Некоторые аспекты теории ориентированных (ко)гомологий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СОЛЫНИН Андрей Александрович

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ОРИЕНТИРОВАННЫХ (КО)ГОМОЛОГИЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2005

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: член-корреспондент

Российской Академии наук, доктор физико-математических наук, > профессор Панин Иван Александрович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гордеев Николай Леонидович,

кандидат физико-математических наук Ягунов Сергей Алексеевич.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет.

Защита состоится "'22" июня 2005 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27. ПОМИ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199031. Санкт-Петербург, Университетская наб.. 7'9.

Автореферат разослан "%£" 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29

доктор физ.-мат. наук, профессор Нежинский В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Топологическими аналогами ориентированных теорий (ко)гомо-логий служат комплексные кобордизмы, комплексная К-теория, обычные когомологии и К-теории Моравы. Роль этих теорий когомоло-гий в топологии хорошо известна благодаря работам Милнора, Новикова. Адамса. Квиллена и других. Отличительная черта таких теорий когомологий — наличие гомоморфизмов следа (по-другому, гомоморфизмов прямого образа) для отображений гладких замкнутых ориентированных многообразий. Если теория когомологий фиксирована. то совокупность таких гомоморфизмов (по одному для каждого отображения многообразий) удобно называть интегрированием на данной теории когомологий по аналогии с интегрированием дифференциальных форм (эти гомоморфизмы обладают формальными свойствами, очень похожими на свойства интегралов). Если фиксирована теория гомологий, то совокупность таких гомоморфизмов (по одному для каждого отображения многообразий) неудобно называть интегрированием на данной теории гомологий. Поэтому используется другой термин — структура следа на данной теории гомологий. В целях единообразия этот же термин используется вместо термина "интегрирование"и при рассмотрении когомологий.

Настоящая диссертация направлена на развитие некоторых аспектов теории ориентированных (ко)гомологий, заданных на алгебраических многообразиях над произвольным полем Сама теория ориентированных (ко)гомологий на алгебраических многообразиях над произвольным полем — это часть гомотопической теории схем, введенная Паниным и Смирновым в статьях [PS], [Pal], [Ра]. Соответствующий гомологический контекст разработан Пименовым в [Pi], [Pi2], а вариант изоморфизма двойственности Пуанкаре доказан в [PY],

Своему рождению гомотопическая теория схем во многом обязана Воеводскому [V3] и его доказательству гипотезы Милнора [VI]. Последовательно развивая идеи Гротендика, Воеводский создал язык, на котором можно свободно говорить о гомотопических конструк-

циях. оставаясь целиком в рамках алгебраической геометрии. Имеются более чем серьезные основания предполагать, что в рамках гомотопической теории схем удастся атаковать и решить еще не одну старую проблему.

Цель работы. Изучение свойств ориентированных теорий (ко)-гомологий. Ориентирование теории когомологий по одному элементу. установление равносильных свойств согласованности, доказательство некоторых полезных формул.

Методы. Широко используются классические методы алгебраической геометрии, такие как деформация к нормальному конусу. Используются перенесенные в алгебраическую геометрию методы теории векторных расслоений, например, принцип расщепления.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Выделим следующие основные.

1 Доказана ориентируемость теории когомологий (и построено соответствующее ориентирование), снабженной элементом Черна. Также построено ориентирование теории когомологий, снабженной элементом Тома.

2 Доказана теорема о согласованности ориентирований когомологий и гомологий в мультипликативной паре. Также доказана теорема согласованности ориентирования и двойственности Пуанкаре.

3. Обобщены на случай произвольной ориентированной теории когомологий формулы, широко известные в частных случаях -- формула самопересечения, формула типа Гротендика и эксцесс-формула для старшего класса Черна.

4. Получены гомологические аналоги вышеперечисленных формул.

5. Введена структура Эйлера и доказана ее эквивалентность структуре Черна.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты главы 3 используются в [Pi2] для ориентирования алгебраических кобордизмов. Прочие результаты могут быть использованы при изучении конкретных ориентированных теорий (ко)гомологий.

Апробация работы. Основные результаты были изложены на следующих семинарах.

1) Санкт-Петербургский городской алгебраический семинар имени Д. К. Фаддеева. 2004, 2005.

2) Санкт-Петербургский городской семинар по дифференциальной и алгебраической топологии им. В. А. Рохлина, 2002.

3) Seminar K-theory, Homotopy Theory and Related Topics, Bielefeld, 2003.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1 - 4], приведенных в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 85 страниц машинописного текста и состоит из введения, шести глав, разделенных на 17 параграфов, и списка литературы из 36 наименований.

Краткое содержание работы

В диссертационной работе рассматриваются в основном ориентированные теории когомологий и гомологий. Превые две главы имеют вводный характер и посвящены аккуратному определению ориентированных теорий когомологий и гомологий соответственно. Также в этих главах напоминаются свойства и конструкции, используемые далее. Мы не даем здесь строгого определения ориентированной теории когомологий по причине тяжеловесности этого определения. Говоря наивно, в ориентированной теории когомологий должны быть введены гомоморфизмы прямого образа (т.е.

ковариантная структура) для проективных морфизмов алгебраических многообразий (в класс проективных морфизмов входят замкнутые вложения, проекции вида Г х I —> X и их композиции). Аналогами в других областях математики могут служить интегрирование дифференциальных форм, трансфер в когомологиях групп. Топологи часто задают гомоморфизм прямого образа через двойственность Пуанкаре. Гомоморфизмы прямого образа обозначаются в диссертации /■ и называются гомоморфизмами следа.

В ориентированных теориях когомологий для любого векторного расслоения Е вводятся:

— классы Черна с,(Е) <Е Л*(А');

— класс Тома € Л\(Е), доставляющий изоморфизм Тома А'(X) Л'Х{Е).

Обратно, наличие классов Черна (или хотя бы первого класса Черна для линейных расслоений) или классов Тома линейных раслоений позволяет получить ориентированную теорию когомологий.

В ориентированных теориях гомологий, напротив, должен быть гомоморфизм обратного образа, заданный на проективных морфиз-мах. Классы Черна и Тома в гомологическом контексте заменяются на гомоморфизмы Черна и Тома (обычно подразумевается, что гомоморфизмы Черна и Тома являются П-умножением на когомологические классы Черна и Тома).

Элементы Черна и Тома.

В третьей главе диссертации рассматриваются элементы Черна и Тома и ориентирование теории когомологий, снабженной одним из этих элементов (любым).

Определение 1 Центральный элемент с 6 Д*(Р°°) называется

элементом Черна, если для любого флага I С V ^ А;00, состоящего из одно- и двумерного векторного пространства, элемент с\ — г у (с) переходит в 0 в группе .Д*(Р(/)) = Л*(рЬ), и оператор

(и1,ис! ) : Л*(рО ®Ат(рг) -4 Л*(Р(Г)) является изоморфизмом.

Определение 2 Центральный элемент ¿Л € -4рм(С?сс (~1)) на~ зывается элементом Тома, если для любого одномерного подпространства I С кх оператор

1ДЛ,: л-(Р(0) !)) = ^„,(0

является изоморфизмом.

Целью главы 3 является доказательство теорем, позволяющих всего из одного элемента (Черна или Тома) вырастить ориентирование теории когомологий. При этом теория должна быть снабжена изоморфизмом надстройки.

Теорема 1 Пусть А" - теория когомологий, снабженная изоморфизмом надстройки. Для элемента Черна с существует единственная структура Черна Ь с(Ь), такая что ограничение с(Ь) на 0( — 1) есть с.

Если две структуры Черна Ь с'1' (Ь) и Ь ^ с(2,(Ь) совпадают на 0( — 1), они совпадают на любом линейном расслоении.

Пусть теперь дан элемент Тома. Следующая теорема показывает, что с его помощью легко получить элемент Черна и, сгедова-тельно, ориентировать теорию когомологий.

Теорема 2 Пусть г : Г00 —> 0ос( — 1) — нулевое сечение, и пусть гА : Ар~(0(-1)) Л'(0(-\)) -

оператор расширения носителя. Пусть с = {гА о г'-4)(ЬК), где £Л — элемент Тома. Тогда с — .мемент Черна.

Также доказана теорема о взаимно однозначном соответствии элементов Черна и Тома.

Теорема 3 Пусть А* — теория когомологий, снабженная изоморфизмом надстройки. Тогда в диаграмме

Элементы Тома А Элементы Черна

0 Т 7 4 Т 7-1

Структуры Тома -А Структуры Черна

каждая стрелка является биекцией и любая круговая композиция совпадает с тождественным отображением.

Теоремы согласованности в мультипликативных парах.

В четвертой главе мы переходим в контекст мультипликативных пар. Мультипликативная пара состоит из теории когомологий и теории гомологий, связанных между собой мультипликативными структурами.

Основными результатами главы 4 являются две теоремы согласованности. В первой из них каждая из теорий (гомологий и когомологий) предполагается ориентированной. Изучается вопрос об условиях согласованности этих ориентирований. Например, в [РУ] в качестве условия согласованности ставится условие на гомоморфизмы следа, а в [Хе] — условие на классы Черна. В диссертации доказывается эквивалентность этих условий. А именно, гомоморфизм Черна в гомологиях является П-умножением на когомологический класс Черна тогда и только тогда, когда для линейных расслоений верна формула з^в'(а) = в;(1) Па.

Вторая теорема согласованности связывает двойственность Пуанкаре и ориентирования теорий. В топологии гомоморфизмы следа часто задаются через двойственность Пуанкаре. Но в контексте [РУ]. наоборот, двойственность Пуанкаре доказывается, исходя из ориентированности теорий (как хорошо известно из топологии, в неориентированных теориях двойственность Пуанкаре имеет место не для всех многообразий). Следующая теорема доказывает правомерность задания гомоморфизмов следа через двойственность Пуанкаре.

Теорема 4 Пусть (/>,/!) — согласованные структуры следа на Л* и Л, соответственно, и пусть Т>'х{а) = аП [X] — изоморфизм Пуанкаре. Тогда для любых проективных многообразий X, У и любого морфизма / : У —» X выполнены равенства

/! = (Ъ-хГЧаТ>у

Гомоморфизм Гизина в ориентированных теориях кого-мологий.

Основным содержанием пятой главы является доказательство следующих трех теорем. За е(Аг) обозначен старший класс Черна расслоения N. За гдУц обозначен гомоморфизм Гизина. В диссертационной работе так называется гомоморфизм следа, определенный только для замкнутых вложений.

Первая из трех формул — формула самопересечения. Она показывает, чему равна композиция гомоморфизма Гизина и обратного образа включения.

Теорема 5 (Формула самопересечения) Пусть X — многообразие, — его подмногообразие, Nx/Y ~~ нормальное расслоение У в X, г : У у X включение, Л" — ориентированная теория когомоло-гий. Тогда

(гА°гду$)(х) =х1)е(№).

Частный случай следующей теоремы можно найти в [Сг].

Теорема 6 (Формула типа Гротендика) Пусть X многообразие. Е - векторное расслоение над X, г : X —> Е - нулевое сечение, з ■ X —► Е — другое сечение, трансверсально пересекающее г. Пусть

У = {х € Х|з(.г) = г(х)} - множество нулей расслоения а и г : У <—» X — соответствующее включение. Пусть Д* - ориентированная теория когомологий. Тогда

г9У.(1у) = е(Е).

Частными случаями теоремы 7 являются эксцесс-формулы из [ВБЬ [Ри].

Теорема 7 (Эксцесс-формула) Пусть А* — ориентированная теория когомологий, и пусть о : X -> X — сигма-процесс с центром У. Рассмотрим р : «4*(Р(7У)) —»• X Обозначим за Е фскторрассло-ение р* (./V) по тавтологическому расслоению Ьлт. Тогда

аА о г9уя{х) = ЗдУв(рА{х) и е(Е)).

Гомоморфизм Гизина в орентированных теориях гомо-логий.

В главе 6 доказываются гомологические аналоги формулы самопересечения, формулы типа Гротендика и эксцесс-формулы. Также доказывается гомологический вариант принципа расщепления и формула типа проекции.

Теорема 8 (Принцип расщепления для гомологии)

Пусть Е — векторное расслоение ранга п над гладким многообразием X. Тогда существует гладкое многообразие Т и такой морфизм г : Т —> X, что векторное расслоение т*(Е) является прямой суммой линейных расслоений, и для любого замкнутого подмножества 2 С X и 5 = г"1 оператор гд : А+(Т) А?{Х) является расщепляющейся сюръекцией.

Теорема 9 (Гомологическая формула самопересечения)

Пусть А, — ориентированная теория гомологий. Пусть г : У — замкнутое вложение гладких многообразий с нормальным расслоением N Тогда следующая диаграмма коммутативна:

Теорема 10 (Формула типа проекции) Пусть А» — ориентированная теория гомологий. Пусть г: У у X — замкнутое вложение гладких многообразий, и пусть Е —► X — векторное расслоение. Тогда

Теорема 11 (Гомологическая формула типа Гротендика)

Пусть А* — ориентированная теория гомологий. Пусть X — гладкое многообразие, Е/Х — векторное расслоение, в : X Е —

.4.(7) —'¿-4 А(Х)

А.(¥) А.(Г).

1зу*е{Е) = е(г'*(£))г9!"

сечение Е, трансверсально пересекающее нулевое по подмногообразию У Тогда следующая диаграмма коммутативна:

Теорема 12 (Эксцесс-формула для гомологии) Пусть А» — ориентированная теория гомологий, и пусть а : X —> X — сигма-процесс с центром У. Рассмотрим р : А* (Р(Л/')) —* X Обозначим за Е факторрасслоение р*(Лг) по тавтологическому расслоению . Тогда

А,{Х) Л, (Г)

А,(Х) Д.(У).

А,( X)

РА

МУ)

АЛ X)

Литература

АН. М. F. Atiyah, F. Hirzebruch, Cohomologie-Operationen und charakteristische klassen, Math.Zeitschr. 77 (1961), 149-187.

В. P Brosnan. Steenrod operations in Chow theory, BFSM, http://www.math.uiuc.edu/K-theory// 1999.

BS. A. Borel, J. P. Serre, Le theoreme de Rimann-Roch, BFSM, 86 (1958), 97-136

CF. P. E Conner, E. E. Floid, The relation of cobordism to К-theory, Lect. Notes Math., 28 (1966), Springer-Verlag, Berlin.

Dy. E. Dyer, Relations between cohomology theories, Col. Alg. Topology (1962), 1-10.

FF. A. T, Фоменко, Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Москва, 1989.

Fu. W. Fulton. Intersection theory, Springer-Verlag, 1984.

Наг. R. Hartshorne, Algebraic geometry Graduate texts in Mathematics 52, 1977.

Hi. F. Hirzebruch, Topological methods in algebraic geometry, Die Grundlehren der-Mathematischen Wissenschaften, SpringerVerlag, b 131 1966.

Gr. A. Grothendieck, Bull. Soc. Math. France, 86 (1958), 136-154.

J. J. Jouanolou, Une suite exacte de Mayer-Vietoris en K-the'one algebnque, Lect. Notes Math., 341 ,1973.

Me. A. Merkurjev, Algebraic oriented cohomology theories, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/053o/ 2002.

MS. Дж. Милнор, Дж. Сташеф, Характеристические классы, Москва, 1979.

MV. F. Morel, V. Voevodsky, Homotopy cathegory of schemes, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0305/, 1998.

Xe A. Nenashev. Projective bundle theorem in homology theories with Chern structure, http://www.math.umc.edu/K-theory/0668/. 2003.

Xe2. A. Nenashev, Gysm maps in oriented theories, http://www.math.uiuc.edu/K-theoiy/0695/, 2004.

Pa. I. Panin. Push-forwards in Oriented Cohomology Theories of Algebraic Varieties■ II, Preprint POMI, 17, 2002.

Pal. I. Panin. Oriented cohomology theories on algebraic varieties, K-theory, 549 (2003). the Basse volume.

Pa2. I. Panin, Riemann-Roch Theorem for Oriented Cohomology, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0552/, 2002.

Pi. K. Pimenov, Traces in oriented homology theories of algebraic varieties, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0667/, 2003.

Pi2. K. Pimenov, Traces in oriented homology theories of algebraic varieties II, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0724/, 2005.

PS. I. Panin, A. Smirnov. Push-forwards in Oriented Cohomology Theories of Algebraic Varieties, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0459/, 2000.

PY. I. Panin, S. Yagunov, Poincare duality for projective varieties, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0576/, 2002.

PY2. I. Panin, S. Yagunov, Rigidity for orientable functors, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0489/

St. P Стонг, Заметки no теории кобордизмов, Москва, 1973.

VI. V. Voevodsky, The Milnor conjecture, MPI-preprint, 1997, no. 8.

V2. V. Voevodsky, Homological theory of presheaves with transfers, In "Cycles, Transfers and Motivic Homology Theories"(Edit. V. Voevodsky, A. Susiin, E. Friedlander), Annals of Math. Studies 143 (2000), Princeton University Press.

V3 V. Voevodsky, A1 -Homotopy theory, Doc. Math., Extra Vol ICM 1998 (I), 417-442.

Публикации автора по теме диссертации

1. А.А.Солынин. "Гомоморфизм Гизина в обобщенных теориях когомологий", препринт ПОМИ, 2003.

2. A.A.Solynin. "Chern and Thorn elements in the representable cohomology theories". PDMI preprints, 2004.

3. А.А.Солынин. "Теоремы согласованности в мультипликативных парах", PDMI preprints. 2005.

4 А. A.Solynin. "Euler structures and Gysin homomorphism in oriented homology theories", PDMI preprints, 2005.

ЛР №040815 от 22.05.97 Подписано к печати ?(лГ2005г Формат бумаги 60X90 1/16 Бумага

офсетная.

Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз Заказ \* ■ Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ

с оригинал-макета заказчика. 198904, Санкт-Петербург, Ст Петергоф, Университетский пр.,2.

»11031

РНБ Русский фонд

2006-4 14198

Введение.

0.1 Терминология и обозначения

1 Ориентированные теории когомологий

1.1 Теории когомологий.

1.1.1 Основные определения.

1.1.2 Основные свойства теорий когомологий.

1.2 Классы Черна и Тома.

1.2.1 Структуры Черна и классы Черна.

1.2.2 Классы Тома.

1.2.3 Ориентирования.

1.3 Структуры следа.

1.3.1 Определение структуры следа.

1.3.2 Структуры Гизина.

1.3.3 Отображение Квиллена

1.3.4 Конструкция структуры следа.

2 Ориентированные теории гомологий

2.1 Теории гомологий.

2.1.1 Определение.

2.1.2 Основные свойства теорий гомологий.

2.2 Структуры Черна и Тома

2.2.1 Структуры и классы Черна.

2.2.2 Структуры Тома и ориентирования

2.3 Структуры следа.

2.3.1 Определение.

2.3.2 Структуры Гизина.

2.3.3 Отображение Квиллена

2.3.4 Конструкция структуры следа.

2.4 Мультипликативные пары и двойственность Пуанкаре.

2.4.1 Мультипликативные пары.

2.4.2 Двойственность Пуанкаре.

3 Элементы Черна и Тома в теориях когомологий с изоморфизмом надстройки

3.1 Гомотопическая категория.

3.1.1 Определение гомотопической категории.

3.1.2 Изоморфизм между группой гомотопических классов и группой Пикара.

3.2 Элементы Черна и Тома.

3.2.1 Элементы Черна.

3.2.2 Элементы Тома.

4 Двойственность Пуанкаре в мультипликативных парах

4.1 Теоремы согласованности

4.1.1 Согласованные структуры следа.

4.1.2 Согласованность структур следа и двойственности

4.2 Обратная формула проекции.

4.2.1 Случай проективизированного расслоения

4.2.2 Случай замкнутого вложения.

4.2.3 Случай проекции.

5 Гомоморфизм Гизина в ориентированных теориях когомологий

5.1 Структура Эйлера и формула самопересечения.

5.1.1 Структуры Черна и Эйлера.

5.1.2 Формула самопересечения.

5.2 Формула типа Гротендика для старшего класса Черна.

5.2.1 Случай универсального расслоения.

5.2.2 Случай линейного расслоения над аффинным многообразием

5.2.3 Случай линейного расслоения над произвольным многообразием

5.2.4 Редукция к линейному расслоению.

5.3 Эксцесс-формула для обобщенных теорий когомологий.

5.3.1 Лемма о диаграмме специального вида.

5.3.2 Редукция к нормальному расслоению.

5.3.3 Окончание доказательства эксцесс-формулы.

6 Гомоморфизм Гизина в обобщенных теориях гомологий

6.1 Структура Эйлера и некоторые формулы в теориях гомологий

6.1.1 Структуры Черна и Эйлера.

6.1.2 Формула самопересечения.

6.1.3 Формула типа проекции.

6.2 Формула типа Гротендика.

6.2.1 Случай универсального расслоения.

6.2.2 Случай линейного расслоения над аффинным многообразием

6.2.3 Случай линейного расслоения над квазипроективным многообразием

6.2.4 Редукция к линейному расслоению.

6.3 Эксцесс-формула для гомологий.

6.3.1 Случай ретракции.

6.3.2 Редукция к нормальному расслоению.

6.3.3 Окончание доказательства.

Настоящая диссертация направлена на развитие некоторых аспектов теории ориентированных (ко)гомологий, заданных на алгебраических многообразиях над произвольным полем. Сама теория ориентированных (ко)гомологий на алгебраических многообразиях над произвольным полем — это часть гомотопической теории схем, введч,нная Паниным и Смирновым в статьях (PS], [Pal], [Ра]. Соответствующий гомологический контекст разработан Пименовым в [Pi], [Pi2], а вариант изоморфизма двойственности Пуанкаре доказан в [PY].

Своему рождению гомотопическая теория схем во многом обязана Воеводскому [V3] и его доказательству гипотезы Милнора [VI]. Последовательно развивая идеи Гротендика, Воеводский создал язык, на котором можно свободно говорить о гомотопических конструкциях, оставаясь целиком в рамках алгебраической геометрии. Имеются более чем серьезные основания предполагать, что в рамках гомотопической теории схем удастся атаковать и решить еще не одну старую проблему.

Топологическими аналогами ориентированных теорий (ко)гомологий служат комплексные кобордизмы, комплексная К-теория, обычные когомологии и К-теории Моравы. Роль этих теорий когомологий в топологии хорошо известна благодаря работам Милнора, Новикова, Адамса, Квиллена и других. Отличительная черта таких теорий когомологий — наличие гомоморфизмов следа (по-другому, гомоморфизмов прямого образа) для отображений гладких замкнутых ориентированных многообразий. Если теория когомологий фиксирована, то совокупность таких гомоморфизмов (по одному для каждого отображения многообразий) удобно называть интегрированием на данной теории когомологий по аналогии с интегрированием дифференциальных форм (эти гомоморфизмы обладают формальными свойствами, очень похожими на свойства интегралов). Если фиксирована теория гомологий, то совокупность таких гомоморфизмов (по одному для каждого отображения многообразий) неудобно называть интегрированием на данной теории гомологий. Поэтому используется другой термин — структура следа на данной теории гомологий. В целях единообразия этот же термин используется вместо термина "интегрирование"и при рассмотрении когомологий.

Структурно работа разделена на шесть глав.

В первой главе приводятся основные определения и конструкции из [Ра], используемые в дальнейшем во всей работе. В первом параграфе дается определение теории когомологий, приводятся основные свойства теорий когомологий. Второй параграф целиком посвящен ориентированию теории когомологий. В [Ра] доказано, что наличие структур Черна, или Тома, или ориентирования теории когомологий суть одно и го же (такие структуры будем называть эквивалентными); более того, приведены конструкции, позволяющие из одной структуры получать любую другую, причем конструкции эти обратны друг другу.

Третий параграф первой главы посвящен построению структуры следа на ориентированной теории когомологий. Во многих теориях когомологий определен гомоморфизм прямого образа (часто он называется трансфером, гомоморфизмом следа или гомоморфизмом Гизина). В статьях [PS] и [Ра] подведена 5 общая концепция построения гомоморфизмов следа; мы же коротко напоминаем основные конструкции. Гомоморфизм прямого образа строится не для произвольного морфизма, а лишь для проективных морфизмов. Любой проективный морфизм / : X —» У раскладывается в композицию замкнутого вложения г : X —► Р™ х У и проекции р : Р™ х У —► У. Естественно определять гомоморфизм прямого образа отдельно на замкнутых вложениях (такую конструкцию мы называем гомоморфизмом Гизина и используем в двух последних глава«) и на проекциях (отображение Квиллена).

Итак, как следует из (Ра], на ориентированной теории когомологий существуют одновременно семь эквивалентных структур — структура Черна, теория классов Черна, структура Тома, теория классов Тома, ориентирование, структура Гизина и структура следа, и задание одной структуры из этого списка автоматически порождает все остальные. В текущем тексте появятся еще три эквивалентные структуры — структура Эйлера (это не что иное, как старшие классы Черна), элемент Черна и элемент Тома (но последние две структуры эквивалентны предыдущим не на всех теориях когомологий, а удовлетворяющих дополнительному необременительному требовалию).

Вторая глава двойственна первой. Те же самые эквивалентные структуры вводятся на теории гомологий (их эквивалентность доказывается в [Р1] и [Р12]).

Хочется отметить несколько различий между когомологиями и гомологиями. Основное отличие заключается в том, что когомологии обычно предполагаются снабженными Ц-произведением; гомологии же в отдельности лишены мультипликативной структуры. Поэтому в когомологиях мы можем говорить про элементы, подразумевая под этим гомоморфизмы умножения на эти элементы. Коммутирование двух таких гомоморфизмов есть просто коммутирование соответствующих элементов. В теориях гомологий мы должны сразу говорить о гомоморфизмах. Кроме того, гомоморфизмы Черна (или Тома) должны задаваться аксиоматически на группах гомологий с носителями аксиоматически, что делает все конструкции более громоздкими. Гомоморфизмы следа определены в [Р1] и [Р12] без носителей, и конструкция получения структуры Черна из гомоморфизма следа в указанных статьях отсутствует.

Во многих примерах теории гомологий и когомологий существуют вместе, и, более того, тесно связаны между собой. Последний параграф второй главы посвящен мультипликативным парам, определение мультипликативной пары дается, следуя [РУ]. Для этого требуется ввести четыре мультипликативные структуры — одну в когомологиях, одну в гомологиях и две смешанные. В контексте [РУ] обе теории предполагаются 2/2-градуированными.

Содержанием третьей главы является введение еще двух дополнительных эквивалентных структур на теории когомологий — элементов Черна и Тома. От теории требуется дополнительное свойство — наличие изоморфизма надстройки. Это свойство не является обременительным — например, все теории когомологий, представимые Т-спектрами, указанному свойству удовлетворяют.

В классической топологии хорошо известна теорема об универсальном расслоении (см. [РР], [МЭ]), утверждающая, что любое линейное расслоение индуцируется универсальным. Таким образом, чтобы задать структуру Черна (или 6

Тома) на теории когомологий (в категории вещественных многообразий), достаточно задать один элемент, соответствующий классу Черна (Тома) универсального расслоения. Ясно, что ориентировать теорию с помощью одного элемента часто бывает удобнее, чем определять класс Черна для любого линейного расслоения (например, именно так ориентируются алгебраические кобордизмы в [П2]).

В алгебраической геометрии нет теоремы об универсальном расслоении. Все же, если теория когомологий снабжена изоморфизмом надстройки, аналогичный результат верен и в контексте [РЭ]. Для этого первоначально строится гомотопическая категория и определяется множество классов [Х.Р00]. В 3.1.2 вводится бинарная операция на [X, Р00], Доказывается, что [X,Р°°] является группой, и, одновременно, — что эта группа изоморфна группе Пикара Р1с(Х). Этот изоморфизм позволяет нам распространить элемент Черна с универсального расслоения на произвольное линейное расслоение и доказать, что полученная структура является структурой Черна. Конец главы посвящен построению структуры Тома из элемента Тома. Это построение не является прямым. Сначала из элемента Тома строится элемент Черна. Пользуясь уже доказанным, элемент Черна эквивалентен структуре Черна, а та, в свою очередь, — структуре Тома. Наконец, доказывается, что указанные конструкции биективны (и таким образом элемент Тома становится полноправной эквивалентной структурой).

В четвертой главе мы возвращаемся в контекст мультипликативных нар. В этой главе преследуются две цели.

Первая цель четвертой главы состоит в следующем. Пусть обе теории (гомологии и когомологии) являются ориентированными. Естественно предположить, что ориентирования (или любые эквивалентные структуры) на гомологиях и ко-гомологиях должны быть согласованными. В специальной литературе это сделано двумя способами: в [РУ] рассматриваются не теории, а лишь ориентированные предтеории; в этом случае удобно определять согласованность через соотношения гомоморфизмов следа (см. определение 2.10). В [Ые] основной целью является доказательство гомологического варианта теоремы о проективизированном расслоении, и, значит, удобно вводить согласованность структур на языке классов Черна, а именно: гомоморфизм Черна в гомологиях есть Л-умножение на когомологический класс Черна. Эквивалентность согласованностей в смысле [Ке] и [РУ] доказывается в теореме 4.1.

В уже упоминавшейся статье [РУ] после формулировки основного результата (двойственность Пуанкаре) приводится следствие (2.3 в |РУ]), связывающее двойственность Пуанкаре и гомоморфизмы следа. Эта связь является очень важной с точки зрения классической топологии — в топологии гомоморфизмы следа задаются через двойственность Пуанкаре по формулам из следствия 2.3 в [РУ]. Тем не менее, указанное следствие в [РУ] не доказывается. Доказательство этого следствия (в настоящей работе — теорема 4.2) является второй целью четвертой главы. Для этого нужна обратная формула проекции, доказательство которой занимает второй параграф четвертой главы.

Пятая глава посвящена доказательству трех формул для ориентированных теорий когомологий на алгебраических многообразиях, анонсированных И. А. Паниным и А. Л. Смирновым в [РБ]. Этими формулами являются формула са7 мопересечения, формула типа Г роте иди ка для старшего класса Черна и формула эксцесса. Структурно работа разделена на 3 параграфа. В первом параграфе вводится еще одна эквивалентная структура — структура Эйлера. Как доказано в первом параграфе, класс Эйлера является старшим классом Черна некоторой теории классов Черна. Так как в данной работе все три формулы содержат лишь старшие классы Черна, становится удобно работать со структурой Эйлера. В заключении первого параграфа доказывается первая из трех указанных формул — формула самопересечения.

Второй параграф полностью посвящен формуле типа Гроте иди ка для старшего класса Черна. Доказательство этой формулы разбито на четыре части. Сперва рассматривается случай универсального расслоения над проективным пространством. Этот случай удобен тем, что мы умеем вычислять когомологии проективных пространств. Затем формула доказывается для линейного расслоения над аффинным многообразием. Затем рассматривается случай любого линейного расслоения. Наконец, используя принцип расщепления, производится редукция к линейному расслоению, что завершает доказательство общего случая.

Содержанием третьего параграфа является формулировка и доказательство эксцесс-формулы. Сперва доказывается общая лемма 5.5, потом происходит редукция к нормальному расслоению и подгонка нашего случая к условиям леммы 5.5.

Шестая глава двойственна пятой в том же смысле, в котором вторая глава двойственна первой. Целью шестой главы является доказательство гомологических аналогов формулы самопересечения, формулы типа Гротендика и эксцесс-формулы. Как и во второй главе, элементы заменяются гомоморфизмами, и тем самым вместо формул получаются коммутативные диаграммы. Как и в пятой главе, вводится структура Эйлера (на теории гомологий), доказывается ее эквивалентность структуре Черна. В первом параграфе доказывается формула самопересечения. Также в первом параграфе доказывается гомологический принцип расщепления и формула типа проекции, необходимая для доказательства эксцесс-формулы. Второй параграф посвящен формуле типа Гротендика, третий — эксцесс-формуле. Доказываются они по той же схеме, что и их когомологические аналоги.

0.1 Терминология и обозначения

Пусть к — поле. Термин "многообразие"в этом тексте означает гладкое квазипроективное многообразие. Мы фиксируем следующие обозначения: Ab — категория абелевых групп, Sm — категория гладких многообразий,

SrnOp — категория пар (X, {/)> в которых X — гладкое многообразие, а U является открытым подмножеством X. Морфизмами являются морфизмы пар.

Мы отождествляем категорию Sm с полной подкатегорией SmOp, считая многообразие X парой (X, 0), pt = Spec(k), 8

Для гладкого многообразия X и эффективного дивизора Б С X мы обозначаем за Ь{П) линейное расслоение над X, пучок сечений которого равен Их (О) (см. [Наг], СЬ. II, 2.6.13)

Р(К) = Proj(S*(Vv)) — пространство прямых конечномерного векторного ^-пространства V,

Ьу = Оу{—1) — тавтологическое линейное расслоение над Р(V), Р(£) — пространство прямых векторного расслоения Е, Ье = Ое(— 1) — тавтологическое линейное расслоение на Ое{\) — двойственное расслоение к С>£;(—1), Еу — векторное расслоение, двойственное к Е, г : X —» Е — нулевое сечение векторного расслоения Е, в : X —► Р(1 ® Е) определяется как композиция г и вложения Е в Р(1 Ф Е). Отображение в также называется нулевым сечением.

Д : X —> X х X всюду обозначает диагональное вложение. 9