Алгебраическая теория квазимногообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГБ ОН

о ï i'.M

L ' Российская академия наук

сибирское отделение институт mаxе mати к и им. с.л. соболева

Па иравах рукоаиса

Горбунов Виктор Александрович

УДК 512.37

Алгебраическая теория квазимногообразий

(01.01.06 — Математическая логика, алгебра н теория чисел)

Автореферат диссертации пз сопска/ние ученой степени доктора, физико-математических паук

Иозоснбирск — 1996

Работа выполнена в Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделение РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Мартынов Л.М. доктор физико-математических паук, профессор Пинус А Г. доктор физико-математических паук, профессор Рыбаков В.В.

Ведущая организация: Омский государственный университет

Защита состоится " ^3 " декабря 1996 I-. в 15~ " час. г 3 0" мин. па; дании диссертапионпого совета Д.002.23-01 при Институте математики им. С.Л болева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Университетский проспект С диссертапией можно ознакомиться в библиотеке Института, математики С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан г '' ноября 1996

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат сii.x паук

Федор яеа

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория квазимногообразий представляет собой раздел алгебры и математической логики, изучающий фрагмент логики первого порядка — так называемую универсальную хорцову логику. Основателем теории квазимпо-гообразий был А.И. Мальцев.

Первые работы по теории квазимногообразий появились в результате решения конкретных алгебраических проблем. В 1939 г. А.И. Мальцев [17] нашел бесконечную серию квазитождеств, характеризующую класс полугрупп, пложимых в группы. В 1945 г. Дялуорс [50], решая известную проблему о существовании недистрибутивных решеток с единственными дополнениями, доказал, что в квазимногообразиях существуют свободные алгебры. В свою очередь, в 1943 г. Маккзгаси [73] связал некоторые алгоритмические проблемы логики с финитной аппроксимируемостью в квазимпогообразиях. Наконец, известную теорему П.С. Новикова [26] о неразрешимости проблемы равенства слов можпо также интерпретировать как неразрешимость универсальной хорновой теории групп.

В самостоятельный раздел алгебры и математической логики теория квазимногообразий оформилась в работах А.И. Мальцева в конце 50-х - середине 60-х годов. С тех пор она представляет собой область активных исследований.

Значительную роль в становлении теории квазимногообразий сыграли доклад Гарретта Биркгофа [47] на Канадском математическом конгрессе (Монтреаль, 1945) и доклад А.И. Мальцева [23] на Международном конгрессе математиков -(Москва, 1966), поднявшие ряд важных проблем этой теории, в частности, проблему описания решеток (квази-)мяогообразий. Заметим, что работа Биркгофа [47] стала известна в России только в 1987 г. после выхода его избранных трудов по алгебре и топологии [81].

Перейдем теперь к краткому обзору.

Отправным пунктом исследований в теории квазимногообразий являются теоретико-множественные характеризашш квазимногообразий, найденные Мальцевым в [21, 22], а также его теоремы о существовании определяющих соотношений [20] и о подпрямом разложении [19]. Некоторые из этих результатов были переоткрыты и усилены в работах Фудзивары [58], Кашнваги [67], Табаты [83], Гретдера и Лаксера [62].

Первые результаты в теории квазимногообразий были получены, как правило, методами теории моделей. В случае квазимногообразий удалось также решить ряд проблем, стоящих в теории моделей. Это в первую очередь касается описания категоричных квазимногообразий, данного Е.А. Палютиным [31] и независимо Гиваптом [59].

Кроме того, в работах Хатчера [65] и др. был предложен категорный подход к квазимногообразиям, что, в частности, привело к рассмотрению квазимногообразий пад топосами (см., например, [54, 55]).

Первый этап развития теории квазимногообразий отражен в известной монографии А.И. Мальцева [24], см. также обзор Д.М. Смирнова [82].

С середины 70-х годов теория квазимногообразий характеризуется не только развитием, по в приложением своих идей и методов в других областях математики.

Глубокая теория допустимых правил вывода в неклассических логиках, тесно связанная с квазитождествами свободных алгебр соответствующих многообразий; была построена В.В. Рыбаковым [32-3-1J. С позиций теории квазимногообразий рассматриваются алгебраическая логика и теория дедуктивных систем, см. [48].

Большое число работ цаписаяо о квазитождествах классических алгебраически х систем. В первую очередь отметим работу А.Ю. Ольшанского [29], где дается олисаяие конечных групп, имеющих конечный базис кзазатождеств. Этот результат является сейчас эталоном для исследования квазитождеств конечных алгебр в конгруенц-модулярных многообразиях, см., например, В.П. Белкин [5] и И.П. Бесценный [45]. Отметим также работы [7, 8, 14, 36, 38, 40, 79]. . .

Наибольшее внимание в этот период уделяется исследованию решеток квазимногообразий, см., например, [1-6], [10, 35, 39, 41, 42, 52, 57, 63, 80]. В частности, в [3, 42] К.В. Адаричевой, В.А. Горбунову и В. Дзебяку удалось дать описание алгебраических точечных решеток квазимногообразий, что является одним из наиболее значительных результатов в этом направлении.

С другой стороны, в работах Дзебяка [53], Кернса и Маккензи [68], А.М. Нураку-нова [27, 28], Пигоци [78] и др. началось построение теории относительно конгруенн-модулярных квазимногообразий, параллельной теории конгруепц-модулярных многообразий.

В последпее время найдены также тесные связи теории квазимногообразий с теорией графов и формальных языков (В.А. Горбупов и A.B. Кравченко [60]), теорией метрических и топологических пространств (Уивер [87], Бар и Педичио [44]), теорией нормированных и банаховых алгебр (Диксон [51]), теорией алгебраических пространств замыканий (Пасини [76]).

Наконец, мощный импульс в развитии теории квазимногообразий дало приложение универсальной хорновой логики в логическом программировании и теории баз данных, см., панример, [15, 16].

Полная библиография по теории квазимногообразий, собранная автором, содержит более 400 наименований.

Цель работы. Диссертация посвящена построению алгебраической теории квазимногообразий. Наибольшее внимание в ней уделяется исследованию решеток квазимногообразий, конечно-определенных и подпрямо неразложимых систем, независимой аксиоматизируемости.

Основные результаты работы:

1. Доказано, что класс систем, вложимых в прямые произведения систем из данного класса К является квазимногообра.зием тогда и только тогда, когда класс К квазякомпактен (решение вопроса А.И. Мальцева). Как следствие, дано единообразное доказательство всех основных характеризаций квазимногообразий.

2. Дана алгебраическая и синтаксическая характеризадия резидуалыга малых квазимногообразий. В частности, решены вопросы Болдуина и Бермана о синтаксической характеризации таких квазимногообразий. Решен вопрос Тейлора о числе Халфа для подпрямой неразложимости в квазимногообразиях. Описаны спектры мощностей подпрямо неразложимых систем в квазнмногообразиях.

3. Решен вопрос Биркгофа о характеризации относительных квазимногообразий. Определено понятие (квази-)биркгофова класса и в его терминах найден метод построения полных гомоморфных образов решеток (квази-)многообразий и критерий (^-универсальности квазимногообразпя. Доказана (^-универсальность многообразия унаров (решение вопроса М.В. Сапира).

4. Дано представление решеток (квази-)многообразий в виде обратного предела решеток с некоторыми условиями конечности. Доказано, что класс всех решеток квазимногообразий алгебр удовлетворяет нетривиальным квазитождествам. Дан положительный ответ на вопрос Лэмла о сравнении решеток многообразий с решетками локально конечных многообразий.

5. Дап аксиоматический подход к проблеме Биркгофа-Мальцева и построена теория решеток, близких к решеткам квазимногообразий.

6. Дана характеризапия дистрибутивных решеток подквазимногообразий локально конечных квазимногообразий и, как следствие, отрицательно решен вопрос Падманабхаиа о дистрибутивности решетки квазимпогообразий модулярных решеток.

7. Найдена тесная связь независимой аксиоматизируемости с несократимыми разложениями в решетках. Дано описание полных дистрибутивных решеток с несократимыми разложениями (решение вопроса Гретцера). Доказано, что существует трехэлементная алгебра, не имеющая независимого базиса квазитождеств, по любая двухэлементная алгебра конечной сигнатуры имеет конечный базис квазитождеств.

Основные методы. В работе используются алгебраические методы, развитые, в основном, автором. Это — метод надпрямых и обратных пределов, теория (квази-)биркгофовых классов, метод /-проективных систем, теория разложений в полных решетках. Кроме того, широко используются теоретико-решеточные методы.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они значительно расширяют и дополняют ряд результатов по теории квазимногообразий, полученных ранее другими авторами.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес, являясь вкладом в теорию квазимногообразий алгебраических систем. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях, а также при подготовке монографий и чтении специальных курсов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации были представлены автором в пленарных докладах на Всесоюзной конференции по алгебре в Красноярске (1979), Всесоюзных конференциях по математической логике в Ленинграде (1988) и Новосибирске (1994), Международных симпозиумах по универсальной алгебре в Варшаве (1986), Торуне (1987, 1990) и Ополе (1988), на Международных конференциях по универсальной алгебре и теории решеток в Карловых Варах (1988) и Сегеде (1989, 1993), на Международных конференциях по дискретной математике и общей алгебре в Потсдаме (1993, 1996) и Дармштадте (1995), в лекциях автора в университетах Будапешта и Сегеда весной 1984 г., в университете им. Коперника

(Торунь, Польша, 1991), в университетах городов Ватерлоо, Манитоба, Гамильтон и Оттава (Канада) осенью 1992 г.

Результаты диссертации излагались автором в докладах на Йонссоновском симпозиуме по алгебрам, решеткам и логике (Лаугарватн, Исландия, 1990), иа конференции Дея по решеткам и алгебрам (Гамильтон, Канада, 1992), Всесоюзных алгебраических конференциях во Львове (1987), Ленинграде (1981) и Кишиневе (1985), в лекциях на Всесоюзных школах цо прикладной логике в Орджоникидзе (1987) и Владивостоке (1988).

Автор докладывал результаты диссертации на семинарах "Алгебра и логика", Алгебраические системы" и ''Теория решеток" Новосибирского университета, на научных семинарах Омского, Волгоградского и Алма-Атинского университетов.

Результаты диссертации использовались в спецкурсах по теории квазимногообразий и теории решеток, которые регуяярцо читаются автором, начиная с 1984 г., в Новосибирском университете.

Публикации. Все основные результаты диссертации получены автором лично, без соавторов, и опубликованы в [89-111]. Результаты совместных работ [2, 9,10, 11] включены частично, для полноты изложения, а результаты работ [1, 3, 4, б, 42, 60] в диссертацию не включены.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и 6 глав, разбитых па 25 параграфов. Нумерация параграфов — по главам, теоремы и утверждения нумеруются тремя цифрами: первая — номер главы, вторая — номер параграфа, третья — номер утверждения в параграфе. Аналогично нумеруются соотношения и формулы. Список цитируемой литературы включает 270 наименований. Объем работы — 236 страниц.

Содержание диссертации

В первых двух параграфах главы 1 дается краткий обзор необходимых определений и обозначений из теории алгебраических систем и теории решеток. Приводится также ряд вспомогательных утверждений. Третий параграф служит введением в теорию квазимногообразий, он содержит многочисленные примеры и приложения. В последнем параграфе главы 1 определяются алгебраические подмножества полных решеток — одно из основных решеточных понятий, используемых памп, и исследуется связь этих подмножеств с непрерывными операторами замыкания.

Глава 2 является введением в алгебраическую теорию предикатных систем. В ней вводится новое понятие конгруенции на алгебраической системе и в его терминах исследуются осповпые алгебраические конструкции, такие, как иодцрямое произведение и надпрямой предел. Дается аналог леммы Мальцева о главных копгруеп-цяях для произвольных алгебраических систем (леммы 2.4.1 и 2.4.3) и исследуются свойства относительно простых и относительно подпрямо неразложимых систем. В частности, доказываются аналог теоремы Магари о существовании простых систем (теорема 2.4.11) и теоремы Биркгофа о подпрямом разложении (теорема 2.3.10).

Цель главы 3 — показать, что многие вопросы 1еории квазимногообразий находят свое наиболее естественное выражение в рамках теории определяющих соот-

ношений. Это отражает точку зрения автора, что теория квазимногообразий есть теория конечно определенных систем, в то время как теория многообразий есть теория свободных систем.

В параграфах 3.1 и 3.2, используя конгруенции, дается простое доказательство теоремы Мальцева о существовании определяющих соотношений и строится специальное исчисление атомпых формул для работы с такими соотношениями. Доказывается теорема полноты для этого исчисления (теорема 3.2.1), следствиями которой являются теорема полноты для эквациональной логики и теорема полноты для ква-зиэквациопальной логики.

В параграфе 3.3 рассматриваются характеристические свойства квазимпогообра-зий с позиций определяющих соотношений. А.И. Мальцев [18] и независимо Door [86] доказали, что для любого проективного (в частности, аксиоматизируемого) класса К класс SP(/<") всех систем, вложимых в прямые произведения систем из К, является квазимногообразием. В связи с этим А.И. Мальцев [24, с. 295], поставил следующий вопрос: "Для каких классов К класс SP(A") является квазимногообразием ?".

Класс К алгебраических систем мы называем квазиколтактным, если из истинности в К бесконечной импликации (УХ) {f\icrа; —> а), где а, а-; — атомные формулы, следует, что для некоторого конечного подмножестза F С / в К выполняется квазитождество \VX)(f\,eFa, -> а). Очевидно, что компактные классы являются квазиколлактнымн. Ответ на вопрос Л.И. Мальцева дает следующая

ТЕОРЕМА 3.3.2 [95]. Для данного класса. К алгебраических систем класс SP(К) является квазтшогообразием тогда п только тогда, когда К квазикомпактез.

Этатеорема позволяет дать простое единообразное доказательство для основных характеризацжй квазимногообразий (следствия 3.3.4-3.3.8):

(1) Q{K) = SPr(A-) (А.И. Мальпев [22]),

(2) Q(A') = SPPn(K) (Гретдер и Лаксер [62]),

(3) Q(A') - SPaP(tf) (Кашиваги [67]),

(4) Q(K) = LSP(K) (Фудзивара [58]), а также новую характеризацию:

(5) Q(К) = LsPsS(if) (В.А. Горбунов и В.И. Туманов [11]).

В формуле (5) оператор S можно на самом деле опустить (теорема 3.3.10). Кроме того, в параграфе 3.3 дается характеризация универсальных хордовых классов (следствие 3.3.18 и теорема 3.3.19) и алгебраическая характеризация универсальных хорновых классов, не содержащих тривиальных систем (теорема 3.3.20).

В параграфе 3.4 дается категорпая характеризация конечно представимых систем. Систему Л из класса К мы называем предельно К-проективной или, для краткости, l-проектионой в Л', если для любого надпрямого спектра Л = (I,Ai,f,j), где А, € К для всех i G / и 1гц; А £ К, я для любого гомоморфизма ip : А —> liiyA

существуют г £ / и гомоморфизм ф : А —> Лi такие, что <у? = р^ф. Это понятие является аналогом понятия проективной системы. Так как любое квазимногообразие определяется своими конечно представимьши системами, то следующая теорема вместе с формулой (5) дает нам один из основных инструментов исследования квазимногообразий.

Теорема 3.4.1 [102]. Алгебраическая система С? 1-проективна в предмногообра-зии К тогда и только тогда, когда 0 является ретрактом некоторой конечно К-предстазимой системы. Более того, любая конечно порожденная 1-проекгивная система в К является конечно К-определенной.

Глава 4 посвящена изучению подпрямо неразложимых систем.

Мы говорим, что квазимногообразие К резидуально < А, где А — некоторый кардинал. если мощность любой подпрямо ./¿"-неразложимой системы меньше А. Квазимногообразие К называется резидуалъно малым, если существует кардинал А такой, что К резидуально < А.

Цель параграфа 4.1 — дать алгебраическую и синтаксическую характеризацию резидуально малых квазимногообразий. Впервые она была найдена Тейлором ¡84] в случае многообразий алгебр. Некоторые частичные обобщения теоремы Тэйлора для квазимногообразий. алгебр были получены в работах Баксича и Фишера (см. [84, с. 5-3]), Киша, Марки, Прехла и Тхолеяа [70], Ибрагими [54, 55], а также Маккензи и Шелаха [72]. В [43] Болдуин и Берман дали новую интерпретацию результатов Тейлора и подняли вопрос о существовании синтаксической характеризации резидуально малых клазимнотообразий, аналогичной характеризации Тэйлора (см. вопрос 5 в [43]). В теореме 4.1.3 дается алгебраическая характеризапия резидуально малых квазимногообразий, а следующая теорема отвечает на поставленный выше вопрос.

ТЕОРЕМА 4.1.7 |98]. Кьазимиогообразие К алгебраических систем сигнатуры X является резидуально малым тогда и только тогда, когда для любого р Е Ьа в любой главной К-копгруепц-формулы ф(х,у,г) относительно р существует такое число п, что в К выполняется квазнтождество

(Ухо,... ->/>(5)).

В связи с теоремой 4.1.7 естественно возникает вопрос о характеризации квазимногообразий, являющихся резидуально < А для данного кардинала А. Болдуин и Берман [43] нашли синтаксическую характеризацию многообразий алгебр, являющихся резидуально < п, где п — конечный кардинал, и поставили вопрос (вопросы 3 и 4) о существовании синтаксической харакгеризации для резидуально конечных и резидуалъно счетных многообразий. Ответы да эти вопросы дает следующая

теорема 4.1.9 [98]. Для квазимногообразия К алгебраических систем сигнатуры Ь и кардинала А следующие условия равносильны:

(1) К резидуальдо < А.

(2) Для любого р 6 Lo а любой последовательности i < j < Л, главных К-копгруенц-формул относительно р существуют натуральное число п л ординалы к0 < -.. < < А такие, что в К выполняется квазитождество

(vz0 ... {Ai<j<nipk,k,(zi, z) p(z)).

В параграфе 4.2 приведено решение проблемы Тейлора [84] о числе* Хавфа для подпрямой неразложимости в квазимпогообразиях.

Пусть А — бесконечный кардинал. Для произвольного решеточного свойства Р определим -число Ханфа Рц(Х) свойства Р относительно многообразий и числа Ханфа Р(А) и Pi(A) свойства Р относительно квазимногообразий следующим образом. Р(А) есть наименьший кардинал р такой, что для любого квазимногообразия К, сигнатура которого содержит не более А символов, если класс Кр = {А £ К : Qot¡kA |= Р} содержит систему мощности ^ р, то в Кг существуют системы произвольно больших мощностей. Заменяя в этом определении классы вида Кр классами К'р = {А 6 К: СопД (= Р}, получим определение числа Pi(A), а если вместо квазимпогообр&зий рассматривать только многообразия, то получим определение числа Ро(А).

Если свойство Р определимо в т. е. для любого квазимногообразия К сигна-

туры |L| ^ А существует предложение ip языка Lx+u¡ такое, что для любой системы Ai К

СОПКА [= Р -t» А \=

то из теоремы Ханфа [64] следует, что все числа Ро(А), Р(А) к Р\(Х) существуют и ío(A) ^ JPi(A), Р(А) ^ Я(А), где Я(А) —число Ханфа языка Lx+и,- Более того, по теореме Чэна //(А) — M()f), где Л/(А) — число Морли. Если теперь в качестве Р мы возьмем свойства:

S= "решетка имеет два элемента",

Э1="нуль решетки вполне коперазложим",

то получим, соответственно, числа Ханфа 5о(А), 5(А) и Si(A) для простых систем и числа Ханфа SI0{A), SI(А) и SI¡(\) для подпрямо неразложимых систем в квазимногообразиях. 1Гз характеризациониой теоремы Тейлора следует, что 5/0(А) — (2Х)+. С другой стороны, Маккензи и Шелах [72] доказали, что 50(А) — 5(А) — (2Л)+ и S'i(A) = М(А), а Тулипани [85] доказал, что ЕС0(Х) — ЕС\(А) = А+, где

ЕС="единица решетки компактна"'.

Заметим, что свойство ЕС тесно связано с характеризацией собственных универсальных хордовых классов (теорема 3.3.20). Нетрудно также показать, что ЕС(А) — А+. Ответ на вопрос Тейлора дает

теорема 4.2.1 [98]. Для любого бесконечного кардинала А SI(А) (2Л)+ и 57i(A) = Л/(А).

В параграфе 4.3 цается описание подпрямых спектров в квазимногообразиях, т. е. классов вида {а : ск(а) ф 0}, где ск(а) — число (нелзоморфных:) подпрямо К-неразложимых систем мощности а в данном квазимцогообразии К. Заметим, что для многообразий это является открытым вопросом.

ТЕОРЕМА 4.3.1 [98J (ОКГ). Пусть А—бесконечный кардинал. Класс кардиналов А является подпрямым спектром некоторого квазимногообразия сигнатуры L, где ||Ь|| = А, тогда и только тогда, когда А совладает с одним из следующая классов:

(1) Х0,

(2) X1 U {А},

(4) Xi U {<*:<*> А},

где Хо — непустое, а Л*] — произвольное множества кардиналов, строго меньших А, и 1 £ Хо U Х\, если L не содержит предякатзых символов.

Глава 5, занимающая около половины всего объема, является основной в диссертации.

Для произвольного квазимногообразия К пусть Lq(K) обозначает решетку ква-зимпогообразий, содержащихся в К, относительно включения. Пусть также Q обозначает класс всех решеток, представимых в виде Lq(K) для некоторого квазимногообразия К.

В 1945 г. Гарретт Биркгоф [47] и независимо в 1967 г. А.И. Мальцев [23] подняли следующую проблему:

— Какие решетки принадлежат, классу Q ?

Аналогичная проблема была поставлена ими для решеток многообразий. Проблема Биркх'офа-Мальцева имеет большое значение в теории квазимногообразий, дотому что многие вопросы о квазимногообразиях сводятся к рассмотрению решеток квазимногообразий .

Параллельно с общей проблемой об описании всех Q-решеток в алгебре естественно возникает локальная проблема об описании решеток вида для некоторых конкретных квазимногообраоий К. В частности, эта проблема известна для

— многообразия дистрибутивных решеток с псевдодополнениями (Гретцер [61]),

— многообразия нильцотентпых групп класса два (М.И. Каргаполоз [25]),

— многообразия идемпотентпых полугрупп (Петрич [77j).

Хотя общая и локальная проблемы тесно связаны между собой, подходы к их решению являются достаточно различными.

В параграфе 3.1 приведены некоторые общие свойства 2-решеток: атомность, коалгебраичность, полудистрибутивность вверх и т. п. Наиболее важное свойство решеток — существование оператора эквазамыкания — дано только в обших чертах.

Основным результатом параграфа 5.2 является следующий критерий дистрибутивности, где К обозначает класс конечно порожденных подпрямо А'-неразложимых систем.

ТЕОРЕМА 5.2.1 [89]. Для локально конечного квазимногообразия К конечной сигнатуры следующие условия равносильны.

(1) ЬЯ(К) —дистрибутивная решетка.

(2) Для всех К0, К± е Ь,(К)

(Ао\Я„) и (К[\К0) и (Яо ПЕГ).

(3) Для всех К0, А'! £ ЬЧ(К)

К^ПГх 2 (ЩА'О и (Щ\Кй).

(4) В К не существует конечных яоларяо неизоморфных систем А, В, С таких, что (4а) А есть подпрямое произведение В и С,

(4Ь) А е 0(ЛС), (4с) А £ С1(В).

Хорошо известно, что решетка многообразий решеток дистрибутивна. В связи с этим Падманабхап [75] поставил вопрос о дистрибутивности решетки квазимногообразий (модулярных) решеток. Отрицательный ответ на этот вопрос, основанный па теореме 5.2.1, дается в следствии 5.2.2. Кроме того, в параграфе 5.2 выделяется и исследуется важный подкласс квазимногообразий с дистрибутивными решетками подквазимногообразий, так называемые примитивные квазимногообразия, и описываются примитивные квазимногообразия модулярных решеток (теорема 5.2.11).

В параграфе 5.3 дается единая характеризадия как решеток многообразий, так и решеток квазимногообразий, основаппая на понятии (квази-)биркгофова класса.

Рассмотрим произвольный класс К алгебраических систем, содержащий тривиальную систему. Подкласс Е С К мы называем К-кваэиэкьационалъпым (К-эквациона-аьным), если Е = КПЕ' для некоторого квазимногообразия (соответственно, многообразия) Е'. Пусть ЬЧ(К) и Ьг,(К) обозначают, соответственно, решетку К-квазиэквациональных классов и решетку А'-эквациональных классов относительно включения. Для произвольного оператора X на классах систем определим оператор X П К, полагая (X П К)(Е) = Х(£) П К для каждого класса Е. Легко видеть, что любой К-эквадиональный класс замкнут относительно операторов Н П К, Р5 П К и Б П К. Естественно возникает вопрос: "Для каких классов К существует аналог НЗР-теоремы Биркгофа?". Этот вопрос, а также аналогичный вопрос для относительных квазиэкващюнальных классов был поднят Бирхгофом в [47], см. также [81].

Мы говорим, что подкласс К предмногообразия V проекгпивно (1-проективно) полон в V, если К гомоморфно замкнут в V, т. е. Н(А') Л V С К, и для любой системы Л 6 К существует система В & К такая, что В проективиа (соответственно, Z-проективна) в V и Л является ее гомоморфным образом.

ТЕОРЕМА 5.3.2 [102]. Пусть V —предмиогообразие алгебраических систем и К

— просктивпо полный подкласс в V. Тогда для любого непустого подкласса Е С V

V(E) Л К = (IIЛ А')(Р, Л A')(S Л К){Е).

Биркгоф [47] доказал это утверждение для случая, когда К состоит из конечно порожденных систем многообразия V, и поставил вопрос о существовании соответствующих конструкций для квазяэквациональных классов.

Нетрудно убедиться (пример 5.3.3), что представления (1)-(4) не подходят для этого. Ответ на вопрос Биркгофадает аналог представления (5).

Теорема 5.3.6 [102]. Пусть V — предмиогообразие алгебраических систем и К

— произвольный l-просктивно полный подкласс в V. Тогда для любого непустого подкласса Е С V

Q(Е) Л К = (Ls п А')(Р6 Л A')(S Л К){Е).

Кроме того, в следствии 5.3.8 и теореме 5.3.9 доказываются другие характериза-дии относительных квазиэквапиолальных классов.

Полученные утверждения образуют основу идеи относительных (квази-)многооб-разий и (квази-)биркгофовых классов, определяемых следующим образом.

(1) Непустой подкласс ECK называется K-многообразием (К-каазим>югооб-разием), если Е замкнут относительно операторов Н Л А', Ps Л К и S П К (соответственно, L3 Л К, Ps Л А' и S Л А').

(2) К называется бирхгофовъш классом, если любое А^-многообразие является К-эквационалызым классом. Легко видеть, что К является биркгофовым классом тогда и только тогда, когда для любого непустого подкласса ECK

V(E) П К = U{0(£) : О <Е S},

где S — полугруппа, порожденная операторами Н Л К, Ps Л К и S Л К.

(3) К называется строгим биркгофовым классом, если для любого непустого подкласса Е С К

Y(E) ПК — [J{0(£) : О е £„},

где S0 — полугруппа, порожденная операторами Н Л К и Ps Л К.

(4) К называется однородным биркгофовым подклассом о V для некоторого расширения К С V, если для любого непустого подкласса Е С V

V(E) Л К = (II Л А')(Р5 п K)(S Л К){Е).

(5) Если в (2), (3), (4) А"-многообразия заменить А'-квазимцогообразиями, А'-эк-вациопальные классы — А'-квазиэквациокалькыми классами, а операторы V и Н

— операторами Q и Ls, то получим, соответственно, определепия квазибиркгофова класса, строгого квазибиркгофова класса и однородного квазибиркгофова подкласса eV.

Перейдем теперь к основной решеточной конструкции. Пусть L — полная решетка я Я — подмножество з L, содержащее 1¿. Подг.1яожество ACH называется относительно алгебраическим, если оно удовлетворяет следующим условиям:

(Al) Для любого подмножества Л С А, если Д В G II, ю Д В G /1.

(А2) Для любого направленного вверх подмножества С С Л, если \/ С 6 Я, то V С £ А.

Подмножество ACH называется Д-замкнутым, где R — бинарное отношение на Я, если для всех о 6 А и Ь £ Я из a Rb следует Ь G А.

Для данных L, Н С L и R С L х L пусть SpL(II, R) обозначает решетку относительно алгебраических и Я-замкнутых подмножеств в Я относительно включения. Если из контекста ясно, относительно какой решетки L рассматривается подмножество Я, то символ L в записи SpL(H,R) опускается. Далее, в основном, мы будем рассматривать случай, когда L есть решетка хонгруендий Con £ для некоторой системы Q, г. Н есть подмножество вида Соп/<-(/.

Для произвольной алгебраической системы А определим отношение влооки^ио-сти отношение наложилюсти ^я и отношение изоморфности на решетке конгруенций Con А, полагая для всех 0, в 6 Con А

в в' А/0' вложима в А/9,

в ^н в A¡9 является гомоморфным образом А/в,

О А/в' изоморфна А/0.

Определим также отношение делимости SJhs, полагая в ^¡¡s в тогда и только тогда, когда А/в' £ НS(A/0).

Эти отношения играют главную роль в следующей характеризации решеток (ква-зи-)эквационалышх классов.

ТЕОРЕМА 5.3.13 [103]. Для любого класса V алгебраических систем, содержащего тривиальную систему, и любой системы Q £ V пусть К = Н(б) П V. Тогда

(1) LV(K) = Sp(Conv!5, rs), если К — биркгофов класс,

(2) LV(K) = Sp(Coni/£?, ^п), если К — строгий бпркгофов класс,

(3) Lg(I<) S Sp(Conyö, ^s), если К — квазибиркгофов класс,

(4) Lq(K) = Sp(Cony£/, — i), если К — строгий квазибиркгофов класс.

В частности (следствия 5.3.14-5.3.18), получаем, что для любого предмногообра-зия V

L}(V) ~ Sp(Conv,J-, <<?) S Sp(Conv^,^í), Lv(V) = Fp(Conv/', sSs) S Fp(Convir, —/), Lv(V) S 1Рр(СопуЯ и L¿V) Й ISp(Conv^),

где Т — свободная система счетного ранга в V, Рр(СоП1^, Щ — решетка главных Д-замкнутых фильтров в СопуГ, а 1Гр(Сон1'^г) и 18р(Сопк^г) обозначают, соответственно, решетку вполне коинвариантных главных фильтров и решетку вполне коинвариантных алгебраических подмножеств в СопуУ~-

В параграфе 5.4 предлагается метод построения полных гомоморфных образов решеток (квази-)многообразий.

Идея его состоит в следующем. Для любых классов К и К, где К' С К, рассмотрим отображение е> из на Ьч{К ), где ¡р(Е) — ЕП К для всех Е € Ь^К). Такие отображения мы называем опускающими. Оказывается (леммы 5.4.1 и 5.4.4), что если К и К — одпородные квазибиркгофовы подклассы в некотором классе V, то опускающее отображение из ¿,(А') на ЬЯ(1С ) является полным гомоморфизмом. Бели дано семейство А,, г 6 А однородных квазибиркгофовых подклассов в V, то объединение К = и^/А^ также является таковым, а отображение ф из А9(А') в П,£/ индуцированное опускающими гомоморфизмами ф, : Ь^К) ¿,(А~,), — полным подцрямым вложением. Если, кроме того, все классы А'; гомоморфно замкнуты в К, то ф является отображением "на" тогда и только тогда, когда А', П 8(А',) — {£} для всех г ^ ]. (Здесь £ — тривиальная система.) Аналогичные утверждения выполняются для решеток многообразий.

Это, вместе с теоремой 5.3.13, дает нам возможность строить "большие'' гомоморфные образы решеток (квази-)многообразий, используя следующее понятие "несвязности" .

(1) Семейство А',, ! € /, классов алгебраических систем называется несвязным, если А', П Э(А';) = {£} для всех г ф _/.

■(2) Семейство АI 6 I, нетривиальных алгебраических систем из класса V называется голюмирфно несвязным в V, если семейство классов Н(.Д;) П V, г € /, несвязно.

(3) Нетривиальная система А из класса V называется гомоморфно несвязной в У, если семейство классов 0 6 СопуЛ, несвязно, т. е. для любых

€ Соп^А если А/0 вложима ъ А/0, то в = в или в — 1.д.

(4) Семейство систем из класса V называется вполне несвязным в V, если оно го-моморфпо несвязно в V и все системы из этого семейства гомоморфно несвязны в V.

Теорема 5.4.6 [103]. Пусть А{, г £ I, —гомоморфно несвязное семейство алгебраических систем в предмногообразш V.

(1) Если все системы А проективпы в V, то существует полный гомоморфизм из ¿„(V) на. прямое произведение семейства решеток Гр(Сои>,,-А, ^5), г € I.

(2) Если всс системы А; I проективпы в V, то существует полный гомоморфизм из на прямое произведение семейства решеток 5р(Сопу-4.,, е I.

Как одно из приложений, используя теорему Фриза [56] о проективности конечных геометрий, получаем

СЛЕДСТВИЕ 5.4.8. Решетка многообразий модулярных решеток имеет полный гомоморфизм на булеву решетку подмножеств счетного множества.

Данный метод позволяет нам также найти достаточные условия для вложимости свободной решетки счетного ранга РЬ{ш) в данную решетку хлазимногообразий. Они приведены в теореме 5.4.9 и следствиях 5.4.10-5.4.12. Укажем только

СЛЕДСТВИЕ 5.4.10. Пусть V — лредмногообразне алгебраических систем конечной сигнатуры. Свободная решетка вложима в V), если существует такая последовательность К, п < ш, локально конечных V-многообразий, что Уп П Ут = {Г} для всех п т, и 1,(1п) — конечная решетка, имеющая фактор, изоморфный ЗиЬл(2").

Заметим, что другими методами и при дополнительных предположениях (V — квазимногообразие и решетки Сопубп удовлетворяют условию максимальности и условию минимальности) следствия 5.4.11 и 5.4.12 впервые были доказаны В.И. Тумановым [39].

Класс V алгебраических систем конечной сигнатуры называется С^-универсаль-ным, если для любого квазимногообразия К конечной сигнатуры решетка ЬЯ(К) является гомоморфным образом некоторой подрсшетки в Это понятие в слу-

чае квазимпогообразий алгебр было введено М. Сапиром в [80], где были даны первые примеры (^-универсальных квазимногообразий. В теореме 5.4.19 доказывается, что указанные выше достаточные условия для вложимости П.,(и)) в данную решетку квазимногообразий являются также достаточными для (З-уииверсальпости квазимногообразия. Как следствие, получаем, что любое квазимногообразие, удовлетворяющее условиям одного из следствий 5.4.10-5.4.12. является (^-универсальным. В частности, согласпо примерам 5.4.13 и 5.4.14, (^-универсальными являются многообразие коммутативных колец с 1 и многообразие алгебр с одной унарной операцией. Последнее утверждение отвечает на вопрос М. Сапира, поставленный в 1988 г. на конференции цо универсальной алгебре в Карловых Варах. Кроме того (следствия 5.4.21 и 5.4.22), дается описание (?-универсальных многообразий модулярных решеток и (^-универсальных многообразий дистрибутивпых решеток с псевдодополнениями. Заметим, что Эдамс и Дзебяк [41], используя другое достаточное условие ¿^-универсальности, указали почти такой же список 2-универсальных многообразий.

Цель параграфа 5.5 — дать представления для решеток (квази-)многообразий, а также решеток псевдо-квазимногообразий, в виде обратных пределов решеток с некоторыми условиями конечности.

ТЕОРЕМА 5.5.1 [104]. Пусть ¿7;, г £ /, — произвольное семейство ¡-проективных систем з предмногообразип V, направленное вверх относительно отношения наложимости, я пусть Ях = 0¡¡9лля всех г ^ j■ Тогда существует полный гомоморфизм из 1д(У) яа^тЛ, где А = (/, 8р(С'опу<^, Л,,} и для всех i С 1 и А € Зр(Сопу£;,

Л,-,(А) = : 0 е А и 031 С в}.

Более того, этот гомоморфизм является изоморфизмом, если и только если класс Н(<5,- : г € /) П V квазиэкванионально разделяет V.

С л едстви е 5.5.5. Для любого локально конечно го предмногообразия V алгебраических систем с конечным числом отношений существует такой обратный спектр конечных ограниченных снизу решеток Ьп, п < ш, что Ь^У) = рт Ьп. В частности, ЬЯ\У) — резидуально конечная решетка, и если £а(К) конечна, то А, (У) ограничена снизу.

Согласно предложению 5.1.4, в классе <2 всех решеток квазимногообразий выполняется квазитождество полудистрибутивности В.И. Тумаков [37] доказал, что в общем случае других квазитождеств нет, т. е. любое решеточное квазитождество, истинное в С, является следствием Для решеток квазимногообразий с некоторыми ограничениями на сигнатуру, в частности, решеток квазимыогообразий алгебр, это не так. В оспове доказательства следующих двух теорем лежит теорема 5.5.1.

ТЕОРЕМА 5.5.8 [104]. Для любого локально нетерова лредмногообразия V решетка ЬЯ(У) удовлетворяет следующим квазитождествам, где п ^ 2, 0 ^ j < п я i + 1 берется по модулю п:

= & ((х> ^ (хг Л У' < А Л У<) то « XI,

= & ((^ ^ у л ^ У0) Н А х> ^ Уз) Х1 ^ У1-

0^1<7> О^Кп

Оказывается также, что слабая версия квазитождеств 5„ выполняется в 0,-решетках с кокомпактным нулем. Заметим, что это утверждение независимо и другими методами доказали также Фриз, Керне и Нейшн [57].

теоге\;а 5.5.10 [104]. Для любого квазимногообразия К а.тгебраических систем с конечным число,и основных отношений решетка Ьд(К) удовлетворяет следующим квазитождествам, где п ^ 2 и г 4-1 берется по модулю п:

^ = & ((^ ^ Vy^)lz.{x^ Л yi < з^-ц)) &( Д х; « 0) г0 ~

В теореме 5.5.12 доказывается аналог теоремы 5.5.1 для решеток многообразий. Заметим, что в [74] Макпалти поднял проблему характеризации решеток подмногообразий локально конечных многообразий алгебр. В связи с этим Лэмп [71] поставил вопрос о существовании такой решетки Ь, что £ = для некоторого многообра-

зия алгебр V, но £ не изоморфна £„(И') ни для какого локально конечного многообразия алгебр [V. Следующее утверждение показывает, что в локально конечном случае решетки многообразий удовлетворяют достаточно сильным ограничениям, что позволяет утвердительно ответить на вопрос Лампа.

СЛЕДСТВИЕ 5.5.15. Для любого локально конечного предмногообразия V алгебраических систем с конечным числом основных отношений существует такой обратный спектр конечных решеток Ьп, п < и, что Ь„(у) == В частности. Ьь(У) — резидуально конечная решетка.

Наконец, в следующей теореме доказывается аналог теоремы 5.5.1 для решеток псевдо-квазимногообразий.

ТЕОРЕМА 5.5.18 [101]. Для любого исеадо-квазимногообразия Р существует такой обратный спектр Li, i 6 I, конечных ограниченных снизу решеток, что Lpq(P) S

limZr,-. ^—

Ввиду теоремы 5.3.13, для любого квазимногообразия К решетка Lg(K) предста-вима в виде Бр^опд-.^, где Т — свободная система счетного ранга в К. Поэтому естественно искать описание Q-решеток в терминах решеток вида Sp(.4, R), где А — алгебраическая решетка и R — некоторое отношение па А. В параграфе 5.6 мы указываем несколько важных свойств таких отношений, являющихся на самом деле нашими старыми знакомыми (дистрибутивность, непрерывность, брауэровость и т. п.). Это позволяет нам выделить и исследовать интересный подкласс полудистрибутивных вверх решеток, обладающих всеми известными свойствами Q-решеток.

Приведем только одну теорему из этого раздела. Бинарное отношение R на решетке L называется дистрибутивным, если для всех а,Ь, с G L

(Ь А с) R а (3b')(3c) (а = б' Ас kbRb' k cRc).

Данное определение соответствует понятию дистрибутивности в решетках. Нетрудно показать (лемма 5.6.1), что отношения вложнмости <5 и изоморфности являются дистрибутивными.

Подрешетка М полной решетки L называется предпояной, если М имеет наибольший элемент и М замкнута относительно пересечений но непустым подмножествам и относительно сумм по непустым непрерывным вверх подмножествам.

ТЕОРЕМА 5.6.2 [110]. Для любой непрерывной вверх решетки I. решетка Sp(L) нолудистрибутивца вверх, причем предполнымн нодрешеткамп в Sp(I) являются решетки вида Sp(A, R), где А € Sp(L) и R — дистрибутивное отношение на А, и только они. Более того, любая предполная подрешетка в Sp(L) непрерывна вниз.

СЛЕДСТВИЕ 5.6.5 [11]. Решетка L нредставима в виде Sp(A, Я) для некоторой алгебраической решетки А и некоторого дистрибутивного отношения R на А тогда и только тогда, когда L является нредполной подрешеткой некоторой Q-решетки или, равносильно, некоторой решетки вида Sp(-ß), где В — алгебраическая решетка.

Глава 6 посвящена изучению независимой аксиоматизируемости в (квази-)много-образиях и двойственному вопросу о несократимых кораздожеыиях (квази-)много-образий в объединения. В параграфе 6.1 устанавливается связь между независимой аксиоматизируемостью и несократимыми разложениями в полных решетках.

ЛЕММА 6.1.1 [90]. Для любого квазимногообразия К, если подквазимногообра-зие К' С К имеет бесконечный независимый базис квазитождеств относительно К, то для любого квазимногообразия М С К, содержащего К' и конечно аксиоматизируемого относительно К, К' имеет бесконечное множество покрытий я Lq(M).

Легко видеть, что аналог этой леммы выполняется для любого типа предложений (тождеств, антитождеств и т. п.). Лемма 6.1.1; доказанная автором в 1977 г., за прошедшее время нашла многочисленные приложения в теории (квази-)многообра-зий, см., например, [8, 36, 40, 79].

В лемме 6.1.4 показывается, что вопрос о существовании независимого базиса (квази-)тождеств для дадлого (квази-)многообразия К почти равносилен вопросу о существовании несократимого разложепия для К. В частности, используя теорему Дилуорса-Кроули о разложениях в модулярных решетках, мы даем простое доказательство георемы А.Ю. Ольшанского ¡30] о существовании независимого базиса тождеств для локально конечных разрешимых многообразий групп (следствие 6.1.6).

Пусть Ь — полная решетка. Представление а = \/ В в Ь называется каноническим коразложением элемента о, если оно несократимо и для любого другого представления а = У С и любого Ь £ В найдется с & С такой, что Ъ ^ с. Кораз-ложение а = \/ В называется конечным, если В конечно. Двойственным образом определяются канонические разложения. Канонические коразложения были введены Йонссопом и Кпфером [66] при изучении конечных полудистрибутивных вверх решеток. Еще раньше они рассматривались Уитменом [88] в свободных решетках.

Теорема 6.1.7 [91]. Ненулевой элемент а имеет каноническое коразложе/ше в полной решетке Ь тогда, и только тогда, когда, а вполне V-полудистрибутивен и интервал [0, а] является коатомной решеткой. Более того, если а = \/ В — каноническое коразложение и С — множество всех коатомов в [0, я], то существует, притом единственное, взаимно-однозначное соответствие <р : С В такое, что

¡р(с) £ с для всех с £ С,

1р(с) ^ с' для всех с, с € С, с ^ с.

Элемент а ^ 0 имеет конечное каноническое коразложение в Ь тогда и только тогда, когда а предкомдактен и вполне V-полудистрибутивеп.

СЛЕДСТВИЕ 6.1.13. Квазимиогообразис К имеет каноническое коразложедие, если и только если ЬЯ(К) — коатомная решетка. В частности, любое конечно порожденное квазимногообразие конечной сигнатуры имеет калоническое коразложепие.

Теорема 6.1.7 позволяет также дать описание дистрибутивных решеток с несократимыми разложениями. Заметим, что проблема описания таких решеток восходит к работе Бяркгофа [46]. На трудность этой проблемы указывается в монографии Гретцера [13]. В частном случае, для алгебраических дистрибутивных решеток данная проблема была решена Дилуорсом и Кроули [49] и Кинугава и Хошимото [69].

теорема 6.1-15 [91]. Для полной дистрибутивной решетки следующие условия равносильны.

(1) Любой элемент в Ь имеет несократимое разложение.

(2) Любой элемент в Ь имеет каноническое разложение.

(3) L — силыю атомная решетка, в которой для всех а 6 L и С С L

а Л \JC = \/сеС(а Л с).

Более того, если условие (1) выполняется, то любое несократимое разложение в i является каноническим.

В параграфе 6.2, используя лемму 6.1.1, строится пример 3-элементной алгебры, не имеющей независимого базиса квазигождеств. Пусть Лп обозначает алгебру с носителем {0,1, 2} и двумя унарными операциями / и д, в котоиой /(0) = 1, j(0) = 2, 5(1) = /(1)=1и/(2)=аг(2) = 2.

Теорема 6.2.1 [90]. Къазямногообразпе Q(^o) не имеет независимого базиса квазитождеств.

Наконец, в параграфе 6.3 дается алгебраическое доказательство следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 6.3.1 [94]. Любая двухэлементная алгебра конечной сигнатуры порождает минимальное конечно базируемое квазимиогообразие.

Заметим, что для двухэлементных систем предикатной сигнатуры это не так (О.М. Горностаев [12]).

Литература

[1] Адаричева К.В., Горбунов В.А. Строение конечных точечных решеток квазимногообразий. — ДАН СССР, 1990, 310, X'- 3, с. 525-528.

[2] Адаричева К.В., Горбунов В.А. Оператор эквациональиого замыкания и запрещенные полудистрибутивные решетки. — Сиб. матем. ж., 1989, 30, .V« 6, с. 7-25.

[3] Адаричева К.В., Горбунов В.А., Дзёбяк В. Алгебраические точечные решетки квазимногообразий. — Алгебра и логика, в печати.

[4] Адаричева К.В., Горбунов В.А., Дзёбяк В. Конгруэнц-гвойства решеток ква-зимпогообразий. — Алгебра и логика, в печати.

[5] Белкин В.П. Квгоитождества конечных колец и решеток. — Алгебра и логика, 1978, 17, Л« 3, с. 247-259.

[6] Белкин В.П., Горбунов В.А. Фильтры решеток квазимиогообразий алгебраических систем. — Алгебра н логика, 1975, 14, Л» 4, с. 373-392.

[7] Бесценный И.П. Квазнгождества конечных унарных алгебр. — Алгебра и логика, 1989, 28, К'- 5, с, 493-512.

[8] Будкин А.И. О независимой аксиоматизируемости квазимногообразий разрешимых групп. — Алгебра и логика, 1991, 30, № 2, с. 125-153.

[9] Будкин А.И., Горбунов В.А. К теории квазимногообразий алгебраических систем. — Алгебра и логика, 1975, 14, № 2, с. 123-142.

[10] Горбунов В.А., Туманов В.И. Об одном классе решеток квазимногообразий. — Алгебра и логика, 1979, 19, Л'-' 1, с. 59-80.

[11] Горбунов В.А., Туманов В.И. Строение решеток квазимногообразий. — Труды Ин-таматем. СОАН СССР, 1982, 2, с. 12-44.

[12] Горностаев О.М. Каалимногообразия моделей, вложимых в полугруппы. — ВИНИТИ, Деп. № 1812-82, 1982, 26 с. *

[13] Гретцер Г. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982.

[14] Карташов В.К. Квазимпогообразия унаров с конечным числом циклов. — Алгебра и логика, 1980, 19, № 2, с. 178-193.

[15] Клоксин У., Меллиш К. Программирование на языке Пролог. — М., Мир, 1987.

[16] Ковальски Р. Логика в решении проблем. — М., Наука, 1990.

[17] Мальцев А.И. О вложении ассоциативных систем в группы, I, II. — Матем. сб., 1939, 6, с. 331-336; 1940, 50, с. 251-264.

[18] Мальцев А.И. К общей теории алгебраических систем. — Мат. сб., -1954, 35, № 1, с. 3-20.

[19] Мальцев А.И. Подпрямые произведения моделей. — Докл. АН СССР, 1956, 109, № 2, с. 264-266.

[20] Мальцев А.И. Определяющие соотношения в категориях. — Докл. АН СССР, 1958, 119, № 5, с. 1095-1098.

[21] Мальцев А.И. Структурная характеристика некоторых классов алгебр. — Докл. АН СССР, 1958, 120, № 1, с. 29-32.

[22] Мальцев А.И. Несколько замечаний о квазимногообразиях алгебраических систем. — Алгебра и логика, 1966, 5, № 3, с. 3-9.

[23] Мальцев А.И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики. — Тр. междунар. конгресса математиков (Москва. 1966), М.: Мир, 1968, с. 217-231.

[24] Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1987.

[25] Нерешенные проблемы в теории групп. — Коуровская тетрадь, 13-ое издание. — Новосибирск, Ин-т мат-ки СО РАН, 1995.

[26] Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп. — Труды Мат. ин-та АН СССР, 1955, 44, с. 1-143.

[27] Нуракунов A.M. О квазимногообразиях алгебр с определимыми главными кон-груэнциями. — Алгебра и логика, 1990, 29, Л"' 1, с. 35-16.

[28] Нуракунов A.M. Характеризация относительно дистрибутивных квазимногообразий алгебр. — Алгебра и логика, 1990, 29, .V 6, с. 696-708.

[29] Ольшанский А.Ю. Условия копечности в конечных группах. — Сяб. матем. ж., 1974, 15, № 6, с. 1409-1513.

[30] Ольшанский А.10. О некоторых бесконечных системах тождеств. — Тр. сем. Петровского, 1978, 3, с. 139-146.

[31] Палютин Е.А. Описание категоричных квазимпогообразий. — Алгебра и логика, 1975, 14, У'- 2, 145-185.

[32] Рыбаков В. В. Базисы квазитождеств конечных модальных алгебр. — Алгебра и логика, 1982, 21, № 2, с. 219-228.

[33] Рыбаков В. В. Базисы допустимых правил модальной системы Grz и интуиционистской логики. — Матем. сб., 1985, 128, № 3, с. 321-339.

[34] Рыбаков В.В. Разрешимость по допустимости модальной системы Grz и интуиционистской логики. — Изв. АН СССР, 1986, 50, № 3, с. 598-616.

[35] 'Гропин М.П. О вложамости свободной решетки в решетку квазимногообразий дистрибутивных решеток с псевдодополнением. — Алгебра и логика, 1983, 22, X« 2, с. 159-167.

[36] Тропин М.П. О конечных псевдобулевых и топобулевых алгебрах, не имеющих незашкимсго базиса квазитождеств. — Алгебра и логика. 1988, 27, 'S'- 1, с. 7999.

[37] Туманов В.И. Теоремы вложения для цолуднетрибутивных вверх решеток. — VI Всесоюзн. конф. по матем. логике, Тезисы докл., т. 2, Тбилиси, 1982, с. 1S8.

[38] Туманов В.И. О конечных решетках, не имеющих независимого базиса квазитождеств. — Матем. заметки, 1984, 36, № 1, с. 625-634.

[39] Туманов В.И. Достаточные условия вложимости свободной решетки в решетки квазимногообразий. — Препринт 40, Институт матем. СО АН СССР, 1988.

[40] Федоров ATI. О подквазимпогообразии пильпотентных минимальных неабеле-пых многообразий групп. -- Сиб. матем. ж., 1980, 21, ;V! 6, с. 117-131.

[41] Adams М.Е., Dziobiak W. Q-uuiversal quasivarieties of algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 1994, 120, .Vs 4, p. 1053-1059.

[42] Adaricheva K.V., Dziobiak W., Gorbunov V.A. Finite lattices that can be represented as lattices of quasi varieties. — Fund. Math., 1993, 142, № 1, p. 19-43.

[43] Baldwin J.N., Berman J.D. The number of subdirectly irreducible algebras in a variety. — Algebra Universalis, 1975, 5, p. 379-389.

[44] Barr M., Pedicchio C. Top'p is a quasi variety. — Cahiers de topologie et geometrie differentiele categoriques, 1995, 36, № 1, p. 3-10.

[45] Bestsennyi I.P. On quasi-identities of finite nilpotent algebras. — Algebra Universalis, 1996, 36, p. 260-278.

[46] Birkhoff G. Rings of sets. — Duke Math. J., 1937, 3, p. 442-454.

[47] Birkhoff G. Universal Algebra. — Proc. First Canadian Math. Congress (Montreal, 1945), 1946, The Univers. of Toronto Press, p. 310-326.

[48] Blok W.J., Pigozzi Don. Algebraizable logics. — Memoirs AMS, № 396. 1989.

[49] Crawly P., Dilworth R. Decomposition theory for lattices without chain conditions. — Trans. Arner. Math. Soc., 1960, 96, p. 1-22.

[50] Dilworth R.P. Lattices with unique complements. — Trans. Amer. Math. Soc., 1945, 57, p. 123-154.

[51] Dixon P.G. Classes of algebraic systems defined by universal Horn sentences. — Algebra Universalis, 1977, 7, № 3, p. 315-339.

[52] Dziobiak W. On lattice identities satisfied in subquasivariety lattices of varieties of modular lattices. — Algebra Universalis, 1986, 22, № 2, p. 205-214.

[53] Dziobiak W. Finite basis for finitely generated relatively congruence distributive quasivarieties. — Algebra Universalis, 1991, 28, p. 303-323.

[54] Ebrahimi M.M. Algebra in a Grothendieck topos: injectivity in quasi-equational classes. — J. Pure and Applied Algebra, 1982, 26, p. 269-280.

[55] Ebrahimi M.M. Equational compactness of sheaves of algebras on a Noetherian local. —■ Algebra Universalis, 1983, 16, p. 318-330.

[56] Freese R. Projective geometries as projective modular lattices. — Trans. Amer. Math. Soc., 1979, 251, № 2, p. 329-342.

[57] Freese R., Kcarnes K., Nation J.B. Congruence lattices of congruence semidistributive algebras. — Proc. Int. Conf. Garrett Birkhoff, Springer-Verlag, 1995, p. 63-78.

[58] Fujiwara T. On the construction of the least universal Horn class containing a given class. — Osaka J. Math., 1971, 8, № 3, p. 425-436.

[59] Givant S. Universal Horn classes categorical or free in power. — Ann. Math. Logic, 1978, 15, p. 1-53.

[60] Gorbunov V.A., Kravchenko A.V. Universal Horn logic, colour-families and formal languages. — in K. Denecke and 0. Liiders (eds.), General Algebra and Discrete Mathematics, Heldermann-Verlag, to appear.

[61] Gratzer G. Lattice Theory. First Concepts and Distributive Lattices. — Freeman & Co., San Francisco, 1971.

[62] Gratzer G., Lakser H. A note on implicational class generated by a class of structures. — Can. Math. Bull., 1974, 16, № 4, p. 603-605.

[63] Gratzer G., Lakser H., Quackenbush R, On the lattice of quasivarieties of distributive lattices with psetidocomplcmentation. — Acta Sci. Math. (Szeged), 1980, 42, p. 257-263.

[64] Hanf W. Incompactness in languages with infinitely long expressions. — Fund. Math., 1964, 53, p. 309-324.

[65] Hatcher W.S. Quasiprimitive subcategories. — Math. Ann., 1970, 190, p. 93-96.

[66] Jonsson B., Kiefer J. Finite sublatticcs of a free lattice. — Canad. J. Math., 1962, 14, p. 487-497.

[67] Kashiwagi T. On (m,^l)-implicatiorial classcs. —Math. Japonicae, 1972, 17, X« 1, p. 1-12.

[68] Kearnes K., McKenzie R. Commutator theory for relatively modular quasivarieties.

— Trans. Amer. Math. Soc., 1592, 331, p. 465-502.

[69] Kinugawa S., Hashimoto J. On relative maximal ideals in lattices. — Proc. Japan Acad., 1966, 42, p. 1-4.

[70] Kiss E.W., Marki L., Prohle P., Tholen W. Categorical algebraic properties. A compendium on amalgamation, congruence extension, epimorphisms, residual srnallness and injectivity. — Stud. Sci. Math. Hung., 1983, 18, p. 79-141.

[71] Lampe W. A property of the lattice of equational theories. — Algebra Universalis, 1986, 23, p. 61-69.

[72] McKenzie R., Shelah S. The cardinals of simple models for universal theories. — Proc. Sympos. Pure Math., 1974, 25, p. 53-74.

[73] McKinsey J. The decision problem for some classes of sentences without quantifiers.

— J. Symb. Logic, 1943, 8, p. 61-76.

[74] McNulty G. Fifteen possible previews in equational logic. — Colloq. Math. Soc. J. Bolyai, 1983, 43, p. 307-331.

[75] Padmanabhan P. Two results on uniquely complemented lattices. — Proc. Lattice ' Theory Conf. (Ulm, 1975), Univ. Ulm, 1975, p. 146-147.

[76] Pasini Л. On the l°-order translations of the theory of the geometrical closure structures. — Bollettino U.M.I., 1981, 18-B, № 5, p. 217-230.

[77] Petrich M. Certain varieties and quasivarieties of completely regular semigroups. — Can. J. Math., 1977, 29, p. 1171-1197.

[78] Pigozzi Don. Finite bases theorem for relatively congruence distributive quasivari-eties. — Trans. Amer. Math. Soc., 1988, 310, p. 499-533.

[79] Sapir M.V. On the quasivarieties generated by finite semigroups. — Semigroup Forum, 1980, 20, p. 73-88.

[80] Sapir M. The lattice of quasivarieties of semigroups. — Algebra Universalis, 1985, 21, № 2, p. 172-180.

[81] Selected Papers on Algebra and Topology by Garrett Birkhoff, Ed. by G.-C. Rota and J.S. Oliveira, Birkhauser, Boston, 1987.

[82] Smirnov D.M. Varieties and quasivarieties of algebras.— Colloquia Math. Soc. J. Bolyai (Universal Algebra), 1977, v. 29, p. 745-751.

[83] Tabata H. Free structures and universal Horn sentences. — Mathematica Japonicae, ' 1969, 14, № 2, p. 101-104.

[84] Taylor W. Residually small varieties. — Algebra Universalis, 1972, 2. p. 33-63.

[85] Tulipani S. The Hanf number for classes of algebras whose largest congruence is always finitely generated. — Algebra Universalis, 1979, 9, p. 221-228.

[86] Vaugth R. The elementary character of two notions from general algebra. — Essays on the foundation of mathematics, North-Holland Publ. Co, 1962, p. 226-233.

[87] Weaver N. Quasi-varieties of metric algebras. — Algebra Universalis, 1995, 33, X« 1, p. 1-9.

[88] Whitman P. Free lattices, II. — Annals of Math., 1942, 43, p. 104-115.

Работы автора по теме диссертации

[89] Горбунов В. А. О решетках квазимногообразий. •— Алгебра и логика, 1976, 15, № 4, с. 436-457.

[90] Горбунов В.А. Покрытия в решетках квазимногообразий и независимая аксиоматизируемость. — Алгебра и логика, 1977, 16, № 5, с. 340-369.

[91] Горбунов В.А. Канонические разложения в полных решетках. — Алгебра и логика, 1978, 17, № 5, с. 495-511.

[92] Горбунов В.А. Квазитождества конечных алгебр. — XV Всесоюз. алгебраич. конф., Тез. докл., ч. 2, Красноярск, 1979, с. 42.

[93] Горбупов В.Л. Об аксиоматизируемости репличных классов. — XVI Всесоюз. алгебраич. конф., Тез. докл., ч. 2, Ленинград, 1981, с. 35.

[94] Горбупов В.А. Квазитождества двухэлементных алгебр. — Алгебра и логика, 1983, 22, Л> 2, с. 121-127.

[95] Горбунов В.А. Об аксиоматизируемости репличных классов. — Матем. заметки, 1984, 35, № 5, с. 641-045.

[96] Горбунов В.А. Характеризапия резидуальио малых квазимногообразии. — ДАН СССР, 1981, 275, № 2, с. 293-296.

[97] Горбунов В.А. О конечной б&зируемости минимальных дистрибутивных квазимногообразий. — XVIII Всесоюз. алгебраич. конф., Тез. докл., ч. 1, Кишинев, 1985. с. 130.

[98] Горбунов В.А. Мощности подпрямо неразложимых систем в квазимногообразиях. — Алгебра и логика, 1986, 25, № 1, с. 3-50.

[99] Горбунов В.А. Конечная базируемость прямо цредставимых квазимпогообра-зий. — VIII Всесоюз. конф. по матем. логике., Тез. докл., Москва, 1986, с. 40.

[100] Горбунов В.А. Представление решеток квазимногообразий. — X Всесоюз. конф. по матем. логике, Тез. докл., Алма-Ата, 1990, с. 45.

[101] Горбунов В.А. Строение решеток пс.евдо-квазимногообразий. — Третья Межд. коиф. по алгебре памяти М.И. Каргаполова. Тез. докл., Красноярск, 1993, с. 93-94.

[102] Горбунов В.А. Строение решеток многообразий и решеток квазимногообразий: сходство и различие, I. — Алгебра ft логика, 1995, 34, .V 2, с. 142-168.

[103] Горбунов В.А. Строение решеток многообразий и решеток квазимногообразий: сходство и различие. II. — Алгебра и логика. 1995, 34, Л» 4, с. 369-397.

[104] Горбунов В.А. Строение решеток многообразий и решеток квазимногообразий: сходство и различие. III. — Алгебра и логика. 1995, 34, JV' 6, с. 646-666.

[105] Горбунов В.А. (Квази-)биркгофовы классы и полные гомоморфные образы решеток (квази-)млогообразий. —Доклады РАН, 1996, 346, Л'5 5, с. 583-586.

[106] Горбунов В.А. Теоремы редукции для решеток (квази-)многообралий. — До' клады РАН, 1996, 346, Л'« 6, с. 729-731.

[107] Gorbunov V.A. Some results and problems on quasivariety lattices. — V Sympozjum z'Algebry Uniwersalnej i jej Zastosovan (Turawa, Poland, 1988), Abstracts, p. 53.

[108] Gorbunov V.A. The structure of quasivarietу lattices of locally finite quasivarieties. — The Jónsson Symposium on Algebras, Lattices, and Logic (Langarvant, Iceland, 1990), Abstracts, p. 3.

[109] Gorbunov V.A. Lattices of varieties and quasivarieties and their complete homomor-phic images. — The Alan Day Conference on Universal Algebra (Hamilton, Canada, 1992), Abstracts, p. 5.

[110] Gorbunov V.A. The structure of lattices of quasivarieties. — Algebra Universalis, 1994, 32, p. 493-530.

[111] Gorbunov V.A. BirkhofE-Mal'tsev's problem on the structure of quasivariety lattices: achievements and perspectives. — 50. Arbeitstagung Allgemeine Algebra (Darmstadt, Germany, 1995), Abstracts, p. 6.