Топологическая классификация гамильтонианов в некоторых классических случаях интегрируемости гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ОШЕМКОВ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 517.938.5

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ГАМИЛЬТОНИАНОВ В НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1992

/

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических ¡наук, член-корреспондент АН России, профессор А. Т. Фоменко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В. В. Козлов, кандидат физико-математических наук, доцент А. В. Браилов.

Ведущая организация — Математический институт имени В. А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится «5.9 » 1992 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан « »_О-'1^^2^-1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических

наук, профессор В. Н. Чубариков

05ШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена топологическому исследованию классических интегрируемых случаев для задачи о дшкзшш твердого тела и некоторых ео обобщений.

Актуальность темы. Многие из задач механики описывается доДфереициаяьшми ураинештями специального вида. называем™ гамлльтоновыми. Фазовое пространство гамильтоновой система дифференциальных уравнений есть симгиектическое многообразие н, на котором задана гладкая функция и (гамильтониан). Решениями: гамильтоновой системы являются интегральные траектории векторного ноля у » хегаы н , двойственного дифференциалу гамильтониана ¿н при отождествлении касательного я кокасательного расслоений многообразия н с помощью невырожденной 2-формы задницей

сямялектическую структуру на н. Скобка Пуассона двух гладких функция / ¿1 в на сишлекгаческом многообразии есть гладкая функция

- ¿о /, эвгаа .

Гамяльтонова система на симплектическом многообразии н, раз-мерносга 2п, называется интегрируемой по Лиувюшо, если для нее существуют п функционально независимых интегралов /,=«. ••-./„. находящихся в инволюции (т.е. для всех т Хорошо

известна теорема Лиувилля, утверждающая, что для интегрируемой гамильтояовоЗ системы неособая компактная совместная поверхность

уровня интегралов f 1...../п есть п-мершй тор, на котором

существуют координат« р(,...рп(т*>а гп). такие что векторное поле $его.а н постоянно в этих координатах.

Обычно гамильтоновн системы, огшсыванщие различные задачи механики, не являются интегрируемыми (см., напр. и)>. Интегрируемые случаи возникают лишь при определенных соотношениях параметров а начальных условий задачи. Тем не менее исследование интегрнруешх случаев ваяю для понимания общих закономерностей

ti3 Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт а.й. Математические аспекты классической и небесной механики. Итога наука в техн. ВИНИТИ. Сов. пробл. мат.: Фуяд. напр. - 1985 - Т.З - С.5-303.

поведения решения произвольных гамильтоновых с летом. Например, зноя, как устроена интегрируемая система, можно методами: теории возмущения получать информацию о системах, отличающихся от интегрируемых малыш возмущениями, При исследовании же интегрируемых случаев большое значение имеет качественное исследование системы, поскольку точные решения обычно выражаются достаточно сложно и поэтому не дают наглядного представления о глобальном поведении системы.

Упомянутая выло теорема Лиувилля дает полную информацию о поведении интегрируемой гамияьтоновой систему в окрестности неособой совместной поверхности уровня первых интегралов (т.е. в окрестности тора Лиувилля). Вопрос о поведении системы в окрестности критической поверхности уровня гораздо сложнее. Кроме того, теорема Лиувилля не дает информации о том, как торы глобально вложены в фазовое пространство системы.

В диссертации эта вопросы исследуются для классических интегрируемых случаев, возникающих в различных задачах динамики твердого тела. Исследуемые интегрируемые гамяльтоновы системы задаы на 4-мерных сямдлйктичесхях многообразиях.- Интегрируемость по Лиувиллю означает в данном случае существование одного дополнительного интеграла к, функционально независимого с гамильтонианом и. Ограничивая функцию к на изоанергетич&скую поверхность а^ » < х с п4 : пеху = ь > , мы получаем функцию лс^.а^ —. к, неособые поверхности уровня которой есть лиувиллевы торы. функция <h определяет лиувнлпето слоение на а3к, слоями которого являются связные компонента поверхностей уровня функции к Поведение системы в окрестности критических поверхностей уровня функции для некоторых конкретных гамильтоновых систем изучалось, чааримвр, в работах Ы.П.Харламова и Т.И.Погосяна (см.[г]). Общая теория перестроек торов Лиувилля при критических значениях функции была построена в работах А.Т.Фоменко [з-51.

ízj Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. 1з] Фоменко А.Т. Теория topea интегрируемых гамильтоновых систем // ДМ СССР - 1986 - Т.287, J¡5 - C.I07I-I075.

В частности, в этих работах был построен новый топологический инвариант (инвариант Фоменко или слово-молекула [6]), описывающий глобальное устройство интегрируемой гамильтоновой системы на изоэнергетических поверхностях. Этот инвариант представляет из себя граф с вершинами специального ввда и характеризует систему с точностью до грубой эквивалентности. (Двэ системы на о< и ог называются грубо эквивалентными, если лиувиллево слоение на а2 можно получить, разрезая а^ по лиувиллову тору и склеивая возникшие граничшв тори по' некоторому де1феомор1«змулб])

Классификация перестроек торов Лиувилля . и построение инварианта (в работах £з-я) было проведено дня случая, когда критические подмногообразия функции кн иввироздшш. Соответствующий интеграл к называется боттовскяч на Отметим,

что полученные М.П.Харламовым в [г] примеры перестроек торов Лиувилля имеют тот же вид, что и для боттовскях интегралов, однако вопрос о боттовости дополнительного интеграла и?.! ко исследовался. Такое исследование проведено в диссертации.

Инвариант Фоменко не определяет полностью топологии изоэнергетической поверхности Поэтому для иссло дуемых

интегрируемых случаев в диссертации определяется топологический тип о^ (там, где это было неизвестно раньше). Отмл-им, что топологический тип изоэнергетических поверхностей (без требования существования допол!щтелыюго интеграла к) изучался, начиная с работа С.Смэйла (7), для различных гамильтоновнх систем (см., например, работа Я.В.Татаринова [а]).

[Hl Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной анергии интегрируемых гамильтоновнх систем и препятствия к интегрируемости // Изв.АН СССР, Сэр.мат. - 1986 - Т.50, J86 - C.I276-I307.

[51 Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновнх систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил.- 1988-Т.22, М - С.38-51.

[6] Болсинов A.B., Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновнх систем с двумя степеням,* свобода. Список систем малой слоыюсти. // Успехи мат. наук - 1990 - Т.45, Jt2 - С.49-77.

№ль работы. Вмлслить инварианты Фоменко и определить топологическая тип изознвргетических поверхностей для известных классических случаев интегрируемости, возникающих в различных задачах динамики твердого тела.

Методы исследования. При доказательстве основных результатов диссертации использовалась результаты теории Морса, а такзо различные метода диКеренцизлыюа геометрии.

Научная ловима. Все основные результата диссертанта являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заключаются в следующем.

1. Получено полное описание топологического типа изоэнергетаческих поверхностей для интегрируемых случаев Жуковского, Сретенского, Клебаа динамики твердого тела.

2. Исследована геометрия интегрируемых гемильтоновых систем на алгебре Ля з»<г-о с гамильтонианом нормальной серии и интегрируемого случая Стеклова уравнения Кирхгофа. В частности, для этих систем построены бифуркационные дааграммц отображения момента -л описаны все перестройки торов Лиувалля при критических значениях этого отображения.

3. Доказано, что дополнительные интегралы классических интегрируемых сдучвев (случаи Эйлера-Жуковского, Лаграгка, Ковалевской, Горячева-Чаплыгила-Сретвнского, КлеОша, Стеклока-Ляпунова, нормальной серии для алгебры Ли ьоси) являются Ооттовскими на почти вегх нзознергетических поверхностях. Поверхности, на которых интеграл не является боттовским явно описали.

4. В результате получена полная топологическая .классификация (с точностьо до грубой эквивалентности) изоэнергетаческих поверхностей для всех перечисленных выше интегрируемых случаев.

Приложения. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут неЯта применение в теории качественного

I?! СмеЗл С. Топология и механике // Успехи мат. наук - 1972-

Т.27. Х2 - С.77-133. (8) Татаринов Я.В. Портреты классических интегралов задачи о враценля твердого тела вокруг неподвижной точки // Веста. Моск. ун-те. Сер. мат. ках. - 1974 - Ж - С.99-105.

-к-

ксследовагая интегрируем:« гамнльтоновых систем (в частности, оготсывакя&ос различные задачи м&хашвси и Физики).

Апробация работа. Результаты диссертации докладывались автором на конференции колодах ученых МГУ (1955 г.). на Бакинской международной топологической конференции (1987 г.), на различных научных семинарах кафедры шсгей геометрии и топологии, а тага® кафедра теоретической механики механико-математического Факультета «ГУ.

Публикации. Основные результат;! диссертации опубликованы в б работах автора, список которых приведен в конце авторефората.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения. двух глав, вклвчаадих в себя 8 параграфов, и приложения. В тексте диссертации приведена 39 рисунков и 2 таблицы, пояснямцио изложите результатов. Список литературы содержит 41 наименование. Объем диссертации - 108 страивд.

СОДЕРЗШЖЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введешга кратко излоззна история попроса, а также дано описание инварианта Фоменко (по работе сбз).' вычисляемого в диссертации для классических случаев интегрируемости.

В главе I приводится список интегрируемых случаев, исследуемых в диссертации, и для каздого из них определяется топологический тип изаэнергбпгюских поверхностей о^ при различных значениях л и парамотров системы.

Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой, как Сило показано С.П.Новиковым (смл9]), можно записать в гаде уравнений Эйлера на пространстве асз>", сопряженном алгебре Ли гругам движений 3-мерного евклидова пространства. В §1 описано аналогичное вложение в пространство есз>* системы уравнений, полученной М.П.Харламовым сг). Эта система является обобцышем классических ураипакиЯ Эйлера-Пуассона и описывает различные задача, связанные с динамикой твердого тела (двигопне гиростата.

19] Нозгасов С.П. Гамнльтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // Успеха м-!т. наук - 1982 - Т.37. № - С.З-!!>,

- с -

движешге наэлектризованного твердого тела в магнитном поле

н т.н.).

Описанной вложонио системы в есзз" позволяет исследовать различные интегрируемые случаи единым образом, поскольку теперь мы мжм рассматривать все системы при подходящем выборе гамнльто;ыана на одних и тех s;e си&илектических многообразиях, а именно на симллоктачесгап слоях скобки Ли-Пуассона для алгебры Ли е<зз. эти симнлехтические слои выделяются инвариантами /, и fг алгебры Ли есзэ н гонооморфш касательному расслоению к двумерной сфере rs2=< i t=t,/г=е> с зэ".

Долее: в §1 приводен список Г8мильто:шанов и дополнительных интгл'рэлов (выраженных через коордлнатныо функции на е-сз>*) для интегрируемых случаев, которые исследуются в диссертации. Это интегрируемые случен Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Горячева-Чан-■шгшю, Жуковского, Сретенского, Клебша, Стеклова.

Основной метод исследования указанных интегрируемых случаев, применяемый в диссертации, заюшчаотся в рассмотрении различных отображений вида г = / х .. . */. .- н — к\ где ге*;> = с/ схэ,

М -1

... ,/xxjo е к . Обычно функции f i - это интегралы, а г су>, где у«к\ - это интегральшэ многообразия рассматриваемой гамиль-тоновой системы. Топология интегральных многообразий и их бифуркации определяются в результате исследования бифуркационной диаграммы г>гсо, где с - множество критических точек отображения г. В конце §1 доказаны дне леммы, упрощзщие это исследование в конкретных случаях (при описании бифуркацаошпшх кривых. из которых состоит е и при вычислении индексов критических точек, лежащих в прообразе этих кривых).

3 §2 главы I содержится описание топологического типа изоанергетичоских поверхностей для случаев интегрируемости Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Жуковского, Сретенского. Клебша.

Описание топологического тапз проводится следующим образрм. Рассматривается так называемое) отображение момента /гхн фазового пространства системы в к2, определяемое интегралами системы Uг -инвариант алгебра Ли ®сз>, и - гамильтониан). Образ критических точек этого отображения есть бифуркационная диаграмма. разбивающая плоскость огг на области, Изоэнергетические поверхности Q3 - это

прообразы точек у « при отображении /,хн. Топологический тип

3

а -> (/г-»н> Су.? для каждой из областей определяется методом проекция на сфпру Пуассона (этот метод Сил разработан С.Скором гл). По существу, здесь используется то? фшет. что в россмотрявачмих случаях о3 есть поверхность урония функции и, которая задана на многообразии, гомооморфтм векторному расслоении, и является положительно определенной квадратичной функцией на слоях этого расслоения.

В главе 2 для укпзяшшх выше интегрируемых случаев, а тиске для "уравнений доижмтия 4-мерного твердого тола" (см. ниже) вычисляются инварианты Яометго (слова-молекулы). Полное огасание возможных слов-молекул для кагкдого случая проводится аналогично описана?) топологического типа изопнергетических поверхностей: бифуркпциошше диаграммы, построении» я '/¿, дополняются ¡срипыми, разбиваи-чими плоскость параметров на области так, что для всех точек из одной области изоэнирготачостсйе поверхности имеют один и тот же топологический тан и инвариант. Все встречающуюся в работе слова--молекулы перечислены в приложении в вида таблица. Тэтам образом, ответ для кездого интегрируемого случая Дается в виде рисунка с раздоляпдими кривыми на плоскости параметров, где в каждой области указаны топологический тип и слово-молекула для соответствующей этой области изоэнергетической поверхности.

При построении инвариантов для каждого из интегрируемых случаев проверяется боттовость дополнительного интеграла.

Теорема. Для всех исследуемых интегрируемых случаев классические дополнительные интегралы не являются боттовскими па тех и только тех изоэнергетических поверхностях, которые соответствуют точкам разделящих кривых в плоскости параметров.

Построение слова-молекулн для каждого интегрируемого случая проводится при помост исследования отображения момента н*к, где ы - гамильтониан, а /с - дополнительный интеграл. В §3 (случай Эйлера-Жуковского), 54 (случаи Ковалевской, Горячева-Чаплыгина а Сретенского) и §6 (случай Кл-збиа) существенно использованы результаты М.П.Харламова л Т.И.Погосяна, в работах которых построены бифуркационные диаграммы отображения н*к для зтах интегрируемых случаев.

В §5 исследуется интегрируемый случай Лагранжа. Доказано, что в этом случае все слова-молекулы имеют вид д — А , т.е. у системы нет одномерных гиперболических траекторий. На самом деле доказан более обций факт: описаны все потенциальные функции vcx>t такие что при замене в гамильтониане линейного потенциала (классический случай Лагранжа) на функци» усху новых слов-молекул (кроме А — А ) У системы не возникает.

В §7 рассматривается интегрируемый случай Стеклова. С топологической точки зрения этот случай почта не исследовался. Поэтому в §7 проведено подробное построение бифуркационных диаграмм отображения к**.- Г5Г—» , где н - гамильтониан, а к дополнительный интеграл случая СтеыоЕз. Затем определяются перестройки торов Лиувадля и строятся соответствующее слова-шдекули.

Последний §8 посвящен исследовании одного кзвестаого интегрируемого случая уравнений Эйлера для алгебры Ли аосю. Это так называемые уравнения движения 4-мерного твердого тела (аналог обычного случая Эйлера). В данном случае симшшктическав многообразия, на которых задана система, гомеоморфш 5гх5г. Это регулярные орбиты колрисоедушенного представления группы Ли soc л. Гамильтониан и дополнительный тмтеграл исследуемого случая квадратична. Это частный случай гамильтонианов нормальной серии (смлю]) для алгебры Ли so(4i.

Как и для случая Стеклова, в 58 строятся бифуркационные диаграммы для отображения «хк, где ч, к - некоторые коммутарущив функции (относительно скобки Ли-Пуассопа ка soc-i)*), такие что всо гамильтониана исследуемого интегрируемого случая есть ликойшв комбинации функций н, к и инвариантов алгебры Ли sас4>. Далее (аналогично §§3-7) в 58 построен« кривые на плоскости параметров, разбивающие ее на области таким образок, что для всех точек ез одной связкой области соответствующие» им изознергетическяо поверхности имеют одинаковые топологический тш к инвариант Фоменко. Доказано, что дополнительный интеграл является Соттовскзк на почти всех взоанзргетических поверхностях.

(хо) Масонки A.C., Фокзкко A.Î. Уравнения Эйлера на коночяошр-шк группах Ли // Кза. АН СССР, Сер. мат. - 1978 - Т.42, Й2-С.336-415.

- S-

Как отмечалось выше, ответ в диссертации дается в виде картинок с раздолявдими кривыми. Из-за недостатка места приведем здесь ливь список встречающихся в исследованных интегрируемых случаях слов-молекул (инвариантов Фоменко). Инварианта в списке обозначены . номером из таблицы, которая помещена в конце автореферата.

Т е о ß ß м о. Полный список инвариантов Фоменко (для различных значений параметров систом и значений л, задающих изоэшргетачоскио поверхности имеет слодувдий вид:

1) Случай Эйлера: I, 5;

2) Случай Жуковского: I, 2, 4;

3) Случай Ковалевской: I,2,4, в, 7,8;

'4> Случай Горячева-Чаплыгина: 3. 9;

5) Случай Сретенского: I, 2, 3. 9, 10, II;

6) Случай Клебша: I, 2, 5, 12;

7) Случай Стеклова: I, 2. 5, 13, 13, 17;

8) 4-мерное твердое тело: I, 2, 5, 9, 12, 13, 14, 15, 16.

Автор вырахэет глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.Т.Фоменко за постоянное внимание к работе.

СПИСОК работ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Оеомков A.A. Боттовские интегралы некоторых интегрируемых гй-мильтоновых систем - В кн.: Геомэтрля, даЗф. уравнения и меха- ■ лика - М., МГУ, 1986, C.II5-II7.

2. Oöliemkov A.A. The phaflö to^oloary of somo tnt«ar&ble

Haniitoniün syetems on io(s) - В кя: Тезисы БМТК - Баку - 1987.

3. Ошейков A.A. Изоэнергетические поверхности интегрируемых гамяльтоновах систем с двумя степенями свобода - В кн.: Тезисы конференции по геометрии "в целом" - Новосибирск - 1987.

4. Ошемков A.A. Топологая изоэнергетическкх поверхностей и бифуркационные диаграммы интегрируемых случаев динамики твердого тола на eo(i) // УШ - 1987 - Т.42 - J56 - C.I99-200.

5. Ошемков A.A. Описание гоозлергетичесют поверхностей некоторых интегрируемых гамяльтоновых систем с двумя степенями свобода -В кн.: Труда семинара по векторноэд я тензорному анализу. Вып.23 - И., МГУ. 1988, C.I22-I3I. '

6» Oahemkov A.A. Fomenko Invariants for the Main Integrable Caees of the Rigid Body Motion Equations - Ser.: Advances in Soviet Mathematics. Vol.6 - American Mathematical Society, Providence. • Rhode Island, 1991. p.67-1^6.

Таблица

ЛА Слово - молекула. Гра ср Г Смх пасть

а-а I (2,1)

2 а-в-а ( а V (к,г)

3 А -А-А 5 (3,2)

к а-в-а а-й-а X (6,5)

¡Г а а-^-а а м fe.ii)

б а а а 1 1 1 в-в-& 1 1 а а У (8,7)

V а-а-з-а-а 1 а л (6,5)

а а-а—с-а*"—а i1 а (3,6)

9 а-в-в-а а 1 (6,5)

а а-а-^-а ** (7,5)

а а .» 1 1 а—а—в—в а У (7.5)

п Ф 1 ? а а а « Сю,»)

- ц-

Таблица (продолжение).

н к 1 Г~в1 А-В В—А В—' 1 А N

( 1 А-с-А А-С^-А (М

{5 1 И» а-с»-а в-с-8 1 А 1 А Н (42,10)

и А * г*-> f в-в в-в 1 1 ] 1 а а 1 а и а2,12)

н а 1 ( 8 ^ Л-С,-А А-С^А ^ а (12,10)

йоДп, в печать 22.04.92, Объём 0,5 п.л. Зак. 2018 Тир. 100 Сергиево- Посадская типография Упрполигра<£кздата йособлйсполко^а

- а -