Кручение групп Брауэра локальных эллиптических кривых с плохой редукцией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Национальная академия наук Беларуси И н ст и ту т м ате м ат и к и

УДК 512.74+512.522 _ РГ О ОД

Гоглев Валентин Владиславович

ВРУЧЕНИЕ ГРУПП БРАУЭРА ЛОКАЛЬНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ С ПЛОХОЙ РЕДУКЦИЕЙ

О1.01.06. — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск, 2000

Работа выполнена в Институте математики КЛН Беларуси

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Вячеслав Иванович Янчсвский

Оффициальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Олег Игнатьевич Тавгень

кандидат физ.-мат. наук, доцент Виктор Иванович Каскевич

Оппонирующая организация:

Сашст-Петербургскос отделение математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 24 октябри 2000 года в 1^.00 часов на заседании со.чета по защите диссертаций Д 01.02.01 при Институте математик! НАН Беларуси (220072, Минск, ул. Сургаиова, 11, конференц-зал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан 23 сентября 2000 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат физико-математических наук у /у^*^ В.В. Беняш-Крпвец

ЬОГЛ.ЩМ ЪШ.МЬОЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Исследонаиия конечномерных центральных простых алгебр начались п середине прошлого века, после того, как Гамильтоном были открыты тела кватернионов над полем действительных чисел.

Важным результатом развития теории центральных простых алгебр стало появление нового объекта, описывающего все конечномерные алгебры над фиксированным основным полем с точностью до подобия. Изучение этого объекта, получившего название группы Брауэра, оказалось полезным не только для исследования алгебр, но также и для многочисленных приложении в алгебраической К -теории, алгебраической геометрии, теории квадратичных форм и др.

В тридцатые годы Хассе, Брауэром, Албертом и Нетср был получен один из важнейших результатов теории полей классов, дающий полное описание групп Брауэра локальных и глобальных полей. Их исследования базировались па локально-глобальном принципе, нашедшем затем многочисленные примененя п вдругих областях математики.

Дальнейшим важным шагом в развитии теории центральных простых алгебр явилось исследование групп Брауэра полей рациональных функции па алгебраических многообразиях ввиду их многочисленных приложений. Кроме того, тесная связь между алгебраической геометрией и теорией центральны:^ простых алгебр была обнаружена еще Виттом, сопоставившим всякой алгебре кватернионов поле функций на соответствующей конике и положившим тем самым начало развитию нового важного направления в алгебраической геометрии - теории многообразий Северн-Брауэра (в настоящее время более обще, схем Севери-Брауэра). Важность полей функций на многообразиях Севери-Брауэра заключается в том, что они являются универсальными полями разложения центральных простых алгебр, что определяет их эффективное использование, как для изучения конкретных центральных простых алгебр, гак п групп Брауэра в целом. Родоначальниками этого направления исследований были Шатле, Амицур, Рокет, Хойзер и Ковач. В последнее время Тао, Блапше, Меркурьев, Панин, Уодсворт получили ряд важных результатов по обобщению понятия многообразия Севери-Брауэра.

С появлением работы Д.К. Фаддеева1 возник метод, напомипающш локально-глобальный принцип, для описания групп Брауэра поле! рациональных функций на кривых. Основные идеи метода Фаддеева таковы.

Пусть К- поле нулевой характеристики и С-гладкая геометрическ! неприводимая кривая над полем К, и<-нормирование поля функций криво! К(С) тривиальное на поле К. Через К(С)„. обозначим пополнение поля К(С относительно нормирования и', а через К„ -поле его вычетов. Тогд; К„/К-конечное расширение и пусть С и (7„ - соответственно абсолютны! группы Галуа полей К и Ки.. Хорошо известно, что существует изоморфизм

Вг(К(С).) = Вг(К.)®х(С.),

где ^(С,,,)-группа непрерывных характеров группы <7„. Пусть

<р„ : Вг(К(С)) Дг(К(С)„) 2 Вг(К„) Ф ^(С.) -> ,

композиция гомоморфизма расширения скаляров и проекции прямой суммы п; второе слагаемое. !

Гомоморфизмы <р„ индуцируют гомоморфизм

<р :Вг(К(С)) -> Цж(С„.),

|Г€1Г(»-(С»

где 1-У(К(С))-множество дискретных попарно неэквивалентных пормнроваиш поля К(С), тривиальных на поле К. Следовательно, задача изучения группь Вг(К(С)) сводится в значительной степени к описанию ядра и образ; гомоморфизма <р. Кроме того, известно (см. [1]), что ¡т(<р)с. кег(у/), где

-гомоморфизм, индуцированный коограничениямм х{С) ■ В случа<

кривых рода нуль равенство ¡т(<р) = кеф//) дает полное описание группь Вг(К(С)). Тем не менее, уже в случае кривых рода однн такое описание до си> пор отсутствует (кроме одного случая при С(К) *02).

1 Фаддеев Д.К. Простые алгебры над полем алгебраических функций аш одной переменной И 'Гр. Матем. Пи-га All СССР, - 1951.-Т. 38.-С. 321-344.

V.CIiernousov, V.GuIetskii. 2-Torsion of llie Brauer Group of an Elliptic Curve: Generators and Relations - Bielefeld Universität, 2000. - 29 p. - (Preprint 00-037)

Более того, известно, что в случае кривых ненулевого рола группы im{<p) н ker(i//), вообще говоря, lie совпадают. В этой ситуации большое значение приобретает описание отклонения одной группы от другой, описываемое факторгруппой kei(i//)/im(ip). Недавно для случая, когда А'-числовое поле, эта факторгруппа была полностью вычислена В.И. Янчевским и В.И. Гулецкнм3.

Таким образом, по крайней мере, для числовых полей, задача описания групп Брауэра полей функций на кривых сводится к задаче изучения ядра гомоморфизма ср, имеющей свой самостоятельный интерес (поскольку initp = keri// в случае локальных полей, то тоже самое относится к ситуации, когда К-локальное поле).

Ядро отображения <р называется иеразветвлепной группой Брауэра поля рациональных функций К(С) кривой С и обозначается через Вг:г(К(С)). Для гладких проективных кривых С группа Вгт(К(С)) изоморфна группе Брауэра Вг(С) кривой С.

В случае алгебраических многообразий произвольной размерности иеразветвленные группы Брауэра представляют собой сложный и пока малоизученный обьект. С другой стороны, получение более или менее окончательных результатов для многообразий малой размерности (например, кривых) имеет многочисленные важные применения в арифметической геометрии, алгебраической К-теории, теории простых центральных алгебр, теории квадратичных форм и т.д.

Хорошо известно, что для числовых полей К существует точная последовательность

О -> IJJ(J) -» fi' (C) -> © й'(С,.),

.el DO

где W(J)~ группа Шафаревича-Тейта якобиана /кривой С, У{ К)-множество попарно неэквивалентных нормирований поля К, Cv- кривая, полученная из С расширением поля определения до К,., где А',.-пополнение поля К относительно нормирования v. Таким образом, с точки зрения локально-глобального принципа изучению группы В/(С) должно предшествовать исследование структуры групп Вг(С,.). Таким образом, большое значение

Guletskii V.I., Yanchevskii V.I. Reciprocity Lows for Simple Algebras Over Fund ion Fichls o/ Xtmihcr Ctirvc.s // Comnuinicmions in Algebra. - 2000. - Vol. 28, №4. - P. 1657-1683.

приобретает исследование групп Брауэра полей рациональных функций кривых, определенных над полными полями.

При этом под проблемой описания группы Вг(С) понимается не только проблема ее описания как абелевой группы, а главным образом (что очень важно с точки зрения теории центральных простых алгебр) проблема нахождения всех неразветвленных алгебр с делением, представляющих элементы из группы Вг(С). Но даже эта "локальная" задача далека в настоящее время от своего решения и решена окончательно лишь в случае кривых рода нуль.

Первый нетривиальный пример (в смысле рода кривой) представляют собой эллиптические кривые. Ряд важных результатов в случае эллиптических кривых бып получен для поля К = £?Дили [аг:0 ]<оо)45. Поскольку 1к(С)~ периодическая абелева группа, то центральную роль при исследовании ее структуры играет изучение ее лримарного кручения, которое оказывается конечным. Кроме того, среди подгрупп кручения можно выделить группу два-кручення ввиду ее тесной связи с теорйей квадратичных форм.

Переход от случая два-кручения к случаю кручения произвольного показателя представляется (по крайней мере, в настоящее время) достаточно сложным и требует некоторых предварительных ограничений. С точки зрения типа редукции кривых (оставляя в стороне классический случай хорошей редукции) среди кривых с плохой редукцией мы выделяем класс кривых с разложимой мультипликативной редукцией. Для него в диссертационной работе будет описано т- кручение для произвольного т, взаимно простого с характеристикой поля вычетов поля К. Для случая аддитивной редукции будет описано два-примарное кручение, что совместно с предыдущими результатами приведет к окончательному решению проблемы. Для остающегося случая кривых с неразложимой мультипликативной редукцией будет рассмотрен случай два-примарного кручения.

Исследования простых центральных алгебр над полями функций в настоящее время проводятся большим числом математиков (Колье-Телен, Солтман, Тиньоль, Ван ден Берг, Ван Гил, Пумплюп, Меркурьев, Панин, Янчевский и др.). Причем одним из основных инструментов изучения является

4 Янчевский В.И., Марголнн Г.Л. Кручение и группы Врауэра локальных эл'тппшческих к/шаых II Алгебра и анализ. - 1995. - Т.7, Вып. 3. - С. 200-239.

5 ЯI невский В.И.. Марголип Г.Л. Группы Врауэра локальных гнперхпиптпчески.г к]>иаых с хорошей редукцией И Алгебра и анализ. - 1995. - Т. 7, вып.б. - С. 215-236.

локально-глобальный метод. Иселедопання в данной области нашли снос отражение, например, в трудах симпозиумов "A'-Tlieory and Algcbraic Gcomelry: Connections vvith Quadratic Forms and Division Algcbras" в Caiпа-Барбаре (см. Proceedings of Symposia in Pure Malliematics/ - Universiiv of California, Santa Barbara, 1992, Vol.58) и "Algebraic À'-tlieory and ils applications" в Триесте (ICTP, Trieste, Italy, 1997). Вышеизложенное позволяет утверждать, что рассматриваемая в диссертационной работе тема - изучение групп Брауэра локальных эллиптических кривых - связана с большим современным научным направлением, находящимся на стыке алгебраической геометрии, алгебраической К-теории и теории конечномерных ассоциативных алгебр.

Связь работы с крупными научными программами, тема,мм.

Диссертация выполнена в рамках темы "Арифметические и геометрические свойства алгебраических многообразий, связанные с алгебраическими группами и алгебрами с делением" отдела алгебры Института математики НАНБ, входящей в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных алгебраических структур", расчитанную на 1996-2000 годы.

Цели и задачи исследования.

Целыо работы является получение для любого простого /; представления элементов /j-прнмарного кручения группы Брауэра &•(£) локальных эллиптических кривых с плохой редукцией неразветвлеиными алгебрами с делением, причем характеристика поля вычетов взаимно проста с р.

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются новыми.

Применимость полученных результатов. Работва носит теоретическим характер. Ее результаты могут быть использованы для исследования центральных простых алгебр над полями функций кривых. Тем самым получено дальнейшее развитие локально-глобального метода для групп Брауэра полей функций кривых.

Личный вклад соискателя. Основные результаты установлены автором самостоятельно.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались па международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры

б

алгебры Московского Государственного университета (Москва, 1999), на международной математической конференции "XXI Journees Arithmétiques", Vatican, July 12-16, 1999 (Rome, Italy), на международной конференции по теории групп, посвященной памяти С.Н. Черникова (Пермь, 1997), на алгебраическом семинаре математического факультета Билефельдского университета, на минском городском алгебраическом семинаре.

Опублнкованность. Результаты изложены в статьях (см. [11,12,13]), препринте ИМ НАНБ (см. [14]), а также опубликованы в двух тезисах международных математических конференций (см. [15,16]).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, двух глав и заключения. Каждая глава разбита на параграфы. Общий объем диссертации - 77 страниц. Список литературы содержит 30 наименований.

Основные положения диссертации, выносимые ici защиту.

1. Представление циклическими алгебрами с делением элементов два-примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с аддитивной редукцией над недиадическим полем.

2. Структура подгрупп р-примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией.

3. Описание неразветвлеиных центральных простых алгебр, представляющих элементы р -примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Дадим краткое изложение содержания диссертационной работы по главам. Глава 1 имеет вспомогательный характер. В ней приводятся необходимые обозначения, определения и предварительные результаты. Здесь дается информация об эллиптических кривых, связанных с ними группах точек и полях функций, а также о Центральных простых алгебрах.

Кроме того, в главе 1 приводится список минимальных уравнений Вейерштрасса для полуразложимого случая кривой с аддитивной редукцией, а также дается описание абстрактной структуры группы „,«(•(£) для эллиптической кривой Е с аддитивной редукцией над неднадическим полем.

В первом параграфе второй главы с использованием изоморфизма

где Е(К)~множество Л^-рациональныхточек кривой Е, получено полное описание элементов два-примарного кручения групп Брауэра локальных недиадических кривых циклическими алгебрами с делением. Заметим, что образущая первого прямого слагаемого Вг(К) представляется алгеброй с делением, возникающей при помощи расширения скаляров из центральных алгебр с делением над полем К. Структура последних хорошо известна. Что касается представления образующих второго слагаемого, то, за исключением случая, когда 4Е{К) = 2/4г , их представление алгебрами получено ранее. Доказано, что в случае, когда АЕ(К) = 2(А2, афинная часть кривой Е может быть задана уравнением вида

уг =х(х2+лах + я2Ь),-^ = 2 + л-г">с,г>0,с4Ье(К'у-, а,Ь,сеО'к. (*)

4ь

Далее, для эллиптической кривой Е с аддитивной редукцией, заданной уравнением (*), доказывается неразвевтленпость циклической алгебры с делением экспоненты четыре

Я = &(£)/*(£),<г,Л), где 2^/К-неразветвленное расширение степени четыре, (а) = Са1(2,(Е)/К{Е)),

Ь = х2 + (ли + (л-г*'(/)г)л- + ягЬ + 2л-'*,(1^х(х- + тюх + 1Г'Ь), с!е01,с1~ =с-Л>. Откуда вытекает

Следстппс 4. Всякий элемент из Вг{Е) экспоненты большей чем два, вида

/Jd,. ®к А(£)]+/,[//], где i, е {о,...,2" -l},/2 е {0,1,2,3} имеет следующие представления:

a) {z„,{E)/K(E),Fi\,,,x'ti'2 "j, когда i, =2's, где s-нечетиое и 0</<п-\

b) (z4(£.")/K(£'),F/-,,^2/i'!), когда /, =2""', i2 e{t,3}.

c) (г,(Е)/К(Е),Г^,И1!), когда i, = 0, и i2 <={\,l}.

Во втором параграфе второй главы рассматривается случай эллиптической кривой с разложимой мультипликативной редукцией. Прежде, чем сформулировать соответствующие утверждения удобно ввести некоторые дополнительные обозначения.

Для исследования таких кривых можно применить р-аднчсскую униформизацию Тэпта, основные моменты которой таковы. Символом oni: К' Z обозначим показатель: ord я = I, если ш = 0,т. Иногда удобно рассматривать неархнмедову 'норму полагая \п\ = с""'", где

0 < с < 1. В качестве с можно взять, например, —-—. Обозначим

char к

¿ = |^я.г'|<7, е А'| - пространство рядов Лорана над К, сходящихся для любого

геК\ где ^-алгебраическое замыкание поля К. Пространство L является целостным кольцом, М-его поле частных, называемое нолем мсроморфных А'-функций над К'. Назовем К-дивизором функцию на К' со значениями в Z : z -»/7, со следующими свойствами:

А) для любых y,ig R, 0<r<s, существует лишь конечное число zeK\ таких что г < |z| < i и п. ф 0;

".-, = ".-. > если zi м z2 сопряжены над К.

Дивизоры будем записывать в виде бесконечной суммы К -дивизоры

-.е.К"

образуют группу, обозначаемую ниже через D{K'). Каждой мероморфпой К-функции f{z)eM сопоставляется А"-дивизор div /(z)e D(K'), div J(z) = где z,.-нули пли полюсы f(z), н,.-их кратности. Это

сопоставление сюрьектнвпо. Если и , то у мероморфпой

К -функции 1У11(г)е И, называемой произведением Вейсрштрасса

дивизор сН\< /г((2) = Л .

Пусть <у е К' и |?|<1- Положим Г = (<7"), и е ^-циклическая группа, действующая сдвигами па К", М, 0{К~). Л/1"-поле Г-инвариантных мероморфных функций на эллиптической кривой Е над полем К с разложимой мультипликативной редукцией, группа К -точек которой

изоморфна К'¡Г и У(£) = —, оЫа = 0, а= 1.

Ч

Ясно, что описание абстрактной структуры />-примарного кручения группы Вг(Е) сводится к описанию группы /Г(к'/г), абстрактную структуру которой раскрывает следующая

Теорема 2. Пусть ц = нл'г", (.1,р) = 1 и = (оп!/,р) = I, у- минимальное число из промежутка 0 <у <// (¡ = р'1, (/,р) = \, если />0). Тогда описание группы /г) разбивается па случаи

¡) {к'/г)= х/р'г, если т = 0;

а) г {к'/г)= г/р'г © г1ртг, если т > о, у = о,-

Ш) {к*/г)= 2/р'2 © г(рт"-'г, если т>0, у > 0.

Следующие предложения дают описание перазветвлеппых центральных простых алгебр, представляющих элементы р -прнмарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией.

Предложение 2. В случае (¡) теоремы 2 всякий элемент из группы Вг(Е) может быть представлен в виде

[(/> в, МГ)' ®„г Л'\

где А =

_2_

<<=}+й/"}+-+1- р' V' ))•

/

>

причем 0 -корень многочлена Xе' +(-1)''<7. Кроме того, А-неразветвлениая М' - алгебра с делением экспоненты р'.

Предложение 3. В случае (а) теоремы 2 всякий элемент из группы р. Вг(!■'.) может быть представлен в виде

[(о. Мг)' ®„г А' ®„,- В"],

где А =

М',/(

, ff=^Z/rMr/А/'" ,/=>'.

«ОМ

(/ = }+ /'"' }+•■• + р" {"'''"'Л?"}- /»"'"V}). Эля кор»я 0

т/.

многочленах1'' - /.

Кроме того, А и В - неразветвлеппые А/г - алгебры с делением экспонент соответственно // и р".

При рассмотрении случая (¡и) теоремы 2 мы будем различать две возможности: а) /; = 2, > I, либо /> > 2, г > 0; Ь) р-2,г = \.

Предложение 4. В случае (Hi) а) теоремы 2 всякий элемент из группы Вг(Е) имеет вид

где А ■

А/',/(

В = \ К{0)МТ/А/г ,<т,

(/= {ст(С)7"}+...+ р'(<?)<?"}-/>"'" {<?"}). О -корень многочлена

X1'"' +(-1 Ур'Ч''", К(9)/К-циклическоерасширение степени р'*"~', сг-М'-автоморфизм поля К(0)Мг, индуцированный автоморфизмом а поля К(0). Кроме того, А ч В - неразветвлеппые М[ -алгебры с делением экспонент соответственно р' и рг*"'~'.

Предложение 5. В случае (Ш) Ь) теоремы 2 всякий элемент из группы „ Вг(Е) имеет вид

К(0)/К-циклическое расширение степени 2""' , такое, что К(0)^2,т и N кт/{0) = -Г~ , а - М' -автоморфизм поля К(0)М', индуцированный

/к

образующей а группы Са!(К(0)/К). Кроме того, А-неразветвленпая Л/' - алгебра с делением экспоненты 2'°".

Из формулы абстрактной структуры группы .Вг(Е) следует, что всякая

неразветвленная алгебра представляется тензорным произведением не более чем трех циклических алгебр с делением. В конце второго параграфа приводится способ уменьшения "длины" данного представления до двух.

Отсутствие такой же удобной интерпретации поля функций эллиптических кривых с неразложимой мультипликативной редукцией заставляет ограничиться рассмотрением в заключительном параграфе второй главы лишь два-прпмарного кручения соответствующе!! груши,! Брауэра. Нетривиальные примеры возникают здесь, лишь, когда -1 не является квадратом в основном поле К. Тогда эллиптическая кривая Е рассматривается над полем К(\), ¡2 =-1, где ее редукция становится разложимой, затем строятся иерпзветвлепные циклические алгебры с делением над полем К0'){Е) и искомые образующие получаются путем "скручивания" последних до поля К(Е).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получено представление циклическими алгебрами с делением элементов два-примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с аддитивной редукцией над недиадическим полем (см. [1]).

Выяснено строение подгрупп -примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией (см. [4]).

Получено описание неразветвленных центральных простых алгебр, представляющих элементы -примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией (см. [3,4, 6]).

Получено описание неразветвленных центральных простых алгебр, представляющих элементы два-примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с неразложимой мультипликативной редукцией в разложимом случае вейерштрассова уравнения кривой (см. [2, 5]).

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гоглев В.В., Янчевский В.И. Два-примарное кручение групп Брауэра локальных эллиптических кривых с аддитивной редукцией // Веаи АНБ. Сер. фЬ-мат. навук. - 1996. - № 3. - С. 59-63.

2. Гоглев В.В. Два-примарное кручение групп Брауэра локальных эллиптических кривых с неразложимой мультипликативной редукцией // Тез. докл. межд. конф. по теории групп, поев, памяти С.Н. Черникова. -Пермь, - 1997.-С. 19-20.

3. Гоглев В.В. Неразветвленные группы Брауэра над полями функций локальных эллиптических кривых // Тез. докл. межд. алг. конф., поев, памяти А.Г. Куроша. - Москва. - 1998. - С. 159-160.

4. Гоглев В.В., Янчевский В.И. Неразветвленные группы Брауэра нолей функций локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией //Докл. НАНБ. - 1999. - Т. 43, № I. - С. 5-5.

5. Гоглев В.В., Янчевский В.И. Неразветвленные группы Брауэра полей функций локальных эллиптических кривых с неразложимой мультипликативной редукцией // Докл. НАНБ. - 1999. - Т. 43, № 2. - С. 5-6.

6. Гоглев В.В. Неразветвленные алгебры над функциональными полями локальных эллиптических кривых и их индексы // Минск, 2000. - 23 с. -(Препринт/ИМ НАНБ; № 1(555)).

РЕЗЮМЕ

Гоглев Валентин Владиславович

Кручение групп Брауэра локальных эллиптических кривых с

плохой редукцией

Ключевые слова: эллиптическая кривая, группа Брауэра поля, группа Брауэра

кривой, циклическая алгебра.

В диссертационной работе изучаются вопросы, связанные с группами Брауэра

кривых.

1. Получено представление элементов два-примарного кручения групп Брауэр; локальных эллиптических кривых с аддитивной редукцией над недпадическим полем.

2. Выяснено абстрактное строение р -примарных кручений групп Брауэра локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией.

3. Описаны неразветвленные алгебры с делением, представляющие образующие р-примарных кручений групп Брауэра локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией, в случае когда характеристика поля вычетов взаимно проста с р.

РЭЗЮМЕ

Гоглеу Валят¡¡н Уладз'1славав'т

Кручэпие груп Брауэра лакальных элштычпых крывых \ дрэннай рэдукцыяй

Ключавыя словы: элштычная крывая, група Брауэра поля, група Брауэра

кривой, цыклншая алгебра.

У дыссртацыйпай рабоце вывучаюцца пыташм, звязапыя з група,\п Брауэра

крывых.

!. Атрымапа прадстаулсппе элемептау два-нрымарнага кручэппя груп Брауэра лакальных элштычпых крывых з адытыуиай рэдукаыяй над нсдыадычпым полем.

2. Высвятлена абстрактная структура ;>-прымарных кручэшй груп Брауэра лакальных элштычпых крывых з раскладываема» мультыагпкатыупай рэдукцыяй.

3. Ашсаны перазгалшаваныя алгебры з дзяленнем, л К1я прадстауляюць утваральныя р -прымарпых кручэшй груп Брауэра лакальных элштычпых крывых з раскладываемай мультышпкатыуиай рэдукцыяй, у выпадку кал! характарыстыка поля вьшкау узаемпа праста з р.

SUMMARY

Goglev Valentin Vladislavovitch

Torsion of Brauer groups of local elliptic curves with bad reduction

Key words: elliptic curve, Brauer group of a field, Brauer group of a curve, cyclic

algebra.

Problems related to Brauer groups of curves are investigated.

1. A presentation of 2-primary torsion elements of Brauer groups of local elliptic curves with additive reduction over non-diadic field is obtained.

2. A p -primary torsion structure of Brauer groups of local elliptic curves with splii multiplicative reduction is figured out.

3. A description of unramified algebras presenting elements of Brauer groups of local elliptic curves with split multiplicative reduction is obtained.