Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Категории толерантных пространств

1.1 Толерантные пространства и толерантные отображения

1.2 Категория толерантных гомотопических типов.

1.3 Фундаментальная группа толерантного пространства

2 Группы гомологий толерантных пространств

2.1 Определение групп гомологий толерантного пространства

2.2 Аксиома толерантной гомотопии для гомологий толерантных пространств.

2.3 Сравнение различных определений гомологий.

2.4 Связь между фундаментальной группой и группой одномерных гомологий толерантного пространства.

2.5 Точные последовательности в теории толерантных пространств

2.6 Группы гомологий прямого произведения толерантных пространств.

3 Толерантные вложения и гомологические эквивалентности

3.1 Гипотеза Зимана.

3.2 Хорошие покрытия толерантных пространств

3.3 Дискретные толерантные вложения и гомологические эквивалентности.

Методы гомологической алгебры уже давно и успешно применяются при изучении самых разнообразных математических объектов алгебраической, геометрической и аналитической природы, таких как группы, кольца, поля, алгебры, топологические пространства, дифференциальные формы и др. В 1956 году была опубликована работа Доукера [24] по гомологической теории произвольных отношений. После появления этой работы естественно встал вопрос: какие гомологии и каких отношений представляют интерес для математики и ее приложений. Вскоре, Зиманом [30] был определен класс отношений толерантности, которые оказались весьма интересными и с математической и с прикладной точки зрения, и для которых гомологическая алгебра является естественным инструментом изучения.

Диссертационная работа посвящена изучению толерантных пространств, определяемых толерантными отношениями, средствами гомологической алгебры и алгебраической топологии. На актуальность понятия толерантного пространства и важность изучения свойств таких пространств лучше всего указывают следующие слова М. Арбиба [1], который первым стал активно использовать толерантные пространства в теории автоматов.

Каждый раз, когда речь заходит об использовании понятия непрерывности, специалист по теории автоматов испытывает острую зависть к специалисту по теории управления. В связи с этим возникает следующая задача: "Как определить содержательную топологию на дискретном множестве, отличную от дискретной топологии? "Для тех ученых, которые используют конечные автоматы в виде нервных сетей с целью построения грубых моделей мозга, может оказаться интересным такой вопрос: "Каково должно быть определение непрерывности, чтобы она естественно присутствовала в поведении конечных автоматов?" Ответ на этот вопрос Арбиб получил, систематически применяя теорию толерантных пространств, разработанную Зиманом.

Английский математик Зиман, изучая работу зрительного анализатора, предложил наиболее общую математическую модель понятия схожести. Идея Зимана заключалась в том, что, при максимально абстрактном и широком подходе, отношение схожести объектов должно удовлетворять лишь двум свойствам: оно должно быть рефлексивным и симметричным. Такие бинарные отношения Зиман назвал отношениями толерантности. А пару, состоящую из множества и заданного на этом множестве отношения толерантности, Зиман определил как толерантное пространство (или пространство толерантности). В представленной работе толерантные пространства являются основным объектом изучения.

При исследовании работы зрительного аппарата обращает на себя внимание тот факт, что глаз не различает точек достаточно близких друг к другу. Однако такая неразличимость точек не является их полным тождеством. Близкие точки для глаза становятся как бы "похожими" друг на друга. Но последовательность "похожих" точек может соединять и весьма удаленные, и поэтому "не похожие" друг на друга, точки. Это говорит о том, что свойство транзитивности здесь отсутствует. Такая же ситуация имеет место и при приближенных вычислениях и измерениях. Подобные идеи явились начальным мотивом для определения толерантных пространств. Однако отметим, что определение Зимана, включая эти первоначальные примеры, далеко выходит за их рамки и становится абстрактной математической моделью сходства вообще. Тождество или эквивалентность объектов, при котором имеет место еще и свойство транзитивности, является предельным (вырожденным) случаем этой модели.

Интуиция и опыт подсказывают нам, что, устанавливая сходство между объектами, мы можем "плавно" переходить от данного объекта к другому. Поэтому не удивительно, что первым, кто обратил внимание на толерантные пространства, были специалисты по теории автоматов. М. Арбиб, цитируемый выше, был родоначальником этого направления в теории автоматов (см. работы [21],[22],[1]). Таким образом, теория толерантных автоматов возникла благодаря желанию определить на дискретных пространствах входов, состояний и выходов автомата некие "непрерывные" структуры, так чтобы и функции переходов и выходов автомата обладали бы свойством "непрерывности". Основным инструментом для этого стали толерантные пространства.

Однако, сама теория толерантных автоматов естественно приходит к необходимости решения и обратной проблемы: как переходить от непрерывных континуальных структур к их дискретному описанию. В уже цитируемой статье [1] Арбиб предлагает рассматривать работу сетчатки глаза как работу конечного автомата, для которого входное воздействие состоит в стимулировании некоторых рецепторов. При этом вся рецепторная система рассматривается как толерантное пространство, что соответствует данным физиологии и наличию порога чувствительности и остроты зрения. Кстати, известная идея персептрона Минского (см. [23]) также соответствует рассмотрению рецепторного поля как толерантного пространства. Таким образом, Арбиб представляет сетчатку как конечный автомат, множество входных воздействий которого является совокупностью подмножеств толерантного пространства. В связи с этим возникает принципиальная проблема дискретизации, которую можно сформулировать в виде следующго вопроса. Каким образом внешняя среда, имеющая в принципе непрерывную континуальную структуру, может отражаться в работе дискретно структуированной сетчатки глаза, которая функционирует как конечный автомат? Поскольку внешние сигналы воздействуют на сетчатку через рецепторы, то ответ следует искать в толерантной структуре рецепторов.

Всестороннее обсуждение и исследование проблемы дискретизации имеется в очень важной работе Зимана и Бьюнемана [7], которая была опубликована приблизительно в то же время, что и цитируемая работа Арбиба [1]. Статья Зимана и Бьюнемана привлекла внимание многих математиков, интересующихся моделированием работы мозга и других сложных систем, так как она содержала целый ряд принципиальных программных идей. Кратко опишем некоторые из положений работы Зимана и Бьюнемана.

Во-первых, в работе [7] постулируется тезис, что сложные биологические и моделирующие их кибернетические системы должны описываться с помощью толерантных пространств, так как в математике, которая применяется для описания этих систем не должно быть бесконечно малых и предельных переходов, в виду дискретной природы этих систем и тактового режима их работы.

Следующая идея работы [7] состоит в том, что, не смотря на отсутствие предельного перехода и непрерывных континуальных структур, все же исследуемым сложным системам присуща некая "геометрия", основанная на толерантных структурах, позволяющих говорить о близости точек (но не о бесконечной близости). Для описания глобальных свойств этой "геометрии" авторы работы [7] предложили воспользоваться группами гомологии, как это делается в алгебраической топологии.

Обсуждение проблемы дискретизации, о которой речь шла выше, Зиман и Бьюнеман начинают с того, что отмечают следующее пародоксальное свойство биологических систем. Не смотря на то, что структуры мозга, и в частности зрительного анализатора, дискретны (это сети нейронов, палочки и колбочки в сетчатке глаза и т.д.), тем не менее они все же отражают в существенных чертах непрерывное окружающее пространство.

Идея дискретного пространства, заменяющего непрерывное, в научной традиции не нова. Большой интерес к этой идее проявляли такие известные ученые как Риман, Максвелл и другие. В современной физике и смежных науках разработано множество моделей дискретного пространства как технического, так и принципиального характера (см. [4], )18]).

Зиман и Бъюнеман предложили исследовать проблему дискретизации с помощью толерантных пространств и их глобальных алгебро-топологических характеристик. А именно, ими была высказана замечательная гипотеза, согласно которой всякое всюду плотное толерантное вложение индуцирует изоморфизм групп гомологий. Конечно же имелось в виду применение этого утверждения к вложениям дискретных пространств. Поэтому, неформально говоря, гипотезу можно сформулировать следующим образом: если на непрерывном пространстве задана толерантность, то его можно заменить дискренным пространством с теми же гомологиями. Так как группы гомологий определяют глобальное геометрическое строение пространства, поэтому гипотезу Зимана-Бьюнемана в приложении к биологии можно сформулировать следующим образом. Поскольку порог остроты зрения задает толерантность воспринимаемых зрительных сигналов, то для отражения существенных геометрических свойств окружающего пространства достаточно конечного количества зрительных рецепторов. Отметим, что эта интригующая гипотеза не была доказана и стала одной из основных задач в предлагаемой диссертационной работе.

Еще одной важной темой в работе [7] является предложение использовать понятие расслоенного и накрывающего толерантного пространства для описания неоднозначности поведения сложных систем. В этом предложении просматривается аналогия с теорией римановых поверхностей многозначных аналитических функций. Следует отметить, что в работе [9] была высказана аналогичная идея. В этой работе был построен пример конечного автомата, реализующего оптимальную стратегию позиционной игры на графе. Эта конструкция моделировала поведение просто организованного организма в простой среде. В этой же работе было отмечено, что для моделирования неоднозначного поведения сложных организмов следует рассматривать пространства состояний моделирующих автоматов более сложной структуры, аналогичной топологическим накрытиям.

В связи с этой тематикой заметим, что топологические накрытия описываются с помощью фундаментальной группы, которая действует перестановками в слоях накрытия. Поэтому, чтобы изучать толерантные накрытия, следует определить фундаментальную группу толерантного пространства. Эта задача также не была решена раньше и является одной из главных задач настоящей диссертационной работы.

Как уже отмечалось выше работа Зимана и Бьюнемана [7] привлекла внимание многих математиков. В частности, ей заинтересовался И.М. Гельфанд и порекомендовал ее своему ученику Ю.А. Шрейдеру, который занимался "размытыми"моделями в лингвистике. Это послужило толчком к появлению работ Ю.А. Шрейдера [19] и [20]. С этих простых, но принципиально важных работ началась структурная теория толерантных пространтсв. В них были определены и проинтерпретированы такие важные понятия как класс, ядро, базис и др. На Западе эти работы вероятно оказались молоизвестными, и это по-видимому затормозило развитие теории толерантных тпространств и их приложений. Иллюстрацией к сказанному является появление в теории толерантных автоматов различных определений групп гомологий (см. [27]). При этом отсутствовали четкие критерии предпочтения для этих определений и описания взаимосвязей между ними. Вместе с тем, работы Шрейдера [19] и [20] и работа Доукера [24] позволили бы выработать систематический взгляд на все это разнообразие. Серьезным тормозом в этих исследованиях было отсутствие теории толерантной гомотопии в том классическом виде, в каком теория гомотопий имеется в алгебраической топологии.

Задача построения теории гомологий и гомотопий толерантных пространств, подобной классической алгебраической топологии, явилась отправной точкой представленной диссертационной работы.

В §1.1, следуя работам Шрейдера [19] и [20], определяются основные категории толерантных пространств и строится важный для дальнейшего ковариантный функтор из категории всех толерантных пространств в категорию безъядерных пространств.

В §1.2 систематически строится теория толерантной гомотопии, формально полностью аналогичная классическому топологическому случаю. В работе [27] изложен менее традиционный подход к построению толерантной гомотопии, не использующий толерантного единичного отрезка и гомотопирующего отображения, но в рамках этого подхода не доказаны все классические свойства гомотопии и нет примеров нетривиальной гомотопии (для бесконечных пространств). В рамках же нашего подхода доказаны все классические свойства гомотопии, и также приведены важные для дальнейшего нетривиальные примеры гомотопически эквивалентных и стягиваемых толерантных пространств.

В §1.3, используя результаты §1.2, строится фундаментальная группа толерантного пространства. При построении фундаментальной группы важную роль играет конструкция двойного замедления толерантного пути. Доказывается, что двойное замедление пути толерантно гомотопно исходному пути; сама процедура двойного замедления является гомоморфизмом частичной операции произведения путей; и что двойное замедление является толерантным отображением относительно двойной толерантности толерантного отрезка. Все эти свойства позволяют корректно определить фундаментальную группу толерантного пространства и доказать практически все свойства, которыми обладает фундаментальная группа топологического пространства.

Как уже отмечалось раньше, фундаментальная группа необходима для изучения толерантных накрывающих пространств, которые в свою очередь , необходимы для описания состояний автоматов, моделирующих неоднозначное поведение сложных систем. Фундаментальная группа толерантного пространства в работах других авторов не встречается.

В §2.1 дается функториальное определение градуированной группы гомологий толерантного пространства. Эти группы определяются с помощью ядерного симплициального комплекса. По сравнению с другими определениями групп гомологий толерантных пространств (см. [7], [27], [24]) данное нами определение имеет преимущество в меньшей размерности симплициального комплекса, по которому строятся гомологии. Так, например, для бесконечного толерантного пространства с конечным набором признаков (классов) все используемые симплициальные комплексы кроме ядерного будут бесконечномерными. А ядерный симплициальный комплекс будет даже конечным, что позволяет вычислить группы гомологий с помощью прямого алгебраического алгоритма (см. [6]).

В §2.2 доказана важная теорема об аксиоме гомотопии для толерантных гомологий, определенных в §2.1. Эта теорема позволяет сводить вычисления групп гомологий от сложных пространств к более простым.

В §2.3 сравниваются различные определения групп гомологий, наиболее часто встречающихся в теории толерантных пространств и толерантных автоматов. В частности, доказывается изоморфность групп гомологий из §2.1 и групп гомологий Зимана (см [7]). Работы Доукера [24] и Шрейдера [19] и [20], позволяют найти связующие гомоморфизмы между группами практически всех гомологий, встречающихся в теории толерантных автоматов, так как все они связаны с различными вписанными друг в друга покрытиями, связанными с отношением толерантности.

В §2.4 доказывается толерантный аналог теоремы Пуанкаре, утверждающий, что фактор-группа фундаментальной группы по ее коммутанту изоморфна группе одномерных гомологий. Эта теорема дает веский довод в пользу выбора гомологий определенных в §2.1, так как фундаментальная группа толерантного пространства не зависит от выбора какого-либо симплициального комплекса, но определяется внутренним образом по самому толерантному пространству. В процессе доказательства теоремы строится важная топологическая характеристика толерантного пространства - его сопутствующий полиэдр, функториально зависящий от самого толерантного пространства.

В параграфе §2.5 строится точная гомологическая последовательность пары и последовательность Майера-Виеториса для толерантных пространств. Эти последовательности являются важным инструментом для вычисления групп гомологий.

В §2.6 получена формула Кюннета, позволяющая вычислять группы гомологий прямого произведения толерантных пространств. Важность этой теоремы становится понятной, если вспомнить, что пространства входных слов толерантного автомата являются прямой степенью толерантного пространства входного алфавита. Доказательство формулы Кюннета основано на толерантном аналоге теоремы Эйленберга-Зильбера. А для доказательства толерантной теоремы Эйленберга-Зильбера необходимо было определить толерантный аналог сингулярных гомологий и доказать их изоморфность гомологиям из §2.1.

Наконец, глава 3 полностью посвящена гипотезе Зимана-Бьюнемана из работы [7]. В §3.1 содержится краткое обсуждение этой гипотезы и приводится ее формулировка в той терминологии, которая принята в диссертации. В этом же параграфе мы приводим контрпример, указывающий на то, что формулировку гипотезы Зимана-Бьюнемана следует изменить.

Самым трудным местом главы 3 является §3.2, в котором вводится понятие хорошего покрытия и доказывается теорема 3.2.1 о цепной гомотопической эквивалентности цепных комплексов, связанных со всеми классами толерантности, а также с классами из хорошего покрытия.

В §3.3 определяются дискретные толерантные пространства и гомологически эквивалентные толерантные пространства. В предложении 3.3.1 показывается, как с хорошим покрытием связывается дискретное толерантное пространство. Затем доказываются теоремы 3.3.2 и 3.3.3, представляющие собой идею гипотезы Зимана-Бьюнемана в исправленной формулировке.

Завершает главу 3 пример, показывающий, что хорошие покрытия получаются довольно естественно, и как ими можно пользоваться для вычислений толерантных гомологий. Хочется отметить при этом, что результаты главы 3 просто не мыслимы в топологическом случае. В самом деле, приведенный пример показывает, что окружность в толерантном метрическом пространстве гомологически эквивалентна дискретному толерантному пространству вложенному в окружность и состоящему из конечного набора точек. В то же время, если из топологической окружности удалить хотя бы одну точку, то ее гомологии тут же изменятся. А если удалить две точки, то изменятся все гомологии.

1. Арбиб М. Теория автоматов с точки зрения теории управления./ В сб.: Очерки по математической теории систем - М.: Мир, 1971, с. 185-265.

2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра- М.: Мир, 1976.

3. Ботт Р., Ту Л.В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии М.: Наука, 1989.

4. Дезин Е.Е. Многомерный анализ и дискретные модили.- М.: Наука, 1990.

5. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии,- М.: Мир, 1976.

6. Зейферт Г., Трейфалль В., Топология.-ГОНТИ. 1938.

7. Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг./ В сб. На пути к теоретической биологии. М. : Мир, 1970.

8. Куратовский К., Мостовский А . Теория множеств. М.: Мир, 1970.

9. Небалуев С.И., Шимельфениг О.В. Автоматно -игровая модель управления поведением/В сб. Анализ и синтез конечных автоматов.- Изд-во Сарат. ун-та, 1973, с. 38 42.

10. Небалуев С.И., Алгебро-топологические методы в теории распознавания образов./ Тр. Всесоюзной конф. по искусственному интеллекту. Методы и системы технической диагностики. Изд - во Сарат. ун - та, 1986, с. 100-101.

11. Небалуев С.И. Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств./ В сб. Математика и ее приложения. Изд - во Сарат. ун- та, 1988, с.43-44.

12. Небалуев С.И. Теоремы о неподвижных точках в интервальном анализе./ Тр. всесоюзн. конф. по интервальной математике Изд-во Сарат. ун-та, 1989, с.38-39.

13. Небалуев С.И. Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств./ В сб. Математика и ее приложения Изд-во Сарат. унта, 1991, с.105-107.

14. Небалуев С.И. Процедура двойного замедления толерантного пути./ В сб. Математика, механика и их приложения.- Изд-во Сарат. ун-та, 1998, с.39-40.

15. Небалуев С.И. Сравнение толерантных и комбинаторных когомологий./ В сб. Математика. Механика.- Изд-во Сарат. унта, 2000, с.87-88.

16. Спеньер Э. Алгебраическая топология,- М.: Мир, 1971.

17. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии.- М.: Наука, 1989.

18. Хармут X. Применение методов теории информации в физике.- М.: Мир, 1989.

19. Шрейдер Ю.А. Пространства толерантности./ В журн. Кибернетика, №2, 1970.

20. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок.- М.: Наука, 1971.

21. Arbib М.А. Automata theory and control theory: a rapprochement, Automatica, 3(1966): 161-189.

22. Arbib M.A. Tolerance automata, Kibernetik, 3(1967): 223-233.

23. Minsky M., Papert S. Perceptrons. An Introduction to Comptational Geometry., The M.I.T. Press, Cambridge, Massachusetts, 1969.

24. Dowker C.H. Homology groups of relations, Ann. of Math. 56(1956): 84-95.

25. Muir A., Worner M.W. The decomposition of tolerance automata, Kyber-netes, 1980, 9: 265-273.

26. Muir A., Worner M.W. Homogeneous tolerance space, Czech. Math. J., 1980, 30: 118-126.

27. Muir A., Worner M.W. Homology theories and tolerance automata, Discrete Math., 1981, 33: 209-221.121

28. Muir A., Worner M.W. Lettice valued relations and automats. Diser. Appl. Math. 1984, 7, №1: 65-78.

29. Worner M.W. Fixed blots in tolerance automata, Kybernetes, 1980.

30. Zeeman E.C. The topology of brain and visual perception, in The Topology of 3-Manifolds, M.K. Fort(ed), 1962: 240-256.