К теории многообразий и квазимногообразий решеточно упорядоченных групп и групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА 1. Многообразия, не имеющие накрытий в решетке о-аппроксимируемых многоо! зий /'-групп

§1. Описание многообразий £-групп У,С,

НМС),<р(П)

§2. Свойства многообразий групп V, С,

П,(р(С),<р(Н)

Глава 2. Базисные ранги разрешимых квазимногообразий групп и /-групп

§1. Базисные ранги разрешимых квазимногообразий групп

§2. Базисные ранги разрешимых квазимногообразий ¿'-групп

Глава 3. Универсальная эквивалентность и сплетения групп и /-групп

§1. Прямое сплетение /-групп

§2. Декартовы сплетения групп и ¿-групп

Среди аксиоматизируемых классов алгебраических систем многообразия и квазимногообразия занимают особое место. Интерес к ним объясняется следующими причинами. Во-первых, языки тождеств и квазитождеств являются наиболее простыми и естественными, в то же время весьма тонкие свойства записываются на языках тождеств и квазитождеств. Во-вторых, в этих классах имеют место структурные теоремы, а именно -теорема Г. Биркгофа [1] для многообразий и теорема А. И. Мальцева [1] о характеризации квазимногообразий на языке фильтрованных произведений. Значимость изучения свойств квазимногообразий алгебраических систем была подчеркнута А.И. Мальцевым в [2]. Основы теории квазимногообразий были заложены А. И. Мальцевым в [1, 2, 3].

Заметим, что тождества и квазитождества являются универсальными формулами, поэтому многообразия и квазимногообразия представляют собой частные типы универсально аксиоматизируемых классов и при изучении свойств квазимногообразий и многообразий зачастую оказывается полезным использование свойств универсально аксиоматизируемых классов.

В настоящее время теории многообразий и квазимногообразий решеточно упорядоченных групп ( ¿'-групп) и групп приобрели все черты разработанных теорий с широким кругом задач и разработанными методами исследований и достаточно полно отражены в монографической литературе (см. В.М. Копытов [4], В.М. Копытов, Н.Я. Медведев [5], Н.Я. Медведев [6],[7], М. Дарнел [8], С.А. Г'урченков [9], X. Нейман [10], А.И. Будкин [11]).

Строение решетки многообразий ¿-групп и, в частности, проблема накрытий в решетке многообразий ¿-групп, исследовались в работах Е. Вайнберга [12], Н.Я. Медведева [13], М.

Андерсона. М. Дарнела, Т. Фейла [14]. С.А. Гурченкова [9], Н.В. Баяновой [15]. Вычислению базисных рангов ряда квазимногообразий групп посвящены работы А.И. Будкина [16],[17], А.К. Румянцева [18], Дж. Уилсона [19]. Универсальная эквивалентность сплетений групп исследовалась Е.И. Тимошенко [20].

Напомним ряд определений и вспомогательных результатов, необходимых в дальнейшем.

Решеточно упорядоченная группа - это алгебраическая система сигнатуры £ =< -,"1, е, V, А >, совмещающая в себе структуру группы и решеточного порядка, связанные естественными соотношениями

Тождеством сигнатуры £ называется формула <р узкого исчисления предикатов, имеющая вид

Ужх). (Ухп) {А(х1,., хп) = В(хь ., £„.)), где ., хп), В(х 1,.,.х„) - некоторые термы сигнатуры I. Как правило, опуская в записи кванторы всеобщности, тождества сигнатуры £ в дальнейшем будем представлять в виде г£1 к£К где /, <7, К - конечные множества индексов, ¿¡¿и = ±1.

Квазитождеством сигнатуры £ называется формула ¡р узкого исчисления предикатов, имеющая вид

V*!). (Чхп) {А\ = Д& . кАк = Вк^ Аш = Вк+1), где Аг = Аг(хъ., ж„), Д = Д(хь., хп) (1 < % <к + 1) -некоторые термы сигнатуры £:. Отметим, что всюду в дальнейшем, опуская кванторы всеобщности, квазитождества будем записывать в виде = Д& . ЬАк = Д Ак+г = Д+1). х(и V у) у = хи,у V хьу, х(и Л у)у = хиу Ахуу.

Аналогично определяются тождества и квазитождества сигнатуры групп.

Класс ¿'-групп X называется многообразием (квазимногообразием) ¿'-групп, если существует множество Ф тождеств (квазитождеств) сигнатуры £ такое, что X состоит из всех ^-групп, на которых истинны все тождества (квазитождества) из Ф.

Аналогично определяется многообразие (квазимногообразие) групп.

Пусть N - множество натуральных чисел. Выделим следующие квазимногообразия:

1) К - квазимногообразие групп без кручения, определяемое следующей системой квазитождеств (я" = е => х = е), п £ N.

2) Т№ - квазимногообразие правоупорядочиваемых групп, то есть групп, на которых можно определить линейный правый порядок. Известно ([4], предложение 5.5.2), что класс правоупорядочиваемых групп является квазимногообразием.

3) 7Z - квазимногообразие групп с однозначным извлечением корня, определяемое следующей системой квазитождеств (хп = уп =$> X = у), п £ N.

4) Г - квазимногообразие групп без Г-кручения, определяемое следующей системой квазитождеств (хд^1хд\.д~1хдп = е ж = е), п £ N.

5) О - квазимногообразие упорядочиваемых групп, то есть групп, на которых можно определить двусторонний линейный порядок. Известно [21], что класс упорядочиваемых групп является квазимногообразием.

Множество Ь всех многообразий £-групп является полной решеткой по включению. При этом пересечением X Д У многообразий ¿-групп X и У является теоретико-множественное пересечение классов Хи У, а объединение Х\/У полагается равным наименьшему многообразию ¿-групп, содержащему как Л\ гак и

Говорят, что многообразие V £-групп накрывает многообразие ¿-групп V в решетке многообразий ¿-групп Ь, если V Э V и из V Э и Э V следует V = и или и = V.

Напомним, что для любого неединичного элемента д реше-точно упорядоченной группы О существует непустое множество {Уа{д)\ а Е 1} выпуклых ¿-подгрупп ^-группы С, не содержащих д и максимальных с этим свойством. Тогда выпуклая ¿-подгруппа Уа(д), порожденная Уа{д) и д, такова, что между Уа{д) и Уа{д) нет выпуклых ¿-подгрупп ¿-группы О. Пара выпуклых ¿-подгрупп Уа{д) -< Уа{д) называется скачком в решетке Ь(С) выпуклых ¿-подгрупп ¿-группы С , определенным элементом д.

Как обычно, |.г| = х V [х,у] = х~1у~1ху, Z, Q, И -множества целых, рациональных, действительных чисел, х у означает, что х > уп для любых положительных х,у и любого п £ N.

Если \х\п > [у\н \х| < |у|т для некоторых ненулевых п,т. Е К, то элементы х, у называются архимедово эквивалентными и обозначаются х у.

Среди всех многообразий ¿-групп и групп выделим следующие.

1) Ае - многообразие всех абелевых ¿-групп. Е. Вайнбергом [12] показано, что Аг является наименьшим нетривиальным многообразием в решетке многообразий ¿-групп Ь.

2) А\ - многообразие всех метабелевых ¿-групп. Это многообразие определяется следующим тождеством [|[ж,?/]| А 121, |[м, и]| А Щ] = е.

3) 1к-1 - многообразие всех о-аппроксимируемых ¿-групп. П. Лоренцен в [22], Ф. Шик в [23] показали, что это многообразие в классе всех ¿-групп задается тождеством (х /\у~1х~1у) Ve = е.

4) {Мк)(, (Л4) ~ многообразие всех нильпотентных ¿-групп (групп) ступени нильпотентности < к (к > 1).

5) V - многообразие ¿-групп, которое задается следующей бесконечной системой тождеств: х A y~lx~1y) V е = е (1) V \y\)-l\[x,y]m V \y\) A\[х,у]\п)\[х,у]\-п\Л (2) l((W V M)IM]|(M V lyl)"1 Л |МГ)|М]П = e m, n E Лг; n, m > 2).

Это многообразие определено Н.Я. Медведевым в работе [13]. Там же было показано, что V не имеет накрытий в решетке о-аппроксимируемых многообразий ^-групп L0.

6) С - многообразие ¿-групп, определяемое следующей бесконечной системой тождественных неравенств:

Ь, а] V е) Л Ь < Ь V агЧа, е <Ъ < а. (3)

Это многообразие определено М. Андерсоном, М. Дарнелом, Т. Фейлом в работе [14]. Там же было показано, что С содержит все накрытия At из L0.

7) А2 - многообразие двуступенно разрешимых групп, определяемое тождеством [[:с,;у], [z,t]] = е.

Если А - ¿-группа, В - линейно упорядоченная группа, тогда через AWvB обозначим декартово сплетение ¿-группы А и линейно упорядоченной группы В , решеточно упорядоченное по правилу: fb > е (/ £ Fun(B,A), b £ В) тогда и только тогда, когда b > е или Ь = е и f(b') > е для любого b' G В (если A, В -■- группы, тогда через AWvB обозначим декартово сплетение групп).

Через A wr В обозначим прямое сплетение /-группы А и линейно упорядоченной группы В, решеточно упорядоченное относительно индуцированного порядка.

Если G = A wr В - сплетение линейно упорядоченных групп А, В, тогда любой элемент g G G однозначно представим в виде g = аь1.аьк • b, где аь- G Аь0 Ъ G В, Ь\ < < . < bk при линейном порядке группы В и аье = аь. Считаем g = аь1.аьк ■ b > е, если b > е или b = е и аьк > е в Аьк = А. Отметим, что при этом линейном порядке |Q'bil ^ |аб2|? если > 62 и аь11аь2 ф- е. Назовем такой порядок группы G порядком типа (А) и будем обозначать Л wr Б ([24], стр. 419-420). Считаем g = аь1.аьк • b > е, если b > е или b = е и а-ь1 > е в Аьг Отметим, что при этом линейном порядке |аьх \ <С \аь2\, если Ъ\ > &2 и ф е. Назовем такой порядок группы G порядком типа (В) и будем обозначать A wr В ([24], стр. 423-424).

Пусть Е - некоторое множество тождеств сигнатуры /групп. Через Т/Г(Е) обозначим многообразие £-групп, определенное этой системой тождеств. Множество тождеств Е называется независимым, если из Si С S следует V'(E) С \ "(Е| ; для любого собственного подмножества Si [25]. Говорят, что многообразие /-групп У(Е') обладает независимым базисом тождеств, если существует независимое множество тождеств Е такое, что Vr(E') = У(Е).

На связь между существованием независимого базиса тождеств многообразия /-групп V и накрытиями V в решетке L указывает следующее, хорошо известное утверждение (см., например, [26]).

Предложение. Пусть V С W С С - многообразия £-групп, где С - многообразие всех ¿-групп и \¥ - конечнобазируемо. Если V имеет бесконечный независимый базис тождеств, то существует бесконечное число многообразий ¿-групп I(¿' а. . накрывающих V в решетке Ь , причем б7,: € IV.

Теорема (Дик [27]). Если группа С задается некоторой системой определяющих соотношений, а группа С задается относительно тех же символов помимо этих соотношений еще некоторыми другилш, то группа С изоморфна фактор-группе группы С. □

В работе М. Хасс, Н. Рейли [28] был определен автоморфизм второго порядка решетки многообразий ¿-групп Ь. Там же показано, как по базису тождеств произвольного многообразия ¿-групп X можно найти базис тождеств многообразия ¿-групп (р(Х) . Напомним этот переписывающий процесс более точно. Для произвольной ¿-группы С = (С, <) через Сн = (С, <Е) обозначим группу С, решеточно упорядоченную относительно обратного порядка, то есть а <к Ь в С11 тогда и только тогда, когда Ь < а в С. Тогда для любых элементов х,у Е С выполнены следующие равенства: х Vй у = х А г/, х Ак у = х V у.

Для произвольного ¿-группового слова = \/Л1№ г€/ кеК где /, ./, К - конечные множества индексов, ¡¡¡, = ±1, положим а" = V Л<П <Ю~1 = Л \ЛП г1.

Ш кек ге1 ¿е.] кек

Для любого многообразия ¿-групп X положим <р(Х) = Хп = {Ся | С £ X}. М. Хасс, Н. Рейли [28] показали, что г-(Л') - многообразие ¿-групп. Если {иа = е \ а Е А} -базис тождеств многообразия ¿-групп X, то {и^ = е \ а £ А} является базисом тождеств многообразия ¿-групп Xя.

Напомним, что о-аппроксимируемое многообразие ¿-групп Л' называется строго свободным, если любая линейно упорядоченная группа С Е X является ¿-гомоморфным образом линейно упорядоченной группы ¥ Е X, где ¥ - свободная группа [29].

На множестве всех многообразий ¿-групп (групп) можно определить операцию умножения, положив для многообразий I-групп (групп) X, у произведение ХУ равным классу всех ¿1-групп (групп) О, которые обладают идеалом (нормальной подгруппой) А £ X, таким, что С/А £ У.

Обозначим через Ц Аа (П Аа) декартово (прямое) произа£1 а£1 ведение ¿-групп . 1,. п £ /.

Пусть I - вполне упорядоченное множество относительно порядка -< такого, что любое непустое подмножество I имеет максимальный относительно порядка -< элемент: -< скг-1 -< аг- -< . -< а1 -<< а0.

Положим / > е в Аа, если / ф е и /(а) > е в Аа, где а наибольший элемент относительно отношения -<, для которого /(а) ф е. Таким образом построенная группа называется лексикографическим произведением ¿-групп Аа,а £ /, по вполне упорядоченному множеству / и обозначается П Аа.

Пусть {Са | а £ 1} - множество групп. Свободным произ ведением П Са групп Са,а £ I, называется такая група£/ па С* и система изоморфизмов (ра : Са —> С?*, что 1) С* = др{<р(Оа) | а £ /); 2) для любой группы и любой системы гомоморфизмов фа : Са —>• С найдется гомоморфизм в : С* —О такой, что фа = рав для любого а- £ /.

Говорят, что базисный ранг квазимногообразия групп ( £-групп) X равен п , если это квазимногообразие порождается некоторой п -порожденной группой ( ¿-группой) и не порождается группой ( ¿-группой) с меньшим числом порождающих. Если такого натурального числа п нет, то ранг квазимногообразия X групп ( /-групп) бесконечен [16].

Две группы ( ¿-группы) С и С называются универсально эквивалентными, если всякая замкнутая формула групповой ( ^-групповой) сигнатуры, не содержащая кванторов существования, истинна на О тогда и только тогда, когда она истинна на С.

Пусть С'п+1 = др{а,Ъ1,.,Ъп\аЬ1 = аР1,.,а6п = аРп, = е (/. / Е {1,. го})), где р\ — 2,.,рп - первые п простых чисел. Положим О. - квазимногообразие, порожденное всеми группами С'п, где п Е N.

Диссертация посвящена изучению свойств решетки о-аппроксимируемых многообразий £-групп, тесно связанных с накрытиями многообразия абелевых ¿-групп; вычислению базисных рангов ряда квазимногообразий групп без кручения и £-групп, содержащихся в произведении двух нильпотентных многообразий; исследованию свойства сохранения универсальной эквивалентности при прямых и декартовых сплетениях групп и £-групп.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Найдены новые о-аппроксимируемые многообразия £-групп, не имеющие накрытий в решетке Ь0 (теоремы 1.1.8, 1.1.9, 1.1.13, 1.1.17, 1.1.18).

2. Описаны свойства найденных многообразий: а) показано, что эти многообразия не имеют независимого базиса тождеств и содержат все о-аппроксимированные накрытия многообразия абелевых ¿-групп (теорема 1.2.1); б) доказано, что многообразия £-групп У,С,р(С) замкнуты относительно лексикографического произведения линейно упорядоченных групп, многообразия V, Н) замкнуты относительно линейно упорядоченных по типу (А) или по типу (В) прямых сплетений линейно упорядоченных групп, многообразие С (<р(С)) замкнуто относительно прямых сплетений линейно упорядоченных групп, упорядоченных по типу (А) ((В)) (теорема 1.2.4); с) показано, что если X - произвольное многообразие ¿-групп, М £ то м, МХ /\п£ строго свободные многообразия ¿-групп (теорема 1.2.6); д) доказано, что все 5 многообразий ¿-групп замкнуты относительно линейно упорядоченного свободного произведения линейно упорядоченных групп (теорема 1.2.7).

3. Показано, что любое квазимногообразие групп X , такое, что О, С X С (Л'^Л'с) П 1С, имеет бесконечный базисный ранг (теорема 2.1.5).

4. Доказано, что любое многообразие ¿-групп М. такое, что Л] С ЛЛ С (Л4МЛ/*С)£, имеет бесконечный базисный ранг (как квазимногообразие) (теорема 2.2.1).

5. Показано, что свойство универсальной эквивалентности сохраняется при прямом сплетении ¿-группы с линейно упорядоченной группой и при линейно упорядоченном по типу (А) и (В) прямом сплетении двух линейно упорядоченных групп, но не сохраняется при декартовом сплетении (теорема 3.1.4, предложение 3.1.5, пример 3.2.1).

6. Доказано, что декартово сплетение ¿-группы (группы) С и линейно упорядоченной абелевой группы (абелевой группы без кручения) А универсально эквивалентно декартову сплетению С и линейно упорядоченного делимого пополнения (делимого пополнения) А* абелевой группы А (теорема 3.2.2).

Диссертация состоит из трех глав, связанных между собой единой методикой и техникой исследования.

Целью главы 1 является изучение строения решетки о-аппроксимируемых многообразий ¿-групп Ь0. Ранее С.А. Гур-ченковым [30] показано, что любое многообразие £-групп имеет накрытие в решетке многообразий ¿-групп Ь . Однако решетка о-аппроксимируемых многообразий ¿-групп Е0 не обладает свойством накрытия. Н.Я. Медведевым в работе [13] был построен первый пример »-аппроксимируемого многообразия ¿-групп V, не имеющего накрытий в решетке Ъ0 и содержащего все о-аппроксимируемые накрытия многообразия Ац. Позднее М. Андерсоном, М. Дарнелом, Т. Фейлом в работе [14] приведен пример другого о-аппроксимируемого многообразия ¿-групп С, также содержащего все накрытия А(, из Ъ0. Очевидно, что любое многообразие ¿-групп X I) V также содержит все накрытия Ас в решетке Ь0. В §1 главы 1 доказано, что С Э V, С ф V (теорема 1.1.8), то есть многообразие ¿-групп С принадлежит к известному списку многообразий ¿-групп, содержащему все о-аппроксимируемые накрытия многообразия Аг. Показано, что многообразие С не имеет накрытий в решетке Ь0 (теорема 1.1.9). Н.Я. Медведев [52] определил еще одно многообразие ¿-групп 'Н, также обладающее данным свойством (предложение 1.1.14). В §1 главы 1 построены новые многообразия у(С). / С//), не имеющие накрытий в решетке Ь0. Доказано, что V, Э V, V, ф V (теорема 1.1.13), показано, что все 5 описанных ранее многообразий различны (теорема 1.1.17) и имеют место следующие равенства V С\ч = с /\(р(С) = Ч Д <р(Н) = <р(С) /\<р(П) (теорема

1.1.18).

В §2 главы 1 описан ряд свойств многообразий УХ/Н, р(С),(рСН). Доказано, что многообразия замкнуты относительно лексикографических произведений. Если Ст|, Ст'2 - линейно упорядоченные группы из М, где м е{У/н ^ Т0ГДа ™ Е М, жт Е М: если

С1,С<2 - линейно упорядоченные группы из С (у?(£)), тогда <^1 ^Гг С2 Е С, (^1 луг 02 Е (р{С)) (теорема 1.2.4).

Вопрос о существовании независимого базиса тождеств многообразий /-групп неоднократно рассматривался ранее. Так, например, Н.Я. Медведевым в [13] показано, что многообразие £-групп V не имеет независимого базиса тождеств, им же в [24], [31] найдены примеры других многообразий ^-групп, обладающих данным свойством. В §2 доказано, многообразия (Л Н. у [С). И.) не имеют независимого базиса тождеств (теорема 1.2.1).

Д. Мартинес [29] показал, что если X - произвольное многообразие ^-групп, УУ/? - многообразие жестко упорядоченных /-групп, определяемое тождеством х~1\у\х\у\2 V е = е, тогда УУ(Х 1\Лг - строго свободное многообразие /-групп. Долгое время было неизвестно, существуют ли строго свободные многообразия ¿'-групп, отличные от описанных Д. Мар-тинесом. Первые примеры таких многообразий /у-групп были найдены Н.Я. Медведевым в [32]. В §2 главы 1 доказано, если X - произвольное многообразие /-групп, тогда М.Х М строго свободные многообразия /;-групп, где М. Е {V, ф(С)~} (теорема 1.2.6). Наконец, показано, что если Ст\, С?2 ™ линейно упорядоченные группы из Л4 (ЛЛ £ {V, С, Н, ^СН), 9?(С)}), то существует линейный порядок Р на свободном произведении продолжающий порядок свободных сомножителей Сх и С2, такой, что линейно упорядоченная группа * Сч-Р) £ М (теорема 1.2.7).

Отметим, что теоремы 1.1.8, 1.2.4, 1.2.6, 1.2.7 получены совместно с С.В. Молочко (опубликованы в [47], [50], [51]), теоремы 1 8, 1.2.1 совместно с Н.Я. Медведевым (опубликованы в

43], [44], [52]), теоремы 1.1.9, 1.1.13 получены автором лично и опубликованы в совместной статье с Н.Я. Медведевым [52] (раздельность авторства отмечена в совместной статье), в [43],

44].

Во второй главе диссертации исследуются базисные ранги разрешимых квазимногообразий групп и ¿-групп. Вопрос нахождения базисных рангов квазимногообразий групп рассматривался ранее. Так, например, известно, что базисные ранги следующих квазимногообразий равны 2: квазимногообразия правоупорядочиваемых групп; квазимногообразия, порожденного всеми нильпотентными группами (А.И. Будкин [16]); квазимногообразия, порожденного всеми конечными (конечными разрешимыми) группами; квазимногообразия, порожденного всеми разрешимыми группами (А.И. Будкин [17]). Отметим, что из результатов В.А. Романькова [33], А.К. Румянцева [18], Дж.С. Уилсона [19] также вытекает, что базисный ранг квазимногообразия, порожденного всеми конечными (конечными разрешимыми) группами, равен 2. В §1 главы 2 показано, что любое квазимногообразие групп X , такое, что <2 С X С (Л4-А/"с)П^ имеет бесконечный базисный ранг (теорема 2.1.5). В частности, результат справедлив для любого квазимногообразия X , такого, что А'2 [~] Н С А' С (Л4Л/"С) П гДе 'Н Е {О, Г, 71, 7№, К}. В §2 главы 2 доказано, что любое многообразие ¿-групп М такое, что А\ С Л4 С (Л'^ДЛ/с)^, имеет бесконечный базисный ранг (как квазимногообразие) (теорема 2.2.1). Ранее А. Гласс, Ч. Холланд, С. Макклири [34] показали, что базисный ранг многообразия двуступенно разрешимых Iгрупп Л| (как многообразия) равен 2. Полученный результат подчеркивает различие между свойствами многообразия и квазимногообразия.

Результаты главы 2 получены автором лично и опубликованы в [45], [48], [49].

Третья глава диссертации посвящена исследованию свойства сохранения универсальной эквивалентности при прямых и декартовых сплетениях групп и ¿-групп. В работе Е.И. Тимошенко [20] показано, что свойство универсальной эквивалентности сохраняется при прямом сплетении групп. Возникает естественный вопрос о сохранении универсальной эквивалентности при сплетении упорядоченных групп. В §1 главы 3 доказано, что если А, А' - ¿-группы, В, В' - линейно упорядоченные группы, причем А универсально эквивалентна А', В универсально эквивалентна Вто А у/г В универсально эквивалентно А' "ш: В1 (теорема 3.1.4). Показано, что свойство универсальной эквивалентности сохраняется при линейно упорядоченных по типу (А) и по типу (В) прямых сплетениях двух линейно упорядоченных групп (предложение 3.1.5). В §2 построен пример, показывающий, что аналогичный результат для декартовых сплетений неверен (пример 3.2.1). Доказано, что если С - ¿-группа (группа) А - линейно упорядоченная абе-лева группа (абелева группа без кручения), А* - ее делимое пополнение, то декартово сплетение С\¥гА универсально эквивалентно декартову сплетению СЛ^УгА* (теорема 3.2.2).

Заметим, что из универсальной эквивалентности двух I-групп (групп) следует, что они порождают одно и то же квазимногообразие.

Результаты главы 3 получены автором лично и опубликованы в [46], [47].

Методы, используемые для доказательства результатов, опираются на абстрактную теорию групп и универсальную алгебРУ

Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток многообразий и квазимногообразий £-групп и теории групп.

Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института Математики СО РАН, Международной конференции по математической логики, посвященной 85-летию со дня рождения А.И. Мальцева (Новосибирск, 1994 г.), XXXIV Международной научной студенческой конференции " Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1996 г.), Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике " ИНПРИМ - 96" (Новосибирск, 1996 г.), 1-й краевой конференции по математике "МАК-98" (Барнаул, 1998 г.), Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике " ИНПРИМ - 98" (Новосибирск, 1998 г.), 2-й краевой конференции по математике "МАК-99" (Барнаул, 1999 г.), XXXVII Международной научной студенческой конференции " Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999 г.).

Диссертация содержит 71 страницу, состоит из введения, трех глав, содержащих 6 параграфов и библиографии. Библиография включает 52 наименования.