Свободные аффинные алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Министерство ватки, высшей шкоды а технической политики РЗ

омсюй гостдакггаЕнтй уеиверсктй

На правах рукописи

Поликарпов Сергей Владимирович СВОБОДНЫЕ АФФИННЫЕ АЛГЕШ

01.01.06 - математическая логика, алгебра л тео1ия чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на ссискаше ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 1992

Диссертация выполнена в Новосибирской государственном

университете имени Ленинского комсомола >

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор И.П. Шестехов

Официальные оппоненты -доктор йизико-математических наук

профессор А.Н.Гртпков кандидат ¿кэико-математических наук А.Б. Ильтяков

Ведущее учреждение - Московский Государственный Педагогический Университет им. В.И.Ленина

Защита диссертации состоится о^, ^^/^оС ?. в ^?"часов на заседании специализированного совета К,064.36.02 при Омском Госуниверситете по адресу: Омск, пр. Кира, 55

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского Госуниверситета

Автореферат разослан щсл-( * ^ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного /

совета, кандидат $из.-мат. наук¿-¿^В.А.Роионьков

1 - - '; Алгебру над полем мы называем аффинной, если она конечно

•^-•1 а

"" порождена и является порядком в некоторой конечномерной центральной простой алгебре. Примерами таких алгебр являются кокечно-поразденш1- парвичнно ассоциативные, альтернативные и йордановы Р1-алгебры, коночно-порозденные першгтаые ншшеш алгебры 1£альцева (последние два класса - над полями характеристики, отличной от 2), а также аналоги колец общих матриц -свободные алгебры в многообразиях, пох'озденних конечномерными центральным! простыми алгебрами £¡6, I, 12, 4, 8, II J.

До сих пор аффинные алгебры в основном изучались в рамках ассоциативных алгебр 10, 13, 14, 16 - 19^ . Важные результаты в этом направлении принадлежат А.Т. Маркову, К. Прочези, Е. Форманеку, Ю.П. Разшслову, В. Дренскоцу.

Однако интерес к изучении аффинных алгебр в других многообразиях вполне оправданно следующим причинам. Во-первых, кал и в коммутативном и ассоциативном случаях, их изучению шшо предать геометрическую интерпретацию в контекста "неассоциативной алгебраической геометрии". Во-вторых, изучая аффинные алгебры того или иного многообразия, ш развиваем структурную теорию этого многообразия. Наконец, неассоциативные аффинные алгебры но 17т поставлять новые интересные примера коммутативных областей в лице своих центроидов и центров.

Необходимо отметить также, что достаточно активно изучались тождества конечномерных центральных простых алгебр (см. [2, 3, 5, э]).

Предлагаемая диссертация посвяцена изучение свободных аффинных алгебр, близких к ассоциативным. Терши "свободная аффинная алгебра" означает в точности, что речь вдет об алгебр общих элементов некоторой конечномерной центральной простой алгебры. По этой причине основное поле без ограничения общнот cru можно считать алгебраически замкнутым, а структуру соответствующей просто? алгебы вполне определенной.. Так, например, в райках альтернативных и йорденЬвых алгебр свободные аффинные алгебры связаны с полной матричной алгеброй, расцепляемой алгеброй Кэли-Диксона, иордановьаш матричными алгебрами со стандартной инво-'-Чией и йордановой алгеброй билинейной форш с единичной матрицей Грама [l, Î5

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литсрг..уры. Содержание диссертации изложено на 37. с,, список литературы насчитывает 30 наименований..

Основные результат диссертации - теоремы 2.3, 2.4,, 3.2 и"4.3 - содеркатся в гл. 2-4. Резуяьтатыгл. I, пряиад -, лежащие И.Б. Шестакову ¡22, § ij, приведена в диссертации для полноты изложения.

В глазе I вводятся понятия аффинного вдеаяа и аффинной размерности Крулля и доказывается аналог известной теоремы ИаркоЕа-Прочези о равенстве аффинной разиэркости Крулля и сте« пени трансцендентности центроида аффинной алгебры {теореш £.Й Напомним определение общего элемента алгебры. Пусть р - поле, А. - инохеотво, содержащее алгебрак-

¡ски независимые над Р переменные Я с различными ин-«сами, Б дальнейшем через р ш обозначаем поле рациональ-пс функций Р(А) над р от переменных да «Д. .

Допустим, что А - конечномерная алгебра над }* с 13КС0М г1г Сг) •• • , е^ } X ~ А • 5хвиевг

тебра А вида

1*1 - *

дывается общим элементом алгебры Д . ^

Подалгебра рд порожденная в Д наД

леи Р общими элементами з;,^ ' " ^ 2-и* назыБа0,гся ободной алгеброй типа Д рангом П (поскольку она является сбодной алгеброй от Ц свободных порождающих в многообразии, розданном алгеброй Д ). В"главе £ доказано, что алгебра щих элементов Рд [ Хц ^аффинна, если Д. централь-

, проста и может быть порождена П элементами (теорома 1.2).

Глава 2 посвящена вычислению аффинных размерностей Крулля ободных аффинных алгебр, связанных с простыми квадратичными ассическимн (альтернативными, ыалицевскими, йордановими) гебрами. .Доказаны следующие теорема* ' ТЕОРЕМА 2.3. Пусть К п. " свободная аффинная алгебра

лзт-Диксона рангом И г^?, /? " 00 Че1ГГР» К ~ ле частных центра т? л . ?огда

б

1) ir. сСсд^ » ?(и-г) + к _ >

2) -¿и ^ является полем рациональных функций над основным полем рот У (и-2.) + И. переменных.

ТЕОРЕЫА 2.4. Пусть М а - свободная аффинная алгебра

рангом К £ 3 типа С у над полем р характеристики ^ 2,

Ги - ое центровд, - поле частных для Г^ .

Тогда

о Ьг. Ж^г Гн = ч (я-г)-,

2) Н^ГнУ^Ы-'л^Л) г*в Нь «»«

тот л;е сшсл, что и в теореме 2.3.

ТЕОРЕМА 2.6. Пусть ^ - свободная аффинная алгебра

'ранга (С типа , $ ) над полем характеристики 4 2,

где Ж,т У» П . Если К £ М » то

если « ( >/1 , »

¿г. = +

При этом для всех К поле ^ н,п частных центра "Н .алгебры п является чисто трансцендент!шм расыирениеы

псдя Г.

Результаты второй главы опубликованы в работе [22, - §4].

В третьей главе изучается строение свободной аффинной алгебры Кзли-Диксона К^ ранга 3. Хорошо известно [г], что алгебра Кц ( И > 3 ) является алгеброй без делителей нуля, а ее центральное замыкание Ки является алгеброй Кзли-Диксона с делением. Основным результатом главы является следующая теорема о строении алгебры К $ •

ТЕОРЕМА' 3.2» йакто^влгебра свободной аффинной алгебры

Коли-Диксона К 3 ранга 3 над полем характеристики 0 по ее ассоциаторноцу идеалу является алгеброй 5

общих 2x2 матриц ранга Зг Кд /^Ь(Кд) Ассоциа-

торный идеал

свободной аффинной алгебры Кэли-Диксона ранга 3 является свободным модулем над алгеброй следов Тэ алгебры Кд 0 базисом, состояпрш из 8 элементов вида ' гдв , Х3 - свободные порождаю-

щие алгебры Кз » У - правильное -слово от Х£ »

Заметим, что алгебра следов Тз - Ли^р < Кз^

является ассоциативно-комцутативной алгеброй над Р , порожденной слвдулцими 10 алгебраически независимыми элементами' над полем Г »

7

t(*i Xj) (ii i +iis)-; -

где t(b) » - след и корма элемента ß алгебры к з..,-

вычисленные в алгебре Кэли-Диксона К j ,. являющейся центральным замыканием алгебры ' •

Испдльзуя известные результаты К. Прочези и A.B. Иль-тякова [б}, с помощью теоремы 3.2 в этой главе построен аддитивный базис алгебры К 3 , описан центр алгебры К а » вычислены ряда' Пуанкаре и Гильберта алгебры {. Более точно, доказано, что всякий центральный элемент алгебры ^ ^ является суммой элементов ввда J о [С, ¿¿J (йорданово произведение коммутаторов). Ряп-, Гильберта алгебры имеет вед

Р(М - ß-i)' (¿¡¿ГЦ-f) ~

LzX

■p-.fr. -ii-V '

Необходимо отметить, что аналогичные результаты для Алгебры /Л г з общих 2x2 матриц ранта 3 получена К. Прочези [18j в Е. форманеком [14].

В главе 4 доказывается центральный результат диссертации -формула вычисления аффинной размерности Крулля свободной финной алгебры Албёрта. Отметим, что попутно удается вычислить аффинные размерности Крулля свободных аффинных алгебр, связанных с простыми кубическими йордановьзли алгебрами.

Пусть р - поле характеристики, отличной от 2 и 3, (С -матричная алгебра Кэли-Диксона со стандартном инволюцией ~ , С з - алгебра 3x3 матриц над алгеброй С . На алгебре <Сд

определена стандартная, инволюция Т1 : (<Х ^ -(^¡^ )» если 4 у = Дд- . Самосопряженные матрицы относительно шволтзции • образует1 Яорданову алгебру' относительно симметрированного умножения Х0У - Уг (ХУ +УХ) • ГЛ® XV - произведение матриц )( и У в алгебре, С $ ... Эта алгебра, обозначаемая И (С з) » играет ватную роль в теории йордановнх алгебр CcM.fi, 4, Алгебра Ц (£3) в силу швестной класси!т-

жацш:ноД теоремы. Алберта квлябтея единственной конечномерной центральной простой исключительной кордановой алгеброй над алгебраически замкнутым полем. .

Свободные, аффинные алгебры типа Н (<Е$ } мы называем, в честь А. Алберта, ачгебрами Алберта.

■Справедлива следуюцая теорема.

ТЕОРЕМА 4.3 Пусть А у, - свободная аффинная алгебра Алберта рангом 3 пад полем Г характеристики,

pa Алберта ранга Я i 3 над полей F характеристики, отличной от 2 и 3, Тогда аффинная размерность Крулля алгебры Д ^ вычисляется по форцулэ.

а . dim А н = ¿if* -2) + и ,

Доказательство этой теоремы проводится по следующей схеме. Сначала изучается алгебра следов свободной аффинной алгебры Алберта Az •

ЛЕША 4.2. Пусть X „ у - свободные порождающие алгеб-

рн Аг

Тогда дан любого слова ft f след Т(и) представим в ввде Р" -линейной комбинации элементов

т(п) • • - ТОО, •гдв ^ * У •

того 218 состава, что и ¡А. °

Пусть — ¿2 " алгебраическое замыкание поля

частных центра алгебр Д£ » Допустим танке, чтооб-

ций элемент X J алгебра Д^ записан в ввде

X, =

А Сг ^

С* !

Сг ^ь 7

Т

1

I , 'Х. ¿ - общие .векторы ,3-шркого координатного

ростронства над р .

Пусть, наконец, Г^,--, . Строение алгебры

ледов алгебры А 3 над полем С£ описнваот лемма»

ЛЕША 4.4. Для любого У/ € Аз СЛ9Д Т(\У) является

Р -линейной комбинацией произведений элементов

•дв (л } б) - стандартное скалярное произведение, Д (х')-

" смешанное произведение. Из приведенных лемм немедленно вытекает, что

Для доказательства обратного неравенства рассматривается ¡-порожденная подалгебра А алгебры £ ^ J, алгебра ¡ледов Т(А) которой удовлетворяет неравенству

(а)

1г. ¿у

хх

Алгебра Д порождается элементами Х1 , .. Х-

_ ЛяА о о XI - ( о 2г о

\ О О 2з

вида

-С у.'- »-с

'Дц С

1сз

и А

X'

, (я^ ■

Для докаоьтолъстаа ксрагеисгва (х) рассматривался еле-дуюте поля р^ , З-поролдеиные подалгебры Д * алгебры

ькХ)

и алгебры следов :

Гк - , Г = РК-А,

Тм - НА') л Рс [К'с).

Рассматривая цепочку подалгебр з Н ((С 3 )

д° = Д «■' А* с А'- к'

л 13 Т19 тг? т23

. А ¿А £ А < А ,

1ГО означает последовательное присоединение к полю некоторых теременных, участвующих в записи, по существу, "общих" матриц 1 Ху 1 и оцзнива;: степени трансцендентности алгебр

¡ледов "Рц с. ная полгЛШ Г*

¿у То,* /р ^ ¿П Жд Тз,6 /Ръ ,

•¿Л -г,

Ь. ^ Ъ,ю/р% > 2,

Ьг.сЪд Ггс.гз/рг.о ^ 9,

получаем неравенство (к). Таким образом,

{г, ск<]р

Далее, стандартным образом доказывается

¿г. г'ь/Ъъ

Результаты диссертации опубликованы в работах |20 - 23 ^ Они докладывались на семинарах "Алгебра и логика" и "Кольца, близкие к ассоциативным" в Е«1 СО АК СССР, "Теории колец" в МШУ им. З.К. Ленина, на международных алгебраических конфвре циях, посвященных 90-летию А.И. Мальцева (Новосибирск, 1989) и 70-летию А.И. Ширшова (Барнаул, 1991), а также на научной конференции, посвяценной 70-летию ДШИ им. В.В. Куйбышева.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность свое научному руководителю профессору И.П. Шестакову 'за постанову задач, полезные обсуждения и всесторонняя поддориу»

Литература

1. Кольца, близкие к ассоцкатпзшм / Цевль ;ов , Сллнько А.М. естаков И.О., Шнрпов А. И. М,: Наука, 1978.

2. Василовсмй С.Ю. Базис ¿оздеств йордановой алгебры билкней -:ой формы над бесконечный подсм // Исследования по теории колец

: алгебр: Тр. Ш СО ЛИ СССР. Новосибирск, 1963. Т. 16. С. 5-У/.

3. Дренски В. С. ШшикаяыщГ; базис тождеств алгебры матриц ¡торого порядка над полем характеристики нуль // Л"гебра и логика. :380. Я 19. С. 207 - 218.

4. Зелыланов Е. И. О первичных -дордановых алгебрах // Сиб. гатем. я. 1383. 24, ¿V I. С. 89-1045. Ильтяков А. В. ¡ипехтовость идеалов тождеств некоторых

хростых неассоциативных алгебр // Алгебра и логика. 1965. ^ 24, 1Ь 3. С. 327 - 351*

6, Ильтяков А. В. Свободные альтернативные алгебры ранга 3 V Алгебра и логика. 1984 . 23, й 2. С. 136 - 156.

7. Царков 3. Т. Размерность некоммутативных аффинных алгебр (/ Изв. АН СССР. Математика. 1373. & 37. С. 284-288.

6. Медведев Ю. А. Абсолютные дачителп нуля в конечно-пороздён-вых йордановых атгобрах // Сиб. иатем. ж, 1988. 29, И 3. С. 104 - 113.

9. Разкысяов Ю. П. О конечной базвруемости тйддеств матричной алгебры второго порядка над пешем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1ЭТЗ. 12, й I. С. 83 - ИЗ.

10. Размислов Ю. П. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики пуль // Изв. АН СССР. Математика. 1974. 38. С. 723 - 756.

11. Филиппов В. Т. К тэорли елгеор Мальцева // Алгебра и логика. 1977. 16, li I. С. IOI - 108.

12. йзстаков И. П. Абсашотше делитала пуля и радикалы коночно-лороздбЕнш: алътеркатееных алгебр // Алгебра и логика. 1976, 15, 5. С. 5SC - 602.

13. tfrltsul'kj V. Шмишочл Т- ic/слА a ltd HU&A't 4СЛ-и!/> cf ne/adUe fiu

li С. R. hta.d. 8u/<ji\U. £ci. 34(i9H), lWl-Цо^

14. Pob ru-it nfsh E, lnva/llaitti aiu/ lity yen&Ue

tKccUicM>l\TMjb&a, M ШЦ). dM

15. TiLCcvt-bOH d SlSiUcdwtt AH2л liiaii

twitx* а/^АаЛ, htm /Uatfi- V Ы&р fuJf^ dm.

16. pswceAi, £>.. tfcrcewttuiafiye affile

Atii. кс<ж<1. //cu£. ¿{utcii j fiutvobi*, J ел. 3, VA, ,/6,r Z59 - ¿SS.

_ Jfu inAnAicLdit titiotig n xn

rucd*icv>lj O-CLy. in Watt. iUiQUf.wt- Ш. с. CorttjfuJ'u^ -ttriU- ¿Ki /H&tei&eA,

Игьци^ , 342 - 5S9.

• flowen ¿j, , Pa&jno/i-Ua,£ LcttuJl/i'uA In -titoj tiia/vj, Acbcl&iu,lc Pu,ii, tfzw jobl , о.

19,

Работ* автора по теме диссертации

20. Поликарпов С. В. Свободою кольца Кзли-Диксона ранга 3. Дел. в ВИНИТИ .92, й

21. Патдяарпов С. В. Свободные аЗДтаке алгебры Алберта

//Шздунар. алгебраическая кокф., иосвял;. 70-детив А.И.Ширшова "Кольца я модули". Барнаул, Тг»91. '

22. Поликарпов С. 3., Шестаков И. П. ЕеассоциатиЕные аффинные алгебры // Алгебра и логика. 1990. 29, С.'.С. 709 - 723.

23. Поликарпов С. 3. Свободные еЧфшшые алгебры Алберта // Сиб. матем. s. 1991. Т. 32, Я 6, С. Ici - 141.