Сложность и ранг действий в теории инвариантов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ргв оа

2 В ФЕВ

Московский Государственный Университет имени М.¿.Ломоносова

Механико-математический факультет

НА правах рукописи улк 519

ПАНЮШБВ Дмитрий Иванович

СЛОЖНОСТЬ И РАНГ ДЕЙСТВИЙ В ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 1995-

а

/

1У

V,

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических .тук, профессор А.Л.Онищик доктор физико-математических наук, профессор Д.Н.Ахиезер доктор физико-математических наук, доцент П.И.Кацыло

Ведущая организация:

Самарский Государственный Университет.

Защита днеертации состоится " ^ " -Ш- 1996 г. в 16 ч. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д 053.05.05 при Московском государственном униварситете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " ^ " 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современная теория инвариантов по сути дела совпадает с теорией алгебраических групп преобразований. Такое понимание вопроса является общепризнанным после появления книги Мамфорда "Геометрическая теория инвариантов". При -этом толкований предмета естественно считать, что основной целью теории является описание регулярных действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях с точностью до изоморфизма. Ясно, что такая цель является идеальной, однако она является источником плодотворных идеи и новых достижений в теории инвариантов. Очевидно, одним из шагов по направлению к ней должна быть какая-то классификация действий. Здесь слово "классификация" понимается в общечеловеческом смысле, как разбиение на классы. В последнее время выяснилось, что очень хорошей является классификация действии по рангу и: сложности. Более точно, любому действию родуктивнои группы G на' неприводимом алгебраическом многообразии Л' можно сопоставить 2 Неотрицательных целых числа: ранг гс(Х) и сложность са{Х) и мы относим к одному классу действия (многообразия) имеющие одинаковые ранг и сложность. Пусть В - борелевская подгруппа в G. Тогда Сс(Л') -это минимальная коразмерность ß-орбпт в Л', а <:е;(Л') + )'<■;(Л') -минимальная коразмерность iZ-орбнт в Л'. По теореме Розенлнхта, указанные «тела можно выразить через степень трансцендентности полон В- и {/-Инвариантных рациональных функций.

Понятие сложности для однородных пространств появилось в статье Луны и'Вуста [LV83]1. Общее определение п ряд фундаментальных результатов содержатся в статье Э.Б.Винберга [Vi86]2. Определение ранга действия было дано независимо автором и Ф.Кнопом3. На самом деле понятие ранга действия является срезом более точного понятия -ранговой группы. А именно, любому действию родуктивнои группы на алгебраическом многообразии можно сопоставить некоторую подгруппу группы характеров максимального тора, причем ранг этой группы

lLu па, DM Vust, Th.J Plongerncnts d'espaces homogenes, Comment. Math. Hclv. 58(1983). 186-245.

2Винберг, Э.Б.: Сложность действий релуктивных групп, Функц. анализ и его приложения т.20, № 1 (1986), с.1-13.

3Кпор, F.: Weylgruppe und Murnentabbilduiig, Invent, math. 99(1990), 1-23.

ранги рангу действия. Для действии на аффинных многообразиях еще более полетным является понятие ранговой полугруппы.

Понятия сложности h ранговой группы особенно употребительны в теории 'жшшариантных вложении однородных пространств. Общая теория [LYS3] дает, в принципе, ойкание всех мыслимых вложений в терминах сложной комбинаторики, включающей в себя структуру множества jD-инвариантных дивизоров iiii G/H и множества О'-инварнантных нормировании поля k(G/H). Структура вышеуказанных множеств непосредственно зависит от сложности и ранговой группы однородного пространства. С другой стороны, как показано в [Vi8G], cg{G/H) дает оценку сверху на число параметров от которых может завненть семейство G-орГшт (и даже Д-орбит). лежащих в X \ Gx, Это показывает, что важно иметь практические методы нахождения ранга н сложности многообразий, в особенности однородных пространств.

Привлекательность классификации по рангу н сложности проявляется и в том, что многообразия, отвечающие малым значениям этих параметров, допускают красивые описания. Например, многообразия сложности нуль могут быть выделены целым рядом разнообразных эквивалентных условий н более известны под именем "сферических миогоообразнй". (Теория сферических многообразий развивается в работах Д.Н.Ахнезера. М.Бриона, Д.Луны, Ф.Кнопа, А.Хаклберри и многих других.) Можно также описать все однородные пространства ран-. гов 0 и 1 п сказать немало интересного об однородных пространствах сложности 1 (см. статьи Д.Н.Ахнезера4,М.Бриона5 и автора6).

Непосредственно из определенна следует, что тематика связанная с рангом и сложностью действий может рассматриваться как часть другой темы - инварианты нередуктивных подгрупп редуктивных групп преобразований. В этой связи очень важным является изучение алгебры ковариантов к[Х]и для действия G на аффинном многообразии А". Она рассматривалась ещё классиками, но лишь сравнительно недавно было доказано, что она конечно порождена. Для нас эта алгебра важна по многим причинам. Во-первых, она хранит информацию о структуре

4Akhiezer, D.N.: Equivariant completions of homogeneous algebraic varieties by homogeneous divisors, Ann. Global Analysis and Geometry 1(1983), 49-78.

5Brion, M.: Parametrization and embeddings of a class of homogeneous spaces, Contemporary Mathematics, volume 131, 1992, p.353-360. .

^f'anyusliev, D.: On homogeneous spaces of rank one, Indag. Math. 8(1995), 315-323.

всей алгебры как С-модуля; во-вторых, ома содержит в себе алге-Пру /:[А']6; в-третьих, по ней сразу прочитываются сложность действия н ранговая полугруппа.

Цель работы и главные результаты. Одним из главных результатов диссертации является метод удвоения действия, который сводит задачу нахождения ранга п сложности к вопросу о стабилизаторе общего положения для действий редуктивных групп. При ~этом для однородных пространств все может быть сведено даже к прсдстаалкппам редуктивных групп. Указанный метод позволяет находить не только ранг действия, но и ранговую группу, а для действий на аффинных многообразиях н насыщенную ранговую полугруппу.

На основе этого метода в диссертации получены следующие основные результаты.

• Найдена и изучена связь между рангом п сложностью однородного пространства н представлением копзотроппн его стабилизатора.

• Получен способ находить ранг и сложность однородного пространства в терминах правильного вложения стабилизатора.

• Классифицированы аффинные однородные пространства сложности один простых алгебраических групп.

• Получено явное описание сферических ннльпотентных орбит присоединенного представления.

!

• Доказана теорема об ограничении для алгебры ковиршштов н описаны симметрии её ряда Пуанкаре.

• Показано как общие результаты диссертации (метод удвоения, теорема об ограничении) работают для важного класса многообразий - аффинных двойных конусов. Это имеет приложения к задаче разложения тензорных произведений.

Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в теории инвариантов, алгебраической геометрии, теории представлений алгебр Ли и при изучении квазноднородных многообразий. \

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на международной конференции по алгебре в Новосибирске (авг. 1989). на семинаре по группам Ли и теории инвариантов в МГУ (дек. 1991. окт. 1993), на семинаре Математического института ун-та Базеля (июнь 1991, май 1993). в инс титуте М.Планка в Бонне (март 1993), на евроконферен-шш по "Алгебраическим группам преобразований" в Греции (авг. 1995).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора. указанных конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и 6 глав. Её общин объем - 113 страниц в Т^Х'е, из которых 4 страницы занимает библиография. Библиографический список насчитывет 34 названия. '

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагаются результаты диссертации и фиксируются основные обозначения.

В главе 1 вводятся основные понятия диссертации - сложность и ранговая группа действия редуктивной группы С на алгебраическом многообразии Л'. Определение сложности уже приведено выше. Чтобы определить ранг, рассмотривается мультипликативная группа всех ненулевых Л-полуннварнантных функций в поле А:(Л'):

V = {/ € к(Х) \ {0} | 6/ = Л/(Ь)/ для любого Ь € В}.

Здесь X/ - характер группы В. Группа Ф(Л') = {А/ |/ 6 V) называется ранговой группой (-¡"-многообразия, а её ранг называется рангом С-многообразпя. Главный результат главы - установление связи между этими понятиями и стабилизаторами И точками о.п. (= общего положения) некоторых действий, связанных с исходным. Утверждения о ранге и сложности выступают как следствия наличия этой связи.

Наш основной технический прием состоит в рассмотрении на X другого ("скрученного" или "двойственного") действия С. Чтобы различать получающиеся действия, многообразие, снабженное скрученным действием, обозначается через X*. Формальное определение таково. Фиксируем в С раз и навсегда подгруппы Т С В. Пусть в - инволютивный автоморфизм С?, такой что 0(£) = г-1 для любого i 6 Т. Тогда в(В)ПВ = Т.

Пусть теперь Л'* - копня многообразия X, i : X -» Л'* - фиксированный изоморфизм и х* := г(х). Зададим действие (G : Л'*) формулой

i {g, х') ^ g о х' {в(д)х)\ g € G, х € Л' .

Диагональное действие (G : ХхЛ") называется удвоенным по отношению к (G : Л'). Объектом изучения п главе 1 являются три действия, связанные с исходным: естественные действия подгрупп (В : Л'), (U : X) и удвоенное действие (G : А'х А"). Следующий результат устанавливает связь между стабилизаторами и точками о.п. этих действии.

Теорема 1. Существует точка z = (х,х') 6 Л' х Л'*, такая что ■ (г) U. Ux есть стабилизатор о.п. для (U- : Л'),-(И) В, := Bz есть стабилиэапюр о.п. для {В : X); (HiJ S :— G ! = Grne(Gx) есть стабилизатор о.п. для (G : X х А"); (vu) U. = UnS, В. = ВП5;

(v) для некоторого доминантного i 6 I аътолнястся соотношение

zG(ty c sczG(t).

Точки 2, z, удовлетворяющие условиям этой теоремы называются каноническими т.о.п., а соответствующие стабилизаторы U.. В., S называются |каноническими с.о.п. Результаты о ранговой группе; (ранге) и сложности возникают как следствия. А именно, доказываются следующие утверждения:

• rcj(X) = rkG-rkS;

. trâeg k{Х)и = rG(X) + сб-(л'); . trdeg k(XxX'f = гс(А') + 2сс(А'); Ö(X) = {м 6 Х(Т)| ß(t) = 1 Vi G S П T};

• t/TlS С По Ga, где G a - корневая унипотентная подгруппа и произведение берется по всем положительным корням а, ортогональным &(Х).

Здесь и далее Х{Т) ~ группа характеров , а Л'(Т)+ - полугруппа доминантных весов.

\

Для квазиаффинного Л' можно получить больше информации. В чтим случае естественнее рассматривать не г|>уппу 0(Л' ), а (ранго-иую) полугруппу Г(Л'), которая определяется как {А/ |/ £ РПА.[Л']}. Тогда (5(.V) - это группа, порожденная Г(Л'). Полугруппа Т(Л') = <0{Х)ПЛ'(Т)+ называется насыщенной ранговой. В квазиаффинном случае из приведенных выше пяти соотношений последнее обращается в равенство. Это значит, что редуктивн;1я группа S так велика, как только возможно при данной диагональной части SDT. Другой полезный факт это то, что удвоенное действие всегда стабильно.

В главе 2 общая теория развивается для однородных пространств. Одним из основных итогов главы является то, что все вопросы о ранге и сложности могут Сыть сведены к представлениям редуктивных групп! Мы начинаем с характоризацнн однородных пространств ранга, нуль как обобщенных флаговых многообразии. После этого переходим к представлению конзотропии однородного пространства G/H, то есть к представлению Я в кокасательном пространстве к точке еН G G ¡И, ко- . торое оудем обозначать через т. Тогда m - это некоторый Я-подмодуль в о = LieG' и это дает возможность рассматривать С-орбнты точек из т. Если H редуктнвна, то m ~ q/f), то есть представления изотропии и конзотропии изоморфны. Следующая теорема устанавливает, среди прочего, спязь между стабилизатором о.п. S для удвоенного действия (G : G/H х (G/H)*) и представлением конзотропии.

Теорема 2. Пусть Gf H - квазиаффинное однородное пространство, г = i'(;(G/H), с = cg(G/H) и (Я : m) - представление коизотропии.

Тогда

(г) пайдстся открытое подмножество mj С m, такое что для любого ij G rri] выполняются условия:

dimGi/ - сГнпЯт/ = 2с ,

niin coù\mnHq = codirnm#i/ = 2 с+ г;

убт

(ii) Для дейсгпвня (H : ш) существует с.о.п. S, такой что S D S и h = ь.

(iii) Более того, если с = 0 или G/H аффинно, то S = S.

Следовательно, если G/H - аффинно, то лучшего и желать нельзя, ибо все свелось к рассмотрению представления редуктивной группы Я.

G

Чтобы довести до такого же уровня общий случай, рассматривается правильное вложение группы Н в некоторую собственную параболическую подгруппу Q. Это значит, что для разложений Леви Н — КНи и ,Q = LQU выполняются соотношения К С L и Я" С Q". Такое вложе-нне всегда существует по теореме Вейсфейлера. Тогда L/K - аффинное ■ Однородное пространство редуктивной группы L и мы можем найти стабилизатор о.п. S для его представления коизотропии. Это - редуктивная группа, линейно действующая в Q"/Hu (ибо S С Л"). Следующий результат полностью решает нашу проблему.

Теорема 3. (г) cg(G/H) = cl(L/K) + cs{Qu/Hu); :(ii) rc(G/H) = rL(L/I<) + rs(Q»/tf«);

(iii) Если S, - c.o.n. для удвоенного представления (S : Qu/Hu x (Qu/Н"У), то S, есть также c.o.n. и для действия (G : G/H x (G/HY).

Среди других результатов главы выделим следующие:

• Доказано, что - алгебра пйлиномов, если GJH - квазиаффинное сферическое однородное пространство и группа Н связна.

• Получена характеризация cc{G/H) в терминах роста кратностей в ранговой полугруппе, если Н - подгруппа Гроссханса (если Л 6 T(GJH) и R{А) - неприводимый (7-модуль со старшим весом А, то dimi?(A*)fi я называю кратностью веса А в полугруппе Г(С/Н));

• Для простой группы G и произвольной подгруппы Н доказано неравенство cg(G/H) < rc{G/H)^-.

Глава 3 целиком посвящена приложениям полученных результатов. В ней получена классификация связных редуктивных подгрупп простых групп, таких что соответствующее однородное пространство имеет сложность 1. Аналогичная классификация в сферическом случае была получена М.Кремером7. Заметим, что после результатов главы 2 для конкретного однородного пространства вычисление сложности не составляет проблемы. Так что главное - отсечь бесконечность. В ходе классификации показано, что описание однородных пространств сложности

7Krämer, М.: Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), 129-153.

> 0 связано с обобщением понятия разложения редуктивной группы. Разложения полупростых групп изучались А.Л.Оншциком8. При классификации однородных пространств возникает некоторая новая родственная структура, которую я называю 1-разложением. Частичная классификация 1-разложений позволяе.т завершить и классификацию однородных пространств. Полученные результаты собраны в двух таблицах.

Глава 4 также посвящена приложениям. В ней получена классификация сферических нильпотентных орбит в присоединенном представлении. Теория Дынкина-Костанта для любого нильпотентного элемента е 6 0 дает правильное вложение его стабилизатора. Поэтому, естественно, возникает идея применить теорему 3 к нахождению сложности и ранга нильпотентных орбит. Удивительным является то, что в итоге сферические орбиты выделяются очень простым свойством и что ор-, бита сложности 1 в сущности только одна! Для формулировки ответа, не требуется даже знать метод классификации. Назовем высотой ht (е) нильпотента е максимальное число /, такое что (ade)' ф 0. Из теоремы Морозова о включении нильпотента в простую трехмерную подалгебру , следует, что ht (е) > 2, если е ф О Основной результат главы это:

' Теорема 4.

1. cc(Ge) — 0 тогда и только тогда, когда ht (е) € {2,3}.

2. Если ca(Ge) = I, то ht (е) = 4. Более того, в этом случае G = SL„ и при любом п > 3 имеется ровно одна такая орбита.

Дано также описание сферических орбит во всех классических алгебрах Ли в терминах стандартных матричных реализаций. Например, нильпотентная матрица е в sln дает сферическую SL„-op6iiTy тогда и только тогда, когда е2 = 0. При этом r(SLne) = rank (е) - обычный ранг матрицы.

В главе 5 собраны результаты об алгебре ковариантов. Первая тема - теорема об ограничении для алгебры ковариантов. Имея действие IG : „Y), я хочу найти подмногообразие Y С X и подгруппу К С G, такие что морфизм ограничения fc[A'] —> fc[Y] индуцировал бы изоморфизм алгебр ковариантов -—ь k[Y]u^hK Для алгебры инвариан-

8Онишик, А.Л.: Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований, Труды ММО т.11 (1962), с.189-142

топ А;[АГ]С подобный результат известен и в самом общем виде доказан Д.Луной9. Моя идея состоит в том, чтобы взять G-многообразие X', такое что ~ fe[X']G, применить к нему теорему Луны и пытаться истолковать получившуюся там алгебру инвариантов как алгебру кова-риантов на некотором подмногообразии в X. Одна из проблем заключа-: ется в том, что имеется много таких многообразий X' и не для любого выбора можно реализовать до конца эту идею. Оказывается, правильный выбор X' определяется структурой ранговой полугруппы Г(А') и в этом месте вступает в игру теория, развитая в главе 1. В итоге получается почти в точности то, что я хотел получить. А именно, существуют (явно описываемые) Y С X и К С G, такие что k[Xf где индекс Т значит, что берется не вся алгебра а лишь ее часть, соответствующая полугруппе Т. Однако эта полугруппа явно вычисляется с помощью канонического с.о.п. 5 для удвоенного действия G : .Y х AT*)! Можно добавить, что нетривиальная редукция (Y ф X, К ф G) получается только если S ф {е}. Интересное свойство этой процедуры - это то, что она не меняет ранга и сложности действий:

cG(X) = cK(Y),rG(X)=rK(Y).

Вторая тема главы 5 - симметрии ряда Пуанкаре алгебры ковариантов. Считаем, что G полупроста, / = rkG и {<p¡} - фундаментальные веса G. Алгебра имеет N'-градуировку, связанную с действием тора Т,

нормализующего U. Если = к, то весовые подпространства Л[Л')д

конечномерны и ряд Пуанкаре определяется формулой

FX/u(t)= £ dim

Щ.-.Щ

где (t) = (ti,...,t() и Л = EÍ=In¡v3¡. Если X//U := Specк[Х]и - горен-штейново многообразие, то рациональная функция Fx g и удовлетворяет функциональному уравнению

Fx/u(t~}) = (-l)dimXívt.-Fx/u{t),

где (i-1) = (íj-1,... jij"1), а (Ь) = (bi,...,bi) некоторый набор чисел, которые называются степенями ряда Пуанкаре. Этот результат принадлежит Р.Стэнли. Один из результатов главы описывает числа 6¡ и их

;.; "Luna, D.: Adhérences "d'orbite et invariants, Invent. Math..29(1975), 231-238.

связь со свойствами действия (I/ : X). Напомним, что /7» - канонический с.о.п. для этого действия.

Теорема 5. Пусть X - аффинное фактпориильное С-многообразие, имеющее лишь рациональные особенности и к[Х]с — к. Тогда (1) 0 < Ь,- < 2;

(И) имеется дихотомия:

(a) если С (Л, то Ь; = О,

(b) если 6'0| £ и,, то ¿>,- > О/

(Иг) следующие условия эквивалентны:

(a) Ьi = 2 Ли всех г;

(b) для Б := {я 6 X | сНт{7х > 0} выполняется соотношение сосПт.у-О > 1.

Если самая алгебра к[Х\ является (поли)градуированной, так что компонента степени нуль есть к, то условие ЭДАГ]С = к можно отбросить. В этом случае можно ещё рассматривать ряд Пуанкаре ^у и сравнивать степени рядов -Рд- и Fл-/{^ Я не привожу здесь формулировки соответствующего результата из-за его громоздкости.

Глава 6 снова посвящается приложениям. Пусть А - доминантный вес и С(А) - замыкание орбиты старшего вектора в Л(А). Это, очевидно, конус. Фундаментальные результаты об этих многообразиях были получены Э.Б.Винбергом и В.Л.Поповым10. Многообразие Z(X,/1) = С(А*) х С(ц*) называется аффинным двойным конусом. Алгебра А,^)] имеет Г^-градуировку, причем компонента степени (п,т) это Я(пА) 0 Щтр). Отсюда следует, что, имея явное описание ряда Пуанкаре поли-градуированной алгебры А, . можно написать формулы для разложения написанного выше тензорного произведения* для любых п,тп. Другое наблюдение таково. Пусть Г - ранговая полугруппа двойного конуса Z(\,/^). Тогда непосредственно видно, что

Г = {ш £ Х(Т)+ 1 Щи) С Н{п\) 0 Я(тр) для некоторых п, тп > 0} .

Поэтому всякое априорное знание о ранговой полугруппе позволяет сделать качественные заключения о разложении соответствующих тензорных произведении (какие старшие веса могут встретиться, а какие не

"'НниОерг, Э.Б.; Попои, FJ.il.: Об одном классе кваиюлноролних аффинных многообразий, И III. АН СССР. Сер. иатем. т.Зв, .4-1 (1072), с.7-19-703.

могут). Таким образом мы видим, что задачи, рассматривавшиеся в предыдущих главах, в случае двойных конусов связаны с разложением тензорных произведении.

, Кроме (7, на двойном конусе действует расширенная группа О = С? х (к*)2. Пусть с(2'(Л,^)) - сложность относительно С?-действия. 'П.Лнттельман11, которому принадлежит самая идея. рассматривать двойные конуса, нашел все пары фундаментальных весов (</?,■, таких что = 0 . В этом случае £[£(9,-, - алгебра полиномов и как следствие он получил простые формулы для разложения | соответствующих тензорных произведений.

Мои результаты о двойных конусах таковы. Показано:

(а) как найти ранг, сложность й насыщенную ранговую полугруппу двойного конуса. Эта задача полностью сводится к представлениям редуктивных подгрупп.

(б) как применить теорему об ограничении к алгебре /<)]". Замечательно тут то, что подмногообразие У оказывается двойным конусом относительно подгруппы А"!

При помощи этих результатов были найдены сложность и насыщенная ранговая полугруппа для любой простой группы и любой пары фундаментальных весов (<,3;,Для всех случаев когда {,¥])) — 1 получено полное описание алгебры {/-инвариантов, которая оказалась гиперповерхностью. Это дает возможность написать явно производящую функцию для ряда Пуанкаре и, следовательно, находить разложения соответствующей серии тензорных произведений просто разлагая в её в ряд. Приведем здесь номера тех фундаментальных весов, для которых это происходит.

• Вт, Ст-(2,т), т>3; . Б6 - (4,5), (4,6);

• БТ - (1,2).

Классификационные результаты главы представлены в 5-ти таблицах.

"Littelmann, P.: On spherical double cones. J. Algebra 166(1994), 142-157.

Работы автора по теме диссертации:

1. Орбиты наибольшей размерности разрешимых подгрупп р.едук-тнвных линейных групп и редукция для [/-инвариантов, Матем., сборник т.132, №3 (1987), с.371-382.

2. Сложность и ранг однородных пространств и представление ко-1 . изотропии, Доклады АН СССР т.307, M 2 (1989), с.276-279.

3. Complexity and rank of homogeneous spaces, Geometriae Dedicata 34(1990), 249-269.

4. Complexity of quasiaffine homogeneous varieties, t-decompositions and affine homogeneous varieties of complexity 1, in: Vinberg, E.B., (Ed.)."Lie groups, their discrete subgroups and Invariant Theory" (Adv. Sov. math., vol.8, pp.151-166) Providence: AMS 1992.

5. Complexity and rank of double cones and tensor product decompositions, Comment. Math. Helvetici 68(1993), 455-468. :

• I

6. Complexity and nilpotent orbits, Manuscripta Math. 83(1994), 223237.

7. A restriction theorem and the Poincare series for [/-invariants, Math. , Annalen 301(1995), 655-675.