О полупростых подалгебрах особых алгебр ЛИ

Минченко, Андрей Николаевич

О полупростых подалгебрах особых алгебр ЛИ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Минченко, Андрей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О полупростых подалгебрах особых алгебр ЛИ»

Автореферат диссертации на тему "О полупростых подалгебрах особых алгебр ЛИ"

Московский Государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.813.4

Минченко Андрей Николаевич

О ПОЛУПРОСТЫХ ПОДАЛГЕБРАХ ОСОБЫХ АЛГЕБР ЛИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

□□34581ьэ

003458169

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Эрнест Борисович Винберг; кандидат физико-математических наук, доцент Иван Владимирович Аржанцев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Николай Александрович Вавилов (Санкт-Петербургский государственный университет); кандидат физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Андрей Владимирович Алексеевский (НИИ физико-химической биологии имени А. Н. Белозерского МГУ имени М. В. Ломоносова).

Ведущая организация:

Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова.

Защита диссертации состоится 26 декабря 2008 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 26 ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена проблеме классификации полупростых подалгебр полупростых алгебр Ли над полями С и R. Этот вопрос тесно связан с классификацией однородных пространств групп Ли.1 Проблемой описания подалгебр алгебр Ли занимались многие математики.

Первый значимый прогресс в этом направлении был достигнут Э. Карта-ном2 и Г. Вейлем3, которые развили теорию представлений полупростых комплексных алгебр Ли. Тем самым была получена классификация полупростых подалгебр в ап. Описание полупростых подалгебр других классических алгебр Ли вп, сп и dn было дано А.И.Мальцевым4, им же частично были исследованы подалгебры особых алгебр Ли Gi и F\.

Идея Мальцева использовать теорию представлений для классификации полу простых подалгебр полупростых алгебр Ли, была реализована Е. Б. Дынкиным5 для классификации полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли. А именно, Дынкин рассматривал классификацию с точностью до линейной сопряженности. (Подалгебры l)i и fo алгебры Ли g называются линейно сопряженными, если для любого линейного представления алгебры g образы подалгебр fjj и 1)2 сопряжены в алгебре матриц.) Сопряженные подалгебры линейно сопряжены, и в подавляющем большинстве случаев верно обратное. Однако полный список линейно сопряженных несопряженных полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли получен не был. Этот список получен автором [1], что в некотором смысле завершает классификацию полупростых подалгебр полупростых комплексных алгебр Ли.

Случай произвольного алгебраически замкнутого поля (с небольшими ограничениями на характеристику) рассматривался Либеком и Сейтцем6. Они классифицировали простые подалгебры особых алгебр Ли с точностью до сопряженности, а также нашли их централизаторы.

В предположении, что известна классификация полупростых подалгебр полупростой комплексной алгебры g с точностью до сопряженности, а так-

'Оншцих. А. Л., Топология транзитивных групп преобразований, Физматлит, Москва, 1995,

2Cartan Ем Sur la structure de.s groupes des transformations finit et continus, Thesis, Paris, 1894.

Cartan É., Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, Bull. Soc. Math. France 41 (1913), 53—96.

3Weyl H., Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen, Math. Zeitschr. 1—23 (1925), 271—309; II—24 (1926), 328—376; III—24 (1926), 377-395. Русский перевод (неполный) в УМН, вып. 4 (1938), 201-257.

4Мальцев А. И., О полупростых подгруппах групп Ли, Изв. АН СССР, сер. мат. 8 ; 4 (1944), 143—174.

5Дынквы Е. Б., Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли, Матем. сб. 30(72) : 2 (1952), 349—462.

6Liebeck M. W., Seitz G. M., Redictive subgroups of exceptional algébrate groups, Mem. Amer. Math. Soc. 121 : 580 (1996), 1—111.

же известны их нормализаторы в Int g, Ф. И. Карпелевич7 предложил метод получения классификации полупростых подалгебр вещественных форм алгебры g с точностью до квазисопряженности. (Если t — вещественная форма g, то Si, 52 С г квазисопряжены, если существует автоморфизм <р 6 Int g такой, что ip(t) = г и ip(si) = s2 ). Таким образом, им была получена классификация с точностью до квазисопряженности полупростых подалгебр классических вещественных алгебр Ли.

Некоторые результаты по проблеме описания подалгебр особых вещественных алгебр Ли были получены в работах Берже, Вольфа, Грэя, Комра-кова.8 А именно, были найдены вещественные формы комплексных пар (g, fj) в некоторых специальных случаях. (Комплексная (вещественная) пара — это набор из полупростой комплексной (вещественной) алгебры Ли g и ее полупростой подалгебры \). Вещественная форма комплексной пары — это набор из вещественной формы г алгебры 0 и вещественной формы s алгебры fj такой, что s Ct. Всякая вещественная пара является вещественной формой комплексной пары.) Кроме того, Комраковым был предложен метод получения вещественных форм произвольных пар, зная их в упомянутых выше специальных случаях. Это дает некий способ описания всех полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли, но тем не менее, вопрос о нахождении классов сопряженности остается открытым.

В настоящей диссертации излагается несколько отличное от предыдущего описание вещественных форм произвольных комплексных пар, и на его основе приводится классификация полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли с точностью до сопряженности (и квазисопряженности).

Цель работы

Нахождение всех полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли, класс линейной сопряженности которых содержит более одного класса сопряженности. Классификация полупростых подалгебр особых вещественных алгебр Ли.

7Карпелевич Ф.И., Простые подалгебры вещественных алгебр Ли, Труды Моск. мат. общ. 4 (1955), 3-П2.

'Berger M., Les espaces symétriques noncompacts, Ann. Ее. Norm. 74 (1957), 85—177.

Wolf J., Gray A., Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms, J. Diff. Geom. 2 : 1-2 (1968), 77—159.

Gray A., Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order S, Diff. Geom. 7 (1972), 343—369.

Комраков Б. П., Редуктивные подалгебры полупростых вещественных алгебр Ли, ДАН СССР 308 : 3 (1989), 521-525.

Методы исследования

В диссертации используются средства теории полупростых алгебр Ли и их представлений, факты из теории инвариантов представлений групп Ли. Используется метод Алексеевского нахождения групповых централизаторов. Также применяются средства работы с полупростыми вещественными алгебрами Ли, а именно, как с парами (g, , где д — полупростая алгебра Ли, 9 — ее инволютивный автоморфизм. Используется теория симметрических пространств полупростых групп Ли, в частности, описание их геодезических.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Завершена классификация Дынкина полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли. А именно, найдены все классы линейной сопряженности их полупростых подалгебр, нетривиально распадающиеся на классы сопряженности.

2. Найдены групповые централизаторы Z{fj) в группе Int g простых подалгебр t) с 0 ранга более 1, где g — особая алгебра Ли.

3. Предложен новый метод классификации инволютивных автоморфизмов простых алгебр Ли в терминах инвариантов действия группы Вей-ля на множестве инволютивных элементов максимального тора.

4. Дана классификация полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для специалистов по теории полупростых алгебр Ли и их представлений. В диссертации приводится несколько объемных таблиц, которые могут существенно облегчить работу и вычисления, связанные с полупростыми подалгебрами особых алгебр Ли.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством Э.Б.Вин-берга и А.Л.Онищика, МГУ (2004 и 2007);

2. Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 25 мая — 2 июня, 2004);

3. Кафедральный семинар кафедры высшей алгебры МГУ (2004);

4. Международная конференция "Группы преобразований", посвященная 70-летнему юбилею Э. Б. Винберга (Москва, 17 декабря — 22 декабря, 2007);

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и двух глав. Текст диссертации изложен на 111 страницах. Список литературы включает 23 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность исследуемого вопроса, вкратце изложена его история и сформулированы основные результаты диссертации.

Первая глава

В первой главе получены результаты о полупростых подалгебрах особых комплексных алгебр Ли. В разделе 1.1 помещены определения и утверждения, которые будут использоваться в дальнейшем. В основном, все они были получены в уже упомянутых работах Мальцева и Дынкина.

Вложения tpii f) '—у fl, i = 1,2, называются эквивалентными (<р\ ~ w), если найдётся такой элемент в 6 Int g, что (р2 = 0 о <рг. Из классификации вложений нетрудно получить классификацию подалгебр: нужно объединить те классы эквивалентных вложений fj «—i► g, которые переводятся друг в друга внешним автоморфизмом алгебры () (и рассмотреть их образы в д). Обратно, имея описание подалгебр и зная, какие их внешние автоморфизмы реализуются в g, можно получить классификацию вложений.

По аналогии с понятием линейной сопряжённости подалгебр возникает понятие линейной эквивалентности вложений. А именно, вложения ц>{: fj "=—» 0, i — 1,2, линейно эквивалентны (<pi ~ tpq), если для любого представления

p: g gl(V) соответствующие представления poipi, г = 1,2, алгебры fj изоморфны. Очевидно, что из эквивалентности следует линейная эквивалентность. Имеют место следующие критерии линейной эквивалентности.

Теорема 1 (Дынкин5). Два вложения <Pi: f) g, i = 1,2, линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда их ограничения на картановскую подалгебру алгебры íj эквивалентны.

Теорема 2 (Мальцев4, Дынкин5). Пусть g — простая алгебра Ли и Í) ■—> g, г = 1,2, — два вложения. Тогда

, L

1. если g $02П, то ~ ip2 7Г о ~ 7Г о <¿?2;

2. если g = so 2п, то щ ~ ц>2 ^ ° Vi ~ тг о ip2, 'Ф ° Vi ~ "Ф ° <Р2,

где ж — представление минимальной размерности алгебры g и гр — полу-спинорное представление алгебры S02n ■

Подалгебра полупростой алгебры Ли g называется регулярной, если она нормализуется некоторым максимальным тором группы Int g. В частности, регулярные полупростые подалгебры порождены некоторыми корневыми векторами g относительно некоторой ее картановской подалгебры. Пусть vi '■ ь 91 i = 2 — вложения.

Теорема 3 (Мальцев4, Дынкин5). Равносильность ц>\ ~ щ Vi ~ V2 имеет место при выполнении любого из условий:

1. 1) — sb ;

2. lm (pi, i = 1,2, — регулярные подалгебры;

3. g-sln, spn, so2n+i, G2, Fí.

Теорема 4 (Мальцев4, Дынкин5). Пусть в предыдущих обозначениях g = S02ri. Тогда

1. если вложения (pi и ip2 линейно эквивалентны, но не эквивалентны, то (р2 = о о ipi, где а — внешний автоморфизм алгебры g, определённый элементом ортогональной группы Огп;

2. вложения ¡р и сг о tp линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда представление щ о <р алгебры fj содержит нулевой вес;

3. вложения tp и eroip эквивалентны тогда и только тогда, когда пред-

ставление л\ о ip имеет нечётномерное ортогональное подпредстав-

ление.

Теоремы 2 и 4 фактически представляют собой классификацию полупростых подалгебр классических алгебр Ли.

Регулярные полупростые подалгебры особых алгебр Ли были классифицированы Дынкиным с точностью до сопряженности. Как правило, регулярные подалгебры одного типа сопряжены. Регулярная редуктивная подалгебра называется полной, если она не содержится в качестве собственной подалгебры ни в одной регулярной редуктивной подалгебре того же ранга. Множество регулярных полупростых (соотв. полных регулярных полупростых) подалгебр, содержащих данную подалгебру fj С 0, рассматриваемых с точностью до сопряжённости в 0, мы будем обозначать И(1)) (соотв. 7?.(f))). Стандартными приемами теории полупростых алгебр Ли доказывается

Предложение 1. Пусть Ц — полупростая подалгебра полупростой алгебры Ли 0-. Тогда

1. найдётся единственная (с точностью до сопряжённости) подалгебра t G 7^(f)), такая что

rk г = min rk I; (ercft)

2. если вложения : f) <—► t С 0, ¿ = 1,2, эквивалентны в q , то элемент в 6 Int 0 из определения эквивалентности можно выбрать так, что в(г) = г.

Подалгебра fj С 0 называется S-подалгеброй, если I) не содержится ни в одной собственной регулярной подалгебре алгебры g. Понятие S-подалгебры было введено Дынкиным в качестве аналога неприводимой подалгебры алгебры матриц. Дынкин классифицировал все S-подалгебры особых алгебр Ли с точностью до сопряженности.

Пусть f) — полу простая подалгебра полупростой алгебры Ли g. Введем обозначение:

Запись lj' ~ t) означает, что I]' и t) линейно сопряжены. Множества 71(f)) для простых подалгебр f) особых алгебр Ли были найдены Дынкиным.

Корангом подалгебры f) с 0 назовём число cork I) = rk 0 — rk fj. Для целого неотрицательного числа d обозначим через m(d) минимально возможный ранг редуктивных алгебр Ли размерности d. Мы доказываем следующие утверждения.

Предложение 2. Пусть d — dim3s(fj). Тогда существует полная регулярная подалгебра, содержащая f), коранга не менее m(d).

Предложение 3. Пусть с, d — максимальные возможные коранги подалгебр из H[t))L, соответственно, причём с ^ 2. Тогда d = с.

Предложения 1, 2, 3 являются основным инструментом для получения списка всех простых подалгебр особых алгебр Ли, класс линейной сопряженности которых не совпадает с классом сопряженности. Это делается в разделе 1.2. Приведем примеры рассуждений.

Пусть g = Е6 и Í) = Щ (для обозначения простых алгебр Ли, с точностью до линейной сопряженности, Дынкин использует тип, индекс и, в некоторых случаях, штрихи). Известно, что любая подалгебра из класса линейной сопряженности I) является S-подалгеброй в £>5 С Ев. По теореме 4, 50ю содержит две, с точностью до сопряженности, S-подалгебры типа Вг (заданной присоединенным представлением). Обозначим их через {д и 1)2, а соответствующую алгебру типа — через г. Если бы í)i и 1)2 были сопряжены в д, то в силу предложения 1, они были бы сопряжены с помощью элемента, нормализующего г. Но внешний автоморфизм г не реализуется в д. Следовательно, подалгебры f)i и fo не сопряжены.

Пусть q = E^ и Í) = С]. Известно, что любая подалгебра f)' из класса линейной сопряженности Í) является S-подалгеброй в Ев или в Л7. Но по предложению 2 и известной размерности j(íj) , определяем, что тогда она содержится в некоторой регулярной подалгебре типа Е6- Поскольку все S-подалгебры Ев типа С4 сопряжены, получаем, что t)' и i) сопряжены, т. е. класс линейной сопряженности f) не распадается.

На основе полученной классификации простых подалгебр находятся все классы линейной эквивалентности вложений простых алгебр Ли.

Прежде чем приступить к классификации полупростых подалгебр и их вложений, мы сводим задачу к случаям д = Ев, £7 или Eg. Это делается в разделе 1.3 при помощи методов теории инвариантов. Там же получены результаты, относящиеся к этой теории, интересные сами по себе. Пусть Н С G — редуктивная подгруппа редуктивной группы Ли и f) С д — соответствующее включение алгебр Ли. Рассмотрим присоединённое действие Ad группы G. Соответствующая алгебра инвариантных полиномов обозначается С[д]с. Алгебра ограничений этих функций на подпространство f) обозначается C[[)]G. Её спектр f)//G совпадает с замыканием множества 7гс(Ь) в 0//G, где 7tg: 0 —1• fl//G — морфизм факторизации. Пусть ф: {)//# —> f)/¡G — морфизм, отвечающий включению C[fj]G с С[()]я.

Рассмотрим цепочку включений:

G2 С DÍ С Fi С Е6 С Е7. (1)

Теорема 5 (Лосев9). Следующие условия эквивалентны:

9Losev 1. V., On invariants of a set of elements of a semisimple Lie algebra, arXiv:math.RT/0512538 (2005).

1. Для любых двух вложений тора ^: 1С (), г = 1,2, таких что 1р% = к&д о(р1, ре б, следует <р2 = АйИ, о ц)У, К 6 Н;

2. Для любого полупростого элемента Л 6 Н верно ОИПЯ = ЯЛ;

3. Отображение ф биективно.

Устанавливается, что условия теоремы 5 выполнены для любого включения I) С в из (1), если считать б = Ыд и Н = N0(1)) а Аг^ I).

Теорема 6. Если \) С д — включение (не обязательно соседних) подалгебр из (1), то

С[Г = СМН (2)

Доказательство теоремы 6 довольно легко сводится к случаю () = Е§, д = Ет, который разбирается при помощи стандартных приемов теории инвариантов.

В разделе 1.4 находятся все классы линейно эквивалентных вложений, которые распадаются на несколько классов эквивалентных вложений. В силу результатов 1.2 и 1.3, остается рассмотреть вложения непростых полупростых алгебр Ли !) в особые алгебры Ли д = Ев, Е?, Е%. Основная идея состоит в следующем. Пусть 1} = (ц © 1)2 — разложение в сумму ненулевых идеалов и I С , С , г = 1,2, — картановские подалгебры. Нас интересует, насколько однозначно вложение ¡р: д определяется по вложению а именно, существует ли в классе линейной эквивалентности вложения ц> неэквивалентное ему вложение. Вложения <р, класс линейной эквивалентности которых не совпадает с классом эквивалентности, а также соответствующие подалгебры у>(()) С д, мы называем интересными, а в противном случае — неинтересными.

Положим а< = 3,- = з0(^), г = 1,2. Имеем сц С з¿ и коммутант

подалгебры з¿ является полной регулярной подалгеброй в д.

Предположим, что алгебра 31 не содержит простых идеалов типа Вп(п ^ 4), Е$, Е7. Тогда, по теореме 3, вложение : Ьг ^ 31 определяется однозначно по вложению , с точностью до сопряжения в 31. Далее, если подалгебра аг С д не содержит простых идеалов перечисленных выше типов, то вложение : 1)1 «-+ а^ также определяется однозначно по вложению <¿>1^ . Таким образом, получаем, что при сделанных предположениях класс линейной эквивалентности вложения <р совпадает с классом эквивалентности. Аналогично получаем

Предложение 4. Пусть <р — интересное вложение. Тогда в алгебре 1} найдётся такой собственный идеал ()1 С (], что либо подалгебра аг С д, либо 31 С 0 содержат ровно одну из подалгебр , , , Е%, Еу в качестве простого идеала.

Далее идет перебор случаев, что приводит в итоге к главному результату первой главы:

Теорема 7. Пусть — особая алгебра Ли и I] — полупростая алгебра Ли. Тогда класс линейной эквивалентности произвольного вложения ц>\ ()<—» д состоит, как правило, из одного класса эквивалентности. Все исключения перечислены в таблице 1.

Таблица 1: Случаи распадений классов эквивалентности вложений в особые алгебры Ли

£1 ь

е6 513 1} «-► е6, 1р2 = сг0(р1

с2 щ: I) е6, </?2 = с ° VI

305 <р1'-ъс-+е>5, ч>2=-о°ч>\

е7 з13 + 2В!2 щ: 1) <-у Д4 + 2а}, <р2 = о°ч>1

эСз + 35(2 <р1: I) в4 4- ЗЛ1, у>2 — о о VI

е& &0 =-513,505^2 Г) <-+ е6 + а2, V2 = VI 0 (И хт)

{)о = ло8, з{3, Зз12, 4ЗГ2 V?! -' Ь <р2 — VI ° (И хг)

во5 + VI: 1} с-+ -05 + а3, V2 = VI ° (М хт)

513 VI: ь + а2, V2 = VI ° т

«1з VI: <->■ 2£>4, ц>2 = (? х М) о ^

Поясним обозначения в таблице 1: = {<Р1,...<Рк} обозначает множество представителей классов эквивалентных вложений для данного класса линейной эквивалентности вложения = щ. При описании вложения щ мы указываем регулярную подалгебру с, относительно которой щ является Б-вложением. Исключением из этого являются только случаи () = 1)о+51з С Е%, когда 1}о является либо интересной подалгеброй в Е6, либо суммой трехмерных подалгебр в £>4. Произвольный внешний автоморфизм второго порядка алгебры г обозначается через о, а алгебры I) — через г.

Следствие 1. Пусть () — полупростая подалгебра простой особой алгебры Ли д. Тогда при д ф класс линейной сопряжённости подалгебры I)

совпадает с её классом сопряжённости. В остальных случаях имеются следующие исключения:

(1) д = Ее: 1)1= 5(3, Сг, 505 — Б-подалгебры соответственно в Ев, Ев, Пь, = сг(1г)1) ;

(2) д = Es: fh = st3 — S-подалгебра в E6 + A2, f)2 = (er x Id)(f)i).

В силу результатов Либека и Сейтца6, следствие 1 известно для простых подалгебр f) С 0. Поскольку все исключения в следствии исчерпываются именно такими случаями, новым результатом является то, что для полупростых непростых подалгебр f) С 0 класс линейной сопряженности совпадает с классом сопряженности.

В разделе 1.5 вычислены нормализаторы простых подалгебр ранга больше 1 в присоединённых особых группах Ли G, точнее, группы ГXZg((j) , где группы Г — группы реализуемых внешних автоморфизмов fj. В подавляющем большинстве случаев Г вкладывается в Nc(fy), т.е. jVg((j) = Г X (Я • Zc{i))) ■ Вначале мы находим группы Zg(i)), а затем — действие группы Г на группе ZG(\)). Тем самым описываются группы Г X Za(fy) -

Централизаторы простых трёхмерных подалгебр были вычислены Алек-сеевским.10 Предложенный им способ годится, с небольшими поправками, и в нашем случае. Соответствующие результаты представлены в таблицах раздела 1.6.

Вторая глава

Вторая глава посвящена классификации полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли. В разделе 2.1 приводятся некоторые факты структурной теории полупростых вещественных алгебр Ли.11 Пусть т - полупростая вещественная алгебра Ли. Все ее максимальные компактные подалгебры сопряжены. Пусть i - одна из них и р = Е1 - ортогональное дополнение f. Линейное преобразование в, 9\t = Id, 9\f — -Id, вещественного пространства г является (инволютивным) автоморфизмом. Он называется инволюцией Картана, а разложение г = 6 ф р - разложением Картана алгебры t. Для произвольной группы G назовем два ее элемента внутренне сопряженными, если они сопряжены элементом из G°.

Пусть 0 - полупростая комплексная алгебра Ли. Ее вещественные формы, с точностью до изоморфизма, находятся во взаимно однозначном соответствии с классами сопряженности инволюций (включая тривиальную) в группе Autg, а классы сопряженности вещественных форм — с классами внутренней сопряженности инволюций. При этом всякой вещественной форме г алгебры g ставится в соответствие ее инволюция Картана, которая естественным образом продолжается до инволюции алгебры 0.

Пусть теперь f) - полупростая подалгебра полупростой комплексной алгебры Ли ß, s - некоторая ее вещественная форма с инволюцией Картана т,

10Алексеевский A.B., Группы компонент централизаторов унипотентных элементов в полупростга алгебраических группах, Труды Тбилис. мат. инст. 62 (1979), 5—27.

"Винберг Э.Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, М.: УРСС (1995).

г - вещественная форма алгебры g с инволюцией Картана 0. Если пара (г, s) является вещественной формой пары (g,l)), то инволюция г продолжается до некоторой инволюции Картана алгебры т, сопряженной в. В некотором смысле верно и обратное. А именно, положим G — Int g,

£(т, в) = {ш е Aut g: из ~ в, w(fj) = [), ~ т}.

g мс{ц)

Теорема 8 (Карпелевич7). Подалгебра s содержится в вещественной форме алгебры g, сопряженной г, тогда и только тогда, когда множество £{т, 9) непусто.

В разделе 2.2 изложен комбинаторный метод классификации (с точностью до внутренней сопряженности) инволюций в группе Aut g, где g - полупростая комплексная алгебра Ли. Фиксируем картановскую подалгебру t С g и соответствующий максимальный тор Т С G = Int д. Пусть П = -

система простых корней относительно t. Для всякого автоморфизма системы простых корней П каноническим образом строится автоморфизм алгебры д. Такие автоморфизмы алгебры д мы называем диаграммными. Всякий полупростой автоморфизм алгебры д внутренне сопряжен автоморфизму вида u/h, где ш - диаграммный автоморфизм относительно системы П, h € ТУ. Если автоморфизмы Uihi и а^Лг сопряжены в Autg, то = 0J2 (w, - диаграммные автоморфизмы, Л, е Т"', ¿ = 1,2). В этом случае, если положить и> = u>i, указанные автоморфизмы сопряжены элементом g € G таким, что gujg'1 = uh, Adg(tu) = tw, где h 6 Г".

Пусть ш - диаграммный автоморфизм алгебры g относительно системы П, до — регулярная полупростая подалгебра g с системой простых корней П". Мы получаем следующий результат.

Теорема 9. Две инволюции из шТ" внутренне сопряжены тогда и только тогда, когда их ограничения на подалгебру до внутренне сопряжены.

Теорема 9 сводит классификацию инволюций к классификации внутренних инволюций в б G. Имеем в = exp irih для некоторого элемента h е t, и для всякого абП верно a(h) б Z. Элементы ха = a(h) mod 2 не зависят от выбора /г; таким образом, имеем отображение X Э в х(в) = {ха,а € П} € Щ, где X С Т — группа инволютивных элементов. Группа Вейля W алгебры g действует на X, причем ее орбиты являются пересечениями с I орбит группы Int g. Для каждой простой алгебры g мы выводим критерий сопряженности ви дч € X в терминах х(0\), x(ßi), т. е. наборов из 0 и 1. Нал-пример, в случае g = Fi инвариантом на х(Х) = Щ, разделяющим нетривиальные W-орбиты (их две), является -значная функция ха V Xß, где а, ß € П — длинные корни. Похожие критерии приводятся и в других случаях. В частности, мы устанавливаем, что для простых алгебр g внутренняя

сопряженность инволюций из Aut g равносильна их Aut g-сопряженности за одной серией исключений. А именно, в случае g = Z?2n, п > 3 (соотв. п = 2), класс Aut g-сопряженности инволюции в, для которой д9 имеет тип Д,_1, содержит ровно два (соотв. три) класса сопряженности.

В разделе 2.3 определяется частичный порядок на множестве S = <S[g] полупростых подалгебр полупростой алгебры g. Мы полагаем I) -< р, если ()Ср и ArAUt0(f)) С TVAutg(p) • Autg-эквивариантное отображение ц: S —> <S назовем мажорантой на алгебре g, если F) -< p.(f)) для любой f) е <S. В частности, если /i(fa) = /¿(fa) = Р и fa, fa сопряжены автоморфизмом g, то существует элемент a G Aut g такой, что c(fa) = fa и ст(р) = р. Мажоранты образуют моноид относительно композиции. Мы увидим, что мажоранты представляют удобный инструмент для изучения подалгебр комплексных и вещественных алгебр Ли. Более точно, интерес будут представлять подалгебры 1)65, для которых /¿(f)) = () или g. Такие подалгебры, за исключением тривиальных 0 и g, мы будем называть \i -примитивными. Они окажутся "кирпичиками"в нашей классификации.

Далее строится мажоранта /¿[g] для любой полупростой комплексной алгебры Ли д. Это достаточно сделать для простых алгебр g и положить fi[gх © g2] = /iffli] ф /¿[g2]. Если g — классическая алгебра Ли, то положим Г2 = fil U fi2 U Пз, где fii — множество регулярных подалгебр, а также типа Вк + -Bn-i-1 в случае g = Dn ; fi2 — множество неприводимых подалгебр, заданных тензорными произведениями матричных алгебр s[jt(C), аоЦС), spfc(C), причем последние две возможности допускаются только в случаях g = so„(C) и sp„(C) ; Пз — множество неприводимых простых подалгебр, а также G2 в случае g = Du. Если g — особая алгебра Ли, то положим П = ÎÎ4 U П5 U Пб, где Г24 — множество максимальных среди полупростых подалгебр g ; fis — множество максимальных S-подалгебр, в случае g = включающее также S-подалгебру 1G\ + Af ; подалгебры fy G fig исчерпываются в списке пар (g, îj): (F4,£?4), (Ee,Di), (£7, D4 + ЗЛ1), (E7,7Ai), (E7,D24), (Es, 2Da) , [EzMi), (Е8,4А2), (Я8, ¿f). Доказывается

Теорема 10. Существует мажоранта fi — /i[fl] : 5[д] —► ft.

Более того, мы приводим формулы для ¿¿(f)) для любой (] € <S[g].

Пусть R С G — замкнутая подгруппа, причем Lie R = г С r(C) = g = Lie G. Функтор комплексификации определяет отображение множеств полупростых подалгебр <S[t] —> <S[g], спускающееся до отображения множеств орбит

где R и G действуют на <S[t] и <S[g] посредством присоединенного представления (как Ad R и Ad G). В разделе 2.4 излагается метод, позволяющий перечислить представителей всех орбит произвольного слоя отображения v.

Тем самым получается классификация полупростых подалгебр г с точностью до R-сопряженности на основе классификации полупростых подалгебр 3 с точностью до G-сопряженности. Пусть f), р G <S[g] и I) -< р. Пусть qi,...,qs € <S[t] — (различные) представители всех Л-орбит из i/-1(Gp). Положим pj = q,(C), Pi == iVG(p,), Q{ = Nü(qi), 1 < i < s. Из соотношения p, = Ad^j(p) для некоторого € G, 1 < г < s, определим fyi = Adcfc(f)). По аналогии с v, имеем естественные отображения

:<%]/<?.--+SM/.P,, 1<г<5.

Пусть q^ , 1 < j < Si, — представители всех Д-орбит слоя vt_1(Pjf)j). Нами доказывается

Теорема 11. Подалгебры qy 6 <S[g], 1 < г < s, 1 < j < s,-, являются представителями всех R-орбит слоя u~1(G()).

Теорема 11 сводит классификацию к случаю, когда I) С g — /л-примитивная подалгебра. Более того, показано, что обозначенную задачу достаточно решить в случае, когда с — простая алгебра Ли, R — Aut г, G = R(C) С Aut g. Для изучения слоев отображения v применяется следующий прием. Замечается, что v = v' о v", где

и": 5[г]/Д - <S[t]/G, и'-. 5[t]/G -» 5[g]/G -

естественные отображения. Следовательно, слои отображения и могут быть описаны посредством описания слоев и отображений ¡/ и

v" соответственно.

Пусть f) б <S[g] и 9 G Aut д — некоторая инволюция Картана алгебры t. Пусть г,, i е /, — представители всех I))-орбит инволюций г алгебры [), для которых множество £(т, 9) ке пусто. Соответствующие вещественные формы f) обозначим через Sj, г € I. Доказывается

Предложение 5. Подалгебры Sj С i), i е I, образуют множество представителей в <S[r] точек слоя T'(G\)).

Далее приводятся результаты Карпелевича, отвечающие на вопрос о непустоте множества £(т,9) в случае классической алгебры д. Рассмотение особого случая начинается с доказательства утверждения:

Предложение 6. Предположим, что подалгебра fj С g регулярна, т £ Int \), 9 € Int g. Тогда

£(т, 9) = 0 <=> Т п£(т,в) = 0.

С учетом полученных в разделе 2.2 результатов, предложение 6 позволяет найти слои отображения и' в случае € Slj. Если fj G 0 — S-подалгебра, то используется другой метод нахождения £(т, в). Всякий внутренний автоморфизм f) однозначно продолжается до внутреннего автоморфизма д. Пусть

Ь 0 -S-вложение. Выберем картановские подалгебры io С l),i С д так, что ip(io) С t. Для каждой S-подалгебры особой алгебры Ли Дынкиным указаны значения a(<p(h/?)) (при некотором выборе систем простых корней {с*;}, {(3j} в алгебрах fy, g). По этим числам можно без труда находить внутренние овеществления. Например, в случае F) = s^ получаем, что инволюция f) продолжается до инволюции со схемой равной характеристике подалгебры f) С g, где вместо 2 стоят 1.

Раздел 2.4 завершается изучением слоев г/'. Учитывая результаты Карпе-левича, фактически остается разобраться только со случаем особой алгебры д. Пусть (t,s) — вещественная форма пары (д, f)), в е Autc, г € Auts — инволюции Картана. Мы используем следующий результат Карпелевича.

Теорема 12. Точки слоя F"{Gs) находятся во взаимно-однозначном соответствии с орбитами действия Nq(ij): £(т,9).

В частности, верна

Теорема 13. Если s С t — вещественная форма S-подалгебры в д, то слой F"(Gs) состоит из одной R-орбиты.

С помощью методов теории симметрических пространств, доказывается

Теорема 14. Если f) = s(C) — максимальная полупростая подалгебра в 0 (максимальная среди полупростых), то слой Gs) состоит из одной R -орбиты.

В разделе 2.5 изучаются группы автоморфизмов полупростых вещественных алгебр Ли г. В частности, доказывается, что группа Out г = Autr/Intr внешних автоморфизмов т изоморфна полупрямому прозведению группы квазивнутренних автоморфизмов QOutt и некоторой подгруппы группы Outg.

В качестве иллюстрации изложенных методов в разделе 2.6 мы приводим схему доказательства теоремы о включениях между особыми вещественными алгебрами Ли.

Теорема 15. Имеется следующая диаграмма включений:

.в! С.

ЕУШ

Е1Х

При этом любые два включения изоморфных вещественных форм соседних элементов цепочки С?2 С .£>4 С ^ С С Е7 С Е& сопряжены.

Многие результаты главы 2 представлены в виде таблиц, которые помещены в разделе 2.7.

В заключение автор выражает благодарность своим научным руководителям профессору Эрнесту Борисовичу Винбергу и доценту Ивану Владимировичу Аржанцеву за постановку задачи и постоянное внимание к данной работе.

Работы автора по теме диссертации

1. А. Н. Минченко, Полупростые подалгебры особых алгебр Ли, Труды Московского математического общества 67 (2006), 256—293.

2. А. Н. Минченко, Триады и короткие 5<9з -подгруппы компактных групп, Успехи математических наук 62 : 5 (2007), 159—160.

3. А. Н. Минченко, О полупростых подалгебрах особых вещественных алгебр Ли, депонировано в ВИНИТИ РАН, 337-В 2008, 40 с.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М.В.Ломоносова

Подписано в печать ({ 0£ Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л.^,25 Тираж -ЮО экз. Заказу?

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Минченко, Андрей Николаевич

0 Введение

0.1 Исторические сведения и краткое описание работы

0.2 Результаты главы

0.3 Результаты главы

1 Классификация в комплексном случае

1.1 Предварительные сведения.

1.1.1 Эквивалентность и линейная эквивалентность.

1.1.2 Описание регулярных подалгебр.

1.1.3 Полные регулярные подалгебры.

1.1.4 R- и S-подалгебры

1.1.5 Одно свойство линейно сопряжённых подалгебр.

1.2 Классификация простых вложений.

1.2.1 Идентификация простых подалгебр.

1.2.2 Результат Дынкина

1.2.3 Описание таблиц 1.6-1.8.

1.2.4 Несколько замечаний

1.2.5 Случай д = Е6.

1.2.6 Случай д = Е7.

1.2.7 Случай 0 = Es.

1.3 Инварианты особых алгебр Ли.

1.4 Классификация полупростых вложений.

1.4.1 Характеристики Дынкина 3-мерных подалгебр.

1.4.2 Основная идея.

1.4.3 Случай D.".

1.4.4 Случай Е.

1.4.5 Основной результат

1.5 Нормализаторы простых подалгебр.

1.5.1 Результаты Алексеевского.

1.5.2 Нахождение групп N = Г X Z.

1.5.3 Описание таблиц 1.10-1.14.

1.5.4 Примеры нахождения группы Z — Zc(b).

1.5.5 Примеры нахождения группы N = TAZc{b)

1.6 Таблицы.

2 Классификация в вещественном случае

2.1 Предварительные замечания.

2.2 Классификация инволюций.

2.2.1 Редукция к классификации внутренних инволюцйй

2.2.2 Классификация внутренних инволюций.

2.2.3 Случай и ± Id.

2.3 Частичный порядок на множестве подалгебр.

2.3.1 Задание частичного порядка.

2.3.2 Определение \х для классических алгебр Ли.

2.3.3 Определение ц для особых алгебр Ли.

2.4 Отображение v и его слои

2.4.1 Теорема о редукции.

2.4.2 Сведение к случаю: г — простая алгебра Ли, R = Aut х,

G = R( С).

2.4.3 Классификация вещественных форм //[g] -примитивных подалгебр.

2.5 Группа автоморфизмов полупростой вещественной алгебры Ли

2.6 Вложения между особыми вещественными алгебрами Ли

2.7 Таблицы

Глава О

Введение

0.1 Исторические сведения и краткое описание работы

В диссертации решается проблема классификации с точностью до сопряженности полупростых подалгебр полупростых алгебр Ли над полями С и I. Этот вопрос актуален со времени возникновения теории С. Ли о группах преобразований и тесно связан с классификацией однородных пространств групп Ли [И]. Проблемой описания подалгебр алгебр Ли занимались многие математики.

Первый значимый прогресс в этом направлении был сделан Э. Картаном [14], [15] и Г. Вейлем [22], развившим теорию представлений полупростых комплексных алгебр Ли. Тем самым была получена классификация полупростых подалгебр в ап} Описание полупростых подалгебр других классических алгебр Ли вп, сп и dn было дано А. И. Мальцевым [10], им же частично были исследованы подалгебры особых алгебр Ли G2 и F4.

1 Поскольку группа внутренних автоморфизмов полупростой алгебры Ли раскладывается в прямое произведение соответствующих групп ее простых идеалов, для решения поставленной задачи достаточно классифицировать полупростые подалгебры простых алгебр Ли. отмечено в [4]. (Дынкин классифицировал с точностью до сопряженности обширное и важное семейство подалгебр, о чем пойдет речь ниже.) Однако полный список линейно сопряженных несопряженных полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли получен не был (в классическом случае ответ дается в работе [10]). В настоящей работе этот список найден, что в некотором смысле завершает классификацию полупростых подалгебр полупростых комплексных алгебр Ли.

Случай произвольного алгебраически замкнутого поля (с небольшими ограничениями на характеристику) был рассмотрен в [17]. А именно, были классифицированы простые подалгебры особых алгебр Ли с точностью до сопряженности, а также найдены их централизаторы.

Некоторые результаты в вопросе описания подалгебр особых вещественных алгебр Ли получены в работах [13], [23], [16], [8]. А именно, были найдены вещественные формы комплексных пар (g, fy) в некоторых специальных случаях. (Комплексная (вещественная) пара — это набор из полупростой комплексной (вещественной) алгебры Ли д и ее полупростой подалгебры f). Вещественная форма комплексной пары — это набор из вещественной формы г алгебры 0 и вещественной формы s алгебры f) такой, что s с г. Всякая вещественная пара является вещественной формой комплексной пары.) Кроме того, Комраковым был предложен метод получения вещественных форм произвольных пар, зная вышеуказанные. Это дает некий способ описания всех полу простых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли, но тем не менее, вопрос о нахождении классов сопряженности остается открытым.

2Формально Карпелевич классифицировал простые подалгебры, однако из его результатов, как мы увидим, легко вытекает и классификация полупростых подалгебр. полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли. В частности, мы получаем усиление классификации Карпелевича.

Автор выражает благодарность своим научным руководителям Э. Б. Винбер-гу и И. В. Аржанцеву за внимание к данной работе.

0.2 Результаты главы

Особые комплексные алгебры Ли представлены пятыо типами (т. е. классами изоморфности) Go > Fa, Ев , Ej и Е% .3 В отличие от классических алгебр Ли, о которых удобно говорить на языке теории представлений, особые алгебры Ли, с точки зрения классификации их полупростых подалгебр, представляют собой довольно сложный объект в смысле какого бы то ни было матричного описания. Дынкин нашел выход из этой ситуации при помощи введения понятий регулярной подалгебры и S-подалгебры.

Полупростая подалгебра в 0 называется регулярной, если она порождена некоторым множеством корневых векторов относительно некоторой карта-новской подалгебры 0. Описание множества регулярных подалгебр сводится к описанию подсистем системы корней алгебры д . Дынкин классифицировал все регулярные подалгебры с точностью до сопряженности. Оказывается, что как правило регулярные подалгебры одного типа сопряжены. Это позволяет обозначать их классы сопряженности при помощи их типов, с некоторыми уточнениями в исключительных случаях, например, А2, А2 при д = Fi или [SAiY, [ЗЛх]" при д = Е7.

Подалгебра, не содержащаяся ни в одной регулярной подалгебре, называется S-подалгеброй. Например, неприводимые подалгебры классических алгебр Ли являются S-подалгебрами, и как правило верно обратное (все исключения известны). В работе [4] классифицированы, с точностью до сопряженности, все S-подалгебры особых алгебр Ли. А именно, указаны их канонические образующие, выраженные через канонические образующие алгебры g.

3Иногда нам будет удобно к этому списку относить и D4 , что будет специально оговариваться. мой минимальной объемлющей регулярной подалгеброй). В силу того, что S-подалгебры Q\ ф 02 характеризуются тем, что их проекции на gi, 02 являются S-подалгебрами, из описания регулярных подалгебр и S-подалгебр простых алгебр Ли выводится описание множества <S[g] всех полупростых подалгебр 5 (как множества S-подалгебр регулярных подалгебр). Отметим, что несопряженные регулярные подалгебры могут содержать сопряженные S-подалгебры.

На множестве <S[g] действует группа G = Intg внутренних автоморфизмов g с конечным множеством <S[g]/C орбит (классов сопряженности). Под классификацией естественно было бы понимать перечисление представителей классов <S[g]/G, а также решение вопроса о сопряженности произвольных двух подалгебр из <S[g]. Первое выглядит проблематичным, если размерность G достаточно велика: классов сопряженности слишком много. Поэтому мы ограничимся только решением вопроса о сопряженности.

Программа Мальцева решения обозначенной проблемы состоит в следующем: классифицировать полупростые подалгебры с точностью до линейной сопряженности, а затем в каждом классе линейной сопряженности описать классы сопряженности, на которые он разбивается. Например, в смысле этой программы имеется следующая классификация в классическом случае. Пусть V — комплексное конечномерное векторное пространство g = st(V), so (У) или sp(V), t)i, f)2 С g — полупростые подалгебры, являющиеся образами вложений cpii fj —> 0, г = 1,2. Продолжение ^ до вложения в Ql{V) (представление ^ в У) обозначим через ф{, г = 1,2. Рассмотрим три условия:

CI) f)i и f)2 линейно сопряжены;

С2) ф\т ~ Ф2 для некоторого автоморфизма г £ Aut f); (СЗ) I)i и \)о сопряжены;

Из результатов работ [10], [4] непосредственно выводится

Теорема 1. Если g Ф so (V), mo все условия эквивалентны. В любом случае верны импликации (СЗ) (С1) (С2). Пусть g = so (У). Тогда условие (2) равносильно

С2!) f)2 = c(f)i); а £ Autg — автоморфизм, индуцированный ортогональным преобразованием V.

Импликация (С2') =Ф- (С1) (соотв. (С2') (СЗ)) неверна тогда и только тогда, когда представление щ не содержит нулевого веса и | det crj = —1 (соотв. нельзя выбрать tug так, чтобы ipir = cripi).

Теорема 1 дает ответы на все вопросы из программы Мальцева в классическом случае. Сформулируем известные результаты (см. [4]) относительно взаимосвязи условий (С 1)--(03) для особых алгебр д. Определение ф$ при этом обобщается следующим образом: ф-% = ptpi, i = 1,2, где р: g —> gl(V) — представление минимальной размерности.

Теорема 2. Пусть 0 — особая комплексная алгебра Ли. Тогда верны импликации (О3) (С 1) (С2) верны для всех особых алгебр JIu g. Если F)i и f)2 регулярны или типа А\, то (С 1) ~ (СЗ). Если f)i и t)o являются S-подалгебрами g, то импликация (С1) => (СЗ) неверна только в случаях g = Eq, \) ~ Ао или G2 ■ При этом 1)2 = &(Ь 1) > где a G AutE& — внешний автоморфизм.

Теорема 2 дает классификацию существенного (но не всего) множества полупростых подалгебр особых алгебр Ли. Для классификации подалгебр fj 6 <S[g] с точностью до линейной сопряженности достаточно (по той же теореме) уметь находить ограничения на fj минимального представления р алгебры g. В силу определения f) как S-подалгебры регулярной подалгебры, это сводится к нахождению ограничения р на регулярную подалгебру и, затем, ограничения полученного представления на S-подалгебру. Как правило, определение представления не вызывает труда; при этом во многих случаях ответ дан в таблицах из [4], [19].

В работе [4] был получен следующий критерий линейной сопряженности.

Теорема 3. Две полупростые подалгебры полупростой алгебры Ли линейно сопряоюены тогда и только тогда, когда их системы простых корней сопряжены.

Дынкин классифицировал с точностью до линейной сопряженности простые подалгебры особых алгебр Ли. При этом для классификации трехмерных подалгебр была использована теорема 3, а для других подалгебр — равносильность условий (01) и (С2). А именно, были рассмотрены все пары (Г, fy), где регулярная подалгебра I С g и S-подалгебра 1} С [ взяты с точностью до сопряженности (в частности, число таких пар конечно). В случае f) ~ ^(С), было найдено вложение в g полупростого элемента (характеристики) h € s lo (С) с квадратом длины 2 в терминах скалярных произведений h с простыми корнями относительно некоторой картановской подалгебры 0 . В других случаях было вычислено представление (его класс эквивалентности) р\ц. Таким образом, для каждого класса линейной сопряженности были указаны все пары ([, fj), в него входящие.

4Система простых корней полупростой алгебры Jin вкладывается в ее картановскуго подалгебру при помощи формы Картана-Киллинга.

Оказывается, почти всякий класс линейной сопряженности однозначно определяется типом Т алгебры и ее индексом (Дынкина) cl. По определению, индекс простой подалгебры — это коэффициент сжатия корней I) при вложении в g с условием, что скалярные произведения на f) и простых идеалах 0 одинаково нормированы: например, (а, а) = 2 для максимального корня а. В работе [4] доказано, что индекс является целым числом. Из теоремы 3 следует, что линейно сопряженные простые подалгебры имеют одинаковые индексы. Классы линейной сопряженности обозначаются как Td или , если первое обозначение можно отнести к нескольким классам.

Основным результатом первой главы является

Теорема 4. Классы линейной сопряженности С Eq и Af' С Eg содержат ровно два класса сопряженности, при этом в случае g = Eq последние переводятся один в другой внешним автоморфизмом g. Остальные классы линейной сопряженности полупростых подалгебр особых алгебр Ли совпадают с классами сопряженности.

Мы обозначаем классы сопряженности, на которые распадается класс линейной сопряженности L, как L( 1) и Ь(2). Все классы сопряженности простых подалгебр ранга больше 1 представлены в таблицах 1.10-1.14.

При доказательстве теоремы 4 мы пользуемся следующими соображениями. Пусть f) G <S[g]. Предположим, нам известна размерность т централизатора з((}). Пусть г — наименьший возможный ранг редуктивной алгебры Ли размерности т. Тогда существует минимальная объемлющая f) регулярная подалгебра I с 0 ранга не более rk g — г. Отметим, что число т есть кратность тривиального представления в adg|^, в частности, это инвариант класса линейной сопряженности. В случае особой алгебры g и простой алгебры f) ранга более 1 число т можно извлечь из таблицы 25 работы [4], где найдены ограничения adg|f,. Например, класс линейной сопряженности С\ С E-j, с минимальными объемлющими регулярными подалгебрами Eq и A.j, имеет т = 1, а значит, и г — 1. Следовательно, любой представитель этого класса содержится в регулярной подалгебре ранга не более б, т. е. в Eq . Таким образом, все представители сопряжены, потому что S-подалгебры типа С4 сопряжены в Eq . Для непростых подалгебр f) С g мы сводим вопрос к ее простым идеалам с помощью рассмотрения централизаторов их карта-новских подалгебр, а также теоремы 3. Оказывается, в этом случае класс линейной сопряженности совпадает с классом сопряженности.

Второй результат первой главы касается альтернативного описания полупростых подалгебр особых алгебр Ли. А именно, мы находим централизаторы 3(1)) представителей всех классов сопряженности простых подалгебр I) с g ранга более 1. Алгебры 3(f)) находятся с помощью своей известной размерности т: если мы обнаружили подалгебру fj ©3 с д и сИтз = т, то 3 = 3(f)). Алекееевским были найдены [1] группы Zintg(fj) в случае, когда f) ~ и g — особая алгебра Ли. Мы получили аналогичный результат для оставшихся простых подалгебр f) С Q теми же методами, что использовались в упомянутой работе. Более того, нами был получен образ группового нормализатора iVxntg(f)) в Aut^fy). Соответствующие результаты представлены в таблицах 1.10-1.14. Они используются нами в главе 2.

0.3 Результаты главы

В главе 2 объектом нашего исследования являются полупростые вещественные алгебры Ли и их полупростые подалгебры. Всякая полупростая вещественная алгебра Ли х допускает разложение (Картана) х = t © р, где t С г — максимальная компактная подалгебра, р = — ее ортогональное дополнение. Все такие разложения сопряжены, иными словами, все максимальные компактные подалгебры х сопряжены. При этом инволютивный оператор в на х, в\ъ — Е, в\р = —Е является автоморфизмом г; он называется инволюцией Картана алгебры х, Всякий автоморфизм алгебры х однозначно продолжается до автоморфизма ее комплексификации 0 = r(C) = г (8)® С.

Соответствие х н-» {д,0) определяет биекцию между типами полупростых вещественных алгебр Ли и классами изоморфизма пар (я, 9), или пар (д, , где q — полупростая комплексная алгебра Ли, в б Autg, в2 = 1. (Пары (gi,6i) и (52,^2) изоморфны, если существует изоморфизм a: —* 02 такой, что в2(а(х)) = а(6\(х)), х € fli.) При этом, если алгебра х проста и не имеет комплексной структуры5, то алгебра 0 также проста; в противном случае g ~ г ф г и 0 - перестановка идеалов t. Если г компактна, то в = 1. Типы некомпактных вещественных форм простых комплексных алгебр Ли перечислены в следующей таблице.

9 вв ' r slk(C) + sl„-k(C) + С su£ = suk,nk, s = n-2k\ son{C)

5pn(C), п = 2m

50П(С) 50fc(C)+50nfc(C) SOsn = S0k,n-k, S — n — 2k\

JSrtm(C), n = 2m u*mm

С) *MC)+Sp2(n-fc)(C) 5pSn = SPk,n-b S = n-2k\

5Т. е. не существует линейного оператора i": с —» с такого, что I2 = —Е и 1[х, у] = [х, 1у] (х, у € с).

С) *p2n№ g2 ai + ai , gi ai + C3, в, fi, fii

Eq ca, ai+as, de + гь f4 EI, Ell, EIII, EIV ej a7, Ai 4- De, e6 + tx EV, EVI, EVII

Ев, d8, Ai + E7 EVIII, EIX

Первым нашим результатом в главе 2 является представление нового (комбинаторного) метода описания типов пар (д,9). При этом мы классифицируем инволюции 9 не только с точностью до Autg-сопряженности, но и с точностью до lilt g-сопряженности, или (внутренней) сопряженности, что нам понадобится в дальнейшем. Мы сводим это описание к случаю простой алгебры g и в G Int д. Фиксируем картановскую подалгебру t С g и систему простых корней П С f алгебры д. Тогда в = ехр7Гih для некоторого элемента he. t, и для всякого а Е П верно a(h) G Ъ. Элементы ха = a{h) mod 2 не зависят от выбора h \ таким образом, имеем отображение X Э в ь-> х{9) = {ха, си е П} € Zrj;, где X с Int g — группа инволютивных элементов максимального тора Т С Intg, Lie Г = t, n = rkg. Группа Вейля W алгебры g действует на X, причем ее орбиты являются пересечениями с X орбит группы Int g. Для каждой простой алгебры g мы выводим критерий сопряженности Gl в терминах x(9i), , т. е. наборов из 0 и 1. Например, в случае g = F<i инвариантом на х(Х) — Щ, разделяющим нетривиальные ТУ-орбиты (их две), является йг-значная функция ха V £/з, где а, Р Е П — длинные корни. Похожие критерии приводятся и в других случаях. В частности, мы устанавливаем, что для простых алгебр g внутренняя сопряженность инволюций из Autg равносильна их Autg-сопряженности за одной серией исключений. А именно, в случае g = Dm, п > 3 (соотв. п = 2), класс Aut g-сопряженности инволюции в, для которой д9 имеет тип Ап 1, содержит ровно два (соотв. три) класса сопряженности.

Пусть R с G — замкнутая подгруппа, причем Lie Я = г С g = LieG. Функтор комплексификации определяет отображение множеств полупростых подалгебр S [г] —> <S[g], спускающееся до отображения множеств орбит u:S[t]/R^S[g}/G, где R и G действуют на S [г] и <S[g] посредством присоединенного представления (как Ad и AdG). Мы изложим метод, позволяющий перечислить представителей всех орбит произвольного слоя отображения и. Тем самым получим классификацию полупростых подалгебр t с точностью до Л-сопряженности на основе классификации полупростых подалгебр g с точностью до G-сопряженности.

Введем частичный порядок на <S[g], положив f) р, если f) с р и для всякого 9 G Autg из того, что 9(f)) = f), следует (9(р) = р. Алгебра д является наибольшим элементом относительно этого порядка. Пусть \), р € <S[g] и f) -< р. Пусть qi,.,qs & <S[t] — представители6 всех R-орбит из y~l(Gp). Положим Pi = qf(C), Р{ = NG(pi), Qi = Л^Ы, 1 < i < s. Из соотношения р* = Ad^-(p) для некоторого ^ б G, 1 < i < s, определим fji = Adgi(lj). По аналогии с z/, имеем естественные отображения

Щ - S[c\i]/Qi S[Pi\/Ph 1 <i<s.

Пусть qij, 1 < j < Si, — представители всех R-орбит слоя г/"1^^). Тогда

Теорема 5. Подалгебры q^- 6 <S[g], 1 < г < s, 1 < j < Si, являются представителями всех R -орбит слоя v~l(

§).

Подмножество П с <S[g] назовем разделяющим, если для любой подалгебры F) Е <S[g] найдется подалгебра р е fl такая, что I) р. Обнаружение теоремы 5 является важнейшим шагом в классификации подалгебр вещественных алгебр Ли. Это позволяет свести задачу к случаю () € О. Итак, задача описания слоев отображения и распадается на несколько задач:

Р1) построение разделяющего множества Q = f2[g] для произвольной полупростой комплексной алгебры Ли g ;

Р2) построение отображения —» О, I) ц(Ъ)]

РЗ) описание слоев v в случае G Q;

Р4) определение групп AdP, AdQ, где Р — No(fy), Q = Nr(s) , 5 — произвольная вещественная форма алгебры \) е П, лежащая в R.

В данной работе эти вопросы решаются, однако, (РЗ) и (Р4) — с некоторыми пробелами, которые мы надеемся заполнить в последующих публикациях. Проблема (Р1) легко сводится к случаю простых алгебр g, для которых мы получаем следующий результат. Если g — классическая алгебра Ли, то положим Q = Qi U П2 U Q3, где Г^х — множество регулярных подалгебр, а также типа + Дг-/г-1 в случае, g = Dn; Clo — множество неприводимых подалгебр, заданных тензорными произведениями матричных алгебр ^-(С), S0k(C), spfc(C), причем последние две возможности допускаются только в случаях g = son(C) и spn(C); Пз — множество неприводимых простых подалгебр, а также G2 в случае g = D4. Если g — особая алгебра Ли, то

6Когда речь идет о множестве представителей, предполагается, что они представляют различные орбиты. положим Г2 = U П5 U Qe j где П4 — множество максимальных среди полупростых подалгебр g; fi5 — множество максимальных S-подалгебр, в случае 9 = Е$ включающее также S-подалгебру 20\+А\ \ подалгебры I) € Пб исчерпываются в списке пар (g, fj): (Р4, D4), (Е&, D4), (£7, D4 -f 3Ai), (E7, 7Ai),

8Ax), (£?8,4A2), (£8,^f).

Теорема 6. Построенные множества О = Г2[д] являются разделяющими.

Комраков [8] построил разделяющие множества, которые совпадают с нашими в случае особых алгебр g. Подалгебры из этих множеств были названы почти-примитивными подалгебрами. Они представляют собой предмакси-мальные элементы относительно выбранного выше упорядочения <S[g]. Однако с практической точки зрения результат Комракова представляется мало полезным, поскольку вопрос (Р2) (а также остальные вопросы) оставался незатронутым. Мы решаем задачу (Р1) одновременно с (Р2). А именно, формула fi в классическом случае приводится для произвольных подалгебр f) € <S[g], а в особом — только для изотипных подалгебр (табл. 2.4). Этого достаточно, чтобы определить /л на остальных подалгебрах.

Предполагая задачу (Р4) решенной, мы сводим (РЗ) к случаю R = Autt, G = Я(С) с Autg, х проста. В этом случае задача (рз) фактически решена Карпелевичем [6] для I) £ , ; оставшийся классический случай f) б оказывается довольно простым. Для особых алгебр g задача (РЗ) решается в случаях f) G ^4,^5. Наш метод основан на представлении и в виде композиции v" о у', где i/: S[x}/G S[q\/G, v": 5[г]/Д S[x]/Gестественные отображения. (Хотя группа G не действует на г, на х определено отношение G-сопряженности.) Таким образом, задача (РЗ) разбивается на две подзадачи:

РЗ') найти представителей классов эквивалентности в слоях отображения

РЗ") найти представителей Л-орбит слоев отображения и";

Пусть f) G <S[g], 9 G Autg — некоторая инволюция Картана алгебры х. Рассмотрим множество £(т,9) инволюций 9' G Autg, внутренне сопряженных 9, таких, что в'(Ц) = F} и инволюция Nq{\)) -сопряжена т. Пусть п, i G /, — представители всех Ng

§) -орбит инволюций г алгебры I), для которых множество £(т,9) не пусто. Соответствующие вещественные формы f) обозначим через , г G /.

Теорема Т. Подалгебры Si С J), г G I, образуют множество представителей в <S[t] классов из слоя v'~l(G()).

Опять же, предположив задачу (Р4) решенной, задача (РЗ') сводится к проблеме определения множеств £(т,9). Мы решаем эту проблему для fy £ (см. табл. 2.6-2.9). Вопрос (РЗ") решается при помощи следующего утверждения.

Теорема 8. Пусть $ £ г, f) = 5(C) € <S[g], Если f) максимальна среди полупростых подалгебр либо является S-подалгеброй, то слой состоит из одной R-орбиты.

В случае S-подалгебры f), теорема 8 была доказана Карпелевичем [6]. В общем случае им же в основном (с нашими дополнениями) получена

Теорема 9. R -орбиты слоя fi"~l(Gs) находятся во взаимно-однозначном соответствии с орбитами действия Nq(fy): £(т,9).

Соответствие, о котором идет речь в теореме 9, указано в тексте работы.

Таким образом, задача классификации решена по модулю (Р4) и (РЗ) для f) € Qq • В последнем разделе мы изучаем группу автоморфизмов полупростой вещественной алгебры Ли. Это создает почву для последующего решения проблемы (Р4).

Введение диссертация по математике, на тему "О полупростых подалгебрах особых алгебр ЛИ"

0.1 Исторические сведения и краткое описание работы

Идея Мальцева использовать теорию представлений для классификации подалгебр, была реализована Е. Б.Дынкиным в работе [4] для классификации полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли. А именно, Дын-кин рассматривал классификацию с точностью до линейной сопряженности. (Подалгебры f)i и 1)2 алгебры Ли д называются линейно сопряженными, если для любого линейного представления алгебры g образы подалгебр fji и 1)2 сопряжены в алгебре матриц.) Сопряженные подалгебры линейно сопряжены, и в подавляющем большинстве случаев верно обратное, как было1 Поскольку группа внутренних автоморфизмов полупростой алгебры Ли раскладывается в прямое произведение соответствующих групп ее простых идеалов, для решения поставленной задачи достаточно классифицировать полупростые подалгебры простых алгебр Ли.отмечено в [4]. (Дынкин классифицировал с точностью до сопряженности обширное и важное семейство подалгебр, о чем пойдет речь ниже.) Однако полный список линейно сопряженных несопряженных полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли получен не был (в классическом случае ответ дается в работе [10]). В настоящей работе этот список найден, что в некотором смысле завершает классификацию полупростых подалгебр полупростых комплексных алгебр Ли.

Имея классификацию в комплексном случае, естественно попытаться получить таковую и для поля вещественных чисел. В предположении, что известна классификация с точностью до сопряженности полупростых подалгебр комплексной полупростой алгебры g, а также известны их нормализаторы в Intg, Ф. И. Карпелевич [6] предложил метод получения классификации с точностью до квазисопряэюенности полупростых подалгебр вещественных форм алгебры д. (Если г — вещественная форма то 5i,52 с г квази-сопряжены, если существует автоморфизм ip £ Intg такой, что cp(t) = г и ip{s\) — so). Таким^образом им была получена классификация с точностью до квазисопряженности полупростых подалгебр классических вещественных алгебр Ли.2Некоторые результаты в вопросе описания подалгебр особых вещественных алгебр Ли получены в работах [13], [23], [16], [8]. А именно, были найдены вещественные формы комплексных пар (g, fy) в некоторых специальных случаях. (Комплексная (вещественная) пара — это набор из полупростой комплексной (вещественной) алгебры Ли д и ее полупростой подалгебры f). Вещественная форма комплексной пары — это набор из вещественной формы г алгебры 0 и вещественной формы s алгебры f) такой, что s с г. Всякая вещественная пара является вещественной формой комплексной пары.) Кроме того, Комраковым был предложен метод получения вещественных форм произвольных пар, зная вышеуказанные. Это дает некий способ описания всех полу простых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли, но тем не менее, вопрос о нахождении классов сопряженности остается открытым.

В настоящей диссертации излагается несколько отличное от предыдущего описание вещественных форм произвольных комплексных пар, а также дается классификация с точностью до сопряженности (и квазисопряженности)2Формально Карпелевич классифицировал простые подалгебры, однако из его результатов, как мы увидим, легко вытекает и классификация полупростых подалгебр.полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли. В частности, мы получаем усиление классификации Карпелевича.

Отметим также работу [20], где классифицированы с точностью до сопряженности картановские подалгебры вещественных полупростых алгебр Ли. (Как известно, в комплексных полупростых алгебрах Ли все картановские подалгебры сопряжены.)Автор выражает благодарность своим научным руководителям Э. Б. Винбер-гу и И. В. Аржанцеву за внимание к данной работе.

0.2 Результаты главы 1Особые комплексные алгебры Ли представлены пятыо типами (т. е. классами изоморфности) Go > Fa, Ев Ej и Е%.3 В отличие от классических алгебр Ли, о которых удобно говорить на языке теории представлений, особые алгебры Ли, с точки зрения классификации их полупростых подалгебр, представляют собой довольно сложный объект в смысле какого бы то ни было матричного описания. Дынкин нашел выход из этой ситуации при помощи введения понятий регулярной подалгебры и S-подалгебры.

Полупростая подалгебра в 0 называется регулярной, если она порождена некоторым множеством корневых векторов относительно некоторой карта-новской подалгебры 0. Описание множества регулярных подалгебр сводится к описанию подсистем системы корней алгебры д. Дынкин классифицировал все регулярные подалгебры с точностью до сопряженности. Оказывается, что как правило регулярные подалгебры одного типа сопряжены. Это позволяет обозначать их классы сопряженности при помощи их типов, с некоторыми уточнениями в исключительных случаях, например, А2, А2 при д = Fi или [SAiY, [ЗЛх]" при д = Е7.

Поскольку отношение регулярности транзитивно (регулярная подалгебра регулярной подалгебры g регулярна в 0), всякая полупростая подалгебра g является S-подалгеброй некоторой регулярной подалгебры g (называе3Иногда нам будет удобно к этому списку относить и D4 что будет специально оговариваться.мой минимальной объемлющей регулярной подалгеброй). В силу того, что S-подалгебры Q\ ф 02 характеризуются тем, что их проекции на gi, 02 являются S-подалгебрами, из описания регулярных подалгебр и S-подалгебр простых алгебр Ли выводится описание множества <S[g] всех полупростых подалгебр 5 (как множества S-подалгебр регулярных подалгебр). Отметим, что несопряженные регулярные подалгебры могут содержать сопряженные S-подалгебры.

Теорема 1 дает ответы на все вопросы из программы Мальцева в классическом случае. Сформулируем известные результаты (см. [4]) относительновзаимосвязи условий (С 1)--(03) для особых алгебр д. Определение ф$ приэтом обобщается следующим образом: ф-% = ptpi, i = 1,2, где р: g —> gl(V) — представление минимальной размерности.

Теорема 2. Пусть 0 — особая комплексная алгебра Ли. Тогда верны импликации (О3) (С 1) (С2) верны для всех особых алгебр JIu g. Если F)i и f)2 регулярны или типа А\, то (С 1) (СЗ). Если f)i и t)o являются S-подалгебрами g, то импликация (С1) => (СЗ) неверна только в случаях g = Eq, \) Ао или G2 ■ При этом 1)2 = &(Ь 1) > где a G AutE& — внешний автоморфизм.

В работе [4] был получен следующий критерий линейной сопряженности.

Оказывается, почти всякий класс линейной сопряженности однозначно определяется типом Т алгебры и ее индексом (Дынкина) cl. По определению, индекс простой подалгебры — это коэффициент сжатия корней I) при вложении в g с условием, что скалярные произведения на f) и простых идеалах 0 одинаково нормированы: например, (а, а) = 2 для максимального корня а. В работе [4] доказано, что индекс является целым числом. Из теоремы 3 следует, что линейно сопряженные простые подалгебры имеют одинаковые индексы. Классы линейной сопряженности обозначаются как Td или если первое обозначение можно отнести к нескольким классам.

Основным результатом первой главы являетсяТеорема 4. Классы линейной сопряженности С Eq и Af' С Egсодержат ровно два класса сопряженности, при этом в случае g = Eq последние переводятся один в другой внешним автоморфизмом g. Остальные классы линейной сопряженности полупростых подалгебр особых алгебр Ли совпадают с классами сопряженности.

Второй результат первой главы касается альтернативного описания полупростых подалгебр особых алгебр Ли. А именно, мы находим централизаторы 3(1)) представителей всех классов сопряженности простых подалгебр I) с gранга более 1. Алгебры 3(f)) находятся с помощью своей известной размерности т: если мы обнаружили подалгебру fj ©3 с д и сИтз = т, то 3 = 3(f)). Алекееевским были найдены [1] группы Zintg(fj) в случае, когда f) и g — особая алгебра Ли. Мы получили аналогичный результат для оставшихся простых подалгебр f) С Q теми же методами, что использовались в упомянутой работе. Более того, нами был получен образ группового нормализатора iVxntg(f)) в Aut^fy). Соответствующие результаты представлены в таблицах 1.10-1.14. Они используются нами в главе 2.

Пусть qij, 1 < j < Si, — представители всех R-орбит слоя г/"1^^). ТогдаТеорема 5. Подалгебры q^- 6 <S[g], 1 < г < s, 1 < j < Si, являются представителями всех R -орбит слоя vl(G§).

Теорема 6. Построенные множества О = Г2[д] являются разделяющими.

Теорема Т. Подалгебры Si С J), г G I, образуют множество представителей в <S[t] классов из слоя v'l(G()).

В случае S-подалгебры f), теорема 8 была доказана Карпелевичем [6]. В общем случае им же в основном (с нашими дополнениями) полученаТеорема 9. R -орбиты слоя fi"l(Gs) находятся во взаимно-однозначном соответствии с орбитами действия Nq(fy): £(т,9).

Соответствие, о котором идет речь в теореме 9, указано в тексте работы.

В заключение приведем одно красивое утверждение, которое может быть доказано методами, изложенными в настоящей работе.

Теорема 10. Имеется следующая диаграмма включений:GI Gc504,4 503,5EIIEVIIIS08EIVEIXПри этом любые два включения изоморфных вещественных форм соседних элементов цепочки G2 с D4 с р4 с Е^ с Ej с Eg сопряжены.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Минченко, Андрей Николаевич, Москва

1. Алексеевский А. В., Группы компонент централизаторов унипотент-ных элементов в полупростых алгебраических группах, Труды Тбилис. мат. инст. 62 (1979), 5-27.

2. Винберг Э.Б., Группа Вейля градуированной алгебры Ли, Изв. АН СССР, сер. мат. 40 : 3 (1976), 488-526.

3. Винберг Э.Б., Онищик A. JI. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, М.: УРСС (1995).

4. Дынкин Е. Б., Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли, Матем. сб. 30(72) : 2 (1952), 349-462.

5. Дынкин Е. Б., Максимальные подгруппы классических групп, Труды Моск. мат. общ. 1 (1952), 39-166.

6. Карпелевич Ф.И., Простые подалгебры вещественных алгебр Ли, Труды Моск. мат. общ. 4 (1955), 3—112.

7. Кац В. Г., Автоморфизмы конечного порядка полупростых алгебр Ли, Функц. анализ 3 : 3 (1969), 94—96.

8. Комраков Б. П., Редуктивные подалгебры полупростых вещественных алгебр Ли, ДАН СССР 308 : 3 (1989), 521-525.

9. Доан Куинь, Полиномы Пуанкаре компактных однородных римановых пространств с неприводимой стационарной группой, Тр. сем. вект. тенз. ан. 14 (1968), 33-93.

10. Мальцев А. И., О полупростых подгруппах групп Ли, Изв. АН СССР, сер. мат. 8 : 4 (1944), 143-174.

11. Онищик А. Л., Топология транзитивных групп преобразований, Физ-матлит, Москва, 1995.

12. Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, М.: Мир (1964).

13. Berger М., Les espaces symetriques noncompacts, Ann. Ее. Norm. 74 (1957), 85-177.

14. Cartan Ё., Sur la structure des groupes des transformations finit et continus, Thesis, Paris, 1894.

15. Cartan Ё., Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplied plane, Bull. Soc. Math. Prance 41 (1913), 53—96.

16. Gray A., Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3, Diff. Geoin. 7 (1972), 343-369.17| Liebeck M.W., Seitz G. M., Redictive subgroups of exceptional algebraic groups, Mem. Amer. Math. Soc. 121 : 580 (1996), 1—111.

17. Losev IV., On invariants of a set of elements of a semisimple Lie algebra, arXiv:math.RT/0512538 (2005).

18. McKay W. G., Patera J., Tables of dimensions, indices, and branching rules for representations of simple Lie algebras, Lecture notes in pure and applied mathematics 69 (1981).

19. Sugiura M., Conjugate classes of Cartan subalgebras in real semisimple Lie algebras, J. Math. Soc. Japan 11 : 4 (1959), 374—434.

20. Vinberg E. В., Short SO3 structures on simple Lie algebras and the associated quasielliptic planes, Amer. Math. Soc. Transl. 213 (2005), 243— 270.

21. Weyl H., Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen, Math. Zeitschr. I—23 (1925), 271—309; II— 24 (1926), 328—376; III—24 (1926), 377-395. Русский перевод (неполный) в УМН, вып. 4 (1938), 201-257.