Меры Пуассона-Дирихле и виртуальные подстановки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. В. А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи

Цилевич Наталия Владимировна

МЕРЫ ПУАССОНА-ДИРИХЛЕ И ВИРТУАЛЬНЫЕ ПОДСТАНОВКИ

01.01.01 — математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор А.М.Вершик

Санкт-Петербург — 1998

Оглавление

Введение 4

Распределения Пуассона-Дирихле................................4

Пространство виртуальных подстановок..........................8

Процесс Дирихле и преобразование Маркова-Крейна..........10

Структура диссертации..............................................14

1 Стационарные меры на пространстве виртуальных подстановок 16

1.1 Пространство виртуальных подстановок...............16

1.1.1 Определение пространства виртуальных подстановок .................................16

1.1.2 Теория случайных разбиений........................19

1.1.3 Описание центральных мер на пространстве виртуальных подстановок ................................24

1.1.4 Распределения длин циклов в порядке появления 30

1.1.5 Плотности дуг виртуальных подстановок ..........34

1.2 Распределения Пуассона-Дирихле и связанные с ними меры 36

1.2.1 Меры Ювенса..........................................36

1.2.2 Меры Пуассона-Дирихле и СЕМ-распределения . 43

1.2.3 Двупараметрическое обобщение мер Ювенса и Пуассона-Дирихле ........................................45

1.3 Стационарные меры на пространстве виртуальных подстановок ..............................................46

1.3.1 Формулировка основной теоремы и ее следствия . 46

1.3.2 Сведение к конечномерным условиям................51

1.3.3 Основная конечномерная лемма......................54

1.3.4 Завершение доказательства основной теоремы в общем случае..............................................60

1.3.5 Конечномерный аналог основной задачи............62

1.3.6 Сдвинутая проекция неприводимых характеров симметрических групп ....................................65

2 Процесс Дирихле и преобразование Маркова-Крейна 70

2.1 Процесс Дирихле ..............................................70

2.1.1 Классический процесс Дирихле......................70

2.1.2 Обобщенный процесс Дирихле........................73

2.2 Преобразование Маркова-Крейна............................76

2.2.1 Одномерное преобразование Маркова-Крейна ... 76

2.2.2 Многомерное преобразование Маркова-Крейна . . 78

2.2.3 Тождество для моментов..............................82

2.3 Распределения средних от процесса Дирихле..............85

2.3.1 Распределения средних от классического процесса Дирихле..................................................85

2.3.2 Распределения средних от двупараметрического процесса Дирихле..........................................88

Литература 95

Введение

Распределения Пуассона-Дирихле

Распределения Пуассона-Дирихле РО(в) на бесконечномерном симплексе монотонных последовательностей, зависящие от положительного параметра 0, были введены Дж.Кингманом [46]. Важность изучения этих распределений связана с тем, что они возникают в самых различных областях математики и приложений. Опишем кратко основные задачи, приводящие к мерам Пуассона-Дирихле.

1. Теория вероятностей. Следующие четыре определения мер Пуассона-Дирихле выявляют их связь с различными задачами теории вероятностей.

а) Распределения Дирихле. Обозначим через Еп = {(^о,..., хп): О,

T^7i=Qxi = 1} га-мерный единичный симплекс. Пусть Ро^ 0. Распределением Дирихле с параметрами /?о,.. на симплексе Еп называется абсолютно неперерывная мера, имеющая плотность

т)...г(А)

по мере Лебега йх\ ... йхп на Еп. Обозначим через Е бесконечномерный единичный симплекс монотонных последовательностей

XI < 11 .

Пусть ^ • • • ^ — вариационный ряд случайного вектора х^ £ £„, имеющего распределение Дирихле с равными параметрами ¡3^ = ... — ¡Зп = Обозначим через йп распределение последовательности (Ж(о)! • • 0,...) Е Е. Тогда меры <1п слабо сходятся к распределе-

нию Пуассона-Дирихле РО{9) (Дж.Кингман [46]).

б) Гамма—процесс. Пусть у(£) — гамма-процесс на положительной полуоси, т.е. процесс с независимыми стационарными приращени-

оо

Е = < X = {хих2, . . .) : Х\ ^ х2 ^ ... ^ 0, £

1=1

ями, такой что г/(£) имеет плотность распределения уг~1 е~у/Т, у > 0. Обозначим через ^ <$2 ^ • • • упорядоченные величины скачков этого процесса на отрезке (0,0). Мера Пуассона-Дирихле РВ(в) есть распределение нормированной последовательности (^/^(б1), 8\/у(9),...) (Дж.Кингман [46]).

в) Процесс Пуассона. Пусть ^ ^ . • • — вариационный ряд неоднородного пуассоновского процесса на положительной полуоси со средней мерой вх~1е~х. Тогда сумма а = Е^ %% почти наверное конечна. Мера Пуассона-Дирихле РО(в) есть распределение нормированной последовательности (^/сг, <г2/(7,...) (Дж. Кингман [46]).

г) Модель остаточного распределения (процесс ломания палки). Пусть 17\, С/г, • • • — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин на отрезке [0,1] с плотностью 9(1 - и)в~\ и € [0,1]. Положим

= ии У2 = и2(1 - Щ, ..., к = ип( 1 - 170 ... (1 - £/„_!), ....

Мера Пуассона-Дирихле РБ(в) есть распределение вариационного ряда (У(1),Т/(2),...) последовательности V2,... (А. М. Вершик, А. А. Шмидт [5], Г.Пэтил, К.Тэйли [54]).

2. Математическая статистика. В непараметрической байесовской статистике важную роль играет так называемый процесс Дирихле, введенный в работе [34]. Самое удобное описание этого процесса опирается на распределение Пуассона-Дирихле. Пусть X — измеримое пространство, ¡3 — конечная положительная мера на X. Обозначим через в полную массу меры ¡3, и пусть т = (5/9. Процесс Дирихле на пространстве X с параметрической мерой /3 есть случайная дискретная мера М = где (Хг) — последовательность независимых случайных величин с общим распределением г, а (ф1? ...) £ £ — независимый от (Х{) вектор с распределением Пуассона-Дирихле РБ(9) (Т. Фергюсон [34]).

3. Теория чисел. В теории чисел мера Пуассона-Дирихле появляется как ответ в задаче о распределении простых делителей случайного натурального числа. А именно, пусть п — случайный элемент множества []У] = {1,..., А7"}, и п = Р\{п)р2{п)... — его разложение на простые множители р\ ^ ^ — Тогда распределение последовательности

1п/?1(п) 1пр2(п) \ 1п]У ' 1пЛГ '"')

слабо сходится к мере Пуассона-Дирихле РО( 1) (П. Биллингс ли [23],

А. М. Вершик [3]).

4. Комбинаторика. Среди задач, в которых появляются меры Пуассона-Дирихле, значительную часть составляют задачи комбинаторной природы.

а) Случайные подстановки. Ключевым фактом, определяющим значение мер Пуассона-Дирихле в комбинаторике, является следующая теорема. Пусть 1\(и>) ^ Ь(^) ^ ••• — последовательность длин циклов случайной подстановки т Е 6П, распределенной по мере Хаара на симметрической группе вп. Распределение последовательности нормированных длин циклов (/¡(г(;)/гг, ^(г^/гг,...) слабо сходится при п —> оо к распределению Пуассона-Дирихле РИ( 1) (А. М. Вершик, А.А.Шмидт [5], см. также [60]).

Если снабдить симметрическую группу 6„ мерой Ювенса с параметром 9, которая задается формулой твп(и)) = ^р, где с(«;) — число циклов подстановки т Е (5П, и [#]п = 0(6 — 1).. .(в — п + 1) — символ Похгаммера (случай 9 = 0 соответствует мере Хаара), то распределение последовательности нормированных длин циклов случайной подстановки слабо сходится к мере РО(9).

б) Случайные отображения. Пусть ап — распределение упорядоченной последовательности (<21(/)/п, а2(/)/^?...) Е £ нормированных размеров компонент случайного отображения / : [п] —>■ [п], где

[п] = {1,...,п} (мы считаем, что каждое отображение имеет вероятность 1 /пп, и элементы г, 3 Е [п] принадлежат одной компоненте, если г переводится в ] некоторой итерацией отображения /). Меры ап слабо сходятся к распределению Пуассона-Дирихле РО(\) (Д. Олдус [20]).

в) Случайные многочлены над конечным полем. Обозначим через ип множество всех многочленов степени п со старшим коэффициентом 1 над конечным полем ¥д. Пусть р(х) — случайный многочлен, равномерно распределенный на конечном множестве 17п, и р(х) = р\{х)р2{х)... — его разложение на неприводимые многочлены со старшим коэффициентом 1. Обозначим через (р) ^ (р) ^ ... степени многочленов рг- в невозрастающем порядке. Распределение нормированной последовательности (Их(р)/п, В2(р)/п,...) Е Е слабо сходится к распределению Пуассона-Дирихле Р1)(1). Тот же результат имеет место и для другого распределения на множестве £/„, а именно, если р(х) — характеристический многочлен случайной матрицы, равномерно распределенной на СЬ(п,д) (Дж.Хансен [37], Дж.Хансен, Э.Шмуц [38]).

Среди многочисленных работ, посвященных комбинаторным задачам, в которых появляются распределения Пуассона-Дирихле, отметим также [40, 21, 22].

5. Приложения. Первые исследования мер Пуассона-Дирихле были инициированы задачами популяционной генетики, где они появляются в качестве стационарных распределений в моделях неодарвинистской теории эволюции, и связаны прежде всего с именами Дж. Кинг-мана [46, 47, 48, 49], Дж. Уоттерсона [62] и У. Ювенса [29]. В работе [30] содержится подробный обзор применений этих распределений в генетике. Следует отметить также возникновение распределений Пуассона-Дирихле в задачах экологии (например, [51, 28, 54]) и физики (например, [41, 52]).

Пространство виртуальных подстановок

Работа А. М. Вершика, С. В. Керова и Г. И. Ольшанского [44] позволила связать меры Пуассона-Дирихле с задачами теории представлений симметрических групп. В этой работе введено пространство виртуальных подстановок которое является проективным пределом конечных симметрических групп относительно канонических проекций 7гп : 6„+1 —>• &п, состоящих в переходе к производной подстановке. Поскольку проекция 7ГП коммутирует с двусторонними сдвигами на элементы группы (5„, то на компактном пространстве (5°° определено действие группы С = воо х ©оо, где бро = и&п — бесконечная симметрическая группа (группа всех финитных подстановок натурального ряда). Меры на пространстве виртуальных подстановок, являющиеся проективными пределами мер Ювенса на симметрических группах, квазиинвариантны относительно этого действия и имеют очень простой коцикл. В работе [44] изучено семейство унитарных представлений бесконечной симметрической группы, связанное с этим семейством квазиинвариантных мер и являющееся деформацией регулярного представления.

Особую роль играют центральные меры на пространстве виртуальных подстановок, т.е. меры, инвариантные относительно диагональной подгруппы К = {((?1,<72) Е ©оо : 91 = #2}, что связано с теорией графов ветвления (центральные меры на соответствуют центральным мерам графа ветвления классов сопряженности симметрических групп, см. [4, 9]) и с общей идеологией (£, К)-пар Гельфанда (см. [53, 15]). Изучение центральных мер на пространстве б°° тесно связано с проблематикой, касающейся классической теоремы де Финетти, и прежде всего, с теорией случайных разбиений Дж.Кингмана [46, 47, 48, 49]. Если ¡л — центральная мера на пространстве в00, то для почти всех относительно ¡л виртуальных подстановок ш = (г^,«^, •. •) Е суще-

ствуют пределы

Xi(u>)= limí^, ¿ = 12,..

' п-Ь oo n

называемые относительными длинами циклов си. При этом последовательность Х(ш) = (Xi(üj),X2(u)), ...) относительных длин циклов является достаточной статистикой для си, т.е. условное распределение и> при условии Х(и) — х не зависит от центральной меры /л. Отсюда следует, что существует взаимно-однозначное соответствие между центральными мерами на пространстве виртуальных подстановок и мерами на симплексе Е. Указанное соответствие позволяет спроектировать действие {Rg}ge<sбесконечной симметрической группы с пространства виртуальных подстановок на симплекс. Проекция сдвига Rg уже не является взаимно-однозначным отображением, а представляет собой марковский оператор (или полиморфизм, см. [2]). Основным результатом первой главы настоящей диссертации является описание мер, инвариантных относительно полученного семейства {T^gg^ марковских операторов на бесконечномерном симплексе.

Теорема 1.6. Эргодические меры на симплексе Е для действия семейства операторов {Т<,}<,€@оо параметризуются точками отрезка [0,1]. Эргодическая мера, соответствующая точке а £ [0,1], сконцентрирована на симплексе Еа = {ж £ Е : х% — а] монотонных последовательностей с суммой а и равна образу меры Пуассона-Дирихле PD( 1) под действием гомотетии Га : х н» ах.

В частности, на симплексе последовательностей с единичной суммой распределение Пуассона-Дирихле PD{ 1) есть единственная инвариантная мера. Таким образом, мы получаем новую характеризацию меры PD{ 1).

Используя эргодический метод, предложенный А. М. Вершиком [1], можно естественно обобщить определение стационарного распределе-

ния для действия локально компактной группы с вероятностной мерой (см. [35]) на случай действия локально конечной группы, каковой является бесконечная симметрическая группа. Именно, центральная мера ¡1 на пространстве виртуальных подстановок называется стационарной относительно действия бесконечной симметрической группы ©то, если при любом д £ ©оо имеет место равенство

N1 ие6„

где /I9 — образ меры /и под действием подстановки д. Задача об описании стационарных мер на пространстве виртуальных подстановок эквивалентна задаче об описании распределений, инвариантных относительно семейства марковских операторов {Тд}девоо} и ее решение приведено в теореме 1.7. В частности, в наиболее важном классе насыщенных мер (сосредоточенных на виртуальных подстановках, у которых сумма относительных длин циклов равна единице) имеется единственная стационарная мера, а именно, проективный предел мер Хаара на симметрических группах, и эта мера инвариантна относительно действия ©оо. Таким образом, мы получаем пример действия бесконечной симметрической группы, не имеющего неинвариантных стационарных мер.

Процесс Дирихле и преобразование Маркова-Крейна

Во второй главе настоящей диссертации мы изучаем распределения линейных функционалов относительно классического процесса Дирихле, а также его обобщений. Задача об описании распределения одного линейного функционала от классического процесса Дирихле рассматривалась многими авторами, например, [34, 36, 33, 25, 26]. В частности, П. Фейгиным и Р. Твиди [33] найдено необходимое и достаточное уело-

— и —

вие существования среднего J¡{х)йМ(х) почти наверное относительно процесса Дирихле М. В работе Д. М. Чифарелли и Э. Регаццини [25] получено явное описание плотности распределения случайного среднего относительно процесса Дирихле на Е. Промежуточным результатом в этой работе является следующее интегральное тождество (см. также комбинаторное доказательство в [26]). Пусть М — процесс Дирихле на вещественной прямой М. с вероятностной параметрической мерой т. Предположим, что случайное среднее JхйМ(х) существует с вероятностью 1, и обозначим его распределение через ¡1. Тогда меры ¡1 и т связаны соотношением

(*) / ^^ = ехр [ 1п—йт(х), 2-ег'М.

•1 г — х •! г — х

Это соотношение означает, что распределение случайного среднего ¡1. есть преобразование Маркова-Крейна параметрической меры т. Это преобразование играет важную роль во многих областях математики. Впервые уравнение (*) появилось в работе А.А.Маркова [50] по теории непрерывных дробей более века назад. Его изучение было продолжено М. Г. Крейном и его школой в связи с проблемой моментов Маркова (см. [12]). В работе [43] приведен обзор различных применений преобразования Маркова-Крейна, в частности, показана его связь с такими вопросами как планшерелевский рост случайной диаграммы Юнга, экспоненциальные представления аналитических функций, теория функции спектрального сдвига.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена обобщениям указанного результата о связи процессов Дирихле и преобразования Маркова-Крейна. Во-первых, мы рассматриваем совместное распределение нескольких линейных функционалов от процесса Дирихле и показываем, что оно является многомерным преобразованием Маркова-Крейна параметрической меры. Именно, пусть М — процесс Дирихле на сепарабельном метрическом пространстве X с борелевской вероят-

ностной параметрической мерой т. Измеримая функция / : X —> Мт называется допустимой для меры т, если + \\$(х)\\)<1т(х) < оо.

Теорема 2.1. Пусть .. .,/то : X —> К — допустимые функции для меры т. Рассмотрим отображение / : X —> составленное из этих функций, /(ж) = (/1 (ж), • •., /т(х)). Обозначим через т/ образ меры т под действием отображения и через ц/ — распределение случайного среднего значения J f(x)dM(x) в Мт. Тогда мера ¡л/ есть многомерное преобразование Маркова-Крейна меры Tf, т.е. для всех г £ г

/—_^ — ехр [ 1п ——--1—--

С. В. Керов [43] и Дж. Питман [58] независимо предложили конструкции, приводящие к обобщениям процесса Дирихле. Пусть X — измеримое пространство, т — вероятноятностная мера на X, и V — вероятностная мера на бесконечномерном симплексе £. Обобщенным процессом Дирихле на пространстве X с параметрами г, V называется случайное распределение

оо оо

¿=1 г'=1

где (Хг) — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с общим распределением г, а (<5ь • • •) £ £ — независимый от (Х{) вектор с распределением V.

Семейство распределений Пуассона-Дирихле РО(в) естественным образом включается -в двупараметрическое семейство распределений РБ(а^9) (Дж. Питман, М.Йор [59]). Прост