Обобщенная теория шейпов и подвижность непрерывных групп преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

И РЕЗУЛЬТАТЫ.

ГЛАВА 2 ПРОБЛЕМА ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ОБОБЩЕННЫЕ ШЕЙПЫ.

§ 1. Эквивариантное обобщение теоремы Аренса —Иллза.

§ 2. Абстрактные !К — шейпы.

§ 3. !К — гомотопии.

§ 4. Топологические !К — шейпы.

ГЛАВА 3 ЭКВИВАРИАНТНАЯ ПОДВИЖНОСТЬ.

§ 1. Подвижность и эквивариантная подвижность.

§ 2. Подвижность пространств Н — неподвижных точек.

§ 3. Подвижность пространства Н — орбит.

§ 4. Пример подвижного, но не (7 — подвижного пространства.

ГЛАВА 4 ПОДВИЖНЫЕ КАТЕГОРИИ. СКРУЧЕННЫЕ

ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ШЕЙПЫ.

§ 1. Подвижные категории.

§ 2. Эквивариантная подвижность плоских компактов.

§ 3. Эквивариантное обобщение теоремы Фрейденталя.

§ 4. Скрученные произведения и С — шейпы.

ГЛАВА 5. G - ШЕЙПОВЫЕ МОРФИЗМЫ. СЛАБАЯ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ G -ПРОСТРАНСТВ.

§ 1. Эквивариантные расслоения.

§2. G — шейповые морфизмы, порожденные эквивариантными отображениями.

§ 3. Слабо — эквивалентные G — пространства.

§ 4. Канонические последовательности.

ГЛАВА 6. ЭКВИВАРИАНТНАЯ ПОДВИЖНОСТЬ ГРУПП И

СВОБОДНЫХ G -ПРОСТРАНСТВ.

§ 1. Эквивариантно — подвижные группы.

§ 2. Эквивариантная подвижность свободных

G — пространств

§ 3. Пример Z2 — неподвижного пространства с подвижным пространством орбит.

ГЛАВА 7. ПРОБЛЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ МАЖОРАНТЫ ДЛЯ

ЭКВИВАРИАНТНО - ПОДВИЖНЫХ КОМПАКТОВ.

§ 1. Критерие эквивариантной подвижности в классах слабо эквивалентных G — пространств.

§ 2. Мажоранты в классах слабо — эквивалентных

G — подвижных компактов.

ГЛАВА 8. ПОДВИЖНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО РАЗЛИЧНЫХ

КЛАССОВ ПРОСТРАНСТВ.

§ 1. Предподвижность в pro — категории.

§ 2. Об А — подвижности топологических пространств.

§ 3. Эквивариантная п — подвижность.

Теория шейпов это — общая теория спектральных гомотопических инвариантов. Основателем теории шейпов является известный польский математик К. Борсук. Основания этой теории были заложены в работах [42 — 47]. В этих работах Борсуком найдена естественная категория метризуемых компактов, более слабая чем гомотопическая категория и, тем самым, даны основы "геометрической" теории шейпов [7]. Важное понятие ассоциированного спектра, введенное Моритой [76], позволило Мардешичу с Сегалом [71, 72] распространить первоначальную теорию шейпов Борсука на класс хаусдорфовых компактов.

Теория шейпов в категории непрерывных групп преобразований и эквивариантных отображений, называемая эквивариантной теорией шейпов, впервые была построена Ю.М. Смирновым [34, 35], для традиционных классов О — пространств (метризуемые пространства, метризуемые компакты, компактные пространства, р — паракомпактные пространства, в основном в случае компактной действующей группы О). Метод Смирнова заключается в обобщении Фоксовского подхода к теории шейпов [56]. Модифицируя результаты Мориты [76], Поп [84] построил эквивариантную теорию шейпов для произвольных С —пространств, но только в случае конечной группы О. В работе [40] методом резолюций, в случае компактной группы С, была построена эквивариантная шейповая категория 5Угс для произвольных С — пространств. Последняя категория, в случае метризуемых С —пространств, совпадает с категорией, построенный Смирновым.

Одним из основных понятий теории шейпов является понятие подвижности. Это понятие первоначально, для метризуемых компактов, было введено К. Борсуком [44], на более общие случаи было перенесено Мардешичем и Сегалом [71], Сегалом [85],

А.П.Шостаком [38]. Класс подвижных пространств существенно шире класса всех А ЫЯ-пространств. Это понятие, в частности, замечательно тем, что многие классические результаты алгебраической топологии, которые верны для СЖ — комплексов (АЫЯ -пространств), в теории шейпов обобщаются для подвижных пространств. Так обстоит дело с теоремой Уайтхеда в теории шейпов, которая утверждает, что шейповый морфизм Т7 : X —» У подвижных конечномерных метризуемых континуумов будет шейповой эквивалентностью, если все гомоморфизмы :/г„(х) —> я;„(У) п — мерных шейповых групп являются изоморфизмами (Мощиньская [78], [79], Кисслинг [65], Дыдак [54]). Причем, свойство подвижности в этой формулировке существенно (Козловски и Сегал [67]). Другая важная теорема — теорема Гуревича об изоморфизме в теории шейпов — опять же доказана для подвижных метрических континуумов (Куперберг [69]). И здесь, как и в спектральной теореме Уайтхеда, подвижность существенна (Куперберг [68]). Перечень таких фактов можно продолжить. Все они говорят об особой роли подвижности в теории шейпов.

Данная диссертация посвящена сравнительно молодой и активно развивающейся области высшей геометрии и топологии — теории шейпов.

В диссертации, для произвольного семейства К топологических пространств, вводится новое понятие !К — гомотопии, которое обобщает определенное Фоксом [57] понятие п — гомотопных отображений [37], [62] а также понятие Р— гомотопии, введенное Иваншичем, Рубиным и Шапиро [61]. На основе введенного понятия !К — гомотопии строится теория обобщенных шейпов или !К — шейпов. Эта теория в случае, когда К={Х, сНт Х<п} совпадает с теорией п — шейпов, введенной Чигогидзе [37], а когда она совпадает с теорией Р — шейпов, построенной Иваншичем, Рубиным и Шапиро [61], где Р некоторый С1¥ — комплекс, а 6\т.Х<Р обобщенная размерность топологического пространства X определенный Дранишниковым [53]. Понятие К — гомотопии может служить основой для развития теории обобщенных гомотопий.

В диссертации дано систематическое изложение результатов относящихся к такому важному понятию эквивариантной теории шейпов как подвижность непрерывных групп преобразований.

Подробное содержание диссертации по главам изложено ниже. содержание диссертации

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В ней собраны необходимые в дальнейшем определения и известные результаты теории О — пространств, теории шейпов и эквивариантной теории шейпов.

В первом параграфе второй главы в самом общем виде решается одна старая проблема — проблема линеаризации С—пространств. Эта проблема заключается в следующем: можно ли С-пространство X эквивариантно вложить в линейное О — пространство?

Классические результаты в случае, когда действующая группа С является компактной группой Ли, а пространства — компактными, принадлежат Мостову [77] и Пале. [83]. На много позже Ю.М. Смирнов [33] и Ян де Врис [50] одновременно и независимо друг от друга доказали общую теорему о линеаризации тихоновских (7 — пространства даже в случае любой локально — компактной группы С1). В диссертации эти теоремы доказываются при произвольной группе С (теоремы 2.1.2 и 2.1.4).

Наш метод решения проблемы линеаризации тихоновских (метризуемых) О — пространств заключается в эквивариантном обобщении классической теоремы Аренса и Иллза [41] о замкнутом, равномерном (изометричном) вложении равномерного (метризуемого) пространства в локально — выпуклое (нормируемое) топологическое пространство.

ТЕОРЕМА 2.1.2 2) Всякое метрическое С—пространство с Отметим, что в теореме линеаризации Ю.М. Смирнова вложение является замкнутым.

2) Первые две цифры означают номера глав и параграфов, соответственно. инвариантной метрикой эквивариантно, замкнуто и изометрично вкладывается в некоторое нормированное линейное (7 —пространство.

В доказательстве этой теоремы отказаться от инвариантности метрики невозможно (предложение 2.1.1).

Из этой теоремы, в качестве следствия, получается теорема 2.1.3. Пусть (7 — счетно—компактная группа. Тогда метризуемое С—пространство эквивариантно и замкнуто вкладывается в некоторое нормируемое линейное О — пространство.

Подобные теоремы верны и для тихоновских С — пространств: теорема 2.1.4. Всякое тихоновское С—пространство с инвариантной равномерностью эквивариантно и замкнуто вкладывается в некоторое локально—выпуклое линейное С — пространство. теорема 2.1.5. Пусть (7 — счетно—компактная группа. Тогда всякое тихоновское С—пространство эквивариантно и замкнуто вкладывается в некоторое локально—выпуклое линейное (7 —пространство.

Инвариантность равномерности определяется следующим образом: определение 2.1.1. Пусть X равномерное пространство с комплектом псевдометрик Р = {ра, ае Л}, а я\Сх. X —> X — непрерывное действие произвольной группы О на X. Равномерность пространства X назовем инвариантной, если инвариантна каждая псевдометрика из комплекта Р.

Из теорем 2.1.2 и 2.1.4 в частных случаях получаются известные результаты Г.Мостова [77] и Р.Палле [83] — в случае компактной группы Ли, Ю.М. Смирнова [33] и Ян де Вриса [50] — в случае любой локально — компактной группы.

Из этих результатов, как следствие, получается также теорема об Н — неподвижных точек на случай произвольной группы О, обобщающая известные результаты Смирнова [32] и Антоняна [2]: теорема 2.1.6. Пусть инвариантно метризуемое (7 — пространство У является пространством.

Тогда для любого непустого подмножества Н группы О множество всех Н —неподвижных точек У[н] не пусто и является пространством.

Во втором параграфе главы 2 в произвольной категории У определяется понятие УС — равенства двух морфизмов, где УС с: оЬ{$~) некоторое семейство объектов категории ¿Г (определение 2.2.1). Отношение УС — равенства двух морфизмов является отношением эквивалентности на множестве Мог(Х, У) всех морфизмов из объекта X в объект У (предложение 2.2.1). Множество Мог(Х,У) разбивается на непересекающиеся классы УС — равных морфизмов. Соответствующее фактор — множество обозначается через Могк{Х,У), а класс морфизма / — через [/]*•. Все объекты категории У и классы УС — равных морфизмов составляют, вообще говоря, новую категорию, которая обозначается через ¿Гк.

Если £ плотная подкатегория категории У, то для пары (У, £) естественным образом строится шейповая категория. Возникает естественный вопрос: какому условию должно удовлетворять семейство УС, чтобы можно было построить теорию шейпов для пары (У^,^), то есть, чтобы £х была плотной подкатегорией категории У 2 а- к .

На этот вопрос отвечает следующая теорема. теорема 2.2.1. Пусть £ плотная подкатегория категории , а УС б оЪ{<У) — некоторое семейство объектов. Подкатегория к является плотной подкатегорией категории ¿Гк тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие Для произвольных объектов Q, е оЬ(£), X е оЪ{$~) и морфизмов 1]Х,Г12:()' Q, категории ¿Г с условием

71\°/=г120/' существует такой объект О" <=оЬ(£) и такие к к морфизмы -^-<2' и /:X -» <2", что г/° /'=/ и тд ° 77=77., ° /7.

Таким образом, если подкатегория £ категории ¿Г и семейство УС удовлетворяют условию теоремы 2.2.1, то для пары (¿Г^•>£%■) естественным способом строится шейповая категория, которую обозначим через УС-5Ъ. Построенную теорию шейпов назовем обобщенной теорией шейпов или теорией УС — шейпов.

В третьем параграфе второй главы рассматривается категория Н - ТОР всех топологических пространств и гомотопических классов непрерывных отображений. На эту категорию распространяются идеи предыдущей главы и для произвольного семейства УС топологических пространств определяется понятие УС — гомотопных отображений: определение 2.3.1 Отображения назовем УСгомотопными, и обозначим f-g, если для произвольного пространства А&УС и произвольного отображения И\А-^Х выполняется f ° И = g ° И.

Отношение УС — гомотопности отображений более слабое, чем обычная гомотопность. То есть, из обычной гомотопности любых двух отображений /, £ : X —»• У следует их УС — гомотопность для произвольного класса УС топологических пространств. Для некоторых семейств УС верно и обратное: предложение 2.3.3. Пусть УС семейство всех топологических пространств. Тогда произвольные два отображения /, g: X —> У гомотопны тогда и только тогда, когда они УС—гомотопны.

Теорема 2.3.1 показывает, что обычная гомотопность отображений может оказаться эквивалентной К — гомотопности и в случае, когда К есть строгое подсемейство семейства всех топологических пространств. теорема 2.3.2. Пусть А и В произвольные топологические пространства, имеющие один и тот же гомотопический тип. Тогда А —гомотопность произвольных двух отображений эквивалентна их В—гомотопности.

Имеет место теорема 2.3.1. Все топологические пространства в качестве объектов и классы !К —гомотопных отображений в качестве морфизмов составляют категорию.

Эту категорию обозначим через УС-НОМОТОР. определение 2.3.3. Пусть !К и £ произвольные классы топологических пространств. Скажем, что класс !К удовлетворяет условию факторизации отображения относительно класса £, если для произвольного пространства А&Ж* и отображения к: А—> X, где X любое топологическое пространство, существуют такое пространство В е £ и отображения к': А —» В и к": В —» X, что выполняется к — к" ° к'. теорема 2.3.3. Пусть класс К удовлетворяет условию факторизации отображения относительно класса £. Тогда из £—гомотопности произвольных двух отображений следует их УГ —гомотопность.

Не трудно заметить, что если £ с К, то класс £ удовлетворяет условию факторизации отображения относительно 1К. следствие 2.3.2. Пусть К произвольное семейство топологических пространств, а £ некоторое его подсемейство. Тогда из УС—гомотопности отображений следует их £ — гомотопность. предложение 2.3.4. Пусть В произвольное топологическое пространство, а А некоторый его ретракт. Тогда из В — гомотопности произвольных двух отображений следует их А — гомотопность.

Доказательство последнего предложения непосредственно следует из теоремы 2.3.3 и следующего предложения предложение 2.3.5. Пусть В произвольное топологическое пространство, а А некоторый его ретракт. Тогда пространство А удовлетворяет условию факторизации отображения относительно пространства В.

Из теоремы 2.3.3 следует, что если класс £ удовлетворяет условию факторизации отображения относительно класса 9С (в частности, если £(z9C), то существует ковариантный функтор F^-Ж ~ НОМОТОР£ - НОМОТОР, который тождественен на объектах, а класс К — гомотопности [/переводит в класс £ — гомотопности [/\£.

Рассмотрим следующие семейства топологических пространств:

УС={Х, &хтХ<п}ъ Я~Р={Х, dim Х<Р}, где Р некоторый CW — комплекс, a dimX<P — обобщенная размерность пространства X [53].

Не трудно заметить, что JК п — гомотопность в смысле определения 1 эквивалентна п — гомотопности отображений, введенной Фоксом [57], а УС р — гомотопность эквивалентна P — гомотопности отображений, определенной Иваншичем, Рубиным и Шапиро [61].

Полученные в этом параграфе результаты, в частности, обобщают результаты из работы [61].

В четвертом параграфе главы 2 рассматривается К — гомотопическая категория К - HOMOTOP всех топологических пространств и ¡К — гомотопических классов непрерывных отображений и ее полная подкатегория Р, составленная из АЫЯ — пространств. Известно, что подкатегория Р является плотной подкатегорией категории Н - ТОР, то есть существует теория шейпов для пары (Н - ТОР, Р). Следующая теорема является необходимым и достаточным условием для того, чтобы подкатегория Р была плотной в категории X - НОМОТОР теорема 2.4.1. Подкатегория Р будет плотной подкатегорией категории К - НОМОТОР тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие Для произвольных топологического пространства X, АЫЯ —пространств (), @<еР и непрерывных отображений *7р 1г (2' у / '-Х —> / которые удовлетворяют условию

11\° I ~ Л2° /' существует такое АЫЯ—пространство О" е Р и такие непрерывные отображения и /:Х—>()", что

77°/'-/ и ° г1~г1г ° 1 •

Из последней теоремы следует, что для всех семейств К топологических пространств, которые удовлетворяют условию (*) можно построить теорию шейпов для пары

К- НОМОТОР, Р).

Шейповую категорию, построенной для пары (УС - НОМОТОР, Р), назовем !К — шейповой категорией топологических пространств и обозначим через К - БИ.

Очевидно, что существуют семейства для которых справедлива теорема 1. Тривиальным примером такого семейства ¡К может служить семейство всех топологических пространств ТОР. Полученная в этом случае теория !К — шейпов совпадает с классической теорией шейпов топологических пространств. Другие примеры таких семейств, по существу, были построены в работах Чигогидзе [37] для метризуемых пространств, Джименеза, Рубина [62] и Иваншича, Рубина, Шапиро [61] для компактных топологических пространств. теорема 2.4.2. Пусть 9С={Х, снтX <п} семейство топологических пространств, размерность которых не превосходит п. Тогда выполняется условие (*) теоремы 2.4.1. теорема 2.4.3. Пусть 9СР={Х, <11 тХ<Р} семейство топологических пространств, фундаментальная размерность которых не превосходит СЖ—комплекса Р. Тогда выполняется условие (*) теоремы 2.4.1.

Из последних теорем следует, что для семейств !К=\Х, &\тХ <п\ и УСР={Х, ё\тХ<Р] можно построить теории УСп— шейпов и Кр — шейпов, соответственно. Теория УСп— шейпов в нашем смысле совпадает с теорией п — шейпов Чигогидзе [37], а теория !Кг— шейпов совпадает с теорией Р— шейпов, построенной Иваншичем, Рубиным и Шапиро [61].

В первом параграфе главы 3 определяется (определения 3.1.1 и 3.1.2) и изучается понятие эквивариантной подвижности и, в частности, устанавливается связь с обычной подвижностью: теорема 3.1.1. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы О. Тогда всякое —пространство будет и пространством. теорема 3.1.2. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы О. Тогда всякое С—подвижное С —пространство будет и Н — подвижным. следствие 3.1.1. Если С—пространство X С—подвижно, то оно подвижно.

Пример 3.4.1 показывает, что утверждение следствия 3.1.1, вообще говоря, не обратимо, если даже взять в качестве группы О циклическую группу второго порядка 2г. Этот пример строится не просто. В качестве пространства берется обратный предел надстроек букета двух экземпляров окружности £ с отмеченной точкой {1} и на этом пространстве задается действие циклической группы Z2. Доказывается, что это пространство имеет тривиальный шейп, однако не — подвижно, для чего придется прибегнуть к условию Миттаг — Лефлера для последовательности групп.

В параграфах 2 и 3 главы 3 доказаны теоремы о сохранении эквивариантной подвижности при переходе к пространствам Н — орбит, множествам Н — неподвижных точек и при замене группы С на замкнутую подгруппу Н : теорема 3.2.1. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы О. Для всякого С-АЯ(Рс) (С - АМЯ(РС))—пространства X множество Х[//] всех его Н—неподвижных точек есть АЯ(Р) (АЖ(Р)) —пространство. теорема 3.2.2. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы С. Если С—пространство X С —подвижно, то множество всех его Н —неподвижных точек — подвижно. теорема 3.3.1. Пусть X метризуемое О—пространство и либо X, либо О — сепарабельно. Если X С—подвижно, то О — подвижно и Х\ц для любой замкнутой нормальной подгруппы Н группы С.

Здесь следует отметить, что рассматривается как О — пространство с естественным действием, заданным формулой = Нg€■G, х е X. Заметим, что нормальность подгруппы Н необходима, так как в противном случае вышеуказанное действие просто не было бы корректно определенным. следствие 3.3.1. Пусть X метризуемое С—пространство и либо X либо С сепарабельно. Если X О—подвижно, то пространство орбит Х\С подвижно.

Следствие 3.3.1, вообще говоря, не обратимо. В самом деле, известно [7], что соленоид £ — неподвижная, компактная, метеризуемая абелева группа. Согласно следствию 3.1.1 соленоид X с естественным групповым действием на себя не I- подвижен, хотя пространство орбит будучи одноточечным множеством, подвижно.

В параграфе 3 главы 6 построен другой, менее очевидный и более интересный, пример эквивариантно неподвижного пространства с подвижным пространством орбит, даже в случае действующей группы Z2. Это пространство Р есть обратный предел букетов двух экземпляров окружностей, который является связным, компактным и метризуемым: предложение 6.3.2. Р — связное, компактное, метризуемое, эквивариантно неподвижное Z2 —пространство, свободное во всех точках, кроме неподвижной точки (Ь0,Ь0,.), и $ь(р\г2)=о.

Тем не менее, оказывается, что это следствие 3.3.1 обратимо в случае, когда действующая группа лиева, а действие — свободное. Это в частности следует из следующей важной теоремы: теорема 6.2.1. Метризуемое свободное О—пространство С—подвижно тогда и только тогда, когда его пространство орбит подвижно.

Пример 3.4.1 показывает, что условие лиевости группы О в последней теореме существенно. Как показывает пример 6.3.1 в этой теореме существенно и условие свободности действия группы О.

Тем самым получена характеристика свободных, (7 — подвижных метризуемых О — пространств, где группа (7 — лиева.

Теорема 6.2.1 следует из следующей, представляющий самостоятельный интерес, леммы: лемма 6.2.1. Пусть У метризуемое О - АЯ(Ма) — пространство. Если замкнутое инвариантное подмножество X из У имеет инвариантную окрестность, все орбиты которой имеют один и тот же тип, и Х\С — подвижно, то X — (7 — подвижно.

В первом параграфе четвертой главы проявляется новый, категорный подход к понятию подвижности топологического пространства. Следует отметить, что подвижность топологического пространства прежде было определено либо с помощью окрестностей данного пространства (замкнуто вложенного в некоторое АЯ — пространство), либо с помощью обратных спектров, в зависимости от того какой подход к теории шейпов применяется. Однако, при категорном подходе Мардешича [73] к теории шейпов не было дано подходящее категорное определение подвижности. Оказывается, что этот пробел можно заполнить, если ввести следующее понятие подвижной категории.

Пусть К произвольная категория, а К' произвольная ее подкатегория. определение 4.1.1. Скажем, что подкатегория К' подвижна в категории К, если для произвольного объекта X б оЬ(К') существуют такой объект У е оЬ(К') и такой морфизм / еК'(У,Х), что для любого объекта 2 еоЬ(К') и любого морфизма geK'(Z,X) существует такой морфизм к еК(У,2), что коммутативна следующая диаграмма: определение 4.1.2. Категория К назовем подвижной, если она подвижна относительно самого себя.

Оказывается, что существуют достаточно широкие классы подвижных категорий. Для этого напомним: определение 4.1.3 ([9]). Говорят, что К есть категория с нулевыми морфизмами, если для любой пары (А, В) объектов из категории К существуют морфизмы оВА : В такие, что для всех морфизмов V: В\-> С и и: £) ь-> А, где С и И произвольные объекты категорий К, выполняется вл=°СА> °вли = ДОопределение 4.1.4 ([9]). Объект О еоЬ(К) называется инициальным, если для произвольного объекта X еоЬ(К) множество МогК(0,Х) состоит из единственного морфизма. теорема 4.1.1. Всякая категория К с нулевыми морфизмами подвижна. теорема 4.1.2. Всякая категория К, имеющая инициальный объект, подвижна.

При построении теории шейпов, основанный на применение ассоциированных спектров, каждому топологическому пространству X сопоставляется некоторый ассоциированный обратный спектр а$5(Х) = {Ха, раа., А} ([76]). Спектр = {Ха, раа., А} можно рассматривать как категорию, объекты которой являются АЫЯ — пространства Ха, а е А, а морфизмы — раа, : Ха, —» Ха . Не трудно заметить, что тогда ¿«■¿(Х) является подкатегорией категории Н - Тор. Непосредственно из определения 3.1.1 следует предложение 4.1.1. Подвижность топологического пространства X эквивалентна подвижности подкатегории в категории Н-Тор. При категорном подходе Мардешича ([74]) к построению теории шейпов, каждому топологическому пространству X сопоставляется некоторая категория \гх, объекты которой являются гомотопические классы / : X ь-> ¡2, а морфизмы — коммутативные треугольники X о: <-Q" м где (2, Q' — АИЯ - пространства. Оказывается, что имеет место теорема 4.1.3. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда подвижна категория XVх.

Последняя теорема есть простая переформулировка следующей теоремы. теорема 4.1.4. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для произвольного АИК— пространства () и любого гомотопического класса существуют такие АЫЯ — пространства ()', гомотопические классы и г] \()'\-> (2 с условием / = г]°/', что каковы бы не были АИЯ — пространство <2", гомотопические классы f"^.X\-ъQ" и

77': ()" н» с условием / = т]' 0 /", существует такой гомотопический класс Т]" : 0! ь-> 0", что выполняется г]= ц' ° г)"

Очевидно, что условие последней теоремы может служить новым определением подвижности топологического пространства.

После введения понятия подвижности К. Борсук [7] доказал, что всякий плоский компакт подвижен. Ю. М. Смирновым был поставлен естественный вопрос: всякий ли плоский компакт с непрерывным действием группы О будет эквивариантно подвижным? Во втором параграфе третьей главы этот вопрос решается для произвольных линейно действующих связных групп. В решении этого вопроса ключевыми являются: предложение 4.2.1. Орбиты точек плоскости, при нетривиальном ортогональном действии связной группы С на Я2, являются окружностями с центром в начале координат и проходящие через эти точки. следствие 4.2.1. Плоские инвариантные континуумы, при нетривиальном ортогональном действии связной группы С на

Я1, могут быть следующих трех видов

1. точка (начало координат),

2. окружности с центром в начале координат,

3. замкнутые кольца с центром в начале координат. следствие 4.2.2. Связные открытые инвариантные подмножества плоскости, при нетривиальном ортогональном действии связной группы О на Я2, суть открытые кольца с центром в начале координат. теорема 4.2.1. Всякий плоский инвариантный континуум, при ортогональном действии связной группы С на Я2, эквивариантно подвижен. теорема 4.2.2. Всякий плоский инвариантный континуум, при линейном действии связной группы О на Я2, эквивариантно подвижен.

Доказательство последней теоремы непосредственно следует из теоремы 3.2.1 и следующей известной теоремы: теорема 4.2.3 [8]. Каждое представление компактной группы С на п — мерном вещественном векторном пространстве Ь эквивалентно ортогональному представлению группы С на Я". теорема 4.2.4. Пусть сг связная группа. Если всякая компонента компактного О—пространства X эквивариантно подвижна, то С—пространство X также эквивариантно подвижно.

Из теорем 4.2.2 и 4.2.4 непосредственно следует теорема 4.2.5. Всякий плоский инвариантный компакт, при линейном действии связной группы С, эквивариантно подвижен.

В третьем параграфе доказывается эквивариантный аналог (теорема 4.3.1) известной теоремы Фрейденталя [58], который, в частности, позволяет обобщить некоторые результаты Богатого [5] (в этом параграфе действующая группа (7 предполагается конечной). теорема 4.3.1. Любое п— мерное компактное метризуемое С—пространство является пределом обратного спектра

Б = 7г/+11, / = 1,2,. , составленного из компактных п — мерных G— комплексов и эквивариантных отображений

7l'*\ i= 1,2,. теорема 4.3.2. Если G —пространство X является пределом обратного спектра {Ха,раа,,А} составленного из компактных G—пространств Ха и эквивариантных отображений раа,, то обратная система G —ассоциирована с G — пространством X.

Непосредственно из теорем 4.3.1 и 4.3.2 получается следствие 4.3.1. Пусть X компактное метризуемое G — пространство с dim Х<п. Тогда существует G — ассоциированный с X спектр {Ха,раа,,А} с dimXa<n для любого а еА.

Из теоремы 4.3.1 получаются некоторые обобщения результатов Богатого ([5]): теорема 8.3.1. Если компактное метризуемое G — пространство X является G - п— подвижным и FdcX <п, то X является G—подвижным.

Так как фундаментальная размерность FdaX не превосходит обычную размерность dim, то из последней теоремы получаются следствие 8.3.1. Всякое п— мерное, G - п —подвижное компактное метризуемое G —пространство является G — подвижным. следствие 8.3.2. Компактное метризуемое G — пространство конечной размерности FdGX является G — подвижным тогда и только тогда, когда оно G-n—подвижно для всех п.

Четвертый параграф четвертой главы посвящен эквивариантным шейпам скрученных произведений. Основными результатами этого параграфа являются:

ТЕОРЕМА 4.4.1. Пусть Н замкнутая подгруппа группы G, А и В Н —пространства, А = Ит{Ла, раа.}, В = Иш^, q№\, а f = \fp, у/)\ А -> В — Н —шейповый морфизм, где А = {Аа,раа] и

В = {Вр, qpp. j — обратные Н - ANR(CH) —спектры. Тогда

GxH ^ = lim{Gx„ Аа,\хн Раа, \,

G хн В = lim{ G хя Вр, 1хя qpp, }, где 1 хн / = {1 хя / у/ j: GxH А —> GxH В — G—шейповый морфизм, а

GxH A = {GxH Аа,\хн раа, } и GxH B = {GxH Вр,\хн qpp, } - обратные

G - ANR(Cg)—спектры.

Теорема 4.4.1 фактически утверждает, что если G — компактная группа Ли, а Н — замкнутая подгруппа группы G, то в классе всех компактных Н — пространств операция скрученного произведения G хн — является функтором из категории Н - SHAPE в категорию G - SHAPE. Причем, как показывает следующая теорема, этот функтор Н — шейпово — эквивалентные объекты переводит в G — шейпово — эквивалентные объекты:

ТЕОРЕМА 4.4.2. Пусть shHA = shHB ,где А и В произвольные Н—пространства, где Н замкнутая подгруппа группы G. Тогда shaG х н А = shcG хИ В.

СЛЕДСТВИЕ 4.4.1. Пусть Н замкнутая подгруппа группы G. Если существуют Н—шейпово эквивалентные Н—срезы в G — пространствах X и Y, то shGX = shaY.

СЛЕДСТВИЕ 4.4.2. Пусть X произвольное G—пространство, a f: X —> G\H — эквивариантное отображение, где Н замкнутая подгруппа группы G. Если 5/2я(/"'(еЯ)) = 0, то shGX = shcG\H.

Далее доказывается, что функтор скрученного произведения GxH - Н —подвижные объекты переводит в G —подвижные: теорема 4.4.3. Пусть Н замкнутая подгруппа группы О. Если А — Н—подвижное пространство, то С—пространство (7хя А — С—подвижно. следствие 4.4.3. Если в С—пространстве X существует Н —подвижный Н— срез, где Н — замкнутая подгруппа группы О, то X — С —подвижно.

В теории шейпов очень важен следующий вопрос: когда шейповый морфизм между топологическими пространствами порождается некоторым непрерывным отображением. Во втором параграфе четвертой главы этот вопрос в эквивариантной теории шейпов решается в специальном случае, что позволяет получить некоторые интересные результаты. теорема 5.2.1. Пусть сг компактная группа со счетной базой, Ясб замкнутая нормальная подгруппа, а X произвольное О—пространство. Тогда любой С—шейповый морфизм Р:Х С\Н порождается некоторым эквивариантным отобр ажен и ем. теорема 5.2.2. Пусть С компактная группа со счетной базой, ЯсС — замкнутая нормальная подгруппа, а X произвольное С—пространство. Если существует С—шейповый морфизм Г\Х—> С\Н, то Х = СхнА, где А некоторое Н — пространство, а Т7 — порожден О—эквивариантным отображением / : СхнА —» 0\Н, заданным формулой /([?, я]) = .

В формулировке последней теоремы, взяв в качестве замкнутой нормальной подгруппы Н единичную группу {е}, получим следствие 5.2.1. Если существует С—шейповый морфизм Г из О—пространства X в компактную группу О со счетной базой, то Х = Х\СхО, а Т7 порожден естественной проекцией рг2 :Хрх0->0. следствие 5.2.2. Если существует О—шейповый морфизм из С—пространства X в компактную группу С со счетной базой и 5к(Х\0) = 0, то 8к0Х = зкаО.

Для доказательства теорем 5.2.1 и 5.2.2 важны теорема 5.1.1. Пусть Н замкнутая подгруппа компактной группы Ли С. Тогда естественная О—эквивариантная проекция р \ С —^ С\Н является С —расслоением. теорема 5.1.2. Пусть Н и К замкнутые нормальные подгруппы группы О и Н аК. Если 0\Н — группа Ли, то естественный (7 —эквивариантный эпиморфизм р: С Н —> Сг|К является С—расслоением.

В третьем параграфе главы 5 вводится понятие слабо — эквивалентных О —пространств, изучается классы таких пространств и, в частности, классифицируются С — пространства, слабо — эквивалентные фактор пространствам 0\Н с естественным действием группы С. определение 5.3.1. О—пространства X и У назовем слабо—эквивалентными и обозначим Х~У, если существуют С — шейповые морфизмы как из X в Г, так и из Г в X.

Не смотря на свою элементарность, это понятие играет ключевую роль при отыскании мажоранты в классах О — подвижных компактов (глава 7 § 2).

Очевидно, что отношение слабой эквивалентности является "отношением эквивалентности". Следовательно, семейство всех С — пространств распадается на непересекающиеся классы слабо эквивалентных между собой С —пространств. Класс слабой эквивалентности Сг — пространства X обозначим через IV (X). предложение 5.3.1. Семейство всех С—пространств с неподвижной точкой составляет в точности один класс слабой эквивалентности.

Класс слабой эквивалентности тривиального (7 — пространства обозначим через Ш0, а через ]¥х обозначим класс слабой эквивалентности самой группы С с естественным групповым действием.

Заметим, что следствие 5.2.1 дает характеристику класса для компактных групп со счетной базой: предложение 5.3.2. Пусть О компактная группа со счетной базой. Тогда О—пространство X принадлежит классу IV, тогда и только тогда, когда X = Х\Сх (7. теорема 5.3.1. Пусть Н и К замкнутые подгруппы компактной группы ли е. уу(р\н)=1¥{в\к) тогда и только тогда, когда подгруппа Н сопряжена с подгруппой К. теорема 5.3.2. Пусть О компактная группа Ли, а Н — ее замкнутая подгруппа. Для произвольного О — пространства X е И/(с\н) существуют эквивариантные отображения

Х^в\Н и (р:в\Н^Х. теорема 5.3.3. Пусть Н — замкнутая подгруппа компактной группы Ли С и Тогда а) для любой орбиты Р с X имеет место (уреР > (уре(С\Н), б) существует такая орбита (2 с: X, что typeQ = type{G\H). теорема 5.3.4. Пусть Н замкнутая подгруппа компактной группы Ли О. О—пространство X принадлежит классу ш{(3\н} тогда и только тогда, когда существует такое Н пространство АеИ^0, что Х = ОхяА.

Следующее определение играет важную роль во многих дальнейших рассуждениях и построениях. определение 5.4.1. Обратную последовательность \Хк,Рк е,Ы\ С — пространств назовем канонической, если для любого к е N найдется такое эквивариантное отображение 1

Х„ что

Рк,к+1 т-> о г — И где 1 < у < к. теорема 5.4.1. Любая каноническая О-АИЯ — последовательность О —подвижна. теорема 5.4.2. Всякая С—подвижная обратная О-АИЯ — последовательность содержит каноническую подпоследовательность.

Из теорем 5.4.1 и 5.4.2 в качестве следствия получается теорема 5.4.3. Компактное метризуемое О—пространство X - С—подвижно тогда и только тогда, когда существует

С—ассоциированная с X каноническая обратная О-АЫЯ — последовательность. лемма 5.4.1. Пусть X компактное метризуемое С — подвижное пространство. Существует такая С — ассоциированная с X обратная & - АЫЯ —последовательность рк пИ\ что Хк е Ж(Х) для любого к е N. теорема 5.4.4. Любое компактное метризуемое с7 — подвижное пространство слабо—эквивалентно некоторому С - АИЯ —пространству.

Как показывает следующее предложение условие О — подвижности в формулировке последней теоремы существенно. предложение 6.1.1. Существует С—пространство не слабо—эквивалентное никакому компактному О—подвижному пространству со счетной базой.

В качестве такого примера может служить любая компактная не Лиева группа со счетной базой. А это следует из следующей теоремы: теорема 6.1.1. Компактная группа С со счетной базой является лиевой тогда и только тогда, когда существует О — шейповый морфизм F : X —» С из (7 —подвижного компакта X со счетной базой в группу О.

Из последней теоремы получается очень важная и интересная теорема 6.1.2. Компактная группа со счетной базой лиева тогда и только тогда, когда она С —подвижна.

В доказательстве последних двух теорем ключевыми являются одна теорема Понтрягина ([31], стр. 332) и следующая теорема 5.4.5. Пусть X и У компактные метризуемые О — пространства, X е Ж(У) и У — О —подвижно. Тогда существует такая О—ассоциированная с X последовательность \Хк, рк что Хк е Ж (У) для любого к е N.

Таким образом эквивариантная подвижность компактной группы со счетной базой эквивалентна ее лиевости. Отметим, что в не эквивариантном случае подвижность групп была исследована Кисслингом [66]. Им было доказано, что из подвижности компактной, связной группы О следует локальная связность, причем обратное —

V уТ неверно: приводится пример компактной, связной группы О, которая локально — связна, но не подвижна.

Теорема 6.1.2 дает новые примеры подвижных, но не О — подвижных пространств. В самом деле, существуют примеры не лиевых компактных групп со счетной базой, пространства которых подвижны [47]. Эти группы не й — подвижны по теореме 6.1.2.

Глава 7 посвящена проблеме существования мажоранты в семействе всех О— подвижных компактов. Эта проблема в не эквивариантном случае была поставлена Борсуком и Голштиньским ([48], проблема 6.6) после того, как они доказали, что в семействе всех компактов мажоранты не существует. Спиж в своей работе [86] доказал, что в семействе всех подвижных компактов существует мажоранта. Оказывается, что такое утверждение в эквивариантном случае не верно(теорема 7.2.1). определение 7.2.1. Пусть К — некоторый класс О — пространств. С—пространство У называется мажорантой класса К, если для любого О—пространства X из К. теорема 7.2.1. Если С нетривиальная группа, то в классе всех С —подвижных компактов нет мажорант.

Однако оказывается, что утверждение последней теоремы верно в любом классе слабо — эквивалентных (? — подвижных компактов: теорема 7.2.3. Пусть (7 компактная группа со счетной базой. Тогда в любом классе слабо—эквивалентных С—подвижных компактов существует мажоранта.

В случае, когда действующая группа С тривиальна, эта теорема превращается в известную теорему Спижа [86].

Теорема 7.2.3 дает исчерпывающий ответ на проблему существования мажоранты в эквивариантной теории шейпов, поскольку классы слабо — эквивалентных О — подвижных компактов — это те максимальные классы, в пределах которых могут существовать мажоранты: предложение 7.1.1. Если для класса К существует мажоранта, то все О—пространства класса К попарно слабоэквивалентны.

Из теоремы 7.2.3 в качестве следствия получается теорема 7.2.4. Пусть й компактная группа со счетной базой. Тогда в классе всех С—подвижных компактов с неподвижными точками существует мажоранта.

Для доказательства выше приведенных теорем устанавливаются ряд важных результатов, из которых выделим следующие: лемма 7.2.1. Пусть С компактная группа со счетной базой. Тогда существует счетная система М компактных С - АЫЯ —пространств такая, что любое компактное О — пространство X можно представить в виде предела обратной С - АЫЯ —последовательности \Хк, рк к+х, ТУ}, где каждое Хк е М.

ЛЕММА 7.2.2. Пусть С? компактная группа со счетной базой. Тогда для любого класса К С —подвижных попарно слабоэквивалентных компактов имеется такая счетная система Р компактных О - АЫЯ —пространств из того же класса К, что любое О—пространство X из К можно представить в виде предела обратной О - АИЯ —последовательности \Хк, рк ы, Л^}, где каждое Хк е р.

ТЕОРЕМА 7.2.2. (обобщенная теорема Брауна [49]). Пусть

X = \\т{Хк, рк к+1,М\, где {Хк,ркк+обратная О-АЫЯпоследовательность из компактных С—пространств, а Qk, к = 1,2, • • • такие семейства эквивариантных отображений из Хк+{ в Хк, что для любого £>0 в Qk найдется такое д, что с1{рк к+1, д)< е. Тогда имеется такая последовательность [дк к+1, тУ},

ЛЕММА 7.2.3. Для любого О —пространства X е К, где О — компактная группа со счетной базой, существуют такие последовательности (пх,щ,•••) и (т1,т2,---) натуральных чисел, что X эквивариантно гомеоморфно пределу обратной О - АЫЯ — последовательности т\ п>1 «п

0 1 <Р -г^ <Р р ( р ^ р ^ # в в 1 где Р е Р, е Сс [РП х ,Рп ) и для любого г е N т^п,] т1 > п1+1; тм>т.+ 2 ЛЕММА 7.2.4. Пусть К некоторый класс С—подвижных попарно слабо—эквивалентных компактов, где С — компактная группа со счетной базой. Тогда существует такая обратная О - АИЯ —последовательность , дк к+], ТУ"}, что а) Ук — некоторое дизъюнктное объединение первых к элементов семейства Р = {Рх, Р2, Р3, • • •}, удовлетворяющего условиям леммы 7.2.2, б) дк к+х — эквивариантные ретракции, в) каждое X из К является обратным пределом такой О - АИВ. —последовательности \Хк, рк к+х, что Хк = Р1 а Ук для некоторого г < к и рк к+х = дк к+х \ХМ для любого к е N.

Результаты первого параграфа главы 6 являются ключевыми для последних лемм. Однако эти результаты представляют и самостоятельный интерес. лемма 7.1.1. Пусть произвольная, а

X - \Х к , р к Л+х, N } такая каноническая (7 - АИЯ — последовательности, что а) все дк м эквивариантные отображения "на", б) Хк — непустая сумма некоторых компонент связности Ук для любого к е N, в) Рк,кЛх) = Чк,Лх) 9лял1обого хеХк+], г) имеется эквивариантное отображение И:Ух\Хх I—> X, Тогда 8ИсХ<8ксУ, где X = \irnX и У = Нш7.

Последняя лемма верна и без предположения сюръективности эквивариантных отображений дк к+х. Это предположение нам нужно было только для явного построения инвариантных подмножеств Ук5, к<ЕИ, Б = к,клемма 7.1.2. Пусть X и У слабо—эквивалентные компактные С—пространства. Если X С—подвижно и существует такое эквивариантное вложение Ь'.Хь-ъУ, что к{х) есть сумма некоторых компонент связности С—пространства

У, то зЪсХ < б^У.

ЛЕММА 7.1.3. Для произвольного компактного (7 — пространства X существует такое С—подвижное компактное С—пространство У, что X есть сумма некоторых компонент связности У. Причем, если класс Ж(х) содержит С—подвижный объект, то

ТЕОРЕМА 7.1.1. Пусть К некоторый, содержащий О — подвижный объект, класс слабо—эквивалентных компактных С — пространств. Компактное (7 —пространство X е К О — подвижно тогда и только тогда, когда 8И0Х < БксУ, если только X есть сумма некоторых компонент связности У е К.

Заметим, что если группа б тривиальна, то эта теорема превращается в теорему Спижа [86].

Различные типы подвижности топологических пространств были рассмотрены К. Борсуком [44], Олендским [81], С. Богатым [5] и другими авторами. В работе [81] Олендским были определены понятия М —доминирования и М — эквивалентности, которые автор использовал для изучения различных типов подвижности (п — подвижности и — подвижности, где некоторое семейство метризуемых компактов).

В первом параграфе главы 8, в рго — категории определяется и изучается понятие предподвижности обратного спектра. Устанавливается связь между понятиями предподвижности обратного спектра и Л — подвижности пространства. Теоремы 8.1.1, 8.1.2, 8.1.3, 8.1.4 и 8.1.5, следствие 8.1.2 обобщают известные результаты Богатого [5].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1.1. Пусть обратный спектр раа,, Л} ассоциирован с пространством X: ш^Х = {Ха, раа,, А]. Пространство X называется подвижным относительно пространства У, если выполняется следующее условие: для любого а существует такое а'>а, что для произвольного а" > а и любого / : УI—> Ха, существует такое / : У (-> Xа„, что выполняется р , ° /* = г? „ о г аа J ± аа ^ ' то есть коммутативна диаграмма х г / определение 8.2.2. Обратный спектр [Ха, раа,, А) называется предподвижным относительно обратного спектра ^Ур,црр,, , если выполняется следующее условие: для любого а существует такое а'>а, что для любых а" >а, Р еВ и любого /р\Ур\-^> Ха, существуют такие Р' > Р и /р, : Ур, I—> Ха„, что выполняется

Раа' ° /р °°1рр °//Г' то есть коммутативна диаграмма Л

ЛГ п" и А

Чрр' теорема 8.1.1. Пусть обратные спектры {Ха,раа,, А} и {Ур,дрр, ассоциированы с пространствами X и У, соответственно: assX = {Ха, раа,, A], assY =\Yp,qpp,,B^. Тогда обратный спектр {Ха,раа,, А} предподвижен относительно обратного спектра ^Yp,qpp,,B^ тогда и только тогда, когда пространство X подвижен относительно пространства Y.

ТЕОРЕМА 8.1.2. Пусть обратный спектр ^Yp,qpp,,B^ доминируется обратным спектром jz^r^rj. Если некоторый обратный спектр {Ха,раа,,А} предподвижен относительно спектра {Zy,rn., Г|, то он предподвижен и относительно спектра

Из последней теоремы в качестве следствия получается ТЕОРЕМА 8.1.3. Если обратные спектры ^Yp, qpp,, Z?j и

Zy, r^,, Г| изоморфны в pro—категории, то предподвижность некоторого обратного спектра |l , раа,, А} относительно спектра ^Yp,qpp,, В^ эквивалентна его предподвижности относительно спектра |Zr, гп., Г|.

Из теорем 8.1.1, 8.1.2 и 8.1.3 непосредственно получаются СЛЕДСТВИЕ 8.1.1. Пусть shY<shZ. Тогда, если пространство X подвижен относительно пространства Z, то оно будет подвижным и относительно Г.

СЛЕДСТВИЕ 8.1.2. Если shY = shZ, то пространство X подвижно относительно пространства Y тогда и только тогда, когда оно подвижно относительно пространства Z.

ТЕОРЕМА 8.1.4 . Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда оно подвижно относительно класса всех ANR— пространств.

ТЕОРЕМА 8.1.5 . Топологическое пространство X п — подвижно тогда и только тогда, когда оно п— подвижно относительно класса всех ANR—пространств, имеющие размерность < п. теорема 8.1.6. Пусть обратный спектр {Ха,раа,, А} доминируется обратным спектром ^Yp, qpp,, в pro—категории.

Тогда из предподвижности спектра {Ха, раа,, А} относительно некоторого обратного спектра { Zy, гп,, Г j следует предподвижность спектра ^Yp,qpp,,B^, относительно того же спектра {z^r^.r}.

В качестве следствия получается теорема 8.1.7. Пусть обратные спектры {Xa,paa,,Aj и Yp,qpp,,B| изоморфны в pro—категории. Тогда предподвижность обратного спектра {Ха,раа,, А} относительно некоторого обратного спектра {Zy,rn,, Г| эквивалентна предподвижности спектра jYp, qpp,, В j относительно того же спектра , гп., Г|.

Из теорем 8.1.6 и 8.1.7 непосредственно получаются следствие 8.1.3. Пусть shX<shY. Тогда, если пространство X подвижно относительно некоторого пространства Z, то пространство Y также будет подвижным относительно того же пространства. Z. следствие 8.1.4. Если shX = shY, то пространство X подвижно относительно некоторого пространства Z тогда и только тогда, когда пространство Y подвижно относительно того же пространства Z.

Во втором параграфе главы 8 понятия М — доминирования и М — эквивалентности рассматриваются в классе всех топологических пространств, обобщаются некоторые результаты Олендского ([81]) и для определенных классов топологических пространств дается положительный ответ на проблему (3.9), поставленной Олендским в работе [81].

Пусть X произвольное топологическое пространство, а [Ха,раа,,А] некоторый ассоциированный с X (в смысле Мориты) спектр ([76]). определение 8.2.1. Пространство X называется подвижным относительно класса 91 топологических пространств, или 91—подвижным, если спектр {Ха,раа,А} удовлетворяет условию: для любого ае А существует такое а' >а, что для всякого а" > а, всякого пространства А е 91 и всякого отображения /':А—>Ха, существует такое отображение /":А-^>Ха., что

Раа■ 0 /' = Раа- 0 /' • шо есть гомотопически коммутативна следующая диаграмма

Следуя Олендского [81] можно определить понятия М — доминирования и М — эквивалентности в классе всех топологических пространств. Пусть и 91' произвольные семейства топологических пространств. определение 8.2.3. Семейство 91 называется М— доминируемым семейством 91' (запись 91 <91'^, если 91' — м подвижность влечет за собой 91 —подвижность, т.е. из того, что топологическое пространство X 91'— подвижно следует, что оно и —подвижно. 91 и ' называются М —эквивалентными (запись 91 = 91',/ если 91<91' и 91'<91. и м м

Ясно, что если любое топологическое пространство А рассматривать как одночленное семейство то, таким образом, среди всех топологических пространств определяется некоторое отношение М — эквивалентности, которое, как легко заметить, является "отношением эквивалентности". Следовательно семейство всех топологических пространств разбивается на непересекающиеся классы М — эквивалентных пространств. теорема 8.2.1. Пусть 91 и 9?' произвольные семейства топологических пространств. Если для всякого пространства Ае91 существует такое пространство А'е91' , что хкА^БЪА', то 91 <91'. м следствие 8.2.1. Пусть А и В произвольные топологические пространства. Если БкАйБкВ то А<В. И

Из последнего утверждения следует теорема 8.2.2. Шейпово эквивалентные пространства м — эквивалентны.

Таким образом, если А некоторое топологическое пространство, то теорема 8.2.2 фактически гласит, что класс [А]м всех М — эквивалентных А пространств не у'же класса всех шейпово эквивалентных А пространств. Пример 8.2.1 показывает, что, класс на самом деле, "строго шире" чем класс То есть обращение теоремы 8.2.2 не верно. Тот же самый пример показывает, что М — эквивалентные пространства могут иметь неизоморфные группы гомологий. теорема 8.2.3. Существует такой метризуемый компакт А, что А —подвижность произвольного топологического пространства эквивалента подвижности. теорема 8.2.4. Существует такой метризуемый компакт А с (ИтА < п, что А—подвижность произвольного топологического пространства эквивалента п—подвижности. теорема 8.3.2. Существует такой метризуемый С — компакт А с сПтА<п, что эквивариантная А—подвижность произвольного О—пространства эквивалентна эквивариантной п —подвижности.

Теоремы 8.2.3 и 8.2.4 изучение подвижности и п — подвижности практически ведут к изучению А — подвижности, где А подходящий метризуемый компакт. Естественно спрашивается: а можно ли изучение — подвижности, где 1Я некоторое семейство топологических пространств свести к изучению А — подвижности, где А некоторое топологическое пространство? Точнее говоря: для любого семейства топологических пространств существует ли такое топологическое пространство А, что 5Я? Вот этот вопрос в классе метризуемых компактов был поставлен Олендским в работе [81] (проблема (3.9)). Эту проблему можно поставить в более общем виде. вопрос 8.2.1. Пусть К некоторый класс топологических пространств. Для произвольного семейства Я элементов из К существует ли такой элемент А из того же класса К, что 9!={Л}?

Как показывает теорема 8.2.5 этот вопрос имеет положительный ответ в таких классах топологических пространств, которые замкнуты относительно операции несвязной топологической суммы. теорема 8.2.5. Пусть К класс топологических пространств, замкнутый относительно операции несвязной топологической суммы. Для произвольного семейства 91 элементов из класса К существует такой элемент А класса К, что теорема 8.2.6. Существует такой метризуемый компакт, который не подвижен относительно самого себя. пример 8.2.1. М — эквивалентных пространств, имеющих неизоморфные группы гомологий, а следовательно, и различные шейпы.

Пусть А и В топологические пространства, имеющие неизоморфные к— тые группы гомологий: Нк(А)£Нк(В).

Оказывается, что несвязные топологические суммы и

А]\В\\В. М — эквивалентны: ЛЦ А\\В = А\\В , однако Нк{А\1Л]1В)^Нк{А\1В\1В).

ВСПОМОГАТАЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ

А. Теория С -пространств

А.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Действием группы О2) па множестве X называют всякое отображение к: С х X —> X декартова произведения Ох X в множество Xудовлетворяющее условиям а) 7г(е, х) = х б) 7г^к,х) = 7г^,7г(к,х)) где е — единица группы С , а g,h<=G и хе X. любые элементы.

В дальнейшем, в тех случаях, когда из контекста ясно о каком отображении к идет речь, мы вместо 7Г^,х) пишем просто g(x) или gx. В этих обозначениях условия а) и б) примут следующий вид: а) ех = х б) g(hx) = (gh)x

А.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если С — группа, а Ь—линейное пространство, то действие л: С х I, —» Ь называется линейным, если выполнено условие в) g(Лx + ^y) = Яgx + ^gy для всех g&G, х,у&Ь и любых скаляров Л и /л.

А.З. Если О — топологическая группа, а X — топологическое пространство, то действо к: О х X —» X называется непрерывным, если оно непрерывно как отображение По поводу понятий, определений и результатов настоящего раздела см. работы [8], [52], [83].

2) Группой всюду называем мультипликативную группу. " топологического произведения СхХ в топологическое пространство X.

А.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Топологическое пространство X с фиксированным непрерывным действием 7г:СхХ-^Х группы Сг называется О—пространством.

А.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным О —пространством называется С—пространство Ь, где Ь — топологическое линейное пространство, а действие п :Сх Ь—> Ь линейно и непрерывно

Начиная с этого момента, группой будем называть хаусдорфову топологическую группу, а пространством — топологическое пространство.

А.6. Пусть X и У произвольные С—пространства. Непрерывное отображение /: X -> У называется эквивариантным или С —эквивариантным, или просто О — отображением, если выполнено равенство для любого £ е Сг и х е X.

При фиксированной топологической группе О все О — пространства (в качестве объектов) и все эквивариантные отображения (в качестве морфизмов) составляют категорию. Эту категорию обозначим через Торс.

В дальнейшем используются следующие важные категории: МС — категория всех метризуемых компактов и непрерывных отображений,

С — категория всех хаусдорфовых компактов и непрерывных отображений,

М — категория всех метризуемых пространств и непрерывных отображений,

Р — категория всех р — паракомпактных пространств и непрерывных отображений.

Соответствующие им категории С — пространств и С — эквивариантных отображений обозначим через МСа, Са, Ма, Ра, соответственно.

А.7. Пусть Н — некоторая подгруппа группы С. Подмножество А С—пространства X называется Н — инвариантным, если НА - А, где НА = {ка\ к е Н,а е А].

Каждое Н — инвариантное подмножество А О — пространства X является Н — пространством с действием, являющимся ограничением действия п: С х X —» X на подмножество Н х А.

С — инвариантные подмножества часто называют просто инвариантными.

А.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ [83]. Пусть О — компактная группа, а X — произвольное О —пространство. Тогда в любой окрестности V инвариантного в X множества Г содержится некоторая инвариантная окрестность V множества Т7.

А.9. Пусть X — некоторое О—пространство, Н — некоторая подгруппа группы С, а хеХ — произвольная точка. Подпространство Нх = {Их; И еН] называется Н —орбитой точки х. О —орбиты точек называются просто орбитами.

Н— орбиты Нх и Ну любых двух точек х,у^Х либо не пересекаются, либо совпадают. Обозначим через Х\Н множество, элементами которого являются Н — орбиты = Нх действия группы О на X. Естественное отображение тгх : X —» Х\Н , сопоставляющее точке х еХ ее Н — орбиту , называется Н — орбитной проекцией.

Множество Х\Н с естественной фактор — топологией называется пространством Н — орбит С — пространства X. Если Н = С, то Х\Э называется пространством орбит.

Пусть Н — нормальная подгруппа группы б. Тогда на пространстве Н — орбит Х\Н имеется естественное действие группы б, заданное формулой = [§х]я для любого £ е б и [х\н е Х\Н.

А. 10. ПРЕДЛОЖЕНИЕ [83]. Пусть Н — нормальная подгруппа группы б, X и У произвольные С? —пространства, а /: X —> У — б —эквивариантное отображение. Тогда существует единственное С—эквивариантное отображение / Н : Х\Н —» У\Н, называемое отображением, индуцированным /, такое, что следующая диаграмма коммутативна x У

Iя х\н ->У\Н

А.11. Пусть X некоторое С—пространство, а хеХ некоторая точка. Множество е б; gx = х} является замкнутой подгруппой группы (7 в случае хаусдорфова пространства X. Эта подгруппа Ох называется стационарной подгруппой (или стабилизатором) точки х.

Имеет место формула

Ggx = gGxg'l , для любого £ е (7 и хеХ, означающая, что все стационарные подгруппы точек одной и той же орбиты сопряжены друг с другом.

Для каждого подмножества Н группы б множество Х\н\ = {х е X; Их = х для всех НеН] называется множеством Н — неподвижных точек.

А. 12. Пусть Н замкнутая подгруппа группы О. Обозначим через (Н) семейство всех тех подгрупп группы С, которые сопряжены с Н:

Множество (Н) называется С —орбитным типом.

Пусть X произвольное О — пространство, а Р а X некоторая его орбита. Говорят, что орбита Р имеет О — орбитный тип или просто тип (Н), и пишут typeP = {Н), если {<Эх ) = {н), где 0Х стационарная подгруппа некоторой точки х е Р.

Для любых замкнутых подгрупп Н и К группы С а) (Н) = (К) тогда и только тогда, когда Н и К сопряжены в С, б) {Н)< (к)тогда и только тогда, когда Н сопряжена с некоторой подгруппой группы К в С.

О — пространство X называется свободной, если typeP = (е) для любой орбиты РаХ (е — единица группы С).

А.13. Пусть X и У произвольные О—пространства, а кх : X —» Х\й и 7Гу : У —»• 7|(7 — орбитные проекции. Говорят, что отображение /: X О —> сохраняет орбитпую структуру, если для любой точки хеХ\0 орбиты 7г~](х) и я~1(/(х)) имеют один и тот же тип.

А. 14. Пусть Н компактная подгруппа топологической группы О, которая действует на некотором пространстве А. На пространстве Ох А имеется действие группы Н, заданное формулой к{§,а)= {<ф~\ка). Пространство Н—орбит этого действия обозначается через ОхнА, а Н —орбиту точки {$,а) — через [я,а].

На СхнА группа С действует по формуле = я].

Пространство СхнА с таким действием группы О называется скрученным произведением группы О с Н —пространством А.

Отображение / \СхнА —>Сг|//, заданное формулой f^ig,ci\}-gH, является С — эквивариантным. При этом прообраз точки еН есть а&А}=А. Следующее предложение обращает это Н утверждение.

А. 15. ПРЕДЛОЖЕНИЕ [8]. Пусть X некоторое в-пространство, а /:Х^>С\Н — эквивариантное отображение.

Тогда А = /'](еН) является Н —инвариантным подмножеством, а отображение <р:СхнА->Х, = ga — С—эквивариантным гомеоморфизмом.

А. 16. ПРЕДЛОЖЕНИЕ [8]. Вложение ¡е:А^СхнА, /е(а) = [е,а] индуцирует гомеоморфизм А\Н —> (С/х^Л^Сг, который имеет вид На\-^> С[е,а].

А. 17. Пусть А и В произвольные Н — пространства. Любое Н — эквивариантное отображение / :А—> В порождает О — эквивариантное отображение

1хн/ :ОхнА^>ОхнВ по формуле

1хя/(Ы)=к, /М1

Причем 1хя/ ~ ^~~ эквивариантный гомеоморфизм (С1 — эквивариантное вложение), если только / — //—эквивариантный гомеоморфизм (Н — эквивариантное вложение).

А. 18. ОПРЕДЕЛЕНИЕ [83]. Подмножество £ впространства X называется Н —срезом над тгх(3), если

1)3 замкнуто в 08,

2) С^ открыто в X,

3) Б — Н—инвариантно и

4) gS geH

А.19. ПРЕДЛОЖЕНИЕ [8]. Пусть А - Н -срез в-пространства X над п х (X). Тогда Х=СхнА.

Верно и обратное: если Х = СхнА, то а\ а е А} — Н —

С И срез С—пространства X над 7ГХ(Х).

А.20. ПРЕДЛОЖЕНИЕ [83]. Пусть X и У произвольные в-пространства, а /:Х->У — С—эквивариантное отображение.

Если Б — Н—срез над тгх(3) в У , то / '(£) — Н —срез над ях(/-Щ) в X.

А.21. Инвариантное подмножество А О—пространства X называется эквивариантным ретрактом для X, если существует эквивариантная ретракция г:Х—>А.

А.22. С—пространство У называется абсолютным (окрестностным) ретрактом для класса О—пространств К, если У и при всяком замкнутом эквивариантном вложении г: I—> , где 2 ^К, образ /(У) является эквивариантным ретрактом для 2 (для некоторой своей инвариантной окрестности в 2). В этом случае пишут:

У еО - АЯ(К) (Уев-АЖ(к)).

А.23. ТЕОРЕМА [1]. Пусть X метризуемое С—пространство и либо X, либо О — сепарабельно. Если X является О - АЯ(Ма) (в-АЖ{Мс)) пространством, то пространство Н-орбит Х\НЧ также является <7-ЛД(Мс) (в-АИЯ(Ма))-пространством для любой замкнутой нормальной подгруппы Н группы С.

А.24. Пусть Е и В произвольные С? — пространства. Скажем, что эквивариантное отображение р:Е-^В удовлетворяет аксиоме об

1) С действием, заданным формулой gHx = Н£?с, g е (7, л; е X. изображенного пунктирной стрелкой на следующей диаграмме эквивариантной накрывающей гомотопии (АЭНГ), если для любых эквивариантных отображений /' :Х —> Е и Р :Хх1 —> В таких, что р{х, 0) = р/'(х), х^Х, существует эквивариантное отображение Т7': X х I —> Е, для которого Р'(х, 0) = /'(х) при хеХ и /?oF' = F. Если /' рассматривать как отображение X х 0 в Е, то существование равносильно существованию эквивариантного отображения, изображенного пунктирной стрелкой на диаграмме

ХхОЕ Р

Хх1В

Эквивариантное отображение р:Е —»5 называется С — расслоением, если оно удовлетворяет АЭНГ относительно любого О — пространства.

А.25. ТЕОРЕМА [34]. Всякое р—паракомпактное О — пространство X можно замкнуто и О—эквивариантно вложить в произведение ТЮХ, где V — АЕ(м)—пространство,

С(С,У) — пространство непрерывных отображений из О в V с компактно—открытой топологией и непрерывным действием (ёГЬ) = ё^'^О, /еф,У) группы О, а Д замкнутый шар в конечномерном евклидовом пространстве ЕЛ с ортогональным действием группы С 1).

1) Заметим, что теорема 1.3 из работы [34] фактически доказана в этом виде, хотя сформулирована несколько иначе.

Б. Теория шейпов

Б.1. Пусть дана категория К и ее подкатегория Ь. Обратную систему X = [Ха,раа.,А\ называют ассоциированной ([55], [76]) с объектом X, если выполнены следующие условия:

1) имеются такие морфизмы ра : X —» Ха, что раа, ° ра, = ра, а' >а,

2) для каждого морфизма / существует морфизм а-Ха-+Р' ЧШО, /аОРа=/,

3) для любых двух таких морфизмов /а, /а': Ха —> Р & Ь, что /аРа=/аРа> существует такое а'>а, что /араа, = Гараа,

В этом случае пишут X = аяяХ.

Через р- К обозначим категорию, объектами которой являются все обратные системы X над категорией К, а морфизмами — такие системы {/р, (р }: X -> 7 = {Ур, , В } морфизмов /р : Хр{р) -» Ур (где р:В->А — произвольное отображение), что для любых (3 и /?', Р' > /3 существует такое а, что следующая диаграмма имеет смысл и коммутативна: и х<р{р) и

Единичными морфизмами категории р- К являются морфизмы вида {1а,1}:Х—>Х. Композиция морфизмов и г} определяется как система {ёу/¥(у),(роЦ/}

72]).

Морфизмы \/р,Ф и {ёр^У )'• X У называют эквивалентными (гомотопными), если для любого (3 существует такое а, что следующая диаграмма имеет смысл и коммутативна

Это и в самом деле эквивалентность ([72]).

Факторизация р- К по этой эквивалентности называется pro — категорией и обозначается через pro - К. Объектами категории pro - К являются обратные системы X , а морфизмами /: X —» Y — классы эквивалентных морфизмов категории р-К из X в Y.

Б.2. Предложение [74]. Для каждого объекта ХеК все ассоциированные с ним системы assX, принадлежащие pro-L, естественно изоморфны друг другу.

Б.З. Предложение [74]. Для каждого морфизма f:X^>Y категории К существует ровно один такой морфизм assf: assX —> ass Y категории pro-К, что коммутативна диаграмма Р ХassX f assf Y as sY где p = { pa} и q = \qp j ~~ естественные морфизмы, если X и Y рассматривать как тождественные обратные системы категории pro - К.

Б.4. Предложение [74]. Всякое получающееся таким образом "отображение" S\K^>-pro-L является функтором.

Функтор S называется шейповым функтором. Б.5. Категория шейпов состоит из объектов X е К и из морфизмов / \assX —»assY — в качестве морфизмов из X в Y.

Шейповый функтор S тождественен на объектах категории К, а каждому морфизму / сопоставляет морфизм S(f) = assf.

Б.6. Определение ([72], [76]). Говорят, что объекты X и Y категории К имеют один и тот же шейп и пишут shX = shY, если assX изоморфно assY в категории pro-L.

Неравенство shX <shY означает, что в категории pro - L существуют такие морфизмы / \assX —> assY и g : assY —» assX, что g о f = 1. В этом случае говорят, что Y шейпово доминирует X .

Шейп объекта X не зависит от выбора ассоциированной системы assX (предложения Б.2 и Б.З).

Б.7. Определение [71]. Обратная система X = {Ха, раа,, А] категории pro - К называется подвижной, если для любого а е А существует такое а'еА, а' >а, что для любого другого а" е А, а">а, имеется морфизм гаа \Ха.^>Ха. категории К, делающий следующую диаграмму коммутативной:

Ра Х

Объект X категории К называется подвижным, если assX подвижно в категории pro - L.

Любой объект подкатегории L подвижен.

Подвижность спектра X е pro - К сохраняется при функториальных переходах F :К —»К' для произвольных категорий

71])

Б.8. Предложение [73]. Пусть X и Y произвольные объекты категории К. Если shX < shY и Y — подвижно, то и X — подвижно.

Б.9. Пусть К = GROUP — категория групп и гомоморфизмов. Обратная система G = {Ga,paa.,A) категории pro-GROUP подвижна тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие Миттаг—Лефлера:

ML) для любого аеА существует а' е А, а'>а, что

Раа' К) = Раа- ) 9™ любого а" Е А, а" > а ([74]).

-53В. Эквивариантная теория шейпов

Всюду в дальнейшем через Н-Мс, Н-МСс, Н-Са, Н - Рс обозначаются С — гомотопические категории соответствующих категорий Мс, МСс, Сс, Рс, где С — произвольная компактная группа.

Для построения эквивариантной теории шейпов важно знать для каких эквивариантных категорий существует функтор ¿ш'д, если за Ь принять полную подкатегорию С - АИЯ — пространств.

В.1. Теорема [34]. В категории Н-Ма (соотв. Н-Рс) существует функтор если за Ь принять полную п о дкат егор ию (соотв., С - АИЯ{Ра))—пространств.

Причем, если О—пространство X замкнуто и эквивариантно вложено в 0-АЯ{Ма) (соотв., О - АЯ(РС))— пространство У, то семейство всех открытых инвариантных окрестностей (соотв., типа Ра) X в У С—ассоциировано с X.

В.2. Теорема [34]. В категории Н - МСс (соотв., Н -Са) существует функтор ¿ш^, если за Ь принять полную подкатегорию (7 - АМЯ(МСс) (соотв., О - АЫЯ(Сс)) —пространств. Причем, если Х^Н-МСс (соотв., Н-Са), то существуют такие

0-АЯ(МСс) (соотв., О - АЯ - Сс )—пространство У, замкнутое эквивариантное вложение И\Х -> 7 и семейство Х = {Ха,1аа.,А} компактных инвариантных окрестностей к(Х) в У, являющихся 0-АИЯ{МСс) (соотв., в- АЖ(Св))~ пространствами, что ¿ш^.Х = X.

В.З. Предложение. Пусть X метризуемое (7 — пространство, У е О - АИЯ{МС), а / —>У — произвольные эквивариантные отображения. Если 5'с(/) = то ~ С?—шейповый функтор).

ГЛАВА 2

ПРОБЛЕМА ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ОБОБЩЕННЫЕ ШЕЙПЫ

1. Антонин CA., Смирнов Ю.М., Универсальные объекты и бикомпактные расширения для топологических групп преобразований. ДАН СССР. 1981, т. 257, N 3, с. 521-526.

2. Богатый С.А., Об п — подвижности в смысле Борсука. Bull. Acad. Polon. Sei. Math., 1974, v. 22, N 8, p. 821-825.

3. Борсук К., Теория ретрактов. М.: Мир, 1971.

4. Борсук К., Теория шейпов. М.: Мир, 1976.

5. Бредон Г., Ведение в теория компактных групп преобразований. М., Наука, 1980.

6. Букур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов. М., 1972.

7. Геворкян П.С., Линеаризация тихоновских G —пространств. Тезисы 5 —ого Тираспольского симпоз. по общей топологии и ее прилож., Тирасполь, 1985.

8. Геворкян П.С., О G —подвижности G — пространства. УМН,1988, т. 43, N 3, с. 177-178.

9. Геворкян П.С., Мажоранты для G — подвижных компактов. УМН,1989, т. 44, N 1, с. 191-192.

10. Геворкян П.С., Об ^—подвижности топологических пространств. Известия HAH Арм., сер. матем., 2000, т. 35, N 3, с. 77 — 81.

11. Геворкян П.С., Эквивариантное обобщение теоремы Аренса — Иллза. Известия HAH Армении, сер. математика, 1996, т. 31, N 5.

12. Геворкян П.С. "Скрученные произведения и G — шейпы". Уч. записки АрГУ, 1998, N 1, с. 7-10.

13. Геворкян П. С., Об одном свойстве G—подвижных компактов. Уч. зап. ЕГУ, 1994, N 1, с. 26-32.

14. Геворкян П. С., Мажоранты в классах слабо — эквивалентных G — подвижных компактов. Уч. зап. ЕГУ, 1995, N 1, с. 19 — 23.-20815. Геворкян П. С., Предподвижность в pro — категории. Уч. зап. АрГУ, 1999, т. 2, N 1, с. 15-22.

15. Геворкян П. С., Эквивариантная теорема Фрейденталя и эквивариантная и—подвижность. УМН, 2001, т. 56, вып. 1(337), с. 159 — 161.

16. Геворкян П. С., Вопросы эквивариантной подвижности. Семинары по общей топологии и ее приложениям. Тезисы докладов. МГУ, 2000.

17. Геворкян П. С., Об эквивариантной подвижности плоских инвариантных компактов. Уч. Записки ЕГУ, 2001, N 3, с. 20 — 25.

18. Геворкян П. С., Об одном критерии подвижности. Мат. Заметки, 2001, т. 70, N 6, с. 58-65.

19. Геворкян П. С., Эквивариантное обобщение теоремы Фрейденталя. Уч. Записки ЕГУ, 2001, N 2, с. 18-26.

20. Геворкян П. С., Теория К -шейпов. Известия НАН Армении, сер. Математика.

21. Геворкян П. С., Подвижность топологических пространств. Алгебраический подход. Семинары по общей топологии и ее приложениям. Тезисы докладов. МГУ, 2000.

22. Gevorgyan P. S., Algebraic characterization of movable spaces. Algebra, Geometry and Applications, 2001, N 1, p. 12-18.

23. Gevorgyan P. S., On the topological distributive algebras. Int. Conf. On Topology and its Applications, Yokohama, Japan, September 1—3, 1999.

24. Gevorgyan P. S., Equivariant movability of free G— spaces. Svalbard Geometric Topology Conference, August 10—14, 2001, Svalbard, Norway.

25. Gevorgyan P. S., Some questions of equivariant movability. Archiv Math., 2001, GN/0105092, 12 pages.-20927. Gevorgyan P. S., Free equivariant shapes. Sixteenth Summer Conference on Topology and its Applications, July 18 — 20, 2001, New York, NY, USA.

26. Gevorgyan P. S., Movable categories. Archiv Math., 2001, GN/0105058, 8 pages.

27. Gevorgyan P. S., Some criterion of movability. Nordic Conference on Topology and its Applications, August 7 — 9, 2001, Nordfjordeid, Norway.

28. Лисица Ю.Т. Продолжение непрерывных отображений и факторизационная теорема. Сиб. мат. журнал. 1973, т. 14, N 1, с. 128 — 139.

29. Понтрягин Л.С., Непрерывные группы. М., Гостехиздат, 1954.

30. Смирнов Ю.М., Множество //—неподвижных точек — абсолютные экстензоры. Мат. сб., 1975, т. 1, с. 93—101.

31. Смирнов Ю.М., Об эквивариантных вложениях G — пространств. УМН, 1976, т. 31, N 5, с.137-147.

32. Смирнов Ю.М., Теория шейпов для G — пар. УМН, 1985, т. 40, N 2, с. 151-165.

33. Смирнов Ю.М., Теория шейпов и непрерывные группы преобразований. УМН, 1979, т. 36, N 6, с. 119-123.

34. Ху Сы —Цзян, Теория гомотопий. М., Мир, 1964.

35. Чигогидзе А., Теория п— шейпов. Мат. заметки, 1989, т. 44, с. 145-174.

36. Шостак А.П., Шейпы в классах компактности: ретракты, экстензоры, подвижность. Уч. зап. Латв. ун. — та. 1975, т.236, N 1, с. 108 — 128.

37. Энгелькинг Р., Общая топология. М., Мир, 1986.

38. Antonian S.A., Mardesich S., Equivariant shape. Fund. Math., 1987, v. 127, p. 213-224.

39. Arens R., Ellis R., On embedding uniform and topological spaces. Рас. J. Math., 1956, v. 6, N 3.-21042. Borsuk K.F Concerning homotopy properties of compacta. Fund Math., 1968, 62, N 3, p. 223-254.

40. Borsuk K., Fundamental retracts and extensions of fundamental sequences. Fund Math., 1969, 64, N 1, p. 55 — 85.

41. Borsuk K., On movable compacta. Fund. Math., 1969, 66, N 1, p. 137-146.

42. Borsuk K., A note on the theory of shape of compacta. Fund Math., 1970, 67, N 2, p. 265-278.

43. Borsuk K., On the shape of the suspension. Colloq. Math., 1970, 21, N 2, p. 247-252.

44. Borsuk K., Concerning the notion of the shape of compacta. Proc. Int. Symp. Topol. and its Appl., Herzeg —Novi, 1968. Beograd, 1969, p. 98 — 104.

45. Borsuk K., Holsztynski W., Conserning the ordering of shapes of compacta. Fund. Math., 1970, v. 68, p. 107-115.

46. Brown M., Some applications of an approximation theorem for inverse limits. Pros. AMS, 1960, v. 11, p. 478-483.

47. De Vries J., Universal topological transformation groups. Gen. Top. and Appl., 1975, v.5.

48. De Vries J., Topics in the theory of topological transformation groups. Topological structures II, Mathematical centre tracts, 1979, v. 116, p. 291-304.

49. De Vries J., Topological transformation groups I. Math. Centre Tracts, N 65, Amsterdam, 1975.

50. Dranishnikov A., Dydak J., Extension dimension and extension types. Trudy Math. Steklov Inst., 1996, 212, p. 61-94.

51. Dydak J., Some remarks conserning the Whitehead theorem in shape theory. Bull. Acad. Polon. Sci., 1975, v. 23, N 4, p. 437-445.

52. Dydak J., Segal J., Shape theory. Lect. Notes Math., 1978, N 688,149 p.

53. Fox R. H., On Shape. Fund. Math., 1972, v. 74, p. 47-71.

54. Fox R., On the Lusternic — Schnirelmann category. Ann. of Math., 1941, 42, p. 333-370.

55. Freudenthal H., Entwicklungen von Räumen und ihren Gruppen. Comp. Math., 1937, N. 4, p. 145-234.

56. Gleason A., Spaces with a compact Lie group transformations. Pros. AMS. 1950, v. 1, N 1, p. 35-43.

57. Holsztynski W., Continuity of Borsuk's shape functor. Bull. Acad. Polon. Ski., 1971, v. 19, N 12, p. 1105-1108.

58. Ivansic I., Rubin L., Schapiro P., Extension shape theory.

59. Jimenez R., Rubin L., The existence of «—shape theory for arbitrary compacta. Glasnic Mat., 1998, 33(53), p. 123-132.

60. Keesling J., Continuous functions induced by shape morphisms. Pros. AMS. 1973, v. 41, N 1, p. 315-320.

61. Keesling J., On movability and local connectivity. Lect. Notes Math., 1974, N 375, p. 158-167.

62. Keesling J., On the Whitehead theorem in shape theory. Fund. Math., 1976, v. 92, p. 247-253.

63. Keesling J., Shape theory and compact connected abelian topological groups. Trans. AMS, 1974, v. 194, p. 349-358.

64. Kozlowski G., Segal J., Local behavior and the Vietoris and Whitehead theorems in shape theory. Fund. Math., 1978, v. 99, N 3, p. 213 — 225.

65. Kuperberg K., A note on the Hurewicz isomorphism theorem in Borsuk's theory of shape. Fund. Math., 1976, v. 90, N 2, p. 173-175.

66. Kuperberg K., An isomorphism theorem of the Hurewicz — type in Borsuk's theory of shape. Fund. Math., 1972, v. 77, N 1, p. 21-32.

67. Mardesic S. A., Non movable compactum with movable suspension. Bull. Acad. Polon. Sei., 1971, v. 19, N 12, p. 1101-1103.-21271. Mardesic S., Segal J.F Movable compacta and ANR — systems. Bull. Acad. Polon. Sci., 1970, v. 18, N 11, p. 649-654.

68. Mardesic S., Segal J., Shapes of compacta and ANR — systems. Fund. Math., 1971, v. 72, N 1, p. 41-59.

69. Mardesic S., Shapes for topological spaces. Gen. Top. Appl., 1973, N 3, p. 265-282.

70. Mardesic S., Segal J., Shape theory — The inverse system approach. North — Holland, Amsterdam, 1982.

71. McCord M.C., Universal P-like compacta. Mich. Math. J., 1966, v. 13, p. 71-87.

72. Morita K., On shapes of topological spaces. Fund. Math., 1975, v. 86, N 3, p. 251-259.

73. Mostov G. D., Equivariant embedding in Euclidian space. Ann. of Math., 1957, v. 65, p. 432-446.

74. Moszinska M., Conserning the Whitehead theorem for movable compacta. Fund. Math., 1976, v. 92, N 1, p. 43-55.

75. Moszinska M., The Whitehead theorem in the theory of shapes. Fund. Math., 1973, v. 80, N 3, p. 221-263.

76. Murayama M., On G-ANR's and their G— homotopy types. Osaka J. Math., 1983, v. 20, p. 479-512.

77. Olendski J., On movability and other similar shape properties. Fund. Math., 1975, 88, N 3, p. 179-191.

78. Overton R.H., Segal J., A new construction of movable compacta. Glasn. Mat., 1971, v. 6, N 2, p. 361-363.

79. Palais R.S., The classification of G-spaces. Mem. AMS, 1960, N 36, 72 p.

80. Pop I., An equivariant shape theory. Anal. Sti. Univ. Iasi, sec. la, 1984, v. 30, N 2, p. 53-67.

81. Segal J., Movable shapes. Lect. Notes Math., 1974, N 375, p. 236241.-21386. Spiez S., A majorant for the family of all movable shapes. Bull. Acad. Polon. Sci., 1973, v. 21, N 7, p. 615-620.с àZ0J2ZS- X