Центральные простые алгебры над полями рациональных функций с ветвлением на кривых специальных типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р г в од

4 Г' ^

^ 1 ПОП «¿Институт математики Академии наук Беларуси

УДК 5i2.772.7-f-ol2.5o2.22

Гулецкий Владимир Игоревич

Центральные простые алгебры над полями рациональных функций с ветвлением на кривых специальных типов.

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1996

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Янчевский В.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник ПОМИ Панин И.А..

кандидат физико-математических наук; доцент БГПУ Миловано в М.В.

Оппонирующая организация: Белорусский государственный университет.

Защита диссертации состоится 25 октября 1996 года в 14.00 часов на заседании специализированного совета Д 01.02.01 при Институте математики АН Беларуси (220072. Минск. ул.СургановаД!, конференц-зал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " с**™*™ 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета.

кандидат физико-математических наук /¿/^^ Беняш-Кривец В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Изучение конечномерных центральных простых алгебр началось в 1843 году, когда У.Гамильтоном была построена алгебра вещественных кватернионов Н. Исследования Гамильтона вскоре нашли различные применения в механике и физике, что показало важность нового понятия. Впоследствии были установлены глубокие связи теории центральных простых алгебр с такими областями математики, как алгебраическая теория чисел, алгебраическая и арифметическая геометрия. Так в 1934 году Витт установил взаимнооднозначное соответствие между полями функций рода нуль с полем констант к и кватернионны.ми алгебрами над к и показал, что кватернионная алгебра является матричной 'если и только если соответствующее поле функций рационально. Дальнейшее развитие этих идей Шатле. Амипуром, Рокет-том, Хойзером и Ковачем привело к сопоставлению каждой простой центральной алгебре Л над полем к некоторого проективного многообразия (многообразия Севери-Брауэра) над к. которое обладает тем свойством, что его поле ¿-рациональных функций является общим полем разложения для А. Следует отметить, что в последнее время появились важные обобщения понятия многообразия Севери-Брауэра (Бланше, Тао).

Решающим шагом в создании теории центральных простых алгебр явилось введение группы Брауэра Br(fc) поля к. которая состоит из классов подобия простых алгебр с центром к. Эта группа устанавливает общую связь между всеми простыми алгебрами над к с точностью до подобия. Дальнейшие исследования показали, что ее изучение чрезвычайно важно не только для получения новой информации об алгебрах, но и для приложений в других областях математики. Согласно результату Фробениуса группа Брауэра поля вещественных чисел является группой порядка два. Группа Брауэра поля комплексных чисел тривиальна. В тридцатые годы Хассе, Брауэром, Нетер и Албертом было получено полное описание групп Брауэра локальных и числовых полей. Подчеркнем, что в основе проведенных исследований лежал локально-глобальный метод. В рамках теории полей классов этот результат формулируется следующим образом. Если к - локальное поле, то Br(fc) = Q/Z. Для

числового поля к имеет место точная последовательность О — Вг(А) —► ЦВг(1Ь,) — - 0 ,

и

где V пробегает множество попарно неэквивалентных абсолютных значений на к. Другими словами, группа Брауэра числового поля вкладывается в.копроизведение груш 0,/2 и ее образ при этом вложении, то есть группа систем локальных инвариантов алгебр над к, полностью описывается законом взаимности.

Дальнейшее развитие теории групп Брауэра связано с трактовкой осшл ного поля как поля функций на многообразии. Если - поле ¿-рациональных функций на некотором проективном геометрически неприводимом многообразии, определенном над полем к. то к является полем констант по отношению к -Если размерность многообразия равна нулю, то .Г = к. Так что переход от к к ^ и, соответственно, от группы Вг(£) к группе Вг(.Р) является геометрическим обобщением рассматриваемых вопросов. Однако при переходе от Вг(к) к Вг(.Г) ситуация заметно усложняется. Развитие многомерной теории полей классов и доказательство теоремы Меркурьева-Суслина привели к появлению многих важных ре-зл'льтатов о группе Вг(_Г). Тем не менее до сих пор отсутствует завершенное описание таких групп для более или менее общих классов полей арифметико- геометрического типа.

Описав группу Брауэра поля Г для многообразий размерности ноль, естественно обратиться к многообразиям размерности один, то есть к кривым. В 1951 году Д.К.Фаддеевым впервые была выдвинута и развита идея изучения группы Брауэра поля функций Р = к(С) на кривой С посредством локально-глобального метода, подобно тому, как это делалось в числовом случае. Здесь уже в качестве глобального поля выступает поле F, а в качестве локального - его пополнение /р в точке р поля Г/к. Под точкой поля ¥ /к понимается идеал кольца нормирования в Г, содержащего поле констант (= простой ¿-рациональный дивизор на кривой). Рассмотрим эту ситуацию подробнее. Пусть !ср - поле вычетов в точке р, Сгр - его абсолютная группа Галуа и ~ группа непрерывных ха-

рактеров группы Ср. В статье 1936 года Витт доказал, что если поле кр совершенно, то группа Вг^) изоморфна прямой ерше Вт(к?) & Пусть

ар:Вг(Л-х(Ср)

- гомоморфизм, являющийся композицией гомоморфизма Вг(.Г) —► Вг^р), индуцированного расширением скаляров от Гдизоморфизма, установленного Виттом, и проекции прямой суммы на второе слагаемое. Если Л - алгебра с центром Г и [Л] - ее класс в Вг^), то характер ар([Л]) называется локальным инвариантом класса [А] (или алгебры Л) в точке р. Порядок локального инварианта равен индексу ветвления алгебры Л в точке р. Фаддеев показал, что алгебра Л может быть разветвлена только в конечном числе точек. Поэтому совокупность всех гомоморфизмов ар индуцирует гомоморфизм ас/к нз группы Брауэра поля функций в копроизведение групп по всем точкам р поля Рассмотрим

следующую последовательность групп и гомоморфизмов

Вг(Л и ^ х(0 ,

р

в которой С? - абсолютная группа Галуа поля к. - ее группа непрерывных характеров, а ^¡.'суммирует коограничения характеров из копроизведения. Изучение группы Брауэра Вг(Р) в значительной мере сводится к описанию ядра и образа гомоморфизма ас ¡к- Если кривая С гладкая и сНаг(к) = 0., то это ядро, то есть неразветвленная группа Брауэра Вг„г(Р). изоморфно группе Брауэра Вг{С) кривой С и является важным алгебро-геометрическим и арифметическим инвариантом кривой С. Несмотря на большое количество работ, посвященных изучению Вгпг(Т). в настоящее время не существует полного описания этих групп, связанного с представлением их элементов алгебрами , с делением. Проблема описания образа гт(ос/*) также далека от своего завершения. Д.К.Фаддеевым было доказано, что набор локальных инвариантов призвольного класса алгебр из Вг(2г) удовлетворяет закону взаимности, то есть 1т(аС/к) С Если С - кривая рода ноль, то гтп(ас/к) — кег{3с/к)- Однако в общем случае это не так, что приводит к необходимости изучения факторгруппы Х(С/к) = кег{,3с/к)/*т[ас/к)> то есть группы препятствий к реализации наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности, в качестве систем локальных инвариантов классов алгебр из Вг(1"). Вычисление Х(С/к) доставляет информацию о том, насколько кет(рСц) "больше", чем г'т(аСд). Для описания образа гт(ас/к) нужно установить необходимые и достаточные условия того, когда набор характеров из кег(,3С/к) лежит в 1т(ас/к), то есть установить

"дополнительные законы взаимности1'. Б.М.Беккер доказал1, что если к - числовое поле, а кривая С обладает к-точкой, то X'(С/к) - группа показателя два, тривиальная в случае чисто мнимого к. Предлагаемая работа посвящена решению задачи о реализации наборов характеров в качестве систем локальных инвариантов классов алгебр для кривых рода один, определенных над числовым полем к, допускающим вещественные вложения. Кроме того, рассматривается случай кривой произвольного рода с ¿-рациональным два-кручением якобиана.

Заметим, что в настоящее время исследования по теории центральных простых алгебр над полями функций проводятся большим числом . математиков (Колье-Телен, Солтыан, Ван Гил, Тиньоль, Меркурьев. Ян-чевский и дрзтие). Причем локальные инварианты выступают в качестве одного из основных инструментов изучения. Интенсивность современных исследований в этом направлении отражена,- например, в трудах симпозиума " Я"-Theory and Algebraic Geometry: Connections with Quadratic Forms and Division Algebras" в Санта-Барбаре (см. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Univers ity of California, Santa Barbara, 1992. Vol.58). Это указывает на то, что тема предлагаемой диссертационной работы - изучение локальных инвариантов центральных простых алгебр над полем функций числовых кривых рода один - связана с большим современным научным направлением, которое находится на стыке алгебраической геометрии и теории центральных простых алгебр. Недавние результаты о 2-кручении в неразветвлеяной группе Брауэра локальных эллиптических и гиперэллиптических кривых (Сужата, Янчев-ский, Марголин) делает все вопросы, связанные с инвариантами алгебр над полями функций кривых, особенно актуальными.

Цели и задачи исследования. Предлагаемая диссертационная работа имеет следующие цели: вычислить группу препятствий Л (С¡к) и установить необходимые и достаточные условия реализации наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности, в качестве систем локальных инвариантов классов алгебр из Br(F) для произвольной кривой С рода один, определенной над числовым полем к. При этом рассматриваются только такие числовые поля, которые допускают вложения в поле вещественных чисел (например, поле Q), так как в случае чисто мнимого к группа Х(С/к) тривиальна. В работе доказывается теорема о

1Беккер Б.М. Законы взаимности для алгебр над полжми функций. Мат. заметки. - 1975. - 17. - 3. - С.419-422.

расщеплении ядра кег(ас/к) на образ ¿т(3с/ь) и конечную группу показателя два. изоморфную группе препятствий. Кроме того, группа Х(С/к) вычисляется для числовой кривой произвольного рода с ¿-рациональным 2-кручением ее якобиана.

Научная новизна. Как уже отмечалось, в случае числового поля к группа препятствий Х(С/к) имеет показатель два и является тривиальной, если к чисто мнимо. После получения этого результата в 1975 году, в течение последующих двадцати лет не было полл"чено ни одного значительного результата в направлении решения проблемы описания группы Х(С/к) и образа гомоморфизма ¡т{йс/к)- Таким образом, все результаты диссертационной работы являются новыми.

Применимость полученных результатов. Решение поставленных задач дает полное описание образа гомоморфизма гт(ас/к)> то есть группы всех систем локальных инвариантов классов алгебр из Вг(.Г) для числовых кривых С рода один. Полученная при этом информация позволяет изучать центральные простые алгебры над полем функций по их локальным инвариантам. Тем самым возникает дальнейшее развитие локально-глобального метода для группы Брауэра поля функций на кривой. Применение теоремы 1 (критерия реализуемости) позволяет определять, какие из наборов характеров У. удовлетворяющих закон}" взаимности на числовой кривой С рода один, являются системами локальных инвариантов центральных простых алгебр над полем функций Г = к{С). а какие не являются. В обшем виде ответ записывается в терминах характеров го У и автоморфизмов порядка два в абсолютной группе Галуа поля констант. Теорема 3. устанавливающая расщепление группы всех наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности, на группу всех локальных инвариантов алгебр над Г и группу препятствий Л (С/к) = облегчает задачу определения принадлежности У образу 7т(ас/к): потому что. согласно этой теореме, всякий набор У однозначно представляется в виде суммы -г Уг, где - система инвариантов некоторого класса алгебр из Вг(^), а }*2 € (Ъ!2Ъ)г. Наконец, теоремы 2 а 4 позволяют оценивать степень отклонения кег($с/к) от 1тп(аС/к)-

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация выполнена в рамках темы "Многообразия представлений конечно-порожденных групп, комбинаторное строение арифметических и проконечных групп. Группы Брауэра алгебраических многообразий п

их использование в алгебраической геометрии и теории чисел" отдела алгебры и теории чисел Института математики АНБ, входившей в республиканскую программ}- "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных алгебраических структур" за 1995 год; а также в рамках темы "Арифметические и геометрические свойства алгебраических многообразий, связанные с алгебраическими группами и алгебрами с делением" отдела алгебры и теории чисел Института математики, входящей в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных алгебраических структур", расчи-танную на 1996-2000 годы.

Личный вклад соискателя. Основные результаты установлены автором самостоятельно.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на конференции "Euroconference on Linear Algebraic Groups and Related Structures" (Белефельд. 3-7 июля 1995 г.), на конференции "Journées Arithmétiques" (Барселона. 16-20 июля 1995 г.), на семинарах математических факультетов Лувенского католического университета (Бельгия), Гентского университета (Бельгия), Билефельдского университета (Германия), на научном семинаре Коха-Крамера- Цинка в Институте математики университета Гумбольдта в Берлине (8 мая 1996 г.), на конференции "Проблемы алгебры и кибернетики", посвященной памяти академика С.А.Чунихина (Гомель. 1995) и на конференции "Алгебра и математическая кибернетика", посвященной 80-летию со дня рождения академика Д.А.Супруненко (Минск, 1995).

Опубликованность. Результаты опубликованы в тезисах двух конференций ([1];[2]) и в четырех статьях ([3], [4], [5]. [6]).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из четырех глав. Каждая глава разбита на параграфы. Объем диссертации - 78 страниц. Список литературы состоит из 31 наименования. Нумерация лемм, предложений и теорем сквозная на протяжении всей работы.

Основное содержание работы

Дадим краткое изложение содержания диссертационной работы по главам.

В первой главе собраны определения, сведения и вспомогательные ре-' зультаты. необходимые в дальнейшем. В ней приводится информация об абсолютных значениях и дискретных нормированиях, дивизорах на кривых и об якобианах кривых. Даются определения эллиптической кривой Е над к и главного однородного пространства С над Е. Рассматривается подробное описание конструкции локальных инвариантов простых алгебр с центром = к(С). где С - произвольная гладкая проективная геометрически неприводимая кривая над к. При этом строятся гомоморфизм ас/к-, сопоставляющий классам алгебр из группы Брауэра Вг(7г) их локальные инварианты, и гомоморфизм /?с,ь ядро которого состоит из наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности. Группа препятствий Л (С/к) к реализации наборов характеров в качестве систем локальных инвариантов алгебр определяется как факторгруппа кет(рс1к)/гт(ас/к)- Приводится также технический материал из теории когомологий проконечных групп и конструкция локальных инвариантов переводится на язык когомологий.

Во второй главе вводится гомоморфизм локализации группы препятствий Л'.(С/к) по вещественным абсолютным значениям числового поля к. Для этого сначала рассматривается общая ситуация, когда С - произвольная гладкая проективная геометрически неприводимая кривая над полем нулевой характеристики к. обладающая ¿-точкой, если ее род больше чем один. Предположим, что гомоморфизм #3(С.АГ) — индуцированный вложением к1-* Г на когомологнях, инъективен. Здесь .Г = к (С). Заметим, что это условие выполнено для числового поля к и для к = Н. потому что в обоих случаях группа. Я3 (£?. к ) тривиальна. Тогда группа препятствий Л'{С/к.) изоморфна ядру связывающего гомоморфизма 8 : Н2[С, Зс)->Н3(С,Р(С)), где С = ¿а!(к/к) - абсолютная группа Галуа поля к, Зс - якобпан кривой С и Р(С) - группа главных дивизоров на С. Всюду далее к - числовое поле, допускающее вложения р{ : А: «-»II, г = 1,.... 5. 'Каждое вложение д- при действии на коэффициенты уравнений многообразий С и 3 — Зс определяет кривую С, и ее

якобиан Ji над полем R. Пусть <7 - автоморфизм сопряжения комплексных чисел и <(т> - группа Галуа С над R. Гомоморфизм локализации

»=1

группы H2(G,J) по вещественным абсолютным значениям поля к индуцирует гомоморфизм локализации

¡=1

Так как J = Jc ~ абелево многообразие над к, то ц - изоморфизм. Тогда £ - по крайней мере инъекция.

Инъективность £ показывает, что вопрос о восстановимости классов алгебр из Br(F) по наборам характеров, удовлетворяющих закону взаимности, то есть лежащих в ker(j3C/k), сводится к аналогичному вопросу для кривых С,/R. Рассмотрим случай, когда С - кривая рода один над числовым полем к. Тогда J = Е - эллиптическая кривая над к. Аналогично J{ = Е{ - эллиптические кривые над R. Гомоморфизм £ определяется своими составляющими & : Х(С/к) —+ A'(C;/R), а в свою очередь, индуцируется гомоморфизмами

r, :LU(Gp)—> U Х{<*>)-р с, (л.)

Для того, чтобы определить, лежит набор характеров У £ кег(Рс/к) в образе im^Qc/k) или нет. нужно выяснить, лежит ли Т;(У) в im(aciyR) для всякого г. Исследование вещественного случая проведено во втором параграфе второй главы. В третьем параграфе изучается гомоморфизм Т,. Все это приводит к установлению необходимых и достаточных условий реализации наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности, в качестве систем локальных инвариантов классов алгебр из Br(F). Прежде, чем сформулировать соответствующую теорему, удобно ввести несколько дополнительных обозначений.

Точки р поля FJk находятся во взаимнооднозначном соответствии с орбитами точек из С(к) при действии группы G. Поле вычетов kv мы отождествляем с его образом при некотором зафиксированном вложении к^1-* к над к. Фиксация вложения к?<—*к равносильна фиксации некоторой точкир в орбите 5 точек кривой С, соответствующей р. Минимальное поле определения к(р) совпадает с образом вложения кр > к. поэтому

= Сл1(к/к(р)). Для всякого левого смежного класса р группы С по Ср. через ~р обозначим выбранный и зафиксированный представитель в р, причем будем считать, что /5 = 1. если р = Ср. Пусть ^ ? 5 и р} такой левый смежный класс С по Ср; что д = р^р. Далее, для всякого индекса г из {1,.... з}, такого, что множество С,-(В.) состоит из дзух компонент связности, обозначим через Т; какую-нибудь одну из этих двух: компонент (любую, но зафиксированную). Пусть У € кег(3с/к), и хр -характер из У, принадлежащий группе для любой точки р поля

Г/к. Рассмотрим пары {р, д}, в которых д - точка на кривой С, лежащая в орбите 5, соответствующей точке р шля Г/к. Обозначим через ,\Л] множество пар {р,д}, которые удовлетворяют двум условиям: т,д б Т,- и 0 кет(Хр)- Здесь г,- : к1—* С - произвольное, но зафиксированное вложение над р{. Пусть, наконец, - число элементов в у\4}'. Заме-

тим, что это число конечно, так как конечно число ненулевых характеров в У и конечно число точек во всякой орбите 5.

Теорема 1.

(¡) Если для любого г множество С*(В.) либо пусто, либо связно, то Х(С/к) = {0}.

(и) Предположим, что С{(Т1) состоит из двух компонент связности при г < t и С*(В.) либо пусто, либо связно при г > I. Тогда набор характеров У в &ег(/?£д) лежит в т(асц:) если и только если для всякого г < £ число #М.} четно.

В конце главы приведен пример, в котором демонстрируется применение теоремы 1 и восстанавливается простая алгебра с центром Г по заданному набору характеров из кег(Рс/к)-

Третья глава посвящена двум вопросам. Во-первых, в ней вычисляется группа Х(С/к) сначала для эллиптической кривой С = Е. а затем и для главного однородного пространства С над Е. Во-вторых, в ней доказывается теорема о расщеплении ядра кег((Зс/к)-

В основе вычисления группы препятствий лежат следующие соображения. Будем предполагать, что С; (К) состоит из двух компонент связности при 1 < 4 и С;(К) либо пусто, лпбо связно при г > {. Пусть Е -эллиптическая кривая, являющаяся якобианом для С. В том случае, когда кривая С сама является эллиптической, будем считать, что С = Е. Группы £,(11) двухкомпонентны при г < 1 и связны при г > I. Тогда

локализация группы H2(G, Е) по вещественным абсолютным значениям поля к имеет вид

p-H\G,E) — ®Н2(<а>,Е>), •=1

причем Н2(<а>, Ei) = Z/2Z, г < t. Известно, что у. - изоморфизм2. Удобно обозначать тривиальный элемент группы Я2(<о>,£;) через 0, а нетривиальный через 1. Пусть hi - такой элемент группы H2(G,E). что [i(hi) = (0,..., 0,1,0,..., 0), где 1 стоит на позиции, соответствующей вложению Тогда, ввиду того, что ц - изоморфизм, множество {hi,...,ht} представляет собой набор образующих в H2{G,E). Мы доказываем, что ¿(Л;) = 0 для любого i<t, где

ё :H2{G,£)->H\G,P(C))

- связывающий гомоморфизм. Тогда 5 = 0 и, так как Х(С/к) = кет(5), то

Х(С/к) = H2{G,E) = (Z/2ZУ .

Сначала тривиальность 8 доказывается для эллиптической кривой С = Е. Для этого выбирается произвольный индекс z е {l,...,i} и ищется представление образующей hz 2-коциклом группы G с коэффициентами в Е. Среди числовых точек кривой Е можно выбрать такую точку Т, что ее минимальное поле определения L = к(Т) имеет нечетную степень над к и т2Т лежит в той вещественной компоненте группы £'.(R), которая не содержит бесконечную точку О = (0 : 1 : 0). Пусть Н = Gal(k/L) и

cor:H2(H.E)^H\G,E)

- гомоморфизм неограниченна. Тогда h, = cor(cls(<j>)), где о - некоторый 2-коцикл группы Я с коэффициентами в Е. Коцикл ф строится при помощи точки X, подгруппы V = Gal(k/L(y/—1)) индекса два в Я и еще одной подгруппы U индекса два в Я. Группа U "отделяет" автоморфизм порядка два в G, соответствующий вещественному вложению тг | L «-> R. от автоморфизмов порядка два, соответствующих другим вещественным вложениям поля L. Исходя из явного вида коцикла ф доказывается, что S(h2) =0.

JMilne J.S. Arithmetic Duality Theorems. - Academic Press, 1986.

После этого рассматривается случай, когда С - главное однородное пространство над Е. Здесь уже нельзя доказать тривиальность <5(Л.) исходя непосредственно из вида д. Необходимо провести дополнительные исследования группы Я3((?.Р(С)). Эти исследования позволяют редуцировать вопрос о тривиальности элемента 5(Лг) к вопросу о тривиальности некоторого когомологического класса в группе Я3(Я, fi/nfi), где fl/nfi - некоторый конечный фактормодуль и Н = Gal(k/L). Последний вопрос решается при помоши локализации группы Н3(Н. Q/nü) по всем вещественным абсолютным значениям поля L.

В общем случае доказывается

Теорема 2. X'(С/к) = (Z/2Z)1 -

Далее в третьей главе доказывается, что образующие в Д'.(С/к) представляются наборами характеров порядка два из ker(ßc/k)- Гомоморфизм cor : Я2(Я, Е) —► H2(G, Е) перестановочен с гомоморфизмом

сот : H\H,DW°{C))-*H2(G,-DWQ(C)) ,

где Div°(C) - группа дивизоров степени ноль на С. В свою очередь, этот гомоморфизм cor перестановочен с гомоморфизмом

cor : #2(#;Div(C))-+H2(G,Div(C)).

Последнее коограничение индупирует некоторый гомоморфизм с на ко-произведениях групп характеров групп Галуа полей вычетов для кривых C/L и С/к (потому, что эти копроизведения изоморфны вторым группам когомологий с коэффициентами в Div(C)). Если Y - набор характеров, удовлетворяющий закону взаимности на C/L и такой, что его смежный класс Y + im(ac/L) соответствует классу cls(ö) при изоморфизме Х(С/Ь) = Н2(Н,Е), то с(У) - набор характеров, удовлетворяющий закону взаимности на С/к и смежный класс с(Т') +гт(ас/ь) которого соответствует элементу h2 в H2(G,E) при изоморфизме Х(С/к) = H2(G,E). Вычисления в этом направлении для эллиптической кривой приводят к следующему результату. Пусть 11 Xu ~ характеры группы Н с ядрами V" и U соответственно. В наборе характеров c(Y) в группе х(Я), соответствующей точке Т, стоит сумма Xv + Хи> а в группе x(G): соответствующей точке О = (0 :1 : 0). стоит значение сог(ху + Хи) хоогра-ничения cor : х(Щ~~*х(&) на этой ерше. Ясно, что 21' = 0, а. значит.

и 2с(У") = 0. Если на С нет ни одной ¿-рациональной точки, то У и с(У) строятся не так. как в эллиптическом случае. Для построения характеров из У доказывается, что на кривой Сг найдутся две числовые вещественные точки и Ц2- которые не сопряжены между собой, лежат на разных компонентах связности группы С2(И) и имеют одно и то же минимальное поле определения над К = р,(к){Р), где Р = тгТ. Это позволяет выбрать набор характеров У, который бы соответствовал образующей /гг в Я2(Я, Е), так, чтобы в нем на двух позициях стояли одни и те же характеры порядка два, а на остальных позициях стояли нули. Тогда и 2с(Г) = 0.

В итоге получаем, что образующие в группе препятствий представляются наборами характеров порядка два. Из этого вытекает теорема о расщеплении ядра гомоморфизма Рс/к-

Теорема 3. кег{Рс/к) £ т(ас/к) @{Ъ/2Ъ)1.

Наконец, в последней четвертой главе проводится вычисление группы препятствий для кривой С произвольного положительного рода, но с ¿-рациональным 2-кручением ее якобиана. Кроме того, предполагается, что С {к) ф 0. Пусть 3 - якобиан кривой С. Вложение р; при действии на коэффициенты уравнений многообразий Си/ определяет кривую С; и ее якобиан 3{ над полем Л. Пусть г; - число компонент связности множества С;(Г1). Локализация группы Я2((?, I) по вещественным абсолютным значениям является изоморфизмом. Кроме того, Л2(<а>, ■/,) = (Ъ/2Ъ)п~1. Стало быть, Я2(С.3) - группа показателя два. Точная последовательность когомологий. индуцированная точной последовательностью

0-» 7З—¿-»О ,

показывает, что гомоморфизм Я2((3, ¡3) Нг(С,3) сюръективен. Следовательно. все образующие в Нг(<3.3) представляются коциклами с коэффициентами в Точки из ¡3 рациональны над к. Тогда эти коциклы можно построить исходя из подгрупп индекса два в <7, отделяющих автоморфизмы порядка два группы (7, соответствующие вещественным вложениям поля констант к. Для этого рассматриваются локализации групп Я2(С, ¡3) и Н2(С.З) по вещественным абсолютным значениям поля к. Исходя из явного вида 2-кооиклов. представляющих образующие в Я5(С, 3), доказывается, что связывающий гомоморфизм

5 : Н'2(С, ]) —* Я3(С:Р(С)) тривиален. А так как Х{С/к) « А:ег(<5), то Х{С/к) £ Д2^.}) й ЭН*(«г>.Ъ) £ Кроме то-

го. из явного вила 2-копиклов. представляющих образующие в Я'(С. ■/), можно вывести, что эпиморфизм кег[3с/к) — Х{С/к) обладает правым обратным. Так что и в этом случае имеет место расщепление ядра гомоморфизма вС/к. В результате, доказана

Теорема 4. Л*(С/А-) = [Ъ/2Ъ)Г'Л"~Т'~' и имеет место изоморфизм

кег(Зс/к) ^ ¿т(аС/к)@(2/22Г-—г--* .

«

Выводы

В диссертационной работе получены следующие результаты.

• Установлены необходимые и достаточные условия реализуемости наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности в качестве систем локальных инвариантов классов алгебр из Вг(Е), Г = к{С), для кривых С рода один над числовым полем к.

• Вычислена группа препятствий Х(С[к) к реализации наборов характеров в качестве инвариантов алгебр для таких кривых. Группа препятствий является прямой суммой t экземпляров группы Z/2Z, где I - число вещественных вложений поля к. которые, при действии на коэффициенты уравнений, определяющих С, дают уравнения кривых рода один над II с двухкомпонентной группой вещественных точек.

• Доказана теорема о расщеплении ядра, утверждающая, что группа наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности, изоморфна прямой сумме группы всех систем локальных инвариантов классов алгебр из Вг(^) и группы (Z/2Z)'.

• Вычислена группа Х(С/к) для числовой кривой С произвольного положительного рода с ¿-рациональным 2-кручением ее якобиана. Доказано, что она изоморфна прямой сумме г1 + ... + г5 — я экземпляров группы Z/2Z, где в - число вещественных вложений поля к, а г; - количество компонент связности множества вещественных точек кривой, индуцированной из С посредством г-го вещественного вложения. В этом сл}*чае также имеет место расщепление, то есть ядро кег(Рс/к) изоморфно прямой сумме образа гтп(ас!к) Е группы

(г/2 г)Г1+-+г'-'.

«

Список опубликованных работ

[1] Гулецкий В.И. О локальных инвариантах центральных простых алгебр над полями эллиптических функций // Материалы мат. конференции "Проблемы математики и информатики", поев. 25-летию Гомельского госуниверситета. - Гомель, 1994. - С.34.

[2] Гулешшй В.И., Янчевский В.И. Ветвление и законы взаимности в группах Браузра полей функций глобальных эллиптических кривых // Материалы мат. конференции "Проблемы алгебры и кибернетики", поев, памяти акал. С.А.Чунихина. - Гомель. 1995. - С.56-57.

[3] Гулецкий В.И., Янчевский В.И. Законы взаимности в группах Браузра полей функций эллиптических кривых // Докл. АН Беларуси. -1995. - 39. - о. - С. 8-10.

[4] Гулецкий В.И., Янчевский В.И. Законы взаимности в группах Брау-эра полей функций числовых кривых со специальными якобианами // Докл. АН Беларуси. - 1996. - 40. - 2. - С. 14-17.

[5] Гулецкий В.И., Янчевский В.И. Ветвление и законы взаимности в группах Брауэра полей функций числовых кривых рода один // Алгебра и анализ. - 1996. - 5. - С. 210-¿£8.

[6] Гулецкий В.И. Инварианты простых алгебр над полями функций числовых однородных пространств // Вест АН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. - 1996. - 3. - С. 64-68.

Резюме

Гулецкий Владимир Игоревич

Центральные простые алгебры над полями рациональных функций с ветвлением на кривых специальных типов.

Ключевые слова: числовое поле, кривая рода' один, эллиптическая кривая, поле рациональных функций, центральная простая алгебра, группа Брауэра поля, локальные инварианты, закон взаимности.

В диссертационной работе изучаются вопросы, связанные с локальными инвариантами центральных простых алгебр над полями рациональных функций на кривых. Для кривых рода один, определенных над числовым полем, получены следующие результаты. Установлены необходимые и достаточные условия реализации наборов характеров, удовлетворяющих закон}' взаимности, в качестве систем локальных инвариантов простых алгебр над полем функций. Вычислена группа препятствий к такой реализации. Она изоморфна группе (2/2Х)1. где í - число, зависящее от поля констант и якобиана кривой. Доказано, что группа наборов характеров, удовлетворяющих, закону взаимности, расщепляется на группу всех систем локальных инвариантов центральных простых алгебр и группу (Х/2Ъу. Кроме того, в работе группа препятствий вычислена для кривых произвольного рода, определенных над числовым полем, с рациональным 2-кручением их якобианов.

Рэзюмэ

Гулеща Уладз1м1р 1гаравгч

Цэнтральныя прастыя алгебры над палями рацыянальных функцый з галшаваннем на крывых спецыяльных тыпау.

Ключавыя славы: лжавае поле, крывая рода адзш, эллштычная крывая, поле рацыянальных функдый. цэнтральная прастая алгебра, трупа Брауэра поля, лакальныя ¡нварыянты. закон узаемнасш.

У дкертацыйнай рабопе вывучаюппа пытанш. звязаныя з лакальньпн 1нварыянтади пэнтральных прастых алгебр над палялп рацыянальных функцый на крывых. Для крывых рода адзш, вызначаных над лукавым полем, атрьшаны наступныя рэзультаты. Установлены неабходныя i да-статковыя умовы рэал1зацъп наборау характарау. здавальняючых закону узаемнасш, у якасш сктэм лакальных шварыянтау прастых алгебр над полем функцый. Вы.гпчана група перашкод да такой рэа.цзацьй. Яна ¡заморфна групе (Z/2Z)г. дзе < - лж. яю залежыпь ад поля канстант I якаб1яна крывой. Даказана, што група наборау характарау, здавальня-ючых закону узаемнасш, расшчапляецца на групу уах астэм лакальных шварыянтау пэнтральных прастых алгебр 1 групу {Ъ/2Ъ)1. Акрамя таго. у рабоце трупа перашкод вылачана для крывых адвольнага рода, вызначаных над лжавым полем, з рацыянальным 2-кручэннем ¡х якаб1янау.

Summary

Vladimir I. Guletskii

Central simple algebras over fields of rational functions with ramification on curves of special type.

Key words: number field, curve of genus one, elliptic curve, field of rational functions, central simple algebra, Brauer graup of a field, local invariants, reciprocity law.

Problems connected with local invariants of central simple algebras over fields of rational functions of curves are investigated. For curves of genus one over number fields the following results are obtained. Necessary and sufficient conditions for realization of sets of characters satisfying a reciprocity law as systems of local invariants of simple algebras over a function field are established. The obstruction group for this realization is calculated. It is isomorphic to the group (Z/2Z)' with t depending on a constant field and the Jacobian of a curve. It is proved that the group of sets of characters satisfying a reciprocity law splits into the group of all systems of local invariants of central simple algebras and the group (Z/2Z)'. Moreover, the obstruction group is calculated for curves of arbitrary genus over a number field with rational 2-torsion of their Jacobians.