Однородные пространства, близкие к симметрическим тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Осипенко Лариса Анатольевна

Однородные пространства, блшзкие ж симметрическим

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фшихо-математичесжих наук

Омск — 1996

Работа выполнена на кафедре геометрии Иркутского государственного университета

Научный руководитель - доктор фиоико-математических наук,

профессор П.Я. Грушко.

Официальные оппоненты - доктор фиоико-математических наук,

профессор В.Н. Берестовский, кандидат фиоико-математических наук, доцент A.C. Штерн .

Ведущая органиоацня - Институт Математики СО РАН.

Защита состоится 5 марта 1996 г. в 15 часов на (заседании специализированного Совета К 064.36.02. при Омском государственном университете по адресу: 644077 г. Омск, пр.Мира 55-А.

С диссертацией можно оонакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан " ЛМЛсЛЬт^ г.

Ученый секретарь специализированного совета, /7 доктор фио.-мат. наук: /ТЩо****"^1'-

В.А. Романьков.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время риманова, эрмитова и симплектическая геометрии являются хорошо поученными областями и их теория глубоко разработана. В частности, ото касается симметрических и периодических пространств. Представляет интерес рассмотреть другие О-структуры с точки орения наличия симметрии различных порядков. В частности, ото может дать новую точку орения на место классических структур среди пространств общего типа.

Как новестно, группа автоморфизмов структуры конечного типа является группой Ли. В результате, изучение транзитивных структур конечного типа сводится к задачам но геометрии однородных пространств групп Ли. Полное описание и классификация однородных пространств, у которых группа изотропии неприводимо действует на касательном пространстве приведены в работах О.В. Мантурова 2) и Дж. Вольфа Однако возникает вопрос: в каких случаях линейная группа иоотропии однородного пространства С/Со, где С Э Со — связные группы Ли, содержится в некоторой неприводимой группе £/?

Будем называть неприводимое представление связной группы Ли 0 в пространстве V стандартным, если полупростая компонента 0 является простой классической вещественной группой Ли и V представление минимальной размерности.

1 Мантуров О.В. Об однородных римановых пространствах с неприводимой группой вращении // ДАН СССР.- 1961- т. 141, N 4,- С. 792-795.

2Маятуров О.В. Римановы пространства с неприводимой группой вращений и ортогональными и ашплектггескими группами движении.//ДАН СССР - 1961- т.141, N 5.- С.1034-1037.

3Малтуров О.В. Однородные римановы пространства, с неприводимой группой вращений.// Тр. семинара, по векторному л тензорному анализу. - МГУ, 1966. - Вып. 13. - С.68-145.

4Wolf J. The geometry and structure of iaotropy irreducible homogeneous spaces.// Acta Math. - 1968. - V.120, 1-2. - p.59-148.

Наибольшее ршзнообраоие вооможностей получается в случае стандартных представлений группы 0. Все нестандартные варианты могут быть описаны. Так случай, когда Со — компактные группы Ли одного и того же ранга рассмотрен Грушко П.Я.1) Некоторые другие случаи нестандартных неприводимых расширении группы изотропии рассмотрены в данной диссертации. Прн этом локальные проблемы приводят к изучению пар алгебр Ли и их автоморфиомов конечного порядка.

Цель работы. Пусть Ь— комплексная полупростая алгебра Ли, / — периодический периода г автоморфиом алгебры Ь, ¿о — подалгебра в 2/, инвариантная относительно / и содержащая множество неподвижных точек автоморфиома /, е : Ьо -н► Епй{Ь/Ьо) — представление шзотропнн.

Предположим, что обрао е(Ь0) в Еп(1{У), где V' = Ь/Ь0, может быть расширен до некоторой алгебры Ли (?, представление которой в пространстве V' не является стандартным. Другими словами, должны существовать некоторое нестандартное представление V алгебры Ли О, линейный иооморфиом 1:У —► V и гомоморфном алгебр Ли /¿¡.¿о -+ Сз такие, что

I дь = кд д € Ь0 , V £ V'.

В работе ставится оадача описания соответствующих наборов (2/, Ьо, (?, V) в следующих случаях :

1. ¿о — нередуктивная подалгебра максимального ранга в Ь и С-модуль V неприводим.

Случай, когда Ьа является редуктивной подалгеброй максимального ранга рассмотрен Грушко П.Я.

2. Ь — простая алгебра Ли, / - внешний периодический автоморфиом, £о редуктивная подалгебра в Ь (гапк£0 < гапкЬ).

'Грушхо П.Я. Сцециальжые сжстеыы.// Вопросы теории груяя ж гомо-поигчесхож алгебры. - Ярославль, 1983.- С. 43-49.

Предложенный в работе метод классификации для случая, когда Lo является нередуктивной подалгеброй в £, приводит к громоодким выкладкам и может быть рассмотрен в дальнейших работах.

3. L — Рт, где Р — простая алгебра Ли,

f{xi,... , Xr-i, хт) = f(xT ,ая,... , *r_i), xí e Р.

и G является простой алгеброй Ли.

Часть результатов для случая, когда полупростая компонента G не является простой получена Грушхо П.Я.

Научная новизна н практическая ценность. Реоуль-таты работы являются новыми. Их можно интерпретировать на яоыке геометрических структур для описания некоторых классов G-струк- тур с неприводимой структурной группой.

Апробация. Реоульты, приведенные в диссертации, докладывалась и обсуждалась на ежегодных конференциях ИГУ (1983-1986 гг.), на II и III конференциях молодых ученых ИГУ (1984, 1985 гг.), на VIII и IX Всесогооных геометрических конференциях (Одесса, 1984 г., Кишинев, 1988 г.), на международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989г.), на семинаре кафедры алгебры и геометрии Минского госуниверситета (1985 г.), на V Школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1990 г.), а также на городском геометрическом семинаре (Иркутск, 1983-1995 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, две ио которых совместные. Ио совместных работ в диссертации испольоованы реоультаты, полученные лично автором.

Структура и объем. Диссертация состоит ио введения, двух глав, раобитых на 7 параграфов и пяти таблиц. Работа положена на 87 страницах. Список литературы содержит 36 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснованы актуальность темы, цель работы, дан краткий обоор работ советских и оарубежных математиков, непосредственно примыкающих к теме диссертации, кратко иоложено содержание работы по главам.

В первой главе предполагается, что ¿о является нередукти-вной подалгеброй максимального ранга в Ь, а структурное представление неприводимо и не является стандартным. В этом случае О имеет одномерный центр, то есть С = Р + где Р - полу простая алгебра Ли, центр.

В §1 докапывается, что если Р является простой алгеброй Ли, то для решения поставленной оадачи достаточно рассмотреть относительно структурного представления следующие возможности:

1) фундаментальные представления простых классических алгебр Ли;

2) случай, когда V = БкСп , <7 = д1(п, С);

3) представления особых алгебр Ли, не имеющие кратных и нулевых весов.

Кроме того, доказывается, что в этом случае алгебра Ь является простой алгеброй Ли.

Бели полупростая компонента алгебры не является простой, то есть

»=1 »=1 где 1У» — неприводимые представления простых алгебр Ли Д и к(Х0) С Оу то полагаем

= §) И^, Щ = \УГ, а = «/(гщ, С) + в1(т2) С) + 2 , ¿=1

где пц = (Ит№{. Тогда «(¿о) С С. Если мы опишем все пары (Ь , Хо), соответствующие С, то для получения полного списка достаточно перечислить все неприводимые подалгебры С

такие, что к(Ьо) С (? С (?'. Эта оадача решается в §2. Доказывается следующая теорема:

Пусть С1 — одномерный центр, а N — нильрадикал алгебры ¿о-

Теорема 1. Если полупростая компонента алгебры Ли <7 не является простой, то возможны только следующие наборы (£, ЬоУ V):

1. I = , ¿о = Ар-1 + + С1 + N,

О = в1{р} С) + */(?, С) + 2 , У = р,9>2;

2. I = Ср+7+1, и = Ср + ся + с1 + я,

в = в/(2р + 1, С) + д/(2д + 1, С) + г, 7 = С2?*1 ® С&+1.

Структура нильрадикала N определяется соответственно формулами (6) и (7) из §2 главы 1.

В следующих трех параграфах рассматриваются фундаментальные представления простых классических алгебр Ли. В частности, в §3 оадача решается для случая, когда V = Д2СП, п > 3, который является наиболее сложным в том смысле, что не накладывает никаких ограничений на ранг алгебры Ь.

Если V = Д* С1, к > 2, то ио соображений раомерности к не может быть больше 4. Если же к = 3 или к = 4, то, как показано в §4, соответствующие наборы (£, ¿о) не существуют.

Спинорные структурные представления рассматриваются в §5, а симметричная степень представлении — в §6. Представления особой структурной алгебры, не имеющие кратных и нулевых весов рассматриваются в §7.

Реоультаты полученные в §§3-7 сформулированы в виде следующей теоремы:

Теорема 2. Если полупростая компонента алгебры Ли С? является простой алгеброй Ли, то возможны только следующие наборы (Ь, Ьо, О, V):

1. 1 = Д,, Ь0 = А1-1 + С1 + М= 91(1+1,С), V = У(и2),

2. L= D[t ¿0 = At-i + Gl + N} G — gl(l, C), V = S. L=E6> Lo = Ds + C1 + Ni G=D6 + Z, V=V{ub), где N ^ V{u<) \

I L = Q, Lq = A1-1 + N, G = gl(l>C), V=V(2ul), где N a PC1*;

5. L=EU L0 = E6 + C1 + N)G=E6 + Z, V^Vfa), где N ii V(wx).

В первых двух случаях структура нильрадикала определяется соответственно формулами (20) и (21) из главы 2.

Все результаты, полученные в первой главе сведены в таблицу 4 в конце работы.

Во »торой гпдм предполагается, что в условиях поставленной оадачи автоморфиом / является внешним периодическим автоморфизмом, т.е. rankLo < rank L.

В §§1-5 главы 2 описаны наборы (L, > G, V) в случае, когда L — Рг, где Р - простая алгебра Ли,

/(«! , . . . , 35,-1 > *г) - («г I «1 , • • • » ar,_l) , Xi € Р,

и алгебра G является простой. Множество неподвижных точек автоморфизма / состоит ив элементов вида (ас, х,... х) С L , х £ Р ж является алгеброй Ли, изоморфной /\ Подалгебра Lo в данном случае совпадает либо с L, либо с множеством неподвижных точек автоморфизма /. В первом случае оадача не имеет смысла. Следовательно, Lq ~ Р; V ~ Рг_1. В §1 описывается общий подход к решению поставленной оадачи.

В §2 докаоывается, что старший вес структурного представления либо является фундаментальным, либо равен сумме двух фундаментальных весов. Каждый но от их случаев для классической алгебры G рассмотрен соответственно в §§3 и 4. Случаи особой алгебры Ли рассматривается в §5. Полученные результаты сформулированы *з виде следующей теоремы.

Теорема 3. Если L = Рт, где Р — простом алгебра Ли над полем комплексных чисел и G - простая алгебра Ли, то возможны только следующие наборы (L, Lq, G, V): 1. Р = Вт , U = Вт, G = А2т, V = V(oj2) ,

г = 2;

S. P = Dm,(m> 2) L0 = Dm, G = A2m~i, V = V(cj2) ,

r = 2;

S. P = Cm, L0 = Cm, G = A2m-1, V = V(2u)1),

r-2;

4. P = A2, L0 = A2, G = B[,(l>3),V = V{un),

г = 2'"3 + 1;

5. P = A2> Lo = A2) G = A,(i>3), V=K(«i),

r = 2f"4 + l.

. В следующих двух параграфах рассматривается случай, когда L — простая алгебра Ли. При этом предполагается, что Lq — редуктивная подалгебра в L (rank Lq < rank L).

Если L — простая алгебра Ли, то, как известно, L является либо классической алгеброй типов Ai и Di, либо особой алгеброй типа Ее.

В §6 главы 2 рассматривается случай, когда L = Dt либо L = Ее. В §7 доказывается, что если L является простой классической алгеброй Ли типов Ai и D\ (I > 4) и полупростая компонента G является простой, то редуктивных подалгебр Lq, имеющих неприводимые расширения не существует.

Реоультаты, полученные в §§6 и 7 второй главы сформулированы в виде следующей теоремы:

Теорема 4. Если L — простая алгебра JIu, Lq -редуктивная подалгебра (rank Lq < rank L), то возможны только следующие наборы (L, Lq, G, V) :

1. L = D<, Lq = G2, G=*/(2) + W(7), V = C2<g>C7;

2. L = Ee, L0 = Da, G = W(2)+W(26), V =

3. L = Ев, L0 = C<, G = C<, V = f(u/4);

4. L = E6, Lo = F*, G= V = V(«4).

Все результаты, полученные во второй главе, сведены в таблицу 5 в конце работы.

Публикации автора по теме диссертации.

1.Осипенко Л.А. Об одном классе нередуктивных подалгебр максимального ранга в комплексных полупростых алгебрах Ли. /Иркут. ун-т.- Иркутск, 1984 - 18с. - Деп. в ВИНИТИ 6.07.84, N 4753-84.

2. Осипенко Л.А. Специальные нередуктивные системы // Иов. Вузов. Сер. матем- 1986, N 6 - С. 64-65.

3. Осипенко Л.А. Специальные нередуктивные системы // Дифф. геометр, однородных пространств. — Иркутск, Иркут. ун-т, 1988. - С.5-16.

4. Осипенко Л.А. Некоторые классы внешних периодических автоморфизмов //IX Всесоюзная геометрическая конференция: Тез. сообщ./ Кишинев: Штиинца, 1988г - С.233-234.

Б.Грушко П.Я., Осипенко Л .А. Некоторые подалгебры полупростых алгебр Ли // Междунар. конф. по алгебре, посвященная памяти А.И.Мальцева: Тез. докл. по теории колец, алгебр и модулей / Новосиб. ун-т. - Новосибирск, 1989. - С.41.

6. Осипенко Л.А. Некоторые подалгебры, устойчивые относительно внешних автоморфизмов // V Школа молодых математиков Сибири и Дальнего Востока: Тез. докл. / Новосиб. ун-т. - Новосибирск, 1990. - С.85-86.

7. Осипенко Л.А. Вполне параллелеоуемые компактные периодические пространства // Дифф. геометр, пространств с фундаментальной группой. - Иркутск, 1990. - С.39-52.

8. Grushko Р. Ya., Osipenko L.A. On Subalgebras of Maximal Rank of Semisimple Lie Algebras // Amer. Math. Soc. Transi. (2) vol.163,1995. - P. 47-60.