Накрытия в решетках многообразий и квазимногообразий решеточно упорядоченных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГБ ОД

На правах рукописи УДК 512.545

Баянова Надежда Владимировна

НАКРЫТИЯ В РЕШЕТКАХ МНОГООБРАЗИЙ

И

КВАЗИМНОГООБРАЗИЙ РЕШЕТОЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОМСК 1990

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Алтайского государственного университета

Научный руководитель — доктор физико-математических

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

Ведущая организация — Рубцовский индустриальный

институт

Защита состоится 17 декабря 1996 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета К 064.36.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077, Омск, пр. Мира, 55-А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан 15 ноября 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совет3

наук, профессор Н.Я.Медведев

наук, профессор В.М.Копытов

кандидат физико-математических наук, доцент М.Г.Лопатков

д.ф.-м.н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время интенсивно развивает- . ся теория многообразий ¿-групп, которая берет свое начало с работ Г.Биркгофа [1],[2]. В этих работах были установлены основные свойства многообразий' (-групп, поставлены основные вопросы и указаны направления развития этой теории. С середины 80-х годов началось изучение теории квазимногообразий ¿-групп. Полученные на сегодняшний день результаты показывают существенное отличие теории квазимногообразий и теории многообразий ¿-групп. Важное значение для теории квазимногообразий и теории многообразий ¿-групп имеют работы А.И.Мальцева по теории алгебраических систем. Важность вопроса изучения свойств квазимногообразий алгебраических систем была подчеркнута А.И. Мальцевым в [3]. В настоящее время теории .многообразий и квазимногообразий /'-групп нашли достаточно полное отражение в монографической литературе (см. В.М. Копытов [4], В.М. Копытов, Н.Я.Медведев [5], Н.Я.Медведев [6],[7], А.Гласс, Ч.Холланд [8], М.Дарнел [9]). Особое положение квазимногообразий и многообразий ¿-групп в общей теории ¿-групп определяется тем обстоятельством, что многие полезные свойства ¿'-групп могут быть сформулированы и доказаны на языке квазитождеств и тождеств. Тем самым происходит естественная классификация ¿-групп по свойствам, записанных на языке квазитождеств и тождеств. В настоящее время теории многообразий и квазимногообразий решеточно упорядоченных групп приобрели все черты разработанных теорий с широким кругом задач и разработанными .методами исследований.

Цель работы. Изучение строения решеток многообразий и квазимногообразий решеточно упорядоченных групп ; изучение свойств и строения решеточно упорядоченных групп, обладающих реверсивными автоморфизмами конечного порядка.

Методика исследования. Методы, используемые автором для доказательства результатов, опираются на абстрактную теорию групп и универсальную алгебру.

Научная повизпа и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток много-

образий и квазимногообразий ¿-групп, а также при изучении ¿'-групп с реверсивными автоморфизмами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах " Теория групп" и "Алгебра и логика" Института Математики СО РАН, II Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И. Ширшова ( Барнаул, 1991 г.), Международной конференции " Студент и научно-технический прогресс" ( Новосибирск,1992), III Международной конференции по алгебре, посвященной памяти М.И.Каргаполова ( Красноярск, 1993 г.). Международной конференции "Алгебра и анализ" (Казань, 1994 г.), Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике " ИНПРИМ - 96" (Новосибирск .1996 ).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора [36-40] и совместно с О.В.Никоновой в работах [41,42].

Обьем и структура работы. Диссертация содержит 55 страниц, состоит из введения, трех глав, содержащих 8 параграфов и библиографии. Библиография включает 42 наименования.

Напомним ряд определений и вспомогательных результатов, необходимых в дальнейшем.

Решеточно упорядоченная группа ( ¿-группа) — это алгебраическая система сигнатуры I =< ,с. V, А >, совмещающая в себе структуру группы и решеточного порядка, связанные естественными соотношениями

Тождеством сигнатуры I называется формула <р узкого исчисления предикатов, имеющая вид

(VII) • • • (Ухп) (Л(хъ...,хп) -В(х1,...,хп)),

где ... ,хп), В(х 1,...,ж„) — некоторые термы сигнатуры £.

Как правило, опуская в записи кванторы всеобщности, тождества сигнатуры £ в дальнейшем будем представлять в виде

Содержание работы

х(и V и)у = хиу V xvy, х(и Л v)y = хиу A xvy.

ieJ jdJken

где /, ,/, К — конечные множества индексов, гу,* = ±1.

Квазитождеством сигнатуры ¿ называется формула <р узкого исчисления предикатов, имеющая вид

(Уа:х). -. (У*в) (Лг = В& ...&Ак = Ак+1 = Вк+1),

где А; = А{(х 1,..., ж„), В{ = ... ,хп) (1 < г < к + 1) — некото-

рые термы сигнатуры (.

Класс ¿-групп X называется многообразием (квазимногообразием) ¿'-групп, если существует множество Ф тождеств (квазитождеств) сигнатуры ¿такое, что X состоит из всех ¿-групп, на которых истинны все тождества (квазитождества) из Ф.

Основными для теории многообразий и квазимногообразий ¿-групп являются следующие теоремы (см., например, книгу А.И.Мальцева [10]):

Теорема 1. (Г. Виркгоф) Для того, чтобы непустой класс (.-групп X, был многообразием, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия :

1) (-декартово произведение ¿-групп из X принадлежит X;

2) всякая {.-подгруппа 1-группи из X принадлежит Х\

3) любой I-гомоморфный образ I-группы из X принадлежит X. Теорема 2. (А.И.Мальцев) Для того, чтобы непустой класс

£-групп X, был кеазимногообразием, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия :

1) фильтрованное произведение (-групп из X принадлежит X;

2) всякая £-подгруппа £-группы из X принадлежит X. Нетрудно заметить, что множество Ь всех многообразий ¿-групп

является полной решеткой по включению. При этом пересечени-ь

ем X Д У многообразий ¿-групп X и У является теоретико-

ь

множественное пересечение классов X и У, а объединение Х\У —

наименьшее многообразие ¿-групп, содержащие как X, так и У.

Множество Л всех квазимногообразий ¿-групп также является ре-

л

теткой, где пересечение X Д квазимногообразий ¿-групп X и

У есть также теоретико-множественное пересечение классов X и л

У, а объединение Л' \/ У — есть пересечение всех квазимногообра-

зий ¿-групп, содержащих как А', так и У. Кроме того, хорошо известно [5], что множество всех квазимногообразий ¿-групп Л собственно содержит множество всех многообразий ¿-групп Л. Отсюда и из определения операций в решетках Ъ и А следует, что решетка Ь всех многообразий /-групп является подрешеткой решетки Л всех квазимногообразий ¿'-групп. Поэтому в дальнейшем операции объединения и пересечения в решетках Л и Ь будем обозначать соответственно V и Д . Из контекста будет ясно в какой из решеток мы рассматриваем эти операции.

Говорят, что квазимногообразие (многообразие) V ¿-групп накрывает квазимногообразие (многообразие) ¿-групп V в решетке квазимногообразий (многобразий) ¿-групп, если V Э V и из V Э II 3 V следует V — II или V — V.

Хорошо известно, что решетка многообразий ¿-групп Е дистрибутивна и обладает свойством накрытия. Второй результат получен С.А.Гурченковым в [И]. В отличие от решетки Ь решетка квазимногообразий ¿-групп Л недистрибутивна и не обладает свойством накрытия. Эти результаты доказаны Н.Я.Медведевым в [12],[13]. Позднее недистрибутивность решетки Л была доказана С.А.Гурченковым (см.[5], теорема 14.2.1 ).

Напомним, что для любого неедшгачного элемента д ¿-группы О существует непустое множество а £ 1} выпуклых ¿-

подгрупи ¿-группы С, не содержащих д и максимальных с этим свойством. Тогда выпуклая ¿-подгруппа Уа(<?), порожденная Уа(д) и д такова, что между Ул(д) и Уа(д) нет выпуклых ¿-подгрупп I-группы (?. Пара выпуклых ¿-подгрупп V', (д) -< \га(д) называется скачком в решетке ¿((3) выпуклых ¿-подгрупп ¿-группы С? , определенный элементом д. Скачок \'а(д) -< Уа(д) будем называть субнормальным, если Лга{д) — идеал в Уа(д). Группу , в которой для любого неединичного элемента д любой скачок Уа{д) <\'Та{д) выпуклых ¿-подгрупп ¿-группы С , определенный элементом д, является субнормальным будем называть ¿-группой с субнормальными скачками.

Как обычно. \х\ = хУх~х, [г, у] — х~1у~хху, IV, Z, множества натуральных, целых, рациональных чисел.

Соотношение у > е означает, что х > уп для любого в Е N.

Если |z|n > |j/| и |x| < |i/|m для некоторых ненулевых п,т 6 ¿V, то элементы ж,у называются архимедово эквивалентными.

Элементы х, у ¿-группы G называются ортогональными, если Мл)г/[ = е.

Среди всех многообразий ¿-групп выделим следующие.

(1) Л — многообразие всех абелевых ¿-групп. Е.Вейнбергом [14] показано, что Л является наименьшим нетривиальным многообразием в решетке многообразий ¿-групп L. Е.Вейнберг [14], Ю.С.Гуревич и А.И.Кокорин [15], Н.Г.Хисамиев [16] показали, что А также является наименьшим нетривиальным квазимногообразием в решетке квазимногообразий £-групп Л.

(2) Л2 — многообразие всех метабелевых ¿-групп. Это многообразие определяется следующим тождеством [|[ж,у]|Л|;г|, |[w,v]|A)í¡] = е.

(3) Wa — многообразие всех £-групп, в которых выполнено тождество £-1|y|x|í/|2Ve = е. Это многообразие называется многообразием жестких í-групп.

(4) TZ — многообразие всех о-аппроксимируемых ¿-групп. П.Ло-ренцеп в [17], Ф.Шик в [18] показали, что это многообразие в классе всех ¿-групп задается тождеством (х А у"1х~1у) V е = е.

(5) Я — многообразие всех ¿-групп с субнормальными скачками. Описание этого класса i-групп в терминах тождеств даио С.Вольфен-штейном в [19]. Им было показано, что в классе всех ¿-групп этот класс определяется тождеством |г||?/| А |г/|2|х|2 = |г|{т/|. Ч.Холланд в [20] доказал, что многообразие J\f является наибольшим собственным подмногообразием ¿-групп многообразия всех ¿-групп С.

(6) V — многообразие ¿-групп, которое задается следующей бесконечной системой тождеств:

{х A y~lx~xy) V е = е (1)

КИ^'З/И2 v У~1\\хту]\У)\[Х1У]\~'1\ А Kiií.yjpv^i^yjHiix.ymA

\({\х\ V (l/l)_1¡[x,y]((|x| V |y¡) Л |[х,у]Г)|[1,уГ"| А (2)

1((М V М)1М(И V \у\Л |МГ)|[л;,гГга| = е (ш,п е N;n,m > 2).

Это многообразие определено Н.Я.Медведевым в [21]. Там же было показано, что V не имеет накрытий в решетке о-аппроксимируемых многообразий ¿-групп.

Следующая конструкция позволяет строить не о-аппроксимируе-мые накрытия в решетках Ь и Л.

Пусть С = Я А (</) — /-группа, являющаяся лексикографическим расширением ¿-группы Н с помощью бесконечной циклической группы (у) . Для натурального числа п > 2, через Вп{С) [22]

п

обозначим лексикографическое расширение с помощью беско-

¿=1

печной циклической группы (¿), где

Г1(1гь /г2,..., К^ = (куп, Ль ...,

//, = II и Н{ — ¿—подгруппа в Вп{С) всех элементов вида (е(е,..., е, Л,-, е.... ,е)) . Считаем £ •= /гг,.. • > е в Д,(С), если к > 0 или /о = 0 и /(, > е к <9. Отметим, что эта /-группа является частным случаем более общей конструкции, определенной М.И.Каргаполовьш, Ю.И.Мерзляковым, В.Н.Ремесленниковым в [23], [24].

Перейдем теперь к изложению содержания диссертации. На защиту выносятся следующие основные результаты :

— показано существование континуума различных накрытий в решетке многообразий /-групп Ъ у произвольного о-аппроксимируе-мого многообразия А', содержащего многообразие /-групп V.

— построено четыре бесконечные счетные серии накрытий у любого многообразия X такого, что V С А' С 71.

— показано существование континуума различных накрытий в решетке квазимногообразий /-групп Л у произвольного о-аппроксими-руемого квазимногообразия О., содержащего многообразие /-групп V.

— указаны четыре бесконечные счетные серии о-аппроксимируемых квазимногообразий /-групп такие, что каждое квазимногообразие из этих серий имеет не о-аппроксимируемое накрытие в решетке квазимногообразий /-групп Л.

— отрицательное решение проблемы М.Жираде и Ф.Люка, поставленной в работе [25].

Целью главы 1 является изучение строения решетки многообразий ¿-групп Ь. Ранее, в работе [11] показано, что для любого собственного многообразия ¿-групп А}, отличного от многообразия всех I-групп с субнормальными скачками, существует бесконечное счетное множество многообразий, накрывающих Х[ в решетке многообразий ¿-групп Ь . В книге [26] С.А.Гурченковым поставлен вопрос о существовании многообразия ¿-групп, имеющего лишь счетное множество различных накрытий в решетке многообразий ¿-групп Ь . В §1 главы 1 построены бесконечные счетные серии накрытий, отличные от приведенных в работе [И] , у любого многообразия ¿-групп X, такого, что V С X СП.

В дальнейшем через М обозначим следующее множество линейно упорядоченных групп { И/+, , Р^}-, где \\г+ — (а) (6) ,

\У~ = (а) пт (Ь) — сплетения бесконечных циклических групп, определенные в [4; с. 217], /^-Р^ — свободные группы с двумя порождающими а, 6, определенные в [29], [30] соответственно. Основной леммой этого параграфа является следующая

Лемма 1.1.2. Пусть (? € ЛЛ , тогда для любого простого числа р имеем А С V . □

Из дистрибутивности решетки многообразий ¿-групп Ь и леммы 1.1.2. следует справедливость следующего утверждения.

Предложение 1.1.7. Пусть С? 6 М, тогда для любого простого числа р многообразие V V наг^И^С)) накрывает многообразие V в решетке Ь. □

Предложение 1.1.8. Пусть С?1,Сг2 — линейно упорядоченные группы принадлежащие Л4 , тогда для любых простых чисел р, д справедливо

(V V vart{Dp{Gl))) А (V V ^(Д?(<?2))) = V. □

Из предложений 1.1.7., 1.1.8. и дистрибутивности решетки многообразий ¿-групп Ь следует основной результат §1 главы 1

Теорема 1.1.9. 1) Для любого многообразия I-групп X , такого, что V С X С 7?. , любого простого числа р и любой I-группы б £ М многообразие 1-групп X V уат({Ор(С)) накрывает X в

решетке Ь .2) Все эти накрытия различны. □

В §2 первой главы доказывается существование континуума накрытий в решетке многообразий ¿-групп Ь у произвольного о-аппроксимируемого многообразия Л', содержащего многообразие £-групп V.

В дальнейшем через в будем обозначать произвольную последовательность из ±1. В [31] доказано, что на свободной двупорожденной группе F2 по последовательности й может быть определен порядок, превращающий F2 в линейно упорядоченную группу. Сохраняя обозначения работы [31], под понимаем с таким линейным порядком. В этой же работе доказано существование несчетного множества о-анпроксимируемых неразрешимых накрытий многообразия абелевых ¿-групп А. причем каждое такое накрытие порождается некоторой неабелевой линейно упорядоченной группой Н$ 6 уагс(Гв). Позднее Д.Бергманом (персональное сообщение) было показано, что таких накрытий в точности континуум.

Далее, через V', обозначим многообразие ¿-групп, порожденное Н$. Так как Я, неабелева группа , то существуют элементы с,(1 £ Н6 такие, что [с, с1\ ф е. Обозначим а = Рассмотрим группу gp(a,&). Несложно убедиться, что gp(a, Ъ) — неабелева группа. Очевидно, что 6 а > е, и У& — vare(■gp(a,b)) . Обозначим через Я* группу §р(а,Ь) .

Основной технической леммой §2 является

Лемма 1.2.4. Справедливо следующее включение

шг/(£>2(я;))л7гс V. □

Из леммы 1.2.4. и теоремы компактности А.И. Мальцева [10] следует .

Предложение 1.2.5. Многообразие 'УХ/иагДХ^Я*)) содержит накрытие многообразия V . □

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 1.2.8. Пусть Я*, Я*, —.неабелевы линейно упорядоченные группы, порождающие различные накрытия У5, Уа> много-

образия абелевых (-групп Л. Тогда

«юг<(02(Я;)) Л иагг(Х?2(Н;)) СУ. □

Лемма 1.2.9. Пусть Н*, //', — пеабелевы липейпо упорядоченные группы, порождающие различные накрытия У,, У^ многообразия абелевых (-групп Л . Тогда

(V V ьапрЖЩ))) Л (V V уаг1(02(Щ,))) = V. □

Предложение 1.2.10. Существует континуум различных накрытий многообразия V е решетке многообразий I—групп. □

Из предложения 1.2.10. и дистрибутивности решетки Ъ следует основная теорема §2 главы 2

Теорема 1,2.11. Любое многообразие I-групп X , такое, что V С X С 71 имеет континуум различных накрытий в решетке многообразий (—групп. □

В книге [9] и статье [22] М. Дарнеда приведено с "доказательством" следующее

Предложение :" Пусть 1-группа (7 принадлежит многообразию I-групп Пп, определяемого тождеством у~пх+уп А — е и С(т) — (-подгруппа порожденная всеми т-ми степенями элементов С . Тогда, если (¿=Нод(т,п), то С(т) 6 Ла."

В §3 главы 1 построен контрпример к указанному утверждению. Результаты §1, §2 главы 1 дают частичный ответ на вопрос поставленный С.Л. Гурченковым.

Во второй главе диссертации изучается решетка квазимногообразий ¿-групп Л. Н.Я.Медведевым в [13] показано, что решетка квазимногообразий ¿-групп Л не обладает свойством накрытия, в частности доказано существование континуума различных квазимногообразий ¿-групп, не имеющих накрытий в решетке квазимногообразий ¿-групп Л. В §1 главы 2, используя результаты главы 1, показывается существование континуума различных накрытий в решетке квазимногообразий ¿-групп Л у произвольного о-аппрокснмируемого

квазимногообразия Q, содержащего многообразие ¿-групп V. Основной теоремой §1 является

Теорема 2.1.5. Любое квазимногообразие (.-групп Q , такое, что V С Q С 1Z гшеет континуум различных накрытий о решетке квазимногообразий I— групп Л . □

В §2 главы 2 указаны четыре бесконечные счетные сериии о-аппроксимируемых квазимногообразий ¿-групп такие, что каждое квазимногообразие из этих серий имеет не о-аппроксимируемое накрытие в решетке квазимногообразий ¿'-групп Л. Доказана

Теорема 2.2.7. Пусть G £ М. Для любого простого числа р квазимногообразие q((Dp(G)) накрывает квазимногообразие qe(Dp(G)) ATZ в решетке квазимногообразий l-групп Л. □

В §3 второй главы исследюутся накрытия жестких квазимиого-образий /-групп. В работе [22] доказано, что если G неабелева жестко линейно упорядоченная группа, тогда для любого простого числа р многообразие var^{Dv{G)), порожденное /-группой DP{G) не накрывает vari(Dp(G)) Л И. В данном параграфе показывается, что ситуация в решетке квазимногообразий иная, т.е. квазимногообразие q((Dp(G)). где G жестко линейно упорядоченная группа может как накрывать, так и не накрывать qt(Dp(G)) А Tl.

Пусть Nq = gp(а, b, с|[о, b] — с, [с, Ь] = [с, а] — е) — линейно упорядоченная группа ступени нильпотентности 2. Считаем, что элемент х == anbkcm > е, если п > О или п ~ 0, к > 0 или п — к — 0 и т > 0. Тогда а > i > с. Отметим, что Л70 •— жестко линейно упорядоченная группа.

Справедлива следующая

Теорема 2.3.6. Квазимногообразие qi(Dp{NQ)) не накрывает квазимногообразие qt{Dp{No)) Ali в решетке квазимногообразий /групп Л. □

Пусть G = (a)wr(ö) — сплетение двух бесконечных циклических групп (а) и (6). Известно, что в (a)wr(b) ряд

G — JiG>J2G> .. ■ 7iG>...

имеет единичное пересечение и фактор-группа

£

бесконечная циклическая группа, порожденная элементом ([а, , здесь л+хС = [тгС,С].

I

Для любых п > 2 и {со, £1,е2,..., 5П_1}, где е0 = +1, е{ = ±1 (г = 1,..., п — 1), через @„(со,£1, - • •,^п-О обозначим линейный порядок группы С = (а.)\уг(Ь) определяемый следующими соотношениями:

1. ¿»а»|[в,6]|» |[а,6,Ь]|»---»|[в>Ь1:^]|» • ■ • > е,

к

2. [а, Ь,. , Ьу8 > е, где к вычет числа к по модулю тг и

к

к е {о,1,...,п-1}.

Непосредственные вычисления показывают, что в линейно упорядоченной группе (С?,(5п(£о,£1, ..., £,1-1)) для любых двух неперестановочных элементов х,у выполняется равенство |.т| V = где <р е /«п((а),(Ь)). Справедлива следующая

Теорема 2.3.11. Для любых простых чисел р,ц квазимногообразие дД.ОДС, £ъ ■ • • , I))) накрывает квазимпогообразие

... А ^ в решетке квазимпогообразий I-

групп Л. □

Третья глава диссертации посвящена отрицательному решению проблемы М.Жираде и Ф.Люка, поставленной в [25]. Результаты главы 3 получены в соавторстве с О.В.Никоновой и опубликованы в работах [40],[41].

Напомним, что автоморфизм <р ¿-группы называется реверсивным, если из х < у следует, что ¡р(х) > <р(у) для любых х,у из С. Впервые это понятие было введено в указанной работе. Там же была сформулирована следующая проблема :

Всегда ли ¿-группа, обладающая реверсивным автоморфизмом, имеет реверсивный автоморфизм конечного порядка ?

В §1 главы 3 показано, что если <р реверсивный автоморфизм конечного порядка и, то п = 2; изучаются ¿-группы, обладающие реверсивным автоморфизмом второго порядка.

Для любого слова сигнатуры ¿-группы ги(Х1,Х2, -•■, х„) — \] Д П '

1 3 К к'

где ¡гул = ±1. Положим и:п(уиуг,...уп) = V ЛПЧ ,Ь гДе II2/. =

/ ] К ¿=1

По теореме Ч.Холланда (см. [5], теорема 9.5.1.) для любого многообразия ¿-групп I7 в любой ¿-группе С существует наибольшая выпуклая ¿-подгруппа У (С) принадлежащая многообразию ¿-групп V. Эта выпуклая ¿-подгруппа \'{С) называется V-радикалом £?.

Пусть У многообразие ¿-групп, определяемое тождествами

{ги,(хь...,а:„) = е | г 6 /}. Через V* обозначим многообразие, определяемое тождествами {™1(уи-,Уп) = е | г € /}.

Справедливы следующие утверждения

Теорема 3.1.8. Пусть реверсивный автоморфизм второго порядка (.-группы 6?, У {С) и У* (С) радикалы I-группы С. определяемые многообразиями V и V* соответственно. Тогда ?(У(0)) = У*(0). □

Следствие 1. Пусть £-группа У (С) и У'{С) радикалы I-группы С, определяемые многообразиями У и У* соответственно. Тогда если У(С) ф {е}, У*(С) = {е}, то 1-группа С не имеет, реверсивного автоморфизма второго порядка. □

Следствие 2. Если N{0), 71(0)., >Уа(6г) радикалы I-группы С, определяемые многообразиями I-групп АГ,71,УУа соответственно и 1р реверсивный автоморфизм второго порядка ¿-группы О, то

<р(ЩС))=ЩС), (С)) = ИЦ<?). □

Пусть К линейна упорядоченное поле. Хорошо известно, что всякое линейно упорядоченное множество X может быть вложено в линейно упорядоченное поле К так, что всякий автоморфизм линейно упорядоченного множества X продолжается до порядкового автоморфизма линейно упорядоченного поля К (см. [о], лемма 7.З.1.). Доказана

Теорема 3.1.9. Группа А(К) всех порядковых автоморфизмов линейна упорядоченного множества К обладает реверсивным автоморфизмом второго порядка. □

Следствие 1. Любая I-группа С изоморфно вложима в I-группу, обладающую реверсивным автоморфизмом второго порядка.

Справедливо также

Предложение 3.1.10. Пусть V — многообразие £-групп такое, что V = V*. Тогда любая С-группа С? € V изоморфно вкладывается в I-группу Н, обладающую реверсивным автоморфизмом второго порядка. □

Следствие. Любая в-группа из многообразий М, 71, УУо и любая £-группа из многообразия, определяемого групповыми тождествами изоморфно вкладывается в 1-группу, обладающую реверсивным ав-тпоморфизмом второго порядка. □

Основным результатом §2 является отрицательное решение проблемы М.Жираде и Ф.Люка.

Оказывается справедливой

Теорема 3.2.1. Линейно упорядоченная группа О обладает реверсивным автоморфизмом второго порядка тогда и только тогда, когда С абелева. □

Этот результат и пример Ч.Холланда, построеннный в 1966 году для другой цели, дает отрицательный ответ на проблему М.Жираде и Ф.Люка.

Пусть А, С?—линейно упорядоченные группы, Н = АжгС сплетение групп А и С. При этом А — Л,,. где д 6 С? и из ае £ Ас. д £ С следует а\ = ад. Любой элемент Л £ Н однозначно представим в виде Н ~ ап...адкд1 где а.д. £ Ау., д с С л [ц < дч < ... < дь при

линейном порядке в G.

Считаем, что Я — AvtiG упорядочена по типу /А/, если ayi...aSkg > е тогда и только тогда, когда д > е в G или д = е, aSk > е.

Считаем, что Я = AwrG упорядочена по типу /Б/, если agi...agkg > е тогда и только тогда, когда д > е в G или д = е, ад1 > е.

Справедлива следующая

Теорема 3.2.2. Пусть G линейно упорядоченная группа, А абе-лева линейно упорядоченная группа. Тогда группа II = AwtG упорядоченная по типу /А/, /Б/ не имеет реверсивного автоморфизма.

Следствие. Любая линейно упорядоченная группа изоморфно вло-жима в линейно упорядоченную группу, не обладающую реверсивным аетоморфизлюм. □

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Н.Я. Медведеву за ценные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Литература

[1] Биркгоф Г. Теория решеток. М., ИЛ, 1952.

[2] Birkhoff G. Lattice ordered gpoups. Ann. Math., 1942, 43, n 2, 298331.

[3] Мальцев А.И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и мате матической логики. Труды междунар. конгресса математиков, Москва, 1966, Мир, 1968, 217-238.

[4] Копитов В.М. Решеточно упорядоченные группы. М., Наука, 1984.

[5] Коруtov V.M., Medvedev N.Ya. The Theory of Lattice-Ordered Groups. Dordrecht-Boston-London.: Kluwer Academic Publishers, 1994.

[6] Медведев Н.Я. Многообразия решеточно упорядоченных групп. Учебное пособие. Барнаул, изд-во Алт.ун-та, 1987, 78 с.

[7] Медведев Н.Я. Сплетения и многообразия решеточно упорядоченных групп. Учебное пособие. Барнаул, изд-во Алт.ун-та, 1990, 72 с.

[8] Glass A.M. W,, Holland Ch. IV. Lattice ordered groups. Advances and Techniques, ed. by Glass A.M.W., Holland Ch.W., Kluwer Academic Publishers, 1989.

[9] Darnel M.R. Theory of lattice-ordered groups., Marcel Dekker, Inc., Now York-Basel-Hong Kong, 1995.

[10] Мальцев А.И. Алгебраические системы. M., Наука, 1970.

[11] Гурченков С.А. О накрытиях в решетке ¿-многообразий. Матем. заметки, 1984, 35, п 5, 677-684.

[12] Медведев Н.Я. О свободных произведениях ¿-групп. Алгебра и логика, 1984, 23, п о, 493-511.

[13] Медведев Н.Я. О квазимиогообразий ¿-групп и групп. Сиб. матем. ж., 1985, 26, п 5, 111-117.

[I t] Weinberg Е. С. Free lattice ordered abelian gpoups. Math. Ann., 1963, 151, n 3, 187-199.

[15] Гуревич Ю.С., Кокорин A.M. Универсальная эквивалентность упорядоченных абелевых групп. Алгебра и логика, 1963, 2, n 1, 37-39.

[16] Хисамиев Н.Г. Универсальная теория структурно упорядоченных абелевых групп. Алгебра и логика, 1966, 5, п 3, 71-76.

[17] Lorenzen P. Uber halbgeordnete Gruppen. Math. Z., 1949, 52, n 5, 483-526.

[18] Sik F. Uber subdirekte Summen geordneter Gruppen. Czech. Math. J., 1960, 10, n 3, 400-424.

[19] Wolfenstein S. Values normales dans un groupe reticule. Accad. Naz. dei Lincei, 1968, 44, n 8, 337-342.

[20] Holland Ch. W. The largest proper variety of lattice-ordered groups. Proc. Amer. Math. Soc., 1976, 57, n 1, 25-28.

[21] Медведев Н.Я. О решетке о-анироксимируемых /-многообразий. Czech. Math. J., 1984., -34, n 1., 6-17.

[22] Darnel M.R. Varieties minimal over representable varieties of lattice-ordered groups. Comm. Algebra, 1993, 21, 2637-2665.

[23] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И., Ремесленников B.H. О пополнении групп. ДАН СССР, 1960, 134, 518-520.

[24] Каргаполов М.И., Мерзляков К).И., Ремесленников В.Н. Об одном способе пополнения групп. Уч. зап. Пермск. ун-та, 1960, 17, 9-11.

[25] Giraudet М., Lnkas F. Groupes a moitie ordonnes. Fund. Math., 1991, 139, n 2, 75-89.

[26] First meeting on ordered groups and infinite permutation groups. C.I.R.M. Luminy, France, 1990.

[27] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М., Наука, 1972.

[28] Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, 1967.

[29] Копытов В. М. Неабелевы многообразия решеточно упорядоченных групп, в которых каждая разрешимая /—группа абелева . Мат.сборник , 1985, 126, п 6, 247-266.

[30] Bergman G. Specially ordered groups. Comm. Algebra, 1984, 12, 2315-2333.

[31] Holland Ch.W., Medvedev N.Ya. A very large class of small varieties of lattice-ordered groups. Comm. Algebra, 1994, 22, n 2, 551-578.

[32] Медведев Н.Я. О накрытиях в решетке /-многообразий. Алгебра и логика, 1983, 22, n 1, 53-60.

[33] Reilly N.R. A subsemilattice of the lattice of varieties of lattice ordered groups. Canad. J. Math., 1981, 33, 1309-1318.

[34] Исаева О-В., Медведев Н.Я. Накрытия в решетке квазимногообразий /-групп. Сиб.матем.ж., 33, п 2, 1992, 102-107.

[35] Huss M.E., Reilly N.R. An reversing the order of lattice ordered groupes. J.Algebra, 1984, 9, n 1, 176-191.

Работы автора по теме диссертации

[36] Баянова Н.В. Накрытия в решетке, многообразий £-групп. Алт. ун-т., Барнаул, 1996, Деп. в ВИНИТИ, 21.02.96, N 569 - В96.

[37] Баянова Н.В. О континуальных сериях накрытий в решетке многообразий ¿-групп. Материалы XXXIV международной научной студенческой конференции . Математика. Новосиб. ун-т., Новосибирск, 1996, 7-8.

[38] Баянова Н.В. О накрытиях в решетке квазимногообразий I-групп. Международная конференция "Алгебра и анализ", тез. докладов, Казань, 1994, 15.

[39] Баянова Н.В. Накрытия в решетке квазимногообразий ¿-групп. Алгебра и логика, 1996, 35, п 4, 379-388.

[40] Баянова Н.В О континуальных сериях накрытий в решетке квазимногообразий ¿-групп. Второй сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике " ИНПРИМ - 96", тез. докладов, Новосибирск, 1996. ( в печати)

[41] Баянова Н.В., Никонова О.В Реверсивные автоморфизмы ренге-точно упорядоченных групп. III Международная конференция по алгебре памяти М.И. Каргаполова, тез. докладов, Красноярск, 1993, 36-37.

[42] Баянова Н.В., Никонова О.В Реверсивные автоморфизмы реше-точно упорядоченных групп. Сиб. матем. ж., 36, п 4, 1995, 763768.