Топология интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.938 ; 514.762

Хоршиди Хоссейн

Топология интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли во(4)

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

\ ум Ж«у>Ши5(Л

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

академик РАН А.Т. Фоменко

кандидат физико-математических наук, доцент A.A. Ошемков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук , профессор А. С. Мищенко кандидат физико-математических наук , Ю. А. Браилов

Ведущая организация:

Математический Институт им. В. А. Огеклова РАН (МИАН) .

Защита диссертации состоится 12 мая 2006 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д. 501.001.84 в Московском государственном университете имени М В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория .14-08 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 12 апреля 2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки занимает исключительное место в динамике. В этой области работали такие выдающиеся ученые, как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, Ж.Лиувилль, К.Якоби, Г.Дарбу и многие другие. Важные результаты в этой области были получены русскими учеными С.В.Ковалевской, Н.Е.Жуковским, С.А.Чаплыгиным, В.А. Стекловым, A.M. Ляпуновым и др.

Основные их достижения относятся к концу 19-го и началу 20-го века.В настоящее время по-прежнему не ослабевает интерес к этой задаче, так как разработаны современные методы для явного интегрирования уравнений и их топологического анализа (см. работы A.B. Болсинова и А.Т. Фоменко \ A.B. Борисова и И.С. Мамаева 2, A.A. Ошемкова 3' *, С. Смейла 5, Я.В. Татаринова 6.)

Задача о движении твердого тела привлекала внимание крупнейших математиков. Дело в том, что движение тела описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Эйлера-Пуассона, для которой известны только три общих интеграла. Кроме того, Якоби доказана теорема, которая показывает, что для сведения задачи к квадратурам достаточно найти еще один новый первый интеграл, не зависящий от времени. На поиск этого дополнительного интеграла потрачено немало сил. В некоторых специальных случаях удалось найти дополнительный интеграл. Следует отметить, что для произвольных значений параметров дополнительного интеграла не существует, но до сих пор поиск интегрируемых случаев продолжается.

Наглядное представление о движении твердого тела с помощью решений уравнений Эйлера-Пуассона оказалось трудным, так как эти решения обычно выражаются достаточно сложно. Поэтому большое значение имеет качественное исследование задачи о движении твердого тела.

Одним из основных результатов в этом направлении является теорема Лиувил-ля, согласно которой неособая компактная совместная поверхность уровня первых интегралов вполне интегрируемой гамильтоновой системы есть объединение торов, заполненных условно-периодическими траекториями. Аппарат дифференциальной топологии оказался очень полезным для качественного исследования этой задачи. Один из результатов в этом направлении принадлежит С.Смейлу 7, в этой работе с топологической точки зрения изучена проблема трех тел и разработаны топологические методы для исследования классических механических систем. Идеи Смейла развиты другими авторами, в том числе М.П.Харламовым 8 и Я.В.Татариновым.

'Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы (геометрия, топология, классификация). Ижевск, 1999

2Борисом А В., Мамаев И.С Динамика твердого тела.— Ижевск: НИЦ, Регулярная и хаотическая динамика, 2001, 384 стр

З0шемков А А Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. 1988. Т.23, с.122-132

4Ошемков А А Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела.// Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. 1993, вып. 25, часть 2, М.: МГУ, с.23-109

5Смейл С Топология и механика. УМН. 1972. Т.15, No.2, с.77-125

6Татаринов Я В Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки.

7Смейл С. Топология и механика. УМН. 1972. T.1S, No.2, с.77-125

'Харламов М П , Топологический анализ ппттгрчгугИЩ ищи i циищияги тпгццпгп тела, Ленинград, Изд-во Ленинградского университета,

1988г. I р0С. НАЦИОНАЛЬНАЯ ' I БИБЛИОТЕКА |

| С. Петербург , \ * 08

Я В Татариновым 9 исследованы бифуркации двух первых интегралов (интеграла площадей и интеграла энергии в задаче о движении твердого тела.

В настоящее время топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем плодотворно развивается благодаря работам А Т.Фоменко. В работе 10 была построена теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем, и полностью исследован вопрос о том, как перестраиваются торы Лиувилля в окрестности критических поверхностей уровня первых интегралов вполне интегрируемой системы А.Т Фоменко и X Цишангом 11 построен инвариант интегрируемого боттовского нерезонансного гамильтониана и дана топологическая классификация изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем.

Классическими примерами интегрируемых гамильтоновых систем являются хорошо известные случаи интегрируемости в динамике твердого тела и других задачах физики и механики Большинство из этих случаев интегрируемости исследовались с различных точек зрения многими авторами. В частности, топология таких систем изучалась методами теории топологической классификации, развитой в работах Фоменко и его учеников 12. Так, в работах A.A. Ошемкова 13, 14 эта теория была применена для топологического исследования случаев Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Клебша, Стеклова, и некоторых других классических случаев интегрируемости уравнений Кирхгофа.

Как хорошо известно, уравнения Кирхгофа, описывающие различные задачи физики и механики (в том числе движение твердого тела), могут быть представлены в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3) группы изометрий трехмерного евклидова пространства.

Различные обобщения классических случаев интегрируемости уравнений Эйлера для других алгебр Ли, в частности для алгебр Ли so(4), so(3,1) также хорошо известны. Дело в том, что имеется естественное однопараметрическое семейство таких алгебр, содержащее и алгебру Ли е(3). Поэтому большинство классических случаев интегрируемости получаются как предельный случай этих обобщений.

В настоящей диссертационной работе исследованы топологические свойства одного из случаев интегрируемости, а именно, интегрируемого случая уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4), который описал А.П.Веселов в работе 16 (см. также 1в, где исправлены опечатки в формулах для гамильтониана и дополнительного интеграла). Этот интегрируемый случай аналогичен классическому интегрируемому

"ТЪтаринов Я.В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки

10Фоменко A.A. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. Известия АН СССР. 1986, Т.50, No.6, с.1276-1307.

11 Фоменко А.Т, Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.// Известия АН СССР, 1990, Т.54, No.3, с.548-575.

12Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамилътоновы системы (геометрия, топология, классификация). Ижевск, 1999

13Ошемкое A.A. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу 1988. Т.23, с.122-132

"Ошемков А А. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела // Тр семин по вект и тенз. анализу. 1993, вып. 25, часть 2, М.: МГУ, с.23-109

"Веселое А П , Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на so(4). ДАН СССР. 1983. Т. 270, № 6. стр. 1298-1300.

1бВеселов А.П. Кнондальные решения уравнения Ландау-Лифшяца для двухподрешеточного могнетика. ДАН СССР. 1984. Т. 276, № 3. стр. 590-593.

случаю Стеклова в динамике тяжелого твердого тела (который можно описать в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3)), и поэтому будем называть его также случаем Стеклова. В этом случае дополнительный интеграл квадратичен. Существуют только два случая с квадратичными гамильтонианом и дополнительным интегралом на алгебре Ли so(4)(cm. 1Т). Другой случай уже рассмотрен в 18.

В настоящей работе проводится топологический анализ интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли зо(4). В частности, исследованы бифуркационные диаграммы отображения момента Я х К, где Н — гамильтониан а К — дополнительный интеграл, которые рассмотрены как функции на 4-мерных орбитах алгебры (см. рис. 1), а также описан топологический тип изоэнергетических поверхностей для всех значений энергии и параметров, задающих орбиту (см. рис. 2). Полностью исследованы топологические свойства этого случая, вычислены все возможные молекулы (см. таблицу 1), т.е. найден инвариант Фоменко и дана грубая классифи-' кация изоэнергетических поверхностей для этого случая (см. рис. 3 и таблицу 2).

Цель работы. Цель настоящей работы заключается в разработке метода описания изоэнергетических поверхностей гамильтоновых систем на алгебре Ли яо(4), ' исследовании топологии слоения Лиувилля для интегрируемого случая Стеклова

'' на алгебре Ли so(4) и, в частности, вычислении инвариантов Фоменко для этого

случая.

Методика исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциальной геометрии и топологии. В работе используется теория классификации интегрируемых гамильтоновых систем, разработанная А.Т.Фоменко.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются ' в следующем:

— Построены бифуркационные диаграммы отображения момента, определяемого гамильтонианом и дополнительным интегралом случая Стеклова на алгебре Ли so(4), для всех возможных значений параметров системы;

> — Вычислены индексы критических окружностей и доказано, что для почти

всех изоэнергетических поверхностей дополнительный интеграл является боттов-ским;

— Определены перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента;

— Для всех изоэнергетических поверхностей интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) определен топологический тип;

— Для всех изоэнергетических поверхностей интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) вычислен инвариант Фоменко, классифицирующий слоение Лиувилля с точностью до грубой эквивалентности.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при изучении особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, а также при топологическом анализе таких систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались

на:

17Веселов А.П., Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на яо{4). ДАН СССР. 1983. Т. 270, № 6. стр. 1298-1300.

18Ошейков A.A. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела.// Тр. семин. по вект. и тенэ. анализу. 1993, вып. 25, часть 2, М.: МГУ, с.23-109

— Научно-исследовательском семинаре "Современные геометрические методы" под руководством академика РАН А.Т.Фоменко неоднократно.

— XXVII Юбилейной Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ.

— Конференции "Зб"1 Annual Iranian Mathematics Conference "Yazd University, Iran, 10-13 Sept, 2005.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации.Диссертация состоит из введения и четырех глав, списка литературы, 15 рисунков и 3 таблиц.

Краткое содержание работы

Во введение обсуждается актуальность тематики, история вопроса, предмет и метод исследования.

Глава 1 посвящена основным определениям и описанию интегрируемого случая уравнений Эйлера на алгебре Ли ао(4), который найден А.П.Веселовым. В этой главе и в дальнейшем рассматриваются гамильтониан и дополнительный интеграл в виде

Я = afuj -)- a%ul + (âu\ — 2o2a3u\Vi — 2a1a3U2«2 — 20I02«3V3,

-,1.1.1.2 2 2

К = -^vf + + -5vi--«1«!--U2V2--U3V3

af aj вз агоз aia3 сиаг

где U\,U2, щ, vi,vi, V3 — линейные координаты на пространстве so(4)*, двойственном к алгебре Ли so(4) Показано, что если обозначить гамильтониан и дополнительный интеграл в работе Веселова через Но и /Со, то

2Я0 = -Я + а/2, 2К0 = -К + c/i где о, с произвольные параметры, а

/i = u? + + /2 = «î + t)? + t)|

две фикции, образующие базис в кольце инвариантов алгебры Ли so(4).

Глава 2 работы содержит описание бифуркационных диаграмм отображения момента, определяемого гамильтонианом и дополнительным интегралом случая Стеклова на алгебре Ли so(4), для всех возможных значений параметров системы. Бифуркационная диаграмма — это множество всех критических значений отображения момента

H х К : —► К2(Л, к),

где (Я х К)(х) = (Я(х), К(х)), = {/, = с?,/2 = с*}.

Основным результатом этой главы является

Теорема 2.1. Список всех возможных бифуркационных диаграмм отображения момента H у. К при различных значениях параметров состоит из 10 диаграмм, изображенных на рис. (1).

Глава 3 посвящена изучению перестроек торов Лиувилля. В этой главе описаны прообразы точек бифуркационной диаграммы и вычислены индексы критических окружностей. В частности, доказано, что для почти всех изоэнергетических поверхностей дополнительный интеграл является боттовским (Лемма 3.2.1 и Следствие).

Для всех изоэнергетических поверхностей с боттовским интегралом вычислены инварианты Фоменко, классифицирующие слоение Лиувилля на этих поверхностях с точностью до грубой топологической эквивалентности. Этот результат сформулирован в Теореме 3.3.1 (см. таблицу 1).

Глава 4 работы посвящена описанию топологии изоэнергетических поверхностей (т.е. поверхностей постоянной энергии), которая является одной из важных характеристик при качественном исследовании интегрируемых гамильтоновых систем.

Теорема 4.1.1. Связные компоненты поверхностей постоянной энергии С?3, при различных значениях т = = -¡з для гамильтониана Н диффеоморфны либо трехмерному проективному пространству ИР3, либо трехмерной сфере в3, либо связной сумме нескольких экземпляров многообразий в1 х в2. Более точно, многообразие соответствующее одной области диаграммы (2) диффеоморфно одному из следующих многообразий

ЯР3, 283, 4§3, в1 х в2, х в', ¿в1 хв*.

1

В результате получено описание изоэнергетических поверхностей, позволяющее каждому набору параметров, задающих изоэнергетическую поверхность, сопоставить пару [топологический тип — инвариант Фоменко] (см. рис. 3 и таблицу 2).

Благодарность. Автор выражает свою благодарность научным руководителям: академику РАН, профессору Фоменко Анатолию Тимофеевичу за постановку задачи и научное руководство, кандидату физико-математических наук, доценту Ошемкову Андрею Александровичу за многочисленные обсуждения работы и ценную помощь.

Автор также благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета за доброжелательное отношение и творческую атмосферу.

Jft Молекула А» Молекула

1 А-А 8 д_8ХС2СдВ_А

2 А> А 9 ^А ^А А-В—В—А

3 А.___.А 10 А-^^В — В<А Ч А

4 А—В.—_ А—рВ--- -А А^ И /А А—В—В—В^А А—В—В—Bs^A

5 A—B^B—А А-В—В-А 12 Av. /А S?®"" А A-^Cj^SB—В^А А А

6 Ач А-^С,—В-А А—С2—В-А А^ 13 А~в—с2с:А

7 А\ /А А—__В—А А—В—А А-" ^А

Таблица 1: Молекулы случая Стеклова на алгебре Ли яо(4)

Рис. 2: Поверхность <23 диффеоморфна одному из следующих многообразий

1. ЯР3, 2. 283, 3. 4§3, 4. Б'хЗ2, 5. 2§» х §2, 6. х 82

1

Рис. 3: Разный тип слоения Лиувилля в различных областях 1,2,...,12

№ Молекула я3 № Молекула о3

1 а-а а-а 283 7 а______а а—' НР3

2 а-а а-а 281 х в2 8 а-- а-^в а-^в----а в1 х82

3 а-а а-а а-а а-а 483 9 а^в^. ___а а~,в—а а^ Н Р3

4 ¡>В-А £>в-а 283 10 а—в—в—а а—в^в—а 81 х 82

5 а_____А а-^^а в1 х Б2 11 ач а-ьс,—в-а а—рс,—в-а к' #8* х82 1

6 а____.а #8» х82 г 12 а^с,—в-а а-рс,—в-а к' 81 х82

Таблица 2: Изоэнергетические молекулы

Работы автора по теме диссертации

[1] Oshemkov А. А , Khorshidi Н , Topology of the integrable Hamiltoman system of the Steklov's case for the Lie algebra so(4), Abstracts of 36tA Annual Iranian Mathematics Conference, Yazd University, Iran, 10-13 Sept, 2005, page 163.

В работе [1] A.A Ошемкову принадлежит некоторый общий метод исследования топологии интегрируемых систем, а X Хоршиди - применение этого метода к исследованию конкретной интегрируемой системы (случай Стеклова на so(4)).

[2] Хоршиди X., Топология интегрируемой гамильтоновой системы для случая Стеклова на алгебре Ли so(4), Вестник МГУ. Сер. Матем. Мех (В печати)

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 10.0^,06 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л.0,1-5

Тираж 11О экз. Заказ 15

ВВЕДЕНИЕ

1 Основные определения и постановка задачи

1.1 Уравнения Эйлера на алгебре Ли.

1.2 Интегрируемый случай Стеклова на алгебре Ли so(4).

1.3 Отображение момента.

1.4 Изоэнергетические поверхности.

2 Бифуркационные диаграммы отображения момента

3 Перестройки торов Лиувилля

3.1 Прообразы точек бифуркационной диаграммы

3.2 Индексы критических окружностей.

3.3 Инварианты Фоменко для случая Стеклова на so(4).

4 Топологический тип изоэнергетических поверхностей

4.1 Топологический тип поверхности Q

4.2 Грубая топологическая классификация изоэнергетических поверхностей

Актуальность темы. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки занимает исключительное место в динамике. В этой области работали такие выдающиеся ученые, как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, Ж.Лиувилль, К.Якоби, Г.Дарбу и многие другие. Важные результаты в этой области были получены русскими учеными С.В.Ковалевской, Н.Е.Жуковским, С.А.Чаплыгиным, В.А.Стекловым, A.M. Ляпуновым и др.

Основные их достижения относятся к концу 19-го и началу 20-го века. В настоящее время по-прежнему не ослабевает интерес к этой задаче, так как разработаны современные методы для явного интегрирования уравнений и их топологического анализа (см. [1], [5], [15], [16], [20], [22]).

Задача о движении твердого тела привлекала внимание крупнейших математиков. Дело в том, что движение тела описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, называемых уранениями Эйлера-Пуассона, для которой известны только три общих интеграла. Кроме того, Якоби доказана теорема, которая показывает, что для сведения задачи к квадратурам достаточно найти еще один новый первый интеграл, не зависящий от времени. На поиск этого дополнительного интеграла потрачено немало сил. В некоторых специальных случаях удалось найти дополнительный интеграл. Следует отметить, что для произвольных значений параметров дополнительного интеграла не существует, но до сих пор поиск интегрируемых случаев продолжается.

Наглядное представление о движении твердого тела с помощью решений уравнений Эйлера-Пуассона оказалось трудным, так как эти решения обычно выражаются досто-точно сложно. Поэтому большое значение имеет качественное исследование задачи о движении твердого тела.

Одним из основных результатов в этом направлении является теорема Лиувилля, согласно которой неособая компактная совместная поверхность уровня первых интегралов вполне интегрируемой гамильтоновой системы есть объединение торов, заполненных условно-периодическими траекториями. Аппарат дифференциальной топологии оказался очень полезным для качественного исследования этой задачи. Один из результатов в этом направлении принадлежит С.Смейлу [20], в этой работе с топологической точки зрения изучена проблема трех тел и разработаны топологические методы для исследования классических механических систем. Идеи Смейла развиты другими авторами, в том числе М.П.Харламовым [30] и Я.В.Татариновым. Я.В.Татариновым исследованы бифуркации двух первых интегралов (интеграла площадей и интеграла энергии [22]) в задаче о движении твердого тела.

В настоящее время топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем плодотворно развивается благодаря работам А.Т.Фоменко. В работе [25] была построена теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем, и полностью исследован вопрос о том, как перестраиваются торы Лиувилля в окрестности критических поверхностей уровня первых интегралов вполне интегрируемой системы. А.Т.Фоменко и Х.Цишангом [27] построен инвариант интегрируемого боттовского нерезонансного гамильтониана и дана топологическая классификация изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем.

Классическими примерами интегрируемых гамильтоновых систем являются хорошо известные случаи интегрируемости в динамике твердого тела и других задачах физики и механики. Большинство из этих случаев интегрируемости исследовались с различных точек зрения многими авторами. В частности, топология таких систем изучалась методами теории топологической классификации, развитой в работах Фоменко и его учеников [1]. Так, в работах [15], [16] эта теория была применена для топологического исследования случаев Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Клебша, Стеклова, и некоторых других классических случаев интегрируемости уравнений Кирхгофа. (См. также работы [2], [3], [4], [10], [12], [13], [14], [17], [18], [19], [23], [28], [29], [30], в которых исследуется топология различных интегрируемых случаев).

Как хорошо известно, уравнения Кирхгофа, описывающие различные задачи физики и механики (в том числе движение твердого тела), могут быть представлены в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3) группы изометрий трехмерного евклидова пространства.

Различные обобщения классических случаев интегрируемости уравнений Эйлера для других алгебр Ли, в частности для алгебр Ли so(4), so(3,1) также хорошо известны. Дело в том, что имеется естественное однопараметрическое семейство таких алгебр, содержащее и алгебру Ли е(3). Поэтому большинство классических случаев интегрируемости получаются как предельный случай этих обобщений.

В настоящей диссертационной работе исследованы топологические свойства одного из случаев интегрируемости, а именно, интегрируемого случая уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4), который описал А.П.Веселов в работе [7] (см. также [8], где исправлены опечатки в формулах для гамильтониана и дополнительного интеграла). Этот интегрируемый случай аналогичен классическому интегрируемому случаю Стеклова в динамике тяжелого твердого тела (который можно описать в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3)), и поэтому будем называть его также случаем Стеклова. В этом случае дополнительный интеграл квадратичен. Существуют только два случая с квадратичными гамильтонианом и дополнительным интегралом на алгебре Ли so(4)(cm. [7]). Другой случай уже рассмотрен в [16].

В настоящей работе проводится топологический анализ интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4). В частности, исследованы бифуркационные диаграммы отображения момента Н х К, где Я гамильтониан а К дополнительный интеграл, которые рассмотрены как функции на 4-мерных орбитах алгебры (см. рис. 2.3), а также описан топологический тип изоэнергетических поверхностей для всех значений энергии и параметров, задающих орбиту (см. рис. 4.7). Полностью исследованы топологические свойства этого случая, вычислены все возможные молекулы (см. таблицу 3.1), т.е. найден инвариант Фоменко и дана грубая классификация изоэнергетических поверхностей для этого случая (см. рис. 4.8 и таблицу 4.2).

Цель работы. Цель настоящей работы заключается в разработке метода описания изоэнергетических поверхностей гамильтоновых систем на алгебре Ли so(4), исследовании топологии слоения Лиувилля для интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) и в частности, вычислении инвариантов Фоменко для этого случая.

Методика исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциальной геометрии и топологии. В работе используется теория классификации интегрируемых гамильтоновых систем, разработанная А.Т.Фоменко.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

Построены бифуркационные диаграммы отображения момента, определяемого гамильтонианом и дополнительным интегралом случая Стеклова на алгебре Ли so(4), для всех возможных значений параметров системы;

Вычислены индексы критических окружностей и доказано, что для почти всех изоэнергетических поверхностей дополнительный интеграл является боттовским;

Определены перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента;

Для всех изоэнергетических поверхностей интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) определен топологический тип;

Для всех изоэнергетических поверхностей интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) вычислен инвариант Фоменко, классифицирующий слоение Лиувилля с точностью до грубой эквивалентности.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при изучении особенностей интегрируемых гамиль-тоновых систем, а также при топологическом анализе таких систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

Научно-исследовательском семинаре "Современные геометрические методы"под руководством академика РАН А.Т.Фоменко неоднократно.

XXVII Юбилейной Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ.

Конференции "36i/l Annual Iranian Mathematics Conference"Yazd University, Iran, 10-13 Sept, 2005.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31], [32].

Структура диссертации.Диссертация состоит из введения и четырех глав, списка литературы, 15 рисунков и 3 таблиц.

1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоиовы системы (геометрия, топология, классификация). Ижевск, 1999.

2. Болсинов А. В., Рихтер П., Фоменко А. Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской. Матем.сб., 2000, т. 191, N 2, с. 3-42.

3. Болсинов А.В., Дуллин X. О случае Эйлера в динамике твердого тела и задаче Якоби. Регулярная и хаотическая динамика. 1997, том 2, No.l, с.13-25.

4. Bolsinov А. V. Methods of calculation of the Fomenko-Ziesyhang invariant. Adv.in Soviet Math., 1991, v. 6, p.147-183.

5. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела.— Ижевск: НИЦ, Регулярная и хаотическая динамика, 2001, 384 стр.

6. Борисов А.В., Мамаев И.С. Соколов В.В. Новый интегрируемый случай so(4), Докл. РАН, 2001, 381(5), 614-615.

7. Веселов А.П., Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на so(4). ДАН СССР. 1983. Т. 270, № 6. стр. 1298-1300.

8. Веселов А.П. Кноидальные решения уравнения Ландау-Лифшица для двухподре-шеточпого могнетика. ДАН СССР. 1984. Т. 276, № 3. стр. 590-593.

9. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. 5-у изд., испр. М.: Эдиториал УРСС, Добросвет, 2001.

10. Каток С.Б. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела. "Успехи матем. наук, 1972, том 27, вып.2, с.124-133.

11. Милнор Дж. Теория Морса — М.: Мир, 1965.

12. Морозов П.В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша. Матем. сборник, 2002, Т.193, вып. 10, с.113-138.

13. Орел О.Е. Функция вращеиия для интегрируемых задач, сводящихся к уравнениям Абеля Матем. сборник, 1995, Т.186, вып. 2, с.105-128.

14. Орел О.Е., Ш.Такахаши. Траекторная классификация интегрируемых задач Ла-гранжа и Горячева-Чаплыгина методами компьютерного анализа. Матем. Сборник, 1996, том 187, No.l, с.95-112.

15. Ошемков А.А. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. 1988. Т.23, с.122-132.

16. Ошемков А.А. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела.// Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. 1993, вып. 25, часть 2, М.: МГУ, с.23-109.

17. Ryabov Р.Е. Bifurcation sets in an integrable problem on motion of a rigid body in fluid.// Regular and chaotic dynamics, V.4, № 4, 1999.

18. Погосяп Т.И. Критические интегральные поверхности задачи Клебша. В кн.: Мех. тверд, тела, вып.16, Киев, Наукова думка, 1984, с.19-24.

19. Погосян Т.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил. ПММ, 1979, том 43, с.419-428.

20. Смейл С. Топология и механика. УМН. 1972. Т. 15, No.2, с.77-125.

21. Соколов В.В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so{4). Доклады РАН, 2004, Т.69, No.l, с.108-111.

22. Татаринов Я.В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки.

23. Топалов П., Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишанга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела, Матем.сб., 1996, т. 187, N 3, с. 143160.

24. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. М.: Факториал, изд-во Просперус УдГУ, 1995.

25. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. Известия АН СССР. 1986, Т.50, No.6, с.1276-1307.

26. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия, методы и приложения.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.— 413 стр.

27. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.// Известия АН СССР, 1990, Т.54, No.3, с.546-575.

28. Zotev D.B. Fomenko-Ziesyhang invariant in the Bogoyavlenskyi integrable case. Regular & chaotic dynamics, 2000, v. 5, N 4, p. 437-458.

29. Харламов М.П., Топологический анализ классических интегрируемых случаев в динамике твердого тела, ДАН СССР, 1983, т.273, N 6, с. 1322-1325.

30. Харламов М.П., Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела, Ленинград, Изд-во Ленинградского университета, 1988 г.Работы автора по теме диссертации

31. Oshemkov A.A., Khorshidi Н., Topology of the integrable Hamiltonian system of the Steklov's case for the Lie algebra so(4), Abstracts of 36th Annual Iranian Mathematics Conference, Yazd University, Iran, 10-13 Sept, 2005, page 163.

32. Хоршиди X., Топология интегрируемой гамильтоновой системы случая Стеклова на алгебре Ли so(4), Вестник МГУ. Сер. Матем. Мех. (В печати)