Теорема Римана-Роха для операций в когомологиях алгебраических многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Терминология и обозначения.

1 Теории когомологий

1.1 Определение и примеры.

1.2 Бесконечномерные конструкции

1.3 Гомотопические свойства векторных расслоений.

1.4 Деформация к нормальному конусу.

1.5 Общие свойства теории когомологий.

1.6 Мультипликативные структуры

1.7 Алгебраическая надстройка.

1.8 А-группы.

1.9 Операции.

2 Ориентированные теории

2.1 Ориентации.

2.2 Операторы Гизина.

2.3 Параметры.

2.4 Характеристические классы.

2.5 Пространство ориентации.

2.6 Формальная группа ориентированной теории.

2.7 Определение трансферов и связь с ориентацией.

2.8 Дифференциалы и вычеты.

2.9 Свойства трансферов

2.10 Построение трансферов.

3 Операции в ориентированных теориях

3.1 Якобиан операции и классы Тодда.

3.2 Операции и дифференциалы.

3.3 Теорема Римана-Роха.

3.4 Канонический трансфер.

Р 3.5 Теорема Римана-Роха и замена переменной в интеграле . . 104 З.б Классы Тодда в топологии

Тема диссертации восходит к статье Бернгарда Римана "Теория абеле-вых функций" 1857 года [32]. В этой работе, помимо прочего, доказано неравенство, которое в более современной терминологии можно записать так l(D)>degD-g + l, (1) где д - род компактной римановой поверхности X, D - дивизор на X степени deg D. При этом 1(D) - размерность пространства

L(D) = {fe С(Х) I diV/ + D > 0} (2) мероморфных функций / на X, удовлетворяющих условию ordp(/)+ordp(D) > 0 (3) для всех точек Р G X. При этом ordp(/) - порядок нуля /, a ordpD -кратность дивизора D в точке Р. Например, для эффективного дивизора D, которые только и рассматривал Риман, речь идет о пространстве мероморфных функций, имеющих заданный набор полюсов, причем кратности этих полюсов ограничены сверху кратностью дивизора D в соответствующих точках.

Результат Римана был усилен в статье Густава Роха "О числе произвольных констант в алгебраической функции" 1865 года [33]. А именно, там было получено равенство l(D)-l{K-D) = degD-g + l, (4) где К - канонический класс дивизоров X, то есть класс дивизора произвольного мероморфного дифференциала на X.

Равенство (4) и его обобщения получили название теоремы Римана-Роха. Эта теорема стала одним из основных инструментов алгебраической геометрии.

Ряд авторов предприняли попытки обобщить теорему Римана-Роха на двумерную ситуацию. Цель такого обобщения состояла в том, чтобы вычислить размерность полной линейной системы, связанной с дивизором D на проективной алгебраической поверхности X. Иными словами, речь шла о вычислении размерности 1(D) пространства L(D), определенного теми же формулами (2) и (3), что и для кривых, за исключением того, что в (3) вместо точек римановой поверхности следует рассматривать неприводимые кривые на поверхности X.

История этого этапа отражена в книге Оскара Зарисского [41], а к его основным участникам относятся Макс Нётер, Фредерико Энриквес, Гвидо Кастельнуово и Франческо Севери. Основными результатами стали теорема Римана-Роха для поверхностей, то есть, в более современной терминологии, неравенство

1(D) + l(K -D)> Ра(Х) + D{D~K\ (5) доказанное Кастельнуово в работах 1896 и 1897 годов, и формула Нётера с? + с2 Ра(Х) = — •

При этом К - канонический класс дивизоров X, то есть класс дивизора произвольной рациональной 2-формы на X, ра(Х) = до — 9i + 92, где gi - размерность пространства глобальных дифференциальных г-форм, а с\ и С2 - классы Чженя касательного расслоения X.

В 1938 году Андре Вейлем [40] было представлено обобщение другого типа теоремы Римана-Роха (4). Это обобщение выражается равенством

1(E) - l(Ev ® К) = d + г(1 - д), (6) где X - полная гладкая алгебраическая кривая, Е - векторное расслоение на X, 1(E) - размерность пространства глобальных сечений Е, Еу - двойственное векторное расслоение, К - каноническое линейное расслоение, то есть для касательного расслоения Тх, г = rki?, ad- степень линейного расслоения АТЕ, то есть степень дивизора произвольного рационального сечения этого расслоения. Классическая теорема Римана-Роха (4) является частным случаем (6) при Е = 0(D).

Следующий этап обобщений теоремы Римана-Роха связан с применением теории пучков и их когомологий. Основные события этого этапа произошли в 1953 году, а к основным участникам этого этапа относятся Кунихико Кодаира, Дональд Спенсер, Жан-Пьер Серр и Фридрих Хирцебрух. История этого этапа отражена в [4] и [12].

Прежде всего, с учетом двойственности Серра, левая часть (4) может быть интерпретирована как эйлерова характеристика

Х(Ь) = dim#°(X, L) - dmH\X, L), (7) где L = 0(D) - линейное расслоение на X, связанное с дивизором D. Таким образом, теорема Римана-Роха для кривых (4) превращается в равенство

X{L) = d-g +1. (8)

Аналогичным образом уточненная теорема Римана-Роха для поверхностей может быть записана в виде равенства где L = 0{D), а Х(Е) = dimН°(Х,Е) - dimHl(X,E) + . для векторного расслоения Е на проективном многообразии X. Равенство (9) действительно усиливает (5), поскольку по двойственности Кодаиры-Серра gi = dim Нг(Х,0), а ра{Х) = Формула Нётера при этом превращается в равенство

Чт

Серр предположил, что для X произвольной размерности dimX = п эйлерова характеристика линейного расслоения 0(D)/X может быть выражена в виде P(D, Ci,., сп), где коэффициенты полинома Р зависят только от n, a ci,., сп - классы Чженя касательного расслоения X. Более того, Серр указал процедуру, сводящую нахождение Р к вычислению ра{Х) с помощью классов Чженя ci,., сп. Такое вычисление, уже проведенное к тому времени Кодаирой [21] при п = 3, показывает, что в этом случае

Х(0) = ±С1С2, а теорема Римана-Роха выглядит так x{0(D)) = \d3 + \ClD> + 1(4 + c2)D + 1с1с2.

Отметим существенную роль в теореме Римана-Роха, даже на уровне формулировки, конечномерности когомологий когерентных пучков на проективном многообразии.

0 В декабре 1953 года Хирцебрух сформулировал и доказал [12] теорему Римана-Роха для проективных гладких многообразий произвольной размерности. При этом теорема Римана-Роха в форме Хирцебруха вычисляет эйлерову характеристику не только линейных расслоений, но и произвольных векторных расслоений. Тем самым, она обобщает и приведенный выше результат Вейля. Результат Хирцебруха для гладкого связного проективного многообразия X над С выглядит так

Х(Е) = [td(X) ch(£)]2nj где Е - векторное расслоение над X, п = dimX, ch(E) е H*(X,Q) - характер Чженя Е, td(X) 6 Н*(Х, Q) - класс Тодда касательного расслоения Тх, а индекс 2п снизу означает, что рассматривается 2п-компонента когомологического класса и используется отождествление ^ H2n(X,Q) = Q, заданное ориентацией, происходящей из комплексной структуры X. При этом характер Чжеия ch(Е) 6 Н*(Х, Q) по принципу расщепления определен тем, что ch(Е) = chLi -\-----f chL^ для виртуального разложения Е = L\ Н-----У L^ в сумму линейных расслоений, а для линейного расслоения L характер Чженя ch(L) - результат подстановки z = с\ (L) в ряд exp z. Класс Тодда векторного расслоения Е по принципу расщепления определен тем, что td(Е) = td(Li).td(L<f), а для линейного расслоения L класс Тодда td(L) - результат подстановки 2 = ci(L) в ряд tdM = rrpi- <10)

Следующее обобщение теоремы Римана-Роха было получено в 1957 году Александром Гротендиком. Обобщение Гротендика вводит кольцо виртуальных расслоений Kq и вычисляет ранг и рациональные классы Чженя некоторого виртуального расслоения, а именно полного прямого образа Е для собственного отображения / : X —> Y гладких алгебраических многообразий. Теорема Римана-Роха в форме Гротендика утверждает [16], что коммутативна диаграмма

И) и

K0(Y) td(ndl> A{Y)®Q М где f\ - прямой образ в if-теории, то есть f\[E] = [R°f(E)]—[R1f(E)]+. - альтернированная сумма классов высших прямых образов расслоения Е, А(Х) - кольцо Чжоу классов циклов относительно рациональной эквивалентности, /* - оператор прямого образа на кольцах Чжоу. При этом теорема Римана-Роха в форме Хирцебруха получается при Y = pt, а х{Е) интерпретируется как ранг прямого образа в Kq. Отметим также, что кольцо Чжоу определено для многообразий над произвольным полем, а теорема Гротендика верна в любой характеристике.

Со времени своего появления теорема Гротендика многократно обобщалась: вместо гладких многообразий рассматривались особые, алгебраические многообразия заменялись пространствами с другой геометрической структурой (например, схемами), появились варианты теоремы Римана-Роха без знаменателей. В частности, после появления топологической версии функтора Ко и расширения этого функтора до теории когомологий появилась и соответствующая версия теоремы Римана-Роха [14].

Еще более общая топологическая теорема Римана-Роха появилась в статье Элдона Дайера [18], где отмечены фольклорное происхождение теоремы и ее известность Дж. Адамсу, М. Атье и Ф. Хирцебруху. В этой теореме характер Чженя заменен на произвольную мультипликативную операцию между произвольными теориями когомологий. Точнее говоря, теорема Римана-Роха в форме Дайера утверждает, что в{Ф(х)т(Х)) = ф(Ых))т(У).

В этой теореме ф : А В - стабильная мультипликативная операция между мультипликативными топологическими теориями когомологий А и В, X и Y - компактные дифференцируемые многообразия, ориентированные в каждой из двух теорий, / : X —>Y ~ непрерывное отображение, /л : А*(Х) A*{Y) и fB : В*{Х) B*{Y) - прямые образы, определенные с помощью двойственности Пуанкаре. Класс т(Х) G В*(Х) определен при этом формулой r(x) = e-B^eA(i), где 1 е А* (X) - единица кольца когомологий X, а 9а '■ А*(Х) A*(N, №) и в в : В*{Х) -» B*{N, №) - изоморфизмы Тома, определенные ориентациями X, N - стабильное нормальное расслоение для

X, № - дополнение к нулевому сечению. Теорема Атьи-Хирцебруха из [14] является частным случаем этой теоремы, если в качестве А взять А'-теорию, в качестве В - сингулярные когомологии с рациональными коэффициентами, а в качестве ф - характер Чженя.

Начиная с известных гипотез А. Вейля, предпринимались значительные усилия по переносу достижений алгебраической топологии в алгебраическую геометрию. В результате таких усилий появились теории этальных и кристаллических когомологий (А. Гротендик), высшая алгебраическая К-теория (Д. Квиллен), мотивные когомологии (С. Блох, А. Суслин, В. Воеводский) и многое другое. После построения В. Воеводским и Ф. Морелем в [23] и [38] мотивных гомотопической и стабильной гомотопической категорий - алгебраических аналогов соответствующих категорий в топологии - естественно возник вопрос о нахождении мотивных вариантов основных теорем алгебраической топологии, в том числе и общей топологической теоремы Римана-Роха.

Основной целью диссертации является получение мотивного варианта общей топологической теоремы Римана-Роха или, иными словами, получение теоремы Римана-Роха для мультипликативных операций между ориентированными теориями когомологий алгебраических многообразий. Другой основной целью диссертации является нахождение формулы для связанных с произвольной операцией классов Тодда, столь же простой, как и формула (10), определяющая классы Тодда, связанные с характером Чженя.

Основными результатами диссертации являются:

• теорема Римана-Роха для мультипликативных операций в ориентированных теориях когомологий алгебраических многообразий (см. 3.3.1 и 3.3.3),

• явные формулы для соответствующих операции классов Тодда (см.

3-1),

• интерпретация теоремы Римана-Роха как формулы замены переменных для интегрирования когомологических классов (см. 3.5).

Диссертация состоит из 3-х глав, основные результаты которых изложены ниже.

1. В. М. Бухштабер. Новые методы в теории кобордизмов. Дополнение к книге "Заметки о теории кобордизмов", Р. Стонг, Мир, Москва, 1973.

2. Дж. Милн. Этальные когомологии. Мир, Москва, 1983.

3. Р. М. Свитцер. Алгебраическая топология гомотопии и гомологии. Москва, Наука, 1985.

4. Ж.-П. Серр. Собрание сочинений, T.l, М.: НМУ: МЦМНО, 2002, Письмо Арману Борелю. Апрель 1953, 325-334.

5. Ж.-П. Серр. Алгебраические группы и поля классов, Мир, Москва, 1968.

6. A. Л. Смирнов. Правило Лейбница в алгебраической if-теории, Зап. научн. сем. ПОМИ, 319 (2004), Вопр. теор. предст. алгебр и групп. И, 2004, 264-292.

7. A. Л. Смирнов. Гомотопические свойства алгебраических векторных расслоений, Зап. научн. сем. ПОМИ, 319 (2004), Вопр. теор. предст. алгебр и групп. 11, 2004, 261-263.

8. А. Л. Смирнов. Ориентации и трансферы в когомологиях алгебраических многообразий. Алгебра и Анализ, т. 18, 2, 2006, 167-224.

9. А. Л. Смирнов. Теорема Римана-Роха для операций в когомологиях алгебраических многообразий. Алгебра и Анализ, т. 18, 5, 2006, 210236.

10. У. Фултон. Теория пересечений, Мир, Москва, 1989.И. Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия, Мир, Москва, 1981.

11. Ф. Хирцебрух. Топологические методы в алгебраической геометрии. Москва, Мир, 1973.

12. М. Artin, A. Grothendieck, J. L. Verdier. Theorie de topos et cohomologie etale de schemas, vol. 1, Lecture Notes in Mathematics 269, Springer Verlag, 1972 (SGA4).

13. M. F. Athyah, F. Hirzebruch. Riemann-Roch theorems for differentiable manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. 65, 1959, 276-281.

14. M. F. Athyah, F. Hirzebruch. Cohomologie-Operationen und charakteristische Klassen. Math. Zeitschr., 77, 1961, 149-187.

15. A. Borel, J.-P. Serre. Le theoreme de Riemann-Roch. Bull. Soc. Math. France, 86, 1958, 97-136.

16. P. Deligne. Categories Tannakiennes, vol. 2, The Grothendieck Festschrift, Progress in Mathematics 87, Birkhauser, Boston, 1990, 111— 195.

17. E. Dyer. Relations between cohomology theories. Colloquium on Alg.Topology, 1962, 89-93.

18. H. Gille. Riemann-Roch theorems for higher algebraic i^-thcory. Advances in Maths., 40, 1981, 203-289.

19. M. Hovey. Model categories. AMS, Math. Surveys and Monographs, vol. 63, 1999.

20. K. Kodaira. The theorem of Riemann-Roch for adjoint systems on 3-dimensional algebraic varieties. Ann. Math., 1952, 456, 288-342.

21. H. Miller. Universal Bernoulli numbers and the ^-transfer. Canad. Math. Soc., Conference Proceedings, vol. 2, part 2, 1982, 437-449.

22. F. Morel, V. Voevodsky. Homotopy category of schemes over a base, preprint, 1997.

23. F. Morel. Basic properties of the stable homotopy category of smooth schemes, preprint received approximately in March 2000.

24. A. Neeman. Triangulated categories, Princeton University Press, 2001.

25. I. Panin, A. Smirnov. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties. K-theory Preprint Archives, 459, 2000.

26. I. Panin. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties: II, K-theory Preprint Archives, 619, 2003.

27. I. Panin. Oriented cohomology theories of algebraic varieties, K-theory, 30, 2003, 263-312.

28. I. Panin. Riemann-Roch theorems for oriented cohomology. Axiomatic, Enriched and Motivic Homotopy Theory, 2004 Kluwer Academic Publishers, 261-333.

29. D. Quillen. Higher algebraic if-theory: I, Lecture Notes in Math. 341, 1973, 85-147.

30. D. Quillen. On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory. Bull. AMS 75, 1969, 1293-1298.

31. B. Riemann. Theorie der Abelschen Funktionen. Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 54, 1857. Русский перевод "Теория абе-левых функций" в книге Б. Риман, Сочинения, ОГИЗ, 1948.

32. G. Roch. Uber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen. Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1865.

33. Yu. B. Rudyak. On Thom Spectra, Orientability, and Cobordism. Berlin, Springer, 1998.

34. Ch. Soule. Operations en if-theorie algebrique. Can. J. Math., Vol. XXXVII, No. 3, 1985, pp. 488-550.

35. A. Suslin, V. Voevodsky. Bloch-Kato conjecture and motivic cohomology with finite coefficients. In: The Arithmetics and Geometry of Algebraic Cycles, NATO Sci. Ser. С Math. Phys. Sci., 548, Kluwer Acad. Publ.,Dorttrecht, 2000, 117-189.

36. R. Thomason, T. Throbaugh. Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories. In The Grothendieck festschift, 3, 247-436, Birkhauser, Boston, 1990.

37. V. Voevodsky. A^Homotopy theory. Doc. Math., Extra Vol. ICM 1998 (I), 417-442.

38. V. Voevodsky. Reduced power operations in motivic cohomology. IHES, Publ. Math., no. 98, 1-57.

39. A. Weil. Generalisation des fonctions abeliennes. J. Math. Pures AppL, 17, 1938, 47-87.

40. O. Zariski. Algebraic surfaces. Springer-Verlag, 1971.