Аналитические свойства определённых классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 511.3

/

Матвеева Ольга Андреевна

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННЫХ КЛАССОВ РЯДОВ ДИРИХЛЕ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ¿-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ

специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Ульяновск, 2014

005554321

005554321

Работа выполнена на кафедре компьютерной алгебры и теории чисел в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского".

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор

Кузнецов Валентин Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, ФГБОУ ВПО «Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого», заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии Добровольский Николай Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет»,

заведующий кафедрой теории чисел Чирский Владимир Григорьевич

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Самарский государствен-

ный университет»

Защита диссертации состоится 3 декабря 2014 г. в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный университет "по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная реки Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703,

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте ВУЗа http://ppo.uslu.ru. С авторефератом — на сайте ВУЗа http://www.ppo.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации http://vak.ed.gov.ru.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просьба присылать по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГу, Отдел послевузовского профессионального образования.

Автореферат разослан « октября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета:

М.А. Волков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованиям, связанным с решением ряда задач аналитической теории чисел. В основе этих исследований лежит изучение аналитических свойств отдельных классов рядов Дирихле, что позволяет получить результаты в теории L-функций Дирихле. Нужно отметить, что основной метод исследования аналитических свойств рядов Дирихле позволяет получить результаты и в теории степенных рядов.

Цель данной работы заключается в решении следующих задач:

1. Для некоторых классов рядов Дирихле получить определяющие их аналитические свойства и указать приложения этих результатов в теории L-функций Дирихле и в теории степенных рядов.

2. Изучить аналитические свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, отражающие поведение таких рядов в критической полосе.

3. Уточнить и дополнить новыми результаты, полученные для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, в случае L-функций Дирихле. В частности, рассмотреть некоторые вопросы, связанные с расширенной гипотезой Римана.

Что касается первой задачи, то её постановка не является новой. Ещё в 1984 году такого рода задача решалась в работе1, где было показано, что в классе рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами ряды Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами определяются как мероморфные функции с единственно возможным простым полюсом в точке единица и определённым порядком роста модуля в левой полуплоскости комплексной плоскости. Как приложение этого результата в работе1 получена аналитическая характеристика L-функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами. Основные моменты доказательства этого результата заключаются в следующем.

Во-первых, изучение свойств основного и обратного преобразований Мел-липа позволило изучить взаимосвязь между аналитическим продолжением рядов Дирихле и граничным поведением соответствующих (с теми же коэффициентами, что и у рядов Дирихле) степенных рядов. А именно, было показано, что ряд Дирихле с конечнозначными коэффициентами тогда и только тогда определяет мероморфную функцию с единственно возможным простым полюсом в точке единица и определённым порядком роста модуля в левой полуплоскости, когда степенной ряд определяет функцию, либо

1 Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Cere для одного класса рядов Дирихле / В. Н. Кузнецов // Мат.

заметки. - 1984. - т. 36, № 6. - с. 805-812.

регулярную в точке единица, либо имеющую в этой точке полюс первого порядка. Во-вторых, известная теорема Сёге2 относительно граничных свойств степенных рядов с конечнозначными коэффициентами говорит о том, что в этом случае коэффициенты являются периодическими, начиная с некоторого номера.

В работах3'4,5 рассматривались задачи аналитического продолжения рядов Дирихле не только с конечнозначными коэффициентами. Их решение также сводилось к изучению свойств преобразований Меллина, что равносильно изучению соответствующих степенных рядов при подходе к точке г = 1. В этих работах рассматривались примеры рядов Дирихле, для которых точка х = 1 не являлась ни точкой регулярности, ни полюсом конечного порядка для соответствующих степенных рядов. Вопросы аналитического продолжения таких рядов Дирихле сводились к существованию у соответствующих степенных рядов конечных односторонних радиальных производных в точке г = 1. Задача существования таких производных решалась по-разному в каждом отдельном случае. Здесь же подход в задаче изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на изучении поведения соответствующих степенных рядов при подходе к точке 2 = 1, впервые получил название метода редукции к степенным рядам. Дальнейшее развитие метода редукции к степенным рядам было связано с расширением класса рядов Дирихле, где указанный выше подход приносил свои результаты. При этом приходилось использовать известные и получать новые результаты относительно граничного поведения степенных рядов. Обратно, результаты относительно аналитических свойств рядов Дирихле позволяли получать новые факты относительно граничных свойств степенных рядов. Так, в работе6 было получено усиление известной теоремы Адамара7 об особенностях композита двух степенных рядов с известными изолированными особенностями на границе сходимости, что позволило в отдельных случаях8 решить известную гипотезу Ю. В. Лин-

2Бибербах Л. Аналитическое продолжение / Л. Бибербах. — М. : Наука, 1967. — 240 с.

3Кузнецов В. Н. О граничных свойствах степенных рядов с конечнозначными коэффициентами / В. Н. Кузнецов // Диф. уравнения и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1987. — т 7 — с. 8-16.

4Кузнецов В. Н. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле / В. Н. Кузнецов // Выч.

методы и программирование: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1987. — т. 1. — с. 13—23.

5Кузнецов В. Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции / В. Н. Кузнецов // Выч. методы и программирование: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1988 — т 1 — с. 63-72.

6Кузнецов В. Н. Об одном обобщении теоремы Адамара об умножении особенностей / В. Н. Кузнецов, Е. В. Сецинская // Исследования по алгебр«, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2005. — вып. 3. — с. 47—58.

7 Титчмарш Е. К. Теория функций / Е. К. Титчмарш. — М. : Наука, 1980. — 463 с.

8 Фоменко О. М. Продолжимость на всю плоскость и функциональное уравнение скалярного произведе-

ния Ь-рядов Гекке двух квадратичных полей / О. М. Фоменко // Труды Математ. института им. В. А. Стеклова АН СССР. — М., 1972. — т. 128. — с. 232—242.

ника о целостности скалярного произведения L-функций числовых полей9. В работе10 была доказана аналитическая непродолжимость за границу единичного круга степенных рядов, отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей, отличных от поля рациональных чисел.

Укажем еще два результата в направлении первой поставленной задачи, полученных методом редукции к степенным рядам. В работе11 было показано, что в классе рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами ряды Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами, определяющие целые функции, выделяются условием их приближения полиномами Дирихле в любой полосе: 0 < сг0 ^ а < оо, |i| ^ Т, s — а + it, с показательной скоростью. Это даёт аппроксимационную характеристику L-функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами.

В работе12 показано, что в классе рядов Дирихле, сходящихся в некоторой полуплоскости комплексной плоскости, ряды Дирихле, отвечающие степенным рядам,регулярным в точке единица, определяются как целые функции с определённым порядком роста модуля в левой полуплоскости комплексной плоскости.

В диссертационной работе метод редукции к степенным рядам получил дальнейшее развитие, что позволило исследовать аналитические свойства некоторых новых классов рядов Дирихле. Это нашло приложение как в задачах теории L-функций Дирихле, так и в задачах теории степенных рядов.

Что касается второй задачи, исследуемой в данной работе, то ей занимались и продолжают заниматься в настоящее время многие авторы. Ещё в 1936 году Г. Дэвенпорт и X. Хейльбронн12, привели пример ряда Дирихле с мультипликативными, периодическими коэффициентами, который удовлетворял функциональному уравнению римановского типа, имел бесконечное множество нулей в критической полосе, из которых не все лежали на критической прямой. Плотностные теоремы для нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами рассматривались в известной монографии С. М. Воронина и А. А. Карацубы13. Этими вопросами занимались и другие авторы.

9 Сецинская Е. В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук / Сецинская Е. В.

- Саратов : СГУ, 2005. - 86 с.

10Кузнецов В. Н. Об аналитической непродолжимости за границу сходимости степснных рядов, отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей / В. Н. Кузнецов, Т. А. Кузнецова, В. В. Кривобок // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр.

- Саратов, 2009. — вып. 5. — с. 31—36.

11 Кузнецов В. Н. Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента / В. Н. Кузнецов, А. М. Водолазов // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2005. — вып. 2. — с. 27—32.

12Davenport Н. On the zeros of certain Dirichlet series. / H. Davenport, H. Heilbronn // Y. Lond. Math. Soc.

- 1936. - т. И. - c. 181-185.

13Воронин С. M. Дзета-функция Римана / С. М. Воронин, А. А. Карацуба. — М. : Физматлит, 1994. -376 с.

Вопросы, связанные с поведением рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе, изучались во второй главе диссертационной работы.

В третей главе работы результаты, полученные для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, уточняются и дополняются новыми для L-функций Дирихле. В частности, рассматриваются отдельные вопросы, связанные с расширенной гипотезой Римана.

Всё вышесказанное позволяет говорить об актуальности темы исследований диссертационной работы.

Объектом исследования в диссертации являются ряды Дирихле, в частности, L-функции Дирихле, степенные ряды.

Предметом исследования являются аналитические свойства отдельных классов рядов Дирихле, обобщённые характеры, граничное поведение степенных рядов, нули рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, лежащие в критической полосе, взаимовязь основной и расширенной гипотез Римана.

Методы исследования. В работе используется метод редукции к степенным рядам, аналитические методы, применяемые в теории функций комплексного переменного, методы теории приближений.

Научная новизна. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения вышеприведённых задач, нужно отнести следующие результаты.

1. Изучено поведение в полуплоскости а > 0 функций, определённых рядами Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами h(n), сумматорная функция которых удовлетворяет условию

S{x) = J2h(n)=ax + 0( 1),

h^x

что позволило получить новое, чисто аналитическое доказательство гипотезы Н. Г. Чудакова14,15,16 в случае главного обобщённого характера, отличное от доказательства, полученного в 1964 году В. В. Глазко-

ВЫМ17'18.

14 Чудаков Н. Об одном классе вполне мультипликативных функций. / Н. Чудаков, Ю В. Линник // ДАН СССР. - 1950. - т. 74, № 2. - с. 193-196.

15 Чудаков Н. Г. Об обобщённом характере / Н. Г. Чудаков, К. А. Родосский // ДАН СССР. — 1950 — т. 74, № 4. — с. 1137—1138.

16 Чудаков Н. Обобщённые характеры. / Н. Чудаков // Междунар. конгресс матем. в Ницце. — М 1972 - с. 335.

17Глазков В. В. Об обобщённых характерах / В. В. Глазков // Некоторые вопросы теории полей: сборник статей. — Саратов, 1964. — с. 67—78.

18Глазков В. В. Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел / В. В. Глазков // Исследования по теории чисел: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1968. — т. 2. — с. 3—40.

2. В классе рядов Дирихле, имеющих конечную абсциссу сходимости, получены определяющие аналитические свойства рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке z = 1. Как следствие этого результата получен критерии рациональности функций, определённых степенными рядами с целыми коэффициентами, выраженный в терминах аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле, что позволило, в частности, получить иное, чем в работах19,20 доказательство аналитической непродолжимости за границу единичного круга степенных рядов, коэффициенты которых определены такими теоретико-числовыми функциями, как функция Эйлера, функция Мёбиуса, функция числа делителей натурального числа п (т(п)). В качестве другого следствия вышеприведённого результата указан простой способ получения рядов Дирихле с целыми коэффициентами, непродолжимых за границу единичного круга.

3. Получены условия на коэффициенты, при которых ряд Дирихле с периодическими коэффициентами удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа. Показано, что может существовать бесчисленное множество рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих одному и тому же уравнению римановского типа. Этот результат получен в работе21.

4. Разработан новый подход в задаче исследования аналитический свойств в критической полосе функций, определённых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, основанный на быстром приближении таких функций полиномами Дирихле. Численный алгоритм построения аппроксимирующих полиномов Дирихле получен в работе22. Этот подход позволяет перенести отдельные свойства полиномов Дирихле на ряды Дирихле.

В частности, показано, что в прямоугольнике: 0 < а0 ^ а ^ 1, |t| < Т нули аппроксимирующих полиномов Дирихле Q„(s), п ^ 2 [Т] + 1, совпадают с учётом кратности с нулями функций, заданных рядами

19Banks W. D. Irrationality of Power Series for Various Number Theoretic Functions / \V. D. Banks, F. Luca,

5. J. E. // Manuscripta Math. - 2005. - т. 117. - с. 183-197.

20Петрушов О. А. О поведении преобразования Лапласа некоторых мер на границе области сходимости: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук / Пструшов О. А.

— Москва, 2013. — с. 118.

21 Полякова О. А. К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана / О. А. Полякова, В. Н. Кузнецов // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математ. Механика. Информат. — Саратов, 2011. — т. 11, № 3. — с. 21-25.

22Матвеева О. А. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определённых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. / О. А. Матвеева, А. Коротков // Науч. ведомости Белгородского государственного ун-та. : Математика. Физика., вып. 24 (17). — Белгород, 2011.

- с. 47-53.

Дирихле с периодическими коэффициентами. Этот результат вместе с известными фактами о нулях почти-периодических функций конечного класса23, каковыми являются полиномы Дирихле, позволил получить некоторые теоремы о плотности нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.

5. Реализована численная схема построения полиномов Дирихле, аппроксимирующих ряды Дирихле в критической полосе с показательной скоростью, разработанная в работе22. Проведена серия численных экспериментов, связанных с определением нулей и порядка роста модуля на критической прямой рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.

6. Исследована задача о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Ри-мана. Показано, что решение этой проблемы зависит от расположения в критической полосе нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.

Этот результат получен в работе24.

7. Получен эквивалент расширенной гипотезы Римана для Ь-функций с неглавными характерами Дирихле, выраженный в терминах оценки сум-маторной функции значений характера на множестве простых чисел.

Этот результат получен в работах25,26.

8. Проведена серия численных экспериментов, связанных с расположением нулей и поведением на критической прямой Ь-функций Дирихле. Результаты численных экспериментов говорят в пользу расширенной гипотезы Римана и в пользу гипотезы Линделёфа о поведении | Ь + й) |. Более того, они позволяют высказать предположение, что

0(1п|г|).

23Левин Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин. — М. : Изд-во технико-теоретич. литерат., 1956.

Матвеева О. А. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами / О. А. Матвеева, В. Н. Кузнецов // Чебышевский сборник; науч.-теор. журн. — Тула, 2010. — т. 11, № 1. — с. 59—69.

25Матвеева О. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана / О. А. Матвеева, В. А. Матвеев // Материалы I внутривузовской конференции студентов и аспирантов. — Саратов, 2013 — с 146— 152.

26Матвеева О. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана для Г^функций Дирихле числовых полей / О. А. Матвеева, В. А. Матвеев // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математ. Механика. Ипформат. — Саратов, 2013. — т. 13, вып. 4. — с. 76—80.

Основные положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результат об аналитических свойствах рядов Дирихле с обобщёнными характерами и аналитическое доказательство гипотезы Н. Г. Чудакова в случае главных обобщённых характеров.

2. Результат об аналитических свойствах рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке единица, и критерий рациональности функций, определённых степенными рядами с целыми коэффициентами.

3. Численный алгоритм построения полиномов Дирихле, приближающих ряды Дирихле с периодическими коэффициентами с показательной скоростью. Результаты численных экспериментов, связанных с определением нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами и с поведением таких рядов на критической прямой.

4. Результаты о плотности нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, расположенных в критической полосе.

5. Результат о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана.

6. Теорема об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Диссертационная работа в основном носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут бытьь полезны специалистам, работающим в области аналитической теории чисел и в области степенных рядов. Результаты работы могут быть использованы и в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов вузов страны, специализирующихся в области алгебры и теории чисел.

Достоверность. Достоверность результатов, полученных в данной работе, обеспечивается строгими теоретическими выкладками и доказательствами, опирающимися на методы функций комплексного переменного и методы аналитической теории чисел.

Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих семинарах и конференциях: научные семинары на кафедре алгебры и теории чисел СГУ (2011 - 2013), научные конференции на механико-математическом факультете СГУ (2011 - 2013), VIII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвящённая 190-летию П. Л. Чебышёва и

120-летию И. М. Виноградова (Саратов, 2011), X Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения (Волгоград, 2012), XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(Саратов, 2013), XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения "(Тула, 2014).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, в том числе в 5 статьях в журналах, входящих в список ВАК. Список статей приведён в конце автореферата.

Личный вклад автора. Решение поставленных задач, доказательство теорем, приведённых в диссертационной работе, анализ результатов и выводы из них получены автором самостоятельно.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 49 наименований. Общий объём диссертации 110 страниц. Диссертация содержит 2 рисунка.

Во введении приводится постановка задачи, краткий обзор результатов, полученных ранее и связанных с тематикой диссертационной работы, и излагаются основные результаты, полученные автором в направлении поставленных задач.

В первой главе диссертации изучаются аналитические свойства отдельных классов рядов Дирихле.

В первом параграфе этой главы изучаются аналитические свойства рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами h(n), сумматорная функция которых удовлетворяет условию

Интерес к этой задаче возник в связи с известной гипотезой Н. Г. Чудакова, выдвинутой им в 1950 году14,15, которая предполагает, что конечнозначный числовой характер h(n), удовлетворяющий условиям:

1. h(p) ф 0 почти для всех простых р;

является характером Дирихле.

Числовой характер, обладающий свойствами 1) и 2) называется обобщённым характером: главным, если а ф 0, и неглавным, если а = 0.

Краткое содержание работы.

(1)

2- S(*) = £n^H = az + 0(l)

Для главных обобщённых характеров гипотеза Н. Г. Чудакова была доказана в 1964 году В. В. Глазковым17 . В случае неглавных обобщённых характеров эта проблема остается открытой и по настоящее время.

В работе доказано следующее утверждение.

Теорема 1.2 Пусть Н(п) — конечнозначная, мультипликативная функция натурального аргумента, удовлетворяющая условию 1). Тогда ряд Дирихле

71—1

определяет функцию, регулярную почти во всех точках полуплоскости а > О, за возможным исключением точки в = 1, где она может иметь полюс первого порядка, у которой на границе полуплоскости а = О нет точек «типа полюса».

Здесь точку в = сг + И мы называем точкой «типа полюса», если |/(<т + И)\ стремится к бесконечности, когда а стремится к нулю.

Как следствие теоремы 1.2 в работе приводится аналитическое доказательство гипотезы Н. Г. Чудакова в случае главных обобщённых характеров, отличное от доказательства В. В. Глазкова, в котором существенную роль играло изучение множества возможных значений обобщённого характера.

Высказывается предположение, что аналитические свойства рядов Дирихле, приведённые в теореме 1.2, являются определяющими для Ь-функций Дирихлев в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами.

Второй параграф первой главы посвящен описанию аналитических свойств рядов Дирихлле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке 2 = 1, и приложениям этих результатов в теории степенных рядов.

В начале этого параграфа доказано следующее утверждение

Теорема 1.4 В классе рядов Дирихле

оо

£-/ пв

П= 1

имеющих конечные абсциссы сходимости, следующие условия эквивалентны:

1. соответствующий степенной ряд

00 72=1

определяет функцию, имеющую в точке г = 1 полюс к-го порядка;

2. ряд Дирихле (2) определяет функцию, мероморфную в комплексной плоскости с возможными полюсами первого порядка в точках з = 1,2, ...к (в точке в = к имеет полюс), модуль которой удовлетворяет следующему условию роста в левой полуплоскости комплексной плоскости

где А — некоторая положительная константа.

Как следствие теоремы 1.4 получен следующий критерий рациональности функций, определяемых степенными рядами с целыми коэффициентами.

Теорема 1.5 Степенной ряд

00

д(г) = ^^апгп, \ап\ = 0{пк), к — натуральное, 1

с целыми коэффициентами тогда и только тогда определяет рациональную функцию, когда соответствующий ряд Дирихле определяет мероморфную функцию с возможным конечнъш числом простых полюсов, расположенных в натуральных точках, модуль которой удовлетворяет следующшу условию роста в левой полуплоскости

где А — некоторая положительная константа.

Из теоремы 1.5 следует, что степенные ряды, коэффициенты которых определяются такими теоретико-числовыми функциями, как функция Эйлера, функция Мёбиуса, функция числа делителей натурального числа, определяют функции, аналитически непродолжимые за границу единичного круга. Другим способом этот результат получен в работах19,20.

В качестве другого следствия теоремы 1.4 указан простой способ построения степенных рядов с целыми коэффициентами, определяющих функции, аналитически непродолжимые за границу единичного круга (теорема 1.6).

Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению аналитических свойств рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Основная цель этих исследований — выяснить, в чём свойства таких рядов совпадают и в чём отличаются от свойств Ь-функций Дирихле. В первую очередь здесь показано, что в отличии от Ь-функций Дирихле, существует бесконечно много рядов Дирихле, удовлетворяющих одному и тому же функциональному уравнению римановского типа. А именно, доказана

Теорема 2.1 Пусть ап — ненулевая периодическая последовательность периода й, для которой выполняются условия:

5>n = 0(l);

2.

d d

ate " = am aie d ; m = 1,2,..., ci.

1=1 î=i

Тогда ряд Дирихле с такими коэффициентами удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа

где а — некоторая константа, 5 — величина, равная либо 0, либо 1; /(1 — s) — функция, заданная рядом Дирихле с коэффициентами, сопряжёнными к коэффициентам ап.

Из теоремы 2.1 следует, что линейная комбинация с вещественными коэффициентами L-функций Дирихле с первообразными характерами модуля d одинаковой чётности удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа.

Далее в этой главе исследуются аналитические свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, отражающие поведение этих рядов в критической полосе. С этой целью в работе предлагается новый подход, основанный на быстром приближении рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе полиномами Дирихле.

Приводится численный алгоритм построенияполиномов Дирихле Qn, приближающих ряд Дирихле в любом прямоугольнике: 0 < <т0 ^ с ^ 1, И ^ с показательной скоростью, а также приводятся результаты численных экспериментов, связанных с определением нулей рядов Дирихле, лежащих в критической полосе и с определением поведения модуля значений рядов Дирихле на критической прямой.

В этой же главе исследуются вопросы, связанные с плотностью распределения нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе. Аппроксимационный подход в этой задаче позволил, в частности, доказать следующее утверждение.

Теорема 2.5 Для любого е > 0 для Ne(T) — числа нулей, с учётом их кратности, ряда Дирихле с ненулевыми периодическими коэффициентами, лежащих в прямоугольнике \ - е < о < \ + г, 0 < f ^ Т, имеет место асимптотическая формула

Ne{T) = ^-Т\пТ + 0(Т) + 0(w(t)),

где — некоторая функция, своя для каждого Т.

Отметим, что при доказательстве теоремы 2.5 используется предварительно полученный результат о совместном приближении ряда Дирихле и его производных полиномами Дирихле (теорема 2.4), а также известные факты о нулях почти-периодических функций класса Д23, каковыми являются полиномы Дирихле.

Отметим также, что задача влияния величины 0(ш(Т)) на число нулей для отдельных классов рядов Дирихле остаётся открытой.

Третья глава посвящена изучению отдельных вопросов, связанных с поведением Ь-функций Дирихле в критической полосе, и в первую очередь, связанных с нулями Ь-функций. Ещё в 1923 году Харди и Литтлвуд высказали гипотезу о том, что нетривиальные нули Ь-функций Дирихле лежат на критической прямой27. Эта гипотеза, в отличие от гипотезы Римана о нетривиальных нулях дзета-функции, получила название расширенной гипотезы Римана. Многие аторы занимались проблемой взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана (см., например,28), но она остаётся открытой и по настоящее время.

В начале этой главы приводится доказательство результата, который связывает решение этой проблемы с задачей о расположении нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.

Теорема 3.1 Предположим, что для функции Манголъдта Л(п) и для любого рационального числа (р выполняется асимптотическое равенство

^ Цп)е2^п = Ах + 0(х>>+£),

где е > О, А — константа, которая в зависимости от у может равняться и нулю. Тогда для любого числового характера \ нули Ь-функций Дирихле Ц5>Х)> лежащие в полуплоскости а > \ являются нулями любой целой функции, определённой рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.

Замечание В работе показано, что из асимптотической оценки, приведённой в теореме 3.1, следует основная гипотеза Римана. Но нет никаких оснований утверждать, что из этой оценки следует расширенная гипотеза Римана.

Далее в этой главе приводится доказательство следующего эквивалента расширенной гипотезы Римана.

Теорема 3.2 Нетривиальные нули Ь-функций Дирихле где х ~

неглавный характер Дирихле, тогда и только тогда лежат на критической

27Hardy G. Н. Some problems of Partitia numerorum III / G. H. Hardy, J. E. Littlcwood // Acta Mathematics Bd. - 1922. - c. 44.

28 Спринджук В. Г. Вертикальное распределение нулей дзета-функции и расширенная гипотеза Римана / В. Г. Спринджук // Acta Arithmetica. — 1975. — Х> XXVII. — с. 317—332.

прямой, когда имеет место оценка вида

£Х(р) = 0(х

р^х

где суммирование ведётся по простым числам р и где £ — произвольное положительное число.

Представляет интерес выяснить поведение константы в символе «О» в зависимости от £. Серия вычислении показала, что эта костанта не зависит от е.

Отметим, что численная схема построения полиномов Дирихле, приближающих ряды Дирихле с периодическими коэффициентами, приведённая во второй главе, работает и в случае Ь-функций Дирихле.

Результаты численных экспериментов, в основе которых лежит эта схема, говорят в пользу расширенной гипотезы Римана и в пользу известной гипотезы Линделёфа относительно роста модуля Ь-функций на критической прямой.

В конце этой главы рассматривается задача определения таких свойств ап-проксимационных полиномов Дирихле, которые позволяют говорить о свойстве универсальности Ь-функций Дирихле (по поводу этого свойства см.13).

Основные результаты и выводы

1. Получены новые аналитические свойства рядов Дирихле с обобщёнными характерами, что позволило получить аналитическое доказательство гипотезы Н. Г. Чудакова в случае главных обобщённых характеров.

2. Получены определяющие аналитические свойства рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, регулярным внутри единичного круга и имеющим полюс конечного порядка в точке единица. Это позволило, в частности, сразу получить аналитическую непродолжимость за границу единичного круга степенных рядов, коэффициенты которых опреде-ляютя теоретико-числовыми функциями.

3. Указан новый подход в задаче исследования аналитических свойствв критической полосе рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. В основе этого подхода лежит конструкция полиномов Дирихле, быстро приближающих ряды Дирихле в критической полосе. В частности, этот подход позволил получить плотностные теоремы для нулей рядов Дирихле, лежащих в критической полосе.

4. Получены новые результаты, связанные с нетривиальными нулями Ь-

функций Дирихле. А именно, получены результаты в направлении ре-

шения проблемы о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Рима-на, а также получен новый эквивалент расширенной гипотезы Римана.

5. Новый аппроксимационный подход в задаче исследования аналитических свойств Ь-функций Дирихле позволил не только провести серию численных экспериментов, результаты которых говорят в пользу расширенной гипотезы Римана и гипотезы Линделёфа, но и позволили определиться с такими свойствами аппроксимационных полиномов Дирихле, которые обеспечивают свойство универсальности Ь-функций Дирихле.

Таким образом, в диссертационной работе получен ряд результатов, имеющих важное значение в теории 1-функций Дирихле.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Валентину Николаевичу Кузнецову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, входящих в список ВАК

1. Матвеева О. А. К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, определяющих целые функции и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана / Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. // Известия Саратовского университета. Новая серия, т. 11. Серия: Математика. Механика. Информатика — Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та. - 2011 - Вып. 3, с. 21 - 25.

2. Матвеева О. А. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. / Коротков А. Е., Матвеева О. А. // Научные ведомости Белгородского государственного университета. — Белгород: Изд-во "БелГУ",- 2011 - Вып. 24, с. 47 - 54.

3. Матвеева О. А. К задаче описания степенных рядов с целыми коэффициентами, непродолжимых за границы сходимости и определяющих рациональные функции / Матвеева О. А. // Учёные записки Орловского государственного университета. Научный журнал. Серия: естественные, технические и медицинские науки. — Орёл: Изд-во ВГСПУ "Перемена".- 2012 - Вып. 6, ч.2, с. 153 - 156.

4. Матвеева О. А. Аппроксимационные полиномы и поведение Ь-функций Дирихле в критической полосе. / Матвеева О. А. // Известия Саратовского университета. Новая серия, т. 13. Серия: Математика. Механика. Информатика — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. — 2013 — Вып. 4 ч 2 с. 80 - 84.

5. Матвеева О. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Рима-на для Ь-функций Дирихле числовых полей. /Матвеев В. А., Матвеева О. А. // Известия Саратовского университета. Новая серия, т. 13. Серия: Математика. Механика. Информатика — Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та. - 2013 - Вып. 4, ч. 2, с. 76 - 80.

Публикации в прочих изданиях

6. Матвеева О. А. О некоторых условиях периодичности конечнозначных мультипликативных функций. /Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Полякова О. А. (Матвеева О. А.) // Межвузовский сборник научных трудов : Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. — Саратов: Изд-во СГУ — 2010 — Вып. 4, с. 55 -62.

7. Матвеева О. А. Расширенная гипотеза Рпмана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. /Кузнецов В. Н., Полякова О. А. (Матвеева О. А.) // Чебышевский сборник: научно-теоретический журнал. — Тула: Изд-во ТПГУ — 2010 — т. 11, вып. 1, с. 188 - 198.

8. Матвеева О. А. Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле

с мультипликативными конечнозначными коэффициентами/Матвеев В. А., Матвеева О. А. // Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения" —Тула: Изд-во ТПГУ - 2014 - с. 240.

9. Матвеева О. А. Об определяющих аналитических свойствах рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке = 1 / Кузнецова Т. А., Матвеева О. А. // Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения" —Тула: Изд-во ТПГУ — 2014 — с. 237 - 238.

10. Матвеева О. А. О граничном поведении одного класса степенных рядов. / Матвеева О. А. // Труды Международной конференции: многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии. / Чебышевский сборник: научно-теоретический журнал. — Тула: Изд-во ТПГУ — 2011 - т. 12, вып. 3, с. 86 - 93.

11. Матвеева О. А. О граничном поведении степенных рядов с целыми коэффициентами. /Матвеева О. А. // Межвузовский сборник научных трудов: Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. — Саратов: Изд-во СГУ — 2012 — Вып. 7, с. 78 - 81.

12. Матвеева О. А. О рядах Дирихле, определяющих мероморфные функции с определённым порядком роста модуля. /Кузнецов В. Н., Кривобок В. В., Сецинская Е. В., Матвеева О. А. // Межвузовский сборник научных трудов: Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. — Саратов: Изд-во СГУ — 2012 — Вып. 7, с. 58 - 68.

13. Матвеева О. А. Почти периодические функции и плотностные теоремы для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами / Матвеева О. А. //Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения" — Тула: Изд-во ТПГУ - 2014 - с. 238 - 239.

14. Матвеева О. А. О нулях полиномов Дирихле, аппроксимирующих в критической полосе L-функции Дирихле. / Матвеева O.A.// Чебышев-ский сборник: научно-теоретический журнал. — Тула: Изд-во ТПГУ — 2013 - т. 14, вып. 2, с. 117 - 121.

15. Матвеева О. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Рима-на / Матвеев В. А., Матвеева О. А. // «Студенческая наука: перекрестки теории и практики». Материалы I Внутривузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов — Саратов: Издательский центр "Наука" — 2013 — с. 146 - 152.

Подписано в печать Формат 60x84 1/16 Объем 1,25 Тираж 120 экз. Заказ №160-Т

Типография СГУ г. Саратов, ул. Большая Казачья 112а тел.: (845-2)27-33-85