Вариации Римана-Роха тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

0. Введение

1. Локальные системы

1.1. Катцевы локальные системы

1.2. Формула Н-рядов

1.3. Полные пересечения в проективных пространствах

1.4. Построение локальных систем по расслоениям

1.5. Подкрутка и отражение

1.6. Исключительные наборы

1.7. Квазикатцевы многообразия

2. D—модули

2.1. Гипергеометрические дифференциальные операторы

2.2. Считающий D-модуль и антиканонический D-модуль Римана-Роха

2.3. Клетки Шуберта

2.4. D-модули Римана-Роха многообразий Калаби-Яу и Фано

3. /-адические пучки

3.1. Приблизительно равны

3.2. Гипергеометрические объекты над конечными полями

3.3. Пучок Римана-Роха

3.4. Зеркальное однопараметрическое семейство

3.5. Основные теоремы

4. Послесловие

4.1. Гипотеза 1: категорное соответствие

4.2. Гипотеза 2: трифолды Фано 45 Список литературы

Актуальность темы. В последнее десятилетие — говоря точнее, с момента появления работы [COGP] — математики и физики целенаправленно изучают группу явлений, объединяемых термином "зеркальная симметрия". В узком понимании зеркально-двойственными оказываются многообразия или семейства многообразий, в более широком — два взгляда на когомологии алгебраического многообразия, зависящего от параметра, две группы теорий; ядра этих теорий давно стали классикой алгебраической геометрии.

Одна теория — "конструктивная". Это теория вырождения варьирующегося по параметру многообразия. Ее проявления в конкретных теориях когомологий — теория вырождения структур Ходжа, теория локальной монодромии в I -адических пучках. Если рассматривать вариации по одномерному параметру, то в каждой из этих теорий на когомологиях возникает si2, (в комплексном случае "горизонтально" действующая на ромбе Ходжа).

Другая теория — "когерентная" (с точки зрения ромба Ходжа — вертикальная). Согласно сильной теореме Лефшеца, с (очень обильным) классом дивизоров связано действие алгебры sfa на когомологиях многообразия.

При желании, центральным явлением зеркальной симметрии можно считать именно эту похожесть двух si2 -формализмов (отмеченную, кстати, давно — см. [Gr] — но до сих пор не проясненную).

Частью чего являются эти s/2 -формализмы в каждой из двух теорий? В конструктивной теории — если рассматривать вариации с многомерным параметром — каждому направлению подхода к точке самого глубокого вырождения соответствует своя Эти s/2 организуются в редуктивную алгебру Ли, связанную с группой глобальной монодромии вариации.

Можно ли расширить теорему Лефшеца в когерентной теории до больших алгебр Ли? А до групп Ли? Ответ на оба эти вопроса в принципе положительный (см. [LL], [GLO]) — да, в когерентной теории имеются зеркальные двойники алгебр Ли и групп Ли из конструктивной теории. Но эти алгебры Ли и группы Ли вторичны: первичный объект, из которого они извлекаются, — сама вариация.

Вопрос номер 1 зеркальной симметрии для нас, стало быть, — как правильно построить по когерентным данным на многообразии абстрактную вариацию.

Вопрос номер 2 — почему, собственно, эта вариация будет геометрической (т.е. почему пучок или D-модуль будет высшим прямым образом постоянного пучка на каком-либо семействе на пространстве параметров)?

Есть два способа отвечать на вопрос 1.

Первый: строить вариацию по определенным формальным правилам на основе исчисления рациональных кривых, проходящих через заданные циклы на многообразиях. Вопрос 2 становится тогда проблемой.

Второй способ: строить зеркально-симметричное семейство из геометрических или комбинаторных соображений. Вопрос 2 теперь тавтологичен, а доказывать нужно то, что когерентные данные исходного многообразия выражаются в терминах, относящихся к вариации получившегося семейства.

Сложности имеются и на том и на другом пути. На первом: мы не очень хорошо умеем считать рациональные кривые: мы не знаем наверняка, только ли рациональные кривые (и только ли кривые) должны вносить вклад. На втором: искомое соответствие многообразий "не слишком-то геометрично" и во всяком случае не алгебро-геометрично. Кроме того, обычно нет уверенности относительно того, что именно следует считать базой семейства (например, зеркально-двойственным одному и тому же семейству КЗ разные специалисты полагают разные семейства — отличающиеся уровнем).

Возможны ли другие ответы на вопрос 1?

Обратимся к исторически первому примеру — квинтик в Р4 (см. например [Gil]). В наиболее распространенном постановке вопрос выглядит так:

Что за конструкция сопоставляет семейству всех квинтик в Р4 однопара-метрическое семейство (Р) вырожденных многообразий Калаби-Яу, задаваемых уравнением

4 4

-f =0? г=0 г=0

Мы же сформулируем задачу по-другому:

Указать конструкцию, сопоставляющую комплексам векторных расслоений на квинтике Q вариации, так что комплекс

0 —> касательное расслоение к Р4 |q—► нормальное расслоение к Q в Р4 —0? переходит в мотивную вариацию, реализующуюся в средних когомологиях слоя семейства (Р).

С когерентной точки зрения, мы расширили постановку вопроса (аргумент зеркального преобразования раньше сводился к инварианту многообразия, а теперь пробегает целый класс объектов), зато на конструктивной стороне проиграли в конкретности: одно дело построить абстрактную вариацию и доказать, что она мо-тивная, то есть может быть реализована в каком-либо геометрическом семействе; а другое — из семейств, в которых она может быть реализована, избрать одно-единственное на роль зеркального партнера для исходного когерентного комплекса.

Цель работы. Предъявить, в случае полных пересечений, конструкцию зеркальных вариаций, которая бы а) не выводила бы нас "за пределы алгебраической геометрии", т.е. не вовлекала бы в игру без острой необходимости аналитическую, дифференциальную, симплек-тическую . геометрии; б) не использовала бы понятий, вызванных к жизни самой теорией зеркальной симметрии (квантовые когомологии, фробениусовы многообразия, и т.д.). в) для частного случая — комплекса вида (Р) — давала бы вариации, предсказанные другими картинами зеркальной симметрии.

Зеркальная симметрия, рассмотренная в работе [Ко] как некое гипотетическое ка-тегорное соответствие, дает предсказания о свойствах монодромии в зеркальных семействах. В первой главе мы определяем вариации Римана-Роха через их монодромии, так что согласованность с категорной картиной тут почти тавтологична. ' -. 3

Дифференциальные уравнения зеркальной симметрии, дающиеся счетом рациональных кривых (это подход исчислительной алгебраической геометрии — и одновременно теоретико-полевой) мы, насколько умеем, связываем с D-модулями Римана-Роха во второй главе.

Наконец, торическая зеркальная симметрия явно — в терминах линейно-геометрической двойственности — строит по одному семеству другое. Проверке того, что в относительных когомологиях зеркального семейства возникает вариация Римана-Роха, посвящена третья глава.

Научная новизна работы.

1. Вводятся вариации Римана-Роха — удобный язык для описания простейших явлений зеркальной симметрии.

2. Изучаются их структурные свойства и связи с общей теорией гипергеометрических вариаций.

3. Определяется и для некоторых классов многообразий доказывается свойство квазикатцевости.

4. Для некоторых классов многообразий доказывается идентичность вариаций Римана-Роха с вариациями, полученными другими авторами на основе иных соображений. В той или иной общности, доказываются достаточные условия для геометричности вариаций Римана-Роха; доказывается утверждение о совпадении матрицы формы Римана-Роха и матрицы пересечения исчезающих циклов в вариации Римана-Роха; указывается связь вариаций Римана-Роха и формализма, основанного на счете рациональных кривых (прямых); доказывается утверждение о связи вариации Римана-Роха с вариацией, возникающей в относительных когомологиях слоев торически-зеркального семейства.

Практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Тем не менее она может иметь приложения к конкретным, вычислительным аспектам зеркальной симметрии.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах по алгебраической геометрии в МИАНе и в Независимом Московском университе. По ее материалам был прочитан курс лекций.

Структура работы. Диссертация состоит из Введения, основной части и Послесловия. Основная часть разбита на 3 главы, главы — на параграфы. Общий объем работы — 51 страница. В библиографии 36 названий.