Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Коротков Александр Евгеньевич

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА РЕДУКЦИИ К СТЕПЕННЫМ РЯДАМ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел

2 4 ЯН8 2013

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск 2013 г.

005048676

Paum-a выполнена па кпфедре компыо-i cpnoii алгебры и теории 1 ihcc.i в Ф':лг[>;ымюм госу.вцк-пяиюм бюджетном образовательном учреждении пыешего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чер........ейского»

Научный руководитель: доктор технических паук.

профессор

Кузнецов Валентин Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико математических паук,

профессор, ФГБОУ ВПО «Тульский 1 осударп Hei nii.iii у i I и вере итет»,

заведующий кафедрой информационных технологий Добровольский Николай Михайлович

доктор физики математических наук профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.», кафедра математики и моделирования Бредихин Дмитрий Александрович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Самарский государственны!! университет»

Защита, диссертации состоится 20 февраля 2013 г. в 1300 часов на заседании диссертационного сове-га Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет» по адресу: г. Ульяновск, уд. Набережная р. Свияги. ЮС, корн. 1. ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяпонского государственного университета. С авторефератом можно ознакомиться на сайте http://www.uni.nbiti.ru и на сай ге Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образовании и науки Российской Федерации http: / / vak. ed.gov .ni

Отзывы на автореферат просьба присылать по адресу: 432017. г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42. УлГУ, Отдел послевузовского профессионального образования.

Автореферат разослан «___» января 2013 г.

Ученый секретарь диссерта!ihoiiiioi о совета:

М.А. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Данная диссертационная работа посвящена некоторым приложениям в теории чисел так называемого метода редукции к степенным рядам. Суть метода редукции к степенным рядам заключается в том, что доказательство отдельных аналитических свойств рядов Дирихле сводится к проверке определенных граничных свойств соответствующих (с теми же коэффициентами, что и ряды Дирихле) степенных рядов и наоборот. Основные положения метода редукции к степенным рядам были заложены в работах В. Н. Кузнецова1-2-3,4. В работе1 было показано, что ряды Дирихле с конечнозначными коэффициентами тогда и только тогда определяют меро-морфную функцию с единственным возможным простым полюсом в точке s -- 1, и с определенным порядком роста модуля в левой полуплоскости комплексной плоскости, когда соответствующий степенной ряд определяет функцию либо регулярную в точке 2 — 1,'либо имеющую в этой точке полюс первого порядка. В работах2"1-4 изучается взаимосвязь между аналитическими свойствами рядов Дирихле и граничным поведением соответствующих степенных рядов без условия регулярности этих рядов в точке г = 1. Кроме того, в этих работах рассматривались задачи, которые требовали изучения граничного поведения соответствующих степенных рядов во всех точках единичной окружности. Здесь же подход изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на изучении граничного поведения соответствующих степенных рядов, впервые получил название метода редукции к степенным рядам.

1Ку,тсц1т В. 11. Аналог теоремы Curo для одного клпссл ,'/ Мит. паники. 1084. т. 36, № С. с. 805 812.

'Ку:>иг.цоп В: Н. 06 «пялн'шчжким продолжении одного класса, рндон Дирихле // Вычислительные методы и 1ф|>грайми)кки|шс:.Мсжнуи. «куч. »<>.• Саратов: И:(Д-по Сарат. ун-та. 1987. т. 1. е. 17 23.

*Ку:тс.Ц1ю В. Н. К мадаче описания одного класса рядом Дирихле, определяющих целые функции ,"' ■ .Вычислительные мегоды и программщкшаиие: Межнуд. науч. сб. Caparon: Илд-ио Capar. ун-та. 1088. т. I. с.-(М- 72. . ■ ■ ■ " •, :■-,...

*Куянещт В. II. Метод [х-дукиип к степенным рядам » ладаче о. целостности .композита рядои Дирихле ,-' Труды 4-оп Capa r, шмпен школы по теории функции н приближений. Сарато»: Илд-no Capa r, ун-та. 1089. i. 1. с. 117 149.

Дальнейшее развитее метод редукции к степенным рядам получил в работах В. Н. Кузнецова и его учеников5'"'7,8,9,10, что позволило получить новые результаты в теории ¿-функций и в теории степенных рядов.

Так в работе5 была получена апнроксимациоиная характеристика классических ¿-функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнознач-ными коэффициентами. А именно, показано, что ¿-функции в этом классе характеризуются тем свойством, что в любой полосе допускают аппроксимацию полиномами Дирихле с показательной скоростью. Более того, указывается явная конструкция этих аппроксимирующих полиномов.

В работах0,7 изучалась задача о целостности композита двух рядов Дирихле, что позволило частично решить известную гипотезу Ю. В. Линника о целостности скалярного произведения ¿-функций Дирихле числовых полей. Показано, что стеленные ряды, отвечающие ¿-функции Дирихле числовых полей, допускающих разложение в произведение классических ¿-функций Дирихле, аналитически непродолжимы за границу граничного круга. Там же7 изучалась задача описания рядов Дирихле с произвольными коэффициентами, для которых соответствующий степенной ряд имеет конечные радиальные производные любого порядка в точке z — 1. Показано, что в этом случае

3Водолазов А. М., Кузнецов В. Н. Аипршспшашюиный критерий периодичшх:ти конечншна'ших функций натурального аргумента ;'/ Исследования но алгсГ>ре, теории чисел, функциональному аналпчу и смежным »опросам: Межвуз. сб. науч. тр. Capa ron : Инд-во Capar, гос. ун-т». 2U03. т. '2. с. 27 32.

"Кузнецов В. II., Сщюхинн Е. В. К попреку о целостности комш/шта ¿-функций числовых нолей //

Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : Межвуч. сб.

науч. тр. Саратов : Ичд-no Capar, iw. ун-та. '2003. т. 1. с. 31 43.

7 О'.цингыш В. В. Граничное шшедение степенных рядов, отвечающих ¿-фупкцимм числовых нолей. Дис. ... канд. фип.-ма г. паук. Сара гон. Саратов: СГУ, 2005.

"Кривобок В. В. О рядах Дирихле с копечнтначными мультипликативными ко->ффициен гамп, удовлетворяющими «функциональному уравнению римановского тина // Инвестия Саратовского ун- та. Новая серия. Серия Мач-емагика. Механика. Информа тика. Саратов : Ичд-во Саря-r. уп-ча. 2007. т. 7. № 1. с. 13 -15.

9Кузнецов В. Я, Сецииская. Е. В., Кривобок В. В. О рядах Дирихле, определяющих целые (функции первого порядка //' Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному ai Галичу и смежным вопросам : Меж пул. сб. науч. тр. Саратов : Ичд-во Capar, гос. ун-та. 2005. т. 3. с. 47-58.

ыКузнецов в. Я., Кривобок В. В., Матвеева О. А., Сецииская Е. tí. О рядах Дирихле, определяющих меромоукфные (функции с определенным порядком роста модуля // Исследования но алгебре, теории чисел, функциональному нналюу и смежным нощхк-ам : Межвуч. сб. науч. тр. Саратов : Ичд-во Сарат. гос. ун-та. 2012. т. 7. с. 58 CS.

ряд Дирихле определяет целую функцию, значения которой в отрицательных натуральных точках выражаются через радиальные производные степенного ряда в точке z == 1. ' : '

В работе8 показано, что в классе эйлеровых произведений с коиечнознач-ными коэффициентами только L-функции Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана.

В работах11'10 получено описание рядов Дирихле в случае произвольных коэффициентов, для которых соответствующий степенной ряд либо регулярен в точке z — 1, либо имеет в этой точке полюс конечного порядка. Эти результаты нашли применение в теории степенных рядов11-12.

Объектом исследования в диссертации являются стёпенные ряды и ряды Дирихле, в частности ¿-функции Дирихле.

Предметом исследования являются определение характера значений степенных рядов и рядов Дирихле в алгебраических точках, а также'построение алгоритма поиска нулей L-функций Дирихле.

Цель и задачи работы. Используя основные положения метода редукции к степенным рядам получить новые результаты в направлениях решения следующих задач:

1. Для степенных рядов, полученных в результате произведения по Дирихле двух степенных рядов с периодическими коэффициентами, определить характер значений (алгебраичность пли трансцендентность) радиальных производных в точке z—\.

2. Исследовать задачу о характере значений (алгебраичность или трансцен-

11 M(imw;i:aa О. Л. О граничном поведший одною класса стеленных ридои // Труды международной научно-технической конференции : Мпогонасштабное ыоделироналие структур и нишпехнологий. Чсбы-нччк-кий сборник : Ннуч.-тсор, журп.'Тула : И:»д-ио Тульского гос. под. ун-т». 2011. т. XII, 3(39). г. 80 93.

12 M(i>ti(it:caa О. А. К чадачс описания стешшых рядом с целыми коэффициентами, нещюдолжимых ач границу сходимости // Труды X мсждугпцюдной конференции «Алгебра и теория мним: современные проблем:.! и приложения». Волгоград : Инд-но Волю] р. юг. соц. педагогии, ун-та «Пс1>смспн». 2(112. с. 74 81.

дентность) в алгебраических точках функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа. В частности о характере значений в алгебраических точках ¿-функций Дирихле.

3. Провести численные эксперименты, основанные на численных методах.

Разработать новые численные-алгоритмы и провести численные эксперименты, связанные с определением , нулей функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе.

Как следует из вышесказанного эти задачи являются актуальными.

Методы исследования. В работе использовались аналитические методы, применяемые в теории степенных рядов и рядов Дирихле, методы трансцендентной теории чисел и методы компьютерных вычислений.

Научная новизна. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения поставленных выше задач, нужно отнести следующие.

1. Показано, что для произведения по Дирихле двух степенных рядов с алгебраическими периодическими коэффициентами, регулярными в точке 2=1 существуют радиальные производные в точке 2 -- 1 любого порядка, которые являются алгебраическими числами.

2. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа показано, что они принимают трансцендентные значения в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от величины <5 (<5 = 0 или 6 = 1), входящей в функциональное уравнение.

Тем самым получено новое доказательство о трансцендентности значений ¿-функций Дирихле в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от четности характера Дирихле.

3. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, определяющих целые функции задачу о трансцендентности значений

этих функций в положительных алгебраических точках удалось свести к задаче определения порядка роста последовательности высот алгебраических чисел Qk.(o), 'Vie Qi- (s) последовательность полиномов Дирихле (которые определяются явным образом) с алгебраическими коэффициентами, аппроксимирующих функцию, заданную рядом Дирихле на положительной полуоси с показательной скоростью.

4. Разработана численная схема относительно определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. Проведены численные эксперименты связанные как с расширенной гипотезой Римана, так и с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана, которая, как показано в13, связана с нулями целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

5. ('оставлена программа на языке python, реализующая эту численную схему, которая достаточно быстро выдает результаты относительно нулей аппроксимируемых функций в заданном прямоугольнике критической полосы.

Основные положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:

1. У ряда, являющегося произведением по'Дирихле двух степенных рядов с алгебраическими периодическими коэффициентами, регулярными в точке z '— 1, существуют радиальные производные в точке г =•• 1 любого порядка, которые являются алгебраическими числами.

2. Ряды Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, удовлетворяющие функциональному уравнению римановского типа при-

1:,/u/.»"4"" О. Я, Полхата О. А. Расширенная гипотта Римана и пули функцнЛ, заданных радами Дирихле- с. порподичсскпми кочффпцишгтми // Чобг.шгашкнй сборник : На.уч.-ттор. жури. Тула : Ичд-ио Тулы-кого I'otr. под. ун-та. 2010. т. И, № 1. с. 188 109.

нимают трансцендентные значения в четных или нечетных натуральных точках.

3. Сведение задачи о трансцендентности значений целых функций, определяемых рядами Дирихле с алгебраическими коэффициентами, в положительных алгебраических точках к задаче определения порядка роста последовательности высот алгебраических чисел Як (а), где Як (з)

последовательность полиномов Дирихле с алгебраическими коэффициентами, аппроксимирующих функцию, заданную рядом Дирихле на положительной полуоси с показательной скоростью.

4. Описание численной схемы относительно определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

5. Результаты численных экспериментов связанных как с расширенной гипотезой Римана, так и с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана, которая, связана с нулями целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

Все приведенные выше результаты опубликованы в журналах, входящих в список ВАК и материалах Международных конференций но алгебре и теории чисел.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа в основном носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть полезны специалистам, работающим в области теории Ь-функций, в области диофантова анализа и трансцендентной теории чисел, а также в области степенных рядов. Результаты работы могу быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов студентам Саратовского государственного университета, Самарского государственного университета, Тульского государственного педагогического университета.

Достоверность. Достоверность результатов, полученных в данной рабо-

те, обеспечивается строгими теоретическими выкладками и доказательствами, опирающимися на методы теории чисел и функций комплексного переменного.

Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации.обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:

VIH Международная конференция «Алегбра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная 190-летшо П. Л. Чебышева и 120-летию И. М. Виноградова (Саратов, 2011);

X Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Волгоград, 2012);

Научные конференции на механико-математическом факультете Саратовского Государственного Университета (2009-2012);

Семинары кафедры компьютерной алгебры и теории чисел Саратовского Государственного Университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи в журналах из списка ВАК. Список статей приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Все результаты, приведенные в диссертации и выносимые на защиту получены либо самостоятельно автором, либо в соавторстве, причем вклад диссертанта, был определяющим.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит -15 наименований. Общий объем диссертации 80 страниц. Диссертация содержит 2 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация теорем, предложений н следствий в данной работе соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

Во введении дается постановка задами и краткий исторический обзор результатов, полученных ранее и связанных с тематикой данной работы.

Первая глава является вводной. В ней излагаются те результаты метода редукции к степенным рядам, которые нашли непосредственное приложение в задачах, решаемых в диссертации. При изложении этих результатов особый упор сделан на следующие моменты

1. Если ряд Дирихле

ос

71 = 1

с конечнозначными коэффициентами определяет целую функцию, то у соответствугощехю степенного ряда

ос

g(z) = J2a»z"

71 = 1

существуют радиальные производные вида

lim {*) = <*», « = 0,1,2,3..., (1)

.,---»1-0

которые связаны определенным образом с радиальными производными функции су (е-1):

lim q{n} (е-*) = а„, п = о, 1,2,3..., (2)

.¿-->0+0" v '

и выполняются равенства

/(-п) = а„, п = о, 1,2,3.... (3)

2. Если для степенного ряда д(г) с произвольными коэффициентами существуют радиальные производные вида (1), го существуют и радиальные производные вида (2). Функция f (s), определенная соответствующим рядом Дирихле, является целой и для нее выполняются равенства вида (3).

3. Для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, определяющих целые функции, существует явная конструкция полиномов Дирихле д„(а), аппроксимирующих эти функции в любом прямоугольнике 0<(Т<1, 0<КТс показательной скоростью О <7 > 1, где величина ц зависит от периода коэффициентов и явно вычисляется в каждом случае.

Во второй главе приводится решение ряда задач, связанных с трансцендентностью значений функций, заданных степенными рядами, рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, в натуральных точках, а также в алгебраических точках положительной полуоси. В основе доказательства этих результатов лежат приведенные выше положения метода редукции к степенным рядам. А именно, приводится доказательство следующих утверждений: Теорема 2.2 Пусть даны ряды с алгебраическими, периодическими коэффициентами

-1 ос л;

<7, (г) = £>„;:", -

п=1 »-1

имеющими ограниченную сумматориую функцию

£>„=--О (1), £> = 0(1).

п<М п<М

Тогда степенной ряд, являющийся результатом их произведения по Дирихле:

ос _

9 О) "= ¿71 (-г) ° 92 (г) = ^ е,,У\ с„ = ак ■ 6/,

71=1 к-1 — п

имеет конечные радиальные производные в точке г = 1: Ига д(">(х) = ап, п — 0,1,2,3...,

г >1 о

являющиеся алгебраическими числами. Теорема 2.3 Пусть дай ряд Дирихле

з = а+И,. . (4)

£-' 11Л

П~-1

с периодическими, алгебраическими.> коэффициентами, который определяет функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению римановского типа:

где а - некоторая алгебраическая константа; 6 величина, равная либо О, либо 1; к период последовательности коэффициентов; /(.ч) функция, определенная рядом Дирихле с сопряо/сснными к коэффициентами.

Тогда ряд Дирихле (4) принимает трансцендентные значения в точках

.ч . 2/,: ; 6.

Как следствие теоремы 2.3 имеет место

Теорема 2.4 Ь-функция, Дирихле с неглавным первообразным характером принимает трансцендентные значения в четных положительных точках при четном, характере и в нечетных положительных при нечетном.

Теорема 2.5 Пусть ряд Дирихле /(я) с периодическими, алгебраическими коэффициентами определяет целую функцию. Тогда он допускает, приближение полиномами Дирихле (¿„(а) с показательной скоростью. Пусть а алгебраическое, положительное число.

1/(с0-<?»(«)! = о р> 1.

Тогда, если последовательность высот значений аппроксимирующих многочленов С},, (в) в точке а „, удовлетворяют условию:

Н(1, << р", для любого р > 1 (при п оо),

значение ряда Дирихле /(а) является трансцендентным числом.

Третья глава посвящена задаче определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, заданными в прямоугольнике 0 < ст < 1, 0 < £ < Тс помощью аппроксимирующих полиномов. В частности, определению нетривиальные нулей ¿-функций Дирихле. В основе этого алгоритма лежат следующие факты:

Если ряд Дирихле

эс

с периодическими коэффициентами определяет целую функцию, то существует последовательность полиномов Дирихле ('¿„ (й) вида

" Л»)

<ш Е> ■ <6>

А.-1

такая, что в любой полосе: а > (Гц > 0, < Т имеют место следующие оценки

где р некоторая константа, большая чем 1.

При этом, в качестве коэффициентов полиномов Дирихле (6) можно взять коэффициенты Щ алгебраических полиномов

л и

Р„ (X) = Рп (х) = X] С№ (I) = Е V,

А—О 1-0

где Тд:(гс) многочлены Чебышева, а сь вычисляются по формулам

г-1

С, = 2- [ (i)Tfc(t)fit,

7Г 7-1 vi -12

где <j(t) степенной ряд, с теми же коэффициентами, что и ряд (5)

По описанному алгоритму была написана компьютерная программа на языке программирования python, и проведена серия численных экспериментов, результаты которых отражены в конце этой главы.

Отдельные результаты этих экспериментов приведены на рисунках 1,-2.

В заключении отметим, что в работе разработан подход к задаче о трансцендентности значений //-функций Дирихле в положительных' алгебраических точках, в результате которого эту задачу свели к задаче оценки высот некоторой последовательности алгебраических чисел. Автор надеется, что

60

50

40

30

20

10

02

04

06

08

а

GO

SO 1

40-

30

20

10

0 49Э7 0 49985 D

S CT

Рис. 1: Расположение нулей апнрокснмациопных полиномов 57 и 112 степеней для L-функции с периодом коэффициептои 3

Г 60

50

40

30

20

10

t 35

30

25-

го

15

10

0 4 0 5 0.6 0.7 08 09 а

02

04

0 6

0.8

Рис. 2: Расположение пулей апнроксимациопиых полиномов 27 я 07 степеней для ряда Дирихле с иемультипликативимми периодическими коэффициентами периода 5

данный подход может быть эффективным в случае алгебраических чисел не превосходящих единицы. Автор надеется также, что удастся показать, что нули полиномов Дирихле, аппроксимирующих L-функции Дирихле, имеют ту же кратность, что и нули L-функций. Наконец, нужно сказать, что перечень приложений, указанных в начале автореферата и рассматриваемых в данной диссертации, далеко не исчерпывают все приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел.

Основные результаты и выводы. В данной работе метод редукции к степенным рядам получил свое дальнейшее развитие для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Во-первых, это позволило получить следующие результаты, представляющие интерес в теории трансцендентных чисел:

1. Доказано, что для произведения но Дирихле двух степенных рядов с алгебраическими периодическими коэффициентами в точке г — 1 существуют радиальные производные любого порядка, которые являются алгебраическими числами.

2. Показано, что ряды Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, удовлетворяющие функциональному уравнению римановского типа принимают трансцендентные значения в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от величины S, входящей в функциональное уравнение.

В частности, как следствие получаем новое доказательство о трансцендентности значений L-функций Дирихле в четных пли нечетных натуральных точках в зависимости от четности характера Дирихле.

Во-вторых, метод редукции к степенным рядам позволил получить новый численный алгоритм получения нулей рядов Дирихле, с периодическими коэффициентами в критической полосе. Особенности этого алгоритма заключаются в следующем:

1. В основе этого алгоритма лежит явная схема получения полиномов Дирихле Q„(s), аппроксимирующих ряды Дирихле в полосе Res > 0.

|/ms| < T, с показательной скоростью. Такие полиномы и случае алгебраических периодических коэффициентов принимают в алгебраических точках алгебраические значения, что позволяет надеяться с их помощью показать, что такие ряды Дирихле в алгебраических положительных точках принимают трансцендентные значения.

2. Теоретические доводы и результаты численных экспериментов позволяют высказать предположение, что в прямоугольнике 0 <ст<1,0<1<Т нули аппроксимирующего полинома Q„{s), где п = [кг«]! а И0ЛНЧШ,А q > 1 и явно определяется периодом коэффициентов, совпадают с нулями функции f(s), определенной рядом Дирихле.

В случае истинности этого предположения можно не только уточнить картину расположения нулей ¿-функций Дирихле на критической прямой, но и получить результаты относительно других свойств L-функций, например, относительно их поведения вдоль мнимой оси.

Автор выражает глубокую благодарность и сердечную признательность научному руководителю Валентину Николаевичу Кузнецову.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

■ Публикации в изданиях, входящих в список ВАК

1. Кпрдтков А. Е.. Мтнвсгва О. А. Об одном численном алгоритме определения пулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математик;). Физика : Научный рецензируемый журнал. Белгород : Изд-во НИУ «Бел-ГУ»'. 2011. вып. 24, 17(112). с. 47 53.

2. Короткое А. Е. Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел /./ Ученые записки Орловского государственного университета. Серия: Естественные, технические и медицинские пауки : Научный журнал. Орел : Изд-во Орлов, гос. ун-та. 2012. № С. с. 118 124.

3. Короткое А. Е. О граничном поведении одного класса степенных рядов // Вестник Самарского государственного университета - Естественнонаучная серия. Самара : Изд-во Самар. гос. ун-та. 2012. -0(97). с. 22- 26.

Публикации в прочих изданиях

4. Кузнецов В. #., Короткое А. В., Сте.паиснко Д. С. К вопросу о -гранцеидент-ности значений рядов Дирихле с периодическими алгебраическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римапа, в точках з — 2А. к = 1,2,3,... / / Исследования но алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вощюсам : Межиуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. гос. ун-та. ■ 2009. т. 5. с. 44- 47.

5. Кузнецов В. Я., Кузнецова Т. А,, Короткое А. Е.. Ермоленко А. А. Аинрокснмацпоп-in.iii подход п задаче о трансцендентности значении ¿-функций Дирихле в алгебраических точках на положительной полуоси // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : Межиуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. гос.. ун-та. 2009. - т. 5. •• с. 47- 51.

0. Короткое А. Е., Сщтижал Б. В. Об одном классе степенных рядов, принимающих трансцендентные значения в алгебраических точках // Исследования но алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : Межв.уз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-no Сарат. гос. ун-та. - 2010. т. G. с. 24 27.

7. Коновалов Ю. П., Короткое А. Е. О численном эксперименте в проблеме распределения путей L-функции Дирихле // Чебьппевский сборник : тр. VIII междупар. коиф. «Алгебра и теории чисел: современные проблемы и приложения». Тула : Изд-во Тул. гос. пед. ун-та. 2011. - т. 12, 2(38). с. 34 38.

8. Короткое А. Е., Полякова О. А. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Аглебра и теория чисел: современные проблемы и приложения : Тез. докл. VIII междупар. конф. Саратов : Изд-во Сарат. гос. ун-та. - 2011. - с. 31 32.

9. Короткое А. Е. Приложение метода редукции к степенным рядам к некоторым задачам в теории чисел // Исследования но алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : Межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. гос. ун-та. 2012. т. 7. с. 44-53.

10. Короткое А. Е. Приложение метода редукции к степенным рядам к некоторым задачам в теории чисел // Аглебра и теория чисел : современные проблемы и приложения : Тез. докл. X междупар. конф. Волгоград : Изд-во ВГСПУ «Перемена». 2012. с. 35 30.

Подписано в печать 15.01.2013 Формат 60x48 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 120 экз. Заказ № 3-Т

Типография Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского 410012 г. Саратов, ул. Большая Казачья, д. ,112а Тел.: (8452) 27-33-85

1 Избранные вопросы метода редукции к степенным рядам

1.1 О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка

1.2 Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента.

Актуальность работы Рассмотрим ряд Дирихле сю

5 = а + Ш</сь = 1, (1) пь п=1 и соответствующий степенной ряд (с теми же коэффициентами, что и ряд (1)): оо п= 1

Ряд Дирихле / (я) абсолютно сходится в полуплоскости а > 1, а степенной ряд д (г) сходится при \г\ < 1.

Метод редукции к степенным рядам устанавливает взаимосвязь между аналитическими свойствами функции / (5), определенной рядом (1), и поведением функции д (г), определенной рядом (2) на границе сходимости.

Эта взаимосвязь устанавливается на основании изучения свойств прямого и обратного преобразований Меллина: оо

5) Г {з) = I д(е~х)х8-Чх, а > 1, (3) о сг+гоо 1(з)Г(з)х~Чз, С7>1, (4)

7—гоо где Г (5) — Г-функция Эйлера, д (е~х) = ап^~пх, х > 0.

Впервые основные положения метода редукции к степенным рядам были заложены в работе [24], в которой на основании изучения свойств преобразований (3) и (4) было показано, что в случае конечнозначных коэффициентов ряд Дирихле (1) тогда и только тогда определяет мероморфную функцию с единственным возможным полюсом первого порядка в точке я = 1, модуль которой удовлетворяет следующему условию роста модуля s)| = О (еМьМ+лн), а<0, (5) где А —- некоторая положительная константа, когда функция g(z), определенная степенным рядом (2), либо регулярна в точке z = 1, либо имеет там полюс первого порядка. Существенным моментом при этом было доказательство того факта, что в случае когда ряд Дирихле (1) определяет целую функцию / (s) степенной ряд (2) имеет в точке z — 1 радиальные производные вида lim д{п){х) = ап, п = 0Д,2,., (6) х—>1-0 и при этом значения / (—п), п = 0,1, 2,., выражались через эти радиальные производные.

Для степенных рядов с конечнозначными коэффициентами известная теорема Сеге [7] утверждает, что такой ряд тогда и только тогда определяет функцию, регулярную в точке z = 1 или имеющую там полюс, когда коэффициенты этого ряда являются периодическими, начиная с некоторого номера. Этот известный факт о граничном поведении степенных рядов с конечнозначными коэффициентами позволил получить аналитическую характеристику L-функций Дирихле [24]: в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами L-функции Дирихле определяются как мероморфные функции с единственным возможным полюсом первого порядка в точке s = 1 с условием роста модуля вида (5).

В дальнейших работах В. Н. Кузнецова [26], [27], [25] рассматривались ряды Дирихле, аналитическое продолжение которых сводилось к задаче о граничном поведении определенных степенных рядов во всех точках единичной окружности. При этом соответствующие степенные ряды имели в точке z = 1 радиальные производные вида (6) и в то же время были аналитически непродолжимы за границу единичного круга. В результате чего подход изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на сведении этой задачи к задаче о граничном поведении соответствующих степенных рядов получил название метода редукции к степенным рядам.

В период с 2003 по 2012 годы метод редукции к степенным рядам и его приложения в теории ¿-функций числовых полей и в теории степенных рядов получили свое дальнейшее развитие в работах В. Н. Кузнецова и его учеников.

Так в работе [8] методом редукции к степенным рядам получен аппрок-симационный критерий для ¿-функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами: показано, что в этом классе ¿-функции Дирихле определяются как такие функции, которые в любой полосе а > 0, Щ < Т можно приблизить полиномами Дирихле с показательной скоростью. При этом указана явная конструкция аппроксимирующих полиномов. Нужно отметить, что в работе [8] аппроксимирующий критерий был получен для рядов Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами в классе рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, что, как показано в данной диссертации, позволяет достаточно быстро определить значения целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами в прямоугольнике 0 < ст < 1, 1 < £ < Т.

В работах [35], [34], [41] исследовалась задача существования радиальных производных вида (6) для степенных рядов, отвечающих рядам Дирихле вида (1). В частности, исследовалась задача о целостности композита двух рядов Дирихле вида (1), т.е. пусть ряды Дирихле со в = <т +и, п=1 со ^

2(5) = У" А Б = <7 + й ГГ п=1 определяют целые функции и нужно определить при каких условиях ряд Дирихле

ОС

А-/

71=1

Было показано, что этот факт имеет место, когда /1 (й) и /2 (в) являются произведением классических ¿-функций Дирихле с неглавными характерами Дирихле. Существенным моментом при этом был результат [33], являющийся обобщением известной теоремы Адамара об умножении особенностей [43].

Полученные результаты нашли применение [33] в задаче о целостности скалярного произведения ¿-функций Дирихле числовых полей.

В работах [23], [31] изучалась задача о том, насколько функциональное уравнение римановского типа где /(з) — функция, определяемая рядом Дирихле вида (1), а /(5) — функция, определенная рядом Дирихле с сопряженными к коэффициентам, 6 и 5\ — величины, равные либо 0, либо 1, к — натуральное, определяет функцию /(з).

В работе [23] методом редукции к степенным рядам было показано, что функциональному уравнению (7) в классе эйлеровых произведений с конеч-нозначными коэффициентами удовлетворяют только Ь-функции Дирихле с первообразными характерами модуля к.

Известный пример Дэвенпорта-Хейльбронна [1] показал, что в классе рядов Дирихле с периодическими коэффициентами функциональному уравнению (7) могут удовлетворять не только ¿-функции Дирихле. В работе [31] были получены условия, при которых ряды Дирихле с периодическими коэффициентами удовлетворяют функциональному уравнению (7). Было показано, что таких рядов Дирихле существует бесконечно много.

В работах [34], [29] изучались аналитические свойства рядов Дирихле вида (1), для которых соответствующие степенные ряды (2) определяют функции либо регулярные в точке г = 1, либо имеющие в этой точке полюс порядка к. Было показано, что это либо целые функции, модуль которых удовлетворяет условию (5), либо мероморфные функции, имеющие возможные простые полюсы в точках 5 = 1,2К. Результаты этих исследований нашли приложение в теории степенных рядов [39], [38].

Постановка задачи. Как уже отмечалось выше, метод редукции к степенным рядам позволяет:

- устанавливать связи между значениями /(—п), п ~ 1,2,., где /(й) — целая функция определенная рядом Дирихле, и значениями радиальных производных вида (6) для соответствующего степенного ряда

- строить полиномы Дирихле, аппроксимирующие в полосе а > 0, < Т целые функции, заданные рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, с показательной скоростью.

Перед автором была поставлена задача найти приложения этих результатов в задаче о трансцендентности значений в положительных алгебраических точках целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами и удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа, а так же в задаче определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. Как показано в [32] последняя задача связана с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотезой Римана.

Таким образом, можно говорить об актуальности тематики исследований данной диссертационной работы.

Научная новизна. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения поставленных выше задач, нужно отнести следующие.

1. Показано, что для произведения по Дирихле двух степенных рядов с алгебраическими периодическими коэффициентами, регулярными в точке г = 1 существуют радиальные производные в точке г = 1 любого порядка, которые являются алгебраическими числами.

2. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа показано, что они принимают трансцендентные значения в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от величины 5 (5 = 0 или 6 = 1), входящей в функциональное уравнение.

Отметим, что в основе этих двух результатов лежит взаимосвязь между значениями целых функций, определенных рядами Дирихле, в отрицательных целых точках и значениями радиальных производных соответствующих степенных рядов. Тем самым получено новое доказательство о трансцендентности значений L-функций Дирихле в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от четности характера Дирихле.

3. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, определяющих целые функции задачу о трансцендентности значений этих функций в положительных алгебраических точках удалось свести к задаче определения порядка роста последовательности высот алгебраических чисел Qk (а), где Qk (s) — последовательность полиномов Дирихле (которые определяются явным образом) с алгебраическими коэффициентами, аппроксимирующих функцию, заданную рядом Дирихле на положительной полуоси с показательной скоростью.

В основе этого результата лежит аппроксимационный критерий целостности функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, полученный в работе [8] и известная теорема Левека [44] относительно скорости приближения алгебраических чисел алгебраическими числами.

4. Разработана численная схема относительно определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. Проведены численные эксперименты связанные как с расширенной гипотезой Римана, так и с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана, которая, как показано в [32], связана с нулями целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

В основе численной схемы лежат основные положения аппроксимаци-онного критерия целостности функции, заданной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.

Составлена программа на языке python, реализующая эту численную схему, которая достаточно быстро выдает результаты относительно нулей аппроксимируемых функций в заданном прямоугольнике критической полосы.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 45 наименований. Общий объем диссертации 80 страниц. Диссертация содержит 2 рисунка.

Заключение

В заключении отметим, что в работе разработан подход к задаче о трансцендентности значений ¿/-функций Дирихле в положительных алгебраических точках, в результате которого эту задачу свели к задаче оценки высот некоторой последовательности алгебраических чисел. Автор надеется, что данный подход может быть эффективным в случае алгебраических чисел не превосходящих единицы. Автор надеется также, что удастся показать, что нули полиномов Дирихле, аппроксимирующих //-функции Дирихле, имеют ту же кратность, что и нули Ь-функций. Наконец, нужно сказать, что перечень приложений, указанных в начале автореферата и рассматриваемых в данной диссертации, далеко не исчерпывают все приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел.

Стоит также отметить, что в случае ¿-функций числовых полей к (к ф (ф) можно строить полиномы Дирихле (¿п(з), аппроксимирующие функции Ь^тХ^к) в прямоугольнике 0 < сг < 1, 0 < £ < Т, со скоростью где т — любое натуральное, а ¿-функции Дирихле числового поля определяются следующим образом: где ап = Х^(а)=п х(а)> а произведение берется по всем простым идеалам поля к и где х ~ характер Дирихле, заданный на группе идеалов поля к.

1. Davenport Я., Heilbronn H. On the zeros of certain Dirichlet series // J. bond. Math. Soc. 1936. - T. 11. - C. 181-185.

2. H ermite С. Sur la fonction exponentielle // C. R. Acad. Sei. (Paris). — 1873. T. 77. - C. 18-24, 74-79, 221-233, 285-293.

3. Hilbert D. Mathematische Probleme // Ges. Werke. 1900. - T. 3. -С. 290—329.

4. Iwasawa К. Lectures on P-Adic L-Functions. — Princeton University Press, 1972.

5. Lindemann F. Über die Zahl тг // Math. Ann. 1882. - T. 20. - С. 213— 225.

6. Siegel С. L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1929-1930. - № 1. - C. 1-70.

7. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. — M.: Наука, 1967.

8. Воронин С., Карацуба А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994. С. 376.

9. Гельфонд А. О. Sur les nombres transcendantes If С. R. Acad. Sei. (Paris). 1929. - T. 189. - С. 1224-1228.

10. Гельфонд А. О. Sur les propriétés arithmétiques des fonctions entières // Tohoku Math. J. 1929. - T. 39, 3-4. - C. 280-285.

11. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. — JI.: Изд-во ЛГУ, 1977.

12. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. — М.: Наука, 1972. С. 368.

13. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — М.: Бибфизмат, 1981. С. 192.

14. Короткое А. Е. О граничном поведении одного класса степенных рядов // Вестник Самарского государственного университета — Естественнонаучная серия. Самара : Изд-во Самар. гос. ун-та. — 2012. — 6(97). — С. 22-26.

15. Короткое А. Е. Приложение метода редукции к степенным рядам к некоторым задачам в теории чисел // Аглебра и теория чисел : современные проблемы и приложения : Тез. докл. X междунар. конф. Волгоград : Изд-во ВГСПУ «Перемена». 2012. - С. 35-36.

16. Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса // Мат. заметки. 1984. - Т. 36, № 6. - С. 805-812.

17. Кузнецов В. Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. — 1988. — Т. 1. — С. 63-72.

18. Кузнецов В. Н. О граничных свойствах степенных рядов с конечными коэффициентами // Дифференциальные уравнения и теория функций:

19. Межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. — 1987. — Т. 7. — С. 9-16.

20. Кузнецов В. Я. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. — 1987. — Т. 1. — С. 17—23.

21. Кузнецов В. Я, Полякова О. А. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Чебышевский сборник : Науч.-теор. журн. Тула : Изд-во Тульского гос. пед. ун-та. 2010. - Т. И, № 1. - С. 188-199.

22. Кузьмин Р. О. Об одном новом классе трансцендентности чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1930. - Т. 3. - С. 583-597.

23. Малоземов В. Н. Совместное приближение функций и ее производных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1973.

24. Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967. — С. 511.

25. Сецинская Е. В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих //-функциям числовых полей. — Дис. . .канд. физ.-мат. наук. Саратов. Саратов: СГУ, 2005.

26. Спринджук В. Г. Вертикальные распределения нулей дзета-функции и расширенная гипотеза Римана // Acta Arithmetica. — 1975. — Т. XXVII, № 1. С. 317-332.

27. Титчмарш Е. К. Теория функций. — М.: Наука, 1980. — С. 463.

28. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. М.: Изд-во МГУ, 1982.

29. Эйлер Л. Введение в анализ. — М.: Физматгиз, 1961.