Аффинные части алгебраических теорий и аффинные категории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

§ 0. Обозначения и терминология

Глава I. Аффинные части алгебраических теорий

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Аффинные модули.

§ 3. Точечное свойство

§ 4. Точечно замкнутые теории

Глава П. SA -категории.

§ 5. Определения и примеры и -категории

§ 6. Свойства SA -категорий.

§ 7. DSA-категории и их эквивалентности.

Глава Ш. S-аффинные категории.

§ 8. Аффинные категории Гротендика.

§ 9. Категории аффинных модулей.

Глава IУ. Характеризации категорий аффинных модулей

§ 10. Точные DSA -категории.

§ II. SA -категории и многообразия.

Диссертация посвящена изучению категорий, в той или иной форме близких к категориям аффинных модулей.

Аффинные модули, введённые Остерманном и Шмидтом в 1966 году [33], в последнее время всё чаще привлекают внимание специалистов как по универсальной алгебре, так и по теории категорий.

Алгебраическая теория аффинных модулей является важным примером аффинной алгебраической теории [25], т.е. теории, все операции которой идемпотентны. Аффинные теории занимают существенное место в общем изучении алгебраических теорий /[21] , [22]/. Интересное направление намечено в [32] и [22]. В.Нейман ¡32] выдвинул проблему исследования теорий с помощью их разложения в копроизведения других теорий. В [32], а позднее и в [22] упомянуто, что уже в [33] по существу был доказан следующий факт: теория модулей над некоторым кольцом изоморфна копроизведению своей аффинной части /т.е. теории аффинных модулей/ и теории множеств с отмеченной точкой. Возникает вопрос о том, насколько это свойство характеризует теорию модулей.

Многообразия аффинных модулей были охарактеризованы Б.Чаканем [18]. Им же даны описания многообразий модулей в тесной связи с характеризацией многообразий аффинных модулей / [17] , [19] /.

Изучение аффинных теорий заключает в себе богатые воз-1 можности как в общей алгебре, так и в других вопросах, например, в теории стохастических автоматов /см. [27]/.

С другой стороны, начатое А.Сендрей [37] и другими изучение категорий аффинных модулей и близких к ним категорий показало перспективность теоретико-категорного направления, связанного с аффинными модулями. Категория аффинных пространств над некоторым телом была охарактеризована Нетц-шем в [31] . А.В.Жожикашвили [5] установил, что категория всех аффинных модулей над некоторым кольцом К определяет это кольцо с точностью до изоморфизма. Подробному изложению различите свойств категории аффинных модулей посвящены работы [15] , [ш].

А.Я.Кострикин и Ю.И.Манин первыми включили важнейшие категорные свойства аффинных пространств в учебную литературу [б].

Таким образом, исследование аффинных модулей продвинуто достаточно далеко.

Однако, несмотря на наличие многих параллелей меяду категорией модулей и категорией аффинных модулей, до сих пор не было получено ни одной внутренней характеризации последней. Кроме того, представляется возможным, отталкиваясь от аффинных модулей, развивать теорию, в какой-то мере аналогичную теории абелевых и аддитивных категорий.

Целью работы является изучение связей меэду алгебраическими теориями и их аффинными частями; исследование категорий аффинных модулей и обобщений этих категорий, в особенности описание эквивалентностей категорий, близких к категориям аффинных модулей; получение различных характериза-ций категорий аффинных модулей.

Все результаты диссертационной работы являются новыми. Основные из них - следующие:

I/ С помощью новых понятий, относящихся к близости алгебраических теорий к их аффинным частям, охарактеризованы теории модулей и абелевых групп.

2/ Описаны эквивалентности различных видов категорий, являющихся обобщениями понятия категории аффинных модулей.

3/ Даны характеризации категорий аффинных модулей.

В первой главе изучаются аффинные части алгебраических теорий. Связь между алгебраической теорией и её аффинной^ частью описывается двумя свойствами. Копроизведение ^ теории ой/ с теорией множеств с отмеченной точкой было названо в [22] точечной оболочкой теории . Точечным свойством назовём свойство теории быть изоморфной точечной оболочке своей аффинной части. Как известно, понятие многообразия равносильно понятию категории алгебр над теорией. Будем говорить, что многообразие обладает точечным свойством, если соответствующая теория обладает точечным свойством.

Пусть Г- теория и иРН - её аффинная часть. Назовём теорию {¡Г* точечно замкнутой, если множество операций теории М совпадает с множеством операций аффинной части теории ей/ .

Основными результатами первой главы являются теорема 1, характеризующая многообразия модулей как обладающие точечным свойством многообразия, в которых прямое и свободное произведения любых двух алгебр совпадают, и теорема 2, утверждающая, что для произвольной теории групп ¿Г'равносильны условия:

I/ ^ обладает точечным свойством.

2/ ¿Г точечно замкнута.

3/ ¿Г является теорией абелевых групп.

Во второй главе вводятся $/1 -категории. Категория называется 5/4-категорией, если:

I/ <А обладает терминальным объектом I .

2/ Для любой пары А» В^ 04 множество морфизмов ^ (А? В) - непустая абелева группа по сложению -/- с нулевым элементом 0/}д > причём для любых ,

Введение таких категорий представляется целесообраз-ньш по ряду оснований. Оказывается, что многие основные свойства категории аффинных модулей обусловлены простыми аксиомами, определяющими

5/4

-категории. Понятие 0/1 -категории является одним из содержательных обобщений понятия аддитивной категории. Теорию -категорий можно развивать во многом параллельно теории аддитивных категорий. Существуют естественные примеры неаддитивных 5/4-категорий, не совпадающих с категориями аффинных модулей. Такими примерами оказываются, в частности, категория идемпотентных редук-тов конечных абелевых групп и категория пучков аффинных модулей.

Подробное построение этих и других примеров и изучение их свойств, а также общих свойств »5/4-категорий осуществляется в параграфах 5 и б. С каждой 5/4-категорией связывается однозначно определённая аддитивная категория: именно, через

АЫ обозначается категория, состоящая из линейных морфизмов 5/4 -категории М / морфизм -['.А —>В называется линейным, если ^О^д — /. Категория

АЫ оказывается аддитивной.

В § 7 определяются t)SA-категории. 5/i-категория ¿4 называется ДЭД-категорией, если в ней существует копроиз-ведение Теорема 3 утверждает, что DS/I-категории М и 6с) с конечными произведениями эквивалентны тогда и только тогда, когда существует эквивалентность из A4J в A4 В , переводящая Т>^ в D^ . В этом случае кольца э ) и ^ J) изоморфны.

Сформулированная теорема имеет важное значение для дальнейшего исследования. Она по существу является обобщением результата А.В.Жожикашвили [б]. В качестве её следствия вытекает

Теорема 4. Пусть и - кольца. Если существует полная, замкнутая относительно конечных произведений, содержащая и одноэлементный аффинный модуль, подкатегория в A-f-f ~ и эквивалентная J^ , обладающая аналогичными свойствами подкатегория с% в кольца R ^ и изоморфны.

В третьей главе вводятся более узкие классы категорий: мы называем SA -категорию М с конечными произведениям-! „Г-аффинной, если A£J абелева.

В § 9 вводятся и характеризуются /теорема 7/ категории

V V 0 агршинных модулей над малыми аддитивными категориями. В качестве основного результата получается первая характериза-ция категорий аффинных модулей:

Теорема 8. SA -категория ья/ эквивалентна категории всех аффинных модулей над некоторым кольцом тогда и только тогда, когда j4 - -аффинная категория с копроизведениями, в которой 1 - малый проективный образующий.

Главной целью четвёртой главы является характеризация категорий аффинных модулей внутри класса SÄ -категорий, эквивалентных, как категории, многообразиям.

В § 10 изучаются точные в смысле Барра [l4j категории и доказывается

Теорема S. Точная ¿^-категория является Х-аффинной.

Эта теорема, имеющая и с шло ст оят е ль но е значение как аналог известного результата Тирни - Барра /см. [14]/ о том, что точная аддитивная категория абелева, используется в последнем, одиннадцатом параграфе, где доказана

Теорема 10. Пусть -категория. Тогда следующие условия равносильны: I/ эквивалентна Aff'R для некоторого кольца R .

21 М категорно эквивалентна идемпотентному многообразию, т.е. категории непустых алгебр над аффинной теорией.

3/ м категорно эквивалентна некоторому многообразию, а терминальный объект J - образующий в j4 .

Эквивалентность условий I/ и 2/ показывает, что категории аффинных модулей и только они появляются"на стыке" двух основных для настоящей работы понятий i -категорий и аффинных теорий.

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по алгебре на механико-математическом факультете МГУ, были представлены на У Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора ¡4о] - ¡42].

Автор выражает глубокую благодарность профессору Л.А. Скорнякову за полезные советы, внимание, подцернку в работе.

1. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий функторов. М., "¡Лир", 1972.

2. Гечег а?. О некоторых классах полумодулей и модулей.А(Фх МоУк. ,24,№1-2/1963/,165-172.

3. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М., ИЛ, 1961.

4. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. ¿«1., ИЛ, 1961.

5. Кокикашвили А.В. Об эквивалентности категорий аффинных модулей. Матем. заметки, 24, № 4 /1978/, 475-486.

6. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М., МГУ, 1980.

7. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М., "Наука", 1970.

8. Мальцев А.И. Структурная характеристика некоторых классов алгебр. Докл. Акад. Наук СССР 120/1958/, 29-32.9. ®ейс К. Алгебра: кольца, модули, категории, т.1. Ы., "Мир", 1977.

9. Цаленко М.С., Шульгейфер Е.Г. Лекции по теории категорий. М., МГУ, 1970.

10. Цаленко М.Ш., Шульгейфер Е.Г. Основы теории категорий. М., "Наука", 1974.

11. Чакань Б. Об эквивалентности некоторых классов алгебраических систем. АоЬа И&Л/ь. , 23,1.2/1962/, 46-57.

12. Csáká^ Ä VcLrie/tUs of mododes шгсС <zf-fiw mxxiuAs. Acta Mtái, Acad Su. Ноша,ZO.FreyoLP. M-elian. Ccitcaori-tz. Mas Yorf^ HarperЙЛ

13. JsUee^R., Klun /у., ScboMudS.H. AffintfcLt-ts of a üc^S roete thories I ~ }■ A-êa&êh-aИ (W), 1-8.22. hîeWj.R.; KàuiMJ., Schwads. H. Äff impcu-U of aiydrvic thzonas M. ~ Can Май. 3О, М2(19Щ ZS1-23?.

14. Johnson Manes S. G. On mocCuJes oirer-a szrvunnû eSra 15, W (19?0)> 5?-67,cLwv-e*£p,W. FconcirohietS- S£ma*it¿c£ cc¿-cfMrouc ~tke<?rc£¿. — Proc. Mx¿. Acad. Sct\ UPA50., a/P(1962), 869 SAP.

15. Сафуанов И.С. Об аффинных частях многообразий. В кн. Пятый Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Новосибирск, 1982, с.116.

16. Сафуанов И.О. Об арфинных частях алгебраических теорий. Вестн. Моск. ун-та. СерЛ. Матем., мех., № 21983/, 45-49.

17. Сафуанов И.О. Аффинные категории. Успехи матем. наук, 38, вып.о /1983/, 205-206.