Геометрия одномерных семейств алгебраических кривых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

"Ce:; и

:

- гзуу;

'¿Ti

У Ii SS

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.9

КХАК ВЬЕТ НГУЕН

ГЕОМЕТРИЯ ОДНОМЕРНЫХ СЕМЕЙСТВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Москва 1998

Содержание

Содержание..................................................................2

Введение .................................................................... 5

Глава I. О семействах кривых над Р1 с малым числом

особых слоев ....................................................31

§1. Формула Огга-Шафаревича-Гротендика и ее следствия .............. 32

§2. Общая оценка Аракелова ............................................. 39

§3. О семействах кривых над Р1 с s < 3..................................43

§4. Нижняя оценка числа s (доказательство гипотезы Шпиро)..........49

§5. Усиленный вариант неравенства канонического класса.............. 57

Глава II. Классификация эллиптических расслоений с малым

числом особых слоев над базой рода 0 и 1 .................. 63

§1. Предварительные сведения из теории решеток Морделла-Вейля.....65

§2. Экстремальные эллиптические расслоения и сингулярные

поверхности типа К3 ................................................ 73

§3. Полустабильный случай .............................................. 83

§4. Общий случай ......................................................... 88

§5. О конфигурациях особых слоев на рациональных

эллиптических поверхностях ....................................... 94

Глава III. Равномерное ограничение кручения Морделла-Вейля

для эллиптических расслоений ............................ 100

§1. Некоторые предварительные результаты ........................... 103

§2. Теорема о башне морфизмов......................................... 111

§3. О (¿-гональности модулярных кривых X0(N)........................ 114

§4. Равномерная оценка для подгрупп кручения Морделла-Вейля ..... 121

Глава IV. Об одном классе расслоений высшего рода над Р1 .......... 127

§1. Гиперэллиптические расслоения и функциональный

аналог гипотезы Шпиро о дискриминанте ........................ 129

§2. Теорема о линейчатой структуре.................................... 137

§3. Оценки числа s0. Полустабильный случай .......................... 139

§4. Примеры ............................................................. 147

§5. Некоторые полустабильные гиперэллиптические вырождения ____ 155

Глава V. О верхних оценках виртуального ранга Морделла-Вейля ... 160

§1. Мотивировка и основные результаты ..............................................................161

§2. Оценки виртуального ранга г ..............................................................................164

§3. Пучки с х(Ох) = 1 ......................................................................................................167

§4. Пучки высшего рода с с\{Х) = -4{g - 1) < 0 ................................................174

Глава VI. Решетки Морделла-Вейля для рациональных

расслоений высшего рода...................................185

§1. Решетки Морделла-Вейля в случае высшего рода ...................187

§2. Теорема о структурной решетке Г45+4 ............................... 192

§3. Подрешетки ранга г > Ад + 1. Второй случай ...................... 198

§4. Квазивеса для подрешеток ранга г > Ад + 1. Второй случай ....... 208

§5. Вложения Ац,А-у ® А^ и Af3 в Г4э+4. Первый случай .............. 225

§6. Примеры с е — g + \ ...................................................237

Приложение 1: Подрешетки ранга г > Ад + 1- Второй случай ......... 246

Приложение 2: Подрешетки из первого случая ........................ 253

Глава VII. О решетках Морделла-Вейля для негиперэллиптических

расслоений на поверхностях с = g = 0 ................. 255

§1. Мотивировка и формулировка основных результатов .............. 256

§2. Верхняя оценка виртуального ранга Морделла-Вейля............... 260

§3. Конструкция расслоений с максимальным рангом ................. 262

§4. Единственность решеток Морделла-Вейля

негиперэллиптического типа ...................................... 267

Приложение 3: Подрешетки негиперэллиптического типа ............ 276

Литература............................................................... 278

Введение

1. Пусть к некоторое алгебраически замкнутое поле констант характеристики р > 0. В диссертации изучается геометрия одномерных семейств алгебраических кривых рода g > 1 над к. Изучение этого функционального случая мотивируется тесной связью с так называемым арифметическим случаем (по поводу это"* связи, см., например, прекрасный обзор [8]). Наше внимание будет концентрироваться на таких аспектах теории, как проблема оценивания числа особых слоев s и структура вырождения для семейств, имеющих малое значение 5 над базой рода 0 и 1; структура (конечно порожденной) группы Морделла-Вейля, включающая в себя свободную часть с естественной структурой решетки (Морделла-Вейля) и конечную часть кручения;____

Случай петрипинлыплх ее.мейггп кривых и ад I'1 особо интересен ввиду функционального аналога второй гипотезы Шафаревича. При дополнительном "ручном" условии (р = 0, или р > 2ff + 1) известна оценка s > 2, а если семейство неизотривиально, то s > 3. Для простоты мы будем предполагать, что изучаемые семейства не имеют кратных слоев (правда при к = С это предположение можно опускать). При изучении семейств кривых над Р1 с s < 3 весьма полезна формула Огга-Шафаревича-Гротендика для семейств кривых f:X —> С, которая впоследствии окажется эквивалентной глубокой теореме Рэйно о точной последовательности

0 J(C) -»■ Pic Var(X) —> Б —s- 0 (*)

В частности, мы доказываем некоторые теоремы об односвязности в случае над комплексными числами с .s <. 3. При к ~ С будет ус танов л иваться неполустабильный вариант оценки типа Аракелова для степени пучка f*cox/c (более точная оценка в полустабильном случае может быть получена с помощью вариации структур Ходжа), который также полезен при изучении этой проблемы. Следует отметить, что эта оценка, комбинированная с результатами Мацусаки о гиперэллиптических семействах ([76]) дает обобщение функционального аналога гипотезы Шпиро о дискриминанте для гипереллиптичес-ких кривых над полями функций. Изучение структуры в случае s = 3 представляет собой весьма трудную задачу. Сравнительно удовлетворительный

результат пока получен для эллиптического случая (д = 1), а также некоторые общие теоремы об односвязности в случае к = С.

В полустабильном случае напомним следующую проблему, поставленную Л. Шпиро ([136]). Пусть /:Х —► Р1 - неизотривиальное полустабильное семейство кривых рода д > 1 над алгебраически замкнутым полем к. Тогда какова нижняя грань Для числа 5 особых слоев такого семейства? (ответ в изотривиальном случае прост: каждое такое семейство должно быть гладким, ввиду единственности полустабильной модели). Известные примеры имеют 5 > 4, а также существуют примеры (д = 1) с « = 4. Это предлагает оценку 5 о = 4. Мы в дальнейшем будем называть это предположение гипотезой Шпиро (ср. [136]). В нулевой характеристике оно известно как теорема Бовиля ([33]). Ключевой идеей в доказательстве этой теоремы является тот факт, что любая абелева схема над Р1 в нулевой характеристике должна быть постоянной (другое доказательство, принадлежащее М.-Х. Саито, использует вариацию структур Ходжа, а также специфику нулевой характеристики). Одной из целей в диссертации является доказательство Гипотезы Шпиро. Остается на сей день недоказанной весьма трудная гипотеза о том, что если род общего слоя д > 1, то 5 > 5. В нулевой характеристике это известно как гипотеза Бовиля ([33]), доказательство которой также будет дано в диссертации, как непосредственное следствие усиленного варианта неравенства канонического класса.

Как было отмечено выше, сравнительно удовлетворительная классификация получена пока для эллиптических семейств над Р1 с з < 3, и над эллиптической базой с з = 1 (соответственно для полустабильных эллиптических семейств над Р1 с 5 = 4, и отчасти над эллиптической базой с з = 2). В нулевой характеристике такая проблема была решена в [123], [33] (ср. [83]). Наша цель - получить подобную классификацию в положительной характеристике, по крайней мере, ф 2,3. Классификация в характеристиках 2 и 3 достаточно трудна ввиду "диких" ветвлений. В этих характеристиках с помощью методов здесь полный ответ пока получен для экстремальных эллипти- ческих пучков с ненулевым классом Кодаиры-Спенсера.

Вопрос, связанный со структурой вырождений эллиптических семейств на рациональных поверхностях, весьма интересен. Полная классификация

конфигураций особых слоев на рациональных эллиптических поверхностях пока отсутствует. Следует отметить, что с точки зрения теории решеток Морделла-Вейля вопрос несколько проще и решается следующим образом. Во-первых легко показывается, что структурная решетка для рациональных семейств является решеткой корней Е%. Таким образом, задача определения решеток Морделла-Вейля сводится к изудению подрешеток корней в Е8. Тем самым для этой цели можно использовать классическую классификацию Дынк-ина. Это было сделано совсем недавно в [112]. Отметим также, что в нулевой характеристике полная классификация конфигураций слоев Кодаиры была получена в недавней работе [115] (ср. [82]). Мы продемонстрируем несколькими замечаниями, показывающими, что наши методы на самом деле дают также дополнительный подход к проблеме в этой ситуации нулевой характеристики.

Для эллиптической кривой Е с точкой над числовым полем К степени й ([К : 0>] = ¿) группа Морделла-Вейля Е(К) конечно порождена (теорема Морделла-Вейля) и мы имеем разложение ее на свободную часть ранга г и конечную часть кручения типа (п,т). Так называемая сильная Гипотеза о Равномерном Ограничении (сокращенная как сГРО) утверждает, что имеется некоторая константа В(в), зависящая только от й такая, что порядок группы кручения Е(К)и>Гя меньше, чем В(<1) (см. [44], [61], [79] для полного отчета этого случая). Нашим следующим объектом изучения является функциональный аналог сГРО. А именно пусть С гладкая проективная кривая, определенная над некоторым полем констант к характеристики р ф 2,3 и пусть К = к(С) поле функций на С. Пусть Е непостоянная эллиптическая кривая, определенная над К, т.е. ^'-инвариант непостоянен, или эквивалентно К/к-след тривиален. Обозначим через

Е(К)'гогз: = {х е Е(К)10гз '■ Р не делит порядок элемента х}

не-р-часть в подгруппе кручения группы Морделла-Вейля. По аналогии с числовым случаем вместо степени й вполне естественно взять ¿-гональность базисной кривой С (предложение М.-Х. Саито и X. Токунагы). Напомним, что кривая С является (¿-тональной (над алгебаическим замыканием к), если существует конечный морфизм /: X —» Р|- степени й. Например, С является 1-гональной, если С изоморфна Р1, - 2-гональной, если либо д(С) < 1, или

С является гиперэллиптической кривой рода д(С) > 2. Если С ¿Z-гональна, то имеется расширение полей к{Р|-) = k(t) <—> К степени d (Отметим, что такое расширение полей может быть неединственно, даже если мы предполагаем минимальность для d в определении á-гональности).

Теперь мы обозначаем через Фfun(d) множество всех классов изоморфизма конечных абелевых групп, появляющихся, как полные не-р-подгруппы кручения в группах Морделла-Вейля для непостоянных эллиптических кривых над функциональным полем К с расширением ¿(P1) <—> К степени < d. В этом контексте мы устанавливаем следующий результат, как функциональный аналог сГРО: множество Фfun(d) конечно. При доказательстве мы сводим проблему к изучению d-гональности модулярных кривых X0(N), соответствующих модулярным подгруппам Гекке, т.е. состоящим из таких матриц G SL(2, Z), что N делит с.

С введением теории решеток Морделла-Вейля для семейств высшего рода ([131], [133]) немного известно о таких решетках, а также о группах кручения. В диссертации впервые такая попытка делается в цели глубже вникнуть в эти круги. Наше наблюдение состоит в том, что из предыдущего изучения, связанного с усиленным вариантом неравенства канонического класса, выделяется интересный класс расслоений высшего рода /: X —> Р1 с с\{Х) = —4(</ — 1). Этот класс является наиболее естественным обобщением рациональ- ных эллиптичесих расслоений. Для него мы доказываем теорему о линейчатой структуре, на которой основаны все последующие исследования, связанные с этим классом расслоений. Изучение ведется по трем направлениям:

1) Для таких полустабильных расслоений над С получены оценки для следующего числа

sQ=*S0, S0: = {teS: g{Xt) = g0},

где S - множество вырожденных точек, д0 - размерность неподвижной части якобиана Pic°(X/P1), g(Xt) - род нормализации слоя Xt над t.

2) Связь с решетками Морделла-Вейля: для таких рациональных расслоений с некоторым дополнительным условием получены обобщения результа-

а Ъ с d

тов в эллиптическом случае, связанных с решеткой корней Es и ее подреш-етками корней.

3) Получены численные оценки числа 5 и виртуального ранга Морделла-Вейля г (и также для класса с х{®х) = 1), а в случае к = С, то и структура решетки Нерона-Севери в случае максимальной возможности.

В связи с решетками Морделла-Вейля в случае вышего рода следует отметить новое явление: в диссертации получены структурные теоремы об унимодулярных решетках негиперэллиптического типа.

Все эти направления и круги идей изложены с подробностями в диссертации. Диссертация состоит из семи глав, цитированной литературы и трех приложений, в которых даны описания некоторых диаграмм Дынкина.

2. Глава I содежит 5 параграфов. Первый параграф посвящен изложению формулы Огга-Шафаревича-Гротендика и ее следствий для семейств кривых. Пусть f'. X —> С - относительно минимальное расслоение на кривые рода д с одномерной базой С, над алгебраически замкнутым полем к характеристики р. В случае р > 0 мы будем предполагать, что / не имеет кратных слоев. Напомним, что р2, как обычно, обозначает число Лефщеца, т.е. р2 = Ь2 — р, где Ь'2 и р обозначают 2-е число Бетти и число Пикара поверхности X; г -виртуальный ранг Морделла-Вейля, т.е. ранг существенной (по Вейлю) части группы Нерона-Севери NS(X); д0 - размерность неподвижной части В якобиана общего слоя, как абелева многообразия, определенного над К = к(С), S С С - множество точек вырождения; s - его мощность; si - число полустабильных особых слоев. Напомним определение неподвижной части (или К/к-слер) абелева многообразия А над К. Это пара (В,т), состоящая из абелева многообразия В над к и гомоморфизма т-.В—>А абелевых многообразий над К, обладающего свойством универсальности: для любой другой пары (В\т') как выше существует единственный гомоморфизм (р: В' —> В над /г. такой, что г' = т о <р. Известно, что К/к-след существует (Чао) и г есть радикальное отображение (оно инъективно на точках, но может иметь ин-финитезимальное ядро в случае характеристики р > 0).

Формула Огга-Шафаревича-Гротендика (Лемма I. 1.1.1). Имеет место

следующая формула

г + р2 = 2д(2д(С) - 2) + 4дй + + ]Г at(X) (1)

tes tes

где £t(X) соответствует так называемому кондуктору ручного ветвления и «¿(Х) обозначает кондуктор дикого ветвления (или кондуктор Суона).

Можно показать, на самом деле, что формула (1) эквивалентна теореме Рэйно о точной последовательности (*). На практике эта формула используется, когда можно вычислить члены et(X) + at(X). В частности, если р = 0 или р > 2д + 1, или слой Xt над t полустабилен, то at(X) = 0. Более того, для "ручного" терма £t(X) имеет место следующее простое выражение

et(X) = et(X)-nt + l (2)

где et(X): = x{Xt) + 2g — 2 есть локальная эйлерова характеристика (ручной кондуктор) и nt - число неприводимых компонент в слое Xt. Отметим, что согласно известной оценке в теории Огга-Шафаревича для семейств абелевых многообразий (см. [30], [109]) "ручной" терм лежит между 0 и 2д, где g обозначает размерность общего слоя семейства. Ввиду (2) стандартные вычисления эйлеровых характеристик, использующие локальную теорию пересечений (ср. [1, IV, §4]) показывают, что справедлива следующая оценка для "ручного" терма £t(X), явно выражающаяся в геометрических инвариантах вырожденного слоя Xt.

g - g(Xt) < £t(X) < 2(д - g(Xt)) (3)

где g(Xt) - род нормализации Xt. Более того, за исключением тривиального случая, когда Xt кратен некоторой эллиптической кривой, равенство слева имеет место если и только если слой Xt полустабилен; а знак равенства справа означает, что (Xt)red - дивизоры с простыми пересечениями с числом пересечений = пг-1и неприводимые компоненты Xt имеют, самое большее, особенности каспидального типа.

Во втором параграфе при к = С доказывается неполустабильный вариант оценки типа Аракелова для степени d пучка f*u)X/c-

Теорема 1 (Теорема I. 2.1.5 - общая оценка Аракелова). Пусть/:X —> С - относительно минимальное семейство кривых над С. При обозначениях

выше имеем следующую оценку для степени й

<1<{д- доМС) - 1 + * - у) + <М(С) (4)

В полустабильном случае ввиду (3) мы имеем следующую оценку

¿<(д-доШС)-1 + 1) + д0д(С) (5)

На самом деле, если / неизотривиально, то используя Вариацию Структур Ходжа можно убрать член дод(С) из правой части (5).

В третьем параграфе, как применение (1) —(3), опираясь на теорию Огга-Шафаревича и критерий Рэйно о полустабильной редукции, мы получаем, что, что любое нетривиальное семейство /: X —> Р1 кривых рода д > 1 в характеристике = 0, или > 2д + 1, имеет, по крайней мере, два особых слоя, а любое неизотривиальное семейство над Р1 имеет 5 > 3 (ср. Предложение I .3.1.1).

Гипотеза 2 (Гипотеза I .3.1.3). В предположениях выше поверхности X с 5 = 2 унирациональны

Эта гипотеза верна в эллиптическом случае (ср. следующую главу). В этом случае поверхность X даже рациональна. В оставшейся части