Сэндвичевы подалгебры в простых конечномерных алгебрах Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

'71ящ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 512.554.31

КИРИЛЛОВ Сергей Альбертович

СЭНДВИЧЕВЫ ПОДАЛГЕБРЫ В ПРОСТЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ

01.01.06. — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степенн кандидата физико-магематических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена на кафедре геометрии и высшей алгебры Нижегородского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент Кузнецов Михаил Иванович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бахтурин Юрий Александрович (МГУ),

доктор физико-математических наук, доцент Галкин Владимир Михайлович (ННПИ).

Ведущая организация — Казанский государственный университет им. В. И. Ленина.

Защита состоится « й._12_________ 1992 года

в часов на заседании специализированного совета К 063.57.45 по

присуждению ученой стспсти кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл. 2, математико-механп-че:кий факультет СПбУ).

Защита будет проходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ПОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан __М-___ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Р. А. Шмидт.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Центральное) место в теории алгебр Ли занимают простые конечномерные алгебры Ли. Структурная теория таких алгебр над полем нулевой характеристики приобрела законченный вид к серолице нашего столетия. Для полей положительной характеристики р (модулярные алгебры Ли) положение иное. Известны следурщие классы простых модулярных алгебр Ли при р > 3 : классические - Лп, Bn> Cn> Dn, Е^, Е^, Eg, F4> Р>2, получающиеся редукцией по mod. р из комплексных простых конечномерных алгебр Ли, алгебры Ли картановского типа, аналогичные бесконечномерным алгебрам Ли векторных полей, и исключительная серия алгебр Меликяна при р = 5, не имеющая аналогов в нулевой характеристике. А.И.Кострикин и И.Р.Шафаре-вич высказали гипотезу, относительно которой любая неклассическая простая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики р » 7 является алгеброй Ли картановского типа. В настоящее время гпа гипотеза доказана Р.Блоком и Р.Вильсоном для случая ограниченных алгебр Ли. Значительных успехов в доказательстве классификационной гипотезы Кострикина-Шафа^а-вича достигли Г.Бенкарт, Дж.Осборн, Х.Штраде и Р.Вильсон .

А.И.Кострикин обратил внимание на особую роль сэндвичей (элементов CiL, таких.что (ad С)2= О)-в классификации простых модулярных алгебр Ли. Согласно гипотезе А.И.Кострикина нормализатор сэндвичевой подалгебры (подалгебры, порожденной сандвичами) является максимальной подалгеброй в простой неклассической алгебре Ли. Эта гипотеза была доказана А.И.Кос-_

Stracle Н., Wilson R.L.//Bull.Amer.Math.Soc.- 1991.- V.24

HZ.- Р.357-362.

трикшшм и И.Р.Шафаревичем для ограниченных алгебр Ли карта-новского типа, а затем Г.О.Эльстингом для градуированных алгебр Ли картановского типа. В диссертации исследуются сэнд-вичавы подалгебры в алгебрах Ли картановского типа и в алгебрах Меликяна, проверяется гипотеза А.И.Кострикина о максимальности нормализатора сэндвичевой подалгебры для этих алгебр.

Цель работы состоит в исследовании алгебр Ли картановского типа над полом характеристики р > 3 (в частности, специальных и гамильтонових алгебр), описании сэндвичовых подалгебр в алгебрах картановского типа и в алгебрах Меликяна, доказательстве гипотезы А'.И.Кострикина о максимальности нормализатора сэндвичевой подалгебры в этих алгебрах.

Научная новизна и практическая ценность. В работе 1. Найдены образующие элементы специальных и гамильтоновых алгебр Ли картановского типа над полем характеристики р > 3,а также подсчитаны их размерности для всевозможных дифференциальных форм. Необходимо отметить, что в частном градуированном случае этот результат получен А.И.Костри-киным и И.Р.Шафаревичем. '¿. Исследована сзндвичева подалгебра во всех фильтрованных алгебрах Ли картановского типа и в алгебрах Меликяна. Получено удобное описание сэндвичевой подалгебры в этих алгебрах. Доказана гипотеза А.И.Кострикина о максимальности нормализатора сэндвичевой подалгебри. 3. Определен класс нильпотентности сэндвичевых подалгебр в алгебрах картановского типа и в алгебрах Меликяна.

Все результаты диссертации являются новыми и имеют теоретический характер. Описание сэндвичевых подалгебр мокет найти применение в.теории модулярных простых алгебр Ли. В

частности, при классификации конечномерных простых алгебр Ли и исследовании их структуры.

Апробация работы. Результаты .диссертации докладывались на Х1Х-Й Всесоюзной алгебраической конференции (Львов,1987), 1У-й Всесоюзной школе "Алгебры Ли и их применения в математике и физике" (Казань, 1990), Международной конференции по алгебре памяти А.И.Ширшова (Барнаул, 1991), Г/1-й Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991), Итоговых научных конференциях ННГУ, а также обсуждались на семинарах ННГУ и МГУ, и опубликованы в работах (11-1111.

Объеи и структура работы. Диссертация состоит из введе-. ния и пяти глав. Она содержит 122 страницы основного текста. Список цитируемой литературы включает 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранного направления исследований, приводится краткий обзор работ по теме диссертации и смежным вопросам, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты.

Нулевая глава по-существу является вводной и содержит лишь предварительные сведения, используемые в последующих главах. Все утверждения этой главы сформулированны без доказательств. В §1 даны основные определения : рассматриваются - алгебра разделенных степеней 0(5) Над п-мерным векторным

пространством Е •= <х1.....хп>, соответствующая флагу 5 В Е,

общая алгебра Ли картановского типа Я(5) (алгебра специальных дифференцирований алгебры 0(5')) и ее подалгебры - специальная 5(5,ц>), гамильтонова Н(д,ш) и контактная К(д) алгебры

-3-

Ли картановского типа. Необходимые сведения об алгебрах Н(5,ш) и К(5) собраны в §§2-4. В частности, там представлены канонический вид гамильтоновых дифференциальных форм и форм объема, а также образующие элементы градуированных алгебр Б(8), Н(5) и К(5). Определение сэндвичевой подалгебры и ее описание в ограниченных алгебрах Ли картановского типа дается в §5. В §6 собраны сведения о строении алгебр Меликяна, полученные М.И.Кузнецовым . Наконец, §7 содержит ряд вспомогательных утверждений, используемых в главах 2-4.

В первой главе диссертации рассматриваются серии специальных и гамильтоновых алгебр Ли картановского типа над алгебраически замкнутым полем К характеристики р > 3.

В §1 приводится система образующих в алгебре Б^.ш) в

зависимости от дифференциальной формы, объема и = ф й^Л.-.Л

Ш1 % Лс1гп> где <р = 1, 1 + х^р ^ или ехр х^.

Теорема 1. Как векторное пространство над К алгебра Б(Ц,и>) натянута на дифференцирования

®и(а) = Ъи(а) + а ф~1 ®и(ф), где »^(а) = д (а дJ - д^ в{, 1 < I,./ <г п, а е

Размерность алгебры Б (8,и) определяется в §2.

Теорема 2. Алгебра Б^.и) имеет следующую раалернпсть (п - 1 )(рт- 1), если, ф € 0(5);

(п - 1 j рт , если ф i 0(g).

climas (g, и) =

Здесь ш = ш1 + ...+ mn (тt - высота переменной в флаге

») ' : Kuznetaov ы.I.//Comm.Algebra.-1991V.19.- P. 1281-1312.

- U-

В §§3-4 подробно описывается строение алгебры Н(5,и). По определению, алгебра H(g,u) состоит из всех дифференцирований Ф € W(g), аннулирующих гамильтонову дифференциальную п

ферму ш = ехр и V u.-dr.A dr.. Гамильтонова алгебра H(g,w) i,j=1 iJ 1 3

есть н(ff1 ' (второй коммутант алгебры Н($,ы)).

Теорема 3. Кшс векторное пространство над К алгебра

— п

H(g,(J) натянута на дифференцирования ®а = £ еде п =

n - t_1- -1 = 2п\ а € 0($), /( = + a djV), (u{J) = (w{J) \

и (если V = 0) дифференцирования Q^ = В , НИп,

XJ

причем

dim^Htg.u)

pm , если и * 0;

рга + п - 1, если V = 0.

Для 1 ^ I ^ п' введем обозначения I = ( + п', ( + п'= £

ш,

и тс(I) = - тс(7) = 1. Обозначим через х{ элемент ~1' и

пусть

0($) , если V Ф 0;

0(5)

mi

0(5)/Кф<х|Р (=Т7п >, если V = 0.

*)

Согласно работам с. ГЛ. Скрябина и группы авторов: Г.Бенкарт, Т.Грегори, Дж.Осборна, Х.Штраде и Р.Вильсона , любую гами-

льтонову форму ы допустимыми автоморфизмами можно привести к

одному из двух видов:

mt 2 1. V = 'и wu = «(t)öj + (0ttr eJt) PtjX^ + 5 5t«

„jСкрябин С.М./Деп. в ВИНИТИ, JB3594-B86.

G.M. Benkart .T.B.Gregory, J.M.Osborn.H .Strade,R.L.Wilson// Lest .Not.Math.- 1989.- V.13T3.- P.42-5T.

- 6и%и)х~), где и,г € (1.....П), е

Ма1;п(/С) (в^- дельта Кронекера). '¿. V = О и и. . = 1С(^е ~ + Е..Х.Х., где (е..) « Ма1;„ (К).

^J ^jlJ^^J VJ П

Пусть а,. = е тогда а = (а.,) € Ма1 .(К). Используя

I $

«тот канонический вид гамильтоновой формы ш, в §4 доказывается

Теорема 4. Алгебра Н($,ш) изоморфна алгебре с за-

коном умножения (а,Ъ) »—(а,Ь) , определенным формулами

mt ш

1. еели V ? О, т.е. V - х^Р \ то '

n f п

ы i 1 1 ( Ч<=1 ~ ' it

«iu( l)i~) (d.aö~b - d~aö.b) - (ад~Ь - M~a) I.

< ' t t 1 t t J

2. если v = 0, то

n' n'

la.bl = V. (6~aa.b - a.aö»b)+ V /. ,x,x~(ö~ad,b - d.ad„b),

ш t=i i 1 4 i t.j=1 lJ 1 j i J J i

где

n'

a,. a. . ...a, .X....X. i----1»

На основании теоремы 4 в §§5-6 доказывается следующая

Теорема 5. Как векторное пространство над К алгебра H(g,u) натянута на дифференцирования ®Q, a € ß(g) с 0(g), u имеет следующую размерность

р"1 , если V ф 0 u n'+ 1 $ 0 (mod р);

рт - 1, если v * о и n'+1=0 (mod р);

ff - 1, если V = 0 и det a ^ 0; р™ - 2, если V = 0 и det a = 0. -б-

dim H(g,u)

Необходимо отметить, что в случав стандартной формы объема ы = dr.j Л...Л cirn и стандартной гамильтоновой формы

со = V dr.Л (±г~ теоремы 1-5 получены А.И.Кострикиным и И.Р.

{=1 ' I Шафаревичем.

Р.Вильсон показал, что L(g,u) = L(g,u)'r' (здесь L = S или H) для достаточно больших г. Затем С.М.Скрябин доказал, что г = 1 для L = S и г = 2.для L = Н. Прямое сравнение размерностей dim 1.(5,ш), dira L(g,u)v,/ и dim I (g,u) ^ ' .полученных в первой главе данной работы, дает точный ответ на вопрос : в каком случае в качестве L(g,u) нужно брать первый коммутант алгебры L(g,u), в каком - второй и в каком случае сама алгебра L(g,u) является простой.

Вторая глава посвящена исследованию сзндвичевой подалгебры S(L) в алгебрах L = W(g), S(g,w), H(g,u), K(g). По определению,

<E(L) = < С € L I (ad С)2 = 0 >. Как уже отмечалось, сэндвичева подалгебра в ограниченных алгебрах Ли картановского типа была найдена А.И.Кострикиным и И.Р.Шафаревичем. М.И.Кузнецов заметил, что для ограниченных алгебр Ли картановского типа L = S,' H выполняется равенство <F(L) = <Î(W) n I,. Естественно было предположить, что аналогичное равенство выполняется для всех алгебр Ли картановского типа.

Известно, что алгебра 0(g) изоморфна алгебре срезанных многочленов о = Ktj^ ,... ,у l/(t/f,... ,уР), поэтому любая алгебра Ли L картановского типа вкладывается в Wra = Der Om. Алгебра Wm - ограниченная алгебра Ли, ее сэндвичева подалгебра <£(Wra) описана А.И.Кострикиным и И.Р.Шафаревичем. В §1 сформулирована основная теорема работы.

Теореиа 6. Пусть L = W(g), 3(g,ui), H(g,u) ши K(g).

'7-

Тогда справедливо равенство <S(L) = П Исключение со-

ставляет лишь алгебра L = K(g) при п + 1 = 0 (mod р). В этом случае <HL) <= <Шт) n

Кроме того, в §1 собраны технические утверждения,необходимые для доказательства этой теоремы. Доказательство теоремы проводится отдельно для каждого случая в §§2-5. Необходимо отметить, что при доказательстве теоремы б существенно используется вид образующих элементов алгебр S(g,(o) и IUg.w), полученный в главе 1.

Непосредственным следствием теоремы 6 является

Теорема 7. Пусть ?0 - нулевой член стандартной фильтрации алгевры L = W(g), S(g,u), H(g,u), K(g), тогда ?0 = = Ль(Е(Ь)).

Здесь - нормализатор подалгебры <F(L) в L. Доказате-

льство теоремы 7 составляет §6.

Из теоремы 7 следует, что нормализатор ЛЬ(<?(Ь)) есть максимальная подалгебра в L = W(g), S(g,u), H(g,w) или K(g). Таким образом, гипотеза А.И.Кострикина о нормализаторе сэндвичевой подалгебры справедлива для этих четырех серий простых конечномерных алгебр Ли.

В третьей главе рассматривается сэндвичева подалгебра (Г(Ъ) в алгебрах Меликяна L = L(m1 .nig) (р = 5). М.И.Кузнецов показал, что алгебра Меликяна L является алгеброй Ли типа и имеет градуировку по mod 3 :

L = L_ © L_ ® L_,

о i 2

где L = W(g) (при n = 2). L_ = O(g)of1/3, L_ = W(g)u1/3, a . о r 2

<j) = dr1 Л dr2.

В §1 сформулированы вспомогательные леммы я следующая -S-

Теорема 8. Пусть С - сэндвичева подалгебра в алгебре Нелиняна L = Ыпц.п^), a ®(W(g)) - сэндвичева подалгебра в алгебре W(g). Тогда

В±1 Е+1 <5 = S(W(g)) фК 2 ь_ ф И 2 L_, 1 2

где К - максимальный идеал в алгебре (9(g).

Доказательство этой теоремы составляет §§2-3. В §4 пока зано, как из теоремы 8 легко получается

Теорема 9. Нормализатор Лт (СП = И Ь_фК 1_фй L_ и

0 12 является максимальной подалгеброй в алгебре Ыеликяна L.

Пусть L = ф Lr,градуировка типа в L и 0П = ф1,,,, О-З о

тогда из теоремы 9 следует, что = (CF).

Таким образом, из результатов глав 2-3 следует, что гипотеза А.И.Кострикина о нормализаторе сэндвичевой подалгебры справедлива для всех известных к настоящему времени неклассических простых конечномерных алгебр Ли при р > 3.

В четвертой заключительной главе вычисляется класс нильпотентности сэндвичевых алгебр, описанных в предыдущих двух главах. Напомним, что алгебра Ли ® называется нильпотентнсй класса нильпотентности м, если <JN t 0, но <SW+1 = о, где <F1 ^ (5, а <£4 = [ (Г ]. В §§1,3-6 для каждого случая отдельно

доказывается

Теорема 10. Пусть L = W(g) при п > 2, S(g,u), H(g,u) при р > 5, K(g) при р > 5 или LCmj ,га2 ) при р = 5, то класс нильпотентности алгебры 5(Ь) равен я = 2т-1.

В §2 определяется класс нильпотентности алгебры Cf(W(g)) при n = 1 :

G

Теореиа 11. Пусть q и г - соответственно частное и остаток от деления числа . (т - 1)(р - 1) на q u rf -частное и остаток от деления числа q - fto тогда класс нильпотентности алгебры fE(W(g)) при n = 1 равен

я + 1. если Я < р+з г и Г + Я < з;

я + 2. если Я < р+з 2 и 3 Г + Я < Е+7. 2 '

я + 3, если Я < р»з г и р+7 2 < Г + я:

Я + <7, + 2, если Я 2+з 2 и г + г, < 2;

я + ч, + 3, если Я £ р+з г и 2 г + < Р+5. 2 *

я + <?1 + 4, если Я £ р+з г и Р+5 2 г + Г1 •

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

). Кириллов С.А. Подалгебра вырождения в алгебре Цассенхау-за. XIX Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы-сообщений. Львов.- 1987.- Ч.1.- С.132.

2. Кириллов С.А. Специальная алгебра Ли картановского типа/ Препринт ИПФ АН СССР. Х247.- Горький: ИПФ, 1989.

3. Кириллов С.А.Гамильтонова алгебра Ли картановского типа/ Препринт ИПФ АН СССР. Х257.- Горький: ИПФ, 1990.

4. Кириллов С.А. О специальных и гамильтоновых алгебрах картановского типа. IV Всесоюзная школа "Алгебры Ли и их применения в математике и физике". Тезисы сообщ. Казань. - 1990.- 0,25-26.

5. Кириллов С.А. О сэндвичевой подалгебре в фильтрованных алгебрах Ли.картановского типа. IV Всесоюзная школа "Алгебры Ли и их применения в математике и физике". Тезисы сообщ. Казань.- 1990.- С.27.

-ю-

6. Кириллов С.А.Сандвичева подалгебра в алгебрах Ли типа S/ Препринт ИПФ АН СССР. №262.- Горький: ИПФ, 1990.

7. Кириллов С.А. Сандвичева подалгебра в алгебрах Меликяна/ Препринт ИПФ АН СССР. Jfi285.- Горький: ИПФ, 1990.

8. Кириллов С.А. Строение сэндвичевнх подалгебр в алгебрах Меликяна. Международная конференция по алгебре памяти А. И.Ширшова. Тезиси докл. по теории колец, алгебр и модулей. Барнаул. - 1991.- С.49.

9. Кириллов С.А. Класс нильпотентности сэндвичсзой подалгебры в общей алгебре Ли картановского типа. XVI Всесоюзн. шк. по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докл. Н.Новгород.- 1991.- С.104.

10. Кириллов С.А. Сандвичева подалгебра в алгебрах Ли картановского типа // Изв. вузов. Математика.- 1992.- JM.-С.18-25.

11. Кириллов С.А. Сандвичевы подалгебры в простых конечномерных алгебрах Ли// УМН.- 1992.- Т.47.- *4.~ С.181-182.