Геометрия интегрируемых случаев динамики твердого тела тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 514.745.82 + 517.938.5

Коровина Наталья Валентиновна

ГЕОМЕТРИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СЛУЧАЕВ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

ШУ

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители —

Официальные оппоненты

Ведущая организация

академик РАН,

профессор А. Т. Фоменко;

доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Болсинов.

доктор физико-математических наук,

профессор А. М. Степин;

кандидат физико-математических наук

Ю. А. Браилов.

Московский государственный

педагогический университет.

Защита диссертации состоится 16 июня 2006 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, ^ ^ ^ Чуба иков

профессор

Общая характеристика работы Актуальность темы

Объектом исследования данной диссертации являются вполне интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы (ИГС). При изучении их свойств возникают несколько отношений эквивалентности: лиувиллева эквивалентность (с точностью до существования диффеоморфизма многообразий, переводящего слои лиувиллева слоения в слои лиувиллева слоения), симплектическая эквивалентность (с точностью до существования лиувиллева симплектоморфизма многообразий), непрерывная, или топологическая траекторная эквивалентность (с точностью до существования гомеоморфизма многообразий, переводящего траектории в траектории, с сохранением их ориентации), и, наконец, топологическая сопряженность (существование траекторного гомеоморфизма, сохраняющего время вдоль траекторий). Под „траекторной" мы будем понимать топологическую траекторную эквивалентность. Ясно, что два последних отношения эквивалентности действуют для более широкого класса динамических систем. Указанные отношения эквивалентности различны по силе: лиувиллева эквивалентность является необходимым условием для эквивалентностей остальных типов, а траекторная — для топологической сопряженности.

В диссертации исследуются ИГС с точки зрения траекторной эквивалентности.

Классическая теорема Лиувилля описывает поведение траекторий ИГС в окрестности регулярного компактного слоя лиувиллева слоения. Поэтому интерес представляет исследование ИГС вблизи особых слоев.

Для ИГС с двумя степенями свободы их траекторная классификация в непрерывном1, а затем и в гладком2 (вместо траекторного гомеоморфизма необходимо существование С1-гладкого диффеоморфизма, переводящего траектории в траектории) случае были проведены на трехмерных изоэнергетических уровнях; полученные результаты легко обобщаются на некоторый класс трехмерных инвариантных поверхностей. В диссертации проведено несколько большее расширение этого класса (точнее см. ниже).

1 Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I. //Матем. сб., 1994, т.185, JM, с. 27-80. П. //Матем. сб., 1994, т.185, №5, с. 27-78.

2Болсинов A.B. Гладкая траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.//Матем. сб., 1995, т.186, с. 3-28.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

ОЭ 200^акxfg-/

Следующим естественным шагом является построение траекторных инвариантов для четырехмерных окрестностей особенностей (отметим, что в предыдущем случае исследованы трехмерные окрестности особых слоев, при выборе конкретных трехмерных инвариантных поверхностей).

В первую очередь интересны слои, содержащие невырожденные особые точки (точное определение см. ниже). Условие невырожденности ограничивает большой класс особенностей, например, такие особенности часто встречаются в известных реальных примерах ИГС.

Теорема Элиассона3 описывает все возможные типы невырожденных особых точек для систем с двумя степенями свободы: эллиптический, седло-центр, седло-седло и фокус-фокус (теорема носит на самом деле многомерный характер). На одном слое слоения Лиувилля могут быть только особые точки одного типа, если все они невырожденные4, поэтому можно говорить о типе (невырожденного) особого слоя.

Первым результатом на этом пути явилась работа5, где были построены критерий траекторной эквивалентности ИГС с произвольным числом степеней свободы в окрестности невырожденного эллиптического особого слоя, а также полный гладкий траекторный инвариант для некоторого класса неспециальных нерезонансных ИГС с двумя степенями свободы.

Следующим шагом в этом направлении является исследование четырехмерных окрестностей особых невырожденных слоев типа седло-центр. В настоящей диссертации мы ограничиваемся рассмотрением нерезонансных нерасщепляемых систем, для которых строятся траекторные инварианты; в случае неспециальных систем сформулирован и доказан полный критерий траекторной эквивалентности и построен полный траекторный инвариант (определения нерасщепляемости и неспециальности см. ниже). Кроме того, исследуется вопрос реализации ИГС с заданным траекторным инвариантом. Полностью описан класс допустимых траекторных инвариантов.

Здесь необходимо отметить, что при обсуждении особых точек и слоев ИГС с двумя степенями свободы, а также их окрестностей, кроме размерностей этих объектов (3 или 4) возникают две качественно различные ситуации: локальная (рассматриваются малые окрестности

3Eliaeson L.H. Normal forma for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case. // Comm. Math. Helv., 65 (1990), pp. 4-35.

4A.V.Bolsinov. Methods of calculations of the Fbmenko-Zieschang invariant. // Adv. Soviet Math., в (1991), pp. 147-183.

8Орёл O.E. Критерий траекторной эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем в окрестности эллиптических орбит. Траекторный инвариант задачи Лагранжа. // Матем. сборник, 1997, т.188, вып.7, с.139-160.

особых точек) и полулокальная (рассматриваются малые окрестности протяженных объектов — слоев лиувиллева слоения). Исследование системы во второй ситуации требует дополнительных средств.

В данной диссертации впервые проведен полный траекторный анализ полулокальной проблемы в четырехмерной окрестности особого слоя. Результат5 хотя и является формально первым в этом направлении, однако, строго говоря, является чисто локальным, поскольку эллиптические орбиты всегда нульмерны.

Отметим также работы6'7'8, касающиеся симплектической эквивалентности ИГС в полулокальном случае. Результаты этих работ и методы, которыми они получены, позволяют рассматривать эти задачи в одном контексте с траекторной эквивалентностью. Кроме того, оказывается, что симплектические инварианты имеют природу, близкую к траекторным.

Часть диссертации посвящена изучению двух интегрируемых случаев динамики твердого тела: случая Эйлера (с двумя совпадающими главными моментами инерции) и случая Лагранжа с произвольным потенциалом. Эти случаи рассматриваются на изоэнергетических уровнях больших энергий, что эквивалентно рассмотрению окрестности специальной особой точки — бесконечности. Это помещает проблему в круг задач, описанный выше. Настоящее исследование располагается также в ряду исследований, связанных с нахождением пар траекторно эквивалентных геодезических потоков или задач динамики твердого тела на определенных уровнях энергии, см. например910,1112'13'14.

"Dufour J.-Р., Molino P., and Toulet A. Classification des systèmes intégrables en diroe-sion 2 et invariants des modèles de Fomenko. // Compt. Rend. Acad. Sei. Paris, 318:942-952,

1994.

7Toulet A. Classification des systèmes intégrables en dimesion 2. // PhD thesis, Université de Montpellier П, 1996.

'San Vu Ngoc. On semi-global invariants for focus-focus singularities. // Preprint: Institut Fourier, 2001.

9Козлов B.B. Две интегрируемые задачи классической динамики. // Вестник МГУ, 1981, JIM, с.80-83.

10Knörer H. Geodesies on quadrics and a mechanical problem of C.Neumann. //J. Reine Angew. Math. 1982, v.334, pp.69-78.

11Бобенко А.И. Уравнения Эйлера на so(4) и е(4). Изоморфизм интегрируемых случаев. / / Функц. нал из и его приложения, 1986, т.20, вып.1, с.64-66.

12Болсинов A.B., Многомерные случаи Эйлера и Клебша и лиевы пучки. // В кн.: Труды семинара по векторному и тензорному анализу, М-: МГУ, 1991, вып.24, с.8-12.

l3Ve8elov А.Р. Two remarks about the connection of Jacobi and Neumann integrable systems. // Math. Zeitschrift, 1994, v.216 pp.337-345.

14Болсинов A.B., Дуллин X. О случае Эйлера в динамике твердого тела и задаче

Цель работы

Настоящая диссертация посвящена исследованию классов траекторной топологической эквивалентности ИГС с двумя степенями свободы в окрестностях особенностей. Основной целью является построение полного набора инвариантов топологической траекторной эквивалентности в четырехмерных окрестностях особых невырожденных слоев типа седло-центр, изучение вопроса реализации ИГС с заданным траекторным инвариантом, а также исследование с точки зрения классов траекторной топологической эквивалентности интегрируемых случаев Эйлера (с двумя совпадающими главными моментами) и Лагранжа динамики твердого тела на больших уровнях энергии, т.е. "в окрестности бесконечности".

Методы исследования

В работе использованы методы дифференциальной геометрии, топологии, теории интегрируемых гамильтоновых систем, дифференциальных уравнений и анализа.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

1) Построены инварианты топологической траекторной эквивалентности нерезонансных нерасщепляемых ИГС в четырехмерных окрестностях особых невырожденных слоев типа седло-центр.

2) Получен полный критерий траекторной эквивалентности таких систем в неспециальном случае.

3) Описан класс допустимых траекторных инвариантов и доказана теорема реализации ИГС с заданным допустимым траекторным инвариантом.

4) Установлена связь классов топологической траекторной эквивалентости интегрируемых случаев Эйлера (с двумя совпадающими главными моментами) и Лагранжа динамики твердого тела на уровнях больших энергий в случае, когда постоянная площадей д = 0. Для этого исследованы свойства функций вращения геодезических потоков на двумерных сфере и торе.

Якоби. // Регулярная и хаотическая динамика. 1997, т.2, ЛЧ, с. 13-25.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в теории интегрируемых гамильтоновых систем.

Апробация работы

Результаты диссертации рассказаны и обсуждены на следующих семинарах и конференциях:

— на семинаре "Современные геометрические методы" (мех-мат МГУ) под руководством акад. А. Т. Фоменко, проф. А. С. Мищенко, проф. А. В. Болсинова, доц. А. А. Ошемкова и доц. Е. А. Кудрявцевой в 20002003 гг.;

» — на XXII Конференции молодых ученых (мех-мат МГУ) в апреле 2000

г.;

— на международном симпозиуме "Теория уравнений с частными производными и специальные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений," посвященной 150-летию со дня рождения С. В. Ковалевской (г. Санкт-Петербург) в мае 2000 г.;

— на конференции "Александровские чтения" (г. Москва) в мае 2000 г.;

— на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского (г. Москва) в мае 2001 г.;

— на Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2002) памяти С. Г. Крейна в январе 2002 г.;

— на международной конференции по функциональному анализу и 1 его приложениям, посвященной 110-летию со дня рождения С. Банаха (г.

Львов, Украина) в мае 2002 г.;

— на семинаре под руководством проф. В. Бангерта (математический институт Альберт-Людвиг университета, г. Фрайбург, Германия) в декабре 2002 г.;

— на семинаре под руководством проф. У. Абреша и проф. Г. Книпера (Рурский университет, г. Бохум, Германия) в июле 2002 г. и в 2003 г.;

— на совместном семинаре "Дифференциальная геометрия" Дортмундского и Бохумского университетов под руководством проф. У. Абреша, проф. Г. Книпера, проф. К.-Ф. Зибурга и проф. Л. Шваххофера (Дортмундский университет, г. Дортмунд, Германия) в июне 2005 г.;

— на кафедральном семинаре "Дифференциальная геометрия и приложения" (мех-мат МГУ) под руководством акад. А. Т. Фоменко в ноябре 2005 г.

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 130 страницах. Список литературы содержит 36 наименований.

Содержание работы

Во введении излагается история задачи и краткое содержание диссертации. Кроме того, дано определение невырожденной особой точки.

Пусть V = 8§р:аАН — гладкая ИГС с двумя степенями свободы и дополнительным интегралом Р, заданная на некотором гладком четырехмерном симплектическом многообразии (М4,ш). На М4 имеется пуассоново действие группы К2, порожденное сдвигами вдоль интегральных траекторий векторных полей в^ас! Я, sgrad Р.

Определение. Точка х € М4 называется особой, если векторы 8{гргас1Я(:г), линейно зависимы.

В диссертации рассматриваются неподвижные в смысле пуассонова действия особые точки. Пусть х — такая точка. Пуассоново действие К2 на М4 порождает действие К2 на касательном пространстве ТХМ4, сохраняющее форму и, и индуцирует абелеву подгруппу симплектических преобразований в группе 5р(4,К) симплектических преобразований ТХМ4. Алгебра Ли этой подгруппы является коммутативной подалгеброй алгебры Ли зр(4,К).

Определение. Точка х называется невырожденной, если эта подалгебра в зр(4, К) является подалгеброй Картана.

В главе 1 даются необходимые определения, вводятся основные объекты диссертационной работы. Кроме того, указываются ограничения на ИГС, рассматриваемые в диссертации. Далее описываются известные траекторные инварианты1 и обсуждаются проблемы, возникающие при попытке изготовления инвариантов для четырехмерных окрестностей особого слоя, используя эти „трехмерные" инварианты.

Определение. Пусть р„ д„ г = 1,2 — симплектические координаты из теоремы Элиассона (теорема 0.1.5 диссертации), т. е. / = ргдь s = + Н = #(/, з), ^ = з). Система v = 8{р-ас1 Я называется неспециальной, если ^т ф 0, Ф 0 для какой-нибудь неподвижной особой точки

Рис. 1: а. Е в окрестности у0: Е = 7m U 7,, *ут и 7, трансверсальны, затемненная область: T{U)\ б. Допустимые кривые 7, у.

Xj G L. Это условие не зависит от выбора х3 £ L.

Рассмотрим С°°-гладкую ИГС v = sgrad Я в малой 4-мерной окрестности U ее слоя L, содержащего невырожденную особую точку типа седло-центр. Предполагается, что

1) все слои лиувиллева слоения на U компактны,

2) L является невырожденным особым слоем (т. е. все неподвижные особые точки на L невырожденные, тогда их типы одинаковы4),

3) v нерезонансна (т.е. торы с иррациональной обмоткой всюду плотны на U, тогда лиувиллево слоение не зависит от выбора F),

4) v нерасщепляема (т.е. бифуркационная диаграмма £ — образ особых точек при отображении момента Т : М4 —> R2, х (#(х), F(x)) — имеет в окрестности точки yo = F{L) вид как на рис. 1а),

5) L = Г~ЧУо) (иначе нужно ограничиться связной компонентой F~l{yo))-, аналогично, U является полным прообразом диска с центром в у0,

6) v неспециальна.

Неспециальность является условием общего положения, а условие нерасщепляемости ограничивает широкий и естественный класс особенностей, часто встречающийся в реальных задачах. Любая нерасщепляемая невырожденная особенность в случае, когда все слои слоения Лиувилля компактны, лиувиллево эквивалентна особенности типа почти прямого произведения15 (см. определение в16). В случае

16Nguen Tien Zung. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems. I: Arnold-Liouvffle with singularities. // Compoeitio Math., 101:179-215,1996-

1вВолсинов A.B., Фоменко A.T. Интегрируемые гамильтоновы системы Геометрия, топология, классификация. Т. 1. (Ижевск: Изд. дом .Удмурт, ун-ет", 1999. 444 с.)

Рис. 2: и ~ I)2 х Р2, книжка" В(11) и проекция на Т{и). Затемнение указывает соответствие колец Р2, листов В{11) и частей Т(и).

седло-центр из нерасщепляемости в действительности следует4 лиувиллева эквивалентность особенности типа прямого произведения. ]

А именно, пусть Г>2 и Р2 — двумерные диск и ориентируемая поверхность с краем, с симплектическими формами ц, шг и функциями Морса /1 и /2 с единственным нулевым критическим (минимумом для £)2 (

и седловым для Р2) значением; иь, Д, /2 поднимаются на и = £>2 х Р2. Рассмотрим С/ со структурой и> = и>х +а>2. Функции /1, /2 коммутируют относительно и определяют слоение Лиувилля на С/; 7т = {Д = 0}, 7а = {/2 = 0, /х > 0}; база В{11) слоения Лиувилля представляет собой „книжку" (рис. 2). Любая нерастцепляемая невырожденная особенность типа седло-центр лиувиллево эквивалентна только что описанной (в '

диссертации она названа канонической), причем в нерезонансном случае топология пары (Р2, /2) определена однозначно.

Рассмотрим какую-нибудь малую гладкую дугу 7, трансверсально \

пересекающую стенку 7а бифуркационной диаграммы в точке у ^ у0 (рис. 16). Пусть О3 :=

Определение. Трансверсальное сечение, или площадка — это некоторая двумерная поверхность Р1г с О3, трансверсальная интегральным траекториям системы V, такая, что любая интегральная траектория системы и, находящаяся в С?3, пересекает Р4г.

Из1 следует, что для изоэнергетической 7, трансверсальной 78, существует трансверсальное сечение Р(г ~ Р2. Пусть х € Р4г произвольная точка. Проведем через х интегральную траекторию гамильтонова поля V. Пусть х' — точка ее первого возвращения на сечение Р4г.

Определение. Соответствие а : Р{г —► Р^, х х1 называется отображением Пуанкаре.

Лемма 1.5.3. ш\Р1г является симплектической структурой на Р*г. Предложение 1.5.4. На Р4г существует гамильтоново (относительно а^!^ ^ векторное поле и> = sgгadW с морсовским гамильтонианом Н :

Р1т —> К, так что отображение Пуанкаре а : Р1г —> Ргт является сдвигом вдоль интегральных траекторий векторного поля ги на время < = I1

Гамильтонианом ю является ограничение на РЬт функции —2тгз, где з является переменной действия, соответствующей циклу, являющемуся ориентированным слоем расслоения Зейферта 7г: О3 —> Р2.17

Определение. Гамильтонова система т = 8^а<1 Н на Р^ называется редуцированной. Ее также называют потоком Пуанкаре. Теорема 1.5.61.

а) Пусть две ИГС (у, М4), (и', М'4) топологически траекторно эквивалентны. Рассмотрим две изоэнергетические поверхности О3 и О®, соответствующих друг другу при этой эквивалентности, и пусть Р1Т С О3 - любое гладкое трансверсальное сечение. Тогда существует гладкое трансверсальное сечение Р{г С 0я такое, что потоки Пуанкаре на Р1т и Р[г топологически сопряжены.

б) Обратно, пусть даны системы V и г/ на (изоэнергетических) поверхностях О3 и С?3. Пусть внутри О3 и О3 существуют гладкие трансверсальные сечения такие, что потоки Пуанкаре на этих сечениях топологически сопряжены. Тогда V и V1 топологически траекторно эквивалентны на О3 и О®.

По1 определяются инварианты Л е ИР", Д е С0(Р), 2 € Н\{Р) топологической сопряженности ИГС с одной степенью свободы (на Р(г), где Р получается из Р2 заклейкой всех границ дисками, Со(Р) и Н\{Р) — вещественные нульмерные границы и одномерные гомологии Р, п — число вершин особого графа К = /2-1 (0) с Р2.

Из теоремы 1.5.6 следует, что Л, Д, 2 являются инвариантами траекторной эквивалентности ИГС на изоэнергетических поверхностях (с учетом зависимости от выбора гомотопического класса Ргг в О3).

Эти результаты легко обобщаются на случай инвариантной поверхности О3 = .Я"-1 (7), где 7 — произвольная малая дуга, трансверсальная ~ув. В диссертации мы обобщаем эти результаты на более широкий класс допустимых кривых 7 (глава 2).

Определение. Функцией вращения р называется зависимость числа вращения, определяемого на каждом лиувиллевом торе теоремой Лиувилля, от тора.

Здесь необходимо отметить, что инварианты р, Л, Д, 2 зависят от

1. выбора базисных циклов на регулярных торах — инвариант р;

17Топалов П. Переменная действия и гамильтониан Пуанкаре в окрестности критической окружности. // УМН, т. 50, вып. 1, 1995, с. 213-214.

2. выбора трансверсального сечения при фиксированной инвариантной поверхности Q3 (т.е. при фиксированной 7) — инварианты Л, Д, Z\

3. выбора точки у на особой кривой 7а бифуркационной диаграммы, через которую проходит 7 — инварианты Л, Д, Z;

4. выбора непосредственно кривой 7 (в классе допустимых кривых, пересекающих кривую 7S и проходящих через ее фиксированную точку у) — инварианты Л, Д, Z.

Условия 1. и 2. являются зависимыми. Если фиксирован гомотопический класс то базисные циклы на торах определены однозначно. Полный ответ на вопрос о зависимости инвариантов от выбора трансверсального сечения известен1.

Условия 3. и 4. разбираются в диссертации (в главе 3). (

В главе 2 проводится редукция в общем случае (на инвариантные 3-поверхности более широкого класса), а также описывается редукция по Марсдену-Вайнстайну18, связь которой с редукцией из главы 1 устанавливается затем в главе 3. '

Определение. Гладкая кривая 7 С К2, пересекающая ~fs трансверсально, или касающаяся 7, в виде графика некоторой функции от /2, называется допустимой (рис. 16).

В этой главе формулируются и доказываются утверждения, составляющие аналоги леммы 1.5.3 (лемма 2.1.2) предложения 1.5.4 «

(теоремы 2.1.6 и 2.1.7) для инвариантных поверхностей Q3 = где

7 — малая допустимая дуга. Теорема 1.5.6 о сведении траекторией эквивалентности на С?3 к топологической сопряженности на Ptr ,

выполняется дословно.

В главе 3 получены основные результаты. Теорема 3.5.1. Пусть 71, 72 — допустимые кривые, Qf = ,F-1(7i)> Q\ — Т~ХЫ- Если площадки Р}Т для Qf и Р?т для QÜ выбраны согласованно, т.е. если их особые графы совпадают на особом слое, то инварианты А, А, Z редуцированных систем на Р}Т, Pt2 совпадают. Лемма 3.6.7. Линии уровня функции вращения р на выбранном листе X пространства B(U) параллельны и втыкаются в 7т трансверсально, т.е. более точно, существует гомеоморфизм листа X на стандартный, см. рис. 3. Кроме того, р монотонно стремится к бесконечности при приближении к 7„.

Таким образом, фиксируя тип PtT и пользуясь теоремой 3.5.1 и леммой 3.6.7, мы однозначно определяем способ вычисления р и Л, Д, Z и получим

"Marsden, J.E., Weinstein, А. Reduction of symplectic manifolds with symmetries. // Rep.Math.Phys. 5, 121-130 (1974).

Уо

1т

Рис. 3: „Стандартный" лист X книжки В(1/) с линиями уровня р.

зависимости: р : В(17) —> К и {±оо} и Л(г), Д(г) и 2{г) от параметра г € [0,1) на кривой 7,. Неспециальность исходной системы v гарантирует существование пределов функций Л(г), Д(г), Z{r) в нуле. Теорема 3.7.2. Пусть у, у' — ИГС с двумя степенями свободы, рассматриваемые в четырехмерных окрестностях и, V своих особых слоев типа седло-центр и удовлетворяющие условиям 1)-6) главы 1 (см. выше). Пусть задан послойный лиувиллев гомеоморфизм щ : и —* V и фиксирован его комбинаторный тип (т. е. нумерации вершин, ребер и колец поверхности Р2 выбраны для {V, у) и перенесены на (V, 1/) про помощи Г]).

___ Тогда г) можно продеформироватъ до траекторного гомеоморфизма ■ф : и —* V, не меняя комбинаторного типа, тогда и только тогда, когда естественную проекцию г) на В(11) можно продеформироватъ до гомеоморфизма £ : В(и) —* В'(и'), сохраняющего функцию вращения и инварианты Л, Д, 2 на седловой кривой, вычисленных относительно некоторого выбора гомотопических классов трансверсальных площадок для V, у'.

Определение. Пусть особый граф К атома V содержит п вершин и I ребер. Зафиксируем нумерации вершин и ребер К. Тогда ростком инвариантов geпn1/0(Л, Д, .2) называется непрерывный росток функции

(Л,Д,2) : [0,1) - КР" х Кп+|

а ~ (А,(в): • • • : Л„(в), Д,(в),..., Дп(в), ^(в),..., £,(«)),

в нуле, относительно выбранной нумерации.

Показано, что росток инвариантов любой реальной С°°-гладкой системы всегда имеет С°°-гладкого представителя, т.е. существует параметризация седловой кривой в, в > 0 такая, что функции Л(в), Д(в),

г(з) — С°°-гладкие.

Теорема 3.7.12. Пусть v, г/ — ИГС с двумя степенями свободы, рассматриваемые в четырехмерных окрестностях V, V своих особых слоев типа седло-центр и удовлетворяющие условиям 1)-6) главы 1 (см. выше). Пусть задан послойный лиувиллев гомеоморфизм г) : и —► V и фиксирован его комбинаторный тип.

Тогда т) можно продефо/рмироватьна некоторых возможно меньших окрестностях V С I/, V С V особых слоев до траекторного гомеоморфизма ф : и V, не меняя комбинаторного типа, тогда и только тогда, когда т) сохраняет знак функции вращения, и существует некоторый выбор гомотопических классов трансверсальных площадок для V, Vтак что ростки инвариантов, вычисленных относительно этого выбора, совпадают.

Лемма 3.6.7 не учитывает знака функции вращения. На самом деле знаки р на каждом из „левых" листов 0(17) равны между собой и отличаются от (также равных между собой) знаков на „правых" листах В([/). Ясно, что существует лишь два неэквивалентных способа расстановки знаков на листах В(17), или, что то же самое, на кольцах V = (Р2,/г). См. рис. 2. Зафиксируем один из них. Положим е = 1, если зафиксированное разбиение совпадает с разбиением по знаку р для системы v, в противном случае положим е = — 1. ^

Теорема 3.7.12 утверждает, что полным инвариантом топологической траекторией эквивалентности ИГС в четырехмерных окрестностях невырожденных особых слоев типа седло-центр является набор (8егт1ю(Л) А,

Определение. Значение Л = {Лх : • • • : Л„} е ЕР" мы будем называть допустимым, если точка Л £ КР" имеет представителя со всеми положительными компонентами.

Определение. Зафиксируем значение Л-инварианта. Значения А € Шп, Z € К1 называются допустимыми, если среди всех ИГС на поверхности Р2 с заданным значением Л-инварианта найдется такая, что ее инварианты равны (Л, А, X).

Пространства допустимых значений А- и ^-инвариантов описаны1.

Определение. Функция д = (Л, А, г): [0,1) —► КРпхЕп+/ называется допустимой, если наборы всех ее значений являются соответственно допустимыми Л-, А- и ^-инвариантами ((Д, является допустимым или нет в зависимости от конкретного значения Л(а)), и кроме того, росток geпп0 д имеет С°°-гладкого представителя.

Доказана следующая теорема реализации:

Теорема 3.9.6. Пусть А = (£>2, /1) (см. выше определение канонической особенности). Для любой особенности V — (Р2,/г) с фиксированным разбиением колец на положительные и отрицательные (см. рис. 2), любой допустимой д и произвольного е существует особенность, лиувиллево эквивалентная А х V, траекторный инвариант которой совпадает с ^егто <?,е).

Также сформулировано и доказано несколько утверждений об инвариантах канонических особенностей, откуда при помощи теоремы 3.9.6 следует, что не все особенности являются каноническими.

Глава 4 посвящена описанию известных результатов о полном гладком траекторном инварианте ИГС в окрестности эллиптической особой точки5 и указывается небольшое уточнение этого результата.

Пусть в окрестности элллиптической особой точки гамильтониан Н — #(1*1,1*2) является С^-гладкой функцией переменных и\,и2 (отметим, что = р\и2 = р% + яЬ для некоторых симплектических координат р,, д„ из теоремы Элиассона 0.1.5). В этом случае функция вращения р(и 1,1*2) является С1-гладкой. Тогда имеет смысл говорить о гладкой траекторией эквивалентности.

Определение. ИГС называется неспециальной в эллиптической

Случай неспециальной системы является случаем общего положения; кроме того, почти все реальные физические задачи являются гладкими и неспециальными.

Теорема 4.0.125. Полным гладким траекторным инвариантом неспециальной нерезонансной ИГС с двумя степенями свободы в окрестности эллиптической особой точки х0 является тройка чисел

где р(уо) — предел функции вращения в точке у0, а р^уо) — производные функции р в точке уо по направлениям двух касательных к бифуркационной диаграмме.

Тройки Тг(хо) и Тг(х0) являются эквивалентными, если они либо совпадают, либо

Две неспециальные нерезонансные ИГС с двумя степенями свободы гладко траекторно эквивалентны в окрестностях эллиптических особых

особой точке, если 0

1(0,0)

Тг(х о) = {р(у0), рг (у0), рг Ы)

точек и х'0 тогда и только тогда, когда тройки Тг(х0) и Тг(з^) эквивалентны.

Замечание 4.0.13. В работе5 эта теорема была сформулирована не совсем точно. А именно, учитывалась лишь возможность поменять местами знаки sign pi (у0) и sign р2{уо)- Однако такая смена порядка означает изменение порядка базисных циклов на торах Лиувилля, что означает изменение функции вращения на обратную ей. Поэтому тройки нужно рассматривать с точностью до одновременного изменения первой величины на обратную и изменения порядка знаков.

В главе 5 рассматриваются два случая (Эйлера и Лагранжа) динамики твердого тела на изоэнергетических поверхностях при высоких уровнях энергии (при постоянной площадей g = 0) и обсуждается их траекторная эквивалентность при определенных условиях. Кроме того, параллельно получены необходимые для доказательства окончательного результата, а также интересные сами по себе свойства функций вращения геодезических потоков на двумерных торе и сфере.

Рассмотрим шестимерное линейное пространство е(3)*, двойственное к алгебре Ли группы движений трехмерного евклидова пространства. На нем определена скобка Ли-Пуассона двух произвольных гладких функций f * 9- {f,g} (х) = x([dxf,dxg]), где х е е(3)*, [а, Ь] - коммутатор в алгебре Ли е(3), dxf и dxg — дифференциалы функций / и g в точке х соответственно. При стандартном отождествлении пространства е(3)" и алгебры е(3) можно считать, что dxf, dxg € е(3). Пусть Sb S2, S3, Ri, R2, R3 — естественные координаты на е(3)*, где S, отвечают вращениям, а Я, -сдвигам в R3.

Пусть Н — гладкая функция на е(3)*. Система уравнений Эйлера на е(3 )*

St = {Si,H}, Л, = {Л,,Я}.

является гамильтоновой с указанной выше скобкой и гамильтонианом Н.

Пусть S = (SUS2,S3), R = (Ri,R2,R3). Рассмотрим в R6(S, R) четырехмерное подмногообразие

М* = {Л = R* + R* + Д2 = с, /а = SiRi + S2R2 + S3R3 = 0},

являющееся орбитой коприсоединенного представления. Известно, что рассматриваемая скобка Пуассона, ограниченная на него, невырождена, а само Mq симплектоморфно кокасательному расслоению к сфере19.

,9Болсинов A.B., Козлов В.В., Фоменко А.Т. Принцип Моперпои и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случае динамики твердого тела. / / УМН, 1995, т.50, вып.З, с.3-32.

В диссертации рассматриваются две системы на Т*52:

• Случай Эйлера с гамильтонианом Не — 5? + + 7^31 что соответствует движению осесимметричного твердого тела, закрепленного в центре масс. В этом случае дополнительный интеграл линеен: К = 53.

• Случай Лагранжа с гамильтонианом Н^ = + 5% + + У(Я^) и дополнительным интегралом К = £3. Мы рассматриваем обобщение классического случая Лагранжа, где потенциал У(/?з) является выпуклой гладкой функцией на отрезке [—1,1]. В классическом случае У(йз) = ой3, что соответствует движению в поле силы тяжести осесимметричного твердого тела, закрепленного на оси симметрии.

Основным результатом является Теорема 5.5.1. Пусть постоянная площадей д = 0.

1. Пусть имеется система Лагранжа с параметром 0 и потенциалом У(х). Пусть У(х) — функция класса С4. Тогда при достаточно большом Н на уровне О3 — {#£, = Л} она траекторно эквивалентна системе Эйлера с некоторым подходящим параметром 7 = 7С1)-

2. Пусть имеется система Эйлера с параметром 7. Тогда для любого 0 > 0 и любого достаточно большого Л существуют такие потенциалы У(х), что система Лагранжа с параметрами (3, У{х) на изоэнергетическом уровне О3 = {#£ = Н} траекторно эквивалентна системе Эйлера с параметром 7.

Автор глубоко и искренне благодарен своим научным руководителям академику РАН, профессору А. Т. Фоменко и доктору физико-математических наук, профессору А. В. Болсинову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Коровина Н. В. Траекторная эквивалентность двух классических задач в динамике твердого тела. // Доклады Академии Наук. 2000, т. 375, №2, с.163-165.

[2] Korovina N. V. Orbital equivalence of some classical integrable cases in rigid body dynamics. // International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii. Book of Abstracts. Moscow University Press, 2001. P.210-211.

[3] Коровина H. В. Траекторная эквивалентность некоторых пар классических задач динамики твердого тела. Аналитические и численные методы в математике и механике. // Труды XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (17-22 апреля 2000 г.). Т.1., стр. 78-80. Москва, 2001 г.

[4] Коровина Н. В. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем в окрестностях слоев типа „седло-центр". // Доклады Академии Наук. 2006, т. 408, №5, с.592-595.

/

i

Издательство ЦП И при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. 26■ ОЦ. 06 Подписано в печать

Формат 60 х 90 1 / 16 . Усл. печ. л. /,<?

Тираж 100 экз. Заказ

¿Q£>6A <fs¿v9

»11509

Введение

0.1. Постановка задачи

0.2. Структура текста

1. Предварительные сведения

1.1. Базовые определения

1.2. Ограничения на систему

1.3. Пример (каноническая особенность)

1.4. Общий случай

1.5. Редукция на сечение изоэнергетической поверхности

1.6. Инварианты траекторной эквивалентности для систем на изоэнергетических инвариантных 3-поверхностях 19 1.6.а. Функция вращения 20 1.6.6". А-инвариант 21 1.6.в. Д и ^-инварианты

1.7. Инварианты в случае произвольной инвариантной 3-поверхности, общая ситуация

1.8. Полнота набора р, Л, Д, 2 для систем на инвариантных 3-поверхностях

1.9. Изготовление траекторных инвариантов для 4-окрестностей

2. О редукции

2.1. Редукция — общий случай

2.2. Редукция Марсдена-Вайнстайна 41 2.2.а. Конструкция

3. Особенность типа седло-центр

3.1. Построение модели особенности типа седло-центр

3.2. Редуцированная система

3.3. Спроектированная система

3.4. Три системы на двумерных площадках

3.5. Неоднозначность выбора кривой 7 при построении инвариантов 4-окрестности 52 3.5.а. Доказательство теоремы 3.5.

3.6. Поведение функции вращения в окрестности особой точки типа седло-центр

3.7. Критерий траекторной эквивалентности и полный траекторный инвариант

3.8. Каноническая особенность типа седло-центр. Поведение инвариантов и упрощение критерия траекторной эквивалентности

3.9. Теорема реализации 87 3.9.а. Пример неканонической особенности. 87 3.9.6. Реализация

4. Эллиптический случай.

5. Топологическая траекторная эквивалентность двух интегрируемых систем с двумя степенями свободы на больших уровнях энергии

5.1. Случаи Эйлера и Лагранжа в механике твердого тела 99 5.1.а. Слоения Лиувилля

5.2. Функция вращения задачи Лагранжа

5.3. Свойства функций вращения геодезических потоков

5.4. Основная теорема

5.5. Окончательные результаты

0.1. Постановка задачи

Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему (ИГС) V = sgradЯ с двумя степенями свободы, заданную на некотором гладком четырехмерном симплектическом многообразии (М4,о>). Пусть эта система вполне интегрируема по Лиувиллю при помощи дополнительного интеграла Р. Это означает, что функции Я и ^ коммутируют относительно скобки Пуассона, определяемой симплектической формой ш, и являются функционально независимыми (другими словами, векторы sgrad Н и sgrad ^ почти всюду на МА линейно независимы).

Определение 0.1.1. Разбиение М4 в связные компоненты совместных поверхностей уровня функций Н иР называется лиувиллевым слоением.

Теорема Лиувилля описывает поведение системы в окрестности регулярного компактного слоя слоения Лиувилля. А именно, каждый такой слой диффеоморфен двумерному тору. Слоение Лиувилля в малой окрестности такого тора тривиально, и на каждом торе поток V задает условно-периодическое движение.

Определение 0.1.2. Эти торы называются торами Лиувилля, или лиувиллевыми торами.

На многообразии М4 имеется пуассоново действие группы К2, определяемое как действие, порожденное сдвигами вдоль интегральных траекторий векторных полей sgradЯ, sgradF'.

Определение 0.1.3. Точка х 6 М4 называется особой, если векторы sgradЯ(x), sgradF(rc) линейно зависимы. Соответствующая орбита пуассонова действия О = 0(х), проходящая через точку х, также называется особой. Рангом орбиты 0(х) называется ранг матрицы, составленной из координат векторов sgradЯ(x),sgradF(x).

Можно показать, что ранг этой матрицы не зависит от выбора точки х орбиты О и совпадает с размерностью орбиты, поэтому определение корректно.

Рассмотрим орбиту х нулевого ранга, т. е. неподвижную особую точку пуассонова действия. Тогда определено действие М2 на касательном пространстве ТХМ4, сохраняющее форму ш. Следовательно, оно индуцирует (абелеву) подгруппу симплектических преобразований в группе .!эр(4,Е) симплектических преобразований касательного пространства ТХМХ. Алгебра Ли этой подгруппы является коммутативной подалгеброй алгебры Ли и порождается линейными частями векторных полей sgrad Я и sgrad Р.

Определение 0.1.4. Особая (неподвижная) точка называется невырожденной, если подалгебра, порожденная линейными частями векторов sgrad Н, sgradF, является подалгеброй Картана в зр(4, К). В частности, в таком случае эта подалгебра является максимальной коммутативной подалгеброй в зр(4,К).

Предполагается, что ИГС С°°-гладкая.

Теорема 0.1.5 (Элиассона). [26, 30, 32, 35]

В окрестности невырожденной особой точки х нулевого ранга на многообразии М4 существуют гладкие симплектические координаты (р\, р2, Яг) такие, что в этих координатах гамильтониан и интеграл одновременно могут быть приведены к одному из следующих видов:

1) Н = Н(р1 + + ($,), .Р = Р(р\ + + (эллиптическая особая точка, или точка типа центр-центр);

2) Н = Н{р^\,р\ + д^), -Р = Р{Р\Я\,Р2 + 9г) (особая точка типа седло-центр);

3) Н = Я(р1д,1,р2<72)> Р = (особая точка типа седло-седло).

4) Н = Я(р1<71 +Р2<?2,Р1<72 -Р291), Р = Р(Р1Я1 +Р2Я2,Р1Я2 - Р2Я1) (особая точка типа фокус-фокус).

Указанные функции Н, Р в этом случае являются С°°-гладкими функциями двух переменных.

Теорема 0.1.5 была впервые доказана Рюссманом [32] в аналитическом случае, позднее Веем [35] был получен ее многомерный аналог. Элиассоном [26] был полностью разобран случай эллиптической особой точки в гладком случае и в той же работе [26] сообщается, что, по-видимому гладкая теорема верна и в общем случае. Полное доказательство в С°°-гладком случае имеется в [30].

Рассмотрим целиком слой Ь слоения Лиувилля, содержащий невырожденную неподвижную особую точку х. В эллиптическом случае Ь = {х}. Во всех остальных случаях diтЬ > 0. Вообще говоря, Ь может содержать несколько неподвижных особых точек. Можно, однако, показать, что если все они невырожденные, то они одного типа

23]. Поэтому можно говорить также о типе всего (невырожденного) особого слоя, а не только о типе особой точки.

Говоря об особых точках и особых орбитах пуассонова действия и их окрестностях, естественно различать две ситуации: локальную (когда рассматриваются малые окрестности особых точек) и полулокальную (когда рассматриваются малые окрестности протяженных объектов — особых слоев слоения Лиувилля).

Наложим на ИГС еще одно дополнительное условие — условие нерасщепляемости. Его точное определение будет дано ниже, в п. 1.2. Такое ограничение определяет широкий и естественный класс особенностей. Например, для всех известных реальных примеров интегрируемых систем это условие оказывается выполненым. Кроме того, в [31] показано, что любая нерасщепляемая невырожденная особенность в случае, когда все слои слоения Лиувилля компактны, лиувиллево эквивалентна (в полулокальном смысле) особенности типа почти прямого произведения простейших особенностей: эллиптической, седловой и типа фокус-фокус (точное определение см. в [6]).

Нас будут интересовать ИГС с двумя степенями свободы и поведение их траекторий в четырехмерных окрестностях особых слоев типа седло-центр. Целью является полулокальная классификация ИГС в таких окрестностях с точностью до топологической траекторией эквивалентности, т.е. с точностью до существования гомеоморфизма окрестностей, переводящего траектории первой системы в траектории второй системы. Более подробно структура особенности типа седло-центр будет описана в главе 1, однако важно отметить, что в невырожденном нерасщепляемом случае все особенности типа седло-центр являются особенностями не только типа полупрямого произведения, но на самом деле типа прямого произведения, см. [23], а также теорему 1.4.1.

Задача возникает и решается в более общем контексте траекторной классификации ИГС на многообразиях. Отметим несколько похожих ситуаций.

1. Траекторная классификация ИГС с одной степенью свободы вблизи компактного особого слоя.

Эта проблема тривиальна. Имеется некоторое двумерное симплектическое многообразие (М2,ш) с функцией Морса Я на нем и рассматривается малая окрестность С/ компактной связной компонетны некоторого особого уровня функции Я. Лиувиллево слоение на II в этом случае имеет один особый слой - граф К, являющийся критическим уровнем Я. Этот слой состоит из траекторий: вершинами графа К вляются неподвижные (они же особые) точки системы, а соединяющие их ребра являются особыми траекториями. Множество и\К состоит из некоторого числа колец, тривиально расслоенных на окружности (рис. 0.1.1), являющиеся регулярными траекториями системы. Из этого описания ясно, что топология пары и, К) определяет класс топологической траекторией эквивалентности.

2. Траекторная классификация ИГС в окрестностях регулярных торов.

Здесь ответ на задачу траекторной классификации дает теорема Лиувилля. А именно, в ситуации двух степеней свободы на каждом регулярном слое (торе Лиувилля) траектории выпрямляются и, следовательно, динамика определяется одним числом (числом вращения), отвечающим за линейную обмотку. Таким образом, необходимо сравнить ростки функций вращения для рассматриваемых систем (с точностью до некоторого дробно-линейного преобразования, отвечающего за выбор базисных циклов на торах). (Определение числа вращения и функции вращения дано в главе 1.6.)

Очевидно, что рассуждение обобщается на случай большего числа степеней свободы.

3. Траекторная классификация ИГС, ограниченных на их 3-мерные изоэнергетические поверхности.

Эта задача и в топологическом, и в гладком случае полностью решена А.В.Болсиновым и А.Т.Фоменко [8], [22].

4. Траекторная эквавалентностъ некоторых конкретных задач динамики твердого тела или геодезических потоков на определенных уровнях энергии. См. например

На [9] остановимся подробнее. В главе 5 рассматриваются интегрируемые случаи динамики твердого тела: случай Эйлера (с двумя совпадающими главными моментами инерции) и случай Лагранжа с произвольным потенциалом. Эти случаи I

Рис. 0.1.1:

1-3, 9, 10, 27, 34]. рассматриваются на изоэнергетических уровнях больших энергии, что эквивалентно рассмотрению окрестности специальной особой точки — бесконечности.

Доказывается, что любая система типа Лагранжа на достаточно высоком изоэнергетическом уровне траекторно эквивалентна некоторой системе типа Эйлера (в общем случае, с другими параметрами). Верно и обратное утверждение: для любой системы типа Эйлера, произвольных фиксированных моментах инерции для системы Лагранжа и произвольного фиксированного уровня энергии, существует множество потенциалов такое, что система типа Лагранжа с выбранным потенциалом траекторно эквивалента системе типа Эйлера на выбранном изоэнергетическом уровне.

Отметим, что в зонах малых и средних значений интеграла потенциал оказывает в общем случае существенное влияние. А именно, в зоне малых энергий даже бифуркационная диаграмма может выглядеть достаточно сложным образом (и, соответственно, класс лиувиллевой эквивалентности), не говоря уже о более тонкой траекторной классификации. В зоне же средних энергий класс лиувиллевой эквивалентности стабилизируется, однако с траекторной точки зрения система может быть устроена сложно.

5. Траекторная классификация ИГС в окрестности невырожденной эллиптической особой орбиты.

Задача решена О.Е. Орел [14] для случая произвольного числа степеней свободы. В той же работе был получен полный гладкий траекторный инвариант для несиециальной нерезонансной ИГС с двумя степенями свободы (см. главу 4, а также замечание к теореме 4.0.12).

6. Траекторная классификация ИГС в окрестности невырожденнной особой точки типа седло-седло.

Следуя классической теореме Гробмана-Хартмана, получим, что любые две ИГС в окрестностях своих невырожденных особых точек типа седло-седло траекторно эквивалентны.

7. Симплектическая полулокальная классификация интегрируемых систем с одной степенью свободы. См. [25, 33] (в [25] разобрана простейшая особенность — так называемая "восьмерка", а в [33] разобран общий случай).

8. Симплектическая классификация лиувиллевых слоений для ИГС с двумя степенями свободы в окрестности особого слоя типа фокус-фокус. См. [36].

Отметим, что последние два отмеченных результата формально не относятся к рассматриваемому типу задач. А именно, в них обсуждается другой тип эквивалентности ИГС — с точностью до симплектоморфизма. Однако результаты этих работ и методы, которыми они получены, позволяют рассматривать эти задачи в одном контексте с траекторной эквивалентностью. Оказывается, что симплектические инварианты имеют близкую к траекторным природу.

0.2. Структура текста

Необходимые определения, а также структура особенности типа седло-центр, описаны в главе 1. Необходимые инварианты р, А и Д определены в п.1.6. В главе 2 описывается редукция ИГС типа редукции по Болсинову-Фоменко [8] в общем случае (а не только необходимая в [8] редукция на изоэнергетических поверхностях), а также редукция по Марсдену-Вайнстайну. В главе 3 строится модель ИГС в окрестности невырожденного особого слоя типа седло-центр (п. 3.1), устанавливается связь между двумя редукциями (п. 3.4), обсуждается корректность определения инвариантов в четырехмерной окрестности этого особого слоя и поведение инвариантов (пп. 3.5, 3.6), и, наконец, доказывается критерий траекторной эквивалентности и строится полный траекторный инвариант ИГС в окрестности особого слоя типа седло-центр (п. 3.7). Кроме того, в п. 3.8 сформулированы и доказаны свойства инвариантов для канонических особенностей, а также получено упрощение полного траекторного инварианта, а в п. 3.9 обсуждаются примеры и доказывается теорема реализации (построение ИГС с заранее заданными инвариантами). В главе 4 представлены результаты О.Е.Орел [14] о полном гладком траекторном инварианте в окрестности невырожденного эллиптического особого слоя и замечание к ним, а в главе 5 разбирается задача о траекторной эквивалентности систем Эйлера и Лагранжа на больших уровнях энергии [9]. В главе 5 параллельно получены некоторые интересные свойства функций вращения геодезических потоков на двумерных сфере и торе.

Отметим также, что обе задачи — траекторная классификация ИГС в окрестности особого слоя и вопрос траекторной эквивалентности двух конкретных систем на больших уровнях энергии — по сути имеют одну природу. А именно, изучается вопрос траекторной эквивалентности систем в окрестностях особых слоев. Целью является изучение окрестностных" траекторных инвариантов. Настоящая полулокальная ситуация (когда размерность особого слоя больше нуля и изучаются траекторные свойства системы в его полной четырехмерной окрестности), рассматривается впервые.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям академику РАН, професссору А. Т. Фоменко и доктору физико-математических наук, профессору А. В. Болсинову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Бобенко А.И. Уравнения Эйлера на so(4) и е(4). Изоморфизм интегрируемых случаев. // Функц. нализ и его приложения, 1986, т.20, вып.1, с.64-бб.

2. Болсинов A.B., Многомерные случаи Эйлера и Клебша и лиевы пучки. //В кн.: Труды семинара по векторному и тензорному анализу, М.: МГУ, 1991, вып.24, с.8-12.

3. Болсинов A.B., Дуллин X. О случае Эйлера в динамике твердого тела и задаче Якоби. // Регулярная и хаотическая динамика. 1997, т.2, No 1, с.13-25.

4. Болсинов A.B., Козлов В.В., Фоменко А.Т. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случае динамики твердого тела. // УМН, 1995, т.50, вып.З, с.3-32.

5. Болсинов A.B., Матвеев C.B., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности. // УМН 1990, т.45, вып.2, с.49-77.

6. Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск, Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

7. Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем. Случай простых систем. Траекторная классификация систем типа Эйлера в динамике твердого тела. // Известия РАН, сер. матем. 1995, 59, вып.1, 65-102.

8. Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I. //Матем. сборник, 1994, т.185, вып.4, с. 27-80. И. //Матем. сборник, 1994, т.185, вып.5, с. 27-78.

9. Коровина Н.В. Траекторная эквивалентность двух классических задач в динамике твердого тела. // Доклады Академии Наук. 2000, т. 375, No.2, с.163-165.

10. Козлов В.В. Две интегрируемые задачи классической динамики. // Вестник МГУ, 1981, No 4, с.80-83.

11. Кудрявцева Е.А. Устойчивые топологические и гладкие инварианты сопряженности гамильтоновых систем на поверхностях. // Топологические методы в теории гамильтоновых систем (сб. статей под ред. А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко, А.И.Шафаревича), 1998, с.147-202.

12. Новиков С.П. Вариационные методы и периодические решения уравнений типа Кирхгофа. II // Функц. анализ и его приложения, 1981, т.15, No 4, с.37-52.

13. Новиков С.П. Гамильтоново формализм и многозначный аналог теории Морса. // УМН,1982, т.37, вып.5, с.3-49.

14. Орёл О.Е. Критерий траекторной эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем в окрестности эллиптических орбит. Траекторный инвариант задачи Лагранжа. // Матем. сборник, 1997, т.188, вып.7, с.139-160.

15. Орел О.Е., Такахаши Ш. Траекторная классификация интегрируемых задач Лагранжа и Горячева-Чаплыгина методами компьютерного анализа. // Матем. сборник, 1996, т.187, вып. 1, с. 95-112.

16. Ошемков А.А. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1993, вып.25, часть 2, М.: МГУ, с.23-109.

17. Топалов П. Переменная действия и гамильтониан Пуанкаре в окрестности критической окружности. // УМН, т. 50, вып. 1, 1995, с. 213-214.

18. Селиванова Е.Н. Классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе с точностью до топологической эквивалентности. // Матем. сборник, 1992, т. 183, вып.4, с.69-86.

19. Селиванова Е.Н. Траекторные изоморфизмы лиувиллевых систем на двумерном торе. // Матем. сборник, 1995, вып.10, с.141-160.

20. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. // Известия АН СССР, сер. матем., 1986, т.50, No б, с.1276-1307.

21. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. // Известия АН СССР, сер. матем., 1990, т.54, No 3, с.546-575.

22. A.V.Bolsinov. A smooth trajectory classification of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom. // Sbornik: Mathematics, 186 (1995), No 1, pp.1-27.

23. A.V.Bolsinov. Methods of calculations of the Fomenko-Zieschang invariant. // Adv. Soviet Math., 6 (1991), pp. 147-183.

24. Colin de Verdiere Y., Vey J. Le lemme de Morse isochore. // Topology, v.18 (1979), pp. 283-293.

25. Dufour J.-P., Molino P., and Toulet A. Classification des systèmes intégrables en dimesion 2 et invariants des modèles de Fomenko. // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 318: 942-952, 1994.

26. Eliasson L.H. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case. // Comm. Math. Helv., 65 (1990), pp. 4-35.