Теоремы Гуревича для толерантных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

КОРОБЧЕНКО Елена Витальевна

ТЕОРЕМЫ ГУРЕВИЧА ДЛЯ ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 адр гш

Москва - 2012

005011901

Работа выполнена на кафедре компьютерной алгебры и теории чисел механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Небалуев Сергей Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: ФБГОУ ВПО Самарский государственный

университет

Защита состоится «2» апреля 2012 года в 17.00 на заседании диссертаг ционного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 401.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педаг гогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан <-& % ¿^20/^г.

доцент Гришин Александр Владимирович профессор кафедры алгебры математического факультета ФГБОУ ВПО "Московский педагогический государственный университет" доктор физико-математических наук, профессор Бредихин Дмитрий Александрович профессор кафедры "Математика и моделирование" физико-технического факультета ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина "

и

и

Ученый секретарь диссертационного совета

О.В. Муравьева

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия были разработаны несколько направлений, использующих категорную и алгебро-топологическую технику для изучения дискретных по своей природе объектов таких, как автоматы, дискретные системы управления, вычислительные сети, параллельные вычислительные процессы, лингвистические структуры и др. В настоящее время наиболее развитыми и оформленными являются два направления, идейно и технически близкие друг другу. Первое из этих направлений связано с теорией толерантных пространств и гомологий отношений, и представлено в работах Доукера, Зимана, Мюира, Уорнера, Арбиба, Шрейдера, Небалуева и

ДРУГИХ аВТОрОВ. 12345678

Второе направление систематически использует теоретико-категорные методы и представлено работами Губо, Гаше, Йенсена, Шилдса, Хусаинова и др. 9 10 11 12 Диссертационная работа развивает первое из этих направлений и ставит своей целью доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств, устанавливающих связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. Доказательства толерантных теорем Гуревича получаются с помощью разработанного в диссертации специального метода, который является аналогом метода Серра в алгебраической топологии.

1Арбиб М. Теория автоматов с точки зрения теории управления // Сборник Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. С.185-265.

3Arbib M.A. Tolerance automata // Kybernetik. 1967. № 3.

3Muir A., Womer M. W. Homology theories and tolerance automata // Diacrete Math. 1981. № 33.

4Muir A., Womer M. W. The décomposition of tolerance automata // Kybernetes. 1980. № 9.

5Afuir A., Worner M. W. Homogeneous tolerance space // Czech. Math. J. 1980. № 30.

6Шрейдер Ю.А. Пространства толерантности // Кибернетика № 2. 1970.

7 Шрейдср Ю.А. Равенство, сходство, порядок // М.: Наука, 1971.

*Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула 2003. С.166-167.

яХусаинов А.А., Лопаткин В.Е., Трещев И.А. Исследование математической модели параллельных вычислительных процессов методами алгебраической топологии // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т.Н. №1. С.141-151.

10Хусаипов А.А., Ткачепко В.В. О группах гомологий асинхронных систем переходов // Дальневосточный математический журнал. 2005. Т.6. №1-2. С.23-38.

ilGausher P. About the globular homology of higher dimcnsional automata // Cahiers Topologie Geom. Différentielle Categ. 2002. Vol. 43. №2. P.107-156.

"Goubalt E. The Geometry of Concurrency: Ph. D. thesis. Ecole Normale Supérieure // http://www.dmi.en3.fr/g0ubalt. 1995.

Применение гомологической алгебры в теории отношений начинается с работы Доукера13. В 1962 году Зиман14 использовал методы алгебраической топологии для изучения рефлексивных и симметричных отношений, которые он назвал отношениями толерантности, и которые оказались весьма интересными, как с математической, так и с прикладной точки зрения. Пару, состоящую из множества и отношения толерантности на этом множестве, Зиман назвал толерантным пространством. Отношения толерантности в настоящее время интерпретируются как наиболее общая математическая модель понятия схожести, а толерантные пространства применяются в различных разделах „дискретной" математики для перенесения в них методов „непрерывной" математики.

В 1970 году была опубликована вджнэя работа Зимана и Бьюнема-на15, в которой ряд интересных вопросов, имеющих прикладное значение, были сформулированы как математические задачи гомологической теории толерантных пространств. Однако решение этих задач тормозилось неразвитостью теории гомологий толерантных пространств, и отсутствием сколь-нибудь продвинутого варианта гомотопической теории. В конце прошлого и в начале текущего века была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств 16 17, с помощью которой удалось решить некоторые из задач, сформулированных в работе Зимана и Бьюнемана. В частности, получены условия, при которых толерантное пространство гомологически эквивалентно своему дискретному (или даже конечному) подпространству. Эти результаты показывают каким образом внешняя среда, имеющая в принципе непрерывную континуальную структуру, может быть отражена в работе дискретно структурированной сетчатки глаза, которая функционирует как конечный автомат. Более того полученные результаты позволяют получать оценки для числа точек и плотности их расположения в дискретном подпространстве, сохраняющем глобальную

"Dowker С.Н. Homology groupe of relations // Ann. of Math. 1956. Vol. 56.

uZeeman E. C. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds /Ed. M.K. Fort, 1962.

15 Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг // Сборник На пути к теоретической биологии. М.: Мир, 1970.

™Небалуев С.И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.Вып.2. С.15-30.

17Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник. Труды V международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и прложеивя>.Тула, 2004. T.V. Вып. 1(9). С.144-152.

стурктуру всего толерантного пространства. На следующем этапе развития этой теории актуальным стал вопрос изучения связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. В алгебраической топологии такому же вопросу посвящены теоремы Пункаре и Гуревича. Толерантный аналог теоремы Пуанкаре об изоморфизме между первой гомологической группой и фактор-группой фундаментальной группы по коммутанту был доказан Небалуевым. Толерантные теоремы Гуревича представляют собой важный вычислительный инструмент в гомотопической теории толерантных пространств и, как было сказано выше, являются основным предметом диссертационой работы. Не менее важной частью диссертационного исследования является разработка метода, позволяющего получить доказательства указанных теорем, а также и многих других результатов. Этим методом является приспособленный к теории толерантных пространств метод, предложенный Ж.П. Серром. В рамках разработки этого метода в диссертации решались следующие задачи: построение теории Л-пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий, построение толерантного квазирасслоения толерантных путей с условно толерантно стягиваемым пространством квазирасслоения, построение гомологической спектральной последовательности Лере-Серра толерантного квазирасслоения и вычисления первых ее членов, построение п-связных толерантных квазирасслоений. Решенные в диссертационной работе задачи применимы не только для доказательства теорем Гуревича, но и для получения многих других результатов в гомотопической и гомологической теории толерантных пространств.

Цель работы. Доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств.

Методы исследования. В диссертационном исследовании использованы методы гомологической алгебры и теории толерантных пространств, а также метод, разработанный в самой работе, аналогичный методу Сер-ра в алгебраической топологии.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты работы расширяют арсенал алгебраических методов, используемых для изучения толерантных про-

странств. Эти результаты могут быть использованы в тех разделах математики и ее приложений, которые занимаются дискретными математическими моделями. Они также могут использоваться для математического моделирования неоднозначного поведения сложных объектов. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов СГУ, СГТУ, СамГУ.

Научная новизна. К новым результатам, представленным в данной работе, нужно отнести следующие:

1) Разработана конструкция окаймления толерантного сингулярного (ТС) куба, и доказана тривиальность действия окаймления на группы толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологий.

2) Построен функтор А-пунктированных ТКС гомологий и доказана его изоморфность гомологическому функтору Зимана на категории толерантных пространств.

3) Построено квазирасслоение со стягиваемым толерантным пространством.

4) Доказаны свойства ТС кубов толерантного квазирасслоения, необходимые для построения спектральной последовательности.

5) Построена спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения и вычислены два ее первых члена.

6) Доказала классическая теорема Гуревича для толерантных пространств.

7) Доказана теорема о существовании п-связного толерантного квазирасслоения.

8) Доказана обобщенная теорема Гуревича для толерантных пространств.

Основные положения, выносимые на защиту. Доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств. Разработанный в диссертации толерантный аналог метода Сер-ра.

Личный вклад. Постановка задач в работе принадлежит научному руководителю С.И. Небалуеву. Предварительные результаты получены как лично диссертантом, так и совместно с научным руководителем. Доказательство основных результатов, выносимых на защиту, получено самостоятельно диссертантом.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семи-

наре кафедры алгебры и теории чисел СГУ, на научных конференциях на механико-математическом факультете СГУ (2008-2011), на Международной конференции «Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры», посвященной 100-летию В.В. Вагнера, (Саратов, 5-8 ноября 2008 года), на VIII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова, (Саратов, 12-17 сентября 2011 года).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, в том числе 2 статьи из списка ВАК. Список статей приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Первая глава содержит 3 параграфа. Вторая глава — 3 параграфа. Третья глава содержит 4 параграфа. Четвертая глава — 3 параграфа. Список литературы содержит 48 наименования. Общий объем диссертации - 128 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий исторический обзор по тематике диссертации, постановку задач и сжатое описание содержания работы в связи с поставленными задачами.

Параграф 1.1 начинается с определения толерантного пространства

Определение 1.1 Толерантным пространством называется пара (X, т), где X — некоторое множество, а т С X х X — отношение толерантности на этом множестве, то есть рефлексивное и симметричное бинарное отношение:

(Vz € X) (х, х) 6 г и (Vxi,x2 е X) (xi,x2) € г (z2,£i) € т.

Затем определяются толерантные отображения, сохраняющие толерантность, и толерантная гомотопность этих отображений.

Определение 1.4 Два толерантных отображения /о, f\ : (X, т) —► (У, в) назовем толерантно гомотопными относительно подмножества А С X и обозначим /о ~ f\{rel Л), если существует натуральное число п и толерантное отображение F : (X х 1п,т х i„) —> (У, 0) такое, что

1. (ЧхеХ) = /„(*);

2. (УгбХ) = /,(*);

В этом определении (/„, - толерантное пространство, называемое толерантным отрезком длины п, в котором

{¿I _") £ I

- к — 0,п к -(.„- \к - II ^ 1. п| ) п п

Далее описывается категория толерантных гомотопических типов толерантных пространств.

Параграф 1.2 содержит обзор изоморфных функторов Я, Я* толерантных гомологий на категории толерантных пространств. Я — гомологический функтор, который определил Зиман через симплициальные

о

комплексы 5 (X), вершинами которого являются точки из X, а симплексы — конечные наборы попарно толерантных точек. Я* — функтор толерантных сингулярных кубических гомологий.

Определение 1.8. Толерантное отображение и : {1т, ¿я) —► (Х,т),

где Ш = (ть..., го„) б х N. п е М, (1т, 1щ) - ^ Д /т., Д ¿^, называется п-мерным толерантным сингулярным кубом (ТС кубом) пространства (X, т). Если все вершины Т куба /ш отображаются в отмеченную точку 1о € X, то ТС куб и называется пунктированным. ТС куб и наг зывается вырожденным, если и не зависит от последнего аргумента.

Для п ^ 0 обозначим через Ф"(Х) абелеву группу, свободно порожденную над Z всевозможными п-мерными пунктированными ТС кубами пространства (Х,т), и положим Я\{Х) = 0 для п < 0. Для каждого п€Н определяется граничный гомоморфизм д„ : Яп(Х) —* Фп-гРО-Обозначим через 0*(Х) подгруппу в <?„(Х), порожденную вырожденными ТС кубами. Легко видеть, что 9П(Б*(Х)) с Р'.^Х). Это позволяет рассмотреть цепной комплекс {С*(Х), дп}„^о нормализованных пунктированных ТКС цепей, где С'{Х) = <Э*(Х)/£)*(Х) свободно порождаются классами видай = и+В'(Х) с невырожденными ТС кубами и. Всякое пунктированное толерантное отображение / : (X, т) —► (У, в) индуцирует цепное отображение С"(/) = {С*(/) : С*(Х) —> С*(У)}п>0, определяемое на свободных образующих и + Щ(Х) € С*(Х) формулой

Легко проверить, что в результате получается функтор С* из категории пунктированных толерантных пространств в категорию цепных комплексов. Функтор С* в композиции с гомологическим функтором дает функтор Я* пунктированных толерантных кубических сингулярных го-мологий (ТКС гомологий).

Параграф 1.3 посвящен толерантным гомотопическим группам.

Определение 1.9 п-мерным толерантным сфероидом (Т сфероидом) толерантного пространства (X, т) в точке £ X называется толерантное отображение ат : ) ¿тп ') —> (X, г) такое, что

ат(д1£>) = хо, т е N. где I {(£)1=1,Г1|(Эг' = € {0, ш}}

Определение 1.10 Два п-мерных Т сфероида ати а'тг пространства (X, т) в точке хо называются толерантно гомотопными и обозначаются ат, ~ а'т1, если существуют натуральное М ^ шах{т1, тг} и толерантная гомотопия ам,т] ~ а'м

Затем классическим способом определяется операция на классах толерантно гомотопных сфероидов [ат1] * [Дтз] = [ат, * /9та], которая превращает множество 1Гп(Х, хо) классов толерантно гомотопных п-мерных сфероидов пространства (X, т) в точке в группу.

Толерантные гомотопические группы можно определить, используя и более общее определение Т сфероида. Для этого будем использовать «-мерные Т кубы произвольного размера т ~ (гщ,..., тп) ё хИ, т.е. пространства

(Т \ — ( п т " (¿пц^т/ — I X Атц) X £т, I ¡=1 )

Определение 1.13 п-мерным толерантным сфероидом (Т сфероидом) размера Ш — (тп1,...,тпп) 6 хN пространства (X,т) в точке хо € X назовем любое толерантное отображение ат '■ Цт, ьт) —> {X, т) такое, что ат{д!т) = хо, где

дЬ - е = ^ € {О.ггц}} .

Для этих сфероидов также определяется толерантная гомотопность и вводится операция на классах толерантно гомотопных сфероидов. В результате получаем толерантные гомотопические группы кп(Х,хо). Завершается параграф 1.3 доказательством естественной изоморфности

ФУНКТОРОВ 7Г„ И 7Г„.

Глава 2 посвящена построению толерантных расслоений и квазирасслоений пространств толерантных путей.

В параграфе 2.1 вводятся в рассмотрение пространства толерантных путей (Р(АГ,хо),к) и (Р(Х,х0),х+) с различным способом определенными толератностями х и Изучаются их свойства. В завершении доказывается важная для дальнейшего изложения теорема, которая является аналогом классического результата, связывающего гомотопические группы толерантного пространства с гомотопическими группами толерантного пространства его петель яо).

Параграф 2.2 начинается с определения

Определение 2.6 Толерантное отображение р : {Е, т) —► (В, т) называется толерантным расслоением (в смысле Руревича), если для любого толерантного пространства (У, в) и любых толерантных отображений Р : (У х 1п,в х ¿п) —> (В, г), / : {У, в) —> (Е,т) таких, что Р|(У х {0}) = ро /, существует толерантное отображение Т : (У х /„,в х 1„) —► (Е,т) такое, что Р|(У х {0}) = "],роТ=р.

Доказывается критерий толерантного расслоения. Приводятся примеры.

В параграфе 2.3 доказывается следующая теорема о толерантном квазирасслоении

ТЕОРЕМА 2.6 Толерантное отображение р : (Р(Х,хо),хх) —* (X, г), задаваемое формулой р(шт) = шт(1), является толерантным квазирасслоением, в том смысле, что для любого пространства (У, в) и любых толерантных отображений

Р : (У х 1М, в х Ш) —»(X, г), / = (У, в) —♦ (Р(Х, *„), *х)

таких, что (\/у € У) Р(у, 0) = ро/(у), существует толерантное отображение Р: (У х 1м, в х см) —* {Р{Х,х„),нх) такое, что

р о Р = Р, (Уу 6 У) Р(у, 0) = 7(у) * (еро7(у))м = 7(2/) * (Щур))м,

где (ер(у,о))м — постоянный Т путь длины М в пространстве (X, г), принимающий тождественно значение (£р(в,о)Ы (37) = Р(у, 0) € X. При этом квазирасслоение р имеет слой р-1(хо) = (Г2(Х, хо), хх)-

В третьей главе строится спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения толерантных путей.

В параграфе 3.1 определяется конструкция окаймления толерантных сингулярных (ТС) кубов и доказывается тривиальность действия окайм-

ления на группы толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологии. А также вводится функтор А-пунктированных гомологий и доказывается его естественная изоморфность функтору Зимана.

Параграф 3.2 посвящен изучению свойств ТС кубов в толерантном квазирасслоении толерантных путей.

Для п-мерного П-пунктированного ТС куба т в пространстве квазирасслоения определяются два новых ТС куба: один в базе — Вв(ш), а другой в слое — с весом в, определяющим степень его вырожденности. Доказываются теоремы 3.4 и 3.5, которые утверждают, что по ТС кубам В ¡{и]) и ^(ги) можно построить ТС куб Иг(и, и), который будет толерантно гомотопен исходному ги.

В параграфе 3.3, используя весовую фильтрацию комплекса П-пунктированных нормализованных ТС кубов пространства квазирасслоения, строится гомологическая спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения. Затем, с помощью доказанных ранее свойств ТС кубов квазирасслоения, вычисляются первые два члена этой последовательности

Спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения в качестве следствия дает известную гомологическую последовательность Серра, которая используется для доказательства теорем Гуревича.

Глава 4 содержит основные результаты диссертационной работы.

В параграфе 4.1 доказывается толерантный аналог теоремы Гуревича

ТЕОРЕМА 4.2 Если (Х,т) — линейно связное толерантное пространство и для натурального п и» = 1,п—1 имеем щ(Х) = 0, то для i = 1,71 — 1 Щ{Х) = 0 и 7Г„рО а Нп(Х).

Изоморфизм, описанный теоремой 4.2, определен естественным гомоморфизмом Гуревича <р„ : пп(Х,хо) —> Нп(Х), задаваемым формулой ¥>П(Ы) =5га + Вп{Х).

Параграф 4.2 посвящен п-связным толерантным квазирасслоениям.

Определение 4.2 Толерантное пространство (Х,т) назовем п-связным, если оно линейно связное и для всех г = 1,п гомотопические группы щ(Х) ~ 0.

Определение 4.3 Толерантное расслоение (или квазирасслоение) р : (Е,т) —у (В,т) назовем п-связным, если (В, г) линейно связное, (Е, г) п-связное и для всех г > п имеет место изоморфизм

Основной теоремой параграфа 4.2 является следующая

ТЕОРЕМА 4.3 Для любого линейно связного пространства (В, т) и любого натурального числа п е N существует п-связное толерантное квазирасслоение р : (Е,т) —> (В,т).

С помощью точной гомотопической последовательности для п-связного толерантного квазирасслоения р : (Е,т) —> (В, г) доказывается:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3 Пусть р : (Е,т) —> (В, г) п-связное толерантное расслоение (или квазирасслоение) такое, что пространство (В,т) является (п — 1)-связным. Пусть (.Р = р_1(Ьо),г) — слой над произвольной точкой Ьо £ В, иЪо & Р — его произвольная точка. Тогда

Пусть (тг, п) — пара, где п 6 М, а 7г — произвольная группа для п — 1, и 7г — произвольная абелева группа для п > 1.

Определение 4.4 Линейно связное толерантное пространство (X, т) назовем толерантным пространством типа (тг, п), если

Параграф 4.3 посвящен доказательству обобщенной теоремы Гуреви-ча для толерантных пространств

Определение 4.5 Классом Серра абелевых групп называется класс К абелевых групп такой, что для любой точной последовательности абелевых групп А —► В —► С из А, С 6 К. следует В € ¡С.

Определение 4.6 Пусть 1С — класс Серра, и пусть <р : А\ —> Аз — гомоморфизм произвольных абелевых групп. Тогда гомоморфизм ¡р называется /С-итективным, если кегу> € 1С; <р называется К-сюръективным, если сокепр 6 /С; <р называется К-изоморфизмом, если выполняются оба предыдущих условия.

рщ : тг{(Е,х0) = 7Г,(В,6о), х0 ер '(Ч-

Определение 4.7 Абелевы группы А\ и А2 называются К-экивалентными (K-изоморфными) и записываются A\ = Ä2, если существуют абелева группа А и fC-изоморфизмы А —► А\, А —► А?.

Определение 4.8 Толерантное пространство (X, т) и пара (X, Х$) толерантных пространств (Хо, т) с (X, г), ф 0, называются IC-ацикличными, если для пространства (X, т) все его целочисленные гомологии Hi(X) Е 1С для i > 0, а для пары (X,Xq) все относительные целочисленные гомологии Н((Х,Хо) € /С для i ^ 0.

Определение 4.9 Класс Серра К. называется ацикличным, если из А 6 К следует Hi(A) € ¡С для всех i > 0.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3 Класс Серра К, является ацикличным тогда и только тогда, когда всякое толерантное пространство (X, т) типа (я-, 1), где 7г 6 1С, является 1С-ацикличным.

Определение 4.10 Класс Серра /С называется кольцом абелевых групп, если он замкнут относительно тензорного и периодического произведений, т.е. если выполняется следующее свойство:

А,ВеК=ФА®Ве1С, А* В = Тог^А, В) е К.

ТЕОРЕМА 4.4 Пусть р : (Е,г) —> (В, т) — толерантное расслоение (или квазирасслоение) с линейно связной и односвязной базой {В,т) и линейно связным слоем (F — р-1(Ьо),г). Пусть (В0,т) — непустое линейно связное подпространство в {В, т) такое, что 60 € Во и Hi(B,BQ) = 0. Пусть Eq = р~1(Во). Предположим, что К — кольцо абелевых групп такое, что

(Vi = 27р"—Т) Я4(В, в0) € К; (Vj = ITT7!) Hj{F) € /С; р, g > 0.

Тогда гомоморфизм (р,)* : Щ(Е,Ео) —► Щ(В,В0) является IC-изоморфизмом при i ^ г, и К-сюръективным при г = г -f 1, где г = min{p,g+ 1}.

Теорема имеет ряд важных следствий.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.5 Пусть /С-кольцо абелевых групп, и пусть р : (Е,т) —► (В, т) — толерантное расслоение (или квазирасслоение) такое, что пространство расслоения (Е,т) является JC-ацикличным, слой расслоение (F, Т), где F = p-1(öо), £ В, является линейно связным, а база {В, г) является линейно связной, односвязной и Щ (В) 6 ¡С для i = 1,р — 1, р > 2. Тогда

1) (Vt = Hi(F) € /С;

2) имеет место эквивалентность Hp~i(F) = Hp(B), определяемая

fC

IC-изоморфизмами #p-i(F) Л HP(E,F) ^ Нр(В,Ьо) = НР{В), где 8 -связующий гомоморфизм из точной гомологической последовательности пары (F, т) С (Е,т).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6 Пусть ¡С-колъцо абелевых групп, и пусть

р : (Е,Т) —* (5, г)

— толерантное расслоение (или квазирасслоение) с линейно связной и односвязной базой (В,т) и линейно связным слоем {F,t). Тогда из К-ацикличности любых двух пространств из трех (Е,т), (В, г) и (F,T) следует fC-ацикличностъ третьего.

Последнее предложение, примененное к толерантному квазирасслоению р : [Р(Х, х0), х) —> (X, т) дает:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.7 Пусть (Х,т) - линейно связное и одно-связное толерантное пространство, и пусть 1С — кольцо абелевых групп. Тогда пространство (X, т) будет К-ациклично в том и только том случае, когда его пространство толерантных петель , £0), н) будет К-ацикличным.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8 Пусть К-ациклическое кольцо абелевых групп и пусть (Х,т) — толерантное пространство типа (тт, п), где а 7Г € К, тогда (Х,т) — fC-ациклическое пространство.

Из теоремы 4.3 следует, что для линейно связного и односвязного толерантного пространства (X, г) имеет место последовательность толерантных отображений (£n_1,rn_1) ^ (£п_2, тп_2) ... Д (£'1,т1) = (X, т) таких, что (Vj = 2, п - 1) pj : (Ej, т,-) —► (£j_x, Tj-1) — j-связное толерантное квазирасслоение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.9 Слой (Fj,Tj) толерантного квазирасслоения pj : (Ej, Tj) —► (Ej~i,Tj-1), j = 2, n — 1 является толерантным пространством типа (irj(X),j — 1).

Следующая теорема представляет собой обобщенную теорему Гуре-вича для толерантных пространств.

ТЕОРЕМА 4.5 Пусть К-ацикличное кольцо абелевых групп, и пусть (Х,т) — линейно связное и односвязное толерантное пространство такое, что (Vt = l,n —1) Яг(Х) 6 1С. Тогда (Vi = l,n— 1) Hi(X) £ К. и гомоморфизмы Гуревича щ : 7Г¡{X) —► являются IC-изоморфизмами для всех i = 1, п.

Основные результаты и выводы. Доказательства теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств позволяет сделать вывод об эффективности разработанного в диссертации метода Серра в теории толерантных пространств. Задачи решаемые в диссертации в процессе разработки этого метода

1) Разработана техника окаймления ТС кубов со свойством тривиальности действия на группы ТКС гомологий.

2) Построен функтор Л-пунктированных ТКС гомологий и доказаг на его изоморфность гомологическому функтору Зимана на категории толерантных пространств.

3) Построено квазирасслоение со стягиваемым толерантным пространством.

4) В терминах точных пар с помощью специальной весовой фильтрации в группе пунктированных нормализованных ТКС цепей построена сходящаяся спектральная последовательность толерантного расслоения и вычислены первые два ее члена.

5) Доказана теорема о существовании п-связного толерантного квазирасслоения.

дают эффективный инструмент для решения многих задач гомотопической теории толерантных пространств.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность и искреннюю признательность своему научному руководителю доценту Сергею Ивановичу Небалуеву. Также автор благодарен доктору физико-математических наук, профессору Александру Васильевичу Михалёву за внимание к работе и ценные советы.

Работы автора по теме диссертации

1. Небалуев С.И., Коробченко Е.В. Спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения толерантных путей // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. т.11. Вып.1. С.24-31. (0,6 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

2. Коробченко Е.В. Гомотопические группы пространств толерантных петель / / Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. т.11. Вып.З. 4.2 С.15-20. (0,4 п.л.)

3. Коробченко Е.В. n-связные толерантные квазирасслоения и теоремы Гуревича для толерантных пространств // Чебышевский сборник. Труды VIII международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула, 2011. Т.12. Вып. 2(38). С.39-53. (0,9 пл.)

4. Коробченко Е.В. Гомологические свойства конструкции окаймления толерантных сингулярных кубов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2010. Вып.6. С.27-37. (0,5 п.л.)

5. Небалу ев С. И., Коробченко Е.В., Сусин М.Н. Пунктированные толерантные кубические сингулярные гомологии // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.6. С.79-90. (0,63 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

6. Коробченко Е.В. Изоморфность гомотопических групп толерантных пространств, определенных через толерантные сфероиды разного размера // Математика. Механика. Сборник научных трудов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып.13. С.40-43. (0,2 п.л.)

Подп. к печ. 27.02.2012 Объем 1 п.л. Зак. № 59 Тир. 100 экз.

Типография МПГУ

61 12-1/702

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского»

КОРОБЧЕНКО Елена Витальевна

ТЕОРЕМЫ ГУРЕВИЧА ДЛЯ ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент НЕБАЛУЕВ Сергей Иванович

На правах рукописи

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Саратов - 2011

Оглавление

Введение 3

1 Основные понятия 9

1.1 Категории толерантных пространств................9

1.2 Группы гомологий толерантных пространств................13

1.3 Толерантные гомотопические группы........................16

2 Пространства толерантных путей и толерантные расслоения 25

2.1 Пространства толерантных путей ............................25

2.2 Толерантные расслоения........................................39

2.3 Толерантные расслоения пространств толерантных путей . 45

3 Спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения толерантных путей 52

3.1 ТС кубы с вершинами в линейно связном подпространстве 52

3.2 ТС кубы в толерантном квазирасслоении толерантных путей 66

3.3 Построение спектральной последовательности толерантного квазирасслоения толерантных путей........... 75

3.4 Точная гомологическая последовательность Серра..... 88

4 Теоремы Гуревича для толерантных пространств 91

4.1 Доказательство теоремы Гуревича для толерантных пространств ;............................ 91

4.2 п-связные толерантные расслоения и квазирасслоения ... 96

4.3 Обобщенная теорема Гуревича для толерантных пространств 109

Заключение 123

Литература 124

Введение

Основной целью диссертационной работы является доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств, устанавливающих связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. При этом доказательства этих теорем получены с помощью метода разработанного Ж.П. Серром, который удалось перенести в теорию толерантных пространств.

Коротко охарактеризуем предмет диссертационного исследования. В последние десятилетия были разработаны ряд направлений исследований, использующих категорную и алгебро-топологическую технику для изучения дискретных по своей природе объектов, таких как автоматы, дискретные системы управления, вычислительные сети, параллельные вычислительные процессы, формальные лингвистические системы и др. В настоящее время наиболее разработанными являются два направления, идейно и технически близкие друг другу. Первое из этих направлений связано с теорией толерантных пространств и представлено в работах Доукера, Зимана, Мюира, Уорнера, Арбиба, Шрейдера, Небалуева и др. Второе же направление систематически использует теоретико-категорные методы и представлено работами Губо, Гоше, Иенсена, Шил-дса, Хусаинова и др. Оба эти направления представляются весьма перспективными, активно развиваются в России и за рубежом и вызывают интерес специалистов разных направлений. Диссертационная работа развивает первое из указанных выше направлений.

Методы гомологической алгебры в теории отношений первым применил Доукер в работе [41] 1956 года. При этом Доукера интересовали введенные им группы гомологий отношений с точки зрения их приложений к алгебраической топологии. Затем в 1962 году Зиман в работе [48] определил отношения толерантности, которые оказались интересными как с математической, так и с прикладной точек зрения. Зиман в своей работе применил алгебро-топологические методы" для построения математической модели зрительного анализатора. Эта математическоя модель должна была отражать непрерывную и дискретную стороны в работе зрительного анализатора, и учитывать порог чувствительности модели-

руемого объекта. Решая эти задачи, Зимаи определил толерантное пространство, представляющее собой пару, состояющую из произвольного множества, которое может быть как континуальным, так и дискретным и конечным, и бинарного отношения толерантности, которое должно быть рефлексивным и симметричным, и которое определяется наличием порога чувствительности. Понятно, что толерантные пространства получаются везде, где присутствуют приближенные измерения и вычисления. Такие пространства состоят из множеств, на которых заданы метрики, а пары точек в этих множествах принадлежат отношениям толерантности, если они удалены друг от друга не более, чем на некоторую фиксированную величину, определяемую точностью измерений и вычислений. Введенные Зиманом отношения толерантности стали интерпретироваться как наиболее общая систематическая модель схожести, и интерес к ним проявили специалисты самых разнообразных направления, таких как теория автоматов, дискретные системы управления, математическая лингвистика и др. (см. работы [1], [40], [44]- [47], [37], [38]).

В 1970 году вышла в печати важная работа Зимана и Бьюнемана [3], в которой ряд интересных вопросов, имеющих прикладное значение, были сформулированы как математические задачи гомологической теории толерантных пространств. Однако, решение этих задач тормозилось неразвитостью теории гомологий толерантных пространств и отсутствием сколь-нибудь продвинутого варианта гомотопической теории. Тем не менее, ситуация постепенно менялась. В частности, в серии работ Небалуева С.И. и соавторов (см. библиографию) была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой удалось решить некоторые из задач, сформулированных в работе [3]. Одним из результатов развития гомотопической теории толерантных пространств было построение теории толерантных накрытий, включающей теорию толерантных накрывающих преобразований. Теория толерантных накрытий является перспективной и с точки зрения приложений, т.к. по мнению Зимана и Бьюнемана (см. работу [3]) толерантные накрытия и, более обще, толерантные расслоения являются подходящим инструментом для описания неоднозначности в поведении сложных систем. Следующий этап развития толерантной гомотопической теории связан с построением теории толерантных гомотопических групп и толерантных расслоений (см. [16]', [19], [20], [23]). После этого следующей актуальной темой стало изучение связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. В классической алгебраической топологии этому вопросу посвящены теоремы Пуан-

каре и Гуревича. Толерантный аналог теоремы Пуанкаре, об изоморфизме между первой гомологической группой и фактор-группой фундаментальной группы по коммутанту, был доказан Небалуевым С.И. (см. [21]). А толерантные теоремы Гуревича, как это было уже отмечено, являются темой данной диссертации. Не менее важным предметом исследований в диссертационной работе является разработка метода, позволяющего получить доказательства указанных выше теорем, а также и многих других результатов. Этим методом является, приспособленный к теории, толерантных пространств, метод предложенный Ж.П. Серром.

Метод Ж.П. Серра в алгебраической топологии основан на построении расслоения с данной базой расслоения и со стягиваемым пространством расслоения, что позволяет применять специальную спектральную последовательность, которую принято называть спектральной последовательностью Лере-Серра расслоения. Это позволяет решать многие задачи гомотопической теории алгебраическими средствами. Для толерантных пространств спектральная последовательность Лере-Серра толерантного расслоения была построена в работах Кляевой И. А. и Небалуева С.И. (см. [5], [б], [23], [24], [25], [26], [27]). Однако, для применения метода Серра необходимо построение толерантного расслоения со стягиваемым пространством расслоения. В алгебраической топологии таковыми пространствами являются пространства непрерывных путей. В толерантном случае построение таких пространств является технически более сложной задачей. Эти трудности обусловлены тем, что толерантные пути представляют собой конечную последовательность точек, т.е. объект дискретной природы, и это значительно осложняет решение многих задач, и, в частности, стягиваемости. Имеющиеся трудности требуют определенного компромисса между построением толерантного расслоения и удовлетворения свойства толерантной стягиваемости пространства расслоения. Компромисс заключается в том, что на множестве толерантных путей определяется специальным образом отношение толерантности, превращающее его в условно толерантно стягиваемое пространство, определяющее не толерантное расслоение, а лишь квазирасслоение. Тем не менее, в диссертации доказывается, что толерантное квазирасслоение определяет спектральную последовательность аналогичную спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения. Формальные свойства этой спектральной последовательности с помощью толерантной теоремы Пуанкаре позволяют доказать теорему Гуревича о том, что для односвязного толерантного пространства первые нетривиальные толерантные гомотопические и гомологические группы изоморфны. От-

метим, что теорему Гуревича можно доказывать разными способами, но способ, основанный на методе Серра, имеет преимущества в том, что он алгебраичен, и поэтому более универсален. Это подтверждается доказательством обобщенной теоремы Гуревича, где метод Серра абсолютно необходим. Обобщенная теорема Гуревича содержит в качестве частного случая теорему Гуревича, но ее формулировка носит более абстрактный и алгебраический характер, что требует соответствующих методов доказательства с одной стороны, а с другой значительно расширяет круг ее приложений.

Основной текст диссертации разделен на четыре главы. В первой главе содержатся необходимые предварительные сведения из гомологической и гомотопической теории толерантных пространств. В первой главе также доказывается ряд утверждений, используемых в других главах. К этим утверждениям относятся предложение 1.1 и предложение 1.2 о тривиальности гомологических и гомотопических групп условно толе-рантно стягиваемых пространств, теорема 1.1 об естественной изоморф-ности функторов толерантных гомотопических групп, используемых в диссертации.

Во второй главе определяются различные толерантные пространства толерантных путей, изучаются их свойства (в частности, свойство условной толерантной стягиваемости) и доказывается важная для основной цели теорема 2.3, утверждающая наличие классического изоморфизма между толерантными гомотопическими группами толерантного пространства и пространства его толерантных петель. Параграф 2.2 этой главы посвящен толератным расслоениям. Здесь формулируется и доказывается критерий толерантного расслоения и приводятся примеры толерантных расслоенных пространств. В заключительном параграфе 4.3 строятся толерантные пространства толерантных путей. Изучается их толерантная стягиваемость. Затем для этих пространств изучается свойство накрывающей гомотопии. При этом доказывается, что условно то-лерантно стягиваемое пространство толерантных путей образует над исходным толерантным пространством квазирасслоение, в том смысле, что накрывающая гомотопия имеет небольшое искажение в начальных условий. Однако, этого будет достаточно для получения результатов, лежащих в основе метода, аналогичного методу Серра в алгебраической топологии.

Третья глава посвящена построению спектральной последовательности толерантного квазирасслоения толерантных путей аналогичной спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения (см.

[28]). В первом параграфе доказывается теорема 3.3 об изоморфности групп А-пунктированных толерантных кубических сингулярных гомо-логий и гомологий Зимана на категории линейно связных пунктированных толерантных пространств. Стоит заметить, что теорема 3.3 является обобщением основных результатов работы [26]. При этом доказательство теоремы 3.3 оказалось значительно прозрачнее и проще. Причина такого упрощения заключается в использовании процедуры окаймления толерантных сингулярных кубов вместо процедуры их полного двойного замедления. В контексте теоремы 3.3 процедура окаймления позволила более выгодно использовать специфику толерантных пространств, особенно в формулировке и доказательстве теоремы 3.2. В параграфе 3.2 для п-мерного ^-пунктированного толерантного сингулярного куба ъи в пространстве квазирасслоения определяются два новых толерантных сингулярных куба: один в базе — Ъ3(т), а другой в слое — До-

казывается теоремы 3.4 и 3.5, которые утверждают, что по толерантным сингулярным кубам Ъ8(ги) и $8(ъи) можно построить толерантный сингулярный куб ]¥(иуу), который будет толерантно гомотопен исходному ю. Далее, используя весовую фильтрацию комплекса Г2-пунктированных нормализованных толерантных сингулярных кубов пространства квазирасслоения, строится гомологическая спектральная последовательность. Затем, с помощью доказанных ранее свойств толерантных сингулярных кубов квазирасслоения, вычисляются (с точностью до изоморфизма) первые два члена этой последовательности. В соответствии с уже принятой терминологией (см. [12]) полученную спектральную последовательность, будем называть спектральной последовательностью Лере-Серра толерантного квазирасслоения. Результаты параграфа 3.3 о свойствах спектральной последовательности Лере-Серра имеют ряд важных следствий. В частности, из него следует наличие точной гомологической последовательности, которую принято называть последовательностью Сер-ра (см. [12], гл. 5, § 5.2).

Четвертая глава содержит основные результаты диссертационной работы. В параграфе 4.1 доказывается толерантный аналог теоремы Гуре-вича, в котором утверждается, что первые нетривиальные толерантные гомотопические и гомологические группы линейно связного односвяз-ного толерантного пространства будут изоморфны. При этом строятся гомоморфизмы Гуревича, которые дают, в частности, изоморфизмы в теореме Гуревича. В заключении этого параграфа приводится полезный пример, иллюстрирующий применение теоремы Гуревича для толерантных пространств. В следующем параграфе 4.2 вводятся понятия

п-связного толерантного пространства и п-связного толерантного квазирасслоения. Затем доказывается ряд свойств (предложения 4.1 и 4.2), из которых получается теорема 4.3 о существовании п-связного толерантного квазирасслоения для любого линейно связного пространства. Заключительный параграф 4.3 посвящен доказательству обобщенной теоремы Гуревича 4.5, утверждающей, что для линейно связного односвяз-ного толерантного пространства, первые гомотопические группы которого до (п — 1)-й принадлежат Х-ацикличному кольцу абелевых групп, имеем, что его первые гомологические группы до (п — 1)-й также принадлежат ^-ацикличному кольцу абелевых групп, а гомоморфизмы Гуревича являются %-изоморфизмами до размерности п. В начале данного параграфа дается ряд необходимых определений: класса Серра абелевых групп, кольца абелевых групп, ацикличности классов Серра, X-изоморфности и ЗС-эквивалентности. Отмечается, необходимое для дальнейшего, свойство (см. предложение 4.4). Затем доказывается теорема 4.4 (о ЗС-свойствах толерантных расслоений и квазирасслоений). Из этой основной теоремы мы получаем ряд важных следствий, которые позволяют в результате доказать обобщенную теорему Гуревича 4.5.

В заключении подводятся итоги и отмечается важность, разработанного в диссертации, толерантного аналога метода Серра.

Глава 1

Основные понятия

В этой главе собраны предварительные сведения из гомологической и гомотопической теории толерантных пространств, которые будут использоваться в основной части диссертации.

1.1 Категории толерантных пространств

Основным объектом изучения в диссертации являются толерантные пространства. Понятие толерантного пространства было определено Зима-ном ( [48]) и использовалось им для построения математической модели работы зрительного анализатора.

Определение 1.1. Толерантным пространством называется пара (Х,т), состоящая из базисного множества X, и рефлексивного и симметричного бинарного отношения г С X х X, которое называется отношением толерантности.

Принято называть элементы множества X точками, вместо (х\,х2) т писать Х\ТХ2 и называть в этом случае точки Х2 толерантными. В этих обозначениях свойтсва рефлексивности и симметричности записываются следующим образом

(\/х Е X) ХТХ; (\/Ж1,Ж2 £ X) Х\ТХ2 Х2ТХ\.

Типичными (но далеко не едиственными) примерами толерантных пространств являются метрические пространства, естественным образом получающиеся при приближенных измерениях или вычислениях. Такие толерантные пространства (X, т^) состоят из метрического пространс