Алгебры общего положения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

§1. Введение.2

§2. Нули глобальных сечений общего положения однородных векторных расслоений на флаговых многообразиях.22

§2.1. Общая теория.22

§2.2. Изотропные подпространства р-форм.29

§3. Подалгебры в антикоммутативных алгебрах общего положения.34

§3.1. Существование подалгебр.34

§3.2. Вычисление старшего класса Чженя.37

§3.3. Коммутативные подалгебры алгебр из Лп,к.40

§3.4. ^-мерные коммутативные подалгебры алгебр из Лп,к.40

§4. Подалгебры в коммутативных алгебрах общего положения.45

§4.1. Аффиннизация коммутативных алгебр.45

§4.2. Подалгебры в коммутативных алгебрах общего положения.47

§5. Дискриминанты антикоммутативных алгебр.49

§5.1. Степени дискриминантов некоторых неприводимых 8Ьп-модулей.49

§5.2. Б-регулярные алгебры.58

§5.3. Е-регулярные алгебры.60

§6. Дискриминанты коммутативных алгебр.63

§6.1. Два дискриминанта коммутативных алгебр.63

§6.2. Квазидифференцирования коммутативных алгебр.64

§7. Трехмерные коммутативные алгебры общего положения.68

§7.1. Каноническая квартика трехмерной коммутативной алгебры.68

§7.2. Стратификация Луны пространства модулей трехмерных коммутативных алгебр с нулевым следом.70

§8. Четырехмерные антикоммутативные алгебры общего положения.77

§8.1. Трехмерные подалгебры.77

§8.2. Додекаэдральное сечение.79

§8.3. Коммутативные подалгебры.82

101

§8.4. Второе сечение и рациональность поля инвариантов.84

§8.5. Многообразие двумерных подалгебр и ассоциированная кубическая гиперповерхность.90

§8.6. Прямые на ассоциированной кубической гиперповерхности.94

Постановка задачи.

Цель этой диссертации — изучение алгебр общего положения. Интерес к этому объекту обусловлен несколькими причинами.

С точки зрения теории инвариантов все неприводимые представления полупростых групп распадаются на две неравноправных группы. Существует очень небольшое "конечное" число представлений, для которых работают методы теории инвариантов, для них возможно детальное описание пространства модулей, нахождение представителей орбит, стабилизаторов, и т.п (см. [10]). Для основной же массы неприводимых представлений методы теории инвариантов не дают существенной информации, хотя эти представления иногда параметризуют очень важные объекты (такие, например, как гиперповерхности данной "большой" степени в проективном пространстве). В этой связи представляет интерес изучение "пограничных" представлений, для которых методы теории инвариантов уже не работают, но еще возможно применение других методов, таких, например, как теория дискриминантов. Представления полной линейной группы реализуются как тензоры, и простейшей мерой их сложности является ранг. Тензоры ранга 2, т.е. линейные операторы, квадратичные формы и кососимметриче-ские 2-формы представляют собой архетипический объект теории инвариантов, которая в этом случае, по существу, совпадает с линейной алгеброй. Однако уже уже тензоры ранга 3, т.е. кубические формы, кососимметрические 3-формы и модули Л2 У* <8> V и Б2У* антикоммутативных и коммутативных алгебр с точки зрения теории инвариантов являются "дикими". Так, для 3-форм теория инвариантов работает до п = 9, а для кубических форм, с некоторой натяжкой, до п = 4. В этой диссертации изучаются модули антикоммутативных и коммутативных алгебр. Получены результаты о соответствующих многообразиях модулей, о дискриминантах антикоммутативных и коммутативных алгебр, о геометрических свойствах алгебр общего положения, т.е. о таких свойствах, которые выполнены для всех алгебр, структурные константы которых принадлежат некоторому непустому открытому по Зарисскому подмножеству. Из результатов диссертации, относящихся непосредственно к теории инвариантов, нужно отметить доказательство рациональности полей инвариантов представлений ¿>5, которое получается вычислением многообразия модулей четырехмерных антикоммутативных алгебр двумя способами, а также замкнутую формулу для степеней дискриминантов некоторых БЬ^-модулей — насколько известно автору, это единственная известная замкнутая формула, за исключением случаев, известных классикам. Получены также некоторые результаты о геометрии представления изотропии параболических подгрупп, в частности доказана локально-транзитивность этого представления, найдены представители открытых орбит. Найдено эффективное достаточное условие существования нулей у глобальных сечений однородных векторных расслоений на флаговых многообразиях, полученные результаты применены к изучению изотропных подпространств кососимметрических и симметрических форм.

С точки зрения общей теории алгебраических систем алгебры общего положения интересны тем, что позволяют понять иерархию геометрических объектов, канонически сопоставляемых всякой алгебре. Такие понятия, как структура подалгебр и идеалов, инвариантные скалярные произведения, группа автоморфизмов, дифференцирования и обобщенные дифференцирования, имеют смысл для всех алгебр, независимо от того, выполняются ли в них какие-либо тождества. Изучение этих объектов в алгебрах общего положения помогает понять, как они могут быть устроены и в конкретных алгебрах, а общность положения позволяет получать наиболее прозрачные и универсальные доказательства. Отметим в этой связи полученную теорему о квазидифференцированиях полупростой коммутативной алгебры. Однако в большинстве случаев результаты об алгебрах общего положения совсем непохожи на соответствующие конструкции в конкретных алгебрах. Так, например, каноническая квартика трехмерной коммутативной алгебры в случае полупростой алгебры сводится к четырем прямым, а в случае алгебры общего положения является квартикой общего положения и ее геометрия тесно связана с алгебраическими свойствами соответствующей алгебры.

Поскольку в диссертации затронуто много различных тем, не представляется возможным дать мало-мальски полный обзор известных работ в этой области. Приведем только те работы, которые непосредственно связаны с алгебрами общего положения в том контексте, в котором они появляются в диссертации.

В работе [36] введено понятие алгебры общего положения, которое совпадает с нашим. В этой работе лгебры общего положения нужны как примеры алгебр, имеющих сложную структуру, но не имеющие автоморфизмов, что позволяет строить контрпримеры к некоторым гипотезам о сравнении алгебры инвариантов и алгебры следов произвольных алгебр.

В работе [2] построено многообразие модулей двумерных алгебр методами геометрической теории инвариантов. Самым сильным нашим результатом в этом направлении является описание рационального многообразия модулей четырехмерных антикоммутативных алгебр.

В работе [3] дано строгое обоснование классической теории инвариантов кубических формы от четырех переменных, при этом основным инструментом является сечение Сильвестра. При изучении 4-мерных антикоммутативных алгебр обнаруживается две корреляции с этими результатами: в этом модуле есть аналог сечения Сильвестра, кроме того, геометрия алгебр общего положения связана с геометрией ассоциированной кубической поверхности. С этой темой также связана работа [22].

В работе [15] найдена стратификация Луны четырехмерных антикоммутативных алгебр. Мы строим аналогичную стратификацию в модуле трехмерных коммутативных алгебр.

В работе [30] найдена замечательная связь геометрии трехмерных коммутативных алгебр и ассоциированных квартик. Мы передоказываем эту теорему, используя общую технику "аффиннизации".

Структура диссертации.

1. А.З. Ананьин, Квазидифференцирования алгебры диагональных матриц, Третья Сибирская школа по алгебре и анализу, Иркутский государственный университет (1990), 8-15.

2. А.З. Ананьин, А.Е. Миронов, Пространство модулей двумерных алгебр, preprint.

3. Н. Д. Беклемишев, Классификация кватернарных кубических форм необщего положения, в сб.: Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1981.

4. Буй Вьет Ха, Классификация тернарных форм четвертой степени с нетривиальной группой автоморфизмов, в сб.: Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1982.

5. И.Н. Бернштейн, И.М. Гельфанд, С.И. Гельфанд, Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P, УМН 28/3 (1973), 3-26.

6. Ф.А. Богомолов, П.И. Кацыло, Рациональность некоторых фактор-многообразий, Мат. сб. 126(4) (1985), 584-591.

7. Э.Б. Винберг, Обобщенные дифференцирования алгебр, Третья Сибирская школа по алгебре и анализу, Иркутский государственный университет (1990), 3-8; English translation: Е.В. Vinberg, Generalized derivations of algebras, AMS Transl., 1995, 163, 185-188.

8. Э. Б. Винберг, О замыкании орбиты редуктивной линейной группы, в сб.: Алгебра, М., 1980.

9. Э.Б. Винберг, А.Л. Оншцик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, М.: Наука, 1988.

10. Э.Б. Винберг, В.Л. Попов, Теория инвариантов, ВИНИТИ, Совр. Пробл. Матем. Фунд. Напр., 55, (1989), 137-314.

11. И.М. Гельфанд, А.В. Зелевинский, М.М. Капранов, Проективно-двойственные многообразия и гипердетерминанты, ДАН (1989), 1294-1298.

12. С.Л. Клейман, Численная теория особенностей, УМН 35/6 (1980), 69-148.

13. Д. Мамфорд, Комплексные проективные многообразия., М., Мир, 1979.

14. Ю.И. Манин, Кубические формы, М., Наука, 1972.

15. D. Luna, Slices étales, Bull. Soc. Math. France 33 (1973).

16. Lipsman, Wolf, Trans. AMS 269(1) (1982), 111-131.

17. I. Muller, H. Rubenthaler, G. Schiffmann, Structure des espaces préhomogènes associés à certaines algébres de Lie graduées, Math. Ann. 274 (1986), 95-123.

18. V. Popov, A finiteness theorem for parabolic subgroups of fixed modality, Indag. Mathem., N.S. 8 (1) (1997), 125-132.

19. V. Popov, An analogue of M. Artin's conjecture on invariants for nonassociative algebras, Amer. Math. Soc. Transi. 169(2) (1995), 121-143.

20. Y. Popov, G. Rôhrle, On the number of orbits of a parabolic subgroup on its unipotent radical, Algebraic Groups and Lie Groups, Lehrer G.I., Ed., Austr. Math. Soc. Lecture Series 9 (1997).

21. R.W. Richardson, Finiteness theorems for orbits of algebraic groups, Indag. Math. 88 (1985), 337-344.

22. R.W. Richardson, Conjugacy classes in parabolic subgroups of semisimple algebraic groups, Bull. London Math. Soc. 6 (1974), 21-24.

23. R.W. Richardson, Commuting varieties of semisimple Lie algebras and algebraic groups, Compositio Math. 38 (1979), 311-327.

24. L. Schlâfli, Gesammelte Abh. 2 (24) (1953), 9-112.

25. E.A. Tevelev, Generic Algebras, Transformation Groups 1 (Nos. 1&2) (1996), 127-151.

26. J. Weyman, Calculating discriminants by higher direct images, Trans. Amer. Math. Soc. 343 (1994), 367-389.