Проективные представления симметрических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Формула для размерности косой сдвинутой диаграммы Юнга и ее приложение

1.1. Алгебра супер симметрических функции

1.2. Формула для размерности косой сдвинутой диаграммы Юнга

1.3. Доказательство формулы для характеров бесконечной спин-симметрической группы

Глава 2. Комбинаторная формула для фактори-альных Q-функций Шура

2.1. Правило отщепления переменной для факториаль-ных Q-функций Шура

2.2. Комбинаторная формула

Глава 3. Гауссовский предел для проективных характеров больших симметрических групп

3.1. Спин-симметрическая группа и группа Сергеева

3.2. Умножение классов сопряженности в группах Сергеева

3.3. Меры Планшереля на множестве проективных представлений симметрических групп

Конечные симметрические группы Sn относятся к числу фундаментальных объектов математики. Характеры неприводимых представлении групп Sn были описаны Фробениусом в 1900 году. Они параметризуются всевозможными разбиениями Л числа п. Классы сопряженных элементов в Sn также параметризуются произвольными разбиениями числа п. Фробениусом была найдена формула

Рр = А

Здесь Хр — значение неприводимого характера %А на классе сопряженности с индексом а рр и s\ — некоторые симметрические функции. А именно, • • •) СУТЬ функции Шура. Они образуют базис в пространстве однородных симметрических функций степени п. Функции рр суть произведения сумм Ньютона: ррOi, х2,.) = (J] Ql ' • • •

Они образуют другой базис в том же самом пространстве. Формула Фробениуса показывает, что таблица характеров группы Sn есть матрица перехода между двумя естественными базисами в симметрических функциях. Этот результат позволяет изучать характеры средствами алгебраической комбинаторики (теории симметрических функций).

Обозначим через Sqq индуктивныи предел групп Sn, отвечающий естественным вложениям Sn в Sn+1. Группу Sqo можно реализовать как группу всех финитных перестановок натурального ряда {1,2,3,.}. с*то один из важнейших примеров счетной локально-конечной группы. Мы будем называть 5оо бесконечной симметрической группой.

В 1964 году в своей работе [52] Тома описал характеры группы S0с. Все представления Sqo (кроме двух одномерных) бесконечномерны. Их характеры нельзя определять так, как это делается в теории конечномерных представлений. Тома определял характер как неразложимую центральную положительно определенную нормированную функцию. Идея этого определения восходит к фон Нейману. Тома показал, что характеры группы So© параметризуются точками некоторого бесконечномерного симплекса fi. Точкой и> £ Q является пара последовательностей (а,/?), где а = («1 > «2 > • • • > 0), (3 = (А > 02 > '' • > 0), ]Г сц + ]Г& < 1

Классы сопряженности в S^ задаются произвольными последовательностями целых чисел вида р = 0>1,Р2,-.-,М,.-)> Pi > Р2 >---

Тома получил формулу для значения характера хш на классе Ср:

Лс,= П рр*(О\Р)> к:рк>1 где оо оо гп >2. г=1 г=1

В отличие от теоремы Фробениуса результат Тома дает явную формулу для значения характеров. Характеры Sqq устроены одновременно и проще, и сложнее, чем характеры группы 5Я. С одной стороны, они параметризуются бесконечномерным пространством. С другой стороны, для них получается совершенно явная формула.

Доказательство Тома использовало довольно сложную аналитическую технику. Как выяснилось впоследствии, теорема Тома эквивалентна описанию так называемых вполне положительных последовательностей, которое было получено Эдреи еще в 1954 году в [23] близкими методами.

В 1981 году в [4] Вершик и Керов вывели теорему Тома совершенно другим способом. Их идея состояла в получении характеров группы Soo как пределов нормированных неприводимых характеров групп Sn при п —} оо. Одно из преимуществ этого подхода состоит в том, что параметры Тома с^, приобретают наглядный смысл.

Работа Вершика и Керова [4] содержала ряд важных идеи, позволивших по новому взглянуть на традиционную теорию представлений. В частности, Вершик и Керов поставили вопрос об асимптотическом поведении Хр при фиксированном р и растущем Л. Более точно, пусть р — фиксированное разбиение числа к, а Л — разбиение большого числа п, меняющееся по мере роста п. Вопрос состоит в асимптотике величины

Xfin) при п —> оо. Вершик и Керов нашли главный член асимптотики, что позволило им получить теорему Тома. Более того, они обнаружили, что если ввести подходящие координаты во множестве всех разбиений Л (так называемые модифицированные координаты Фробениуса • • • ? , &2,.), то выражение n(n-l).(n-fe + l)X^Uf~fc) (0.1)

X(i») оказывается супер симметрической функцией от ai, а.2,., &i, 62?

Этот аспект теории Вершика-Керова был подробнее рассмотрен в работах [12], [34], [47], где исследовалась алгебра функций от Л, порожденная выражениями (0.1). Эта алгебра в работе [12] обозначалась через Л* и называлась алгеброй сдвинутых симметрических функций. Вместо (0.1) можно работать с функциями п(п - 1). (п - к + 1) dlimA(M, (0.2) dim А где р, — фиксированное разбиение числа к, А — разбиение переменного числа n, dim Л — число стандартных таблиц формы Л, А/д — косая диаграмма, отвечающая паре (A,/Li), dimA/^ — число стандартных таблиц формы косой диаграммы А//х. Отметим, что dim Л = Х(1»)*

Функции (0.2) также лежат в алгебре Л*: им отвечают так называемые сдвинутые s-функции Шура которые образуют линейный базис в алгебре Л*. В другой реализации алгебра Л* становится алгеброй супер симметрических функций от удвоенного набора переменных ai, <22,., &i, • • • и тогда функции s* превращаются в так называемые функции Фробениуса-Шура Fs\(ai, <22,., &&2> • • •) ([47]).

Функции тесно связаны с факториальными аналогами функций Шура, введенными Биденхарном и Лауком [18], [19] изучавшимися также в [22], [24], [25], [40], [41]. Все эти новые функции являются аналогами классических функций Шура s\ и обладают весьма интересными свойствами. В частности, их можно охарактеризовать как решение некоторой многомерной интерполяционной задачи. Таким образом, асимптотическая теория характеров по Вершику-Керову оказалась связанной с новой главой теории симметрических функций.

В теории Вершика-Керова специальную роль играет регулярный характер. Он отвечает точке симплекса Тома с нулевыми координатами «1 = ос2 — ''' — 0, /?i = /?2 = * • • = 0. Как функция на группе Sqq регулярный характер %reg есть просто дельта-функция в единичном элементе. Для любого п = 1,2,3,. справедлива формула X reg dim2 А где А пробегает множество Yn всех разбиений числа п, а хА обозначает нормированный неприводимый характер, хА = ХА/ dim А. Заметим, что dim2 А ^ а€у„ п!

Таким образом, числа л можно интерпретировать как нагрузки некоторой вероятностной меры на конечном множестве ¥п. Эта мера называется мерой Планшереля. Большой интерес представляет изучение асимптотических свойств случайного разбиения Л € Yn (по отношению к мере Планшереля) при п -Ь со. Различные аспекты этой задачи рассматривались в работах [3], [5] [17], [20], [29], [30], [46]. В частности, в работе Керова [37] был аннонсирован следующий замечательный результат.

Зафиксируем число к > 2 и рассмотрим выражение где А — произвольное разбиение числа п> к. Для каждого числа п выражения (0.3) задают случайные величины /^ (относительно меры Планшереля на ¥п). Случайные величины /j*^? • • • при п —» со сходятся по распределению к независимым гауссовским случайным величинам с нулевыми средними и дисперсиями, равными 2,3,. соответственно. В [6] был описан один из этапов доказательства этой теоремы, полное доказательство приведено в [28]. Другое доказательство получено в [27].

Изложенные выше факты теории линейных представлений симметрических групп имеют нетривиальные аналоги, связанные с проективными представлениями симметрических групп. В 1911 году Шур в работе [50] получил аналог теоремы Фробениуса для проективных представлений симметрической группы Sn. Группа Sn имеет два нетривиальных центральных ^-расширения, каждое из которых линеаризует ее комплексные проективные представления. Групповые алгебры этих групп изоморфны, поэтому традиционно рассматривается только одна из этих групп. Она называется спин-симметрической и обозначается через Sn. Рассматриваются только те неприводимые представления группы Sn, которые не сводятся к линейным представлениям симметрической группы Sn. Среди них имеются пары представлений, значения характеров которых совпадают на всех кроме одного, классах сопряженности. С точностью до отождествления таких представлений неприводимые характеры (рх группы Sn параметризуются строгими разбиениями А числа п (разбиениями, все ненулевые части которых, различны). Множество строгих разбиений обозначается через DPn. Для построения таблицы характеров достаточно рассматривать значения слегка модифицированных характеров <рх на классах сопряженнности, параметризуемых нечетными разбиениями (все ненулевые части этих разбиений нечетны). Шур доказал формулу, имеющую в наших обозначениях вид

2*4 = £ Л. (0.4) а епря

Здесь р — нечетное разбиение числа п, £(р) — число ненулевых частей разбиения /?, а Р\ — так называемые Р-функции Шура. Их естественно рассматривать как аналоги обычных функций Шура s\ в проективном случае. Р-функции Шура, индексируемые строгими разбиениями, образуют базис в алгебре супер симметрических функций Г, которая является подалгеброй в алгебре симметрических функций Л. Другой линейный базис в алгебре Г образуют функции Ньютона рр, где р пробегает нечетные разбиения. Формула (0.4) позволяет сводить многие задачи теории проективных представлений симметрических групп к задачам теории симметрических функций.

В 1984 году Сергеев в [13] определил группу Se(n), суперпредставления которой тесно связаны с неприводимыми представлениями спин-симметрической группы Sn. Мы будем называть Se(n) группой Сергеева. Сергеев получил ряд аналогов классических результатов в проективном случае. Изучение связи спин-симметрической группы и группы Сергеева также проводилось в [53].

Существует естественное вложение группы Sn в группу Sn+i. Обозначим через Soo индуктивный предел групп Sn, отвечающий этим вложениям. Мы будем называть бесконечной спин-симметрической группой. В 1992 году Назаров в статье [43] получил аналог теоремы Тома для Soo • Бе неразложимые характеры, не отвечающие характерам Soo 1 параметризуются последовательностями

7 = (71 >72 > > 0), < 1г

Классы сопряженности группы Soо такие, что не все рассматриваемые характеры на них равны нулю, параметризуются последовательностями нечетных целых чисел вида

Р = (Р1,Р2, .,1,1,.)» Pl> Р2> ""

Теорема Назарова дает формулу для значения характера Фт на классе сопряженности Ср: ф71 е = П к:рк> 1 где

РтЬ) = ХЛГ> т>3'

Назаров предложил два доказательства: первое опиралось на классификацию вполне положительных последовательностей, второе доказательство было в духе теории Вершика-Керова.

В настоящей диссертации мы получаем новые результаты теории проективных представлений симметрических групп. Цель диссертации — изучение асимптотических свойств проективных характеров симметрических групп и связанных с ними задач алгебраической комбинаторики.

Диссертация построена следующим образом.

В первой главе мы получаем формулу для размерности косой сдвинутой диаграммы Юнга и применяем ее для нового доказательства теоремы Назарова. Результаты этой главы опубликованы в работе автора [7]. В §1.1 мы вводим явной формулой факториальные аналоги Р-функций Шура. Это неоднородные супер симметрические функции Р*, индексируемые строгими разбиениями. Их можно сравнить со сдвинутыми функциями Шура s*. Функции Р* образуют линейный базис в алгебре супер симметрических функций Г. По каждому строгому разбиению помимо обычной можно построить сдвинутую диаграмму Юнга. Если /и С А, то стандартной таблицей формы косой сдвинутой диаграммы X/fj, называется заполнение разности сдвинутых диаграмм Ли (J, последовательными натуральными числами 1,2,., |Л| — так, что они возрастают по строкам и столбцам. Число таких таблиц называется размерностью косой сдвинутой диаграммы Юнга \/ц и обозначается д\/ц. В §1.2 мы получаем формулу для д\

9х/(л = 9х/0 •

Ai,A2,., Аг(х)) |А|(|А|-1).(|А|-Н + 1)'

0.5) где jA| = Ai + A2 H-----Н Для д\/0 известна явная формула, поэтому

0.5) позволяет вычислить В качестве приложения этой формулы в §1.3 мы получаем новое доказательство теоремы Назарова о характерах бесконечной спин-симметрической группы.

Во второй главе мы получаем комбинаторное описание факториаль-ных Р-функций Шура. Результаты этой главы опубликованы в работе автора [8]. Хорошо известна комбинаторная формула для функций Шура s\. Значение sM(a;i ) оказывается производящей функцией для числа таблиц формы р. Эту формулу вполне можно выбрать альтернативным определением функций Шура Также хорошо известна комбинаторная формула для Q-функций Шура Здесь р, — строгое разбиение, функция Qм пропорциональна

Комбинаторную формулу для Q-функций Шура можно записать через таблицы формы сдвинутой диаграммы Юнга. Мы получаем комбинаторную формулу для факториальных Q-функций Шура = также в терминах таблиц формы сдвинутой диаграммы Юнга. Таблицей Т формы сдвинутой диаграммы Юнга D(А)' порядка п называется отображение Т множества точек D(А)' в упорядоченное конечное множество {1' < 1 < 2' < 2 < • • • < п' < п}, обладающее специальными условиями неубываниями по строкам и столбцам (Определение 2.2.1). По таблице Т можно построить полином тт(х 1,®2,.,®п) = П (x|T(ij)|-sgn(T(«\j))(j-i)), iJ)€D'x где = |*| = *f sgn(Ar) = — sgn(&') = 1. Комбинаторная формула состоит в том, что

Qx(xi1X2, . ,хп) = i,a?2j.« j®»)» т где суммирование ведется по всевозможным таблицам Т формы А порядка п. В §2.1 мы доказываем правило отщепления переменной для факториальных Q-функций Шура. Оно необходимо для доказательства в §2.2 собственно комбинаторной формулы. Отметим, что доказательство комбинаторной формулы для факториальных Q-функций Шура более сложное и громоздкое, чем для сдвинутых функций Шура s*.

В третьей главе мы получаем аналог теоремы Керова для проективных представлений симметрических групп. Результаты этой главы представлены в работе автора [9]. В §3.1 определяется группа Сергеева 5е(п). Также устанавливается связь характеров неприводимых суперпредставлений Se(n) с характерами неприводимых представлений спин-симметрической группы Sn. В §3.2 мы определяем бесконечномерную алгебру ZQо, удобную для изучения умножения классов сопряженности в группах Сергеева. Алгебра Zоо изоморфна алгебре супер симметрических функций Г. Мы вводим на алгебре Z<» фильтрацию, являющуюся аналогом фильтрации Керова из [37]. В некоторых случаях мы вычисляем структурные константы для главных членов относительно этой фильтрации. Это позволяет нам получить в §3.3 основной результат. Для этого в §3.3 мы вводим проективный аналог меры Планшереля. Это вероятностная мера РМп на множестве DPn строгих разбиений числа п, задаваемая формулой:

РМп( А) = п\ где <рх — слегка модифицированный неприводимый характер спин-симметрической группы Sn (Определение 1.3.6). Мы рассматриваем функции

I (\\ ^(2*г-Ц)и(ИА1-2*-г) m -—-Аф—1 w 2 к > 1 на множестве строгих разбиений (если |А| < 2A;-f-l, то значение функции равно нулю) как последовательность случайных величин ^/fc+i (относительно соответствующих мер Планшереля РМп). Мы получаем теорему, утверждающую, что набор случайных величин ф^, ф^,. сходится по распределению при п -> оо к независимым гауссовским случайным величинам с нулевыми средними и дисперсиями 3, 5,. соответственно. Доказательство основано на вычислении предела при п —> оо смешанного

1. Ф. А. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными, МГУ, Москва, 1983.

2. А, М. Бородин, Мультипликативные центральные меры на графе Шура, Записки научных семинаров ПОМИ 240 (1997), 44-52.

3. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотика меры Планшереля симметрической группы и предельная форма таблиц Юнга, ДАН СССР, 233 (1977), 1024-1027.

4. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотическая теория характеров симметрической группы, Функциональный Анализ и его Приложения 15 (1981), N4, 15-27.

5. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотика максимальной и типичной размерностей неприводимых представлений симметрической группы, Функциональный анализ и его приложения 19 (1985), N1, 25-36.

6. В. Н. Иванов, С. В. Керов, Алгебра классов сопряженности в симметрических группах и частичные перестановки, Записки Научных Семинаров ПОМЙ 256 (1999), 95-120.

7. В. Н. Иванов, Размерность косых сдвинутых диаграмм Юнга и проективные характеры бесконечной симметрической группы, Записки научных семинаров ПОМИ 240 (1997), 115-135.

8. В. Н. Иванов, Комбинаторная формула для факториальных Q-функций Шура, Записки научных семинаров ПОМИ 256 (1999), 73-94.

9. В. Н. Иванов, Гауссовский предел для проективных характеров больших симметрических групп, Деп. в ВИНИТИ 26.10.2001, N2241-B2001.

10. С. В. Керов, Асимптотическая теория представлений симметрической группы и ее применения в анализе, Докторская диссертация, С.-Петербург, 1994.

11. Д. А. Лейтес, Введение в теорию супермногообразий, УМН 35 (1980), N1, 3-57.

12. А. Ю. Окуньков, Г. И. Ольшанский, Сдвинутые функции Шура, Алгебра и Анализ 9 (1997), N2, 73-146.

13. А. Н. Сергеев, Тензорная алгебра тождественного представления как модуль над супералгебрами JIu Gl(n,m) tt Q(n), Мат. Сборник 123 (1984), N3, 422-430.

14. А. Н. Сергеев, Операторы Лапласа и представления супералгебр Ли, Диссертация, МГУ, Москва, 1985.

15. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Мир, Москва, 1984.

16. А. Н. Ширяев, Вероятность, Наука, Москва, 1980.

17. J. Baik, P. Deift, and К. Johansson, On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations, J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), 1119-1178.

18. L. C. Biedenharn and J. D. Louck, A new class of symmetric polynomials defined in terms of tableaux, Advances in Appl. Math. 10 (1989), 396-438.

19. L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Inhomogeneous basis set of symmetric polynomials defined by tableaux, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 87 (1990), 1441-1445.

20. A. Borodin, G. Olshanski, Harmonic functions on multiplicative graphs and interpolation polynomials, Electronic J. Comb. 7 (2000).

21. W. Y. G. Chen and J. D. Louck, The factorial Schur function, J. Math. Phys. 34 (1993), 4144-4160.

22. A. Edrei, On the generating function of a double infinite, totally positive sequence, Trans. Amer. Soc. 74 (1953), 367-383.

23. I. Goulden and C. Greene, A new tableau representation for supersymmetric Schur functions, J. Algebra 170 (1994), 687-704.

24. I. P. Goulden and A. M. Hamel, Shift operators and factorial symmetric functions, J. Comb. Theor. 69 (1995), Serie A, 51-60.

25. P. N. Hoffman, J. F. Humphreys, Projective representations of the symmetric groups, Oxford University Press, 1992.

26. A. Hora, Central limit theorem for the adjacency operators on the infinite symmetric group, Comm. Math. Phys. 195 (1998), 405-416.

27. V. Ivanov, G. Olshanski, Kerov's central limit theorem for the Plansherel measure on Young diagrams, to appear in: Symmetric Functions: Surveys of Developments and Perspectives (S. Fomin, editor). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

28. K. Johansson, Random permutations and the discrete Bessel kernel, Random matrix models and their applications (P. M. Bleher and A. R. Its, eds.), MSRI Publ. 40, Cambridge Univ. Press, 2001, pp. 259-269.

29. K. Johansson, Discrete orthogonal polynomial ensembles and the Plancherel measure, Ann. Math. 153 (2001), 259-296.

30. T. Jozefiak, Characters of projective representations of symmetric groups, Exposi-tiones Math. 7 (1989), 193-247.

31. T. Jozefiak, Semisimple superalgebras, Lecture Notes in Math. 1352 (1988), 96-113.

32. S. Kerov, A. Okounkov, G. Olshanski, The boundary of Young graph with Jack edge multiplicities, Intern. Math. Res. Notices 4 (1998), 173-199.

33. S. Kerov and G. Olshanski, Polynomial functions on the set of Young diagrams, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Serie I 319 (1994), 121-126.

34. S. Kerov, A. Vershik, Characters, factor-representations and Ko-functor of the infinite symmetric group, Proc. Int. Conf. on Oper. Algebras (1980), 1, 23-32.

35. S. Kerov, A. Vershik, The Grotendieck group of infinite symmetric group and symmetric functions (with elements of the theory of Kq-functor of AF-algebras), Lie algebras and representation theory, Gordon and Breach, 1988, pp. 37-114.

36. S. Kerov, Gaussian limit for the Plancherel measure of the symmetric group, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Serie I 316 (1993), 303-308.

37. F, Knop, Symmetric and non-Symmetric quantum Capelli polynomials, Comment. Math. Helv. 72 (1997), 84-100.

38. I. G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Univ.Press, New York, 2nd ed., 1995; Русский перевод первого издания, Симметрические функции и многочлены Холла, Мир, Москва, 1985.

39. I. G. Macdonald, Schur functions: theme and variations, Actes 28-e Seminaire Lotharingien Publ. I.R.M.A. Strasbourg (1992), 5-39.

40. A. Molev, Factorial supersymmetric functions and super Capelli identities, Kirillov's seminar on representation theory (G. I. Olshanski, ed.). Amer. Math. Soc. Transl. (2), vol. 181, 1998, pp. 109-137.

41. А. О. Morris, A survey on Hall-Littlewood functions and their application to representation theory, Lecture Notes in Math. 579 (1977), 136-154.

42. M. L. Nazarov, Projective representations of the infinite symmetric group, Representation theory and dynamical systems (A. M. Vershik, ed.), Advances in Soviet Mathematics, Amer.Math.Soc., vol. 9, 1992, pp. 115-130.

43. A. Yu. Okounkov, Quantum immanants and higher Capelli identities, Transformation Groups 1 (1996), 99-126.

44. I. Schur, Uber die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrocheme lineare Substitionen, J. Reine Angew. Math. 139 (1911), 155-250.

45. J. R. Stembridge, Shifted tableaux and the projective representations of symmetric groups, Advances in Mathematics 74 (1989), 87-134.

46. E. Thoma, Die unzerlegbaren, positiv-definiten Klassenfunctionen der abzanltar un-endlichen, symmetrichen Gruppe, Math. Z. 85 (1964), 40-61.

47. M. Yamaguchi, A duality of the twisted group algebra of the symmetric group and a Lie superalgebra, J. Algebra 222 (1999), no. 1, 301-327.4647,48