Толерантные кубические сингулярные гомологии и спектральная последовательность Лере-Серра толерантного расслоения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

КЛЯЕВА Инна Александровна

ТОЛЕРАНТНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЛЕРЕ-СЕРРА ТОЛЕРАНТНОГО РАССЛОЕНИЯ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 2009

Ульяновск - 2009

003471289

Работа выполнена на кафедре компьютерной алгебры и теории чисел механико-математического факультета в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Небалуев Сергей Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится «16» июня 2009 года в 1230 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: Набережная р. Свияги, 106, корп.1, ауд.703

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул.Л.Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом - на сайте вуза http:// www.uni.ulsu.ru

Автореферат разослан « £> tlUM, 2009.

Ученый секретарь диссертационного совета:

профессор Бредихин Дмитрий Александрович доктор физико-математических наук, профессор Гришин Александр Владимирович

Ведущая организация: ГОУ ВПО Самарский государственный

университет

М.А. Волков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Применение методов гомологической алгебры в теории отношений начинается с работы Доукера1 1956 года, в которой впервые были определены группы гомологий произвольных отношений. В 1962 году Зиман2 выделил перспективные в математическом и прикладном смысле отношения толерантности и определил для них группы гомологий, отличные от групп Доукера. Отношения толерантности по определению Зимана - это рефлексивные и симметричные бинарные отношения, являющиеся наиболее общей математической моделью схожести. Пару, состоящую из множества и заданного на нем отношения толерантности, Зиман назвал толерантным пространством. Интерес к толерантным пространствам сразу проявился со стороны специалистов по теории управления, теории автоматов, математической лингвистике3 4 5 6 7 8 9.

В 1970 году была опубликована программная работа Зимана и Быо-немаиа10, в которой ряд важных прикладных тем были сформулированы на языке теории толерантных пространств в виде конкретных математических задач. Однако решение этих задач затруднялось неразвитостью гомологической теории толерантных пространств и практическим отсутствием теории толерантной гомотолии. Начиная с конца 80-х годов, в се-

lDov>ker CH. Homology groups of relations // Ann. of Math. 1956. Vol. 56.

2Zeeman E.C. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds /Ed. M.K. Fort, 1962.

3Арбиб M. Теория автоматов с точки зрения теории управления // Сб. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. С.185-265.

MrtiЪ М.А. Tolerance automata // Kybernetik. 1967. № 3.

sMiiir A., Womer M. W. Homology theories and tolerance automata // Diacrete Math. 1981. № 33.

'Uuir A., Warner M. W. The decomposition of tolerance automata // Kybernetes. 1980. K< 9.

7Muir A., Worrier M. JV. Homogeneous tolerance space // Czech. Math. J. 1980. № 30.

8Шрейдер Ю.А. Пространства толерантности // Кибернетика № 2.1970.

9Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок // М.: Наука, 1971.

103иман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг // Сб. На пути к теоретической биологии. М.: Мир, 1970.

рии работ Небалуева С.И.11 " 1л 14 10 была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой был решен ряд задач, в том числе и некоторые задачи, поставленные Зиманом и Бьюнеманом:'. На этом новом этапе развития теории толерантных пространств дальнейший прогресс связан с решением следующих задач: доказать толерантный аналог теоремы Гу-ревича о связи гомотопических и гомологических групп, обобщающий толерантную теорему Пуанкаре11; перейти от точных толерантных гомологических последовательностей11 к толерантным спектральным последовательностям; продолжить изучение толерантных расслоений и накрытий, что стимулируется и идеями работы Зимана и Бьюнемана'1.

Наиболее важной и сложной частью всех этих задач является построение и вычисление спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения, что и стало основной темой диссертации. Для построения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра необходимо было подобрать подходящие группы гомологий толерантных пространств. Поэтому значительная часть диссертации посвящена разработке теории пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий, удовлетворяющих необходимым свойствам: они естественно изоморфны гомологиям Зимана, они подходят для построения спектральной последовательности Лере-Серра, при их построении ис-

11 Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств // Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2006.

12Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула 2003. С.166-167.

, л*НебаАуев С.И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.Вып.2. С.15-30.

"Яебалуее С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник. Труды VI международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и прложения».Тула, 2004. Т.V. Вып. 1(9). С. 144-152.

15Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств // Чебышевский сборник. Труды VI международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы я приложения». Тула, 2004. XV. Вып. 3(11). С.64-97.

пользуются толерантные сингулярные кубы, что позволяет с их помощью изучать толерантные гомотопические группы. Другой важной частью диссертации является доказательство ряда важных свойств толерантных сингулярных кубов в толерантных расслоениях, что в результате позволило получить толерантную спектральную последовательность Лере-Серра классического вида с соответствующими вычислительными возможностями.

Наконец, отметим, что гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств все еще находится на этапе своего становления, и поэтому весьма актуальным остается продолжение разработки новых собственных технических методов для решения специфических задач теории толерантных пространств. В этом направлении в диссертации разработаны и использованы следующие методы: процедура полного двойного замедления и способы ее применения, основанные на теореме 2.9 и предложении 2.3; методика итерационного подъема толерантного сингулярного куба в пространство толерантного расслоения.

Подводя итог вышесказанному, можно сделать вывод, что как объект диссертационного исследования - толерантные пространства,- так и предмет - гомологическая спектральная последовательность толерантного расслоения,- являются актуальными и перспективными.

Цель работы. Решить следующие задачи:

1. Построить гомологический функтор пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий на категории толерантных пространств так, чтобы группы гомологий определялись с помощью пунктированных толерантных сингулярных кубов.

2. Разработать технику полного двойного замедления толерантных сингулярных кубов и построить промежуточные гомологические функторы, с помощью которых доказать естественную изоморф-ность функтора пунктированных ТКС гомологий и функтора го-

мологий Зимана.

3. Доказать свойства толерантных сингулярных кубов толерантного расслоения, необходимые для построения спектральной последовательности этого расслоения.

4. Доказать существование представления фундаментальной группы базы толерантного расслоения в группе автоморфизмов группы го-мологий слоя этого расслоения.

5. Построить сходящуюся спектральную последовательность толерантного расслоения с помощью специальной весовой фильтрации в группе пунктированных нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей пространства этого расслоения.

6. Вычислить первые два члена построенной спектральной последовательности и показать её полную аналогичность классической спектральной последовательности Лере-Серра.

Методы исследования. В работе использовались методы теории групп, гомологической алгебры, алгебраической топологии и теории толерантных пространств.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты работы расширяют арсенал алгебраических методов, используемых для изучения толерантных пространств. Эти результаты могут быть использованы в тех разделах математики и ее приложений, которые занимаются дискретными математическими моделями. Они также могут использоваться для математического моделирования неоднозначного поведения сложных объектов. Результа-

ты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов СГУ, СГТУ, СамГУ.

Научная новизна. К новым результатам, представленным в данной работе, нужно отнести следующие:

1. Построены гомологические функторы толерантных кубических син-гулярных(ТКС) гомологий и простых ТКС гомологий на категории толерантных пространств и доказана их изоморфность.

2. Доказана изоморфность функтора простых ТКС гомологий и функтора гомологий Зимана на категории толерантных пространств.

3. Определена конструкция полного двойного замедления толерантного сингулярного куба, и доказана тривиальность действия полного двойного замедления на группы ТКС гомологий.

4. С помощью свойств полного двойного замедления доказана теорема о пунктировании толерантных сингулярных кубов.

5. С помощью теоремы о пунктировании построен гомологический функтор замедленных ТКС гомологий и доказаны две теоремы о его изоморфности функтору ТКС гомологий и функтору пунктированных ТКС гомологий на категории линейно связных толерантных пространств.

6. Доказаны свойства толерантных сингулярных кубов толерантного расслоения, необходимые для построения спектральной последовательности толерантного расслоения, и, в частности, доказана теорема о представлении фундаментальной группы базы толерантного расслоения в группе автоморфизмов группы пунктированных ТКС гомологий слоя.

7. Построена спектральная последовательность толерантного расслоения и показана ее сходимость.

8. Определены накрытые пунктированные ТКС гомологии базы толерантного расслоения и доказана их изоморфность пунктированным ТКС гомологиям базы.

9. Доказаны две теоремы о вычислении первого и второго члена спектральной последовательности толерантного расслоения.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Изоморфность гомологических функторов ТКС гомологий, простых ТКС гомологий и функтора гомологий Зимана на категории толерантных пространств.

2. Теорема о пунктировании толерантных сингулярных кубов, основанная на свойствах конструкции полного двойного замедления толерантного сингулярного куба.

3. Изоморфность функтора замедленных ТКС гомологий, функтора ТКС гомологий и функтора пунктированных ТКС гомологий на категории линейно связных толерантных пространств.

4. Теоремы о свойствах толерантных сингулярных кубов толерантного расслоения, служащие для построения спектральной последовательности толерантного расслоения.

5. Сходимость спектральной последовательности толерантного расслоения и теоремы о вычислении первого и второго члена этой последовательности .

Личный вклад. Решение поставленных задач, доказательство утверждений, приведенных в диссертационной работе, анализ, обоснование результатов и выводы по ним получены автором самостоятельно.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры компьютерной алгебры и теории чисел С ГУ, на науч-

ных конференциях на механико-математическом факультете СГУ (20072008), на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию Е.В.Воскресенского (Самара, 2007), на Международной алгебраической конференции, посвященной столетию со дня рождения А.Г.Куроша.(Москва, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, в том числе 2 статьи из списка ВАК. Список статей приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Первая глава содержит 3 параграфа. Вторая глава — 7 параграфов. Третья глава содержит 4 параграфа. Список литературы содержит 33 наименования. Общий объем диссертации - 150 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий исторический обзор по тематике диссертации, постановку задач и сжатое описание содержания работы в связи с поставленными задачами.

Параграф 1.1 начинается с определения толерантного пространства

Определение 1.1 Толерантным пространством называется пара (Х,т), где X — некоторое множество, а т С X х X — отношение толерантности на этом множестве, то есть рефлексивное и симметричное бинарное отношение:

(Vx 6 X) (х, х) 6 г и (Vxi,x2 6 X) (хих2) € г => (.г2, х{) 6 г.

Затем определяются толерантные(и сильно толерантные) отображения, сохраняющие толерантность(и ядерные отношения), и толерантная гомотопность этих отношений.

Определение 1.3 Два толерантных отображения /о, /1 : (X, т) —» (У, в) назовем толерантно гомотопными относительно подмножества А С X и обозначим /о ~ /1 (ге1 А), если существует натуральное число п и толерантное отображение Р : {X х /„, т х сп) —► (У, в) такое, что

В этом определении (/„, сп) - толерантное пространство, называемое толерантным отрезком длины п, в котором

Далее описываются основные категории толерантных пространств, включая категорию толерантных гомотопических типов.

Параграф 1.2 содержит обзор изоморфных функторов Н,Н, НА толерантных симплициальных гомологий на категории толерантных пространств.

Параграф 1.3 посвящен основному понятию толерантного расслоения.

Определение 1.6 Толерантное отображение р : (Е,т) —♦ (В, т) назовем толерантным расслоением (в смысле Гуревича), еслир обладает свойством накрывающей гомотопии относительно любого толерантного пространства (У, в). В этом случае (Е,т) будем называть пространством расслоения, (В,т) - базой расслоения, р~1{Ь) - слоем над точкой Ь 6 В.

Определение 1.7 Толерантным путем длины п в пространстве (Х,г) назовем толерантное отображение шп : (/П,4П) —► (Х,т). Точки ип(0) и ип(1) называются началом и концом пути и>п. Если и>„(0) = соп(1) — х0, то шп называется толерантной петлей в точке Х().

1. (Уж е X) *•(*,(>) = /о(я);

2. (УябХ) Р(х,1) = /1(х);

3. (Ух е А) (V* = М) - /0(®).

Затем строится толерантное пространство толерантных

путей пространства (Х,т). С помощью этой конструкции определяется накрывающая функция толерантного отображения и получается достаточное условие толерантного расслоения, с помощью которого строится ряд важных примеров толерантных расслоений. Завершается параграф 1.3 доказательством свойств линейной связности пространства толерантного расслоения и всех его слоев. Методы этого доказательства существенно используются в главе 3.

Глава 2 полностью посвящена построению новых гомологических функторов на категории толерантных пространств, которые изоморфны функторам из 1.2 и являются подходящими для построения спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения.

В параграфе 2.1 строится функтор Н® толерантных кубических сингулярных гомологий(ТКС гомологий). В параграфах 2.2 и 2.3 вычисляются нульмерные ТКС гомологии и гомологии толерантно стягиваемых пространств. В параграфе 2.4 построен функтор Я,у простых ТКС гомологий и доказаны

ТЕОРЕМА 2.4 Определенные выше гомологические функторы Я4 и Я5 естественно изоморфны.

ТЕОРЕМА 2.5 Для каждого толерантного пространства {X, т) имеются изоморфизмы групп гомологий

(V п ^ о) н*(Х) г н^х) й нп(Х),

естественные по (Х,т).

В параграфе 2.5 определены £ -вырожденные толерантные сингуляр-ные(ТС) кубы, которые не зависят хотя бы от одного из I последних аргументов. С помощью £ -вырожденности определяются функторы Н1 ТКС гомологий.

ТЕОРЕМА 2.6 Для каждого £6 N имеется естественный по (Х,т) изоморфизм = : Нп\х) = //п'+1'(Лг)| функторов

ЯШ и

Из теоремы 2.6 следует, что Я^ = что в дальнейшем позволяет

под вырожденностью ТС куба понимать именно 1-вырожденность.

В параграфе 2.6, с учетом сокращенных обозначений 1т = 1(.......т„) =

х (/,„., х 1т,.), X = (X, т), определяется важное понятие полного двой-1=1 1=1 ного замедления

Определение 2.4 Полным двойным замедлением ТС куба и : —* X назовем ТС куб й : /¿у —> X такой, что М* = 2тгц + 1, г = 1,п, и

На цепном комплексе {С„(Х) = Яп{Х)/Эп{Х),дп}п^й, где (¿п{Х) -группа, порожденная п - мерными ТС кубами, Оп{Х) - подгруппа, порожденная вырожденными ТС кубами, определено цепное отображение

ТЕОРЕМА 2.7 Имеется естественная по (Х,т) цепная гомото-пия

Основная тема параграфа 2.7 - пунктированные ТКС гомологии. Определение 2.5 Толерантное пространство (X, т) с отмененной

71

точкой aro € X будем называть пунктированным. ТС куб и : х 1ГГЦ —*

X назовем пунктированным, если все его вершины находятся в точке Хо, то есть (V = 0,1, г = 1,п) и(е1,..., £«) = жц.

ТЕОРЕМА 2.8 Пусть ((Х,г),хо) пунктированное линейно связное

п

толерантное пространство. Для каждого ТС куба и : х /тМ(„) —► X найдется число к(и) е N и {0} и такой ТС куб

(V ki = 0, Ми г = 1, п

Vх = {rf} : С{Х) - С(Х), <p*(u + Dn(X)) = й + Dn{X).

Vх ^ 1с{х).

¡=i

которые удовлетворяют следующим свойствам:

(П.1) (V г = 1, п)(У £ = 0,1) Л(<$(и)) ^ Ци); ■ (П.2) ¿?(У(и)) = иуЛМ;

(П.З) с1\(У(и)) — пунктированный ТС куб;

(П.4) если и — вырожден , то У(и) — вырожден ;

(П.5) если и — пунктированный, то

Л(и) = 0, Мг(и) - тах{тп^(и)\ г = 17"}, = тМ(и), г = Т/п и

( кг № № \ ( № № \ {и) \М!(иУ МЩи)"''' МЩи)) и ^Ч")''''' ™(п)(")) '

(П.6) (Уг = 2,п + 1)(Уг = 0,1)

<И(У(и» = (<У (4-1(«)))у"г(иЬ,,(<-1(и))))11М1{и);

(П.7) если и = {и'Ун, то к{и) = А(и') и К(и) = (^(«'))УЛ; (П.8) если и = ¿{И 1,..., Нп)(и'), то к(и) ^ Л(г*')/ (П.9) если и = (У(и'))1М, то Л(и) = Л(и') и У(и) = и^М о ДМ,-(П.10) если и = и' о Д(—».«)/ то л(и) = /,(и') и у(и) = 7(и') о Д("'8+1).

Здесь ¿¡(и) = ц| ф) и4"1 — И, -кратное полное двойное замедление;

гаСЧ(ч)

/и- -л—а)/ \\ $ / и>

(V) = 1,п)(УМ ти,(«)) ЧШ = < , _

(. г4(,)=ти>(и), 4мчпЫ(»).М;

¿(Ль..., Л„)(«) : - х, = 2л-(т» + 1) - 1,» =

М«) ((ж)^) = « ((¿I

(Ут, е N,2 = = М) ДМ : (д х (д'т.) - ¿Л*,

(V А^ = ОТт*г = Т~п) (V = 07гп7) Д^ ...,....,£) =

тах^,,^} кг, \

гП1'' ' '' т, ' ' '' ' т„ у '

Определение 2.7 ТС куб У(и) будем называть пунктированием ТС куба и, число /г(и) — границей пунктируемости для и, а ТС кубы вида <$1(У(и)) — пунктируемыми.

Далее строится функтор НУ(Х) замедленных ТКС гомологий с помощью ТС кубов цуЛ, /1 > Н{и), и доказывается

ТЕОРЕМА 2.9 Группы ТКС гомологий и группы замедленных ТКС гомологий линейно связного толерантного пространства (Х,т) изоморфны друг другу:

(V п ^ 0) (3 у>„ : Н*{Х) £ Н1 {X)).

Затем с помощью пунктированных ТС кубов определяется функтор Н'(Х) пунктированных ТКС гомологий и доказывается

ТЕОРЕМА 2.10 Для всякого линейно связного пространства (X, т) группы Н' = {Я*} пунктированных ТКС гомологий и группы. = {Я,У} замедленных ТКС гомологий изоморфны, то есть

(V п > 0) Ц-(Х) * Щ(Х).

Отметим, что изоморфизмы в теоремах 2.9 и 2.10 естественны на категории линейно связных толерантных пространств.

На протяжении главы 3 рассматривается пунктированное толерантное расслоение р : ((Е,т), х0) —> ((В, т),Ьо), хо 6 р'1(Ьо) = Р, в котором база (В, г) и слой т) являются линейно связными толерантными пространствами.

Определение 3.1 Будем говорить, что ТС куб и : /(т(1)....,т<»>) —» X имеет вырожденность равную ¿, если (УАЮ

(№ к?Л (№ п п

а ТС куб V = и|к,(П-(+1)_,-)сп=о : /(т(1),...,т<"-'>) —> X является невырожденным (точнее 1-невырожденным).

Определение 3.2 ТС куб и : /(т(цг.1т(")) —Е имеет вес ¡/(и) = в, если ТС кубр о и : /(т(1),...,тМ) ' В имеет вырожденность Ь = п — е.

Для произвольного ТС куба и : /(„¡(¡>.....тм) —> Е возьмем числа и/

такие, что в + < = п, 5 > г/(м), и определим два ТС куба

: ^(т«1),...,™!-)) В, Тц{и) : /(,„(•+!),.,.,т(.+0) -*

Д»(*0 = (Р° «)|«»+ч=...=*('+о=о> = ии(»=...=к(')=о-

ТЕОРЕМА 3.1 Пусть имеются два произолъных пунктированных ТС куба

и 1(тЩи).....т(')(и)) &> у 1(тт{у).....т<'>(„))

где линейно связные толерантные пространства (В,т) и (Р, г) являются базой и отмеченным слоем пунктированного толерантного расслоения

р:((£,г),х0)-»((В,г)А), х0 е р~\Ь0) = Р С Е

и пусть 11(и) и 1г{и) - два неотрицательных целых числа, определяемые следующими формулами

( 3 пунктированный ТС куб и' 6 Е) р о и' =

12(и) = £ 2 [2^и))(т«(и) + 1) - 1] + 1.

¡=17

Тогда существует пунктированный ТС куб в котором

М®(и) = 2'1^(т«(и)+1)-1, г = М; = 2Ма(и)(ти(»)+1)-11 з

и который удовлетворяет следующим свойствам: (\¥.1) и{у>) ^ 5,

Ва(ш) = и^"', (\У.З) ЛИ = ««-М»), (W.4) = М)(Уе = М)

« (-1 (Ш.5) V — вырожденный ю — вырожденный.

Основным результатом параграфа 3.2 является следующая теорема

ТЕОРЕМА 3.3 Пусть р : (Е, г) —* (В, т) толерантное расслоение с линейно связными базой (В,г) и слоем (Р = р~1(Ьо),т). Сопоставление каждому классу толерантно гомотопных петель £ я(В,Ьо) автоморфизма Фн € Лu((Я•(F)) определяет представление (гомоморфизм) фундаментальной группы ж(В,Ьо) базы (В,т) в группу автоморфизмов группы гомологий Н'(Р) слоя (Р,т).

Построение автоморфизма Ф(и] осуществляется с помощью частного случая теоремы 3.1 и допускает различные вариации, что в дальнейшем используется при вычислении второго члена спектральной последовательности Лере-Серра.

В параграфе 3.3 доказывается утверждение, уточняющее теорему 3.1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5 Пусть ги : х /т<>)(т) —> Е - произвольный пунктированный ТС куб, удовлетворяющий условию и{ш) < е. Возьмем соответствующие ТС кубы в базе и слое

и = Ва(ю) : х 1т(Чи) —> В, т^(и) = т^(го), г = 17«; V = : х 1тЩп) —♦ тЩу) = з = М-

.у

Определим натуральные числа 12 = ¿2 (и) = 2

¡=1

= + 1) - 1, ^ = М, М = 2('2+1 - 1.

Тогда существует пунктированный ТС куб

л+t I

Ds(w): х /mW(ü) х IM х х IMw(v) —» E, который удовлетворяет следующим свойствам

(DI) v(Ds(w)) ^ s;

(£>2) B.,(D.,(w)) = (B,(w)) = Щ

(£3) JF,(D») = =

(•04) cfs+1(Ds{w)) = 4+1(L>») = W(u,t;);

i i

s í-1

(1)6) í > O, w - вырожден => Ds(w) - вырожден.

Параграф 3.4 начинается с построения фильтрации

U С* = С'(Е), С* С C"+1, 3(CS) С Cs

группы пунктированных нормализованных ТКС цепей С" = С"(i?) такой, что C,s свободно порождается классами w = и + D'(E) невырожденных пунктированных ТС кубов и, удовлетворяющих условию v(u) < s. Все группы С3 градуированны

Cs = Ф (С* П С') = © С®.

С присоединенной градуированной группой

д{С) = в>&, с4 £ cvc4"1 = ® съ с,4; = c'/cf-1,

s п^О

связываются короткие точные последовательности

О —» С*"1^ Cs-> С3 -* 0, (1)

определяющие точную пару16 <£(С") = (D, £\ i,j,k), в которой

V = ®VS!V/¿ H{CS), E = ®Ss,£sdí H(CS),

s s

ÍBXy Сы-цзян. Теория гомотопий // M.: Мир, 1964.

а гомоморфизмы i,j,k определяются гомоморфизмами точных гомологических последовательностей для (1). Точная пара <Н(С") имеет двойную градуировку

V = ©2>flt) V4 i Ha,t{C"), £ = ®£s,e, £s,t = WS«(C'S).

s,f s.t

Производные точные пары16 <£m(C") = (Т>т,£т\Фп'>, fe(m)) определяют спектральную последовательность {ф £}m>i- В работе показыва-

s,t ,

ется, что эта спектральная последовательность сходится, и вычисляются члены £ = £1 и

Для этого определяется цепной комплекс

К* = Cr(B)®C*{F)> дР(а®Ъ) i (-1 )"а®дЬ,

где С ¡'(В) - группа s-мерных накрытых пунктированных ТКС цепей базы (В,т), которые определяются с помощью пунктированных ТС кубов в (В, г), имеющих пунктированные накрытия в (Е,т). Группы гомоло-гий комплекса {С^(В)}яро называются накрытыми ТКС гомологиями.

ТЕОРЕМА 3.5 Группы пунктированных ТКС гомологий Н'(В) = ф Я,"(В) и группы накрытых ТКС гомологий НР(В) = ф Щ(В) изоморфны друг другую т.е.

(Vn ^ 0) (З^п : Н'(В) S Я£(В)).

В диссертации показывается, что гомоморфизм ф : С" К3, такой, что

ф{и} + С*~х)= u®v, и — Bs(w), v = Fs(w),

индуцирует гомоморфизмы £a,t = CJ(B) ® Ht{F).

ТЕОРЕМА 3.6 Для каждой пары целых чисел (s, t) гомоморфизм ■0s,t является изоморфизмом ф$х : £s,t — Cf(B) ® Ht{F).

ТЕОРЕМА 3.7 Для любой пары целых чисел s,t изоморфизм ф индуцирует изоморфизм ipf) : £„t = HS(B; Ht(F)) однородной подгруппы

степени (в, V) второго члена спектральной последовательности толерантного расслоения р : ((Е,т)) —» ((В,т)) на в -мерную группу накрытых пунктированных ТКС гомологии базы (В, т) с локальными коэффициентами в группе 4 -мерных пунктированных ТКС гомологий слоя {Р,т).

В этой теореме гомологии Н(В; Н(Р)) с локальными коэффициентами в.Я(^) определяются с помощью действия фундаментальной группы 7т(В, Ь0) на группе гомологий Я^), которое описывается в теореме 3.3.

В заключении отмечается, что построенная спектральная последовательность является толерантным аналогом спектральной последовательности Лере-Серра, а способ построения делает ее пригодной для изучения толерантных гомотопических групп.

Основные результаты и выводы.

1. Разработана техника полного двойного замедления ТС кубов со свойством тривиальности действия на группы ТКС гомологий, с использованием которой доказана теорема о пунктировании ТС кубов.

2. Получен гомологический функтор пунктированных ТКС гомологий на категории линейно связных толерантных пространств, естественно изоморфный функтору гомологий Зимана и подходящий для построения спектральной последовательности толерантного расслоения.

3. Получен ряд специальных свойств ТС кубов толерантного расслоения, необходимых для построения спектральной последовательности толерантного расслоения.

4. В терминах точных пар с помощью специальной весовой фильтрации в группе пунктированных нормализованных ТКС цепей построена сходящаяся спектральная последовательность толерантного расслоения.

5. Вычислены первые два члена спектральной последовательности и показана ее аналогичность классической спектральной последовательности Лере-Серра.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность и искреннюю признательность своему научному руководителю доценту Сергею Ивановичу Небалуеву. Также автор благодарен доктору физико-математических наук, профессору Александру Васильевичу Михалёву за внимание к работе и ценные советы.

Работы автора по теме диссертации

В журналах, входящих в список ВАК

1. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского государственного университета. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. Вып.7(57). С.134-151. (1.06 пл., соискателем выполнено 50% работы)

2. Кляева И.А. Спектральные последовательности толерантных расслоений // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия «Математика. Механика. Информатика.» Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. т.8. Вып.4. С.13-18. (0.4 п.л.)

В журналах, не входящих в список ВАК

3. Кляева И. А. Гомологии толерантных сфер // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.7.С.50-53. (0.25 п.л.)

4. Небалуев С.И., Клята И.А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научи. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З. С.93-106. (0.9 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

5. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Толерантные кубические сингулярные гомологии // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып.8. С.92-95. (0.25 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

6. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Теория толерантных кубических сингулярных гомологий // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып.4. С.89-115. (1.6 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

7. Кляева И.А. Гомологии приведенных толерантных кубических сингулярных цепей различной вырожденности // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С.27-29. (0.2 п.л.)

8. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Спектральная последовательность толерантного расслоения // Международная алгебраическая конференция, посвященная столетию со дня рождения А.Г.Куроша. Материалы докладов. М.: Изд-во механико-математического ф-та МГУ, 2008. С.174-175. (0.125 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

Подписано в печать 30.04.2009 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Объем 1.5 леч.л. Тираж 120

экз. Заказ № 085. Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство №3117 410600, Саратов, ул. Московская, д.152 офис 19, тел. 26-18-19, 51-16-28

Введение

1 Основные понятия

1.1 Категории толерантных пространств.

1.2 Симплициальные гомологии толерантных пространств

1.3 Толерантные расслоения.

2 Теория толерантных кубических сингулярных гомологий

2.1 Построение групп толерантных кубических сингулярных гомологий.

2.2 Нульмерные толерантные кубические сингулярные гомологии.

2.3 Толерантные кубические сингулярные гомологии стягиваемых пространств.

2.4 Простые толерантные кубические сингулярные гомологии.

2.5 Гомологии нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей различной вырожденности.

2.6 Полное двойное замедление толерантного сингулярного куба.

2.7 Пунктированные толерантные сингулярные кубические гомологии.

3 Спектральная последовательность толерантного рассло

3.1 Основная теорема о сингулярных кубах толерантных расслоений

3.2 Действие фундаментальной группы базы на группе гомологий слоя толерантного расслоения.

3.3 Уточнение основной теоремы о сингулярных кубах толерантных расслоений.

3.4 Построение спектральной последовательности толерантного расслоения

Методы гомологической алгебры в теории отношений впервые были применены Доукером в работе [28] 1956 года, в которой он определил группы гомологий произвольных отношений. Затем Зиман в работе [33] 1962 года определил отношения толерантности, весьма перспективные как с математической, так и с прикладной точки зрения, для которых гомологическая алгебра оказалась естественным инструментом исследования. Зиман, применяя алгебро- топологические методы для моделировани работы зрительного анализатора, предложил в качестве наиболее общей математической модели понятия схожести использовать рефлексивные и симметричные бинарные отношения, которые он назвал отношениями толерантности. Пару, состоящую из множества и заданного на этом множестве отношения толерантности, Зиман назвал толерантным пространством. Типичными примерами толерантных пространств, естественно возникающих при приближенных измерениях и вычислениях, являются метрические толерантные пространства. Такие пространства состоят из множеств, на которых имеются метрики, а толерантность пары точек имеет место по определению, если они удалены друг от друга менее чем на некоторую фиксированную величину, связанную с точностью измерений или вычислений. Конечно же, метрические пространства далеко не исчерпывают все примеры и применения толерантных пространств. Так, например, особый интерес к конечным толерантным пространствам с толерантностями, не связанными с метриками, был проявлен со стороны специалистов по теории автоматов (см. работы [1], [27], [29] - [32]) и специалистов по математической лингвистике (см. [24], [25]).

В 1970 году была опубликована программная статья Зимана и Бью-немана (см. [3]). В этой статье некоторые важные и интересные вопросы, связанные с математическим моделированием в области теоретической кибернетики и биологии, были сформулированы на языке теории толерантных пространств в виде конкрентых математических задач. Однако, решение этих задач затруднялось неразвитостью гомологической теории толерантных пространств и практическим отсутствием теории толерантной гомотопии. Достаточно отметить, что к середине 80-х годов имелось несколько совершенно различных (и даже не изоморфных) способов определения групп гомологий толерантных пространств, и одновременно не было предложено ни одного способа построения фундаментальных групп толерантных пространств, не говоря уже о высших гомотопических группах. Все это, в частности, тормозило развитие теории толерантных накрытий и толерантных расслоений, которые, согласно идее Зимана и Бьюнемана [3], являются подходящим инструментом описания неоднозначности в поведении сложных систем.

Начиная с конца 80-х годов, в серии работ Небалуева С.И. (см. библиографию в [16] и [8], [10], [11], [13]) была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой был решен ряд задач, в том числе и некоторые задачи, сформулированные в работе [3]. В упомянутых выше работах Небалуева, в частности, были получены стандартные точные гомологические последовательности (пары, Майера-Виеториса), формула Кюннета, были определены фундаментальная группа и высшие гомотопические группы толерантных пространств и доказаны теоремы о точных гомотопических последовательностях пары и толерантных расслоений. Была также доказана теорема Пуанкаре для толерантных пространств об изоморфизме группы 1-мерных гомологий и фактора фундаментальной группы по \ коммутанту. После того как были получены эти результаты, стали актуальными следующие задачи: посторение и изучение спектральных последовательностей и доказательство теоремы Гуревича для толерантных пространств о связи высших гомотопических групп с группами гомологий. В классическом алгебро-топологическом случае одной из наиболее важных спектральных последовательностей является спектральная последовательность расслоения, или спектральная последовательность JTepe-Ceppa, с помощью которой получается одно из доказательств теоремы Гуревича. Поэтому наиболее актуальной задачей описываемого направления в теории толерантных пространств стала задача построения спектральной последовательности Jlepe-Ceppa толерантного расслоения, изучения ее свойств и вычисления первых ее членов. Решение этих задач является основной целью представленной диссертации.

При построении спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения необходимо было выбрать подходящее определение групп гомологий толерантного пространства. В алгебраической топологии при классическом способе построения спектральной последовательности Лере-Серра используются кубические сингулярные гомологии (см. [22], [23]). В работе [29] был предложен вариант определения толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологий. Однако, эти гомологии имеют ряд серьезных недостатков: во-первых, ТКС гомологии из [29] не инвариантны относительно толерантной гомотопии, определяемой по классической схеме; во-вторых, они не изоморфны группам гомологий Зимана и Небалуева и, следовательно, не удовлетворяют упомянутой выше теореме Пуанкаре. Это делает группы ТКС гомологий из работы [29] непригодными для решения поставленных задач. Поэтому вторая глава диссертации полностью посвящена построению теории ТКС гомологий, подходящих для получения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра.

При построении подходящей теории ТКС гомологий решалось две задачи: во-первых, эти гомологии должны быть естественно изоморфны гомологиям Зимана, а, во-вторых, группы таких гомологий должны порождаться пунктированными толерантными сингулярными (ТС) кубами, все вершины которых отображаются в отмеченную точку. Для этого сначала определяются группы ТКС гомологий Н®(Х) и простых ТКС гомологий HS(X) толерантного пространства (Х,т). Важность гомологий HS(X) заключается в том, что для них доказывается их естественная изоморфность гомологиям Зимана Н{Х). Недостаток гомологий HS(X) состоит в том, что пунктированные простые ТС кубы тривиальны, то есть являются постоянными отображениями. Чтобы в последствии иметь нетривиальные пунктированные ТС кубы, мы должны перейти к гомологиям Н®{Х). При этом доказывается теорема о естественной изоморф-ности HS{X) и Н®(Х). От гомологий Н®(Х) перейти к пунктированным ТКС гомологиям Н'(Х) удается с помощью конструкции полного двойного замедления ТС кубов и весьма громоздкой теоремы 2.8. Конструкция полного двойного замедления позволяет экспоненциально увеличивать размеры ТС кубов, сохраняя группы гомологий, порождаемые этими кубами. С помощью конструкции полного двойного замедления доказывается естественная изоморфность групп Н®(Х) и вспомогательных групп HW(X) замедленных ТКС гомологий. С помощью теоремы 2.8 доказывается естественная изоморфность замедленных ТКС гомологий НУ{Х) и пунктированных ТКС гомологий Н'(Х) . В результате на категории толерантных пространств получаем гомологический функтор пунктированных ТКС гомологий Н'(Х) , подходящий для построения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра, и изоморфный функтору гомологии Зимана Н(Х).

Построение спектральной последовательности Лере-Серра пунктированного толерантного расслоения р : ((E,t),xq) —> ((£?,т),&о) начинается с доказательств ряда важных свойств ТС кубов пространств (Е, т) и (В, г), связанных В- и Т- проекциями. Одним из следствий этих свойств является задание представления фундаментальной группы пт(В, Ь0) базы (В,т) расслоения в группе автоморфизмов AutH(F) группы гомо-логий H(F) слоя F — о), что позволяет определить важные для дальнейшего группы Н(В\ H(F)) гомологий базы (В,т) с локальными коэффициентами в группе гомологий слоя (F,t).

В заключительной части диссертации с помощью полученных свойств ТС кубов толерантного расслоения строится в терминах точных нар спектральная последовательность { ф £st}n^i- Доказываются свойства этой последовательности, из которых следует ее сходимость. Затем вычисляется первый член этой последовательности £Sjt = СР(В) <g> Ht{F), где СР(В) - цепной комплекс накрытых пунктированных нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей. При этом в диссертации доказывается, что группы гомологий НР(В) комплекса СР(В) изоморфны группам гомологий Зимана Н{В). Наконец, выполняется вычисление второго члена = HS(B\Ht(F)). Полученные результаты имеют совершенно классический вид, что позволяет назвать последовательность { ф £st\n^ 1 толерантной спектральной последовательностью s,te Z

Jlepe-Ceppa толерантного расслоения.

Заключение

По аналогии с алгебро-топологической классикой построенную спектральную последовательность можно назвать спектральной последовательностью Лере-Серра толерантного расслоения. Поскольку в ее построении были использованы пунктированные ТКС гомологии, то эта спектральная последовательность пригодна для изучения гомотопических групп толерантных пространств.

1. Арбиб М. Теория автоматов с точки зрения теории управления // Сб. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. С.185-265.

2. Зиман Э., Въюнеман О. Толерантные пространства и мозг // Сб. На пути к теоретической биологии. М.: Мир, 1970.

3. Кляева И.А. Гомологии толерантных сфер // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.7.С.50-53.

4. Кляева И.А. Спектральные последовательности толерантных расслоений // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия «Математика. Механика. Информатика.» Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. т.8. Вып.4. С.13-18.

5. Кляева И. А. Гомологии приведенных толерантных кубических сингулярных цепей различной вырожденности // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып.10. С.27-29.

6. Небалуев С.И., Шимельфениг О.В. Автоматоматно- игровая модель управления поведением // Сб. Анализ и синтез конечных автоматов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. С.38-42.

7. Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула 2003. С. 166-167.

8. Небалу ев С.И. Накрывающие преобразования толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр.Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.2. С.30-35.

9. Небалуев С.И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.Вып.2. С. 15-30.

10. Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник. Труды VI международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и прложения».Тула, 2004. T.V. Вып. 1(9). С.144-152.

11. Небалуев С.И. Классификационные теоремы для толерантных накрытий // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып.6. С.97-99.

12. Небалуев С.И. Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств // Чебышевский сборник. Труды VI международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и прложения». Тула, 2004. T.V. Вып. 3(11). С.64-97.

13. Небалуев С.И. Расслоенные толерантные пространства // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З. С. 79-93.

14. Небалуев С.И., Кляева И.А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З. С.93-106. t

15. Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

16. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Толерантные кубические сингулярные гомологии // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып.8. С.92-95.

17. Небалуев С.И.,Кляева И. А. Теория толерантных кубических сингулярных гомологий // Исследования по алгебре, теории чисел, функционалыюму анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып.4. С.89-115.

18. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского государственного университета. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. Вып.7(57). С.134-151.

19. Спеньер Э. Алгебраическая топология // М.: Мир, 1971.

20. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий // М.: Мир, 1966.

21. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий // М.: Мир, 1964.

22. Шрейдер Ю.А. Пространства толерантности // Кибернетика № 2. 1970.

23. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок // М.: Наука, 1971.

24. Arbib М.А. Automata theory and control theory: a rapprochement // Automatica. 1966. № 3.

25. Arbib M.A. Tolerance automata // Kybernetik. 1967. № 3.

26. Dowker C.H. Homology groups of relations // Ann. of Math. 1956. Vol. 56.

27. Muir A., Worrier M. W. Homology theories and tolerance automata // Diacrete Math. 1981. № 33.

28. Muir A., Worner M.W. The decomposition of tolerance automata // Kybernetes. 1980. № 9.

29. Muir A., Worner M. W. Homogeneous tolerance space // Czech. Math. J. 1980. № 30.

30. Muir A., Worner M. W. Lettice valued relations and automats // Diser. Appl. Math. Vol. 7. № 1.

31. Zeeman E.C. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds /Ed. M.K. Fort, 1962.