным, доказано, что если Л4 — нильпотентное квазимногообразие, Л4 — множество всех конечно-порожденных групп изЛ4, то выполняется равенство Ь(с[Л4) = дЬ(Л4). Там же установлено, что еслиЛ/” — класс всех конечно-порожденных нильпотентных групп, Л/о — класс всех конечно-порожденных нильпотентных групп без кручения, то аналогичное утверждение неверно, и справедливы строгие включения дЛ/о. С дЛ/о) и дЛ/ С Ь(дЛ/"), откуда, в частности, следуют неравенства Ь(дЛ/о) ф дЬ(ЛГ0) и Ь{дМ) Ф дЬ{Н).

В [3] также показано, что квазимногообразия Ь(дЛ/”), £(дЛ/о) замкнуты относительно свободных произведений, каждое из этих квазимногообразий содержит не более одного максимального собственного подквазимногообразия и что если квазимногообразие Л4 замкнуто относительно свободных произведений, то таковым же является квазимногообразие Ь(Л4).

Обозначим через Мс многообразие нильпотентных групп ступени не выше с, через Еп(М) — свободную группу в квазимногообразии Л4 ранга п.

Из работы Ф. Леви [27] следует, что класс является многообразием

2-энгелевых групп. В работе Л. К. Каппе и В. Каппе [23] доказано, что класс -ЦЛ/г) совпадает с многообразием 3-энгелевых групп.

В [2] установлено, что если К, — произвольное множество нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядков 2 и 5, и в каждой группе из /С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, является абелевой подгруппой, то Ь(д/С) С Л/3. В действительности, в доказательстве этого результата отсутствие элементов порядка 5 нужно было только для установления того, что всякая 3-порожденная группа из Ь(д/С) нильпотентна класса

4, поэтому в [6] данный результат был усилен и доказана аналогичная теорема для произвольного множества нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядка 2.

Рассмотрим группы, имеющие следующие представления вЛ^:

Нр = гр(х,у || [х,-у]р = 1),

Нр. = гр(х,у II [х,у]Р = хРа = г/Р* = 1), где 5 6 М, р — простое число.

Набор дНрз (исключая д^г1)) <7 ^2 (-Л/г) (р — простое число), представляет собой полный список почти абелевых квазимногообразий нильпотентных групп (т. е. неабелевых квазимногообразий нильпотентных групп, все собственные подквазимногообразия которых абелевы).

Данная работа посвящена описанию классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп.

Целями диссертационной работы являются:

1. Описание классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп.

2. Исследование классов Леви, порожденных квазимногообразиями нильпотентных групп ступени не выше 2, содержащих элементы порядка 2.

3. Доказательство существования классов Леви, порожденных квазимногообразиями нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 8, содержащих нильпотентные группы ступени больше 3.

Методика исследования ориентирована на использование классических методов теории нильпотентных групп и теории определяющих соотношений.

Научная новизна работы. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

На защиту выносятся следующие основные положения: '

1. Найдены описания классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп (исключая Ь(дН<2)).

2. Пусть /С — произвольный класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2п (п — фиксированное натуральное число, п > 2) с коммутантами экспоненты 2 и в каждой группе из /С элементы порядка 2т (0 < т < п) содержатся в центре этой группы. Доказано, что класс Леви, порожденный квазимногообразием д/С совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2п.

3. Найдена мощность множества квазимногообразий /С таких, что:

1) /С содержит нильпотентные ступени не выше 2 группы экспоненты 4,

2) в каждой группе из К элементы порядка 2 содержатся в центре этой группы, '

3) класс Ь(К.) совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 4.

Она оказалась континуальной.

4. Доказано существование класса К такого, что /С — класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 8 с коммутантами экспоненты 2 и во всякой группе из К. централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс Ь{ц1С) содержит ниль-потентную группу ступени 3.

5. Установлено существование класса/С такого, что во всякой группе из/С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс 1/(д/С) содержит нильпотентную группу ступени 4.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях классов Леви.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на ХЫУ международной научной студенческой конференции "Студент и научнотехнический прогресс" (Новосибирск, 2006); Девятой региональной конференции по математике "МАК-2006’' (Барнаул, 2006); Седьмой международной конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры" (Эрлагол, 2007); Десятой региональной конференции по математике "МАК-2007" (Барнаул, 2007); Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2007); Двенадцатой региональной конференции по математике "МАК-2009" (Барнаул, 2009); Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2009); семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" ИМ СО РАН (Новосибирск, 2009); Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2010). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на семинаре "Теория групп" Алтайского государственного университета.

Публикации. Все основные результаты работы были опубликованы в [33] -[42]. Три работы опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией [40] - [42].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 72 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы.

Заключение

С помощью классических методов теории нильпотентных групп и теории определяющих соотношений в диссертации получены следующие результаты:

1. Найдены описания классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп (исключая

2. Пусть /С — произвольный класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2п (п — фиксированное натуральное число, п > 2) с коммутантами экспоненты 2 и в каждой группе из К, элементы порядка 2т (0 < т < п) содержатся в центре этой группы. Доказано, что класс Леви, порожденный квазимногообразием д/С совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2п.

3. Найдена мощность множества квазимногообразий К таких, что:

1) /С содержит нильпотентные ступени не выше 2 группы экспоненты 4,

2) в каждой группе из К, элементы порядка 2 содержатся в центре этой группы,

3) класс Ь{К) совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше

2 групп экспоненты 4.

Она оказалась континуальной.

4. Доказано существование класса К, такого, что /С — класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 8 с коммутантами экспоненты 2 и во всякой группе из /С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс 1/(д/С) содержит ниль-потентную группу ступени 3.

5. Установлено существование класса К, такого, что во всякой группе из/С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс 1/(д/С) содержит нильпотентную группу ступени 4.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору А. И. Будкину за постановку задач и постоянное внимание ко всем этапам данной работы.

1. Будкин А. И. Квазимногообразия групп. Барнаул: Издательство Алтайского государственного университета, 2002.

2. Будкин А. И. Квазимногообразия Леви // Сибирский математический журнал. 1999. - Т. 40, № 2. - С. 266-270.

3. Будкин А. И. О классах Леви, порожденных нильпотентными группами // Алгебра и логика. 2000. - Т. 39, № 6. - С. 635-647.

4. Будкин А. И. О решетке квазимногообразий нильпотентных групп // Алгебра и логика. 1994. - Т. 33, № 1. - С. 25-36.

5. Будкин А. И., Горбунов В. А. К теории квазимногообразий алгебраических систем //Алгебра и логика. 1975. - Т. 14, № 2. - С. 123-142.

6. Будкин А. И., Таранина Л. В. О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами // Сибирский математический журнал. 2000. -Т. 41, № 2. - С. 270-277.

7. Гуревич Ю. Ш. Группы с характеристическим покрытием // Матем. зап. Уральск, ун-та. 1963. - Т. 4. - С. 32-39.

8. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

9. Конторович П. Г. Группы с базисом расщепления, I // Матем. сб. 1943. -Т. 12(54), № 1. - С. 56-70.

10. Конторович П. Г. Группы с базисом расщепления, II // Матем. сб. 1946. -Т. 19(61), № 2. - С. 287-308.

11. Конторович П. Г. Группы с базисом расщепления, III // Матем. сб. 1948. -Т. 22(64), № 1. - С. 79-100.

12. Конторович П. Г. Группы с базисом расщепления, IV // Матем. сб. 1950. -Т. 26(68), № 2. - С. 311-320.

13. Конторович П. Г. Инвариантно покрываемые группы, I // Матем. сб. -1940. Т. 8(50), № 3. - С. 423-436.

14. Конторович П. Г. Инвариантно покрываемые группы, II // Матем. сб. -1951. Т. 28(70), № 1. - С. 79-88.

15. Конторович П. Г., Пекелис А. С., Старостин А. И. Структурные вопросы теории групп // Матем. зап. Уральск, ун-та. 1961. - Вып. 1, Т. 3. - С. 3-50.

16. Курош А. Г. Теория групп М.: Наука, 1967.

17. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

18. Мальцев А. И. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп // Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та. 1941. - Т. 1, № 1. - С.' 3-9.

19. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969. *

20. Федоров А. Н. Квазитождества конечных 2-нильпотентных групп. Деп. в ВИНИТИ. № 5489-В87, 1987.

21. Cohn Р. М. A countably generated group which cannot be covered by finite permutable subsets // J. London Math. Soc. 1954. - V. 29, № 2. - P. 248-249.

22. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin: Springer-Verlag, 1967.

23. Kappe L. С., Kappe W. P. On three-Engel groups // Bull. Austral. Math. Soc. -1972. V. 7. - P. 391-405.

24. Kappe L. C., Morse R. F. Groups with 3-abelian normal closures // Arch. Math. 1988. - V. 51, № 2. - P. 104-110.

25. Kappe L. C., Morse R. F. Levi-properties in metabelian groups // Contemporary Mathematics. 1990. - V. 109. - P. 59-72.

26. Карре, L. С. On Levi-formations // Arch. Math. 1972. - V. 23. — P. 561-572.

27. Levi F. W. Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic conditions // J. Indian Math. Soc. 1942. - № 6. - P. 87-97.

28. Morse R. F. Levi-properties generated by varieties // The mathematical legacy of Wilhelm Magnus. Groups, geometry and special functions (Contemporary Mathematics, V. 169), Providence, RI, Am. Math. Soc. 1994. - P. 467—474.

29. Neumann В. H. Groups covered by finitely many cosets // Publ. Math. Debrecen. 1954. - V. 3. - P. 227-242.

30. Neumann В. H. Groups covered by permutable subsets // J. London Math. Soc. 1954. - V. 29, № 2. - P. 236-248.

31. Rosenfeld A. Finitely generated abelian groups as unions of proper subgroups // Amer. Math. Monthly. 1963. - V. 70, № 10. - P. 1070-1074.

32. Weston K. W. ZA-groups which satisfy m-th Engel condition // Illinois

33. J. Math. 1964. - V. 8, № 3. - P. 458-472. •

34. Работы автора по теме диссертации

35. Лодейщикова В. В. Квазимногообразия Леви // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научнотехнический прогресс": Математика. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2006. - С. 93.

36. Лодейщикова В. В. Квазимногообразия Леви // Материалы девятой региональной конференции по математике "МАК 2006". - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2006. - С. 12.

37. Лодейщикова В. В. О квазимногообразиях Леви // Материалы десятой региональной конференции по математике "МАК 2007". - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2007. - С. 17-18.

38. Лодейщикова В. В. О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотент-ными группами // Известия Алтайского государственного университета. -2009. Т. 61, № 1. - С. 26-29.

39. Лодейщикова В. В. О классах Леви, порожденных нильпотентными группами // Материалы двенадцатой региональной конференции по математике "МАК 2009". - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2009. - С. 18-19.

40. Лодейщикова В. В. О классах Леви, порожденных нильпотентными группами // Международная конференция "Мальцевские чтения 2009": Тез. докл. - Новосибирск, 2009. - С. 65.

41. Шр://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/09/Abstracts/abstracts-09.pdf

42. Лодейщикова В. В. О квазимногообразиях Леви экспоненты рв // Международная конференция "Мальцевские чтения 2010": Тез. докл. - Новосибирск, 2010. - С. 83.http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/10/abstracts.pdf

43. Лодейщикова В. В. Об одном квазимногообразии Леви экспоненты 8 // Известия Алтайского государственного университета. 2010. - Т. 65, № 1/2. -С. 42-45.

44. Лодейщикова В. В. О классах Леви, порожденных нильпотентными группами // Сибирский математический журнал. 2010. - Т. 51, № 6. - С. 13591366.

45. Лодейщикова В. В. О квазимногообразиях Леви экспоненты // Алгебра и логика. 2011. - Т. 50, № 1. - С. 26-41.