Стабильность диагональных действий и многообразия двойных смежных классов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 512.74

Анисимов Артём Борисович

Стабильность диагональных действий и многообразия двойных смежных классов

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2012

1 о Т^

005016789

005016789

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Аржанцев Иван Владимирович

Официальные оппоненты: Онищик Аркадий Львович, доктор

физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и математической логики математического факультета Ярославского государственного университета,

Жгун Владимир Сергеевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Научно-исследовательского института системных исследований РАН

Ведущая организация: Самарский государственный

университет

Защита диссертации состоится 25 мая 2012 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 25 апреля 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена решению ряда актуальных задач теории алгебраических групп преобразований. Исследуются задачи, связанные с построением факторов для действий алгебраических групп. Первая из них состоит в доказательстве того, что типичные орбиты диагонального действия полупростой группы на достаточно большом числе копий аффинного многообразия допускают параметризацию точками категорного фактора. Вторая часть диссертации посвящена задаче параметризации двойных смежных классов в алгебраических группах; здесь исследуются два вопроса — о возможности такой параметризации и о том, когда пространство параметров устроено наиболее просто, а именно, когда многообразие двойных смежных классов является аффинным пространством.

Одной из основных целей изучения инвариантов действия в : X является параметризация его орбит, или, выражаясь более точно, построение фак-тормногообразия для заданного действия алгебраической группы. Построение фактора как множества всех орбит с фактор-топологией не даёт решения этой задачи по той причине, что такой фактор зачастую не будет алгебраическим многообразием; этому препятствует, например, наличие незамкнутых орбит у действия С : X.

Определение. Пусть О — аффинная алгебраическая группа и X — алгебраическое многообразие, снабжённое регулярным действием группы С. Категорным фактором для действия О : X называется регулярное, постоянное на С-орбитах отображение р : X —> У в алгебраическое многообразие У, обладающее следующим универсальным свойством: всякий постоянный наС-орбитах морфизм l/):X-^Z пропускается через р единственным способом, т. е. существует и единственен морфизм ф : У —+ для которого коммутативна следующая диаграмма:

У

Многообразие Y обозначается ХЦ G. Иногда, допуская вольность речи, мы будем называть категорным фактором само многообразие ХЦ G. Отметим, что универсальное свойство категорного фактора гарантирует его единственность и юоръективность отображения р : X —* Y. Хорошо известно, что всякое действие G : X редуктивной группы на аффинном алгебраическом многообразии обладает категорным фактором; им является отображение р : X —> Speck[X]G, двойственное к вложению алгебр k[X]G С kpf].

В случае, когда рассматривается действие G : X группы, не являющейся редуктивной, категорный фактор ХЦ G может не существовать. В работе1 А. Бялиницкого-Бирули и в работе2 И. В. Аржанцева, Ю. Хаузена и Д. Целика был предложен подход, позволяющий расширить класс действий, обладающих категорным фактором. Для этого оказывается необходимым расширить категорию, в которой рассматривается фактор, а именно, рассмотреть категорию конструктивных пространств, т. е. пространств с пучком функций, локально изоморфных конструктивным подмножествам в аффинных многообразиях. В диссертации мы покажем, что рассмотрение этой категории позволяет определить конструктивные пространства двойных смежных классов в ситуациях, где многообразие двойных смежных классов не существует.

Для действий редуктивных групп на аффинных многообразиях хорошо известно3, что отображение факторизации 7г: X —» ХЦ G разделяет замкнутые орбиты, поэтому интерес представляют действия, для которых типичные орбиты замкнуты.

Определение. Действие алгебраической группы G на алгебраическом многообразии X называется стабильным, если орбиты точек общего положения (т.е. точек из некоторого плотного открытого подмножества) замкнуты вX.

Стабильность действия G : X в случае аффинного многообразия X связана со свойствами стабилизатора общего положения G,. Во-первых, отметим,

'A. Bialynicki-Bimla: Algebraic quotients. Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups, II, in: Encyclopaedia Math. Sei., vol. 131, Springer-Verlag, Berlin, 2002.

2I.V. Arzhantsev, D. Celik, J. Hausen: Factorial algebraic group actions and categorical quotients. arXiv:0908.0443v2 [math.AG], 11 pages.

3Э.Б. Винберг, В. Л. Попов: Теория инвариантов (Алгебраическая геометрия - 4). Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления", 55. М.: ВИНИТИ, 1989.

что из теоремы Д. Луны и Р. Ричардсона3 следует, что всякое стабильное действие обладает стабилизатором общего положения (с.о. п.). Далее, согласно критерию Мацусимы-Онищика3, стабилизатор точки, имеющей замкнутую орбиту, редуктивен. Это означает, что с. о. п. для стабильного действия G : X является редуктивной подгруппой в G. Для определённого класса действий верно и обратное. А именно, критерий Попова4 утверждает, что если многообразие X факториально и группа G полупроста, то редуктивность с. о. п. равносильна стабильности действия G : X. Напомним, что многообразие X называется фактпориалъным, если алгебра регулярных функций к[Х] факто-риальна.

Оказывается, свойство стабильности действия G : X можно определить в чисто алгебраических терминах5. Рассмотрим разложение алгебры регулярных функций k[X] = k[X]G©kp£"]G, где k[X]G — подалгебра G-инвариантных функций на X, а к[Х]с — единственное G-инвариантное прямое дополнение к k[X]G. Обозначим через р : к[Х] —» k[X]G оператор проекции вдоль крГ]с. С помощью р мы можем определить на алгебре к[Х] симметрическую билинейную форму, положив (/, g) = p(fg). Невырожденность этой билинейной формы равносильна5 стабильности действия G : X Из такого описания получаются удобные для проверки достаточные условия стабильности действий. Коротко опишем их. Обозначим через 0(G,X) полугруппу, состоящую из старших весов простых G-модулей, входящих в k[X], а через Л* — старший вес двойственного к V(A) модуля. Для стабильности диагонального действия G : X х Y достаточно, чтобы множество ©(G, X) — ©(G, Y)* было группой5. Из этого утверждения следует, что если действие G : X можно продолжить до действия некоторой бблыпей связной редуктивной группы R : X, то для стабильности действия G : X достаточно, чтобы множество 9(R, X) — 0(R., R/G) было группой. Данные утверждения будут играть решающую роль в доказательстве стабилизации диагональных действий G : X X • • • X X при увеличении числа копий X.

Одной из задач, которые будут интересовать нас в диссертации, являемся вопрос о стабильности диагональных действий. Доказанная И. В. Аржан-

4В. Л. Попов: Критерий стабильности действия полупростой группы на факториальном многообразии. Известия АН СССР 34 (1970), 523-531.

5Е. В. Vinberg: On stability of actions of reductive algebraic groups. In: Lie Algebras, Rings and Related Topics, eds. Fong Yuen, A. A. Mikhalev, E. Znlmanov, Springer-Verlag, Hong Kong, 2000, 188-202.

цевым теорема6 показывает, что всякое действие полупростой группы G на аффинном многообразии X становится стабильным при переходе к диагональному действию на достаточно большом числе копий X. Мьг покажем, в частности, что количество копий X, необходимое для получения стабильного действия, ограничено сверху числом, зависящим только от группы G.

Одной из задач диссертации является изучение многообразий двойных смежных классов, возникающих из действий максимального тора классической группы G на аффинных сферических однородных пространствах G / Н. Сферические однородные пространства также возникают при построении нижних оценок на индексы стабильности простых групп G.

Определение. Подгруппа H С G называется сферической (а однородное пространство G/H — сферическим), если действие борелевской подгруппы В С G на G / H левыми сдвигами имеет открытую орбиту.

Пусть G — редуктивная алгебраическая группа. Рассмотрим изотипное разложение алгебры k[G / H] = k[G]H

k[G/H]= ф k[G/HU,

AeA+(G)

где A+(G) — множество доминантных весов группы G, a k[G / Н]л — сумма всех простых подмодулей k[G/H], изоморфных простому G-модулю со старшим весом Л; множество тех весов Л, для которых изотипная компонента k[G / Н]д ненулевая, называется спектром представления G в алгебре k[G/H]. Если многообразие G/H квазиаффинно, то условие сферичности H эквивалентно тому, что спектр представления G : k[G / H] прост, т. е. каждый простой G-модуль входит в k[G / H] с кратностью 0 или 1.

Известно, что сферичность однородного пространства G / H является локальным свойством, т. е. зависит только от касательных алгебр Lie G и Lie H.

В качестве примеров сферических однородных пространств приведём (алгебраические) симметрические пространства, т. е. однородные пространства G / Н, где H — подгруппа неподвижных точек инволютивного автоморфизма группы G, и орисферические однородные пространства G / Q, где Q — подгруппа, содержащая максимальную унипотентную подгруппу группы G.

6И. В. Аржанцев: О стабильности диагональных действий. Математические заметки 71:6 (2002), 803-806.

Теория сферических однородных пространств является одним из наиболее разработанных разделов теории алгебраических групп преобразований. Сферические однородные пространства интенсивно изучались многими авторами с различных точек зрения начиная с 80-х годов прошлого века и продолжают активно изучаться в настоящее время. Обзор различных направлений исследования сферических однородных пространств, а также достигнутых по этим направлениям результатов можно найти в монографии Д. А. Тимашёва7.

Будем говорить, что G-многообразие X сферично, если оно содержит сферическое однородное пространство в качестве плотной орбиты. Важным для нас примером сферических многообразий являются определённые Э.Б. Винбергом и B.JI. Поповым8 конусы старших векторов (или HV-многообразия). HV-многообразием называется замыкание орбиты старшего вектора в простом G-модуле. Отметим, что стабилизатор всякой точки на ЯУ-многообразии содержит максимальную унипотентную группу, т. е. ЯУ-многообразия являются примерами орисферических многообразий. В главе 1 мы покажем, что ЯУ-многообразия являются "плохими" с точки зрения вопроса о стабилизации диагонального действия: нижние оценки на индексы стабильности простых групп получаются именно при рассмотрении подходящих ЯУ-многообразий.

В главах 2 и 3 диссертации изучаются категорные факторы специального вида, которые возникают при рассмотрении двойных смежных классов в алгебраических группах.

Определение. Пусть G — аффинная алгебраическая группа, aF и Н — её замкнутые подгруппы. Многообразие двойных смежных классов F\\G//H — это подлежащее пространство категорного фактора для действия группы F х Н на группе G, заданного формулой (/, К) о g = fgh~l.

Для таких категорных факторов мы рассматриваем два вопроса — когда он существует, и когда изоморфен аффинному пространству.

Если подгруппы F и Н редуктивны, то ответ на вопрос о существовании многообразия двойных смежных классов положителен: F\\G//H совпадает со

TD. A. Timashev: Homogeneous spaces and equivariant. embeddings. Encyclopaedia, of Mathematical Sciences 138, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2011.

8Э. Б. Винберг, В. Л. Попов: Об одном классе квазиоднородных аффинных многообразий. Известия АН СССР 36 (1972), 749-764.

спектром алгебры Fk [G]н регулярных функций на G, инвариантных относительно описанного действия F х Н. Если дополнительно группа G редуктип-на, то F\\G//H параметризует типичные (F, Н)-смежные классы. Если же не требовать редуктивности подгрупп F и Н, то даже существование многообразия F\\G//H гарантировать нельзя. Описанию явлений, возникающих в данном случае, посвящена глава 2. В этой же главе установлено, что при естественных и достаточно общих ограничениях на подгруппы F и H существует конструктивное пространство двойных смежных классов F\\G//H.

Интересно сравнить свойства действий {е} х H : G, приводящих к однородным пространствам, и свойства действий F х H : G, приводящих к многообразиям двойных смежных классов — какие из свойств действий H : G сохраняются, а какие нет? Например, все орбиты действия H : G замкнуты; действия F X H сохраняют это свойство для типичных орбит5 (если F, H и G редуктивны). Некоторые же свойства существенно меняются. Например, X. Крафт и В. JI. Попов показали10, что если группы H Ç G редуктивны, то однородное пространство G / H не может быть изоморфно аффинному пространству11. В то же время несложно видеть, что аффинным пространством оказывается T\\sl4//Sp4, где Т — максимальный тор SL4. Если не требовать редуктивности подгрупп F и Н, то можно построить много таких примеров. Если подгруппы F и H превосходны, то многообразие F\\G//H является аффинным пространством12. Напомним, что сферическая подгруппа H ç G называется превосходной, если весовая полугруппа 0(G,G/H) порождена непересекающимися линейными комбинациями фундаментальных весов, т. е. каждый фундаментальный вес входит в разложение не более одной образующей.

Приведённые примеры подводят к вопросу об описании троек F, H С G со свободной алгеброй Fk[G]H. Схожая задача уже рассматривалась для линей-

"D. Luna: Sur les orbites fermées des groupes algébriques réductifs. Inventiones Mathematicae 1С (1972),

1-5.

10H. Kraft, V.L. Popov: Semisimple group actions on the three dimensional affine space are linear. Commentarii Mathematici Helvetici 60 (1985), 466-479.

11 Здесь существенно требование того, что характеристика основного поля равна нулно. При char к = 2 имеется пример транзитивного действия SL2 : А2. Об этом примере автора известил профессор В. ван дер Каллен.

12Э. Б. Винберг, С. Г. Гиндикин: Вырождение орисфер в сферических однородных пространствах. Не опубликовано.

ных представлений редуктивных групп3. Например, Э. Б. Винберг, В. Г. Кац и В. Л. Попов получили полную классификацию простых С-модулей простых групп, имеющих свободную алгебру к[У]с. Как оказалось3, свободная порож-дённость алгебры к|У]с для таких модулей равносильна другим хорошим свойствам действия С : V, а именно, равноразмерности морфизма факторизации 7г : V —» V// в, наличию лишь конечного числа С-орбит в каждом слое 7г и, наконец, нетривиальности стабилизатора точки общего положения. Для многообразий двойных смежных классов аналогичная классификация неизвестна. В главе 3 мы рассмотрим вопрос о классификации многообразий Р\\С//Н со свободной алгеброй рк[С]н в случае, когда в — классическая группа, Н С в - связная редуктивная сферическая подгруппа и Г С С — максимальный тор.

Цель работы

1. Исследовать стабилизацию диагональных действий полупростых групп И и получить оценки на количество копий О-многообразия, необходимое для получения стабильного диагонального действия.

2. Привести примеры несуществования многообразия двойных смежных классов Р\\0//Н.

3. Провести классификацию троек (С. Т, Н), где в — классическая линейная группа, Т С С — максимальный тор, Н С О — связная редуктивная сферическая подгруппа, для которых многообразие двойных смежных классов Т\\0//Н является аффинным пространством (эквивалентно, алгебра ТС[С]Н свободна).

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно, и заключаются в следующем.

1. Найдены оценки на число копий С-многообразия полупростой группы С, необходимое для получения стабильного диагонального действия, причём эти оценки зависят от группы С, а не от С-многообразия.

2. Построены примеры троек Н,Г с С линейных алгебраических групп, для которых категорный фактор Р\\С//Н не существует в категории алгебраических многообразий и найдены некоторые достаточные условия его существования в категории конструктивных пространств.

3. Получен критерий того, что многообразие двойных смежных классов Т\\С//Н (где в — классическая простая алгебраическая группа, Тсв - максимальный тор и Ней - связная редуктивная сферическая подгруппа) является аффинным пространством и найдены все тройки (С,Т, Н) с таким свойством.

Основные методы исследования

В диссертации используются методы алгебраической геометрии, теории представлений, теории алгебраических групп и теории инвариантов.

Теоретическая и практическая ценность работы

Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они

могут найти применение в теории алгебраических групп преобразований и

теории инвариантов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

1 на научно-исследовательском семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" кафедры высшей алгебры Механико-математического факультета МГУ (под руководством Э.В. Винберга, А. Л. Онищика, И. В Аржанцева и Д. А. Тимашёва) в период с 2009 по 2012 год (неоднократно);

2 на второй международной школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Москва, МГУ, февраль 2011 г.).

3 на семинаре по теории представлений кафедры высшей алгебры Механико-математического факультета МГУ (под руководством Ю. А. Неретина) в 2012 году;

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в трёх работах автора. Слисок работ приводится в конце автореферата [1-3].

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, параграфы — на пункты. Список литературы включает 44 наименования. Общий объём диссертации составляет 72 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении приводятся основные понятия, обсуждается история вопроса, формулируются основные результаты диссертации, а также освещается их место в современной теории алгебраических групп преобразований и теории инвариантов,

Первая глава посвящена вопросу о стабильности диагональных действий полупростых групп и его связи с вопросом о существовании инвариантов в тензорных степенях линейных представлений.

Определение. Пусть С — связная полупростая алгебраическая группа. Обозначим

• 5щ(0) — индекс метпастабильности группы, С — такое минимальное натуральное число, что для любого аффинного многообразия X с эффективным действием группы О диагональное действие в на произведении ят(0) экземпляров X стабильно;

• — индекс стабильности, группы С — такое минимальное натуральное число, что для любого аффинного многообразия X с эффективным действием группы С и для любого натурального к > з(С) диагональное, действие в : Хк стабильно.

Определение. Пусть С — связная алгебраическая группа. Положим

М (в) := {п € N | (1/®")° ф {0} для любого ненулевого

рационального С-модуля V}.

Обозначим через ш(С) минимальный элемент полугруппы М(О).

Теорема 1. Полугруппы М(С) для простых односвязных групп О имеют вид:

Группа G M(G) Группа G M(G)

SL„ nN G2 {n 6 N | n > 2}

Spin2n+i 2N f4 {n e N | n > 2}

Spin4n+2 4N Еб 3N

Spin4n+4 2N Er 2N

Sp2n 2N Es {n e N | n > 2}

Утверждение 1. Пусть G — связная аффинная алгебраическая группа, G" — её унипотентный радикал и Н = G / Gu. Тогда М(G) = Miß).

Легко видеть, что если редуктивная группа G имеет нетривиальный центральный тор, то М(G) = 0, поэтому в действительности данное утверждение сводит вычисление полугруппы M(G) к случаю полупростой группы G.

Утверждение 2. Пусть группа G = Gi х G2 является прямым произведением полупростых групп Gi uG%. Тогда М{G) = M(Gj) Л М {G-i)-

Вычисление полугруппы M(G) для односвязных простых групп G ока- • зывается связанным с задачей описания уравновешенных наборов в группе Вейля системы корней касательной алгебры группы G.

Определение 1. Пусть W — группа Вейля, соответствующая группе G. Будем говорить, что набор её элементов wi,...,wk € W уравновешен, если w\ + • • • + Wk = 0 (сумма здесь понимается как сумма линейных операторов, действующих в Q-линейной оболочке корней группы G).

Теорема 2. Пусть W — группа Вейля системы корней касательной алгебры простой группы G. Группа W обладает уравновешенным набором из т элементов тогда и только тогда, когда т € М(G).

Основным результатом первой главы являются оценки индексов стабильности.

Теорема 3. Для односвязной простой группы G имеем m(G) < sm(G).

Теорема 4. Пусть e(G) — такое натуральное число, что для любого аффинного многообразия X с эффективным действием G действие G : Xе^ имеет конечный стабилизатор общего положения. Тогда выполнена оценка s(G) <e(G)m(G).

Теорема 4 является прямым следствием доказательства теоремы о стабилизации диагонального действия полупростой группь^. Отметим, что число e(G) существует и не превосходит размерности группы G. Теорема 3 доказывается путём предъявления G-многообразий X, для которых диагональные действия стабилизируются только при рассмотрении m(G) копий многообразия X.

Теорема 5. Пусть G — связная полупростая, но не обязательно односвлз-ная аффинная алгебраическая группа, все линейные представления которой самосопряжены. Тогда sm(G) = m(G).

Во второй главе рассматривается вопрос о существовании многообразия двойных смежных классов. В случае, когда подгруппы F и Н редуктивны, многообразие F\\G//H существует, причём оно аффинно и точки F\\G//H параметризуют замкнутые двойные смежные классы. В случае нередуктив-ных подгрупп F и Н мы приводим примеры:

I. унипотентной группы G и её подгруппы U таких, что действие U х U на G не допускает категорного фактора, т. е. многообразие U \\G//U не существует;

II. редуктивной группы G и двух её подгрупп F и Н таких, что многообразие F\\G//H не существует;

III. полупростой группы G и двух её подгрупп F и Н, для которых алгебра F х Н-инвариантных регулярных функций R = Fk[G]H конечно порождена и естественный морфизм 7г : G —> Spec R сюръективен, но не является категорным фактором.

Как отмечалось выше, замена категории алгебраических многообразий на категорию конструктивных пространств расширяет класс действий, обладающих категорным фактором. Мы показываем, что при достаточно общих предположениях о подгруппах F и Н существует конструктивное пространство двойных смежных классов F \\G//H.

Утверждение 3. Пусть G — связная аффинная алгебраическая группа, F, Н С G — связные замкнутые подгруппы, которые не имеют нетривиальных характеров. Предположим,, что алгебра Fk[G]H конечно порождена,

и обозначим через 7Г : в —>• 8рес(рк[0]н) морфизм, отвечающий вложению алгебр %[С]Н С к [О]. Тогда Р\\С//Н существует как конструктивное пространство и отображение 7г : С —► 7г(С) является конструктивным фактором для действия Р х Н : в.

В третьей главе проводится классификация троек (0,Т,Н), где О — классическая линейная группа, Т С С — максимальный тор, Н С С — связная редуктивная сферическая подгруппа, для которых многообразие двойных смежных классов Т\\С//Н является аффинным пространством (эквивалентно, алгебра ТС[0]Н свободна).

Глава начинается с установления общих фактов, касающихся многообразий двойных смежных классов. Они имеют бблыпую общность, чем нужно для решения поставленной задачи, и могут представлять самостоятельный интерес.

Определение. Будем говорить, что подгруппы Р и Н имеют, максимальное пересечение, если для всякого д £ С размерность д Р д~1 П Н не превосходит размерности Р П Н.

Несложно видеть, что при работе с многообразиями двойных смежных классов можно ограничиться рассмотрением подгрупп с максимальным пересечением. Такие подгруппы обладают рядом полезных свойств.

Утверждение 4. Пусть в — связная редуктивная подгруппа, Р С О — её максимальный тор (соотв., максимальная унипотентная или борелевская подгруппа). Если Н С в - ещё одна подгруппа, имеющая максимальное пересечение сР, то НПР является максимальным т,ором (соотв., максимальной унипотентной или борелевской подгруппой) вН.

Утверждение 5. Предположим, что редуктивные подгруппы Р, Н с С имеют, максимальное пересечение. Тогда двойной смежный класс Р Н замкнут в С, а пересечение Р П Н является редуктивной подгруппой.

Для того, чтобы отбросить многообразия двойных смежных классов, которые заведомо не могут быть изоморфны аффинному пространству, мы указываем на них особые точки. Для этого оказывается полезным следующее утверждение.

Утверждение 6. Пусть F, Н С G — редуктивные подгруппы и я : G —► F\\G//H — морфизм факторизации. Предположим, что двойной смежный класс FH замкнут в G. Пусть Z — категорный фактор для действия FflH : LieG/ (LieF + LieH), индуцированного присоединённым действием F П Н на LieG. В этом случае точка 7г(е) е F\\G// Н является гладкой тогда и только тогда, когда Z — аффинное пространство.

Перейдём к основным результатам третьей главы.

Теорема 6 (критерий свободности). Пусть G — классическая группа, Т с G — её максимальный т,ор, Н С G — связная редуктивная сферическая подгруппа и 7Г : G —+ T\\G//H — морфизм фа,кт,орилации. Многообразие двойных смежных классов T\\G//H является аффинным пространством, тогда и только тогда, когда образ 7г(е) единичного элемента группы является гладкой точкой.

Теорема б по своей формулировке повторяет критерий свободной порождённое™ алгебры инвариантов линейного представления редуктивной группы3.

Теорема 7 (теорема классификации). Пусть G — классическая группа, Т с G — её максимальный тор и Н с G — связная редуктивная сферическая подгруппа. Многообразие двойных смежных классов T\\G//H является аффинным пространством тогда и только тогда, когда G и Н входят в следующий список:

G

Н

dimT\\G//H

S (GL„ х GLi)

Sp4 S02„

n

2

n

S02n

so4

SC>2h-1 GL2

n- 1 1

S08

so6 so4 so3 Sp4

Spin7 GL3

S02 x S02 GLj

Sp2 x Sp2

3 3 2 1 2

Для получения списка, приведённого в теореме 7, мы сначала отбрасываем многообразия T\\G//H, которые имеют негладкую точку 7г(е), а в оставшихся случаях проверяем, что T\\G//H изоморфно аффинному пространству.

Благодарности

Я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук И. В. Аржанцеву за постановку задач, многочисленные обсуждения и постоянное внимание к работе. Отдельную благодарность я хотел бы высказать профессору Э.Б. Винбергу и доценту Д. А. Тимашёву, которые сыграли важную роль в моём образовании. Благодарю весь коллектив кафедры высшей алгебры Механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова за творческую атмосферу.

Публикации автора по теме диссертации

{из списка ВАК)

[1] А. Б. Анисимов: Стабильность диагональных действий и тензорные инварианты. Математический сборник 203:4 (2012), 47 - 60.

[2] A. Anisimov: Spherical subgroups and double coset varieties. Journal of Lie Theory 22 (2012), no. 2, 505-522.

(не из списка ВАК)

[3] А. Б. Анисимов: Стабильность диагональных действий и тензорные инварианты. Вторая школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов". Москва, Россия, 31 января - 5 февраля 2011 г. Тезисы докладов. Москва: Изд-во "Ол Би Принт", 2011, 6-8.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж Юбэкз. Заказ № Щ